（计算数学专业论文）二维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式.pdf

二维半线性抛物型方程的紧交警方向差分格式中文摘要 论文题目：二维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式 专业：计算数学 硕士生：白文静 指导教师：朱庆勇教授 中文摘要 本文研究了二维半线性抛物型方程 詈一曙芬) = ，( 心( 圳出( o ，叫， 铭( 茗，夕，o ) = 驴( x ，y ) ，( x ，y ) q ， “( 五y ，f ) = ( 五y ，f ) ，( 五y ) r o f r 的紧交替方向隐式差分格式。其中，嘶力，矿( 纠t ) 和厂( x ) 是给定的 函数，r 是q = ( o ，1 ) ( o ，1 ) 的边界首先，对反应项应用t a y l o r 展式 进行线性化，导出了一个紧差分格式并给出了截断误差的表达式； 接着，弓j 进过渡层，得出了一个紧交替分向差分格式，并给出了有 效的算法；然后，应用能量分析法得到截断误差在k 范数下的一 个估计式，利用这个估计式得到了紧交替方向差分格式的可解性、 稳定性以及收敛性，在离散的日1 范数下的收敛阶为d ( f 2 + 矿) ；最后， 数值例子验证了理论结果。 关键词：二维半线性抛物型方程，紧交替方向差分格式，收敛性， 稳定性 第1 页 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：良支静 日期：川年 o ，使得对v ( 五y ，f ) 五【o ，r 】有 m a x l 器l ，l 剖，f 剖，l 剁，l 剖，l 铡，1 剖) o ，使得嚣p “y 。s g ，则当办，f 充分小时，有 m a x 忖k c ( j l l 4 + f 2 ) 其中c o 是与五，f 无关的常数。 证明：将差分格式( 2 1 1 7 ) 简单移项后可写成如下形式 似乒= ( 鹾牡彳亏纠+ 彻l ( 噶) + 训瞄) 4 纠+ 再注意到算子a 与b 的定义，可知 彳呓= ( 1 + 鲁 噶， b 噶= ( t + 鲁影) ，嘻 代入上面两式，则差分格式可继续改写为如下形式 心谬矽 = ( + 鲁) 乒+ 蟛( t + 笔 + ( 1 + 鲁) ( + 鲁亏h ( 瞄) + 主( 瞄) 巧 + ( 2 1 一1 7 ) 记解吒= “( 薯，乃，k ) ，由紧差分格式的构造方法及假设h 1 ) 可得 第2 3 页 = 维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式第三章差分格式的解的性质 睢) ( 1 + 剀4 = ( - + 鲁彭) 嘭毛+ 彭( - + 鲁 嘭哇+ ( + 鲁 ( ，+ 鲁彭 厂( 瑶) + 三( 瑶) 4 嘭弓 ( 3 2 1 ) u ；= 伊( t ，y ，) 哟= ( 五，乃，气) ，( f ，j f ) 乃o 七玩 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 将( 3 2 一1 ) 一( 3 2 - 3 ) 分别减( 2 1 1 7 ) k ( 2 1 1 9 ) 得 ( + 鲁 ( + 鲁母) 4 = 辞( + 鲁母 + 小篙霹) + ( t + 兰) ( + 主彭) ( 嘭) 一厂( 菇) + 三( ( 嘭) 4 以专一( 嘭) 巧菇哇) + 弓 ( 3 2 4 ) 穹= 0 o f 现 葛= q ( 力乃o 七跟 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 将( 3 2 4 ) 两边乘以办2 巧圭，并对f ，从l 到m 1 进行求和，得 铲茎 ( + 鲁 ( + 鲁母) 4 苟毛 苟弓 = 炉茎 ( - + 鲁母) 葛哇 + 炉茎 母( t + 鲁簿 艺弓 乒 埘缸斟，+ 鲁彬m 一( 讣乏4 - ( 伽心乒 + 2 茎菇弓4 弓弓 = ( i ) + ( i i ) + ( i ) + ( r 叻 其中 舻厅拳悖户p ，( 渺孙雌刮f ， 第2 4 页 ( 3 2 7 ) 二维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式 ( ) = 炉 j = lm 剀p f 1 = j j l 2 y 、，_一 f - l 棚一l f ) = j i l 2 y 、 ，一一 第三章差分格式的解的性质 删4 珊乒 我们对七( o 后s 疗) 用第二数学归纳法来证明该定理。当七：o 时，显然 p k = o 作归纳法假设：设存在常数c 使得 数0 k o 步则是利用了引理2 、4 。 类似于上面的处理方法，我们用带s 的y o u n g 不等式处理形式较为简单的第 四项，并考虑到卜l c ( 矿+ ，) ，则有四项，并考虑到i i ，则有 ( 啪墨毋4 刊h | 2 + c ( 附) 2 组2 m ) 处理完每一部分之后，将( 3 2 8 ) 一( 3 2 1 1 ) 代入( 3 2 - 7 ) 中，则有 吾0 谚p i 丢1 1 2 一乏【_ ( i p t + 1 i ；一l p i ：) + 7 f 0 4 p t 弓0 2 + c a p i + 1 i ：+ i p l ：) + c ( 4 + f 2 ) 2 取占= 去代入上式，则不等式左右可以消掉带有盼e q i l 的项，因此就有 占= 一 ”， 取2 l 代入上式，则不等式左右可以消掉带有0 的项，因此就有 l e t + 1 i i i e i ；c f ( i p i + 1 1 2 + i p i ：) + c f ( 4 + f 2 ) 2 ， 移项整理，也即 ( 1 一c f ) i p i “i ：( 1 + c f ) i p 1 2 + c f ( j i l 4 + r 2 ) 2 l 则当f 瓦时，由离散的g m i l w a l l 不等式( 见引理7 ) 及( 3 2 5 ) 得 再由引理6 即可得 p i 。c ( n f 2 、， l 矿1 i l c ( 4 ) 因此，归纳假设( 幸) 对后+ 1 也成立。由归纳法知结论成立。 定理证毕。 3 3 解的无条件稳定性 为了讨论差分格式( 2 1 - 1 7 ) ( 2 1 1 9 ) 的稳定性，考虑初边值问题 第2 8 页 = 维半墁性糖物型方程的紧变替方向差分格式日互】卫皿图1 1 d 、图i2 - 1 和图1 3-1分别给出了c制格式下的二阶精度的算法得 出的在t ；l 时取 2 1 ，1 0 ，f2 l ，1 0 0 、 5 l 2 0 ，f2 1 ，4 0 0 和 2 l 4 0 ，f 2i，1600时的误差曲面。图1l _ 2 、图l2 _ 2 和图1 3 - 2 分别给出了本文格式下的算法得出的在f = i 时，取 2 l ，1 0 ，r 2 l ，1 0 0 、 2 1 ，2 0 f 2 1 ，4 0 0 和 2 l ，4 0 f = l 1 6 0 0 时的误差曲面。 从每对图形的对比中，同样可以粗略看出本文的差分格式所得出的误差较c 珀n k 删洲s 基础上的格式所得出的误差小。比如图l1 q 的左端坐标在l 5 以下，而图l l - 2 的左端坐标则基本在1 0 左右，最为显著的是13 q 和1 3 _ 2 的对比，两者的左端坐标数量级已经不同，这是因为髓着步长的成 倍缩小，本文的差分格式的收敛速度明显快于后者：空白j 步长每缩小为原来 的l，2，本格式的最大误差就会减小到116，而后者则是减小到l4。图1 1 1 算例1 取 2 1 1 0 ，f 2 1 1 0 0 时在c = l 时间的误差曲面( c 制)第3 3 页 垂黧冀鹱蘸萋蠢雾塞霎霎露鏊囊! 差鍪 曩蘸震 藜霪囊萋鬟囊 x 二维半线性抛馅型方程的紧交警方向差分格式第口章敷值算倒 图13 _ 2算例1 取 5 1 4 0 ，f 2 1 1 6 0 0 时在t ：】时问的误筹曲面( 紧) 算例2 ： 坼“= p 1 + 2 e 。”( 王y ) ( q 1 ) ( q 1 ) ，f ( 0 1 ) “( 置弘o ) = l i l ( 1 + x + y )( y ) ( o ，1 ) ( 0 ，1 ) “( o ，y ，r ) = 1 n ( 1 + y + f ) ，h ( 1 ，y ，f ) = l n ( 2 + y + f )y ( q 1 ) ，f ( 0 ，1 ) “( 0 ，f ) = 1 1 1 ( i + z + f ) ，h ( l f ) = 1 1 1 ( 2 + z + r )x ( 0 1 ) ，f ( 0 1 ) 咳问题的精确解是“( z ，y ，f ) 2 l n ( 1 + x + y + 。 与算例1 完全类似，表2 1 给出了取窄日j 步长h - l 1 0 ，空r j 步长 f = 2 = l 1 0 0 时计算得到的部分数值结果。表22 给出了取不同步长时数值 解的最大误差 e ( 2 翟蟹，y ， ) 一 第3 6 页 二维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式 第四章数值算例 以及最大误差比。 表2 1 算例l 部分结点处数值解、精确解和误差的绝对值( = l 1 0 f = 1 1 0 0 ) 上表中，数值解1 表示c 剞格式下的二阶精度的算法得出的结果，数值解2 表示本文的算法得出的结果。 表2 2 算例1 取不同步长时数值解的最大误差已( ，r ) 从表2 2 同样可以看出，当空间步长减少到原来的1 2 ，时间步长减少到原来 的1 4 时，依然可以看出最大误差约减少到原来的l 1 6 图2 卜l 、图2 2 1 和图2 3 1 分别给出了c 埘格式下的二阶精度的算法得 出的在t ：1 时取l l = l 1 0 ，f = l 1 0 0 、j l = 1 2 0 ，f = l 4 0 0 和| i l = l 4 0 ，f = l 1 6 0 0 时 的误差曲面。 第3 7 页 二维半线性抛物型女程的紧空瞀方向差分格式 第口章数值算倒 剧22 一l算例2 取 2 l 2 0 ，f 2 1 4 0 0 时在t ：l 时问的误莘曲面( c - n ) 圈22 _ 2葬例2 取 2 l 2 0 ，f 2 1 4 加时在t ：1 时间的误差曲面( 紧) 第3 9 页 。拍 ： ， 帖 o ， 二维半线性抛铀型方程的紧交替方向差分格式 第日章敲值算倒 幽23 1算例2 取 2 1 ，4 0 ，f 2 l 1 6 0 0 时存t ：1 时问的误差曲面( c 刊) 图23 - 2算例2 取 2 1 4 0 ，f 2 l 1 6 0 0 时在t ：1 时问的误差曲面( 紧) 第4 0 页 二维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式 结论 结论 本论文主要是在【2 3 】、【2 7 】和 2 8 】的结论的基础上，对紧方法升商了维毅， 研究了二维的半线性的抛物型方程的紧差分格式及交替方向算法，以及该差 分格式的解的一些性质。 相对于一维的半线性模型及二维的非齐次模型，在进行本论文时遇到的 问题有以下几点： 1 在建立交替方向的差分算法时，寻找交替层是一个难点，二维的非齐次模 型的交替层建立是为了将算子彳、b 分离开来并且将彳与彰搭配，将曰 与谚搭配，采用的方法是配了不影响收敛阶数和解的性质的一个极小项 丢f 2 影每“，并将差分格式中剪的系数分解成了两个因式相乘的形式： ( 么一三) ( b 一三影) 。而在本论文中，还需要将魑 ( t 一三“，) 蚶 中的 ( 1 - 乏( “：与；1 分开再作用算子_ 、丑，因此在分解因式时除 丢f 2 母巧；外，受反应项的影响，还另配了其他三项等矽厂( 磋，) 、 ；磷厂( 吒) “和詈彩谚厂( 吒) ，并将差分格式中瞄+ - 的系数分解成 了三个因式相乘的形式；( 彳一三) ( 曰一三) ( e 一三厂( 心) e ) 。 2 在证明关于误差的定理时( 即定理1 ) ，式( 2 3 7 ) 中的( 1 ) 和( 1 1 ) 两项虽然 在【2 9 】中也有，但处理方法略有不同，本论文是用带占的y o 咖g 不等式进 行处理的后半部分；第( 1 1 1 ) 部分则是由源项引起的，本论文主要参照 2 3 】、 【2 7 】、【2 8 】、【3 1 】，首先单独利用中值定理处理了反应项，然后作了类似于 ( i ) 和( 1 i ) 的处理。最后得出了与一维半线性方程【2 7 ，相同的不等式，进而 第4 l 页 二维半线性抛物型方程的紧交替方向差分格式结论 得出了结论。 3 在编写程序时，与线性的相比，由于本迭代格式左端即具有第k - 1 层的因 式( e 一主厂) 引，又具有所求的第k 层的因式，在处理边界条件是极易产生 混淆，需要细心修改调试。 论文取得了一定的成果，但由于时间紧迫以及本人的经验不足等原因， 还存在着一些不足之处，可从以下几个方面继续深入研究和探讨： 1 交替方向算法部分，可以考虑其他交替格式，诸如p r 交替方向隐格式， 本文用的是d 物勋以d y 交替格式，更易于将此差分格式推广到本问题的三 维情况。 2 可以考虑更加复杂、实用的数值算例，本算法的程序考虑情况有限，仅可 用于本文中的数值算例。 曼2 1 1 塑 3 在本论文中，为讨论的方便起见，叙2 和砂2 的系数均取了1 ，可以考虑 常系数：系数分别为常数口和6 ，及变系数：系数分别为口( 工，y ，f ) 和6 ( x ，y ，f ) 的情况。 第4 2 页 二攀景 萋脚硼确增再醺蒿鍪薹薹蓄霉覃i 霪 碍萋醯鬟m 鄹f 娶哪h 囊篓囊薹冀囊 萎囊