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四川大学硕士学位论文 i t e r 重力支撑结构的有限元分析 机械设计及理论专业 研究生：王贤宙指导教师：梁尚明 随着社会经济的发展和人类文明的进步，人类对能源的需求也越来越大。 但是人类目前可利用的能源资源毕竟有限，主要能源将在未来几十年至一百多 年的时间内枯竭。为了改变世界能源危机，中国、美国、日本等国家提出了国 际热核实验堆( i t 职) 合作计划。该计划的成功实施将会使人类拥有取之不尽、 用之不竭的清洁能源。 虽然国内外学者对i t e r 领域的许多问题都进行了不同程度的研究，但仍有 大量的研究工作还需进一步开展，尤其是对i t e r 重力支撑结构的研究还作得不 够全面。由于i t e r 重力支撑结构是整个i t e r 主体装置的重要组成部分，因此 对它进行全面深入的研究具有重要的意义。 本学位论文运用弹性理论、非线性有限元分析理论和现代c a e 技术，建立 了i t e r 重力支撑结构的三维实体有限元分析模型，对i t e r 重力支撑结构进行 了有限元静力分析、模态分析和屈曲分析。论文的主要成果和特色如下： ( 1 ) 根据i t e r 重力支撑结构及其所受载荷的特点，利用a n s y s 的建模功 能，建立了i t 职重力支撑结构的三维有限元分析模型。建模时依据等效原理对 支撑结构进行规划，对与分析目标关系不大的部分进行了简化，以缩小求解代 价。 ( 2 ) 提出了以定义接触对的方式来模拟结构中接触面的实际工作情况的方 法。对t f 腿法兰与韧性板上法兰之间、韧性板下法兰与支撑环上表面之间、支 撑环下表面与支撑圆柱上表面之间均作了面一面接触有限元分析。 ( 3 ) 提出了利用耦合集定义周期对称边界条件的方法，该方法解决了 四川大学硕士学位论文 a n s y s 软件的预紧单元p r e s l 7 9 不能用于模拟周期对称结构中预紧力的问题。 ( 4 ) 应用有限元方法分别对四种工况下的i t e r 重力支撑结构进行了静强 度分析，得到了支撑结构各零件的最大应力和最大应变以及它们的位置。对i t e r 重力支撑结构的各个零部件都进行了静强度校核。 ( 5 ) 应用有限元方法对i t e r 重力支撑结构进行了模态分析，求出了i t e r 重力支撑结构的固有频率和振型。通过振型图和动画显示，可直观地分析i t e r 重力支撑结构的动态特性和薄弱环节，为i t e r 重力支撑结构的改进设计提供理 论依据。 ( 6 ) 结合屈曲分析的特殊性，建立了i t e r 重力支撑结构屈曲分析的有限 元模型。提出了i t e r 重力支撑结构有限元屈曲分析的方法和主要步骤，并对 i t e r 重力支撑结构进行了特征值屈曲分析。由分析结果可知，i t e r 重力支撑结 构在给定工况下不会发生结构整体或某个零部件的失稳。相对而言，结构中最 可能发生失稳的构件是韧性板。 关键词：i t e r 重力支撑结构；有限元；a n s y s ；周期对称性；静力分析；模态分 析；屈曲分析 i i 四川大学硕士学位论文 f i n i t ee l e n n ta n a l y s i s0 fg r a 、厂i t y s u p p o i u l s0 fi t e r m e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y p o s t g r a d u a t e ：w a n g a n z h o ua d v i s o r ：l i a n gs h a n g m i n g 晰mt h ed e v e l o p m e n to fm es o c i a le c o n o m y 姐dt h ep m g r e s so ft h eh u m a n c i v i l i z a t i o n ，t 1 1 eh 啪a n sd e m a n df o re n e r g yi sb e c o m i n gs t r o n g e ra i l ds t r o n g e t h o w e v e r ，t h ee n e r g yr e s 叫r c e 血a th u m a nc u r r e n t l ym a 】( e su s eo fi sl i m i t e da f t c ra l l ， a 1 1 d 也em a i ne n e 唱yw i l lb eu s e du pw i t h i ns e v e m id e c a d e st oo n eh u n d r e dy e a 船i n t h em t l l r e i n0 r d e rt oc h a n g em e w o d de n e r g ys i m a t i o n ，c h i n a ，u s aa n dj a p a ne t c i n i t i a t et h ei n t e m a t i o n a i o u c l e a re x p 丽m e t a lr e a d o r ( r r e r ) p l a l l t h i s p i a n sf e a i i z a t i o n 谢l ib r i n gi n c x h a i l s t i b i ec i e a i le n c r g yt oh u m a l l 舢t h o u 曲m a n yp r o b l e m so e rh a = v eb e e ns 缸d i e db yd o m e s t i ca n df o r e i 口 s c h o l a r s ，al o to fr e s e a r c hw o r ki ss t i l l d e f i c i e n ta n dr e q u i r e dt o s t l l d yf u r t h e r - e e s p e c i a l l x t h eg r a v i t y s u p p o r to fn 重r ( g s 一e r ) r e q u i r e st ob es t l l d i e d t h o r o u g h l y t h eg s - r 膪r i sav e 巧i m p o r t a mc o m p o n e n te l e m e mo fn l ew h o l er r e r c o r er e a c t o re q u i p m e n t ，t h e r e f o r ei th a s 伊e a ts i g n i f i c a n c et or e s e a r c hi t m t 1 1 i sd i s s e r t a t i o n ，a3 一d ：f i n i t ee l e m e n tm o d e io fg s r r e ri se s t a b l i s h e db y u s i n ge i a s t i ct h e o 吼n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tt h e o r ya n dt h em o d e mt e c h l l i q u e s0 f c o m p u t e ra m e de n 西n e e r i n 甙c a e ) b a s e do nt h i sm o d e l ，s t a t i ca n a l y s i s ，m d a l a n a l 河sa n db u d k l i n ga 1 1 a l y s i so fg s i t e rh a v eb e e nd o n e t h em a i na c h i e v e m e n t s a n dc h a 啪t e i j s t i c so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a c c o r d i n gt og s i t e r sc o n f i g i 】r a t i o na n di t s1 0 a d sf b 砷玳s ，a n du s i n gt h e m o d e l i n gm n c t i o no fa n s y s ，t h ef i n i t ee l 眦e n tm o d e lo fg s i t e ri se s t a b l i s h e d m 四川大学硕士学位论文 g s - r r e ri sm a r k e do u ta c c o r d i n gt oe q u i v a l e n c ep 曲c i p l e ，a n di n d i 虢r e n tp a r t sw i 也 t h ea n a l ”i co b j e c ta r ep r e d i g e s t e dt or e d u c et h ec o s to fs o l u t i o n ( 2 ) t h i sd i s s e r t a t i o np u t sf 研w a r dam e 出o d ，w h i c hi sa c t l l a lw o r ks i t i l a t i o no f c o t a c ts u r f a c e si ss i m u l a t e db yd e f i n e dc o n t a c tp a i r s t h em e t h o di su s e dt od of i l l i t e e i e m e n ta n a l y s i so fs u 血c e - t o - s u 嘞c ec o n t a c tb e 撕e e nt fl e gn a g e sa n du p p e r n a n g e so fn e x i b l ep l a t e s ，l o w e rn a l l g e so fn e x i b l ep l a t e sa 1 1 du p p e rs u r f a c eo f 血g p e d e s t a l ，l o w e rs u r f a c eo fr i n gp e d e s t a la n du p p e rs u r f a c eo fp e d e s t a ls u p p o r t c o l u m ( 3 ) t h i sd i s s e r t a t i o np u tf o r w a r dan e wm e t h o dw 1 1 i c hd e f i n e sc y c l i cs y m m e l r y b o u n d a r yc o n d i t i o nb yc o u p l e ds e t s t h em e m o dr e s o l v e st h ep m b l e mm a td e m e n t p r e t s l 7 9i na n s y sc a l l i l tb eu s e dt 0s i m u l a t ep r c t e n s i o nl o a di nc y c l i cs ”n m e t r y s t l l l c t i l r e ( 4 ) f i n i t ee l e m e n tm e t h o di s 印p i i e dt os t a t i cs 廿e n 垂ha 1 1 a l y s i so fg s 一e ri n f o u rl o a dc a s e ss 印a r a t e l y e v e r yg s n 1 e rc o m p o n e n t sm a x i i m l ms t r e s s ，m a x i m l 】m s t m i na n dt h e i rl o c a t i o n so fg s r ra r eo b t a 血d s t a t i cs t r e n g t ho fa l lc o m p o n e n t s o f g s 一 e rh a v eb e e nc h e c k e d ( 5 ) f i l l i t ee l 锄e n tm e t h o di sa p p l i e dt om o d a la 1 1 a l ”i so fg r a v i t ys u p p o r t so f i t e 凡a n dn a c l l r a l 行e q u e n c i e sa n dv i b m t i o m o d e so fg s i t e ra r eo b t a i n e d g s i t e r sd y i l 锄i cf b a _ t l l r e sa n dw c a 王【c o m p o n e n 乜a r e d i r e c t l ya n a l y z e db y 们b r a t i o nm o d ed i a 争锄s 删a n i m a t e dd i s p l a y s t h er e s u l t so fm o d a la n a b 唱i s p r o v i d et h e o r c t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h ei m p r o v e dd e s i 弘o f g s 一e r ( 6 ) a c c o r d i n gt ob u c k l 堍a n a l y s i s p a r t i c u l a r i 哆，f i n i t ee 1 锄e mm o d e lo f g s - 皿ri se s t a b l i s h e d a ：f i n i t ee l e m e 址b u c k l i n ga 1 1 a l y s i sm e t h o da n dm a i ns t 印s a r ep u tf b 朋a r d ，a n de i g e n v a l u eb u c k l i n ga i l a l y s i so fg s - m 猥i sd o n e t h er e s u h o f b u c k l i n ga i l a l y s i si n d i c a t e st h a t 也e r ei sn ob u d d 吨p h e n o m e n ao fg s i t e ru n d e r g i v e nl o a dc a s e c o m p a r a t i v e l y t h er i g i d i t yo ff l e x i b l ep l a t e si s 也ew e a k e s ti n g s 卫r k e yw o r d s ：g r a v 埘s u p p o r t so fm ! r ；f i i l i t ee l e i n e n t ；a n s y s ；c y c l i cs y n l m 蝴 s t a t i ca n a l y s i s ；m o d a la n a l y s i s ；b u c k l i n ga n a l y s i s 四川大学硕士学位论文 声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有，特此声明。 导师签字望塑塑 学生签字全! 壁鱼 日期坳：! ! 塑 日期鲨掣 四川大学硕士学位论文 1 1 课题背景及意义 第一章绪论 自从第一次石油危机以来，世界各国都在竞相发展节能技术，但是人类目 前可利用的能源资源毕竟有限，主要能源将在未来几十年至一百多年的时间内 枯竭。今后几十年里，由于世界各国争夺石油资源，将不可避免发生国家之间 的冲突乃至战争，最近的伊拉克战争就是争夺石油资源最好的例子。同时传统 能源还会带来环境问题，如温室气体的增加可引起气候变化等。而核电站放射 性物质泄漏事故，核燃料的埋藏处理等终究会给人类带来安全隐患。由中国、 美国、欧盟、日本、俄罗斯、韩国、印度等国参加的国际热核聚变实验堆i t 既 ( 工n t e r n a t i o n a lt h e r m o n u c l e a re x p e r i m e n t a lr e a c t o r ) 合作计划，将在很 大程度上改变目前世界能源格局，使人类今后拥有取之不尽、用之不竭的清洁 能源【”。 i t e r 涉及的领域包括超导研究、高真空、生命科学( 复合光纤、遗传基因 密码破译、超高纯度药品制造) 、遥控密封、环境科学( 地球模拟、电力储藏、 环境气体精密测定、磁气分离系统、氢能源利用、微波电力输送) 、等离子计量 和控制、信息通信( 超高速数据处理、遥控控制系统、大型液晶显示屏幕等) 、 r f 加热技术、n b i 加热技术、纳米材料( 等粒子束高速精细加工、高周波环境 下陶瓷烧制、超高真空环境、高性能材料的制造) 等等学科【h 】。国际热核聚变 实验堆i t e r 的研究、设计和建造不仅有望解决世界能源危机，而且还能极大地 推动参与国的科学技术的发展，提高它们的科学技术的综合水平。核聚变反应 的研究已有几十年的历史，并带动了一些尖端科技领域的进步。 i t e r 重力支撑结构是核聚变试验堆必不可少的重要组成部分，它的失效将 导致试验堆不能正常工作，甚至引起严重事故。因此，对i t e r 重力支撑结构进 行静力分析、动态分析等具有重要意义。由于i t e r 重力支撑结构的形状和工作 载荷都极其复杂，对i t e r 重力支撑系统的强度和刚度进行计算时，要得到精确 的解析解是不可能的。为了获得能满足工程要求的数值解，本文运用a n s y s 有 限元软件对i t e r 重力支撑结构进行静力学分析、模态分析和屈曲分析。分析了 四川大学硕士学位论文 i t 职重力支撑系统在各种工况下其主要零部件的机械强度和支撑系统整体的抗 屈曲能力。此外，本文还应用结构振动理论对i t e r 重力支撑系统进行了动力学 模拟和动态性能研究。 本课题来源于核工业西南物理研究院，研究成果可为i t 职重力支撑结构的 建造奠定理论基础，对提高i t e r 重力支撑结构及其各零部件的质量，缩短生产 周期，减少试件浪费具有重要的理论意义和实用价值。 1 2 i t e r 的研究现状及发展趋势 国际热核聚变研究始于2 0 世纪5 0 年代初。经历了从最初的少数几个核大 国进行秘密研究的阶段，到2 0 世纪5 0 年代末的技术解密，再到2 0 世纪6 0 年 代后世界范围内许多国家合作参与的研究阶段。在磁约束受控核聚变途径的探 索方面，也经历了从快箍缩、磁镜、仿星器等过程【3 ，5 】。 2 0 世纪8 0 年代以来，国际磁约束受控核聚变研究取得了显著进展，一批 大型和超大型托卡马克装置( 如，美国的t f t r 、欧共体的j e t 、日本的j 卜6 0 u 、 前苏联的t 一1 5 等) 相继建成并投入运行。多项聚变工程关键技术迅速发展、高 温等离子体的参数逐渐提高，主要物理参数已接近达到为实现受控核聚变所要 求的数值，人类已经看到了实现聚变能源的曙光【5 】。 1 9 8 5 年，在美、苏首脑的倡议和国际原子能机构的支持下，提出了设计和 建造国际热核聚变实验堆i t e r 的计划。1 9 8 7 年，通过国际合作，美、苏、欧、 日四方开始进行i t 职的设计，1 9 9 0 年完成了i t e r 的概念设计( c d a ) 。1 9 9 8 年， 美、俄、欧、日四方共同完成了工程设计( e d a ) 及部分技术预算。2 0 0 1 年完成 了i t e r 的设计，并建成了主要原型部件。 2 0 0 6 年5 月2 3 日，i t 既各成员国在布鲁塞尔签定成立i t e r 国际组织联 合实施i t e r 计划的协定和给i t e r 国际组织以特权与豁免的协定。根据这 些协定，i t e r 反应堆将建在法国的卡达拉什，项目预计持续三十年，前十年用 于建设，后二十年用于操作实验 “。 目前，i t e r 参与国有中国、美国、欧盟、俄罗斯、日本、韩国、印度。美 国于1 9 9 8 年宣布退出该计划之后，又于2 0 0 3 年2 月1 8 日重新加入这项大型国 际计划，中国也于同一天宣布作为全权独立成员国正式加入该项计划。 ， 四川大学硕士学位论文 迄今为止，国内外学者发表了大量有关i t e r 聚变装置的学术论文 卜d “。文 献 9 以i t e r 为对象，初步研究了环径比接近2 的托卡马克堆芯等离子体的基 本特征。从h 模约束要求和氘氚燃烧实验出发，讨论了相关的基本问题：比压极 限和密度极限、基本等离子体参数间的调整、氘氚自持燃烧条件等。文献 1 0 介绍了i t e r 真空室内屏蔽结构的特点，提出了内屏蔽结构的虚拟设计体系结构 模型。文献 1 1 根据i t e r 真空室中子屏蔽组件的设计概念和结构特点，应用有 限元分析软件a n s y s 对结构组件进行静力学分析和热一结构耦合分析。文献 1 2 在参考i t e r 和j t 一6 0 u 等先进偏滤器结构的基础上，结合f e b - e 的实际要求，对 原来的f 髓开放式偏滤器进行了结构的优化设计，并介绍了f e b e 偏滤器结构的 设计特点。文献 1 4 2 2 对i t e r 超导磁体系统进行了初步设计，并应用有限元 方法对磁体系统进行了力学性能分析。文献 2 5 应用t r a n s x 程序完成了基于 f e n d l 2 0 的新库制作，以及中子输运程序和数据库的基准检验；然后应用二维中 子输运程序t w o d a n t ，计算和分析了中国氦冷l i 。s i 0 。固体氚增殖剂的试验包层 模块的功率密度分布、增殖区产氚特性、结构材料的中子辐照特性、结构材料 和增殖材料的产氢和产氦等特性，并给出个经合理优化的t b m 中子学初步设计 结果。文献 2 6 采用通用的计算流体力学软件f l u e n t 对应用于国际热核实验 堆( i t e r ) 的实验包层模块( t b m ) 的第一壁b e 、b e 球床中子增殖区、l i ；s i o 。陶瓷 球床氚增殖区、以及结构材料的温度场和氦气流道内流场进行了三维数值模拟， 研究了t b m 的温度场及冷却管道内的氦气流场的分布。文献 2 8 基于i t e rc h h c s bt b m 的设计特点，设计了相关的氚工艺辅助系统。描述了氚提取系统( t e s ) 、 冷却剂纯化系统( c p s ) 、氚测量系统( n i s ) 的功能、设计参数和工艺流程等。 文献 2 9 在中国向i t 职实验包层工作组提交的双功能锂铅实验包层模块 ( d f l l t b m ) 的设计分析的基础上，通过对d f l l t b m 系统相关的瞬态事故，如真 空室内部冷却剂泄漏事故、t b m ( 实验包层模块) 内部冷却剂泄漏事故以及真空室 外部冷却剂泄漏事故等进行计算分析，评价了d f l l t b m 对i t 职在热工方面的 安全性的影响。 总之，由于国内外科技工作者对i t e r 聚变实验堆的不断开拓研究，已取得 了若干有重要理论和实际意义的成果。但是，人们对i t e r 聚变实验堆的研究还 并不完善。特别是对i t e r 重力支撑结构的研究还甚少。缺乏对i t e r 重力支撑 结构各零部件的系统的静力学分析，缺乏对i t e r 重力支撑结构的动态性能的研 3 四川大学硕士学位论文 究，缺乏可借鉴、可资利用的系统振动模型，缺乏对支撑结构的模态分析和屈 曲分析。因此，本文将在这些方面展开研究工作。 1 3 本文的主要研究内容 i t e r 重力支撑结构用于支撑整个i t 职装置的重力、装置正常运行时产生的 热负载、电磁力负载和非正常运行时产生的外载荷( 如地震载荷) 。本文以i t e r 重力支撑结构为研究对象，利用a n s y s 有限元软件，建立i t e r 重力支撑结构的 有限元模型，对i t e r 重力支撑结构进行有限元静力分析、模态分析和屈曲分析。 具体内容包括以下几个方面： ( 1 ) 针对i t e r 重力支撑结构及其在不同工况下的载荷的特点，建立各工 况下i t e r 重力支撑结构的有限元模型。 ( 2 ) 应用有限元方法对各种工况下的支撑结构分别进行静力学求解，求出 i t e r 重力支撑结构各个零件的最大应力、最大应变的位置以及最大应力的数值。 分析i t e r 重力支撑结构各零部件的静强度。 ( 3 ) 应用有限元方法研究i t 职重力支撑结构的动力学特性，对i t e r 重力 支撑结构进行模态分析，求出支撑结构的固有频率和振型。 ( 4 ) 应用有限元方法对i t e r 重力支撑结构进行屈曲分析( 失稳分析) 。求 出i t e r 重力支撑结构的屈曲载荷系数，分析i t e r 重力支撑结构的稳定性。 4 四川大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章三维有限元分析的理论基础 目前，在工程领域常用的数值模拟方法有：边界元法、有限单元法( 或称 有限元法) 、有限差分法和离散单元法等。由于有限单元法的灵活性和有效性， 它己成为当今工程分析中应用最广泛的数值计算方法，越来越受到工程技术界 的重视。随着计算机科学和技术的快速发展，有限单元法已成为计算机辅助设 计( c a d ) 和计算机辅助制造( c a m ) 的重要组成部分。 有限单元法的基本思想是：将一个连续的弹性体进行离散化，分割成彼此 用节点连接的有限个单元，然后对单元进行分析，用节点位移来表示结构的变 形，再建立整个结构的总位能关于结构位移的表达式。根据变分原理，可以得 到一个以节点位移为未知数的大型线性方程组，然后用人们所熟知的消元法或 迭代法，即可求出各节点的位移近似值。进一步可求出各个节点的应力、速度、 加速度值。这种先分后合，以有限个单元来代替连续的弹性体的方法就是有限 元法的基本思想p “。 本章首先扼要地引述了弹性力学问题的基本方程和与其等效的两个变分原 理一最小位能原理和最小余能原理。根据i t e r 重力支撑结构具有周期对称性的 特点，本章还简单讨论了周期对称性结构的有限元处理方法子结构法。 2 2 弹性力学基本方程 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6 个应力分量盯。，仃， 盯：，r 。，f ，吃来表示。其中盯：，仃，仃：为正应力；f 。，f 。，吃为剪应 力。对应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正 方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为 负；相反，如果一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力 分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图 2 1 。 四川大学硕士学位论文 应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量，可写成 p ) = = 【盯，仃y ，盯：，f 掣，f 肛，_ f 盘】7 ( 2 一1 ) 弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即产生弹性体位置的移动和 形状的改变。 图2 1 平行六面微分体应力分量 表示，其矩阵形式为 m 卅刊7 z ， 6 以西以细和红 四川大学硕士学位论文 式中，缸 称为位移列阵或位移向量。 弹性体内任意一点的应变，可以用六个应变分量，占，占：，。， 来表示。其中占。，g ，占：为正应变；，y 。为切应变。正应变以伸长时 为正，缩短为负；切应变以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正， 反之为负。 应变的矩阵形式是 占) = 占j 占y 占： y 掣 r 岿 ，盟 = 占；，占，占，y 掣，y 归，y 矗】7 ( 2 3 ) 式中，斜称作应变列阵或应变向量。 对于三维问题，弹性力学基本方程可写成如下形式 3 2 ，3 3 1 。 2 2 1 平衡方程 弹性体v 域内任一点沿坐标轴x ，y ，z 方向的平衡方程为 等+ 孥+ 簪+ 7 ，：o a x8 va z 。x 车+ 堡+ 盟+ 丁，：o o xo va z 。 冬+ 孥+ 等+ 7 ：o d xd vd z ( 2 4 ) 其中7 。，7 ，7 ：为单位体积的体积力分别在x ，_ y ，z 方向的分量。根据切应 力互等定理有f f = ，= f ，f 。= f 。 在v 内，平衡方程的矩阵形式为 m7 盯) + 7 ：o ( 2 - 5 ) 7 四川大学硕士学位论文 其中， 7 是体积力张量， 7 ： 7 。7 ，7 ：】7 ；陋】是微分算子，其表达式 如下 【上】_ 2 2 2 几何方程一应变位移方程 ( 2 6 ) 在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变方程和 位移向量间的几何关系为 a a )a 扛，l 毛2 瓦 占，2 万 吃2 瓦 i a “ a 1 )a )a d ，az za 虚)f 2 而+ 瓦2 ，2 瓦+ 而5 ，y “2 瓦+ 瓦2 叫 在v 域内，几何方程的矩阵形式为 忙) = m “) 2 2 3 物理方程一应力应变方程 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 弹性力学中应力应变之间的转换关系也称为弹性关系。对于各向同性的线 弹性材料，应力应变的表达式用矩阵形式表示为 8 o o a把o a一砂a一如 o a一却o a一缸a一如o a一缸o o a一砂o a 一把 四川大学硕士学位论文 其中 d 2 两尚 仃) = 【d 占) ( 2 9 ) ( 2 一l o ) 式中， d 】称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量e 和泊松比v 。 2 2 4 力的边界条件 已知在力边界s 。上弹性体单位面积上作用的面积力为亍，e ，于：，假设 弹性体在边界单位面积上的内力为t ，l ，t ，根据力的平衡条件应有 t = 丁：，l = r ，t = n ( 2 一1 1 ) 设弹性体边界外法线的方向余弦为n ，胛，栉：，则边界上弹性体的内力可 由下式确定 t = 咒x 仃j + 犯y f f + n ：f l = 甩；彳删+ h ，仃y + 托：f 纠 t = 以z f 船+ 甩y f 弦+ ，z ：盯： 在s 。上，式( 2 一1 2 ) 的矩阵形式为 r ) = 忙 其中 丁 = ，z 】 仃 9 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 一1 4 ) o o o o o o o 0 ov v y 一 【 v v l v l 。 。一2 v o乏一2。字 字 称 对 四川大学硕士学位论文 2 2 5 位移边界条件 ( 2 一1 5 ) 在弹性体位移边界瓯上弹性体的位移已知为云，云，石，即有 “：云，u ：云，国；鬲 ( 2 1 6 ) 在鼠上，用矩阵形式表示为 ( “ = j ( 2 - 1 7 ) 以上是三维弹性力学问题中的一组基本方程和边界条件。同样，对于平面 问题、轴对称问题等也可以得到类似的方程和边界条件。 2 2 6 弹性体的应变能和余能 单位体积的应变能( 应变能密度) 为 u ( 占) = 妻 占) 7 【d 】 占) ( 2 一1 8 ) 二 应变能函数是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时( 占= o ) ， 应变能才为零。 单位体积的余能( 余能密度) 为 矿( 盯) = 妻 盯) 7 c 盯 ( 2 一1 9 ) 二 式中， c 是柔度矩阵。 c = d 】- ，它和弹性矩阵是互逆关系。余能函数也是 个正定函数。在线性弹性力学中弹性体的应变能等于余能。 1 0 10j o k o b b k o o o o o k o 0 ，l = 1 j jk 四川大学硕士学位论文 2 3 微分方程的等效积分与变分原理 2 3 1 微分方程的等效积分形式 工程中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的 形式提出来的，一般地，在域力内表示为未知函数甜应满足微分方程组【3 4 】 i 爿t ( “) i 爿0 ) = i 彳2 ( “) i = o ( 2 2 0 ) l ； j 其中，域力可以是体积域、面积域，如图2 2 所示。在域刃的边界，上，未知 函数“还应满足边界条件 子。微分方程数应和未知场函 。 数的个数相同。因此，上述微 图2 2 域力及其边界， 分方程可以是单个的方程，也可以是方程组。所以在式( 2 2 0 ) 和式( 2 2 1 ) 中采用了矩阵形式。 因为微分方程组( 2 2 0 ) 在域力中每一个点都必须为0 ，所以就有 l u 7 4 ) 正国= ( u 。4 m ) + u ：彳： ) + - - ) d 妇；o ( 2 2 2 ) 其中 u = - l 吃屿】1 ( 2 2 3 ) 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。 1 1 四川大学硕士学位论文 式( 2 2 2 ) 是与微分方程组( 2 2 0 ) 完全等效的积分形式。因此，若方程 ( 2 2 2 ) 对任意的d 都能成立，则微分方程组( 2 2 0 ) 在域内任意一点都能得 到满足。 同理，假如边界条件( 2 2 1 ) 亦同时在边界上每一点都得到满足，则对于 一组任意函数u ，下式应当成立。 石7 詹( “) 卯；( 一，骂 ) + 5 ，占：( “) + ) 矿；o ( 2 屯4 ) 因此，积分形式 u7 4 ( “) 棚+ 石7 b ( “) 扩= ” ( 2 _ 2 5 ) 对于所有的p 和u 都成立等效于满足微分方程组( 2 2 0 ) 和边界条件( 2 2 1 ) 。 我们将式( 2 2 5 ) 称为微分方程的等效积分形式。 2 3 2 线弹性力学的变分原理 弹性力学变分原理包括基于自然变分原理的最小位能原理和最小余能原 理，以及基于约束变分原理的胡海昌一鹫津久变分原理和h e l l i n g e r r e i s s n e r 混合变分原理等【3 4 1 。本文主要讨论最小位能原理和最小余能原理。 2 3 2 1 最小位能原理 最小位能原理的建立可以从虚位移原理出发。虚位移原理的表达式为 f ( 鸭一占“，7 ，) d 矿一j “，亍一订= o ( 2 _ 2 6 ) 其中，q 是应力张量；j s “是虚应变；占“；是真实位移的变分。 的物理方程式( = d 彬) 代入上式，则可得到 f ( 占勺一j “；7 。) d y 一占“，亍i 订= o 由于d 彬是对称张量，并利用式u ( 占。) = 丢p 州白，则有 p 勺) 。州e 。= j ( 丢d 州白占。) = j u ( 占。) 如将弹性力学 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 由此可知式( 2 2 7 ) 中体积分的第一项就是单位体积应变能的变分。 1 2 四川大学硕士学位论文 在线弹性力学中，假定体积力，：和边界上面力死的大小及方向都是不变 的，即可从位势函数伊 ：) 和妒( 吩) 导出，则有 一j 妒“，) = ，j h l ，一j y ( “，) = r t j “i ( 2 2 9 ) 将式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 代入式( 2 2 7 ) ，可得到 万兀，= o ( 2 3 0 ) 其中 n ，= ，0 ；) = f u ( 白) + 妒( “。) d 矿+ f 。缈( 峨) 船 = f ( 圭铲“一蔬) d y 一弘，嘏 ( 2 哪) 式中，n 。是系统的总位能，它等于弹性体变形位能和外力位能之和。式( 2 3 0 ) 表明：在弹性体内连续可导，并在弹性体边界上满足给定位移条件式( 2 1 7 ) 的所有可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。还可以进一步证明在所 有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值，因此式( 2 3 0 ) 所表述的称 为最小位能原理。 2 3 2 2 最小余能原理 最小余能原理的推导步骤与最小位能原理类似，只是现在是从虚应力原理 出发，作为几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式的虚应力原理的表 达式如下： f 占盯f 白d 矿一鼻万霉，嚣= o ( 2 3 2 ) 将线弹性物理方程式的张量形式岛= c 。盯。代入上式，即可得到 j ，巧q 仃h d 矿一1 媚 - 勰= o ( 2 _ 3 3 ) 1 因为c 倒是对称张量，并且余能表达式矿( 吒。) = 寺c 州仃f ，所以上式体积分 内被积函数就是余能变分。这是因为 1 j 盯f c 归= j 岳c 彬盯f ) = 占矿( 盯删) ( 2 3 4 四川大学硕士学位论文 而式( 2 3 3 ) 中面积分内的被积函数，在给定位移“；保持不变的情况下是外力 的余能。因此，式( 2 3 3 ) 可以表示为 引= o ( 2 3 5 ) 其中 玎。= 兀。b ，) = f 矿( 。) d 矿一z 云r 硒 2f 圭c 州嘞盯“一l 王五；嘏 ( 2 - 3 6 ) 式中，兀，是弹性余能和外力余能的总和，即系统的总余能。式( 2 3 5 ) 表 明，在弹性体内满足平衡方程和力的边界条件的所有可能应力中，真实应力使 系统的总余能取驻值。还可以进一步证明在所有可能的应力中，真实应力使系 统总余能取最小值，因此式( 2 3 5 ) 表述的是最小余能原理。 2 4 周期对称结构 工程实际中，有一类结构如图2 3 ( a ) 所示，它的几何形状沿周向呈周期性 变化，在力学上称它们为周期对称结构( 或称循环对称结构，或称旋转周期结 构) ，如齿轮、气轮机和水轮机的叶轮等都属于这类结构。它们不同于轴对称结 ( a ) 周期对称结构 ( b ) 沿周向的一个子结构 图2 3 周期对称结构划分子结构 1 4 四川大学硕士学位论文 匿麓心= 圈 。， l k j c 置c ck l l cl = if cl ( 2 3 7 ) l 置二k 乞k 。l ia 。libi 其中矗。，分别表示典型子结构的内部节点，删边界节点和肋边界节 点的位移矩阵，疋，e ，b 分别是对应的载荷矩阵。刚度矩阵也作了相应的 盘b = a 口：= 旯口：= 兄口爿 ( 2 3 9 ) 四川大学硕士学位论文 ，卜o s 妒s i n 妒 = l s i n 妒c 。s 妒j = 1 l 厅 互j 叫j 一三压 1 2 。2 ( 2 4 0 ) 将上述转换关系代入( 2 3 7 ) 式，并用旯7 前乘其第三式两端，则可得到 到卧斟 c 纛 现在独立的节点自由度只有l 和，因此上式中和吼相关的分块矩阵应与合 并。这样一来，最后得到的子结构求解方程可表示成如下形式 p 急恐根譬髟譬黼= 巴爿c z t z ，lk 孟+ 如磁j l 玎c jl 疋j 其中上标“ ”表示经过坐标变换的矩阵，并且有 匿么= k 。五置0 7 ： 醍8 = 定k | ；l ( 2 4 3 ) 砭b = k c b 九兄= 丸t p b 式( 2 4 2 ) 实质上是整个周期对称结构的求解方程，因此利用此式的解答 和周期对称性可以得到整个结构的全部解答。 1 6 四川太学硕士学位论文 第三章 it e r 重力支撑结构有限元模型的建立 3 1 引言 有限元分析的最终目的是还原一个实际工程系统的数学行为特征，即分析 必须针对一个物理原型的准确的数学模型。广义地讲，模型包括所有节点、单 元、材料属性、实常数、边界条件，以及其它用来表现这个物理系统的特征。 在a n s y s 术语中，模型生成一般狭义地指用节点和单元表示空间体域及实际系 统连接的生成过程。要对i t e r 重力支撑结构进行各种类型的有限元分析，首先 必须存在与i t 职重力支撑结构相等效的数学模型。 在建立i t e r 重力支撑结构有限元模型之前，应该对进行整体规划，明确分 析的目标、模型包含的细节、选用何种单元、确定合适的网格密度。本章i t e r 重力支撑结构模型建立的正确与否，直接关系着第四、第五、第六章对i t e r 重 力支撑结进行有限元分析的成功与否。 本章针对i t e r 重力支撑结构的具体特点，详述了i t 职重力支撑结构有限 元模型建立的过程。 3 2 有限元软件a n s y s 介绍 3 2 1a n s y s 概况 国际上早在2 0 世纪6 0 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分 析程序，但真正的c a e 软件诞生于7 0 年代初期，而近2 0 年则是c a e 软件商品 化的发展阶段【3 5 刀。目前流行的c a e 软件主要有a n s y s 、n a s t r a n 、a d i n a 、m a r c 、 c o s m o s 、a b a q u s 等。 a n s y s 是融结构、热、流体、电磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件， 已经广泛应用于石油化工、航天航空、机械制造、铁道、国防军工、核工业、 造船、汽车交通、土木工程、轻工、地矿、和日用家电等一般工业及科学研究。 该软件不断汲取新的计算方法和计算技术，为用户提供了不断改进的功能清单， 包括高度结构非线性分析、计算流体力学分析、电磁分析、接触分析、声学分 四川大学硕士学位论文 析、压电分析、优化设计、白适应网格划分及