（机械设计及理论专业论文）微机电系统中微梁变形行为的尺度效应.pdf

c a t e g o r yd i s c i p l i n e ： e n g i n e e r i n g d i s c i p l i n e ： m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g s p e c i a l t y ： m e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y r e s e a r c hf i e l d ： c o m p u t e ra p p l i c a t i o no nm e c h a n i c a l e n g i n e e r i n g g r a d u a t o r ：c h e nm e i q i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r s uj i l o n g s u b m i t t e dd a t e ： a p r i l ，2 0 10 c o l l e g eo f m e c h a n i c a l & e l e c t r i c a le n g i n e e r i n g ， f u j i a na g r i c u l t u r ea n df o r e s t r yu n i v e r s i t y , f u z h o u , f u j i a np r o f c h i n a , 3 5 0 0 0 2 枣s t a t en a t u r a ls c i e n c ef u n d ( n o ：10 9 7 2 0 5 6 ) f u j i a nn a t u r a ls c i e n c ef u n d ( n o ：2 0 0 8 j 0141 ) 他人知识产权的行为，由本人承担应有的责任。 学位c 论文储亲笔躲储 论文使用授权的说明 日期：劢。修 本人完全了解福建农林大学有关保留、使用学位( 毕业) 论文的规定，即学 校有权送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 保密，在 年后解密可适用本授权书。 口 不保密，本论文属于不保密。 口 学位( 论文储亲笔躲俅嬲嗍砌，多 指导教师亲笔 阻彳 日期：伽f 。，一6 一容 3 4 静电驱动微梁静力分析2 4 3 4 1 微悬臂梁变形分析2 4 3 4 2 两端固支微梁的变形分析2 5 3 5 本章小结2 7 4 微梁驱动结构的动态特性分析2 8 4 1 微梁的动态耦合过程2 8 4 2 静电驱动微梁的振动理论分析3 1 4 2 1 微悬臂梁的自振频率和振型3l 4 2 2 两端固支微梁的自振频率和振型3 2 4 2 3 微梁振动固有频率的尺度效应3 3 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微粱变形行为的尺度效应 4 3 微梁基于t r a n s l 2 6 单元的模态分析3 3 4 3 1 微悬臂梁的模态分析3 4 4 3 2 两端固支微梁的模态分析3 6 4 4 微梁基于t r a n s l 2 6 单元的瞬态分析3 8 4 4 1 微悬臂梁吸合时间分析3 8 4 4 2 边界条件对吸合时间的影响3 9 4 5 本章小结4 0 5 微梁静态挠度变形尺度效应的解析分析4 1 5 1 微梁材料特性一有效弹性模量的尺度效应4 1 5 1 1 微梁有效弹性模量的尺度效应理论分析4 l 5 1 2 微梁有效弹性模量静力分析中的效应影响4 3 5 2 微梁的变形分析4 4 5 2 1 微梁的横向振动方程4 4 5 2 2 静电驱动下微梁的变形解析分析模型4 6 5 3 静电驱动下微梁的变形解析模型求解实例4 8 5 3 1 有限元t r a n s12 6 单元模拟仿真。4 8 5 3 2 数学解析模型计算实例4 9 5 4 本章小结51 6 总结与展望5 2 参考文献5 3 攻读硕士学位期间正式发表的学术论文5 6 致谢! ；7 福建农林大学硕士学位论文 微机电系统中微粱变形 摘要 在微机电系统( m e m s ) 中，当微结构尺寸减小到微米量级后，其力学和物 与块体结构不同的特性，具有一定的尺度效应。由于静电驱动微梁常作为驱动 其尺度效应的研究具有重要意义。 本文主要分析了静电驱动器中常用机构悬臂梁和两端固支梁的静、动态中 应。首先，分析微梁的吸合效应现象，建立其临界电压和临界挠度的数学模型， 中的直接耦合粕r a n s l 2 6 降阶单元，建立微梁的机电耦合模型，得出了几 微梁吸合效应的影响。 其次，基于微梁在变时载荷下的振动理论，采用t r a n s l 2 6 降阶单元，经 找到电压与挠度的收敛点，得到微梁的振动固有频率和吸合时间，同时建立了 材料的特征长度的固有频率与厚度之间的定量关系分析模型。 最后，基于微梁外形尺寸进入微米量级后而导致力学行为的尺度效应，建立了微梁挠度 变形的静态变形解析分析模型，将静电力作用下梁弯曲理论与幂级数展开式、欧拉降阶公式 和微梁的边界条件进行结合，提出了一种考虑尺度效应的分析微梁挠度变形的近似算法。得 到了微梁在低压驱动下的近似解析模型。 通过以上数学模型和a n s y s 分析结果可知，当微梁的结构尺寸减小到可与材料的特征长 度相比较时，材料和力学特性将体现出一定的尺寸效应。 关键词：m e m s ；尺度效应；微梁；有限元 t h em i c r o - b e a md e f o r m a t i o n ，a n da p p r o x i m a t ea n a l y t i c a lm o d e lo fm i c r o - b e a mu n d e rt h e l o w - v o l t a g ed r i v e ni so b t a i n e d b a s e0 1 1t h er e s u l t so ft h em o d e l sa n dt h ea n s y s ，i ts h o w st h a tt h em a t e r i a la n dt h e m e c h a n i c a lp r o p e r t i e sw i l lr e f l e c tt h es c a l ee f f e c tw h e nt h em i c r o - b e a ms t r u c t u r a ld i m e n s i o n d e c r e a s e st ow h i c hi tc a nc o m p a r ew i t hc h a r a c t e r i s t i cl e n g t h k e y w o r d ：m e m s ；s c a l ee f f e c t ；m i c r o - b e a m ：f i n i t ee l e m e n t i i 福建农林大学硕士学位论文 微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 1 绪论 1 1 微机电系统中微粱变形行为的尺度效应研究意义、 微电子机械系统( m e m s ，m i c r oe l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m ) 是将微型传感器、微执 行器、信号处理、控制电路集于一体的微型系统，是微机械与微电子的有机集成。其外形特 征尺寸在亚微米与毫米之间，如图1 1 所示，与一般宏观尺寸系统( 即传统的，外形特征尺 寸大于1 毫米尺度的机械系统) 有较大的区别。m e m s 自2 0 世纪6 0 年代问世以来，已备受 人类的关注。由于其超小体积及其独特的高智能集成系统，使其在信息、生物医学、卫生保 健、航天工业、消费产品等军事，工业和民用的多个领域中有着广泛的应用前景。 在微观领域中，微器件的尺寸急剧减小导致与尺寸相关的机械量和物理量发生相应的变 化，某些材料性能参数和成形工艺参数不是简单地按照相似理论增加或减小，材料流动应力、 不均匀性、延展性、表面缺陷数、晶格层错、介质不连续性、量子效应等方面，与宏观领域 相比存在着较大的差异，甚至出现相悖的现象。这些现象都表明当微结构尺寸达到微米量级 后，其宏观力学和物理性能表现出与块体结构不同的特性，即具有一定的尺度效应曙圳。脏m s 系统结构尺寸减d , n 微米量级时，许多物理现象将呈现出尺度效应，对经典理论提出挑战， 则不能直接应用宏观领域中的常规理论，需要对其进行修正。由于器件结构尺寸小，使其物 理性能及变形行为与尺度效应密切相关，因此加强对微结构变形行为的尺度效应的分析研究 具有十分重要的意义。目前，对肛m s 的研究还只是依赖于具体的情况，仅针对某一特定条 件的系统分析研究，缺乏一个完善的研究体系，这将成为m e m s 长足发展的一个“瓶颈川副。 肛m s 理论研究领域中的共同特征“微”，表明在微电子机械系统的设计和研究中占主导因素 的就是尺度因素，因此加强对尺寸效应分析研究具有重要的意义。 皿m s 器件的材料和力学特性都是影响皿m s 稳定性和可靠性的重要因素，但是由于器件 结构尺寸的不同，同样的材料制备出的器件也会体现出不同的特性，所以微机电系统的力学 特性检测是十分必要的。尽管现在对薄膜的力学行为和测试技术已经进行了大量而广泛的研 究工作，对薄膜与大块材料在力学行为之间的差异已经有了一定程度的了解，但随着肛m s 技术的迅速发展和各种新型薄膜材料的不断涌现。必将对薄膜材料的性能与可靠性提出更高 的要求，并且已有的相关研究数据是在各自不同的工艺条件、试样尺寸和测试仪器下获得的， 缺乏通用性和权威性哺1 ；另外已获得的数据从品种、项目上都很不完全，远远不能满足应用 需要；而最主要的是随着m e m s 技术的发展，新材料、新工艺层出不穷，原有的测试方法缺 乏通用性。 综上所述，随着魉m s 的发展及其广泛应用，在脏m s 产品的设计开发及性能测试中，加 强对m e m s 力学性能与尺寸效应的研究是具有重大意义。 应 改 艇m s 元件及其之间的间隔尺寸都处于微米量级，此时材料的部分参数将呈现出显著的 尺寸效应，甚至在宏观领域内材料所测试获得的许多性能参数在m e m s 的设计和应用过程中 并不完全适用。尺寸效应的研究是为了了解在自然现象中哪些物理量发生作用及作用大小的 一种有效方法口1 。 在微机电系统中，静电力执行器所产生的静电驱动力与特征尺寸有关，即作为驱动力的 静电会随着执行器的尺寸的变化而变化，由已有的研究表明陋1 ，静电力电的尺度效应表现为： 其大小与特征尺寸平方成正比，在微尺度小将显得更为有力。这也正是在微机电系统中为何 经常用静电力作为驱动力的原因。 1 2 2 耦合场分析 耦合场分析悖1 是指分析考虑了两个或多个工程物理场之间相互作用的分析。电场，温 度场，机械场，应力场，湿度场等均属于物理场。例如机电耦合分析，则考虑了机械场 2 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 与电场间的相互作用的分析。还包括流体一结构分析，热一应力分析，热一电分析等例子。 耦合场分析过程主要依赖所耦合过程中包括哪些物理场，但明显可分为两类：顺序耦合 和直接耦合旧1 。 ( 1 ) 顺序耦合法是指相互耦合的物理场按一定的顺序排列分析，前一个耦合场的分析 结果作为下一个耦合场的载荷输入的过程。它适用于多场的相互作用非线性程度不是很高的 情况。 ( 2 ) 直接耦合法采用一个包含多个自由度的耦合单元进行的分析过程，它使用耦合变 量一次求解得到结果。它适用于高度非线性的耦合场间的相互作用过程。 针对m e m s 构件工作时机械场与电场相互作用的非线性耦合复杂过程，更适合采用a n s y s 中直接耦合法t r a n s l 2 6 单元进行机一电耦合进行分析。 1 2 3 有限元t r n s l 2 6 换能器单元分析 本文采用有限元a n s y s 软件模拟分析m e m s 驱动微梁的尺度效应，静电驱动微梁工作过 程中涉及两个物理场之间相互作用，即机械场和电场相互耦合过程。根据直接耦合法的特点， 本文将采用直接耦合法的t r a n s l 2 6 降阶单元进行模拟分析。 蛄 t r a n s l 2 6 换能器单元是一个“降阶”单元，可用以在结构有限元分析或集中参数电子 机械设备仿真中作换能器。“降阶”意指电子机械设备的静电特征被以在一个位移范围上的 电容表示出来，并用一个简单的梁一样的单元来处理。图1 - 2 描述了一个在静电分析中计算 设备电容、计算在个运动范围( 图中的参数d ) 内的设备电容、并合并这些结果以作为换 能器单元的输入参数的典型过程。可以用e m t g e n 命令在一个移动结构的表面及一个平面( 如 地平面) 间产生一系列t r a n s l 2 6 单元。这样布置允许对间隙与结构的所有表面相比较小时 对静电一结构进行全耦合模拟。典型应用包括加速度计、开关及微镜装置。 d 发生变化 静电有限元模型 ( 平行板电容器) 电容 _ _ - _ _ - _ 卜 图1 2 提取电容的步骤 3 lz t r a n s l 2 6 单元 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 1 3 微机电系统微梁变形行为的尺度效应国内外研究现状 1 3 1 微机电系统微粱交形行为的尺度效应国外研究现状 p e a r s o n n 州等人采用弯曲实验测量硅晶体的力学性能，与拉伸法相比，弯曲法对于测量 微小器件和较小力引起较大变形更容易实现，大多适用于双层微梁、微悬臂梁、薄膜等试件 结构形式； m a h a q u e n 等人采用t e m 对a 1 试件进行分析研究从而获得弹性模量和屈服强 度的尺度效应；s u n n 幻等人采用有限元分析了薄膜的膜内应变情况，由于受到计算厚度的影 响，其分析结果并未体现出材料参数对微系统的影响；e c k s t e i n 和e n g e l 副等人分析了薄板 弯曲过程中的尺寸效应现象，当微梁厚度大于3 5 个以上晶粒时，弯曲力随着板厚的增大 而增大；当微梁的厚度减小到可与晶粒尺寸相当时，弯曲力随着薄板厚的减小而略有增加。 荷兰r a u l e a n 引等采用单轴拉伸实验和弯曲实验从板厚与晶粒尺寸之比的角度对试样变形性 能进行研究。得到结论：当晶粒尺寸小于板厚时，随着板厚方向晶粒数量的减少，屈服强度 和抗拉强度减小；而当晶粒尺寸大于板料厚度时，屈服强度随着晶粒尺寸的增加而增加。 f l e c k 和h u t c h i n s o n n 钉基于t o u p i n - m i n d l i n 简化的偶应力理论提出了分析微尺度结构的相 关理论，即应变梯度塑性理论。在经典塑性理论基础上结合考虑应变梯度的影响，理论预测 分析结果与实验结果基本一致。d o m i n i c u s n 叫等人采用松弛迭代数值的计算方法对静电驱动 下微梁进行挠度计算，将气隙电容的数值分析与质量一弹簧体体系结果相比较，发现两者的 结果相吻合；s t o k e n 瞳1 等人在超薄梁实验中采用高纯度镍进行分析，结果表明当微梁厚度越 接近高纯度镍材料的特征尺寸时，微梁表现出越强的尺度效应现象；e l m e r m 等人采用边界 元和g a l e r k i n 有限元对微梁变形挠度进行计算，发现降阶模型模拟的时间减少，且误差不 到2 ，模拟结果与实验结果较吻合；b e l a i d i n 蚴3 等对静电驱动微梁的变形分析建立了等 效的电荷分析模型，采用表面电荷法、有限元、自洽等数值求解方法，得到结论静电力随着 间隙的减小作非线性变化：国外学者d a n i e l 乜卜圳等学者对微梁运动特性的分析研究采用了模 糊图像分析、激光多普勒、频闪成像、正弦相位调制等平面运动特性测试技术和离面运动测 试技术方法，但这些方法还未被通用，因为其存在测量精度低、成本高、有的还不能对微梁 的固有频率进行测量等缺点。美国桑迪亚国家实验室在报告中也对静电驱动微悬臂梁的临界 电压进行分析计算瞳钉，得到了其微悬臂梁分析模型的临界电压为7 4 v ；d e g a n i 等人汹1 对基 于扭转支撑的旋转静电执行器的吸合效应进行了分析，得出扭臂旋转角与临界电压之间的非 线性影响关系；h a m e ds a d e g h i a n 等人对两端固支微梁的吸合效应进行分析，指出临界电 压随着加载电压作用的面积的变化而变化。近期，s a z z a d u r 比羽等人对传感器中两端固支梁驱 动器的吸合电压的五种不同的计算方法进行了比较研究，指出建立合适的边缘电容影响模型 是提高封闭式计算方法精度的重要因素之一。 1 3 2 微机电系统微粱变形行为的尺度效应国内研究现状 4 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 近年来，国内也已有部分学者对m e m s 力学特性相继展开了一系列的研究工作，并取得 了一定的研究成果，为今后的研究工作奠定了基础。 刘凯啪1 等人对尺寸效应的内涵进行了详细的分析，并且建立了相关的分析模型，对单 晶硅微桥式梁的尺寸效应及分布规律进行了一系列的研究工作，建立q f d t r i z f u z z y 集成 技术模型；王洪喜啪1 等人对微梁的机电耦合过程的变形分析的控制方程采用数值迭代建立 了新的数学模型，提高了微悬臂梁的设计效率，并得到了静态临界电压高于动态临界电压 的结论；张广平1 等人对不锈钢微梁试件的变形行为和疲劳开裂行为进行了一系列试验研 究，得到结论：微试件的屈服强度随着厚度的减小而增大，塑性则随着厚度的减小而减小。 学者温诗铸哺别等人提出微机电系统研究的范畴和特点，讨论了研究现状存在的关键问题和 微机械设计基础的发展特点，为m e m s 的研究工作提供了方向。郭香华钉等人采用电子散斑 法对纯镍薄膜梁力学性能进行了测试研究，结果表明需要对传统的弹性梁理论进行修正才 能适用于微尺度试样的分析，在宏观领域内为常数抗弯刚度在微观领域内体现出显著的尺 度效应，即在弹性、塑性阶段抗弯刚度不在是一个常数，而与试件厚度相关。丁建宁1 等对采用纳米硬度计和电磁微驱动拉伸装置测量了多晶硅微悬臂梁和微拉伸杆件的弯曲 强度和抗拉强度，得出结论：试件的弯曲强度和抗拉强度随着构件尺寸的减小而增大，即 表现出显著的尺寸效应；李雷m 1 等人采用偶应力理论的非协调单元研究各种支撑结构的超 薄金属微梁进行的尺度效应现象，基于应变梯度塑性理论，得出结论：微梁的尺度效应不 受边界条件的影响，且随着梁厚度的减小而增强，但厚度增大时，其抗弯刚度增大；陈广 文m 3 对静电驱动微梁的变形分析基于有限元求解非线性问题的算法提出了一种新的数值 计算方法，即利用增量法和微梁在时变载荷下变形的迭加原理，将静电力离散成所个集 中力，逐步加载迭代从而较精确的计算了微梁的变形挠度；张健旧 等人建立了静电驱动微 梁的等效集总参数模型，有效模拟分析了微梁动态力学行为，得到结论：当驱动电压增大 时，微梁变形存在过冲现象增强，输入误差增大，而其固有频率发生负向漂移即逐渐减小， 郎发生负向的漂移；研究者黄玉波鹏在考察振动和冲击载荷下微梁的可靠性时，重点分析 了微梁长度对固有频率的影响，在不考虑阻尼的影响情况下，使用缩减法提取微悬臂梁前 四阶模态，得到微悬臂梁的固有频率随着长度的减小而增大的结论；刘肖哺引等人采用 a n s y s 有限元分析软件对矩形、固支、折合、曲臂折合这四种固支梁式的r f m e m s 开关 结构进行静态分析，模态分析和瞬态分析，通过模拟分析表明：曲臂折合式开关更具优势， 其不仅降低了下拉电压、而且提高了响应速度，其工作模态更稳定；贾建援等人h 0 1 应用叠 加法建立了分析在静电驱动下的宽微悬臂梁机电耦合的二维数学模型，得到的宽梁的临界 挠度与极板初始间距之比为0 4 2 0 4 4 ，但此数学模型只适用于宽梁模型：陆静等人h 基于 打靶法的原理和迭代积分法，在保证计算收敛的情况下，建立了分析微悬臂梁变形的数学 模型，通过与有限元分析相比较表明，该算法在分析静电驱动微梁变形时具有较高的精度。 所有这些研究结果为微结构变形行为的尺度效应的进一步研究奠定了一定的理论和实验 5 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 基础。 综上所述，目前对脏m s 材料和力学特性的研究，国内外主要集中在微梁驱动结构变形 的分析研究上，及性能测试方法的研究上。由于微结构微米量级的尺寸结构特征使其在测 量时对仪器和测量精度上的要求更高，不同的测试仪器、微结构的加工工艺、材料等影响 因素都将使得检测系统和研究体系的结果存在较大的差异，则分析结果缺乏通用性，因此 需要进一步完善测量条件，采集大量的研究数据从而建立一套完善的理论研究体系。但对 于微结构尺度效应的分析依赖于特定参数，还停留于定性分析阶段。微观系统中许多物理 现象与宏观领域存在较大的差异，还未将试件的物理特性与微尺度的关系统一起来，未对 在微观领域内不在使用的经典理论进行修正从而建立一个统一的分析模型。因此，在微尺 度下对m e m s 器件变形行为开展较全面的分析研究是十分必要的。而以尺度效应为主要内 容，不仅可以突出结构的微型化的特点，而且同时也体现出了由于构件尺寸的微型化而使 其体现出独特的特性。而且目前常用的对尺度效应的研究理论借助于高阶理论，即偶应力 理论、微机理论、塑性应变梯度理论等h 副。近年来关于尺寸效应这方面的分析研究也取得 了可喜的进展，今后的发展趋势是建立完善的微构件尺寸效应理论体系，从而建立尺寸效 应分析的数学模型，可对微机电系统进行定量的分析研究。 1 4 本课题拟解决的关键问题和研究方案的确定 ( 1 ) 在微机电系统中，静电驱动微梁在变形时所体现的尺度效应现象的分析研究。模 拟分析微梁在微观领域内抗弯刚度、固有频率的尺度效应：并确定微梁在发生吸合效应时， 尺寸结构参数对其临界电压和临界挠度的影响。 ( 2 ) 基于模拟分析的实验结果，对微梁在静电力作用下的挠度变化建立相应的数学解 析模型，进而对微梁静态挠度变形的尺度效应进行分析研究。 针对这些关键问题，本文采用a n s y s 软件中的直接耦合法t ra n s l 2 6 降阶单元对微 梁进行模拟分析。结合材料的特征长度，对微梁进行静、动态分析，揭示了微梁在力电耦合 作用下尺度效应现象的一些基本规律。 运用偶应力理论分析弹性模量的尺度效应，并结合微梁材料的特征长度，建立其在静电 驱动下挠度的解析模型，提出了一种考虑尺度效应的分析微梁挠度变形的近似算法，为今后 的理论分析提供依据。 1 5 本课题研究的主要内容 本课题研究的主要内容是通过分析肛m s 中静电驱动微梁的变形，进一步探讨材料和 力学特性所体现出的尺寸效应。本课题通过软件模拟仿真分析和建立数学模型，结合已有 的微米尺寸微梁弹性和塑性变形的实验结果，运用经典弹性理论、偶应力理论分析微机电 系统( 肛m s ) 中微梁驱动结构变形行为尺度效应，主要研究内容如下： 6 7 薯 福建农林大学硕士学位论文 微机电系统巾微粱变形行为的尺度效应 2 微梁的静电力分析 在i h e m s 中，静电力是应用最广、最典型的驱动力之一。在宏观领域内，由于静电力太 小，不具驱动能力，几乎见不到应用静电力作为驱动力的结构。而在微观领域内，静电力的 尺度效应表现为憎：静电力与线性尺寸的二次方成正比，而体积与线性尺寸三次方成正比， 所以当试件结构尺寸缩小时，静电力相对于体积是增加的。这正是在微机电系统中为何经常 用静电力作为驱动力的原因。又由于加载方式简单，易于与微电子工艺集成，且结构形式相 对比较简单，常用一个电极板固定不动，而另外一个电极板能够运动或者变形的结构形式， 因此得到了广泛的应用。则在静电驱动器研究中，加强对非线性静电力与结构特性的内在关 系的分析研究是十分重要的。 平行板电容驱动是较为简单的静电驱动方式，一般为垂直结构，制作工艺简单，驱动力 较大h 3 1 。平行板电容结构的基本模型如图2 1 所示，上电极板为可动部件，下电极板为不可 动部件。当在上下电极之间加载电压载荷时，上电极板在静电力的作用下向下运动，随着上 下两电极间距的变化，上下电极便构成可变电容器。 于= 力 图2 1 平行板电容驱动的模型 根据可动电极的不同形状，平行板电容结构微驱动器又可分为悬臂梁结构、桥式结构和 扭臂结构等m 1 ，如图2 2 所示。本文将对悬臂梁式和桥式结构进行分析。 8 尺度效应 ：，二心 一。，吆、 铲v “、。够= j 。 2 1 静电力概述 ( b ) 扭臂结构 ( c ) 桥式结构 图2 2 平行板电容结构的微驱动器 在微机电系统中，许多静电力驱动结构都是通过电容结构原理进行工作的。因此，为了 对微驱动结构进行进一步的静态和动态力学分析，及对静电微驱动结构进行准确、合理分析 和设计，对静电力进行分析计算计算是必要的。 两个导体( 上下电极板) 可组成一个电容结构，当在导体上加载电压值，导体上便会产 生正负电荷，所形成的电容定义为： c ：皇 ( 2 1 ) 甜 上式中，g 一电荷量； “一电压。 从上式可以看出，电容实际意义是单位电压所容纳的电荷量。与所加载的电压值和电荷 是没有关系的。电容和导体的大小及上下两个电极板之间的间距和介质有关。 当加载电压时，上下两极板便会产生数量相等的正负电荷，由正负电荷的相互吸引产生 库伦力，并由库伦力宏观表现为两极板间的静电力，库伦力为： f ：墼 ( 2 2 ) 4 能d ： 上式中，9 l ，q 2 一电荷电量； s 一介电常数； 9 2 2 无限大平板静电力计算 目前微机电系统中无限大平板结构模型应用广泛，利用电势能和虚位移原理对无限大平 板静电力进行分析。首先根据无限大平板的特点，假设平板的宽度和长度相对于上下两电极 板的间距无限大如图2 - 3 所示，忽略电容的边缘效应，可求得： ( 1 ) 电容为： 图2 3 平行板结构示意图 1 0 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微粱变形行为的尺度效应 c ：竺( 2 5 ) d ( 2 ) 平行静电力为： f ：型：三箜u ：生u 2 ( 2 - 6 ) 1 a 口2a 口2 d ( 3 ) 垂直静电力为： f ，：塑：! 丝【，z ：一娑u ：( 2 - 7 ) a d2a d2 d 2 但是在实际的微机电系统中，由于尺寸都在微米到毫米之间，平板的长度和宽度不可能 过大，又因吸合效应h 的存在所以且两电极之间的间距不可能太小，则平板的长度和宽度尺 寸与间距的比值不可能无限大，因此以上公式并不能直接应用于实际的平板静电力计算。以 此同时需要考虑边缘效应对平板静电力计算的影响，且结构的厚度同样会影响平板静电力的 计算。所以，在对微机电系统中的平板电容模型的分析需要考虑多个综合因素的影响，不能 单纯得直接应用无限大平板的分析结果。 2 3 微粱结构的边缘效应模型 在实际的微机电系统的驱动梁结构中，通常长度方向上的尺寸远远大于厚度和上下电极 间距的尺寸，常将这样的梁结构称为二维梁结构。以下将根据虚位移原理对这类的结构电容 的静电力公式进行推导。 2 3 1 基于分离变量法得到的级数解 根据微梁在m e m s 驱动器中的尺寸特点，即长度远远大于宽度，可认为沿着长度方向 上的电势保持不变，则上下两电极板之间的电势可看作二维场，对于这种模型，采用求解极 板间电场分布的拉普拉斯方程来确定极板间的电容h 副： 上式中，c o t h 一双曲余切函数。 根据能量为：1 c u 2 ，代入( 2 1 ) 式中，根据虚位移原理可求得 1 1 ) 横向驱动力为： 2 ) 法向驱动力为： ( 2 8 ) ( 2 9 ) 挈 广。l一 s 一 一 。脚 丝万 = c 南 。脚等 c 建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 ( 2 1 0 ) 在以上式子的推导过程中并未把电极板的厚度考虑在内，且电场边界不是完全封闭的， 以以上驱动力的计算公式并非精确解。 3 2 考虑极板厚度时的边缘效应 在以上对平行板电容模型的分析过程中，还未把电极板的厚度考虑在内。在对于宽度有 的极板模型中，在板厚方向上同样也分布着电荷，因此板厚对电容的大小也存在影响。 在综合考虑边缘效应和厚度对电容影响的条件下，要获得精确的微机电系统电容值的 法比较复杂，在此通过数学物理方法，针对考虑边缘效应和厚度的电容模型( 如图2 - 4 所 ) 进行近似求解，建立近似数学表达模型h 引。 jy 工办 刎4 o口陀 鬣戮鬣。瀛搿函貔施鲰磁躺盎蒜麓蠢蚤 s 潮，7 图2 4 电容极板的截面示意图 图中口为电容极板的宽度，b 为电容极板的长度，h 为电容极板的厚度， 的间距，当不考虑边缘效应时的电容用c o 表示： c o = 等 d 为上下电极 对上式进行修正，修正常数卢，( p = 1 + _ 2 7 r c a 口l n ( 等) + 丽dl n ( 1 + 了2 h + 2 到考虑边缘效应时的电容表达式为： c = c o p = 6 唔+ 去l 呼) + 去k + 了2 h + 2 1 ) 横向驱动力为： c = 三喏+ 2 e 万b 口) u 2z 口二巧口 2 ) 法向驱动力为： c = 吾如等叭+ 篆+ 杀 ( 2 1 1 ) ) 】 ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 由上式的第三项可以看出当h 0 时，第三项随着h 的增大而增大，而当h _ o o 时，第 1 2 南 。脚半里甜 c c = 三2 险la 了s b 而d u 2 2 ) 法向驱动力为： c = 署= 等u 2 2 + 丝 l + 上尘丝堕- l + 2 z r a d + l n ( 1 + 2 z r a d ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 简化后n - i 得到： = 等叭，+ 南) ( 2 - 1 9 ) 2 3 4 经验公式 根据所分析的微梁口b ( 宽度小于长度) 的结构特点，结合边缘电场影响，将根据修 正项的计算电场力近似计算公式h 7 1 ： ，= e a 2 b d u 2 ( 1 + 0 6 5 d 口) ( 2 2 0 ) 公式( 2 - 2 0 ) t 9 包含了边缘电场修正项。 2 3 5 平行板上下电极板间静电力的模拟计算 1 3 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 为了考证上述公式的有效性和平行板面积变化的规律，将利用有限元对以上推导的法向 静电力公式进行求解，取无因次静电力表达式为：f = ，i 耋务，图2 5 是不同模型计算 的无因次电场力与旱的关系曲线。 d o 图2 5 法向静电力曲线图 从图2 5 中曲线的变化趋势可看出，模型的结果随着导( 宽度与间距之比) 的增大向 无限大平板公式收敛。由此可见，对数公式和在考虑厚度影响的公式的结果较为精确，且对 数形式比较简单，在m e m s 结构分析中建议使用对数公式，且当结构模型的导 3 0 时， d o 四种公式的误差低于百分之三，则在工程上可用无限大平板的简化模型进行分析即可。 2 4 本章小结 利用虚位移原理分析计算平行板电容的静电力，基于二维平行板电容器模型，结合边缘 效应，建立静电力的四种数学分析模型。通过a n s y s 仿真计算，分析比较这四种模型的计算 精度，可知对数公式和在考虑厚度影响的公式的结果较为精确，由于对数形式比较简单，在 m e m s 结构分析中建议使用对数公式；当结构模型的宽度与间距之比大于等于3 0 时，四种公 式的误差低于百分之三，则工程上可用无限大平板的简化模型进行分析。 1 4 福建农林大学硕士学 3 静电驱动微梁的吸合效应分析 在静电驱动微梁的结构中，由于静电力与机械力之间的相互作用，则在分析过程中存在 着机械场和电场的耦合问题。对于静电驱动结构的吸合效应，丁芳等人1 采用a n s y s 顺序耦 合法物理环境法对微悬臂梁的结构参数和动态临界电压进行分析，得出结论：临界电压随 着微悬臂梁的长度的增大而减小，临界电压随着极板初始间隙的增大而增大，随着微悬臂梁 厚度的增大而增大。曹天捷h 钔等人建立了两端固支梁的静力学一维和二维分析模型，将其整 个变形过程分成三个阶段进行分析求解，得到结论：吸合电压随着微梁长度的增大而增大， 且微梁的失稳点为极板的三分之一处。王洪喜1 应用小变形理论，得到临界挠度与初始间隙 之比保持常数；应用大挠度理论计算得到的临界电压、临界挠度随着挠度与厚度比值的增大 而增大，临界挠度与初始间隙之比已经不再是常值，这一点与小挠度变形理论是不同的。 在静电力驱动下微梁的吸合效应分析为高非线性，在耦合场分析中，直接耦合法对于高 非线性的分析更精确，且微梁的结构尺寸比较简单，常将厚度作为微梁结构的特征尺寸，因 为静电驱动微梁结构的厚度为几微米，而其宽度和长度的尺寸一般为几百微米。本章将采用 a n s y s 中的直接耦合法t r a n s l 2 6 单元对微梁的吸合( p u l l i n ) 效应和静力变形进行分析。 3 1 静电驱动微梁基于有限元直接耦合法的机一电耦合分析 在耦合法分析中，分为顺序耦合法和直接耦合法，直接耦合法对于高非线性分析更具优 势。对于高非线性的静电力驱动微梁的分析将采用直接耦合法进行分析。t r a n s l 2 6 换能器 单元分析属于直接耦合法分析，e s s o l v 命令宏方法分析属于顺序耦合法分析，t r a n s l 2 6 换 能器单元是一个对电子机械设备静电响应和结构响应进行完全耦合计算的单元，故可以将其 有效地应用于静态、谐波、瞬态和模态分析。且t r a n s l 2 6 换能器单元是强耦合分析，在模 拟分析微机电系统中的静电驱动微梁时，采用强耦合分析更能精确得表达微梁的机电耦合情 况。而e s s o l v 命令宏的求解器对长宽比接近1 的单元的模拟分析效果较好，且e s s o l v 命令 宏进行的耦合分析属于弱耦合分析。所建立的分析模型长宽比为1 0 ：1 ，处理微梁在静电力 作用下的静态、模态、瞬态分析采用强耦合分析更能得到精确结果，因此将采用t r a n s l 2 6 换能器单元对微悬臂梁进行分析求解。 微梁基于直接耦合法t r a n s l 2 6 单元的模拟分析过程为： ( 1 ) 定义作业名、定义分析标题一微梁的静态特性分析； ( 2 ) 定义单元的类型，选择物理环境中兼容的单元类型s o l i d l 2 2 ； ( 3 ) 定义材料特性，e x ，n u x y ，d e n s 来定义微梁的弹性模量，泊松比，密度； 创建实体模型； ( 4 ) 对实体模型进行网格划分，如图3 1 所示； ( 5 ) 加载，先对微梁的左断面进行约束设置；应用e m t g e n 命令在个移动结构的表面 1 5 挠度称为临界挠度。当偏置电压继续增大时，微梁机械恢复力与静电力的平衡状态消失，而 当静电力继续增大时，微梁与下基底将迅速吸合直到微梁与下基底接触，这现象称作吸合俘。 在m e m s 静电驱动系统的设计中，对临界电压以及i i 缶界挠度的分析研究至关重要。因 此本章将对静电力驱动的微悬臂梁和两端固支梁的吸合效应进行分析，为今后分析研究提供 依据。 3 2 1 微悬臂粱吸合效应分析 臂粱( 上电极) 底( 下电极) 图3 - 3 静电驱动微悬臂粱的截面示意图 图3 3 为电容式m e m s 微悬臂梁的力学模型，悬臂梁和固定不动的基底( 即为电容的 上下电极) 构成电容结构，设悬臂梁和下基底的宽度都取为w ，则电容为： c：80i,92(3-1) d 1 6 福建农林大学硕士学位论文微机电系统中微梁变形行为的尺度效应 上式中，g o 为真空介电常数，d 为微悬臂梁在加载电雎后上卜电檄日q 1 日j 距，则此电容 间的静电力为： f ：! 矿：箜：一三掣 ( 3 2 ) 。2甜2 d 2 因微悬臂梁在自由端释放了梁内的残余应力，则微悬臂梁的弹性系数取值为魄1 ： 小孚c ；，3 3 ， 上式中：e 一微悬臂梁的弹性模量； f 一微悬臂梁的厚度； ，一微悬臂梁的长度。 当静电力等于微悬臂梁的恢复力时，根据平衡原理可得到：c = 一h ，即为： 一三竿“c 反卅 c 3 4 ， 整理可得：v = ( 3 - 5 ) 量 上式中，反为微悬臂梁与基底之间的初始间距。随着加载电压增大到某一值时，微悬 臂梁将被静电力迅速拉下，即为微梁的吸合效应现象。通过对上式求导得到的一个临界点， 眠著删瑚隘界觚 a ya a da d = 0 ( 3 _ 6 ) 可求得：1 ) d = 0 ( 舍去) 2 ) d ：昙蟊 j d = j 2 d 。即为加载电压后，微悬臂梁的挠度值为上下电极板初始间距的2 3 ，则 d = 哦代入( 3 - 5 ) 式，所加载的电压为： 整理得到： 1 7 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 照胁 = ” = 陆 川 肚 将 挠度值由于受到边缘电容的影响会有所偏差。下面将应用有限元a n s y s 软件对微悬臂梁和 微两端固支梁的临界电压及临界挠度进行建模分析。 3 3 几何结构参数与静态吸合效应的关系 在微机电系统中，微结构的几何尺寸显的尤为重要。本章将采用a n s y s 中直接耦合法一 t r a n s l 2 6 单元对于静电力驱动的悬臂梁和两端固支微梁的结构几何尺寸与其吸合效应的关 系进行分析。 3 3 1 微悬臂粱的吸合效应 1 8 福建农林大学硕士学位论文 微机电系统巾微梁变形行为的尺度效应 3 3 1 1 微悬臂粱厚度对吸合效应的影响 先计算同一结构参数的微悬臂梁在不同直流电压作用下的变形情况，应用a n s y s 直接耦 合法中的t r a n s l 2 6 降解单元进行机电耦合分析，不考虑静电场力的边缘效应及残余应力， 得到微悬臂梁在不同的电压值下的最大挠度变化。模型结构参数为： 空气的相对介电常数8 ：1 ； 真空中的介电常数岛：8 8 5 4 e 一6 p f 1 t m ； 多晶硅的弹性模量e ：1 6 0 e 5 9 n p m 2 ； 多晶硅的泊松比v ：0 2 3 ； 多晶硅的材料密度p ：2 3 3 e 一1 5 k g # m 3 ； 微悬臂梁的长度，：2 0 0 比m ； 微悬臂梁的宽度b ：2 0 p r o ； 微悬臂梁的厚度h ：2 9 i n ； 微悬臂梁下表面与底部电极的初始间距d o ：6 t m 。 通过有限元a n s y s 软件对该模型进行建模分析，得到驱动电压与悬臂梁最大挠度的关 系变形图3 5 。本文在此通过试算，对微悬臂梁加载8 0 v 的电压值，在这个模拟过程中，把 所加载的电压分成二十个载荷步随着时间均匀加载，即各个载荷步所加载的电压为总电压与 时间的乘积，比如对该模型加载8 0 v 电压，分二十个载荷步加载，总的加载时间看作单位1 ， 则每个步骤为o 0 5 ，在0 0 5 时所加载的电压值为8 0 * 0 0 5 ，即4 v 。静电驱动微悬臂梁的挠 度与电压相对应的变化关系如图3 6 所示。 图3 - 5 微悬臂粱在加载电压下的变形图 图3 6 微悬臂梁挠度与电压的关系 图3 - 6 曲线中所出现的拐点即为微悬臂梁的临界电压与临界挠度的对应点，在此时微悬 臂梁迅速被拉下，计算得到的临界挠度约为2 1 4 2 ，与两电极板的初始间距的比值为：l ：3 ， 这一比值与上一节中临界挠度与极板间的初始间距之比约为l 3 的理论结论基本吻合。得到 的临界电压值为7 4 1 2 v ，与美国桑迪亚国家实验室采用这同一组数据模拟计算得到的临界 电压7 4 v 汹1 基本相吻合。 1 9 图3 - 8 微悬臂粱厚度与驱动电压的关系 3 3 1 2 极板初始间隙对吸合效应的影响 由吸合效应原理的分析可知，极板间隙直接影响着临界电压和临界挠度与极板间隙的比 值，因而也成为分析吸合效应的重要因素之一，类似以上分析微梁厚度对吸合效应影响的原 2 0 福 理 别 对 同 中 图3 - 9 不同极板间距时微悬臂梁电压与最大挠度的关系 3 3 2 两端固支微粱的吸合效应 3 3 2 1 两端固支微粱厚度对吸合效应的影响 先计算同一结构参数的两端固支微梁在不同直流电压作用下的变形情况。采用a n s y s 直接耦合法的t r a n s l 2 6 降阶单元进行机电耦合分析，得到两端固支微梁在不同的电压值下 的最大挠度变化。模型参数设置为： 空气的相对介电常数s ：l ； 真空中的介电常数：8 8 5 4 e - 6 p f p m ； 多晶硅的弹性模量e ：1 6 0 e 51 t n p m 2 ； 多晶硅的泊松比v ：0 2 3 ； 多晶硅的材料密度p ：2 3 3 e