（概率论与数理统计专业论文）banach空间上的随机加权和的收敛性.pdf

前言 本文主要研究了关于b a n a c h 空问的几何性质( p 型性、凸型性、p 阶光滑性) 与随 机元阵列的随机加权和的收敛性之间的关系，由两部分组成。 第一部分主要给出了b a n a c h 空间具有p 型性与随机加权和具有收敛性的几个等价性 定理，这些定理推广了 7 的几个主要结果，并且包含了 8 ， 9 ， 1 0 ， 1 1 ， 1 2 】中 某些定理的结果。 第二部分主要给出了在b 是p 阶光滑空间的条件下，鞅差阵列随机加权和的依概率 收敛性和，平均收敛性，这些结果推广了1 5 1 中的几个主要结果。 2 致谢 本文是在导师张立新教授的指导下写成的，在此向尊敬的张老师表示诚挚的谢意，感 谢他两年半来给予我悉心的教诲和关怀； 同时感谢林正炎教授和苏中根教授在我两年半的求学生涯中对我的指导。林正炎教授 知识渊博、治学严谨，在他的言传身教下我受益非浅；苏老师平易近人，关心学生，在平 时的学习和生活中给了我们莫大的鼓励和帮助。在此向他i f 1 表示诚挚的谢意。 此外，感谢资料室的余老师，王老师，方老师和谢师傅，他们默默无闻的辛勤工作给 我们提供了艮好的学习环境。 也要感谢我的同学，如果没有他 f f l 的帮助和与他i f i 进行的探讨，我是不可能完成这篇 文章的。 3 捅要 本文讨论了在p 型和b 凸b a n a c h 空间上的随机加权和fa n i 。的t 平均收敛 i = i t n 性及依概率收敛性，并从中给出了满足这些收敛性的充分与必要条件，以及在p 阶光滑 b a n a c h 空间下鞅差阵列随机加权和。d 。的r 平均收敛性及依概率收敛性。在以往 i = t l n n 的文献中讨论的随机加权和多为n 。墨这种形式，而本文给出了在更一般形式下随机 t = 1 加权和的收敛性，并对以前的一些定理作了一些适当推广。从1 9 7 8 年起人们开始研究在 可分的b a n a c h 空间或可分的线性赋范空间的随机元的随机加权和的收敛性，读者可以 参考w c i 和t a y l o r ( 1 9 7 8 a ，b ) ，t a y l o r 和c a l h o u n ( 1 9 8 3 ) ，o r d o 目, e z 和c a b r e r a ( 1 9 8 8 ) ，w a n g 和 r s m ( 1 9 9 5 ) ，h u 和c h a n g ( 1 9 9 9 ) ，t - ch ue ta 1 ( 2 0 0 1 ) 等人的文章。针对p 型和b 凸b a n e h 空间，w a n g 和r a o ( 1 9 9 5 ) 在随机元序列为随机有界的条件下，获得了下述几个结论： ( 口，| | - 1 1 ) 是实可分的b a n a c h 空间1 r 2 ，则下列陈述是等价的： ( a ) 对某一p ， p 2 ，b 是p 型b a n a c h 空间； ( b ) x 。是b 空间上均值为。的随机元，a 。是随机变量，并满足下列条件： ( 1 ) 五。 x ，且e x 7 。， ( 2 ) l 嚣臻，l a n z l 依概率收敛到0 ，且l n n t i 是一致可积的， ( 3 ) 任意 l ，有 o 。拖，1si 茎m 。) 是一列相互独立的随机元；每一个n 和i a 和 x 。独立， t ， n 则有：fo , n l x 。r 平均收敛到0 t = 1 ( b ，1 1 ) 是实可分的b a n a c h ，则下列陈述是等价的： ( a ) 7b 是b 凸b a n a c h 空间； ( 1 ) ) 墨。21 ) 是b 空间上均值为0 的独立随机元序列，a 。是随机变量，且满足下 列条件： ( 1 ) 对每一个，t ，m ，i ，墨。和a 。是相互独立的， ( 2 ) 墨。 - x 和e x 。， 【3 ) 7s u pl a n i l 依概率收敛到0 ， ( 4 ) s 叩e ( i ) o 。， ”1 1 z 1 1 则有：fo , n i x 7 。依概率收敛到0 2 兰1 【b ，1 1 ) 是实可分的b a n a c h 空间，则下列陈述是等价的： 【a ) b 是b 凸b a n a c h 空间； 【1 ：) ) ， x 。， 1 ) 是b 空问上均值为0 的独立随机元序列，a 州是随机变量，且满足下 列条件： 4 ( 1 ) 7 对每一个，f n ，i ，x 。和8 。是相互独立的， ( 2 ) 五。) x 和e x 。， ( 3 ) s u plr , t t 。 依概率收敛到0 ， i 1 ( 4 ) l n 。l 一致可积， t l 则有：f a n i x 。1 阶平均收敛到0 i l ( _ 口，”1 1 ) 是实可分的b a n a c h 空间1 r 2 ，则下列陈述是等价的； ( a ) 对某一p ，t - p 2 ，b 是p 型b a n a c h 空间； ( b ) j 0 是日空间上均值为0 的随机元，a 。是一列随机变量，并满足下列条件： ( 1 ) x n ) z ) = 0 ， ( 2 ) y i i 。a 。x k z i 依概率收敛到0 ，且f 。n z f 7 是一致可积的， ( 3 ) 任意n l 有， a n i x i ，l i m 。) 是一列相互独立的随机元；且每一个i l 和i ， 。和五独立， t ，l t 则有：f a n i x i 依概率收敛到0 i = j ( b ，”1 1 ) 是实可分的b a n a c h 空问1s7 2 ，则下列陈述是等价的： ( a ) 对某一p ，r p 2 ，b 是p 型b a n a c h 空间； ( b ) x 。是曰空间上均值为0 的随机元，a n i 是一列随机变量，n 1 ，1 ism 。并 满足下列条件； ( 1 ) 任意n21 有， x 。，n21 ) 是一列独立的随机元系列，且 n 。1si 曼m 。，n 1 l 和 ，n 1 独立， ( 2 ) ( 3 ) ( 4 y 则有： ) z ) = 0 1 1 i i 。1 1 8 。x 。a n i 依概率收敛到o ， 辫e 蚓= r 。， a n i x i 依概率收敛到0 本文第一章推广了上述结果。我们对上述定理的条件进行弱化：首先，用随机元阵列 替换随机元序列。其次，针对上面前三个结论，通过应用文献 6 】给出的随机元阵列关于 随机变量阵列一致可积的定义，去掉随机元序列随机有界条件而换为随机元与加权系数 一致可积条件，从而使所得命题1 、命题2 、命题3 更具一般性；针对上面后两个结论， 去掉随机元序列随机有界条件而换为一个较弱的条件，从而得命题4 和命题5 。所得结 果为： 命题l ：( b ，1 1 ) 是实可分的b a n a c h 空间1sr 2 ，则下列陈述是等价的： ( a ) 对某一p ， “ ) e f i x , 圳”0 ， 0 = l ” ( 4 ) 任意，。1 有， 。j 。，h 茎i ) 是一列相互独立的随机元 r z m 和x 。独立， 则有： f 。墨。r 平均收敛于0 命题2 ：( b ，i i ) 是实可分的b a n a c h 空间p 。 一o 。，u ns + ，则下列陈述是等价的： ( a ) 1 3 是_ 日凸b a n a c h 空间； ( b ) x m 是b 空间上均值为0 的随机元，o 。是随机变量，曼i 曼。，且满足下列 条件： ( 1 ) 对每一个n ， 五。i ，h i ) 是相互独立的， ( 2 ) 对每一个，r n ，i ，j ，x 。和a m j 是相互独立的， ( 3 ) 1 1 i 吣是关于 h i l ) 一致收敛， ( 4 )s u pl a n i i 依概率收敛到0 ， ，t z 畦；n f ” ( 5 ) p e ( i n n 。五钏= r 一。，茎十。，则下列陈述是等价的： ( a ) b 是口凸b a n a c h 空间； ( b ) x 。i 是b 空间上均值为0 的随机元，o 倒是随机变量，茎i 玉，且满足下列 条件： ( 1 ) 对每一个t z ， x 。，i ) 是相互独立的， ( 2 ) 对每一个n ，m ，i ，j ，x n i 和a m j 是相互独立的， ( 3 ) 圳蜀。吣是关于 l n 。1 ) 一致可积， ( 4 )s u pl a n i 依概率收敛到0 ， l n g p ” ( 5 ) 任意n 0 有，占恐e l n n z j 7 ， 1 a n i i 。 e i i x n i i 7 = 0 ， 2 = 口“ n 则有：fo x 。1 阶平均收敛到o 命题4 ：( b ，1 1 ) 是实可分的b a n a c h 空间1 r 1 ，t z 卜0 ， 0 = “ ( 5 ) 任意给定的n ，n l ， a n i x 。i ，如5i5 ) 是一列相互独立的随机元，任一个和 i ，都有a n i 和五。i 独立 i ，t 则有： n 。x 。i 依概率收敛到0 命题5 ：( 口，”i i ) 是实可分的b a n a c h 空间1 7 2 ，则下列陈述是等价的： ( a ) 对某一p ，。 。) = o ， ( 3 ) s u pi a n 。i 依概率收敛到0 ， ， ，z 蔓z 曼j t = f o o 则有：f i 墨。依概率收敛到0 i = t t t 本文第二章研究了b 值鞭差阵列加权和的收敛1 9 _ 。当空间具有p 光滑性，可以得到 一些关于该b 值鞅收敛性的命题与大数定律，h o f f m a n n j o g e n s o n ，p i s i e r ”】等人对此做 了大量的工作。在国内，胡亦均、甘师信等人在这方面也有深入研究。其中胡亦均( 1 9 9 1 ) 在1 5 中给出了下列几个结果： ( b ，”l | ) 是实可分的p 阶光滑的b a n a c h 空间1 p 2 ， d 。，n 1 ) 是口值鞅差 序列，对1 r p ， f l d 。忆n 1 ) 一致可积。实数矩阵 n 。；1 ，i 1 满足： ( 1 ) 任意n 1 ，i a n i t 茎1 1 ， r 为正常数 2 = 1 ( 2 1 ，县黯，贤i 2 0 ， 则f o 。d 。r 平均收敛到0 z = 1 ( 上 h ) 是实可分的p 阶光滑的b a n a c h 空间1 p 曼2 ， d 。，n21 ) 是口值鞍差 序列，对实数1 t 。 。) = o ， 7 目 m 。 霉 4 ( 2 ) s u p e i i d 。旷 。， j ( 3 ) 7 任意， l ，t | t r ，f 为正常数 ( 4 ) ，坚恐i 。i i d 2 r l 5 0 ， 则对任意的k ，1 ： t 1 有，g 照e 8 “n d m 旷= 0 ， 本文第二章对上述结果做了适当的推广：首先，将鞅差序列换成鞅差阵列且加权系数 由实矩阵列替换为随机变量阵列，从而使得加权形式更一般化；其次，上述结论对加权系 数限制较强，而本文将加权系数与随机元结合起来给出相应条件从而使对加权系数的要 求减弱，上述结果即为本文定理的一种特殊情况。所得结果为： 命题6 ：( b ，i i ) 是实可分的p 阶光滑的b a n a c h 空间1 一。o ，坼。墨+ 。 1 r a ) e | | d n z = 0 ， ( 4 ) 任意， 1 ，7 hs isv ，。，有f z n i 和d 。独立，且o 。；是五f 可测的， 则有：fn 儿dr 平均收敛于0 z = f ” 命题7 ：( 口，1 ) 是实可分的p 阶光滑的b a n a c h 空间1 ps2 ， d 一五。i ，hs i i n ， ，l 1 是b 值鞭差阵列， n 。脚茎i ，n 1 ) 是随机变量阵列， 1 叫= 0 ， ( 5 ) 任意 1 ，si 茎，有o 。和d 。独立，且a n i 是，m 一可测的， 则有：f d 。依概率收敛到0 i = “ 命题8 ：( 口，) 是实可分的p 阶光滑的b a n a c h 空间1 1 是口值鞅差阵列，j z 。 一o 。，u n + o 。， ，胁si 茎，l 是随机变量阵 列，1 。 = 0 t = 口” p t t i ，有o 。和d 。独立，且n 。是五：一可测的 o n z d n l 旷 o o 则对任意的 ：，1 k r ，有。d 。平均收敛到o z = t l ， = ne m 攀 3 a b s t r a c t int h i sp a p e rw ed i s o u s st h ec o n v e r g e n c ei nt h er - t hm e a na n di n p r o b a b i l i t yf o rr a n d o mw e i g h t e d s u m so fr a n d o me l e m e n t si nat y p epa n db c o n v e x i t yb a n a c hs p a c e a n dg i v es o m en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h er a n d o m l y w e i g h t e ds u m s o ft h ef o r mf 五“t o c o n v e r g e ，a n da l s ow e l = “1 1 p n g i v et h ec o n v e r g e n c eo fw e i g h t e ds u m so fm a r t i n g a l ed i f f e r e n c ea r r a y so ft h ef o r mfa n i d zw i t h z = 1 1 ” v a l u e si nap - s m o o t h a b l eb a n a c h s p a c e m o s to ft h ep r e v i o u sp a p e r sd i s c u s st h er a n d o m l yw e i g h t e d s u m so ft h e f o r m n n i 五b u t i nt h i sp a p e rw ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c ef o rr a n d o m w e i g h t e ds u m s o fr a n d o me l e m e n t si nt h em o r eg e n e r a ls t r u c t ur e a n dt h ep a p e rc o n t a i n sr e s u l t sw h i c hg e n e r a l i z e s o m ep r e v i o u sr e s u l t s f r o m1 9 7 8o n ，i tb e g i n st ob es t u d i e dd i r e c t l yt h ec o n v e r g e n c eo fr a n d o m l y w e i g h t e dp a r t i a ls u m so fr a n d o me l e m e n t si ns e p a r a b l eb a n a c hs p a c e so ri ns e p a r a b l em o r m e dl i n e r s p a c e s ，i ng e n e r a l t h er e a d e rm a yr e f e rt ow e ia n dt a y l o r ( 1 9 7 8 a ，b ) ，t a y l o ra n dc a l h o u n ( 1 9 8 3 ) ，o r d o 礼e zc a b r e r a ( 1 9 8 8 ) w a n ga n dr a o ( 1 9 9 5 ) h ua n dc h a n g ( 1 9 9 9 ) ，t c h uc ta l ( 2 0 0 1 ) i l l t y t ) epa n db c o n v e x i t yb a n a c hs p a c e ，w a n ga n dr a o ( 1 9 9 5 ) p r o v e dt h ef o l l o w i n g ： l e t ( b ，l i ) b eas e p a r a b l eb a n a c hs p a c ea n d1 r 2 t i l ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa l e e q u i v a l e n t ： ( a ) bi so f t y p epf o rs o m er ps 2 ( 1 j ) 7 f o re a c hs e q u e n c e x n ，礼1 ) o fz e r o n l e a nr a n d o me l e m e n t si nba n df b re a c ha r r a y z ，o f r e a lr a n d o mv a , r i a b l e ss a t i s f y i n g ( 1 ) 7 墨。 x ，a n de x ” 。， ( 2 ) 7 呸i 。| l l a a m ( ：l a n ii ，n 1c 。n v e r g e s t ooi np r o b a b i l i t ya n d g r a b l e a 1 1 d ( 3 ) f o re a c l ln 1 ， o m x z ，1 i 茎t n ) i s af i n i t es e q n e i l e eo fi n d e p e n d e n tr a n d o n l e l e m e n t s ， a n df i ) re a c hna n di ，o n 2a n dx la x ei n d e p e n d e n t ， t i l ef b l l o w i n gh o l d s ： ij z a n i x i c o n v e r g e st o0i nt h er t hm e a n z = 1 l e t ( b ，1 1 ) b eas e p a r a b l eb a n a c hs p a c ea n d1s7 1 2 t h ei b l l o w i n gs t a t e n m n t sa i ! ( r l l l i v a e n t ： ( a 1 bi sab c o n v e xs p a c e ； ( b ) 7 f o re a c hs e q u e n c e j 气，n 1 ) o fz e r o - l n e & ni n d e p e n d e n tr a n d o me l e m e n t si nba n d e , a f ：l l a r r y n ，i 1 ，n 1 ) ，o f r e a lr a n d o mv a r i a b l e ss a t i s t y i n g ( 1 ) j ， 1 a n d o n 2 ，n 1 ，i 1 ) a r ei n d e p e n d e n t ， ( 2 ) 7 墨j xa i l d e x n x nc o n v e r g e st o0i np r o b a b i l i t y 。 l l e t ( b ，| | ) b e as e p a r a b l eb a n a c hs p a c e t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v m e n t ： ( a ) bi sab c o n v e xs p a c e ； ( b ) f o re a c hs e q t l e l l e e x n ，? 1 1 ) o fz e r o - i n e a ni n d e p e n d e n tr a l r d o i l le l e m e u t si nb a n d e a ：h a r r y “t 【t ，i21 ，n 1 o f r e a lr a n d o mv a r i a b l e ss a t i s t y i n g ( 1 ) x ，。，似1 ) a n d n m i ，n 1 ，i 1 a r ei n d e p e n d e n t ， ( 2 ) 五。) xa n de x 。， ( 3 ) 7s u pl o n zlc o n v e r g e st o0i np r o b a b i l i t y ，a n d i 1 ( 4 ) l a 。l i su n i f o r m l yi n t e g r a b l e ， 三1 t h ef o l l o w i n gh o h t s ： fa n i c o l l v e r g e st o0i nl l n o r m 1 j i e t ( 口，_ 1 ) b eas e p a r a b l eb a n a c hs p a c ea n d1 r 2 t h e n t h et b l l o w i n gs t a t s m e n t sa 阳 e q u i w f l e n t ： ( a ) 口i so f t y p ep f o rs o m er p 2 ； ( b ) ，f o re a c hs e q u e n c e j 0 ，n 1 ) o f z e r oi n e a l lr a l l d o l ne l e m e n t si nba l l de a c ha r r a y ( ” 1 i 兰m ， 1 o fr e a lr a n d o mv a r i a b l e ss a r i s f y i n g ( 1 ) 墨t ) $ ) = 0 ， l 器璺。酬，n 1 c 。n v e r g e s 抽o1 n1 ) r o b a b i l i t y a i l 4 i ，n 1 i 8u m 1 1 y i n t e g ia b l e , ，a n d ( 3 ) f o re a c hn 1 ， n m x i ，1si ” a r ei n d e p e n d e n tr a n d o md e m e n t s ，a n df o re a c h1 1 a n dk ，a r t 。a n dx ia l ei n d e p e n d e n t ， t i mt b l l o w i n gh o l d s ： f f l x zc o n v e r g e st ooi np r o b a b i l i t y i = 1 l e t ( b ，”l i ) b eas e p a r a b l eb a n a c hs p a c ea n d1 茎r 2 t h e n t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r ce q u i v a l e n t ： ( a ) 1 3i so f t y p e p f o , 。s o m er p 2 ； ( 1 ) ) 7 f o re a c hs e q u e n c e j 气，n 1 ) o fz e r oi l l e a l lr a n d o me l e n m n t si nba l l df o re a c ha r r a y n ，o fr e a lr a n d o m v m i a b l e ss a r i s f y i n g ( 1 ) 7 x 。，札1 ) ，i si d e p e n d e n t ，a n d o n 。，1 i m n ，扎1 ) a n d x n ， 三l ，) & l x e i n d e p e n d m l t ， ( 2 ) x “ z _ 0 ， ( 3 ) j 1 掣l a n i lc o n v e r g e st o0i np r o b a b i l i t y ，a n d r t ( 4 ) ，m ，a x e _ 3 - a n i = f 。， t i mf i f i l o w i n gh o l d s ： ，n f ( , w i 噩c o l l v e r g e st o0i np r 0 1 ) a b i l i t y 1 1 o u rr e s u l t si nc h a p t e ro t l e g e n e r a l i z et h er e s u l t s i na b o v e ，w el l s ea l l a r r a y o fr a l l d o l l l e l e n l e l l t 8i n s t e a do fa n s e q u e n c e o fr a i l d o m e l e m e n t s ，a n dr e l a xs t o c h a s t i c a l l yb o u n d e de o m l i t i o n s t om d f o r m i n t e g r a b i l i t yo ro t h e r s s ow eo b t a i nm o r eg e n e r a lr e s u l t s w eh a v et h ef o i l l o w i n g r e s u l t s ： p r o p o s i t i o n1 ：l e t ( 日，”1 1 ) b eas e p a a a b l eb a n a c hs p a c e1 玉r 2 t i l e nt i mf o l l o w i n g s t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( a ) b i so f t y p ep f o rs o l l l et n ) e i i x n ；旷= o ，a n d ( 4 ) f o ro a t h 礼1 ， 。j o i ，p n is 蜥 ) i sas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tr a n d o me l e n l e l l t s ， f b re a c hn ，i ，n iw a dx n ia r ei n d e p e n d e n t ， t h ef o l l o w i n gh o l d s ： “ 。a n i x i c o n v e r g e st o0i nl r - n o r l n 1 = l n p r o p o s i t i o n2 ：l e t ( b ， - 1 1 ) b eas e p a r a b l eb a m a c hs p a c e ，h 一o o ，l + 。t t m nt h e f i f l l o w i n gs t a t e i n e l l t s f l j e e q u i v a l e n t ： ( u ) b i sab e o n v e xs p a c e ； ( 1 j ) f o re a c ha r r a y 五l i o f z e r o - m e a nr a n d o me l e m e n t si nba n de a c ha r r a y i ) o fr e a l r a n d o l i iv a r i a b l e ss a t i s f y i n g ： ( 1 ) f o re a c h ， x i ) i s as e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tr a n d o me l e m e n t s ， ( 2 ) f o re a c hn ，r n ，i ，j ，x n ia n da m ，a i ei n d e p e n d e n t ， ( 3 ) 圳墨 i 吣i s i m u n i f o r m l yi n t e g r a b l e ， ( 4 )s u pi a n i ic o l l v e r g e st o0 i np r o b a b i l i t y ，a n d m t z 卟- ( 5 ) 8 u p e ( 7 。1 1 # “ n 。川j 气。i i ) = f 一o 。，坼ls + 。t h e n “l e t b l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( a ) bi sab c ( 】n v e xs p a c e ； ( i t ) f o re a c ha r r a y 五“) o f z e r o m e a nr a n d o me l e m e n t si nba n de a c ha r r a y a o f r e a l i - 0 a l d o i 1v a a i a b l e ss a r i s f y i n g ： ( 1 ) f o re a c hn ， 墨n ，i 曼) i sas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tr a n d o me l e m e n t s ， ( 2 ) f o re a c h7 z ，m ，i ，j ，互a n d “ma r ei n d e p e n d e n t ， ( 3 ) 删x m 吣i s i n n zm l m i f o r n i l yi n t e g r a b l e ， ( 4 1 s u p 。lc o i l v e r g e st 0o i np r o b a b i l i t y ，a n d 1 l l 三2 三” o ( 5 ) f o ra z l yn 0 ，。l 叶i m 。e 1 。m r i i l a j 啦e l l x n z r = o i = l t t 2 t h e “) l l o w i n gh o l d s ： f ；x n ；c o n v e r g e st o0i nl 1 一n o r m 1 p 1 r “o p o s i t i o n4 ：l e t ( 口，”i i ) b eas e p a r a b l eb a n a c l js p a c e t h e n t h eh ) l l o w i l l gh t a t m 1 t h a r ee q u i v a l e n t ： f a lb i so f t y p ep f o rs o i u er “1 0 ，a n d f5 1 f 。re a c l l7 t ， 。x 。_ zsi 曼ba q u e n c e 0 fi n d e p e n d e m , i l ( 1 。i nc l e m e l l t s ，f o r ( ! a c h ， a n di ，n ，2 4a n dx m s l - ei n d e p e n d e n t ， t h ei b l l o w i n gh o l d s ： fa w i x c o n v e r g e st o0i np r o b a b i l i t y 0 ；嚣p o s i t i o n 5 ：l e t i i ) b eas e p a r a b l e b a n a c hs p a c e t h e nt h ef o l l o w i u g * t a t e i l l t m 札 a r ee q u i v a l e n t ： ；盘伍”“j 妒加；筹”郇g ； ba n de m ha rrayanifore a e ta r r a ) 0 lm 川y o fz e r o - m e a l lr a n d o me l e m e n t si n ( b 1 l x n t 甘8 n d8 剐1 上1a r 。“_ j ”1 。“ 1 ”1 懈”“如k 8 ，s a 芝1 芝茎t 墨) a d e p e n d m n elenmll)for e a c hn i s s e q a e l l e eo f i n蝇， (， x n i ，上“茎t 墨l j a n 印o n n o l l o a “u o i l l “并t 。 f “曼i 曼蜥，礼1 ) a n d n n t ，p n i ，礼1 ) a r ei n d e p e n d e n ts e r i e 8 ， ( 2 ) l i 2 1 2s u p s u p , t r p l l 弼l l l z ) = 0 ， ( 3 ) s u p 一际玎一c o n v e r g e st o0i np r o b a b i l i t y , a n d ”型器 ( 4 ) s u p e r = r l l o w i n gh o l d s ： f 峋五c o n v e r g e s t o0i np r o b a b i l i t y i z = l l i c t l a p t e rt w o ，w eg i v c r e s u l t so fc o n v e r g e n c ef o rr a n d o l n l yw e i g h t e d8 t 1 1 1 1 8 ，o ，f ，u l a r t i n g a h j ( 1 i f l i 删a i i 州8w i t l lv a l u e si nb a n a c bs p a c e w h e n b a n a e hs p a c eh a v ep - s m ( 1 0 t 1 kp r o l 。t y w e ( a no b t a i ns o l n er e s u l t so fc o n v e r g e n c ea n dl a wo fl a r g en u m b e r sf o r 口一m a t i n g a l e al a i 。g e o fw o ikh a v eb e e nd o n eb yh o f f i n a n n j c g e n s o na n dp i s i e re ta 1 i l lc i v i ly j h uw i t hs - x g a l l e ta 1 h a sd e e p e ni n t or e s e a r c hi nt h i sr e s p e c t y j h ug i v et i l ef o l l o w i n gr e s l f i t s l e t ( b ，i i ) b eas e p a r a b l ep - s m o o t h a b l eb a n a c hs p a g e ( 1 p 2 ) ， d m 五一， 1 a s e q u e n c eo fm a r t i n g a l ed i f f e r e n c ew i t hv a l u e si nb a n a e h ， l i d n 忆n 1 ) i s m f i f o r m l yi n t e g r a b l e f i n s o l n er ，1sr p n n 2 ；n 1 ，i 1 ) a ma r r a yo fc o n s t a n t ss a r i s f y i n g ( 1 ) f o re a c ht l l ，l sf