费马大定理证明.doc

_【法1】 等轴双曲线方程的通解与费尔玛大定理的证明滕锡和(河南鲁山 江河中学 邮编：467337) 摘 要: 由等轴双曲线方程与费尔玛方程的内在联系，寻找到一种费尔玛方程是否有正整数解的充要条件，再由对此条件的否定，证明了费尔玛大定理，并且把费尔玛大定理与勾股定理有机地统一起来。关键词: 完全解；可导出解；连环解中图法分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号： 1 R通解本文所用数集： -自然数集， -有理数集， -实数集。本文讨论不超出的范围。本文中方程及同类方程中的指数，以后不再说明。引理1 方程 （2） (1)有解的充要条件是它有解。引理2 方程（1）（2）有解的充要条件是它有既约解。这样，在以后的讨论中只需讨论解及既约解的情形，可使过程简化。引理3 方程（1）（2）有解的充要条件是方程 （2） （2）有解。证明 充分性 如果方程（2）（2）有解，设（）为其解，则（）-（）1， 。于是方程（1）（2）有解。必要性 如果方程（1）（2）有解，设为其解，则，（）-（）1。于是方程（2）（2）有解（）。证毕 引理4 如果方程（1）（2）有解，那么，只有两类：i）完全解；ii）可导出解。证明 第i）类属显然。第ii）类，把代入方程（1），得， 于是导出方程（1）的解。 除此以外，由其它任何形式的带无理因子的解，都不能导出解。事实上，设（中至少有一个且三个数中含有不可通约的无理因子， ）为方程（1）的解，则由的定义知，它们的无理因子是不能从上式中完全提到括号外面去的，即由它不能导出方程（1）的解。证毕从引理4及其证明过程可以得到以下三条结论：（1） 若将第i）类解的三个数同乘以一个数（），得到，则此解仍是方程（1）的第i）类解；若将三个数同乘以一个数（），得到，则此解变为方程（1）的第ii）类解。（2） 若将第ii）类解的三个数同乘以一个数，得到，则此解变为方程（1）的第i）类解;若将三个数同乘以一个数（），得到，则此解仍是方程（1）的第ii）类解。（3） 方程（1）的第i）、ii）类解与非第i）、ii）类解之间是封闭的。即无论对数组的三个数同乘以一个什么正实数，它们之间都不可能互化。 定理1 方程（1）（2）的 解公式是 ， 或 （。证明 当时，由得。根据引理3，这两个方程在是否存在解方面是等价的。从而得到 于是设，则。由此解得 。恢复和的比例系数后得，拆开后即得 。 又，由得。 设，则。仿上法又得到。若设， 则之间的变换关系是将两式分别代入方程（1），等式成立。因此，两式都是方程（1）的解公式。证毕定理1说明 i）方程（1）的任何一个解都可以由两式同时表出; 两式表出的任何一个数组，都是方程（1）的解。ii）如果方程（1）有（或）解，则必能用两式同时表出；如果两式同时表出（或）数组，则方程（1）有 (或)解。反之，如果两式不能同时表出（或）数组，则方程（1）没有（或）解。2 有N解的充要条件引理5 方程（1）（2）有解的充要条件是 或 能同时表出或导出数组。 证明 根据引理4的结论（3），可将两式的系数略去，因为这样，一者可使讨论简化，二者既不会使第i）、ii）类解增生，也不会使之消失，三者必要时再同乘以一个公共因子。先证。 必要性 根据定理1，如果方程（1）有解，必能用式表出或导出。根据引理4，其解只有两类：i）如果是第i）类解，即存在，当时，其解 是解，则能表出数组；ii）如果是第ii）类解，根据引理4，由这个第ii）类解必能导出第i）类解，从而能导出数组。 充要性 如果式能表出或导出数组，显然是方程（1）的解，即方程（1）有解。 对于式与式同理可证。证毕 根据引理1、2、5，不难找到思路：方程（1）有解的充要条件是两式能同时表出或导出既约数组。定理2 方程 （ （3）有解的充要条件是以下两式： 或 能同时表出既约数组。也可以是，奇，（，） 1。有且仅有这两种情形，因为自然数只有奇偶两类。此类情形与上同理，故未写出。无妨，下同。证明 必要性 如果方程（3）有既约解，根据引理1、2、5，必可由、 两式同时表出或导出。此时两式分别为 , .i） 证。根据引理4的三条结论，先让。为此必须设 ,一奇一偶，则必须再设，奇，则 ii）再证。根据引理4的三条结论，先让。为此必须设 ，二奇，则 。必须再设 ，二奇，则 。 同时易证 、中的底数分别两两互素。到此， 、两式仍必能表出方程（3）的既约解。于是 、必能同时表出既约数组。 充分性 如果、都能表出既约数组，同时易验知，、能使方程（3）成立，那么，此时这两个既约数组就是方程（3）的既约解。即方程（3）有解。证毕 推论1 方程（有解的充要条件是一下两式： （，一奇一偶，）或 （，二奇，）能同时表出既约数组。 不难看出，、两式内容详细，、两式简明扼要。它们各有所长，作用相同。定理 方程（ （4）有解的充要条件是一下两式; ，或 （，二奇，能同时表出既约数组。 证明 必要性 如果方程（4）有既约解，根据引理1、2、5，必可由、两式同时表出或导出。此时两式分别为 ， 。将、的证明同时进行，以便比较。下面分四种情形讨论：i）根据引理4 的三条结论，若，则必须设 ，一奇一偶，则 。必须再设，奇，则 ；若，则必须设 ，二奇，则必须再设，二奇，则 。 ii）根据引理4的三条结论，若，为了让，必须有。为此必须设，则 若，为了让，必须有，为此必须设，二奇， 则 但是，在情形ii）下，方程（4）若有既约解，必须被、两式同时表出。于是得到 比较后发现，式中左边的底数不是完全平方数，而右边的底数是完全平方数；式的情形恰好相反。为此必须再设，则； 必须再设，二奇，则 。 这样，情形ii）就归结到情形i）中去了。同时易证中的底数分别两两互素。至于情形iii）和情形iv），显然被情形ii）所包含。到此，两式仍必能表出方程（4）的既约解。于是，必能表出既约数组。 充要性 如果都能表出既约数组，同时易验知分别能使方程（4）成立，那么，此时这两个既约数组就是方程（4）的既约解，即方程（4）有解。证毕推论2 方程（4） 有解的充要条件是以下两式： （，一奇一偶，） （，二奇，） 能同时表出既约数组。 将推论1、2归纳到一起就是 推论3 方程(1) 有解的充要条件是以下两式: （，一奇一偶，） （，二奇，） 能同时表出既约数组.顺便指出,当时,由二式便可得到: 推论4 方程 (5)的既约解公式是以下二式： （，一奇一偶，）或 （，二奇，）3 连环解定理3 方程 （6）没有。推论5 方程没有解。 推论6 方程没有解。推论7 设，那么。定义1 如果都是方程（1）（2）的解，那么就把它们称做方程（1）的一对连环解。引理6 设，一奇一偶，；，一奇一偶，那么，方程组 没有解。证明 假设方程组有解，则由式变形后设 代入式，得 当时，式左正右负相矛盾；当时，将式两边开平方，得 根据推论7，。那么，式左边是有理数，右边是无理数，相矛盾。故原方程组没有解。证毕定理4 方程（1）（2）没有连环解。证明 假设方程（1）有连环解，则可设是它的一对连环解。根据推论3中的式，它们必可表示为（，一奇一偶，）（，一奇一偶,） = 对比、两式得方程组根据引理6，上方程组没有解。此与的定义相矛盾。故方程（1）没有连环解。证毕推论8 设，那么，中至少有一个。证明 假设不是这样，那么，可设，。 ， 。于是恰好构成方程（1）的一对连环解。此与定理4中方程（1）没有连环解相矛盾。故原结论成立。证毕4 费尔玛方程没有N解引理7 设，那么， 。定理5 方程（4）（没有解。证明 假设不是这样，那就是说，方程（4）有解。根据定理中的式，必有 （，二奇，）再根据引理7，必有+，-， 。此与由推论8中得到的与中至少有一个相矛盾。 因此，方程（4）没有解。证毕 推论9 方程没有解。 现将有关内容概括一下：1） 推论6 方程没有解。2） 定理4 方程没有解。3） 推论9 方程没有解。由此得到： 定理6 费尔玛方程 没有解。 这就是说，当自然数时，任何一个自然数的次幂都不能分成两个自然数的次幂之和。参考文献1 闵嗣鹤 严士健 初等数论 高等教育出版社 19822 梁宗臣 世界数学简史【法2】五个相似直角三角形与费尔玛大定理的证明（摘要）1 通解 引理1 设、的一个锐角分别为、，其度数都为，如图，那么，它们的三边之长可以分别表示为以下五个三角数组： ；。证明 首先，对于，设， ，则，即， ，。 其次，易知， ；当时，;当或时，。因此，这五个直角三角形在上述变换条件下都相似（或全等），且它们的三边之长可以分别用三角数组表示。定理1 方程 （2） （1）的解公式是以下四式： ， ， ， 。 证明 由引理1，都是方程 （2）的解，即。所以对任意的，都有。从而 是方程（2）的任意解。故。令就是方程（1）（2）的解公式。证毕2 有N解的充要条件引理2 方程（1）（2）有解的充要条件是它有解引理3 方程（1）（2）有解的充要条件是它有既约解引理4 如果方程（1）（2）有解，那么只有两类：i）完全解; ii）可导出解（证明及三条结论同法1，略）引理5 （同法1，略） （下接法1的第4页第5行引理5）Equilateral Hyperbolas General Solution And Fermats Last Theorems Demonstration Teng Xihe(Jianghe Middle School, Lushan County,Henan P.C:467337)Abstract: Basing on the relationship between Equilateral Hyperbola and Fermats Equation to make sure if there is some necessary request for positive integral solution in solving Fermats Equation . Then according to the negative conclusion, Fermats Last Theorem