硕士学位论文-数据驱动的传感器系统多故障诊断方法研究.doc

学校代码：10254 密 级： 论文编号： 上海海事大学上海海事大学 SHANGHAI MARITIME UNIVERSITY 硕士学位论文硕士学位论文 MASTER DISSERTATION 论论文文题题目：目： 数据数据驱动驱动的的传传感器系感器系统统 多故障多故障诊诊断方法研究断方法研究 学科学科专业专业： ：通信与信息系通信与信息系统统 作者姓名：作者姓名：白白洁洁 指指导导老老师师： ：朱大奇朱大奇 教授教授 完成日期：完成日期：二二一一年六月年六月 论文独创性声明论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机构 已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡 献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 论文使用授权声明论文使用授权声明 本人同意上海海事大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以上网 公布论文的全部或部分内容，也可以采用影印、缩印或者其他复印手 段保留论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名： 导师签名： 日期 摘 要 摘摘 要要 由于主元分析(PCA，Principal Component Analysis)模型能有效地降低输入数 据的维数，提取有用信息，提高数据分析的效率，因此在故障诊断领域得到了广 泛的应用。近年来，随着神经网络的发展，一些基于人工神经网络的 PCA 故障 诊断模型被广泛研究。但大多数故障诊断都是针对单故障系统进行研究，有关基 于 PCA 模型的多故障诊断方法很少报道。 本文针对传感器系统的多故障诊断问题，将 CA-CMAC(Credit Assigned Cerebellar Model Articulation Controller)神经网络引入主元分析模型之中，提出基 于主元分析的传感器系统多故障诊断模型。首先，应用传感器正常工作时测量的 历史数据，由主元分析模型得到所有传感器的预测重构值；接着，计算传感器系 统的均方预期误差值 SPE( Squared Prediction Error)，当系统的 SPE 值发生跳变 时，说明有故障发生；当有多个传感器发生故障时，根据组合不同传感器，再通 过对组合传感器信号的重构，计算 SPE 值，隔离定位发生故障的传感器；最后 针对双传感器故障系统，应用仿真实例说明了所提算法的可行性。另外，本文通 过分析比较了三种不同的神经网络在构造 PCA 故障诊断模型时的收敛性能。由 BP 神经网络构造的 PCA 模型，不仅收敛速度慢，而且诊断精度也存在不确定性； 而常规的 CMAC 是局部逼近网络，提高了收敛速度，避免了局部极小问题，但 和基于信度分配的 CMAC 神经网络相比，其诊断精度与收敛速度仍然较低；基 于 CA-CMAC 的 PCA 故障诊断模型，不仅可以快速检测传感器系统故障，而且 应用各传感器信号的组合重构，可以实现传感器系统多故障的隔离与定位。 关键字：关键字：多故障；主元分析(PCA)；信号重构；神经网络；故障检测；故障隔离 ABSTRACT ABSTRACT As the principal component analysis (PCA) model can effectively reduce the dimension of input data, extract useful information and improve the efficiency of data analysis, it has been widely used in the field of fault diagnosis. With the development of neural networks, some PCA diagnosis models based on artificial neural network have been extensively studied in recent years. However, most of fault diagnosis are studied in allusion to single-fault sensor system. And the fault diagnosis method about multi-fault sensor system based on PCA has rarely been reported. In this paper, a model based on PCA and CA-CMAC(Credit Assigned Cerebellar Model Articulation Controller)neural network is proposed for the multi-fault diagnosis of sensor systems. Firstly, predicted values of sensors are computed by using historical data measured in fault-free condition and a PCA model. Secondly, the squared prediction error (SPE) of the sensor system is calculated. The fault can be detected when SPE suddenly increases. If more than one sensor in the system are out of order, after combining different sensors and reconstructing the signals of combined sensors, the SPE is calculated to locate the faulty sensors. Finally, the feasibility of the proposed method is demonstrated by a simulation example, in which two sensors in the system are out of order at the same time. In addition, the convergence of three different neural networks in building the model of PCA fault diagnosis are compared by analyzing. The PCA fault diagnosis model built by BP neural network has a slow convergence rate, and its accuracy is uncertain. The conventional CMAC neural network is a local approximation network, it improves the rate of convergence and does not exist a local minimum. But compared to the CA-CMAC, its accuracy of diagnosis and rate of convergence is still not good enough. The PCA fault diagnosis model based on CA-CMAC can not only realize the fault detection of sensor system, the fault isolation and location of multi-fault sensor system can also be realized rapidly and ABSTRACT accurately by combining and reconstructing the signals of every sensor. JIE BAI( Communication and Information System) Directed by Prof. Daqi Zhu KEYWORDS: multi-fault; principal component analysis; signal reconstruction; neural network; fault detection; fault isolation 目 录 目目 录录 第一章第一章 绪绪 论论 .1 1 1.1 引 言 .1 1.2 故障诊断方法的研究现状 .1 1.2.1 故障诊断的基本概念 .1 1.2.2 故障诊断方法的分类与概述 .2 1.3 基于主元分析的故障诊断方法研究现状 .5 1.4 本文的主要研究内容与论文构成 .7 第二章第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型基于主元分析的传感器故障诊断模型 .8 8 2.1 引 言 .8 2.2 PCA 基本思想 .8 2.2.1 主元的定义与求取 .9 2.2.2 如何确定主元个数 .10 2.2.3 两个检测统计量的介绍 .11 2.3 基于 PCA 的传感器信号预测模型 .13 2.4 基于 PCA 信号预测模型的传感器单故障诊断.14 2.4.1 传感器单故障检测 .14 2.4.2 传感器单故障隔离 .15 2.5 小 结 .16 第三章第三章 传感器系统单故障主元分析诊断方法及其收敛性传感器系统单故障主元分析诊断方法及其收敛性 .1717 3.1 引 言 .17 3.2 典型结构的神经网络.17 3.2.1 反向传播（BP）网络 .17 3.2.2 常规 CMAC 神经网络 .18 3.2.3 基于信度分配的 CA-CMAC 神经网络 .24 3.3 仿真算例.25 3.3.1 利用基于神经网络的 PCA 模型实现故障诊断 .25 3.3.2 三种神经网络的性能比较 .30 3.4 小 结 .33 第四章第四章 传感器系统多故障检测与隔离算法传感器系统多故障检测与隔离算法 .3434 4.1 引 言 .34 4.2 传感器多故障诊断算法.34 4.2.1 传感器多故障检测 .34 4.2.2 传感器多故障隔离 .35 4.3 基于主元分析的传感器多故障诊断实验.35 4.3.1 传感器系统多故障检测 .35 4.3.2 传感器系统多故障隔离 .37 4.4 小 结 .42 第五章第五章 总结与展望总结与展望 .4343 目 录 5.1 总 结 .43 5.2 展 望 .43 致致 谢谢 .4545 参考文献参考文献 .4646 硕士期间发表与录用论文硕士期间发表与录用论文 .5151 参与课题参与课题 .5252 附录附录 双故障传感器系统双故障传感器系统 PCAPCA 故障诊断算法源程序故障诊断算法源程序 .5353 第一章 绪 论 1 第一章第一章 绪绪 论论 1.1 引引 言言 随着过程控制技术的逐渐进步，现代化的工程系统正朝着大规模、复杂化方 向发展，工厂的自动化集成度有了很大的提高，许多由人工操作实现的常规控制 过程现在可以在计算机的控制下自动进行。这类系统一般都是大型而复杂的，其 中有大量的变量和回路需要监控，故障发生的可能性也大大增加。由于现代工厂 生产过程中异常事件种类繁多，过程控制系统的规模庞大而复杂，信息量非常大， 检修人员往往很难精确地定位出引起异常事件发生的故障源以及故障原因，从而 有可能做出错误的维护操作，引起更大的损失。单纯依靠人力来分析、解决现代 化生产中出现的故障问题已经显得越来越力不从心，故障诊断技术的出现为提高 复杂系统的可靠性开辟了一条新的路径。 自从上世纪70年代以来，故障诊断技术已取得了飞速发展，一些新的理论与 方法都已经得到了成功的应用，如：主元分析、遗传算法、小波变换、神经网络、 模式识别、自适应理论等。近年来，故障诊断技术迅速发展，在各个领域都得到 了广泛的应用并取得了良好的经济与社会效益，如交通运输、航空航天、武器装 备、发电设备、医学研究、机器人及其他工业自动化领域。因此，控制系统故障 诊断技术的研究具有十分重要的意义，得到了广泛的高度重视，成为国际自动控 制界的热点研究方向之一1。 1.2 故障诊断方法的研究现状故障诊断方法的研究现状 1.2.1 故障诊断的基本概念故障诊断的基本概念 故障（fault）：系统中至少有一个参数或者特性出现了较大偏差，超出了可 接受的范围。此时系统的性能明显低于正常水平，难以完成其预期功能2。 由故障引起的系统可观测特性与其正常特性相比会表现出异常变化，在基于 解析模型和信号处理的诊断方法中，它们由传感器测量信号反应；而在基于知识 第一章 绪 论 2 的故障诊断方法中，可以通过观察用语言描述的故障现象（如设备振动情况，声 音等） ，这也是重要的症状信息。 故障检测（fault detection）：即确定系统是否发生了故障。 故障隔离（fault isolation）：在故障检测之后，确定故障发生的具体位置。 故障辨识（fault identification）：在故障隔离之后，确定故障的大小及变化 特性。 故障诊断（fault diagnosis）：广义上是故障检测，故障隔离与故障辨识的统 称；狭义上，特指故障隔离与故障辨识。通过对测量设备在运行中或相对静止条 件下状态信息的处理与分析，并结合设备的历史状况，来定量识别设备的实时技 术状态，预知有关异常、故障并预测未来技术状态，从而确定必要的对策3。其 目的是能正确及时地对系统的各种异常运行状态做出诊断、预防或消除，提高系 统运行的可靠性、安全性和有效性。 故障诊断模型（fault diagnostic model）：为一组静态或动态关系，它把特定 的输入变量“症状”与特定的输出变量“故障”联系在一起。诊断模型 可以有许多不同的表示方法，以此与不同的故障诊断方法来对应。例如，解析模 型是一种人们熟悉的诊断模型，而神经网络、模糊逻辑系统等一些特有的方式可 以用来存储、表示诊断模型。 1.2.2 故障诊断方法的分类与概述故障诊断方法的分类与概述 实际系统可能发生的故障是多种多样的，故障诊断方法分类可以从多个不同 的方面进行4。按照国际故障诊断权威德国的 PMFrank 教授的观点， 故障诊断方法可以划分为以下三类5： (1)基于信号处理的故障诊断方法 基于信号处理的故障诊断方法是通过利用信号模型,如频谱、相关函数、自 回归滑动平均等直接分析可测量信号，提取频率、方差、幅值等特征值，检测出 故障信号，找出故障源。例如用定子电流频谱中的(1-2s)f 分量判断转子断裂等 6-10。 基于信号处理的方法主要有利用 Kullback 信息准则的故障检测11和基于小 波变换的故障诊断方法12-14等。这类方法不需要对象的准确模型，因此实现简单， 第一章 绪 论 3 实时性好，实用性强。但其对故障隔离和诊断的应用相对差一些，多用于故障隔 离。将其与其他故障诊断方法相结合有望提高故障诊断性能。 (2)基于解析模型的故障诊断方法 基于解析模型的故障诊断方法的核心思想是用解析冗余取代硬件冗余。该方 法一般利用构造出来的观测器估计预测出系统的输出值或者过程变量的估计值， 再将估计值与实际值相比较，从而产生残差。当系统运行正常时，残差应为零或 近似于零；系统中有故障发生时，残差量会明显偏离零值，超出允许范围。 常用的基于解析模型的故障诊断方法有状态估计法和参数估计法： 状态估计法的基本思想是首先重构被控过程的状态，通过与可测变量比较 构成残差序列，再构造适当的模型并用统计检验法从残差序列中把故障检测出来。 它要求系统可观测或者部分可观测，通常用各种状态观测器或滤波器进行状态估 计，如自适应非线性观测器15、非线性未知输入观测器16-17、滤波器方法等18。 参数估计法与状态估计法不同，它不需要计算残差序列，而是根据观测数 据，利用参数估计方法辨识系统的动态参数模型，如 ARMA(Auto Regressive Moving Average)的模型，通过系统参数与模型参数的比较来判断故障，或依据 辨识所得模型的参数和特征构造辨别函数，对系统的工作状态识别和分类。 目前，系统故障诊断技术的参数估计方法主要有 Wald 于 1947 年提出的序 列概率比方法19，Beard 于 1971 年提出的检测滤波器法20，Willsky 等于 1974 年提出的广义似然比法21，potte 等于 1977 年提出的等价、空间法22，Friedland 于 1979 年提出的极大似然比法23，以及一系列基于参数估计、马尔可夫链、及 多种基于观测器、滤波器的诊断方法24-26。 基于解析模型的故障诊断方法是最早发展起来的，早期主要是针对线性系统 进行的。近年来，此方法得到了更加深入的研究，但是在实际应用中，由于经常 难以获得对象的精确数学模型，从而限制了其使用范围和效果。 (3)基于知识的故障诊断方法 现代控制系统变得越来越复杂，不少情况下想要获得系统的精确数学模型是 非常困难的。基于知识的故障诊断方法不需要对象的精确数学模型，而是根据人 们的实践经验和大量的故障信息设计出一套智能计算机程序，以此来解决复杂故 第一章 绪 论 4 障诊断问题。该方法具有“智能”的特性，因而在故障诊断研究中得到了广泛的 重视。 基于知识的方法还可以分为基于神经网络的故障诊断方法、模糊逻辑方法和 基于定性模型的方法等。 由于神经网络具有处理非线性和自学习以及并行计算能力，因此基于神经 网络的故障诊断方法在非线性系统的故障诊断方面具有很大优势。如文献27-30 提到的采用神经网络产生残差、评价残差，文献31中采用神经网络做进一步诊 断以及文献32中采用神经网络做自适应误差补偿等。 模糊逻辑方法应用到控制系统故障诊断中，其优点体现在：模糊逻辑在概 念上易于理解，在表达上更接近人的自然思维，使人的故障诊断知识能够很容易 地通过模糊逻辑的方式表达和应用。模糊逻辑的方法可以处理具有不确定性、不 准确的信息，可以提供鲁棒性更高的诊断与故障决策。将模糊逻辑应用到基于模 型的故障诊断中，在基础研究和应用上都得到了足够的重视，主要有以下几个方 面：残差的模糊逻辑评价、采用模糊逻辑自适应调节阈值33、基于模糊小波分 析技术进行故障诊断34。模糊逻辑方法是一种半定量方法，在表述知识和推理 方面有独到之处，但是单独用模糊方法进行故障诊断还不多见，一般把它与其他 方法如模糊神经网络等相结合，以期取得更好的效果。 基于定性模型的方法包括定性仿真和知识观测器等。定性仿真是基于定性 模型的故障诊断方法的重要部分。该方法是用表示系统物理参数的定性变量和表 示各参数之间相互关系的定性微分方程构成约束模型，描述并模仿系统的结构， 以确定从给定的初始状态出发得到的系统状态。知识观测器则类似于解析模型中 的状态观测器和卡尔曼滤波器，它由定型模型、差异检测器、候选者产生器和诊 断策略组成，这种方法相比传统的专家系统方法更为简洁。 目前，关于故障诊断技术的研究正方兴未艾，上述三种方法也均已取得丰富 成果。但是故障诊断的研究工作还有很多问题有待解决，如故障诊断的自适应性、 鲁棒性、融合诊断和阀值选取等。单一的诊断方法已不能满足越来越复杂的系统 的实际需要，这也预示了今后的研究方向将是多种故障诊断方法相融合。本文所 研究的故障诊断方法是基于神经网络的主元分析法，将在以下章节中详细说明。 第一章 绪 论 5 1.3 基于主元分析的故障诊断方法研究现状基于主元分析的故障诊断方法研究现状 主元分析法是一种多变量统计方法，可用于对含有噪声和高度相关的测量数 据进行分析。采用的是把高维信息投影到低维子空间，并保留主要过程信息的方 法。在过程监控领域与其它方法相比较，它的适应性更强，更容易实现。主元分 析方法最早由 Pearson 于 1901 年提出35，之后大量文献对其做了深入研究，其 理论也得以不断完善。 PCA实现降维的基本思路是：寻找一组新变量（原变量的线性组合）代替原 变量，新变量的个数要比原变量少，却最大限度地携带了原变量的有用信息，且 新变量之间互不相关。PCA在具有降维能力的同时，还把过程变量空间划分为主 元子空间(PCS， Principal Component Subspace)和残差子空间(RS，Residual Space)。其中PCS代表的是在各个线性方向上过程变量的变化信息，而RS代表的 是过程中存在的线性冗余。对一组新测数据，在RS上构造监测统计量均方预计 误差（SPE，Squared Prediction Error） ，在PCS上定义Hotelling 统计量。如果 2 T 计算得到的上述两个统计量超过了相应控制上线，则认为过程中出现了异常，这 样就可以实现故障检测。 Dunia于1998年系统地分析了故障对PCA统计量的影响，并给出了故障可检 测性、可辨识性和可重构性的相应条件，Yue和Qin于2001年给出了故障可被 和SPE检测的充分和必要条件36。此外，一些其他检测统计量也被引入到故 2 T 障检测之中，Yue和Qin利用和SPE的互补性，提出一种复合式统计量并给出 2 T 控制限的计算方法，简化了故障诊断问题，Choi等于2005年把基于此复合式统计 量的故障诊断方法成功推广到了非线性过程37；王海清等针对SPE只对一部分变 量的变化敏感的问题，提出用主元相关变量残差和一般变量残差来替代SPE，提 高了系统中较弱故障的检测能力38,39。 当监控系统利用检测统计量检测到系统中有故障发生时，应及时进行故障隔 离。其中一种途径就是利用基于PCA的技术定位发生故障的部位或者变量，实现 故障隔离。目前故障隔离技术主要有以下几种： 1.贡献图法。它给出被监控的各变量对检测统计量的贡献，较易生成。但是 由于一个变量故障可能会影响其他变量在主元模型下的估计值，从而影响这些变 第一章 绪 论 6 量对检测统计量的贡献，因此该方法提供的指示效果并不能保证准确性40。 2.Multi-block PCA。它先把整个过程划分为几个子系统，然后利用PCA对每 个子系统进行监控。它把故障定位到单个子系统，可以在一定程度上实现故障隔 离。但也因为只能定位到一个变量子集，因此并不能完全实现故障隔离41,42。 3.基于子空间识别的方法。该方法本质为模式识别的一种，它认为每个故障 都可用相互区分的特征空间表示，各子空间的特性由PCA描述。此方法的缺点是 随着过程中传感器故障数目的增多，其隔离运算也相应地变得更加复杂。 4.结构化残差法。该方法在基于解析模型的故障诊断中应用较多，Gertler等 于1999年获取了PCA模型下的结构化残差43，并与Cao在2005年对该方法做了进 一步深入研究。这些研究的主要对象都是静态系统的传感器故障44。 5.基于故障重构的方法。该方法最早由Dunia于1996年提出45，在检测到故 障之后，假定每个传感器都有可能是故障源，根据故障重构算法，计算出每个候 选故障发生时对应的变量重构值，并计算出重构值对应的检测统计量，然后与该 统计量的控制限比较，如果在控制限以内，则说明重构值正确。Yue和Qin于 2001把该法推广到过程故障的隔离36。该方法计算量大，并且需要一定的先验 数据来保证算法的执行。本文正是采用此方法实行故障隔离，在以后的章节中将 做详细介绍。 综上所述，PCA 技术已经比较成熟，并且取得了大量的应用成果，但是由 于与其他新方法的有机结合，该技术仍然处于快速发展之中。此外，在研究如何 提高系统在线故障诊断的准确性与实时性方面也有许多內容需要进一步探索。本 文针对传感器系统的多故障诊断问题，将 CA-CMAC 神经网络引入主元分析模 型之中，提出基于主元分析的传感器多故障诊断模型。应用传感器正常工作时测 量到的历史数据，由 PCA 模型得到所有传感器的预测重构值，将其与传感器的 实际输出值相比较，计算传感器系统的均方预期误差值 SPE 进行传感器故障检 测，然后利用“传感器组合重构”方法实现故障隔离。 1.4 本文的主要研究内容与论文构成本文的主要研究内容与论文构成 本文的研究目标是以动态传感器系统为研究对象，将 CA-CMAC 神经网络 引入主元分析模型之中，提出基于主元分析的传感器多故障诊断模型。本文的主 第一章 绪 论 7 要创新点有以下两个方面： 1.以基于信度分配的 CA-CMAC(Credit Assigned Cerebellar Model Articulation Controller) 神经网络构造一 PCA 故障诊断模型，利用 CA-CMAC 神经网络的高 精度与快速收敛特性来提高传感器系统故障诊断的准确性与实时性。 2.在基于传感器系统单故障诊断的基础之上，提出了一种“传感器组合重构” 方法，实现传感器系统多故障情形下快速而有效地故障检测与隔离。 论文的结构安排一共分为五章： 第一章为“绪论” ，介绍本课题的研究背景及意义，故障诊断方法的国内外 研究现状。 第二章为“基于主元分析的传感器故障诊断模型” ，介绍了主元分析的基本 思想，PCA 信号预测模型以及其在故障诊断中的应用原理。 第三章为“传感器系统单故障主元分析诊断方法及其收敛性” ，介绍了几种 常见的神经网络，将其引入 PCA 故障诊断模型之中，并且在基于单故障诊断的 基础之上，分析比较了这几种神经网络的收敛特性。 第四章为“传感器系统多故障检测与隔离算法” ，详细阐述了如何实现传感 器系统的多故障检测与隔离，然后通过一个仿真实验证实了 CA-CMAC 神经网 络的快速收敛性和准确性，以及本文所提出的组合重构算法的有效性。 第五章为“总结与展望” ，对课题的研究工作做了一个总结，并对以后的研 究提出了一些思路与想法。 第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型 8 第二章第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型基于主元分析的传感器故障诊断模型 2.1 引引 言言 在不同领域的现代化大规模生产过程中，每个系统往往都包含众多的传感器， 如水下机器人可能包含测距声纳传感器、深度压力传感器、罗经等。每个传感器 都完成不同的功能和任务，但它们的共同目标都是保证系统能够快速响应外界要 求，并且做到安全稳定运行。鉴于多变量统计法在处理大量相关数据方面有着其 他方法不能比拟的优点它在处理数据时不需要依赖精确模型，只需要测量得 到的大量数据即可，因此应用多变量统计法进行过程监控已成为主要趋势。本章 介绍的主元分析法（PCA，Principal Component Analysis）正是多变量统计法 的核心内容之一。 主元分析法作为一种多变量统计方法，可用于对含有噪声和高度相关的测量 数据进行分析。它寻找一组新变量代替原变量，新变量的个数要比原变量少，却 最大限度地携带了原变量的有用信息，且新变量之间互不相关。在降维的同时， PCA 把过程变量空间分为主元子空间和残差子空间，并分别定义 Hotelling 统计量和统计量，通过判断统计量是否超出控制限检测系统是否发生故 2 TSPE 障。 在实现故障检测的基础上，本章利用线性变量重构法先对单故障传感器实现 故障隔离，为将其扩展到有多个故障发生的传感器系统的故障诊断做好了铺垫。 2.2 PCA 基本思想基本思想 如图 2-1 所示，假定一个系统只包含两个变量，将这两个变量的样本 21,x x 点表示在同一平面上。由于样本点的差异明显是因的变化引起的，所以从 21,x x 图中可以看出所有的样本点都集中在一个椭圆区域内。在沿着椭圆横轴的方 1 y 向上变化较大，而在纵轴方向上变化较小。这说明样本点的主要变动都体现 2 y 第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型 9 在方向上，此时就可以将忽略而只考虑，两个变量就简化为一个变量。 1 y 2 y 1 y 分别被称为的第一主元和第二主元。一般情况下，如果样本有个变 21, y y 21,x xp 量，且样本之间的差异能由个变量的（）个主元来概括，那么就能用pKpK 个主元代替个变量。Kp 图 2-1 主元成分示意图 2.2.1 主元的定义与求取主元的定义与求取 设原始变量为一维随机矢量，其每个分量的均值为 T m XXXX),( 21 m 零，即其协方差矩阵为：。), 2 , 1( , 0)(miXE i (2-1) mmmm m m T aaa aaa aaa XXEA 21 22221 11211 式中，为与的协方差；为半正定对称矩阵，设)( jiij XXEa i X j XA 为的个特征值，则存在正交矩阵使得：,其0 21 m AmPAPPT 中为对角阵，为所对应的特),( 21m diag, 21m pppP m , 21 征向量。令则有：。之间相互标准正交，之间相互无关,XPY T Xpy T ii i p i y 46。对于该变换，在多元统计学中有如下定义47： 称为第 主元，被监控向 i yi 量的一组测量值经过变换后得到的值称为测量值在第 主元上的得分，)(X)( i yi 第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型 10 向量被称为第 主元的负荷向量。主元分析法就是求取主元、得分及负荷向量 i pi 的过程。 基于主元分析原理，设为最终保留的主元个数，系统运行过程处于正常状k 态时的测量数据经过标准化处理(即每个变量都为零均值单位方差)后的矩阵记为 ，对进行奇异值分解，可以得到：XX (2-2)EXPPXXPPEYPEpyX TTT k i T ii 1 为前个主元对应的负荷向量组成的矩阵，被称为负荷矩阵。它所支撑 km P k 的子空间被称为主元子空间(PCS)。为前个主元对应的得分向量组成的XPY k 矩阵，被称为得分矩阵，为测量数据在PCS上的估计(或投影)。X X 表示后个主元对应的负荷向量组成的矩阵，被称为残差负荷矩阵， )(kmm P m 它所支撑的空间被称为残差子空间(RS)，为测量数据在残差子空间上的投影，E 被称为模型的估计残差矩阵。 2.2.2 如何确定主元个数如何确定主元个数 对于确定的原始数据而言，增加主元个数可以提高主元模型值的精确度，但 是这样不容易消除原始数据中噪声的影响，不能达到主元分析的目的；而过分地 追求主元分析的数据简化减少主元个数，往往会使主元模型值不能充分地反应出 原始数据中的有用信息，从而加大了分析的误差率。所以，选取合适的主元个数 对于决定主元分析性能起着重要作用。 目前在主元个数选择上存在两种较普遍的方法：一种是主元回归检验法48， 一种是主元贡献率累计百分比法49,50。 主元回归检验法 其思想是使得主元模型中的误差平方和最小。模型形式可以用下式表达： （2-EXY 3）其中是一个的向量，为的数据阵，为的向量，为Y1nXpn1pE 的向量，代表模型误差。当寻求最佳模型参数时，目标是使模型误差的平方1n 和最小，即使得中各元素的平方和最小。因此，可以把最佳模型参数求解过程E 第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型 11 表达为下面的优化问题： （2-EEJ T min 4）上式中的目标函数可以按以下公式计算： （2-XXYXXYYYXYXYEEJ TTTTTTT )()()( 5）当目标函数达到最小时，对的偏导数应为 0。对求偏导，整理后得到：JJJ （2-YXXX TT 6）从而得到参数优化式： （2-YXXX T1T )( 7）将代入，便可以通过调节主元个数来优化参数使得目标函数值 T kkP TX k 最小，从而使模型达到最佳状态，此时的就是最佳主元个数。k 主元贡献率累积和百分比法 在求取样本主元时，数据的降维过程也就是数据在其协方差矩阵对应的特征 向量上的变动过程。如何选择合适的主元个数也就是进行数据降维时一个“量” 与“度”的问题， “量”指的是如何计算每个主元在所有样本中所占有的比重； “度” 是指当量累积到什么程度时可以认为这些主元已经能够概括出原有变量所提供的 信息。由此引出了一个方差贡献率的概念。 （2- p i i i i a 1 8）上式定义为第 个主元的方差贡献率，其中为第 个主元的方差。实际i i Y i i i Y 计算过程中可以取数据样本的协方差矩阵的特征值来代替计算。可以称 i 为前个主元的累积方差贡献率，因此降维后的主元个数就可以通过累积 k i i a 1 kk 方差贡献率来确定，一般情况下取使得累积贡献率得到 85%以上的即可。本文k 在 PCA 建模过程中主元个数的选取正是采用此方法。 第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型 12 2.2.3 两个检测统计量的介绍两个检测统计量的介绍 要检测系统中是否发生故障，可以通过测量到的数据建立统计量进行假设检 验，判断过程数据是否背离了主元模型。通常采用的方法是在主元子空间上构造 Hotelling 检测统计量，在残差子空间上构造检测统计量（又称 Q 统计 2 TSPE 量） 。 Hotelling 检测统计量 2 T （2-9）),( )( ) 1( 2 1 2 1TT1T2 anaF ann nat tDtxPPDxT a i i i 其中，为前个主元的方差矩阵，是自由度为和),.,( 1a diagD a),(annFn 的分布。统计量的实质是向量在主元子空间的投影向量单位正规化anF 2 Tx 后的长度。给定一个置信度，便可以得到统计量的的控制限： 2 T （2-10）),( )( ) 1( 2 2 anaF ann na T 它只包含了主元得分的信息，因此体现了过程系统性的变动情况。正常无故障情 况下，统计量的值应小于其控制限。 2 T 检测统计量（Q 统计量）SPE （2- 2TTTTTT ) () ( QxPPxxPPxPPeeSPE 11）其中 为误差向量，由残差负载矩阵产生，是显著性水平为的eP 2 Q 统计量控制限，可以根据下式计算：SPE （2- 0 1 2 1 002 1 2 02 1 2 ) 1( 1 2 h hhhC Q 12）其中，是正态分布在检测水平)3 , 2 , 1( 1 i p aj i ji 2 2310 3/21h C 为下的临界值。统计量代表了数据中没有被主元模型所解释的变化。正SPE 常情况下，统计量的值应小于控制限。SPE 第二章 基于主元分析的传感器故障诊断模型 13 基于PCA的故障检测中，一般会有四种情况：(1)和统计量都不超过 2 TSPE 控制限；(2)正常，但超出控制限；(3)超出控制限，但正常；(4) 2 TSPE 2 TSPE 和都超出控制限。一些文献认为(2)和(4)为故障，另两种正常，即以 2 TSPE 统计量是否超出控制限作为是否发生故障的标准。参考文献51对和SPE 2 T 统计量期望变化进行了定量分析，对几种检测结果的定性结论给出了一定SPE 的数学依据。其中指出，每种故障都存在统计量完全检测不到的情况。被定义为 故障的几种过程变动都可能会引起统计量期望的变化，而工作点的改变只SPE 引起的变化。所以在大多数文献研究中，都以统计量作为故障检测指标。 2 TSPE 本文也是应用统计量作为故障检测指标。SPE 2.3 基于基于 PCA 的传感器信号预测的传感器信号预测模型模型 令，则 (2-XPY T PXXEPPYYPEYYE TTTTT )( 13) 即： ji ji YYE i ji 0 所以，与是不相关的，若总体为正态随机矢量，它们还是独立的。 i Y j YX ，由于均值为零，所以即为的方差，由于相似矩阵的迹相等，)( 2 ii YE i Y i i Y 故有： (2-14) mmm aaa 221121 即： (2-15)