（金融学专业论文）多期再保险的最优策略与资金门槛.pdf

学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：人人建发 日期：2 d o7 年6 月日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：从建发 导师签名： 李叶飞 日期：2 0 07 年6 月j 日 硕士学位论文 论文题目： 多期再保险的最优策略与资金门槛 专业：金融学 硕士生：从建发 指导教师：李仲飞教授 摘要 破产分析一直以来都是保险研究领域的经典的核心内容之一。而在破产分 析里，如何利用再保险等手段最小化保险公司的破产概率一直都是一个重要的 问题。然而，目前在离散时间框架下研究最优再保险策略的文献相对较少。本 文主要在离散时间框架下，通过建立存在再保险的离散破产模型，对最小化保 险公司破产概率的最优再保险策略作了深入的研究和讨论。 本文首先证明了我们可以使用动态规划来求解最小化保险公司破产概率的 最优多期再保险策略问题，并推导出最优多期再保险策略的一系列必要条件和 性质。然后，在上述结果的基础上，我们利用动态规划研究保险公司的最小破 产概率和相应的最优多期比例再保险策略。在一些特定的条件下，我们得到了 多期情形下保险公司最小破产概率和相应的最优策略的解析表达式。进一步， 我们提出一个新的概念：多期再保险的资金门槛。我们推导出比例再保险的资 金门槛的一个下限，并对多期再保险的资金门槛的经济意义，数学性质，实际 应用等作了详细深入的讨论。最后，本文研究了一种非比例再保险策略，并给 出了承保人的最优再保险策略及其相应的最小最终破产概率。 关键词：离散风险过程，多期再保险，最优策略，资金门槛 i 硕士学位论文 t i t l e ：t h e o p t i m a ls t r a t e g ya n dc a p i t a lt h r e s h o l do fm u l t i - p e r i o d m a j o r ： n a m e ： r e i n s u r a n c e f i n a n c e c o n gj i a n f a s u p e r v i s o r ：p r o f l iz h o n g f e i a b s t r a c t r u i na n a l y s i sh a sb e e nt h ec l a s s i c a lc o r e si nt h ef i e l d so fi n s u r a n c er e s e a r c h a n dh o wt om i n i m i z 贮t h ei n s u r e r sr u i np r o b a b i l i t yv i ae m p l o y i n gr e i n s u r a n c eh a s a l w a y sb e e na ni m p o r t a n tp r o b l e mo fr u i na n a l y s i s h o w e v e r ，t h e r ea r en o t8 0 m a n yl i t e r a t u r e sc o n c e r n i n gt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e g yi nt h e a m e w o r ko f d i s c r e t e - t i m e i nt h i st h e s i s ，b yi n t r o d u c i n gt h er e i n s u r a n c ei n t ot h ed i s c r e t e - t i m e r u i nm o d e l ，w em a j n l yf o c u so nt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e p c ! i rw h i c hm i i l i m j z e s t h ei n s u r e r sr u i np r o b a b i l i t yi nt h ef r a m e w o r ko fd i s c r e t e - t i m e i nt h i st h e s i s w ef i r s tp r o v et h a tw ec a na p p l yd y n a m i cp r o g r a m m i n gt os o l v e t h ep r o b l e mo fo p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e g y a l s os o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa n d p r o p e r t i e so ft h eo p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e g ya led e r i v e d t h e n ，b a s e do nt h e r e s u l t sa f o r e m e n t i o n e d ，w et a k ea d v a n t a g eo fd y n a m i cp r o g r a m m i n gt os t u d y t h ei n s u r e r sm i n i m a lr u i np r o b a b i l i t ya n dt h ea c c o r d i n go p t i m a lm u l t i - p e r i o d r e i n s u r a n c es t r a t e g y u n d e rs o m es p e c i a lc o n d i t i o n 8 w ed e r i v et h ec l o s e - f o r m e x p r e s s i o n so ft h ei n s u r e r 8m i n i m a lr u i np r o b a b i l i t ya n dt h ea c c o r d i n go p t i m a l m u l t i p e r i o dr e i n s u r a n c es t r a t e g y f u r t h e r m o r e ，w ed e f i n ean e wc o n c e p t ：t h e c a p i t a lt h r e s h o l do ft h em u l t i - p e r i o dr e i n s u r a n c e w ed e r i v eal o w e rb o u n do f t h ec a p i t a lt h r e s h o l do ft h em u l t i - p e r i o dr e i n s u r a n c e a l s ot h ee c o n o m i cs i g n i f i - c a n c e ，p r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o no ft h i sn e wc o n c e p ta r ed i s c u s s e d i nt h el a s t p a r to ft h i st h e s i s a n o t h e rk i n do fr e i n s u r a n c es t r a t e g yi 8s t u d i e d w eo f f e rt h e e x p l i c i te x p r e s s i o n so ft h eo p t i m a ls t r a t e g ya n dt h ea c c o r d i n gm i n i m a lu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t y k e yw o r d s ：d i s c r e t e - t i m er i s kp r o c e s s ，m u l t i - p e r i o dr e i n s u r a n c e ，o p t i m a l s t r a t e g y , c a p i t a lt h r e s h o l d l i 目录 第一章引言( 1 ) 1 1 对再保险的概述( 1 ) 1 2 再保险的必要性( 1 ) 1 3 文献回顾( 2 ) 1 4 本文的结构与安排( 4 ) 第二章最优多期比例再保险策略的必要条件( 5 ) 2 1 破产模型( 5 ) 2 2 最小破产概率( 7 ) 2 3 最优比例再保险策略的必要条件( 9 ) 2 4 本章小结( 1 4 ) 第三章最优多期比例再保险策略( 1 5 ) 3 1 最优单期再保险策略( 1 5 ) 3 2 最优两期再保险策略( 1 5 ) 3 3 两期情形的数值例子( 2 4 ) 3 4 最优多期再保险策略( 2 7 ) 3 5 多期比例再保险的资金门槛( 2 8 ) 3 6 本章小结( 3 1 ) 第四章非比例再保险策略( 3 2 ) 4 1 模型的建立。( 3 2 ) 4 2 常数再保险策略( 3 4 ) 4 3 动态再保险策略( 3 7 ) 4 4 本章小结( 3 9 ) 第五章未来的工作( 4 0 ) 参考文献。( 4 1 ) 攻读硕士期间发表的学术论文。( 4 4 ) 致谢( 4 5 ) 1 1 对再保险的概述 第一章引言 再保险，是保险公司在保险合同的基础上，以承保形式，将其承担的保险 业务部分或全部转移给其他保险人的行为。通俗来说，再保险就是保险公司为 自己所经营的保单购买保险的行为，也就是“保险的保险”。再保险实际上达 到了有偿转嫁其所承担的风险和责任的目的。它具有保险业。安全阀”和保险 市场“调控器”的独特功能。 再保险可以按多种标准进行分类，比如 ( 1 ) 按照承保的险种可分为财产险再保险、责任险再保险、人寿险再保险、意 外险再保险等： ( 2 ) 按照是否签订合约可分为临时再保险、合约再保险和预约再保险； ( 3 ) 按照原承保公司与再保险公司是否按一定的比例分担索赔额可分为比例再 保险和非比例再保险。 由于本文重点考虑的是比例再保险，因此下面我们对比例再保险作进一步 的解释说明。最基本的比例再保险是成数再保险，而在实际操作中还有一种称 为溢额再保险的比例再保险。成数再保险是指原承保公司按一定比例，将每一 风险单位向再保险公司办理再保险的方式。在这种形式的再保险下，原承保公 司与再保险公司将按约定比例分担可能的索赔额。溢额再保险是指原承保公司 规定一个最大承接保险金额( 称为一线) 作为自留额，当任何一个风险单位的 保险金额小于这一金额时，原承保公司自留全部责任；当保险金额超过这一金 额时，对超出的部分按成数再保险操作。 1 2 再保险的必要性 保险公司是经营风险的特殊机构。在保险公司的运作中，保费收入是主要 收入来源，理赔是主要支出和风险因素。当理赔金额超过一间保险公司的偿付 能力时，则该保险公司就会发生破产。保险公司对自身的经营活动必须全面负 责，在市场竞争中，经营不善就会有破产的可能。在国外，保险公司破产是很 自然的事情，1 9 7 8 - 1 9 9 4 年间，全球就有6 4 8 家非寿险公司破产。自然地，保险 公司最基本的经营目标是降低自己的破产概率，确保稳定运作。 可见，对保险公司进行风险管理，尽可能地降低其破产概率是十分必要 的。对保险公司进行风险管理的其中一个手段就是进行再保险。再保险发挥了 为保险公司分散赔付风险、扩大承保能力和巨灾保障功能，可减少重大突发事 件对保险公司的冲击，保障保险市场安全。 随着社会经济的发展，一次意外事故可能造成的物质损坏和人身伤亡的损 失程度不断扩大，保险公司也因此可能需要付出巨额赔付。如1 9 9 0 年中国广州 白云机场发生空难事件，三架波音飞机相撞，保险公司因此需要支付的赔款 金额为9 0 0 0 万美元：1 9 9 7 年7 月1 5 日1 4 时2 0 分，美视电力公司b 电厂发生爆炸事 1 硕士学位论文 故，造成美视b 电厂停产，美视电力公司g t l 3 e 2 燃汽轮机燃烧室、余热锅炉 水平烟道等严重损坏，赔款金额为3 3 8 2 万人民币；2 0 0 5 年2 月，一架麦道直升 机在飞往长江口锚地作业时发生机毁人亡事故，华安财保广东分公司向直升机 所有人一一华融公司赔付保险金5 5 0 0 万元。像这样大的损失若由单个保险公司 来履行赔偿责任的话，很可能导致该保险公司的财务发生困难，甚至因此而倒 闭破产。在类似的情况下，再保险就是保险公司分散风险的较为有效的方法。 事实上，即使保险公司愿意独自承担类似的巨额风险，保险监管机构也不允许 这样做。我国 0 ，p 0 分别表示承保人和再保险人的安全系数。根据无套利定价原 则，我们容易推知再保险人安全系数大于承保人安全系数，即肛 a 因为若 不然，承保人可以为所有业务都办理再保险，由于再保险人安全系数低于承保 人安全系数，所以承保人将获取无风险利润( 入一p ) e 【五1 我们考虑一个固定的有限时间范围，例如考虑保险公司在t 期内的情 况( t 是正整数) 。记口：= 侠 ：，则p 完全刻画了保险公司在这t 期内 的再保险情况，我们称p 为在这个时问范围内的一个再保险策略( 我们将以 概率1 相等的再保险策略看成是同一个策略) 。再记靠，t ：= 倾 。t 一士，称之 为在时间区间h ，卅内的一个子策略( 当n = t 时，6 1 1 t = o ，此时无需决 策) 自然地，再保险策略9 必须满足0 吼1 ，i = 1 ，2 ，t 我们记 o = f p10 仇1 ，i = 1 ，2 ，t ，并称之为可行策略集。对于一个秽o ， 我们用( n ) 表示在策略口下承保人在时刻n 的剩余资金。根据式( 2 - 2 ) ，我们 可以得到以下递推表达式： ( 1 ) = ( 卅c ( j l ， ( = u o ( n ) + c ( 靠+ 1 ) 一靠+ 1 j 0 + 1 其中n = 0 ，1 ，t 一1 ，初值( o ) = t 0 若承保人在时刻n ( n = 0 ，l ，t ) 的剩余资金为t i ，使用再保险策略p ， 则分别记承保人在时间区间k ，明内的生存概率和破产概率为醒( 牡) 和织( 牡) ， 即 醒( 牡) ：= p r ( u e ( n ) o ，v o ( n 十1 ) 0 ，u o ( t ) 0lu o ( n ) = 珏) ( 2 - 6 ) 根据承保人生存概率的定义，我们显然有 裤c 牡，= ：霎：三主 根据式( 2 - 6 ) ，由全概率公式可得以下递推表达式： ) ：z 掣醒( u 讹m 彬出，n = 1 2 ，z ( 刎 根据醒( 牡) 和记( u ) 的定义与关系以及式( 2 - 7 ) ，我们可得：对n = 1 ，2 ，t ， 记。( 缸) = 1 一以一i ( u ) 一f ( 竿) + z 掣蜘删山姚仁8 6 硕士学位论文 咖) ：| 1 若认0 ( 刎 10 ，若u 0 易知，当给定承保人时刻t l , 的剩余资金为“时，承保人在时间区间h ，卵 内的生存概率醒( u ) 和破产概率织( 牡) 只依赖于子策略靠，t ，而与【0 ，f , 1 上的 策略无关，因此，我们可以记船，t ( 牡) = 髭) ，船，t 托) = 识( u ) 于是， 式( 二8 ) 可以写为 扣n - - i = i - f ( 掣) + z 掣咖( 让+ c ( 啦删枷 ( 2 - 1 0 ) 2 2 最小破产概率 在实际操作中，承保人可以根据式( 2 - 8 ) 和式( 2 - 9 ) 所描述的情况，通过寻找 一个最优动态再保险策略，最小化自己的破产概率。在本小节里，我们将推导 出承保人在时间区间h ，邪内的最小破产概率。 定义如下递归表达式 “) o 爨。卜( 掣) + z 掣“圳咖帕_ ( 2 - 1 1 ) 其中n = l ，2 ，t ii ，若u ，任意0 ，子 策略畿t = ( 吒+ l ( ) ，晚+ 2 ( t t + 。) ，略( 鲫一1 ) ) 满足格t ( ) = 以( ) ，其中 t ，l 表示承保人时刻n 的剩余资金。 当n = t 时，对于任意u t 0 ，显然有 当n = t 一1 时， 萨t ( t t ) = 珏( 鲫) = 薯 扎= 。一m i n 1 一f ( 半) ) = 衙，t ( 缸) 即对任意鲫一1 o 有7 l t - _ 1 1t ( 鲫一1 ) = 珏一1 ( 鲫一1 ) 假设对任意牡七o 有簇t ( 缸七) = 氟( 让七) ，则根据式( 2 - 8 ) ，式( 2 - 1 1 ) 及先丁 的定义，我们可知对于任意让七一l 0 有 一f ( 爿产) + z 半话，t ( u k - 1 + c ( 驴洲讹 小f ( 爿产) + j ( 半氟( u k - 1 j r c ( 铲例挑 = 刮r a i n 叫半) + z 芈州小叫 上面的表达式说明彤蠢1 r ( 牡七一1 ) = 饥一l ( 一1 ) 对于任意嗽一l 0 成立。因 此，根据上述结果和数学归纳法，我们可知对于任意n 0 ，1 ，t ，任意 t 1 0 有时t ( t f 1 ) = ( ) 下面我们再利用数学归纳法证明对于任意n o ，1 ，t ) ，任意0 0 及任意u 0 有，织( u ) 怯( u ) ，由式( 2 - 1 2 ) 可知对于任意0 o 及0 有僻( t ) 妇( t i ) 假设对于任意0 o 及u 0 有锻( ) 杌( t ) ，则根据 8 顽士学位论文 式( 躺) 和式( 2 - 11 ) u - - j 得 “) = i - f ( 掣) + z 掣讹圳嘶帕 汁f ( 掣) + z 掣辄删嘶小枇 。一m i n 卜( 型0 7 蚍jz 掣讥州小删批 = 诎一。( u ) 因此，根据上述结果和数学归纳法，我们可知对于任意，l o ，1 ，t ) ，任意 0 o 及任意让0 有，识( t i ) 戗( 牡) 综合上述结果可知定理2 1 得证。 口 定理2 1 表明，式( 2 - 1 1 ) 实际上给出了承保人在时间区间h 一1 ，卅内的最小 破产概率的一个递归表达式。 使时间区间h ，卅内承保人的破产概率赡t ( u ) 达到最小的子策略如，t 称 为时间区间h ，邪内的最优再保险子策略，特别地，当n = 0 时简称为最优再 保险策略。根据定理2 1 及其证明，我们可知0 。= ( 劣( t l o ) ，宪( 牡1 ) ，( 鲫一1 ) ) 就是一个最优再保险策略，其中蛾表示承保人时刻i 的剩余资金，昵( 牡) 为函 数t ( 如) = l f ( 竺掣) + 严也( + c ( ) 一o n x ) f ( x ) d x 在f 0 ，1 】上的最 小值点。 2 3 最优比例再保险策略的必要条件 在本小节里，我们将推导最优再保险策略矿所满足的几个必要条件。首 先，根据定理2 1 ，我们有下面的推论。 推论2 1 ：设承保人初始资金为u o ，相应的最优再保险策略为矿= ( 味呓，略) ， 则对任意k 1 ，2 ，t - l ，子策略晚。t = ( 0 7 , + 1 ，嚷+ 2 ，略) 是子过程陋，明 上的最优子策略，即满足谨，( t 七) = 饥( t 七) ，其中u k 为承保人时刻k 的 剩余资金，锹是由u o ， 墨，恐，和 赁，够，皎 确定的。 证 由定理2 1 及其证明，我们可知对于任意k 1 ，2 ，t 一1 ) ，任意0 有悖丁( 让七) = 呶( u 七) 从而推论2 1 得证。 口 推论2 1 指出，最优策略的子策略是相应子过程上的最优策略，这与动态规 划的贝尔曼最优性原理是一样的。推论2 1 不仅给出了最优再保险策略的一个必 9 硕士学位论文 要条件，更重要的是它说明我们可以用动态规划方法来求解多期再保险问题的 最小破产概率和最优策略。 下面的引理给出了承保人的破产概率与剩余资金之间的一个关系。 引理2 1 ：在任意再保险策略口下，对于任意时刻，i ，承保人在时间区间融，刀 内的破产概率记( t ) 关于承保人时刻n 的剩余资金单司q - f f 绎特别地，对于 任意时刻n ，承保人在时间区间m ，叨内的最小破产概率讧( 牡) 关于承保人时 刻，l 的剩余资金u 单调下降 证设铲牡1 0 ，对任意p e ，根据生存概率的定义有 识( t 1 ) = p r ( u o ( n ) o ，( 竹+ 1 ) 0 ，u e ( t ) 01 ( n ) = u i ) 根据状态转移方程( 2 - 5 ) ，我们可得 醒( 铲) = n ( ( n ) 0 ，u o ( n - 1 - 1 ) 0 ，( t ) 01 ( n ) = 缸2 ) = p r ( ( n ) + u 0 ，( 竹+ 1 ) + a u 0 ，( t ) + t 01 ( n ) = u 1 ) 其中，a u = t 2 一“1 0 因此，由上述式子可得醒( 钍2 ) 醒( “1 ) 注意到对任意p e ，我们有识( 牡) = 1 一醒( 牡) 因此由上述结果可得 识( u 1 ) 识( 铲) ，v p e 这就证明了在任意再保险策略口下，承保人在时间区 间h ，列内的破产概率织( 牡) 关于时刻他的剩余资金t 单调下降。 下面利用这一结果证明承保人在时间区间h 明内的最小破产概率( 牡) 关于时刻n 的剩余资金u 单调下降。不妨设机( t 1 ) 对应的最优策略为矿1 ，则 根据最小破产概率及最优策略的定义并利用上述结果可得 以( u 1 ) = 蟛1 ( u 1 ) 蟛1 ( 矿) 以( 铲) 即蟊 1 ) 蟊( 舻) ，故根据u 1 ，u 2 的任意性可知引理2 1 得证。 口 引理2 1 说明在最优策略下，承保人任何时刻的剩余资金的增加，都不会增 大承保人的破产概率。引理2 1 的结果是十分符合直观的，因为承保人任何时刻 的剩余资金的增加都能增强其赔付能力，从而使承保人具备更强的抵御风险的 能力，降低其破产概率。 下面我们利用引理2 1 的结果，给出一个简单情形下的最优动态再保险决 策，这同时也是一个最优比例再保险策略的必要条件。 定理2 2 ：若矿= ( 四，畦，筛) 为最优再保险策略，则对于任意n l ，2 ，t ， 当承保人时刻一1 ) 的剩余资金t ，l l 满足o t ，l l 譬时，有吒= 1 1 0 硕士学位论文 证 设0 = 口l ，0 2 ，钟 为再保险策略。对于任意佗 1 ，2 ，t ) ，根据 式( 2 - 4 ) 和式( 2 - 5 ) ，我们可知 ( n ) = t ，l 一1 + c ( 氏) 一靠矗 = u n - z 一了# - a + ( 半一墨卜 口q 由于一1 0 ，根据式( 2 - 6 ) u - 丁得 醒一1 ( t ，l 1 ) = p r ( u o ( n 一1 ) o ，( 住) 0 ，v o ( t ) 0ju o ( n 一1 ) = u n 1 ) = p r ( ( n ) 0 ，u o m + 1 ) 0 ，( t ) 01 m 一1 ) = 一1 ) 记事件 a = v o ( ，1 ) 0i ( 死一1 ) = 一l b = m + 1 ) 0 ，( t ) 0i 砺m 一1 ) = u n 一1 ) 则由条件概率公式有醒一l ( t ，i 一1 ) = p r ( a b ) = p r ( a ) p r ( b a ) 易知 p ( a ) = p r ( 一1 + c ( 钆) 一铊墨0 ) 丹( 一宇+ ( 半一k ) 以。) 珊一去c 一宇，+ 半) ， p ( bj a ) = p r ( u o ( n + 1 ) 0 ，v o ( n + 2 ) 0 ，( t ) 01 ( ，l 一1 ) = t ，l 一1 ，v o ( n ) 0 ) = p r ( v o ( n ) o ，机+ 1 ) 0 7 o i p ( t ) oi ( n ) = t ，l t 一生 + ( 字一) 。) 因为u n l 譬，故p ( a ) 关于以严格单调上升。又根据( n ) = t t l l 一 譬+ ( 警一矗) 瓦0 及一， 0 ，由此可得 v o ( 佗) 关于如严格单调上升。容易看出p ( b i a ) 是承保人时刻n 的剩余资金为 u o ( n ) 0 的生存概率，故根据引理2 1 ，p ( b i a ) 关于靠单调上升。 1 1 硕士学位论文 注意到p r ( a ) 0 ，p r ( b i a ) 0 及髭一1 ( t ，i i ) = p r ( a ) p r ( b i a ) ，于是我 们可得醒一。( 一1 ) 关于靠单调上升，从而以= 1 是第仃期的最优再保险决 策，即此时最优再保险策略0 + = ( 钟，岛，略) 满足鳐= 1 从而定理2 2 得 证。 口 定理2 2 实际上给出了一个简单情形下的最优动态再保险决策，同时也是一 个最优比例再保险策略的必要条件。定理2 2 说明当承保人当期的剩余资金比较 少时，承保人的最优决策将是不办理任何再保险。对于类似的问题，我们将会 在下文里进行更为详细的讨论。 下面我们将从承保人剩余资金的角度来考察最优再保险策略，利用推 论2 1 ，引理2 1 和定理2 2 给出一个与承保人剩余资金有关的最优再保险策略的 必要条件。 定理2 3 ：对任意再保险策略0 ，如果承保人在初始时刻作出决策时可以预料 到：存在k 1 ，2 ，t ，使c ( 以) o ，u o ( k 一1 ) + c 限) 譬，则策略0 不 是最优再保险策略 证我们使用反证法证明这个定理。 假设0 是最优再保险策略，且在再保险策略口下，承保人在初始时刻作出 决策时可以预料到：存在忌 1 ，2 ，t ，使c ( 巩) 0 ，( 七一1 ) + c ( 巩) ( 七一1 ) + 生坠+ c ( 以) 口 可以证明：再保险策略鼠- 1 , t 比巩一1 - t 更优。事实上， 2 k - - 1 ，t ( u ) = p r c u 蚕( 七一1 ) 0 ，( 七) 0 ，( d 0i ( 七一1 ) = “) ：p r ( ，“+ 三妄2 一凰o ，让+ ! 兰尘一溉+ c ( 饥1 ) 一氕+ 1 溉+ ，o ， q a ( 后+ 2 ) 0 ( 砷。) = p r 0 + 半+ c 限) 甄，u + 半一凰+ c ( “) 一让虬+ o ， v o ( 七+ 2 ) 。，u o ( t ) o ) + p r ( 让+ 了1 - - a + 俐 1x k + 。肘半+ c ( 小以一- o ， i u o ( 七+ 2 ) 0 ，u o ( t ) 0l 、 o k h - 1 1 t ( t i ) 上面的第一个等号是根据镤一1 ( ) 的定义，第二个等号是根据缸