（机械设计及理论专业论文）基于b样条和几何映射的曲面展开法研究.pdf

中文摘要 板材冲压成形技术作为一个标准化的生产过程，在许多领域，都占有举足轻 重的地位。板材曲面展开后的毛坯形状作为冲压成形的重要参数，是分析冲压件 变形程度、设计及拟订工艺流程的前提。而展开后的毛坯尺寸的正确与否直接关 系到毛坯尺寸的准确性，进而关系到整个工艺流程。因此，根据实际生产需要， 探讨将不可展曲面近似展开的方法，开发计算机辅助曲面展开软件，对于完善板 材冲压成形技术，有着重要的理论和实用价值。 本文在以下几个方面进行了研究： 一、本文采用了b 样条离散法，并运用反算控制顶点的方法将不可展曲面 用四边形网格表示出来，编写了相关的程序，为板类件自由曲面的展开作好准备 工作。 二、遵循曲面展开的基本理论和原则，运用了一种以展开前后面积不变为基 本准则的几何映射法，实现了不可展曲面的近似展开，并对展开误差进行了初步 的理论分析。 三、开发了基于m e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t ) 的自由曲面展开计算机软件。 该软件是在v c + + 环境中，利用计算机图形学的知识，采用了自动划分、非规则 边界处理等技术。 关键词：不可展曲面曲面展开b 样条几何映射 自动划分边界处理 a bs t r a c t a sas t a n d a r dp r o d u c t i o np r o c e s s , t h ew o r k p i e c ep r e s s i n gf o r m i n gt e c h n o l o g y p l a y s a l li m p o r t a n tr o l ei nm a n ym a n u f a c t u r ef i e l d s a sa l li m p o r t a n tp r e s s i n gf o r m i n g p a r a m e t e r , t h ed e v e l o p m e n td i m e n s i o no ft h eb l a n kw o r k p i e c e s u r f a c ei st h e p r e c o n d i t i o no fa n a l y z i n gt h ep r e s s i n gf o r m i n gd e g r e e ，d e s i g n i n gt e c h n i c s a n d e s t a b l i s h i n gt e c h n i c sf 1 0 w w h e t h e rt h ed e v e l o p m e n td i m e n s i o no ft h eb l a n k w o r k p i e c ei sa c c u r a t ea f f e c t st h ev a l i d i t yo ft h eb l a n kw o r k p i e c er o u g h c a s td i m e n s i o n f u r t h e r m o r ei tw i l la f f e c tt h ew h o l et e c h n i c sf l o w t h ea p p r o x i m a t ed e v e l o p m e n to f t h eb l a n kw o r k p i e c eu n d e v e l o p a b l es u r f a c e sh a v eg r e a tt h e o r ya n dp r a c t i c e s i g n i f i c a n c et op e r f e c tp r e s s i n gf o r m i n gt e c h n o l o g y t h em a i nc o n t e n ta n dr e s u l to f t h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ee x p e r i m e n t a ls t u d yo nt h ee x p r e s s i o no ft h eu n d e v e l o p a b l es u r f a c e t h eb - s p l i n ed i s c r e t em e t h o da n dd eb o o ra l g o r i t h m sa r eu s e dt oe x p r e s st h ec o m p l e x c u r v e sw i t hq u a d r a n g l e dg r i d d i n gi n t h i sp a p e r s e c o n d l y , t h ee x p e r i m e n t a ls t u d y0 1 1t h ed e v e l o p m e n to ft h eu n d e v e l o p a b l e s u r f a c e b a s e do nt h eb a s i ct h e o r ya n dp r i n c i p l eo ft h ed e v e l o p m e n to fu n d e v e l o p a b l e s u r f a c e , t h ed e v e l o p m e n tm e t h o dp u tf o r w a r di sb a s e d0 1 1t h er u l e so ft h eg e o m e t r i c a l m a p p i n ga n dt h ei n v a r i a b l ea r e a t h ed e v e l o p m e n te r r o r sa r ea n a l y z e dt h e o r e t i c a l l y , a n ds e v e r a lf a c t o r so nt h ed e v e l o p m e n to f u n d e v e l o p a b l es u r f a c ea r ee n u m e r a t e d t h i r d l y , t h ee x p e r i m e n t a ls t u d ya n dd e v e l o p m e n to nt h ec o m p u t e ra i d e dc u r v e s u r f a c ed e v e l o p m e n ts o f t w a r e b a s e do i lm e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t ) a n dv c + + ，t h i s s o f t w a r eu s e st h ek n o w l e d g eo f g r a p h i c sa n dt h et e c h n i q u eo fp a r a m e t e ra u t o p a r t i t i o n a n db o u n d a r yd i s p o s a l ，a n dm a k e st h es e c o n d a r yd e v e l o p m e n to nm e c h a n i c a l d e s k t o p ( m d t ) k e y w o r d s ：u n d e v e l o p a b l ec u r v e ds u r f a c ed e v e l o p m e n to fc u r v e ds u r f a c e b - s p l i n e g e o m e t r i c a lm a p p i n g a u t o - p a r t i t i o n b o u n d a r yd i s p o s a l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：乌f 之厄签字日期：) 一7 年弓月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：名t 乏塘， 签字日期：卅年弓月 日 翩签名：彬谚砂 签字日期：7 年多月 第一章绪论 1 1 曲面展开技术的重要性 第一章绪论 随着科学技术的发展，板材构件在汽车、船舶、冶金、航空等工业领域中的 比重越来越大。有关曲面物体的问题比比皆是，其中涉及到大量的不可展开的曲 面物体。板材冲压成形技术【1 , 2 1 作为一个标准化的生产过程，在许多领域，都占 有举足轻重的地位。板材曲面展开后的毛坯形状作为冲压成形的重要参数，是分 析冲压件变形程度、设计及拟订工艺流程的前提。而展开后的毛坯尺寸的准确性 则直接关系到整个工艺流程。合理的毛坯尺寸可以改进曲面成形条件、提高板材 的成形极限、减少模具磨损。同时合理的毛坯形状可以减少后续加工余量，降低 零件的生产成本 3 1 。由于所涉及的板材曲面大部分是不可展曲面，因此提出一种 将不可展曲面近似展开的方法，不但是冲压成形技术的必然要求，而且可以应用 于需要不可展曲面近似展开的其它很多领域。 此外，在制造工程的很多领域中，有大量等厚度或变厚度并具有曲面外形的 工件，是先制成具有相应厚度的平板件，再塑性加工成相应的曲面形状。展开下 料是第一道工序，也是至关重要的一步。产品设计周期要求缩短，贵重金属要求 提高展开精度，减少修形量，减少成本，因此，如何迅速正确地展开下料是提高 钣金件的加工质量、降低材料消耗、提高劳动生产率、减小误差的关键问题。此 时，曲面的展开问题往往成为决定工件质量和工件效率的关键。传统的钣金件生 产中，展开下料是采用手工操作，利用手工作图和实践经验来进行的，这不仅效 率低、误差大，而且成本也高，这种落后的生产方式已经不能满足现代工业技术 发展的要求。很长时间以来，曲面的展开问题，特别是复杂曲面的展开问题，一 直是计算机辅助几何设计领域研究的难点和热剧4 5 】。随着计算机技术的迅猛发 展和现场技术人员知识水平的不断提高，这就使计算机辅助曲面展开系统成为迫 切的需要。 1 2 曲面展开方法的发展现状 曲面的展开是指在不改变内在性质的前提下映射成平面。在可展曲面与平面 第一章绪论 之间，由于存在着等距对应关系，其展开是精确的，方法也相对简单。而不可展 曲面的展开相对可展曲面的展开来说要复杂得多，目前应用比较多的方法大都是 用近似的方法来展开，这样就使展开的曲而还原后不能与原来的曲面完全吻合， 而存在一定的误差。因此这就要求我们在展开的时候要尽量的减少误差，使其尽 可能的满足工程的要求。 根据近年来的研究成果，已有三种展开方法1 6 - 8 】：几何展开法、力学展开法 和几何展开力学修正法。 1 2 1 几何展开法 p a r i d a 等提出了一种三角平面网格法，将曲面离散三角片逐一变换到指定的 平面上；但是该算法在曲面展开的过程中容易产生较大的累计误差和较多的裂 纹。s h i m a d a 等提出了使用有限元法计算曲面展开，该算法基于曲面离散的表达 式，运用分区域曲面的展开思想进行曲面展开，但其所使用的曲面分区域算法过 于简单，无法处理复杂的曲面展开问题。c h a k i b 等利用曲面自身的几何特征 测地曲率展开曲面，其基本算法是将曲面划分为等参数网格，沿着一个方向，根 据曲线的测地曲率，将这些曲线展开到一张平面上，同样也会产生较大的累计误 差和较多的裂纹1 9 】。 结合以前的科研成果和现代先进的计算机应用技术，席平【lo 】等提出了新方 法。把三维曲面分为平面、直纹面和复杂曲面，前两者的可展性比较容易解决， 后者则是研究的焦点。如图1 1 所示，新方法的步骤是： ( 1 ) 将复杂曲面先分割成若干条状区域，每一区域用一个直纹面逼近。 ( 2 ) 然后将直纹面用三角形或四边形网格划分。 ( 3 ) 把每个直纹面展开到同一个平面上，从而得到该曲面的展开面。 与前面的方法相比，这个方法有着计算简单，网格划分合理，并反映了曲面 的几何特征等优点。但对于复杂的零件，它的展开图形是不封闭的，并且随着所 取展开方向不一样，同一零件的展开面不是唯一的。 ( a ) 曲面( b ) 逼近曲面的直纹面 第一章绪论 ( c ) 网格划分 ( d ) 展开后的直纹面( e ) 展开面 图1 1复杂曲面的展开 在飞机制造领域中，飞机翼面多数是不可展的直纹面，而且曲率不是很大， 机身上也有小曲率的双曲面。这些零件由平板状变形为所需的外形，其厚度变化 不大，因此，零件变形前后的质量不变可以认为是面积不变。在这个基础上，康 小明1 1 1 等提出了四边形网格等近似展开的数值方法。这种方法是将曲面用样条曲 线【l 纠4 】离散化，把离散后的曲面片展开到一个平面上，从而得到曲面片的展开 后的形状和尺寸，再进一步确定出定义于曲面上的结构信息在展开平面上的形状 与位置。该方法在小曲率壁板类零件制造( 如飞机，汽车和船舶等) 具有广泛的应 用前景，以提高制造精度、缩短生产周期的目的。 1 2 2 力学展开法 有一种是基于能量模型的曲面展开方法，在这个方法中，首先由平面三角化 网格建立一个如图1 2 所示的弹簧质点系统，系统中的物理量和几何量相对应。 所建立的网格位置和展开后二维片形状之间的差别，可以认为是一种存储在弹簧 质点系统中的弹性变形能。 图l - 2 弹簧质点系统 也就是说，两质点间的联接为弹簧，在变形过程中，如果平面上的两质点之 间的距离大于对应的原始曲面上的间距，那么两质点之间有拉力，反之为压力。 因此，有变形并产生了变形能。这个方法的步骤是： ( 1 ) 建立能量模型，确定弹力、变形能、位置及相关的精度控制的数学表达 第一章绪论 式。 ( 2 ) 将曲面初始展开，如果不释放能量，无约束地将三角片展贴到平面上去。 对不可展曲面来说，三角片的边不会重合，会形成裂缝。 ( 3 ) 将变形能量释放，建立一个含有所有己经展平的三角片的弹簧质点系 统。 在展平一个三角片后，进行调整，将三角片加入到系统中，然后弹簧质点系 统将被激活，以释放三角片中的弹性能量，通过计算就可以得到展开面。 对曲面不同的部位定义不同的弹簧弹性系统，来控制曲面展刀：的精度。通过 使弹簧质点系统变形，就可由初始平面映射到曲面展开的最终形状。它的优点是： 能展开一般的复杂曲面，容易控制精度，计算简单，应用也较广。 1 2 3 几何展开力学修正法 这种方法是先将成形零件几何展开，把曲面划分成一系列条状区域，再用若 干直纹面分别逼近每个条状区域，展开每个直纹面，然后每个直纹面的展开面转 到同一平面上。 然后是力学修正，由于没有考虑工程因素，零件的几何初始展开面图形不是 唯一的，不封闭，有缝隙和重叠。因此需要修正，其过程是，在初始展开面上的 缝隙中增加若干条状面，将零件的材料特性赋予初始展开面，设定连接缝隙的条 状材料e = 五= = 0 ，给定边界条件。对初始展开面进行有限元网格划分，施加 载荷，使缝隙封闭。载荷的大小是根据变形情况和零件缝隙的消失量而逐步调整 的。用样条曲线逼近展开后的轮廓外形，从而得到零件的最终展开形状。 1 3 本文的研究内容 本文进行了以下几方面的研究： 一、对可展曲面的研究。 1 介绍了可展曲面的基本概念和性质，以及可展性的证明。 2 列举了斜口圆管、异径三通管、斜口锥管等几个可展曲面的算例。 二、对不可展曲面的研究。 1 对曲面表达的研究 曲面离散是进行板类件自由曲面展开的关键，因此在曲面展开之前必须进行 曲面离散。本文在研究各种不同曲面性质的基础上，采用了b 样条离散法，并运 用反算控制顶点的方法将不可展曲面用四边形网格表示出来，为板类件自由曲面 的展开作好准备工作。 第一章绪论 2 对曲面展开的研究 本论文研究的曲面展开方法归属于几何映射法，并以面积不变为基本的展开 原则。该方法的展开过程分为四个步骤：曲面离散与网格化，展开中心的确定， 网格的展开，各个邻域的相继展开。并从理论上分析了曲面展开误差，列举了影 响曲面展开精度的几点因素。 三、开发一个计算机辅助工程曲面展开软件 本文开发了基于m e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t ) 的自由曲面展开计算机软件。 该软件是在v c + + 环境中，利用计算机图形学的知识，对m e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t ) 进行二次开发，采用了自动划分、非规则边界处理等技术，通过对 m e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t ) 开发后所得到的工具栏“曲面造型”，对不可展曲 面进行近似展开。 第二章可展曲面的可展性 第二章可展曲面的可展性 2 1 曲面的定义和分类 纵观曲面的历史，曲面的最早定义是公元前阿基塔斯提出的，曲面是曲线移 动而产生的。而对具体曲面的最早定义是欧几里得给出的，而后费尔玛、笛卡儿 和伊尔也都给出了曲面的定义。今天采用的曲面的定义主要有运动法、包洛法和 集合及轨迹描述法三类。综合各方面的考虑，给曲面一个较完整的定义：曲面是 满足一定条件的点或线的集合。 曲面的形状具有多样性，这样给曲面的研究带来极大的困难。为便于研究曲 面，把曲面进行合理的分类，常见的分类有： 1 按母线的运动是否有规律分为规则与不规则曲面。 2 按曲面能否摊平在一个平面上分为可展与不可展曲面。 3 按母线的形状分为直线面与曲线面。 4 按母线的运动方式分为回转面与非回转面。 5 按母线在运动中的形状、大小是否变化分为定曲线面与变曲线面。 6 按母线的运动规律又可分为平移曲面、回转面与螺旋面。 本论文研究的主要是可展与不可展曲面。 2 2 可展曲面的基本概念和性质以及可展性的证明 曲面根据其可否展开分为两类，即可展曲面和不可展曲面，当然，可展曲面 与不可展曲面的展开方法是不一样的。可展曲面的展开相对简单一些，而不可展 曲面的展开相对比较复杂一些。 可展曲面在微分几何学o s , 1 6 中是最简单的曲面类型之一，下面给出了可展曲 面的基本概念和相关性质，在几何建模的时候会用到这些内容。 定义2 2 1 假定s ( u ， ，) 是r 3 中的一个参数曲而，并且足够光滑。我们称 k ：堕! 兰兰! ! ：逝：型! !( 2 1 ) 慨鼠l | 为曲面s 的高斯曲率，其中 第二章可展曲面的可展性 肚黼 q 乏) 定理2 2 2 任何一张曲面是可展曲面的充分必要条件是，曲面上的高斯曲率k 处 处为零。 在判断曲面可展性的时候，直观的办法就是计算出曲面上每个点的高斯曲 率，然后用定理2 2 2 来判断曲面是否为可展曲面。 在了解了可展曲面的定义，以及任一空间曲面是否为可展曲面的充分必要条 件以后，我们自然会考虑如何来构造可展曲面，以满足实际应用中的需要。下面 介绍的两个关于可展曲面的定理在理论上给出了两种构造可展曲面的方法。 首先，我们已知可展曲面是一类特殊的直纹面，但是直纹面未必就是可展曲 面。第一个定理给出了直纹面是可展曲面的充分必要条件。在给出这个定理前， 先给出直纹面定义。 定义2 2 3 在r 3 空间中，p ( ) 是一条正则曲线，在曲线r 上每一点给定一个方 向f ) ，那么得到一个以f ) 为方向的单参数直线族，它所形成的曲面称为直纹 面。直纹面上的直线称为母线，直纹面的方程可以表示为： r ( u ，d = p ) + v r ( u ) ( 2 3 ) 定理2 2 4 直纹面r ( u ，1 ，) = p 似) + 1 ，f ) 是可展曲面的充分必要条件是 ( p ，f ，f ) = 0 ，( 2 - 4 ) 定理2 2 5 对于可展的直纹面，位于同一条直纹线上的点的切平面都是相同的。 因此，可展的直纹面是某个单参数平面族的包络。这里的包络是指一张曲面， 它和平面族的每个平面都相切。由此想到是不是每个单参数平面族的包络都是可 展曲面呢? 下面的定理给出了肯定的答案。 定理2 2 6 若单参数平面族不是平面束，则总存在一个包络面，且它为可展曲面。 可展曲面包括三种基本形式，分别是柱面，锥面和切向曲面，一般的可展曲 面可以是三者中的一个或者是这三个的组合。下面的定义给出了，可展曲面三种 基本形式的数学表示。 定义2 2 7 对于直纹面r ( u ， ，) = p ( u ) + v f ) ，其中，线为直母线 ( 1 ) 若r 缩成一点r ，则直纹面为锥面，即r ( u ，) = p o + v r ( u ) ( 2 ) 若f ( 甜) = 是常向量，则直纹面为柱面，即r ( u ，功= p ( 材) + 1 ， ( 3 ) 若由一条曲线的切线所产生的直纹面，则称为它的切线面。切线面的方程为 r ( u ，d = 从材) + v p ) 由此可见，可展曲面首先必须是直纹面，即直母线沿准线运动的轨迹面。并 且可展面沿着直纹面的每条直母线，法线方向恒定，即有唯一的切平面。从另一 个角度看，可展面又是单参数平面族的包络面。若一个单参数平面族不是面束， 第二章可展曲面的可展性 它总有一个包络面，包络面由特征线产生，并且是可展面。曲面为单参数平面族 的包络面也是曲面为可展面的充要条件。 但是无论从哪一个角度出发，都可以证明可展面只有三类，即柱面，锥面， 以及曲线的切线面。 2 3 可展曲面展开举例 在分析了斜口圆管、异径三通管和斜口锥管等可展曲面几何形状特点的前提 下，根据可展曲面的展开规律，推导出展开线的计算公式，实现了可展面的参数 化展开。对于其它类型的可展曲面的展开公式，也可以参照本文所采用的方法加 以推导。 2 3 1 斜口圆管的展开 如图2 1 所示为一斜口圆管，其表面展开图如图2 2 所示，绘制斜口圆管表面 展开图的关键在于确定截平面截切圆柱表面所形成的截交线，的参数方程，然后 就可以根据展开规律，确定展开图中曲线三的参数方程，展开图中的其它边界线 可根据，、h 和口直接绘制。 图2 1 斜口圆管 y 第二章可展曲面的可展性 ， ji 。 j k 么一 一 s m x i 图2 2 斜口圆管的展开 在展开图2 2 所示的坐标系中，曲线三的参数方程为： x = r c o s 秒 y = ，s i n 秒0 口2 7 r ( 2 - 5 ) z = h + x t a n 口= h + ，c o s l 7 t a n 口 式中口为截平面与水平面的夹角，h 为截平面中心到底面的距离，为圆柱 半径。根据圆柱面展开规律，s a = s m ，可知曲线三的参数方程为： x = ，乡 1 ，：z ：h + r c o s o - t a n 口( 2 - 6 ) 因此，当斜口圆管的厂、h 和口确定后，即可根据式( 2 6 ) 绘制出曲线三，而 展开图中的其它边界线可根据，、h 和口直接绘制。 2 3 2 异径三通管的展开 如图2 3 所示为一异径三通管的展开，它由不同直径的圆管垂直相交而成。 作展开图时须分别求出大、小圆管的展开图。 第二章可展曲面的可展性 图2 3 小圆柱管的展开 ( 1 ) 小圆柱管的展开 设小圆柱的半径为，大圆柱的半径为r 。 在图2 3 所示的坐标系中，相贯线，的方程为： f x 2 + j ，2 = ，2 l y 2 + z 2 = 尺2 引入参数0 ，则相贯线，的参数方程为： x = ，c o s 0 ( 2 - 7 ) y = ，s i n 00 秒2 n ( 2 - 8 ) z = 尺2 一y 2 = r 2 一，2 s i n 2 秒 根据圆柱面展开规律，对照图2 3 可知展开图中曲线的参数方程为： 一= ，9 y ，：z ：压e i 而。 o 秒2 万 ( 2 9 ) ( 2 ) 大圆柱管的展开 第二章可展曲面的可展性 图2 _ 4 大圆柱管的展开 小圆柱面的参数方程的形式为： x = ，- c o s p 0 9 2 万 y = ，s i n 0 大圆柱面的参数方程的形式为： x = r 。c o s 口 0 口2 万 y = r s i n 相贯线上点彳的y 坐标相同，所以 r s i n 0 = r c o s 则口= a r c c 。s 洋) 根据圆柱面展开规律，对照图2 4 可知展开图中曲线三的参数方程为： x = x = ，c o s g j ，：胁尺删。s 下7 s i n 0 ) 。p 2 万 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 因此，当异径三通管的r 、r 确定后，即可根据式( 2 9 ) 矛1 1 ( 2 1 3 ) 所示的曲线三 的参数方程绘制出曲线，而展开图的其它边界线可根据，、尺和j l 直接绘制。 2 3 3 斜口锥管的展开 如图2 5 所示为一个正圆锥管的展开，圆锥底圆半径为，高为h ，圆锥表 第二章可展曲面的可展性 面上任一素线的长度为：r ：石丁i 驴。正圆锥面展开后是扇形，展开图上放射 性素线长度保持为尺，弧长为2 ，扇形的中心角口= 等，如果用参数方程表 示展开图上圆弧曲线三，可以考虑采用极坐标方程来表示： ：j 二：i 歹黧 。口2 万 图2 5 正圆锥管的展开 j i s - q 以3 亢 耖 弋i h 一 如 i 。 1 y j f ， 0 一 ， s 夕x r m 、- 厶jl 一舍 霉| | 奄 一 o m ” y 图2 - 6 斜口锥管 ( 2 - 1 4 ) 第二章可展曲面的可展性 对于如图2 6 所示的斜口锥管，绘制展开图时首先需求出斜口上各点至锥顶 的素线的长度，该长度就是参数方程中的极径，参数方程中的极角秒和正圆 锥管展开时情况一致。 先讨论截交线，上一点a 的笛卡尔坐标只( x ，j ，z ) ，如果已知点a 的坐标，则 彳点到锥顶的距离为： d = x 2 + y 2 + ( z 日) 2 = p ( 2 1 5 ) 从图2 - 6 可见，点彳实际上是直线s m 和截平面q 的交点，截平面q 的方程 为： z h = x t a n p 式中，为平面q 与水平面的夹角，约束条件为： 9 a r c t a n ( h l r ) 直线s m 过点b ( o 0 ，) 和点( r c o s 0 , r s i n 秒，o ) ， x y z h r c o s 0r s i n 9一h 点彳的坐标可由下列方程组求得： ( 1 z - h = x t a np 弋 x y z 一日 l r c o s 0r s i n 秒一h 求出点么的坐标为： ( 日一h ) r c o s 0 = 一 h + r c o s 0 t a n8 ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 则直线s m 的方程为： 0 口2 万 ( 2 1 8 ) h h ) r s i n 9 h + r c o s8 t a n8 h ( r t a n 口c o s 0 + 厅) h + r c o s 0 t a n8 则点a 到锥顶的距离为： d = 肛丽= 而厅了 则斜口圆锥管上曲线上的展开参数方程为： = 瓦磊h 。- s 夕h 。t a n x h 2 + r 2 p 。= h + r c o s l 5 1 饥8 p t = 0 - r ：竺 r 0h 2 + r 2 0 0 2 z ( 2 1 9 ) 0 口2 z ( 2 - 2 0 ) 0 口2 z ( 2 - 2 1 ) 0 口2 z ( 2 - 2 2 ) 展开图中的其它边界线可根据厂和日直接绘制，保持，、h 和日不变，根据 上式绘制出的一组变化的l 曲线。 第三章曲面表达和b 样条 第三章曲面表达和b 样条 不可展曲面展开的实质是确立不可展曲面与平面之间的点一点的映射关系， 所以在展开之前必须对曲面进行离散，下面具体介绍用b 样条表达曲面的方法。 3 1b 样条 3 1 1b 样条的发展及其必要性 随着汽车、船舶、航空工业的发展，对于工业产品的形状描述也就提出了越 来越高的要求。工业产品的形状大致可分为两类或由这两类组成：一类是仅由初 等解析曲面，例如平面、圆柱面、圆锥面、球面以及由它们组合而成的规则曲面； 第二类是不能由任何解析式表达的自由型曲面。汽车、船舶、飞机的外形零件基 本上都是自由型曲面。 自由型曲面不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要 解决的问题。德布尔( d e b o o r ) 于1 9 7 2 年给出了关于b 样条的一套标准算法。美国 通用公司的戈登( g o r d o n ) 和里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 1 9 7 4 年将b 样条理论应用于形 状描述，提出了b 样条曲线曲面。它较成功地解决了样条函数的局部控制问题， 又轻而易举地在参数连续性基础上解决了贝齐尔方法的连接问题，是最广泛流行 的形状数学描述的主流方法之一。 3 1 2b 样条的递推定义及其性质 b 样条方法是在保留贝齐尔方法的优点，同时克服其由于整体表示带来不具 有局部性质的缺点，以及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的。b 样条有多种等价定义，其中以德布尔和考克斯的递推定义作为标准算法，又称为 德布尔考克斯递推公式。它原来采用阶数( 等于次数加1 ) 给出，为方便使用，现 多直接采用次数给出，如下 州咖 l ，黧妯钏 从( “) = “一甜f “f + 七一“f f ，( 甜) + z f f + 七+ 1 一u 材f + 七+ 1 一u i + i 1 4 川，七一l ( u )( 3 1 ) 第三章曲面表达和b 样条 规定兰= 0 n “( 甜) 的双下标中的第一下标妇殳示序号，第二下标k 表示次数。该递推 公式表明： 1 任意k 阶b 样条， ( 钟) 可由两个相邻的k 一1 阶b 样条m 川( “) 和川( 功 递推得到。 2 欲确定第f 个k 次b 样条( 甜) ，需要用到u f ，川共k + 2 个 节点。nf 目j u f ，u i + k + l 】为( 甜) 的支承区间，n i , k ( 甜) 的第一下标等于其支承 区间左端节点的下标，即表示该b 样条在参数u 轴上的位置。 在计算机辅助几何设计领域中，b 样条又是构造b 样条曲线曲面的基函数。b 样条的特性直接影响b 样条曲线曲面的特性。b 样条具有如下性质： 1 递推性：由上述公式表明。 2 规范性：n i , k ( 甜) = 1 3 局部支承性质，包括了非负性 ，七c “，= 三三：萋善甜甜f + 七+ 1 c 3 2 ， 4 可微性：在节点区间内部是无限次可微的，在节点处是k 一厂次可微的，既 是c 卜7 的，这里，是节点的重复度。 3 2b 样条曲面 3 2 1b 样条曲面方程 给定( 朋+ 1 ) ( 刀+ 1 ) 个控制顶点d t ，( f = o ，1 ，m ；j = 0 ，l ，刀) 的阵列，构成 一张控制网格。又分别给定参数甜和v 的次数k 和，以及两个节点矢量 u = 【1 1 0u l ，一，z f 册+ 川】和v = 【v 01 ，l ，v 州+ l 】，就可以确定一张kx 1 次张量积 b 样条曲面，其方程为： p ( u ，1 ，) = 吐，n i , k ( z f ) m ，( 1 ，)( 3 3 ) i = o3 = 0 其中，b 样条基m ，i ( 砧) ( f = o ，l ，聊) 与，( v ) ( = o ，l ，z ) 分别由节点矢 量u 与v 按德布尔考克斯递推公式决定。 3 2 2b 样条曲面的正算 1 确定非均匀b 样条曲面的两个节点矢量 第三章曲面表达和b 样条 在进行曲面设计时，仅给出控制点阵和选定次数还不够，还需要确定两个节 点矢量。确定非均匀b 样条曲线节点矢量的方法，大都是由控制多边形决定的。 然而，b 样条曲面的控制网格沿任一参数方向都有多个控制多边形。在诸多相异 的控制多边形中，可供选择的取法是，在沿该参数方向的诸多个控制多边形中取 具有代表性的一个或者作某种平均的折衷处理。后者可这样来进行：首先对该参 数方向的每个控制多边形确定相应规范化的节点矢量；然后将这些个别的节点矢 量中所有同下标的节点取算术平均值，作为该参数方向的节点矢量中相应节点的 值。对另一参数方向也类似地进行。两个节点矢量确定后，就与控制顶点一起完 全定义了一张b 样条曲面。 2 b 样条曲线上点的德布尔算法 给定控制顶点z ，i = 0 ，l ，刀，次数k 及确定节点矢量u = 【，u l ，一，1 4 。】后， 就定义了一条k 次b 样条曲线。如若给出曲线定义域内一参数值 1 4 【”，扰川】c 阻。，甜剃】，欲计算该b 样条曲线上对应一点p ( “) ，可以采用德布尔 算法的递推公式： p ( 材) = 形i n , k - i ( ) = = 钟， 以 甜m ，id ， ，= 1 , 2 ，k 衫2 1 ( f 一口j ) 粥+ 口j 矿， 歹：h + 1 ，( 3 - 4 ) 口名 竺二竺! 。 u j + k + l - i 一材j 3 推广到计算b 样条曲面上点的德布尔算法 设给定曲面定义域内一对参数值似v ) ，欲求该b 样条曲面上对应的点 烈v ) ，可以先沿任一参数方向，譬如先沿v 参数方向，按如下步骤进行：首先， 以，参数值对沿v 参数方向的m + 1 个控制多边形执行用于计算b 样条曲线上点的 德布尔算法，求得m + 1 个点作为中间顶点，构成中间多边形。然后，以材参数值 对这中间多边形执行b 样条曲线的德布尔算法，所得一点即所求该b 样条曲面上 一点仄v ) 。 也可按不同顺序进行，先甜后 ，或同时进行。在同时进行时，可能沿某个参 数方向只剩下一个中间顶点，即沿另一参数方向为一个中间多边形。在该参数方 向对该中间多边形再执行曲线的德布尔算法，所得点即为所求。无论采用哪种顺 序，最后得到都完全相同。 3 2 3b 样条曲面的反算 1 曲面反算的一般过程 第三章曲面表达和b 样条 b 样条曲面的反算或逆过程就是要构造一张k ，次b 样条曲面插值给定的数 据点p ( f = 0 ，1 ，m ；j = 0 ，1 ，功。通常，曲面的反算问题可以化解为两阶段的曲 线反算问题。待求的b 样条插值曲面方程可写成为： m + k - in + l - i p ( u ，1 ，) = 4 ，_ ，f ，。( “) m ，( 1 ，) ( 3 5 ) i - - o j = o 又可以写为： m + k - in + l - ! p ( u ，1 ，) = ( 4 ，_ m ，( y ) ) j ，。( “) ( 3 6 ) i = 0 j = o 给出类似于b 样条曲线方程的表达式： m + k 一- i p ( u ，v ) = q ( ，m ，i ( 甜) ( 3 - 7 ) i - - o 这里控制顶点被下述控制曲线所代替： n + l - i c ，= 吐，j m ，小) ( 3 8 ) j = o 若固定一参数值 ，就给出了在这些控制曲线上m + k 个点 q ( v x i = 0 9 1 9 * o ，m + k 1 ) 。这些点又作为控制顶点，就定义了曲面上以材为参数的 等参数线。当参数，值扫过它的整个定义域时，无限多的等参数线就描述了整张 曲面。显然，曲面上这无限多以甜为参数的等参数线中，有n + l 条插值给定的数 据点，其中每一条插值数据点阵的一列数据点。这刀+ 1 条等参数线成为截面曲线。 于是就可由反算b 样条插值曲线求出这些截面曲线的控制定点 d f ，j ( f = 0 ，l ，m + k 一1 ；j = 0 ，l ，力。 s 如) = 一d ，a n , , k ( + f ) = ( f ：0 ，1 ，臃；j ：0 , 1 ，功( 3 9 ) r - - 0 一张以这些截面曲线为它的等参数线的曲面要求一组控制曲线用来定义界 面曲线的控制顶点q ( ，川) = d j a ( f = 0 ，1 ，m + k - 1 ；j = 0 ，1 ，刀) 。类似曲线插值， 这里选择了一组 ，参数值y ，“，( _ ，= 0 9 1 9 9 功为控制曲线的节点，即数据点p u 的1 ， 参数值。于是，这个问题就被表达为m + k 条插值曲线的反算问题： n + 1 一- i 、 d i ，。m ，( v l + j ) = 4 ，_ ，( 汪o ，l ，m + k l ；j = o ，l ，功( 3 1 0 ) s = 0 由解这些方程组，得到所求b 样条插值曲面的( m + 1 ) ( n + 1 ) 个控制顶点 吐，( f = 0 ，l ，m + k 一1 ；j = 0 , 1 ，刀+ ，一1 ) 。 2 双三次b 样条插值曲面的反算 ( 1 ) 参数方向与参数选择 对给定的数据点p j ( f = ，一， = ，一，功，如果其中每行或每列都位于一 第三章曲面表达和b 样条 个平面内，则取插值于各行或各列数据点的一组曲线为截面曲线，以为参数， 现设每列数据点为横向( ”向) 截面数据点，共有刀+ 1 个截面。另一方向为纵向， 以v 为纵向参数线的参数。如果每列与每行数据点都非平面数据点，则按其在空 间分布，适当的把一个方向取为横向参数方向，以材为参数，另一为纵向参数方 向，以y 为参数。 ( 2 ) 节点矢量的确定 曲而的两个参数方向的节点矢量由数据点的参数化确定。插值曲面的定义域 取成规范定义域。相应数据点沿两个参数方向的参数化都应取成规范参数化。当 横向( 甜向) 截面曲线为平面曲线时，纵向( v 向) 所取统一的规范参数化 ，( ，= o ，l ，刀) ，根据截面在空间分布情况确定。横向则取平均规范积累弦长参 数化，得”，( f - 0 ，1 所) 。取对于一般情况，类似参数双三次样条曲面那样，对 给定的曲面数据点取双向平均规范积累弦长参数化，得数据点肛，的一对参数值 材，+ 。与，“。通常两个参数方向的参数次数都取成三次，由此构造得双三次b 样条 插值曲面。 设要求构造的双三次b 样条插值曲面方程为： p ( u ，1 ，) = d r 。_ ，n i , 3 ( “) m ，3 ( 1 ，) ( 3 - 1 1 ) i = 0j = o 两个参数方向的节点矢量分别为u = u o ，甜枷】与v = 【v o ，m ，v n + 6 】， 将首末节点都取重复度，= 4 ，曲面定义域为“k 3 ，u 肼+ 3j ，1 ，p 3 ，1 ，h + 3j 。 ( 3 ) 切矢边界条件 端点切矢方向容易给定，而模长难定。切矢条件在力学上相当于梁的端部固 支的情况，具有固定的切线方向。模长与所取参数有关，并非曲线的不变量。在 弧长参数化情况下，切矢具有单位模长。因此，作为弧长参数化一种近似的积累 弦长参数化法，通常给出单位切矢。对于非积累弦长参数化法，通常可取成与积 累弦长参数化法下的单位切矢相当的切矢，即将模长取为： 赢l _ 掣阱犁 ( 3 - 1 2 ) 这样首末端就分别有附加方程p 。= d o 与p 。= 以，这里吨与以为给定的首末端 切矢。 ( 4 ) 反算控制顶点 对于沿任一参数方向若是周期闭曲面的情况，在该参数方向无需提供边界条 件，就可唯一确定插值该方向各排数据点的周期三次b 样条曲线的控制顶点。如 果沿两个参数方向都是周期闭曲面，则可能生成拓扑上形似球面或环面的封闭曲 面。我们只考虑开曲面的情况。以切矢边界条件为例，即提供各截面曲线( ”线) 第三章曲面表达和b 样条 的端点甜向切矢，还提供数据点阵四角数据点处的混合偏导矢( 即扭矢) 。按如下 步骤反算： 先在节点矢量c ，上，由截面数据点及端点材向切矢，应用b 样条曲线反算， 构造出各截面曲线，求出它们的b 样条控制顶点谚，( k 0 , 1 ，m + 2 ；j = o , l ，以) 。 又在节点矢量矿上，分别视首末截面数据点处v 向切矢为“位置矢量”表示 的“数据点，又视四角角点扭矢为“端点v 向切矢”，应用曲线反算，求出定义 首末甜参数边界( 即首末截面曲线) 的控制顶点。 然后，固定指标i ，以第一步求出的n + l 条截面曲线的控制顶点阵列中的第 f 排即4 ，( ，= 0 ，1 ，刀) 为“数据点”，以上一步求出的跨界切矢曲线的第f 个顶点 为“端点切矢”，在节点矢量y 上应用曲线反算，分别求出m + 3 条插值曲线即控 制曲线的b 样条控制顶点吐，( f = 0 , 1 ，肌+ 2 ；j = 0 , 1 ，n + 2 ) ，即为所求双三次b 样条插值曲面的控制顶点。 3 3 曲面表达过程流程图 3 4 实例 参数化 l i 选取边界条件 l l 反算控制顶点 l 插值 图3 1曲面表达流程图 下图3 2 就是按照上述方法绘制出的网格划分示意图： 第三章曲面表达和b 样条 图3 2 四边形网格图 2 0 第四章不可展曲