（概率论与数理统计专业论文）一族新的非线性arma模型的平稳性与可逆性.pdf

中文摘要 中文摘要 本文建议一族新的非线性时间序列模型，并对其概率性质进行 分析首先，对模型的平稳性进行研究，得到了存在唯一的因果、 遍历( 严) 平稳解的充分条件；其次，分析模型的矩结构，导出了关 于二阶矩与三阶矩的y u l e - w a l k e r 差分方程组，这些方程组用于模型 识别的目的；再次，对模型的可逆性展开讨论，得到了可逆性的充 分条件；最后，对非参数分量降维得到的特殊模型进行分析，给出 这些模型存在唯一的因果、遍历的( 严) 平稳解的充分条件 关键词：平稳性；可逆性；y u l e - w a l k e r 差分方程 英文摘要 a b s t r a c t 2 w b i n v e s t i g a t es o m ep r o b a b i l i s t i cp r o p e r t i e so fan e wc l a s so fn o n l i n e a r t i m es e r i e sm o d e l s as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fau n i q u ec a u s a l e r g o d i c ，s t r i c t l ya n dw e a k l ys t a t i o n a r ys o l u t i o ni sd e r i v e d t ou n d e r s t a n dt h e p r o p o s e dm o d e l sb e t t e r ，w ef u r t h e rd i s c u s st h em o m e n ts t r u c t u r ea n do b t a i n s o m ey u l e - w a l k e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sf o rt h es e c o n da n dt h i r do r d e rc 砌u l a n t s ? w h i c hc a nb eu s e df o ri d e n t i f i c a t i o np u r p o s e as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r i n v e r t i b i l i t yi sa l s op r o v i d e d a p p l y i n gn o n p a r a m e t r i cd i m e n s i o n a l i t yr e d u c t i o nt e c h n i q u e st ot h ef u n c t i o n si n c l u d e di nt h ep r o p o s e dm o d e l s w ed e r i v e s e v e r a ln e w n o n p a r a m e t r i ct i m es e r i e sm o d e l sa n dg i v et h es u i l i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ee x i s t e n c eo fu n i q u ec a u s u a l ，e r g o d i c ，s t r i c t l ya n dw e a k l ys t a t i o n a r ys o - 1 u t i o n s k e y w o r d s ：s t a t i o n a r i t y ；i n v e r t i b i l i t y ；y u l e - w a l k e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考其他个人或集体己经发表的研究成果，均在文 中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活 动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责入或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ： 年月日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法 等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位 论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书馆及 其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、 硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ： 年月日 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 3 第一章绪论 1 1 背景知识 为丰富和发展时间序列模型，在过去的几十年中，基于线性自回归滑动 平均( a r m a ) 模型，人们提出了许多新的模型，并对它们的概率性质进行讨 论总体上，这些模型可以划分为参数模型与非参数模型两类研究的时间序 列模型概率性质主要包括：模型的严平稳遍历性，宽平稳性及矩结构，以及可 逆性等严平稳遍历性，用于讨论模型解的存在性，以及解是否唯一；宽平稳 及矩结构，可用于模型识别；可逆性则用于预测 早期，人们较多从事参数模型的研究，提出了许多经典的参数模型如， 门限时间序列模型，包括1 9 8 3 年t o n g 1 】提出的门限自回归( t a r ) 模型，1 9 9 2 年b r o c k w e u ，l i u 和t w e e d i e 【】研究的门限自回归滑动平均( t a r m a ) 模型， 2 0 0 5 年l i n g 和t o n g 3 】讨论的门限滑动平均( t m a ) 模型等；双线性时间序列 模型，1 9 7 8 年由g r a n g e r 和a n d e r s o n 【4 】提出，1 9 8 1 年s u b b ar a o1 5 进行了进 一步讨论；另外，在1 9 8 1 年h a g g a n 和o z a k i1 6 提出了指数自回归( e x p a r ) 模型等等 关于上述模型的概率性质，c h e n 和t s a y1 7 ，l i u ，l i 和l ii s ，l i n g ，t o n g 和l i 凹等人逐渐完善对门限a r m a 模型概率性质的讨论；b h a s k a r a ，s u b b a r a o 和w a l k r 【m ，l i u 【1 1 】，p h a m 和t r a n1 1 2 ，t e r d i k 【1 3 1 ，l i u 和b r o c k w e l l1 1 4 ， w a n g 和w e i1 1 5 等人进一步讨论广义b l 模型 近年来，随着计算机技术的飞速发展，模型拟合与数据预测中庞大的迭代 计算问题得到了解决于是，人们的研究重心转移到非参数模型上来 1 9 9 3 年c h e n 和t s a y 提出变系数自回归( f a r ) 模型，2 0 0 3 年f a n ，y a o 和c a ie 1 6 提出自适应函数系数自回归( a f a r ) 模型，2 0 0 8 年w a n gi 1 7 提出非线性自回 归变系数滑动平均( a r f m a ) 模型等等 在对非参数模型概率性质的讨论中， a n 和c h e n 【18 1 ，a n 和h u a n g 【19 1 ， c l i n e 和p u 2 0 ，2 1 ，l i e b s c h e r 【2 2 】等人针对提出的不同的模型，深入研究了平 稳、遍历、可逆等概率性质 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 4 然而，对时间序列模型的研究大多都局限于参数非线性a r m a 模型，与 非参数a r 型模型2 0 0 5 年，l i n g 与t o n g 【3 】提出：即使在线性时间序列模 型中，m a 型模型也比a r 型模型来得重要因此，我们更倾向于研究非参数 m a 型模型，与更一般的非参数a r m a 模型 1 2 文章结构 本文将讨论一族新的非线性时间序列模型，其一般形式如下： p q ( 1 2 ，1 ) 其中，0 t ) 是期望为零、方差盯2 有限的独立同分布( i i d ) 的随机变量序列， 已知的正整数p ，q ，r 是模型的阶数，9 1 ( ) ，鲰( ) 是r 维可测的函数我们 称模型( 1 2 。1 ) 为自回归非参数滑动平均模型，记作a r n m a ( p ，q ，r ) 模型。 显然，a r n m a ( p ，q ，r ) 模型是线性a r m a 模型 2 3 】的推广，它允许滑动 平均项的系数通过某种函数关系而依赖于因变量；同时，a r n m a ( p ，q ，r ) 模型 也是状态相依模型 2 4 j 的一种特殊情况 a r n m a ( p ，q ，r ) 模型是一类既具备广泛性又具备良好概率结构的非线性模 型对m = l ，q ，当鲕( ) 取不同函数形式时，a r n m a ( p ，q ，r ) 模型可转变 许多不同的时间序列模型特别地，当 r 鲕( 五一m 一1 ，x t m r ) = 6 加+ 托一m 咱 t ：1 模型( 1 2 1 ) 就是双线性( b l ) 模型【4 ，5 1 ；当 g m ( x t m l ，j ，t m r ) = 9 m ( x t m d ) ， 其中正整数d 是给定的延迟，则模型( 1 2 1 ) 成为非线性自回归变系数滑动平 均( a r f m a ) 模型( 1 7 】；当a m 三0 ， g m ( 五一m 一1 ，五一。一，) = b m l l ( x t d q ，i ( - ) 为示性函数，模型( 1 2 1 ) 即门限滑动平均( t m a ) 模 型【3 】 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 5 本文将对a r n m a ( p ，q ，r ) 模型( 1 2 1 ) 的概率性质进行讨论 首先，在第二章给出时间序列模型相关的定义，及概率结构基本理论 第三章对a r n m a ( p ，q ，r ) 模型( 1 2 1 ) 的概率性质进行分析：第一节讨论 a r n m a ( p ，q ，r ) 模型因果、遍历的( 严) 平稳解的存在性与唯一性；第二节讨论 a r n m a ( p ，q ，r ) 模型的矩结构，导出可用于模型识别的y u l e - w a l k e r 方程；第三 节分别给出a r n m a ( p ，q ，r ) 模型在均方意义下可逆，及a r n m a ( p ，1 ，r ) 几乎必 然可逆的条件；第四节给出几类特殊的a r n m a ( p ，q ，r ) 模型平稳性条件 第四章，针对本文所研究的内容进行总结，指出本文研究的不足及进一步 的研究方向 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 6 第二章基本概念 2 1因果型与可逆型 首先，我们给出因果模型的定义【14 1 。 定义2 1 1 ：若存在可测函数，：r ”一r ，使得时间序列 x d 可由既往白 噪声 ，s t ) 表示成 x t = 厂( 氏，q 一1 ，) ， 则称 墨) 是因果模型，称上式为 x ，) 的因果形式 接下来，我们介绍一个与因果模型相关的概念 定义2 1 2 ：若存在可测函数g ：r 一r ，使得白噪声序列k ) 可由既往 的 x ，s t 表示戍 t = 9 ( j 已，x t 一1 ，) ， 则称时间序列 x d 是可逆模型，称上式为( 五 的逆转形式 2 2 平稳过程 本节介绍关于平稳过程的基本定义 定义2 , 2 1 ：设随机过程 五 满足e i x 2 。若e 墨= m 为常数，协 方差函数为 c o 口( x t ，墨) = e ( 五一m ) ( 墨一m ) 】= r ( t s ) ， 则称 0 ，( x t l _ 一，置。) 与 ( x t 。+ h ，x t 。+ h ) 有耗冠的联合分布，烈称随机过程 x t ) 为严平稳过程 严平稳过程要求一切有限维分布对时间的推移保持不变一个二阶矩有 限的严平稳过程是( 宽) 平稳的 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 7 2 3 可逆性判定 假设非线性时间序列模型f 2 4 j 的一般形式如下： x t = ，( 托一1 ，x t p ；1 ，e t 一口) + t( 2 3 1 ) 其中， 岛) 为白噪声序列 将此类模型用于预测，则需用 x d 的观察值来估计慨) 序列显然，如 果对c o ，卜q 赋予初值g o ，毒1 呻并假定可观测到x o ，x 1 一q 的值，则 计算可得，的估计值为 同理，色为 毒1 = x 1 一f ( x o ，x 1 一q ；南，f 1 一q ) ， 9 2 = x 2 一f ( x x ，x 2 一q ；占1 ，如一叮) ， 以此类推，经过反复迭代，可得所有e t 的估计 记误差项= 鼠一g t 当t o o 时，若在某种意义下趋近于0 ，则时间 序列模型( 2 3 1 ) 为可逆的通常要求已是依分布收敛于0 ，或依概率收敛于0 等等本文在3 3 中论述可逆性条件时，要求毛在均方意义下收敛于0 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 8 第三章概率性质 在本章中，我们将对a r n m a ( p ，q ，r ) 模型的概率性质展开讨论首先引入 一些记号对任何矩阵d ，v e c ( d ) 表示矩阵的向量化，即把矩阵d 按列向量以 此排成向量的形式，侈是矩阵的k r o n e c k e r 乘积；d i a g ( d ) 表示对角元为d 的 对角矩阵；霹是k r o n e c k e rd e l t a 函数，当i = j 时，函数值取l ，否则取o ；对矩 阵d = ( d i j ) ，i d i 表示矩阵( i 南i ) ，即对矩阵中每个元素取绝对值；矩阵d e ， 表示对v ，j ，奶e i j ，即矩阵d 中的每一个元素均不大于e 中对应的元素 3 1 平稳性 本节讨论模型的平稳性不失一般性，假设p r ；否则，可以在模型( 1 2 1 ) 的左边添加零系数项定义p 维向量 与p 阶方阵 h = ( 1 ，0 ，o ) t ，冠= 陇，五- 1 ，x t - p + 1 ) t ， b 。( 豆) = ( 鲕( 五，托- - r + 1 ) ，0 ，o ) t ， a = 一a ln 2 l0 01 00 一n p 一1 一唧 00 00 l0 则模型( 1 2 。1 ) 可表示成等价的向量形式 ( 3 1 1 ) 下面的定理给出该模型存在唯一的因果、遍历( 严) 平稳解的充分条件 定理3 1 1 ：设 e ) 是期望为0 ，方差盯2 有限的独立同分布随机变量序 列假定存在非负常数1 1 ，2 口与c 1 ，c r ，使得对所有巧与协，j = 1 ，r ， m卜垮一m一毪 。嘣 +1 硷 a+ 岛 日 i i 溉 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 9 函数g l ( ) ，跏( ) 满足以下不等式 i 夕m ( z 1 ，z ，) 一9 m ( 剪1 ， 若矩阵 f = ，蜘) i l m ，r or 1 。0 0 i 俨 io0 历百i 百i 丽i 百( 3 工2 ) f g 一1f 口 00 0 0 易。0 的谱半径，即特征根的最大绝对值a 1 ，则模型( 3 1 1 ) 存在唯一的因果、遍 历( 严) 平稳解 2 t ，且其第一个元素 x d 是模型( 1 2 1 ) 的因果、遍历( 严) 乎 稳解式中印为矿阶单位阵， p x p + ( 办i - - - - 1 一t ) ) + ( l i l 州) 。l m 、7 j 证明：首先证解的存在性对任意t z = o ，土1 ，) ，设 晶( ) h e t + a 岛一1 一 0 1 ) ) e t 一。n 0 ， n 0 ( 3 1 3 ) 显然，对任意固定的7 1 , 0 ， ( t ) ，t z ) 是因果、遍历的严平稳过程，且关于 岛，岛一1 ，) 生成的仃一域可测对每个固定的t z ，若能证岛( t ) m 一) 均 方收敛，则s n ( t ) 的极限豆也是因果、遍历的平稳过程，同时是模型( 3 1 1 ) 的解 、“ 、乃 “ 阻 m 蓬 稿 f k 口 ， 白0 ；o 一，阳r一 m = n 肪 伽 一m一 一m一& 。f l +d 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 1 0 与 下面证明对每个固定的t z ，当凡叶时，品( ) 均方收敛定义 a n ( t ) = & ( t ) 一鼠一1 ( ) a m m ( ) = 日m ( 岛( ) ) 一b 。( & 一1 0 ) ) ，m = 1 ，2 ，q 由( 3 1 3 ) 可得， q n ) = a n l ( t 一1 ) + a m , n - m - 1 ( t m 一1 ) 一m ( 3 1 4 ) 对a n ( t ) 求均方期望，得 e a 礼( ) ：( t ) 】= a e a n 一1 ( t 一1 ) a t l 一1 ) 】4 丁 + 盯2 e t a 哪一m - 1 ( t m 一1 ) a 二胪m - 1 ( 卜m 1 ) 1 + a e a 佗一l ( t - 1 ) a 磊，n m 一1 ( t - m 1 ) e t m 】 + e a 唧一m l ( t m 一1 ) 0 1 ( t - 1 ) e 阳i a t ( 3 1 5 ) 注意到( 3 1 4 ) 式的右边与岛独立因此，对任意的礼0 ，。( t ) 与鼠相 互独立利用这种独立性，并反复用( 3 1 4 ) 进行迭代，可以算出( 3 1 5 ) 的最 后两项， 当m = 1 时， e l 九一1 一1 ) a - 2 ( t 一2 ) e t 一1 】= 0 ，( 3 1 6 ) 对任意m = 2 ，q 有 e 1 n l ( t 一1 ) a 磊，。一m 一1 一m 一1 ) e t 一。l = e “川，+ 豁州叫t - i - 2 h 十z b t 一。c t - m - 1 h m = a e a n - 2 ( t 一2 ) 三。一。一1 一m 一1 ) 一。 + 口2 e a m - 1 , n - m - 1 ( t m 一1 ) a 。t 竹一。一1 一m 一1 ) 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 1 1 = 盯2 a i - i e a m - 枷一m 一1 ( t m 一1 ) a t 扩m a ( t m 一1 ) ( 3 1 7 ) i = l 同样的，当m = 1 时， e a l ，n 一2 一2 ) 2 x l l 一1 ) 岛一1 】= 0 ， ( 3 i 8 ) 对任意m = 2 ，口， e a m ，。一仇一1 ( t m 一1 ) 0 1 一1 ) e t 一。】 m 一1 = 盯2 e a m , n - m - 1 ( t m 一1 ) a t n m 一1 ( t m 一1 ) 】( a ) t ( 3 1 9 ) i = 1 定义 靠= e z x 。( t ) ：( 吼将( 3 1 6 ) 式至( 3 1 9 ) 式代入( 3 1 5 ) 式，则任意 的m ，i = 1 ，口，有 i e a i ，。一仇一l ( t m 一1 ) a ：。一。一1 一m 1 ) 】l e i a , ，n m l ( t m 一1 ) a r m n 一。一1 一m 一1 ) i = 厶e d i a g ( a n - m - l ( t m 一1 ) ) 】2 ) l 三 三te n - - m - 1 ( t - m - 1 ) 。一。 一仇一1 ) l l 。t = 厶i a 一m 一1l 三三， ( 3 1 1 0 ) 经推导可得， q i m n l i a i i , t i l i a i t + 盯2 k i i n 一。一1 i l 三 m = l 口m 一1、 + 盯2 ( 工州) i m n - m - 1 嘿 = 2 、z = l qm 一1、 + 盯2 l 。l m n - m - 1j ( e ( i a 一t ) 丁) 、， m = 2、i = 1 再令= v ( i n ) 则， m n l( i a i i a i ) i 元i ：l 一1 i + o 2 ( l 1 倪l 1 ) l 元乙一2 i + 盯2e 9 l m 固l m + l m 固r n - - 1 i a i i l m t ) m = 2 1 + 盯2 i a i i l m t ) l z = ， 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性1 2 +(芝i帅棚lm峥州=1 + ( l m i ) l m l i 矾一1、 j = r m i 矾一。一- l ， 记i l = ( 1 瓦i t ，l 瓦一。l t ) t ，则上式可以改写为等价形式 i r i 一1 l f 2 i k 一2 i f n i v o l 硒a n ， 其中甄是一个非负常数向量 若矩阵r 的谱半径 小于1 ，则 & ( t ) ，n o ) 是一个柯西序列，且对任意 t z ，当n _ + 时，均方收敛于元 接下来验证解的唯一性 假设 仉，t z ) 是模型( 3 1 1 ) 任一因果、遍历严平稳解对每个礼0 与 t z ，令职。( t ) = 阢一( t ) ，可得 口 w n ( t ) = a 眠一1 ( 卜1 ) + ( 阢一m - 1 ) 一b m ( 岛- - m - - 1 ( t m 一1 ) ) k m = l 类似上面的证明，可得 v e c ( e m 。( t ) 孵( ) 】) i k a n ， 其中k 为各元素非负的常数矩阵所以，当礼一+ 。时，v ( ) 均方收敛到 0 ，这意味着u t = l i r a 。+ 鼠( t ) = 豆在均方意义下成立 最后，由 豆) 的严平稳性，与( 爱) 是 ( t ) ) 均方意义下的极限，可得 豆 的( 弱) 平稳性 口 实际上，上述定理中的条件( 3 1 2 ) 可由如下条件代替： 这是由于 9 m ( z 1 ，孙) 一g m ( m ，蜘) 怪l ml m 班a x ，c i l x f 一玑i ，( 3 1 1 1 ) ，m i a s x ，qi 珑一饥i 、虱：- 二j 五7 ；_ _ j i 虿而 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 1 3 显然，条件( 3 1 1 1 ) 要比条件( 3 1 2 ) 更强 对a r f m a 模型 p q x t + 五一m = 岛+ g m ( x t m d ) 珏仇， ( 3 1 1 2 ) m = l m - - - - 1 w a n g1 17 】给出了的平稳性条件为定理3 1 1 的直接推论 3 2 矩结构 本节讨论由建议模型( 1 2 1 ) 生成的序列 托 的矩结构首先，我们做如 下假设： 氏】i i d ，e ( t ) = 0 ，e ( ) = 盯2 ，e ( e 3 ) = v ，且e 1 4 i q 时，g o ( ) = 0 ，9 m ( ) = 0 由等式( 3 1 4 ) 与( 3 1 5 ) 可知，a r n m a ( p ，q ，r ) 模型( 1 2 1 ) 与a r m a ( p ，q ) 模型的二阶矩性质相同，其中， i q 一1q 1f e 【9 9 ( 托) 】_ 0 ， q = i q其它 3 2 2 三阶矩 通过对a r n m a ( p ，q ，r ) 模型一阶矩与二阶矩的讨论，我们知道它是一个 有效的a r m a 模型，因而运用自协方差函数并不足以识别a r m a 模型与 a r n m a 模型我们进一步讨论序列 茂) 的三阶矩 b x ( k ，1 ) = e l ( x t p ) ( 托一k p ) ( x t f p ) 】= e x t x t 一七尥一l 】 对任意的k ，z 0 ，等式( 1 2 1 ) 的两边同时乘以五一g 一角托一口一南一f 并求期 望，可得 b ( 口+ 七，g + 七+ z ) + n m b ( g + k m ，g + k + z m ) = e 陋三p 一x t 一十z =e p 塞舶一，洱k 一。k 一七刁 = e g q ( x t - q - 1 ，五一口一，) e 一q 五一g 一七五一q 一七一l 】 = e o q ( x t 一1 ，) & 一，) t j ，t 一詹j ，t 一知一z 】 ( 3 2 2 ) 对右式中的忌，l 进行讨论当忌= l = 0 时， e g 口( 五一1 ，x t 一，) 岛霹】 = e g q ( j 已一1 ，j 已一，) t ( z t + e t ) 2 】 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 b x ( q + k ，g + k + o + o 。b x ( q + k m ，q - 4 - k + l m ) = v e g q ( x t - 1 , 一x ，k t - 一r ) ， ，墨+ 2 0 z ，2 e 劬( 托一1 五一r ) 冠】兰三i i 三：e 3 2 ，3 ， b x ( q + 忌，口+ 七+ z ) + n m b x ( q + k m ，q + k + l m ) = 。v e 约( j & 一1 ，a ，t r ) 】凳k = 。o , ，。= 。o 或老 。，。，c 3 2 4 ， 因此，我们可用模型的三阶矩来进行模型识别当满足下列等式， p b x ( q ，口+ z ) + n 。b x ( q m ，q + l m ) = 0 ， f 0 m = 1 模型为a r m a 型；否则，模型为a r f m a 型 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性1 7 3 3 可逆性条件 对时间序列模型来说，可逆性讨论是必不可少的在对观察数据进行预测 时，我们运用可逆性对白噪声进行修正本节将对a r n m a 模型( 1 2 1 ) 的可 逆性进行讨论 记鼠为岛的估计，则自满足差分方程 ( 3 3 1 ) 其中， 面，拿l q 的初始值可以任意选择，并假设x o ，x 1 一g 一，可观测 由( 1 2 1 ) 与( 3 3 1 ) ，得 & = 一鲰( 五一。一1 ，五一。一，) f 一。，( 3 3 。2 ) m = l 其中，= 岛一白为估计误差当t _ 。时，若岛在某种意义下收敛于0 ，则 我们称模型( 1 2 1 ) 是可逆的【1 2 ，2 5 1 下面给出均方收敛于0 的条件首先，将( 3 3 2 ) 改写为如下向量形式： & = g ( 五一1 ，五一g ) t 一1 ， 其中，磊= 悠，t - q + 1 ) t 为g 维向量，豆：( 托一l ，咒一，) t 为r 维向 量， 弧，薄州= 一 一夕2 ( x t 一1 ) 0 l 0 一跏一1 ( ) 己一q + 2 ) 0 o l g q ( x t q - 4 - 1 ) 0 0 0 为g 阶方阵 定理3 3 1 ：假设模型( 1 2 1 ) 中的函数鲕( ) 有界，设为，m = 1 ，q 若特征函数 a 9 一c l a q 一1 一一c 口50 一m一氍 。一 + 鼠 = m一溉仉 o p 删 + 溉 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性1 8 的所有解均在单位圆内，则模型( 1 ，2 ，1 ) 在均方意义下可逆 证明：令 c2 lji ；i ；c i l 亨 e i 舌亭l = e f g ( 元一l ，豆一。) 舌一1 翠1 g r ( 豆一1 ，豆一。) i e e l ( , 一1 翠，i c t 定义舰= v e c ( e i 磊亭i ) ，有 l 尬1s ( 1 c 1 国1 c 1 ) l m t 一1 1 显然，可逆的充分条件是矩阵c 的谱半径小于1 ，等价地，特征函数 入口一c l a q 一1 一一c q = 0 的所有特征根均在单位圆内命题得证 对如下更一般的非线性时间序列模型 口 ，j ，t 一。一r ) e f 一。，( 3 3 3 ) 虽然目前无法给出确切的平稳性条件，但可逆性定理5 3 3 依然成立 对a r n m a ( p ，1 ，r ) 模型 ( 3 3 4 ) 我们有如下更强的结论 定理3 3 2 ：假设 五) 是遍历的，且e i l o g g ( x t ，五一r + 1 ) l l + 。o 若 e l o gi g ( x t ，托- r + 1 ) i 0 ，则a r n m a 模型( 3 3 4 ) 几乎必然( n s ) 可逆 m x m9 。一 十 岛 = p 一墨 一 x ，j + 蕊 一 岛 一一 x 一配 9 + 岛 = m 一 墨 m d p 一 +溉 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 1 9 证明：由( 3 3 2 ) ，可得： 邑= 一9 ( 托_ 2 ，x t 一1 ) 缸1 = = ( 一1 ) 21 1 9 ( 拖_ 2 ，x k 一1 ) b 由遍历性定理，当t 0 0 时， 1 l o g 1 3 i g ( 凰咄，拖一h ) l = i 1 苫t l 。gi g ( 凰屹，凰。- 1 ) l 几乎必然( n s ) 收敛于e l o gi 夕( 托，x t - q + 1 ) 1 因此， 。蛾嗯咄，甄一，) l l l t g ( - x k = 唧 e l o g i # ( x t ，x t 州，) j ) ，a s 。蛾f咄，甄一，= e x p ，一r + ，) j ，a s 这意味着，当e l o gi g ( x t ，五- r + 1 ) i 0 ，征f - 1o l ? = 1 ，则有 推论3 4 1 ：设慨】是期望为0 ，方差盯2 有限的独立同分布随机变量序 列，并设存在非负常数l l ，z 口，使对所有z ，y ，函数9 1 ( ) ，珊( ) 满足 i g 。( z ) 一9 _ 。( 秒) i f 。i x u 1 ( 3 4 2 ) 若矩阵 f = r or 1 z 0 0 印 0 0 f 口一1f 口 0o 00 z 0 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性2 0 的谱半径a 0 ，：1 哥= 1 ， 使得对所有的m = 1 ，口，j = 1 ，r 和任意的z ，y ，均有 若矩阵 j ( z ) 一鲕j ( 可) l m c jj z y i ( 3 4 4 ) o 0 ； o 1 0 o 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 2 1 f = r or 1 l 萨0 0 易： oo r q 一1f q 00 00 易。0 的谱半径a 1 ，则模型( 3 4 3 ) 存在唯一的因果、遍历( 严) 平稳解 五】，其中， 工m = z m 【主j ； p x p 其它符号同定理3 1 1 证明：对m = 1 ，q ，有 l 【g m ，i ( x 1 ) + + g m ，r ( z ，) 1 一，i ( y 1 ) + + g m ，( 跏) 】l l g m ，l ( x 1 ) 一g m ，i ( y 1 ) i + + i g m ，( z ，) 一g m ，( 珈) i l me l i x l 一3 1 l + + c r i 孙一蜘| k 胡5 k 一玑雕 i - - - 1i = 1 = f m j z l 一1 1 2 + + i z ，一y rj 2 显然满足定理3 1 1 的条件( 3 1 2 ) 命题得证 口 o o ；0 1 0 0 一族新的非线性a r m a 模型的平稳性与可逆性 2 2 第四章总结 本文提出一族新的非线性时间序列模型，并对该模型的概率结构进行分 析特别的，对模型存在因果、( 严) 平稳解，及解的唯性给出了充分条件； 通过对二阶矩与三阶矩的分析，得到可运用于模型识别的y u l e - w a l k e r 差分方 程，我们还得到了模型可逆的充分条件 当然，建议模型非常广泛、复杂通过对非参数分量采用不同的技术降 维，可以得到许多特殊的非线性时间序列模型，这些特殊的模型都存在估计问 题估计方法的选择，估计量大样本性质如何都值得考虑 参考文献 1 】t o n g ，h t h r e s h o l dm o d e l s 讥n o n l i n e a rt i m es e r i e sa n a l y s i s m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 【2 】2b r o c k w e l l ，p ，l i u ，j a n dt w e e d i e ，r l o nt h ee x i s t e n c eo fs t a t i o n a r yt h r e s h o l d a u t o r e g r e s s i v em o v i n g a v e r a g ep r o c e s s e s j j o u r n lo ft i m es e r i e sa n a l y s i s ，1 9 9 2 ， 1 3 ：9 5 1 0 7 3 】l i n g ，s a n dt o n g ，h t e s t i n gal i n e a rm o v i n g - a v e r a g em o d e la g a i n s tt h r e s h o l d m o v i n g - a v e r a g em o d e l s j t h ea n n a 如o fs t a t i s t i c s ，2 0 0 5 ，3 3 ：2 5 2 9 2 5 5 2 【4 】g r a n g e r ，c w j a n da n d e r s o n ，a a ni n t r o d u c t i o nt ob i l i n e a r 死m es e r i e s m o d e l m g o t t i n g g e n ：v a n d e r h o e c ha n dr u p r e c h t ，1 9 7 8 a 【5 】s u b b ar a o ，t o nt h et h e o r yo fb i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s j j o u r n a lo yt h er o y a l s t a t i s t i c a ls o c i e t y ，s e r i e sb1 9 8 1 ，4 3 ：2 4 4 - 2 5 5 【6 】h a g g a n ，v a n do z a k i ，t m o d e l i n gn o n f i n e a rv i b r a t i o n su s i n ga na m p l i t u d e - d e p e n d e n ta u t o - r e g r e s s i v et i m es e r i e sm o d e l j b i o m e t r i k a ，1 9 8 1 ，6 8 ：1 8 9 1 9 6 【7 】c h e n ，r a n dt s a y ，r s o nt h ee r g o d i c i t yo ft a r ( 1 ) p r o c e s s e s j t h ea n n a l so f a p p l i e dp r o b a b i l i t y ，1 9 9 1 ，l ：6 1 3 - 6 3 4 8 】l i u ，j ，l i ，w k a n dl i ，c w o nat h r e s h o l da u t o r e g r e s s i o nw i t hc o n d i t i o n a l h e t e r o s c e d a s t i ev a r i a n c e s j j o u r n a lo fs t a t i s t i c a la n dp l a n n i n 9i n f e r e n c e ，1 9 9 7 ，6 2 ： 2 7 9 3 0 0 f 9 】l i n g ，s ，t o n g ，h a n dl i ，d e r g o d i e i t ya n di n v e r t i b i t i t yo ft h r e s h o l dm o v i n g - a v e r a g em o d e l s j b e r n o u l l i ，2 0 0 7 ，1 3 ：1 6 1 - 1 6 8 【1 0 】b h a s k a r ar a om ，s u b b ar a ot a n dw a l k e ra m o nt h ee x i s t e n c eo f s o m eb i l i n e a r t i m es e r i e sm o d e l s j j o u r n a lo ft i m es e r i e sa n a l y s i s ，1 9 8 3 ，4 ，9 5 1 1 0 【11 】l i u ，s i t h e o r yo fb i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s j c o m m u n i c a t i o ni ns t a t i s t i c s t h e o r ya n dm e t h o d o l o g y ，1 9 8 5 ，1 4 ：2 5 4 9 2 5 6 1 f 1 2 】p h a m ，t d a n dt r a n ，l t o nt h ef i r s to r d e rb i l i n e a rt i m es e r i e s j j o u r n a lo f a p p l i e dp r o b a b i l i t y1 9