（计算数学专业论文）向量序列有理外推法的连分式插值方法.pdf

2 0 0 3 年上海大学硕圭学位论文 璃要 本文主要结暴如下： ( 一) 总结归纳了由g r a v e s - m o r r i sf 1 1 提出的基予行列式公式的向 鬣p a d e 逼近外推法。 ( o ) 在s a m e l s o n 递离鬃罅基键上，给出了向羹一舅法井捻法。 ( 三) 讨论并证赡了t h i e l e - 烈捶值连分式的若母性质，在此基础 上建立了向超连分式的两个外推算法。 以上三种方法在本文都用一个三状态的m a r k o v 链的实例加淡验证。 关键词向量s a m e l s o n 逆，向量有理外推法，向量p a d e 逼近，向 爨一算法，向量t h i e l e 型连分式。 2 0 0 3 年上海犬擎硕圭学位论文l l a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y , w es u m m a r i z ev e c t o rp a d da p p r o x i m a t i o ne x t r a p o l a t i o n m e t h o d tw h i c hi sb a s e do nd e t e r m i n a n tf o r m u l a sa n dw a sp u tf o r w a r db yg r a v e s - m o r r i si n 【1 3 s e c o n d l y , w eg i v eav e c t o re x t r a p o l a t i o nm e t h o dw i t hg - - - a l g o r i t h m f o r mb ym e a n so fs a m e l s o ni n v e r s o i no f v e c t o r s t h i r d l y , w ed i s c u s sa n dp r o v es o m e p r o p e r t i e so f t h i e l e - t y p ei n t e r p o l a t i o nc o n t i n u e df r a c t i o n a n de s t a b l i s ht w oe f f i c i e n t c o n t i n u e df r a c t i o ne x t r a p o l a t i o na l g o r i t h m s + au s e f u le x a m p l eo f t h r e e - c a s em a r k o v p r o c e s si sg i v e ns oa st oi l l u s t r a t et h r e ee x t r a p o l a t i o nm e t h o d si nt h i sp a p e r k 掣w o r d s ： s a m e l s o ni n v e r s o i no fv e c t o r s v e c t o rr a t i o n a le x t r a p o l a t i o n m e t h o d ，v e c t o rp a d da p p r o x i m a t i o n ，v e c t o re a l g o r i t h m ，v e c t o rt h i e l e t y p ec o n t i n u e df r a c t i o n 2 0 0 3 年上海大学硬圭学位论文 51 ，1 背景 第一章前言 在数值分桁中，在现代控制理论和信息理论中，礁统计送筹的m a r k o v 过程 中，当涉及多咒分析时常常簧研究向量序列的收敛性和加速收敛。 患撩彦到魏如速收敛主要分以下两秘方法； ( i )多项式外推法； f i ) 毒理遥近雏推法。 在多项式外推法中包括： 最小多项式外稚法( m i n i m a lp o l y n o m i a le x t r a p o l a t i o n ) ； 减秩外推法( r e d u c e dr a n ke x t r a p o l a t i o n ) 主簧文献有： 【3 je d d y , 1 9 6 8 年； 4 】e d d y , 1 9 7 9 年；c 5 lm e s i n a ，1 9 7 7 年； 【6 】s h e l b o e ，1 9 8 0 年；强s m i t h ；f o r d ，s i d e ，t 9 8 7 枣等 但向量有理逼近外推方法比较少，主磐有 1 g r a v e s m m o r r i s ，1 9 9 4 年；f 2 】g r a v e s - m o r r i s ，1 9 9 4 年 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 1 2向量有理外推法的定义 设给定一个收敛的向量序列 8 0 ，s i t s 2 ，一，s n 晶一豇n _ 。) 其中蠡c d ，i = 0 ，l ，2 ，亨c 8 是一个常向量，当向量序列( 1 1 ) 收敛速度太慢 时，就自然产生对( 1 1 ) 加速收敛的问题。 如果可求得另一种向量序列 矗) ： 磊一。亨( 礼_ + 。o ) ( 1 2 ) 其中盂c d ，i = 0 ，1 ，2 ，使得 矗) 收敛于f 的速度比 矗) 收敛于芎的速度来得 快，这时候我们称( 1 2 ) 对向量序列( 1 1 ) 进行了加速收敛 如果用多项式方法确定了向量序列 矗 ，我们称该方法为多项式外推法如果 用有理逼近的方法确定了向量序列 磊) ，我们称该方法为有理外推法- 本文用向量连分式插值的方法确定了向量序列 乇) ，方法如下： 设 z 。) 是一实数列， l i mz 。= 。( 1 3 ) x - y o o 定义一插值函数的向量序列 矗( z ) ，使满足 。( 。i ) = 画，i = 0 , i ，- 一，n ，n = 0 ，1 ，2 ，一 如果极限l i m = _ 。o i 。( 。) 存在，那么新的向量序列 “) 构造如下： 磊= 舰矗( 。) 本文的主要结果就是利用t h i e l e 型插值连分式来构造向量序列( 1 5 ) 。 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 3 51 3 本文的结构 在第二章中的第一节申，作者介绍了向量的s a m e l s o n 逆 在第二章魏第二节中，主要讨论基予行魂武公式酶p a d e 逼遂井稚法，宅酶 思想已有文f l l 提出，本文 乍者对文f 1 中提出的思想进行了归纳总结，并给出了 m a r k o v 过程中的一个实际算例 在第二章黪第三节孛，雅孝给爨了基子一簿法均势接法，这融劳箍法实骣上 是一种p a d e 逼近外推法。 在第三霉中静第一节串，终孝务绍了文潮孛舞鸯譬连分式撂绫方法 在第三章的第二节中，讨论并证明了这种向量t h o l e 型遵分式的若干性质。 在第三章酶第三节串俸者建立了两个薪酶离量有理舜箍簿法，这释外推方法 楚建立瘟向量t h m l e 型连分式的基础上，是一融递推算法，便于编程计算。所给 出的算例说明了该算法的有效性 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 4 第二章向量有理外推法的p a d e 逼近方法 本章首先介绍基于行列式公式的p a d e 逼近外推法【1 】，接着给出e 一算法外推 法e 一算法要用到向量s a m e l s o n 逆第三章中的t h i e k 连分式方法也是以向量的 s a m e l s o n 逆作为基础的 52 1 向量的s a m e l s o n 逆 向量的s a m e l s o n 逆被g r a v e s m o r r i s ( 1 9 8 3 年 8 】) 用来构造一元向量连分式插 值公式，被朱功勘，顾传青( 1 9 9 0 年 1 1 ，1 9 9 2 年【1 2 ) ，顾传青( 1 9 9 7 年【1 8 l ，【1 9 ) 用来构造多元向量连分式插值公式矩阵的s a m e l s o n 逆或矩阵的广义逆被顾传青 ( 1 9 9 5 年 1 5 ，1 9 9 6 年 1 4 ，【1 6 】，1 9 9 7 年【1 7 1 ，1 9 9 9 年【2 0 ) 用来构造t h i e l e 型矩阵连分 式插值公式和逼近公式 设向量万= ( a l ，a 2 ，o d ) 和b = ( b 1 ，幻，- ，b d ) ，c 6 定义2 1 向量a 与的5 内积定义为 向量a 的模或绝对值定义为 从( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，得到 万一i = 啦玩 d 司= ( l a d 2 ) l = l d 矿= 2 = 2 = l 这里矿表示a 的共扼向量 引理2 1 设向量d ，i f c o 和复数a c ，那么成立 ( i ) 万b = b 武 ( i i ) ( d + b ) 己= d - f + b 叠 ( i i i ) ( a e ) b = 万( a b ) = a ( a - b ) ； ( i v ) d d + 0 ，五= 0 当且仅当五矿= 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 5 得。 证明性质( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 直接由定义( 2 1 ) 可验证，而性质( i v ) 由定义( 2 ，3 ) 可 在公式( 2 1 ) ，( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的基础上，下面给出向量s a m e l s o n 逆的定义 定义2 2 向量d = ( a 1 ，a 2 ，一，a d ) c 8 的s a m e l s o n 逆定义为： 。 1矿 o 。吾2 萍 其中a 覆若d r 6 是一个实向量，那么 1 la o 乏吾2 再。 例设疗= ( 1 + i ，2 ，3 0 ，它的s a m e l s o n 逆为 儿品= 学 设秽= ( 1 ，2 ，3 ) ，它的s a m e l s o n 逆为 ”。砰2 可2 3 一1 方 ( 1 ，) 引理2 2 设向量万，嚣c 4 ，万6 ，i 瓦且设a r ，a 0 ，则 ! ：；1h d ：a i b 证明因五，i 0 ，由万= a i 可得 一 b a 由( 2 6 ) 的右边，由定义2 2 可得 a 扩伊 丽2 丽 即 一 而2 而 + 阡驴 n = 一= 一 或 萨譬舞 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 6 于是 吲2 面扛譬赤 因此，a = a 瓦其中a = 耻i b l 2 ，( 2 6 ) 的左边得证 g i 理2 3 设冒c 8 ，五6 且 r ， 0 ，贝4 ( i ) ( 五一1 ) 一1 = 碗 ( i i ) ( a ) 一1 = 女( 神一1 证明( i i ) 的结果是显然的，只证( i ) 的结果 设( 万1 ) 。= 由= 由( 2 6 ) 得 再利用( 2 6 ) ，成立 i = a ( d ) 一1 a = ：= ( 万一- ) 一1 o 52 2 基于行列式公式的向量p a d e 逼近外推法 2 2 1 向量值多项式的阶数 定义2 3 设万( z ) = ( a l ( 。) ，a 2 ( z ) ，( z ) ) 是一个向量值多项式，a ( z ) 的阶数 定义为 d e g e ( x ) ) = m a x d e g a l ( z ) ) ，d e 9 口2 ( z ) ) ，一，d e g a d ( x ) ) ( 2 7 ) 例如，设万( z ) ： 。2 一l ，2 z ，1 ) 由( 2 7 ) ，_ 成立 d e g g ( x ) ) = d e g x 2 1 ) = 2 2 2 2 向量的级数与向量序列的关系 设向量值的幂级数为 厂( 茁) = 而+ 西z + 西。2 + - + 磊z ”+ ( 2 8 ) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 52 3 基于e 一算法的p a d e 逼近外推法 由向量序列( 1 1 ) 和向量的s a m e l s o n 逆( 2 4 ) 构造向量的e 一算法如下： 挈) ：0 ，j = 1 ，2 ，3 ， e 铲= 弓，j = 0 ，1 川2 ( 2 3 0 ) e 艘1 = s g + 1 + ( 扩”一s 9 1 ) ，j ，0 定理2 2 如果利用向量卜算法( 2 3 0 ) 构造e 裂过程中没有出现分母为零向量 的情形，则 e 辨= 错 其中 制= 错 是一个阶数为【蔫芋】的向量p a d e 逼近 证明构造向量幂级数( 2 8 ) 的向量一算法为 在( 2 3 1 ) 中令 且 ( 2 3 1 ) 出i ( 。) = 0 ，j = l ，2 ，3 ， 髫( 。) = = o 磊，j = 0 ，1 1 2 ， ( 2 3 2 ) 搬1 ( 。) ：搿( z ) + ( + 1 ( z ) 一( z ) ) ，j ，k 0 而= 而， 磊= 而一l = 磊一再一1 ，i = 1 ，2 ，3 。 根据文【9 中定理3 得贰z ) = 雹爱产是一个阶数为【盟笋 的向量p a d e 逼近 舭2 k 剐牡错 在( 2 3 3 ) 中，令z = 1 成立( 2 3 2 ) ： e 蜜= 蜘= 群 由定理2 2 ，我们可构造外推法2 2 如下 ( 2 3 3 ) ( 23 4 ) 0 引 如 越 眨 j 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 1 3 向量有理外推法2 2 ( 向量- 算法外推法) ： 在向量e 一算法( 2 3 0 ) 中取j = n 第一步：令3 n = 磊，n = 0 ，1 ，2 ， 第二步：求 5 p = ( “l 一硝，n = 0 ，1 ，2 ， 第三步：求 e = e 驴+ 1 ) + 扛p + 一e ( n ) 一1 对k = l ，2 ，进行迭代 s 舞：e 爨：+ ( e 象：一e 袅) _ 。) 一1 则新的向量序列为 磊= 磊埘= e 爨 ( 2 3 5 ) 例2 3 用向量有理外推法2 2 对例2 2 中的向量序列( 2 2 8 ) 进行计算在计 算过程中要用到s a m e l s o n 逆g - 1 = 彝，在( 2 3 3 ) 中取n = o ，k = 1 得 e 乎= 而，e 5 1 ) = 而，e 乎= 而， e ( 0 = ( 而一而) _ 1 2 耳f i 孓壶j 而 = 虹生土等山生业 = ；( 2 ，- i ，一1 ，一1 ，2 ，一1 ，一1 ，一1 ，2 ) ， 1 ) = ( 而一两) _ 1 。再可可与可而 一盟= ! ! ! ! ! ! ! 亡! ! ! ! ! ! ! ! = 型 一 1 8 。 = 3 ( 一2 ，1 ，1 ，1 ，一2 ，1 ，1 ，1 ，一2 ) ， 毛= e 驴) = e 5 1 ) + ( e “一s i 0 ) ) _ 1 = ( 2 ，l ，1 ，1 ，2 ，l ，l ，1 ，2 ) + 平丽丽i 瓦车矿如气i i f f r 玎 = ( 1 ，1 ，】，1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，1 ) 注意例2 3 中由向量有理外推法2 2 得出的结果与例2 2 中由向量有理外推法 21 得出的结果完全相同 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 1 4 第兰章向量有理外推法的连分式插值方法 本章的目的是给出一种新的向爨有理外推法叫h i e l e 型琏分式括值方法。用 这种方法确定新的向鬣序列 磊 ，就是要定义一个插值游数的向量序列 元陋) ，使 五瓤) = 藏，一0 ，1 ，n ，竹= 0 ，l ，2 ，。 劳l i r a 。+ 。毫( 。) 存在，定义 磊一舰赢札= o ，1 州2 一 3 1t h i e l e 型向量连分式插值 给定n 个不同的嶷插值节点 西n ； 敏，i = 0 ，1 ，2 ，却r )( 3 1 ) 和对应的n 个有限的向慧 = 蛾，i = 0 ，t ，2 ，诱= 秽( 魏) r ，( 3 2 ) 葵中每一个海囊磊露应一个捂筐节点5 r i + 所谓向量有理插慎问题就是求一个向量有理函数 荆= 锱， 其中， ( 3 3 ) 费( z ) ：= 7 2 1 ( x ) ，2 ( $ ) ，d ( 茹) r 8 是一个实向量毽多项式，d 。) 是一个实多颈式，搜它们满足- f 别捶值豢传： 瀚) 一渊诋 涔 ( 3 4 ) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 1 5 定义3 1 下列n 阶截断型连分式 引叫。6 “跏h 而吒z o 翥x4 - 衰 ( 3 5 ) 虹【1 2 2 ) + r z ；o lf 35 1 = 品( z ) + 袁嚣+ 皿b 2 ( z o = ，z 2 ) + _ + 丽s - - 面x n - 丽i 称为插值数据( ”，毋) 的n 阶t h i e l e 型连分式插值 下面给出( 3 5 ) 的递推算法，其中主要用到向量的s a m e l s o n 逆( 2 5 ) t h | e l e 型连分式插值的递推算法i ( i ) 初始：定义 对i = 1 ，2 ，一，n ，定义 6 0 ( o o ) = 而 州q ) 。两x i - - x o ( i i ) 迭代：对k = 1 ，2 ，n 一1 ，定义 玩( z o 。1 ) = 符。( 。 ) 对i = 4 - l ，女4 - 2 ，n ，定义 ( i i i ) 结束：定义 则成立 ( 嗣一。女) 矗k ) ( q ) 一琉( z o z l 五( 如。l z n ) = 一“( 。) 砸) = + 而x - - 而x 0 + 丽x - - x l + 2 0 0 3 年上海夫学硕士学位论文 1 6 z 嚣f 姚 铡3 1 设擂值数据( 霄，口) 硝表和计算过程如下 j 丑：址 讥一b o o o j j 三l = 置碰一 州l ( # ) 一爵( z o 。1 ) f # 一2 】 茹蕊i 嚣葛磊i l o 2 i ( o ，o ，0 ) ( 5 ，一，一)( ，一，o ) 一；，o ) ( ；， ) 3 2 ( 器，0 ，景) 曝0 ，；) ( ，；) ( 2 ，1 ，2 ) 表中第四排向量的计算公式为( 用到向量s a m e l s o n 逆矗一l = 影吲2 ) 5 0 ( x o ) b l ( x o x l ) 6 1 ( x o x 2 ) b z ( z o z 3 ) 第五搀蜜簧戆计算公式如下 = ( 0 ，0 ，0 ) 。磊蠢2 ( 1 , - 1 ，1 ) 2 东淼= ( i 7 ，可1o ) = b o ( x 拉3 ) - - 瓿b o ( 一x o 。( ，0 ，；) 毫( 。粥。) = 瓤意鞠= ， ) 如( 掣l 蛳) = 丽$ 沪3 - - 矗x i 两= ( 3 t ；，- 。7 ) 第六排向鼙的计算公式如下： 蟊( z 。，z 。z 。) 2 i i i 磊_ = j ：。j 3 i ：- - j i x ；2 i 而2 ( 2 ，l ，2 ) 3 2t h i e l e 型淘量连分式攘德鑫惫性矮 出铡3 。l 的计算过程对遗分式3 5 ) 磊( $ ) = b o ( z o ) + 可得出下列定义反差商公式 嚣( 嚣8 l 髫2 ) + 4 + 炙( 譬。z l 。# ) ( 3 5 ) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 1 7 定义3 2 给定插值数据汀，毋) ，定义商量的葳差商公式为； z o ；= 最= 竣。o ) 6 。( 。 ) = 试= = 秽( 。 ) ，i = l ，2 ， 5 t 档t 2 瘫 蕊( 郴l 咄) = 石蠢夏烹嚣急磊忑五，l 2 - 下面从反差商公式( 3 6 ) 出发讨论t h i e l e 裂向量连分式( 3 5 ) 的存在性， 转往湮 定理3 1 ( 存在性) 若利用向繁s a m e l s o n 逆( 2 5 ) 得到所有向量 蟊( 茹o 。1 1 ) 0 ，f = 1 ，2 ，n ， 剥连分武( 3 , 5 ) 存在显满足播值条件： 弦( 札) = 晚，i 一0 ，1 ，2 ，n 证磺壶莲推算法2 和定理蠹设条静可褥 磊( 孤) = 品( 如) + 湍十+ 溻。 = ) + 燕嚣+ t ，+ 虹啦血蒜掣生删 = 取茹o ) + 辩b ( x o 血。d = 菇( 锄) = 西，i = 0 ，l ，2 ，一，n ( 3 6 ) 有理性和 定理3 2 ( 有理性) 若对连分式( 3 5 ) 从未项起依次向前施行向量s a m e l s o n 逆变 换2 5 ) ，翔存在蠹垂像多瑗武蔹。) 秘雾多矮式g ( 。) 潘是； ( i ) 矗( z ) 一耪； ( i i ) q ( x ) ff 烈。) r 其中( i i ) 表示存在另一实多项武q ( x ) 使q ( x ) q ( x ) = 苁。) 一 证明用归纳法证明 令 面( $ ) = 矗( 棚。) ，d ( x ) = 1 ， 定理明盈成立 假设当j = 札，n 一1 ，2 ，1 黠，对 d ( 。) = 弓( z 。，一m ，) + 嚣：i x - - _ $ j ( x o x ，丽x j + l + + 夏j ( x 羔o x ，a n ) ( 3 7 ) 口冉l 1 j如 一 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 1 8 成立 烈加锱，砷) l l 费c 刮2 且d ( x ) 是实多项式 注意到当j = 1 ，2 ，- ，时，可推出 舀( 卜1 ) ( 。) = b 。j - 1 ( x o z l q 一1 ) + 赢 = 弛塑型哗帮盟趔 l _ ( z ) p 由此定义向量值多项式武z ) 和实多项式口( 。) ( 3 8 ) i n ( z ) 1 22 蜊d ( 。) 1 ( 3 9 ) f ( z ) = 弓一1 ( x o x l - 。j 一1 ) q ( 。) + ( 窝一一1 ) ( z ) ， 则成立 伊b ) = 籍， 而口( 。) 是实多项式 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 得 i p 和) 1 2 = ( 磅一1 ( z o z l tx j 一1 ) 口( ) + 扛一x j 1 ) 忙) ) 嘶(而-i(z膈ozl一xj-q2i ( x o x l l 臻x ji ) i ；二：端删。+ ( 3 l o ) = 忙) 1 弓一一一+ 0 一。卜1 ) 2 l ( z ) i + ( z x j - 1 ) ( 砖一1 ( 。帆q 1 ) 霄( 。) ) 口( z ) 将( 3 9 ) 的第一关系式代入( 3 1 0 ) 可推出 愀z ) 1 2 ：口2 ( z ) l 弓一1 1 2 + 扛一q 1 ) 2 q ( z ) d ( z ) 十( 。一q 1 ) ( 砖一lt 扫) ) q ( z ) ：口如) 口忙) l 弓一1 1 2 + ( z 一。，一1 ) 2 d 扛) + b 一一1 ) ( b j l ( z ) ) ， 所以，q ( x ) l l p - ( x ) 1 2 成立 最后，在( 3 8 ) 中取j = 1 ，得矗( z ) = 舀( o ) ( 。) 证毕 定理3 3 ( 特征性) 在( 3 5 ) 中令 狮) = 鬻 则 ( i )当n 是偶数时，磊( z ) 具有 n n 型； ( i i )当n 是奇数时，磊( 。) 具有 n n - 1 】型 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 1 9 其中称矗( z ) = 鹣具有 1 m 型是指 成立 d e 9 烈z ) ) f ，d e g q ( x ) ) = m 证明不妨设n 是偶数假设 锱晶川+ 蕊z - - 。x z 。i + d e g ( z ) ) = n 一1 ，d e g d ( 口c ) ) = n 一2 在( 3 8 ) 中取j = 1 ，则 由( 3 1 0 ) 知， 证毕 器锢训+ 蒜十+ 矗( 。o 。1 z 。) d e g q ( x ) = n ，d e g 砍z ) ) = n 3 3向量连分式外推法 定理3 4 设定理3 1 的条件成立，则当n 是偶数时有 证明用归纳法证明当n = 0 时， 晶= 。1 + i r a 。f o ( z ) = 品( z o ) 这里品( 。o ) 是一个数，与x 无关，故( 3 1 1 ) 成立 当n = 2 时， 一 ( 3 1 1 ) + h ( z o x l z n ) 而( z ) = 玩( 。) + 矗x ( 础- x o 。) + 瓦( x - - 叫x ，l 五( 3 i 2 ) + 趾黝现_ k+观掣+ 1 - 曲忙m _ b 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 b 。2 ( z o x ：z ) = 瓮，醑k 蒜， 则成立 而。= g o ( x o ) + 而x - 焉x q 产 = 品( 训+ 而茹觥兰丽 ( 3 1 3 ) _ 晶( z 。) + 氍 设n = 2 ( k 一1 ) 时成立 而( 一1 ) ( 2 ) 一 一 ( 3 1 4 ) g o ( x o ) - 4 - b 2 ( $ o x t x 2 ) + + 6 2 ( 一l 】( x o z l x 2 ( k 一1 ) ) ( z _ ) 由定理3 3 ，而( k 一1 ) ( 。) 具有 2 ( 女一1 ) 2 ( k 一1 ) 型 - 3 = 2 k 时，设 丝盟：， 、+d 2 k - 2 2 b 2 ( z o z l x 2 ) + b 。3 ( x o 。l 。2 2 3 ) + + b 2 k ( x o x l x 2 k ) ( 3 1 5 ) 注意到( 3 1 5 ) 中厩k 一2 d 2 k 一2 与( 3 1 4 ) 中而一1 ) ( 。) 的阶数是一样的，都具有 2 ( 一1 ) 2 ( k 一1 ) 型，故由归纳假设( s 1 4 ) 得出 2 k 一2 虿i i 矗帆棚舭m 训+ 砸如俩m 刊1 6 由( 3 1 3 ) 的证明和( 3 1 6 ) 可推出 嘞( z ) = 品( z 。) + # b l ( x o 址x t ) + 型 函训+ 而辩 _ 品( 。) + 糕 = 玩( 。o ) + 而( z o 。l 。2 ) + + ( 茁o z l - - x 2 k ) ( 。 。) 由9 - 3 纳法，( 3 1 1 ) 得证证毕 2 0 0 3 睾上海大学硬圭学位论文 2 1 出定理3 。和蘸磷酶复差商公式( 3 6 ) 得盘第一令海量透分式井箍法 向慧连分式外报法3 1 令 露= 而， 毛= 毳， 露= 靠，k = 1 ，2 ， 耋k 是偶数醅成立 零2 磊。k - - = z 霹- _ l 蘸= 雄+ 磊一2 铡3 2 设 置= ( 1 2 2 ，1 2 。) ，i = 0 ，1 ，2 o o 。0 ，o t = l ，茹2 2 2 + 由向量连分式外推法3 1 得 露= 而= ( 1 1 ) 霄= ( ；， ) 霉= ( ， ) 露= 赫 to = 蕊与= 商一掣= ( _ 1 1 1 ) 霉。稀2 r 与。一；南5 一弛i ) f 一t 一参 霉= 耥2 再狮i = 碍b 。一3 学= ( 一，一；) 疋= 露十菇= ( 一；，一2 ) + ( 1 1 ) = ( 一i ，一；) 为了 a 晦量连分式静第二令算法，1 ：委；| 入蠢鬣静餐麓裔公式 定义3 3给定括值数据( ”，”) ，向量的倒差商公武递推地定义如下： e o ( x o ) = 谝= 秽( 茹o ) ， 南( 蛳) = 褫= 承瓤) ，= 1 ，2 ， 百l ( 。o 。1 ) 2 蕊嚣瀣葡， 藏( 茁。搿i 瓤) = 薪= t 石罚= 石耋篙子笔奇可面石而+ 西一2 ( 知z l 研2 ) ， f 2 3 1 7 ) 以倒差商公式( 3 1 7 ) 可得出下面昀算法 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 向量连分式外推法3 2 令 当k 是偶数时成立 注意在算法3 1 中 在算法3 2 中 = 而， = 雷 _ = s k = 百x k 丽- - x k - i ， = 骝+ 蓑耪 最= 露+ 最一2 k = 1 ，2 ， k = 1 ，2 ，t j = 2 ，3 ，- 一，k 瓦( z o z l ) = 露，k = 0 ，1 b o ( x o ) b l ( x o x l ) b e ( x o x i = 霜 = 司 ) = 露一2 k k 一- 2 2 ，k = 2 ，3 因此，由( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 知，对算法3 1 和算法3 2 均成立 当n 是偶数时， 磊= 面向o ) 十民( z o z l 。2 ) + + 蠢( 印。1 。) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 霜t。露露雩 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 3 3 4 数例 知 一 o l 2 倒3 3设第二章佣2 2 串酶兰状态酶m a r k o v 链酶海量序列为 露一蠢= ( 靠，d k + l ，靠+ 1 ，d k + l ，d k ，d k + i ，d k + l ，d k + l ，a k ) 巅= l + l 等等】，k = o ，1 ，2 ，+ 用算法8 2 ，取o = 0 ，。1 = 1 ，。2 2 ，计算过程列表如下 露霹霹 ( o ，t ，l ，1 ，0 ，1 ，1 ，1 ，o ) ( 2 ，1 ，1 ，l ，2 ，l ，1 ，1 ，2 ) ( 2 ，3 ，3 ，3 ，2 ，3 ，3 ，3 ，2 ) ；( 2 ，一l ，一l ，- 1 ，2 ，一l ，一l ，- 1 ，2 ) 1 9 ( 一2 ，1 ，1 ，1 ，- 2 ，1 ，1 ，1 ，一2 )击( 2 ，5 ，5 ，5 ，2 ，5 ，5 ，5 ，2 ) 将三状态的m a r k o v 链酶向量序歹还原为短阵序瓢，诗箨过程到表如下 k 圣ittl 0 2 引1 引去畦| | o 2 o ，2以以， p。，。，；。，l。，。，。；l 2 9 4 ， 1l，；j，；，1，j l l 0 l 1 2 3 3 2 1 0 1 1 2 l 3 2 3 o l l 2 1 l 2 3 3 r，；：【_。，l r，。l l i l 一4 l s 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 4 参考文献 1 】p r g r a v e s - m o r r i s ，ar e v i e wo f p a d em e t h o d sf o rt h ea c c e l e r a t i o no fc o n v e r g e n c e o fas e q u e n c eo fv e c t o r s ，a p p l i e dn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ，1 5 ( 1 9 9 4 ) ，1 5 3 - 1 7 4 2 1 p r g r a v e s m o r r i s ，an e wa p p r o a c ht oa c c e l e r a t i o no fc o n v e r g e n c eo f a s e q u e n c e o fv e c t o r s ，r e p o r tn o n a 9 4 - 4 1 ，1 9 9 4 u n i v e r s i t yo fb r a d f o r d 3 】r p e d d y ，c a u s e sa n dc o u n t e r m e a s u r e sf o rp i n g - p o n go s c i l l a t i o n s i nt h eo u t p u to ft h ed x - d x g f f l sd d 0 7c o m p u t e rp r o g r a m ( a p p e n d i xa m a t h e m a t i c a lt h e o r y o fi t e r a t i o n ) ，t e c h n i c a ln o t ea m l - 3 5 6 8 ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sl a b o r a t o r yn a v a ls h i p r e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n tc e n t e r ，w a s h i n g t o n ，d c ( 1 9 6 8 ) 4 】r p e d d y , e x t r a p o l a t i n g t ot h el i m i to fav e c t o rs e q u e n c e ，i n ：p c - c - w a n g ，e d - t i n f o r m a t i o nl i n k a g eb e t w e e na p p l i e dm a t h e m a t i c sa n di n d u s t r y ( a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 7 9 ) 3 8 7 3 9 6 5 】m m e s i n a ，c o n v e r g e n c ea c c e l e r a t i o nf o r t h ei t e r a t i v es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n s x = a x + ，c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g 1 0 ( 1 9 7 7 ) ，1 6 5 1 7 3 6 】s s k e l b o e ，c o m p u t a t i o no ft h ep e r i o d i cs t e a d y s t a t er e s p o n s eo fn o n l i n e a xn e t w o r k sb ye x t r a p o l a t i o nm e t h o d s ，i e e et r a n sc i r c u i t ss y s t 2 7 ( 1 9 8 0 ) ，1 6 1 1 7 5 7 】d a s m i t h ，w f f o r da n da s i d i ，e x t r a p o l a t i o nm e t h o d sf o rv e c t o rs e q u e n c e s ， s i a m r e v 2 9 ( 1 9 8 7 ) ，1 9 9 - 2 3 3 8 】p r g r a v e s - m o r r i s ，v e c t o r v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t si ，n u m e r m a t h ，4 2 ( 1 9 8 3 ) 3 3 1 - 3 4 8 9 】p r g r a v e s m o r r i s ，v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li i ，i m aj n u m e r a n a l 4 ( 1 9 8 4 ) ， 2 0 9 - 2 2 4 1 0 p r g r a v e s m o r r i sa n dc d j e n k i n s ，v e c t o r v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t si i i ， c o n s t r a p p r o x 2 ( 1 9 8 6 ) ，2 6 3 2 8 9 1 l 】朱功勤，顾传青，二元t h i e l e 型向量有理插值， 计算数学，3 ( 1 9 9 0 ) 2 9 3 3 0 1 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 5 1 2 朱功勤，顾传青，向量连分式逼近与插值，计算数学，4 ( 1 9 9 2 ) ，4 2