（应用数学专业论文）非线性波动方程的吸引子.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究了两类非线性波动方程的整体解的存在性并讨论整体吸引子的存在 性。 第三章研究一类含有混合导数项的非线性波动方程的整体吸引子的存在性问 题：应用k u r a t o w s 虹测度，通过渐近先验估计，证明了解半群岱( f ) ) ，加在k u r a m w s 姑 测度下的渐进紧致性，从而得到了含有混合导数项的非线性波动方程在 日j ( q x l 2 ( 9 上的整体吸引子的存在性定理。 第四章研究一类具有阻尼项和力源项的四阶波动方程的整体弱解和整体弱吸 引子的存在性：利用半群理论，考虑该问题在适当函数空间的变分形式，利用嵌 入定理等证明a 生成c o 半群，得到整体弱解的存在性。利用s o b o l e v 空间理论讨 论了解半群豳o ) ) t 卸在瑶( q ) r ( 9 上具有吸收性，得到了方程的整体弱吸引子 的存在性。 关键词：非线性波动方程，渐进紧致性，整体吸引子，整体弱吸引子 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h e g l o b a ls o l u t i o na n d a t t r a c t o r so ft w on o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o r t h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o ni n v o l v i n gt h em i x e dd i f f e r e n t i a l q u o t i e n t t e r m sb a s e do nt h ed e f i n i t i o no fk u r a t o w s k im e a s u r e t h r o u g hp r o v i n g t h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so fs e m i g r o u p 岱( f ) ) ，卸u n d e rt h ek u r a t o w s k i m e a s u r e ，w eo b t a i nt h et h e o r e mo fe x i s t e n c e o fg l o b a la t t r a c t o ro n 日j ( 9 三2 ( 9f o rt h i se q u a t i o n i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o n a n dw e a ka t t r a c t o rf o rt h en o n l i n e a rf o u r - o r d e rw a v ee q u a t i o nw i t h n o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s b a s e do nt h et h e o r yo fs e m i g r o u p ， w ec o n s i d e rt h ea b s t r a c tf o r mo ft h i se q u a t i o na n d p r o v eab u i l d i n g s e m i g r o u pb yt h ee m b e dt h e o r y w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a k s o l u t i o na n dt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ka t t r a c t o rt h r o u g hp r o v i n gt h e a b s o r b e n c yo fs o l u t i o ns e m i g r o u pb ys o m eb a s i ci n e q u a l i t ya n db a s i c p r o p e r t yo fs o b o l e vs p a c e k e y w o r d s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n , a s y m p t o t i cc o m p a c t n e s s ，g l o b a l a t t r a c t o r ，g l o b a lw e a ka t t r a c t o r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口 本学位论文属于，在年我解密后适用本授权书。 不保密囹 学位论文作者签名：强辜每 指导教师 沙。分年ii 月i 歹f t 咱 独创性申明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：i ) 支穆 日期：知谚年i 泪 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早三百了匕 本章主要介绍与本文研究相关的一些背景知识，基本的研究方法，研究现状， 以及本文的主要工作。 1 1研究背景 偏微分方程的研究是在1 7 4 7 年，达朗贝尔应用微积分于力学问题，发表名 为张紧的弦振动时形成的曲线的研究的论文时开始的，后来许多数学家如欧 拉、拉普拉斯等也在此领域做了许多重要的研究，当微积分与更多的物理问题结 合在一起时，得到了许多重要的方程，如流体力学的n a v i e r s t o k e s 方程，与计 算二物体引力相关的l a p l a c e 方程，热力学的b o l t z m a n n 方程、m a x w e l l 方程等 等。人们最初的想法是找方程的精确解，然而研究逐渐显示，不是每一方程都能 有可显式表示出的解，所以人们把对方程的研究转化到对方程解的性态的研究， 由最初的解的存在性、唯一性、稳定性的讨论到吸收集、吸引子的存在以及吸引 子的维数估计等。在研究解的长时间性态时，开始了有限维动力系统的研究，至 今至少有一百多年的历史，并取得了许多重要的成果。但是，许多重要方程描述 的对象的刻画需要无穷多个自由度，也就是说方程是无限维的，这样，也就有了 无穷维动力系统的问题。无穷维动力系统是有限维动力系统的深入和发展。无穷 维动力系统具有某些新的重要特征： ( 1 ) 可能存在空间上的混沌现象，即在某个区域产生混沌、湍流，而在另一 些区域则不出现； ( 2 ) 在空间的某个部分可能产生奇性集。 在斯梅尔( s s m a l e ) 、莫泽( j m o s e r ) 、梅尔尼科夫( m e l n i k o v ) 关于有限维 动力系统的工作基础上，曼德尔勃罗特( b m a n d l b r o t ) 在1 9 7 7 年提出了分形集的 概念，莱迪察斯科娅( 0 a l a d y z h e n s k a y a ) 、维西克( m i v i s h i k ) 、特马姆 ( r t e m a m ) 等人已对某些具有耗散效应的非线性演化方程的整体吸引子、惯性流 形的存在性，它们的豪斯多夫维数，f 维数的上下界估计，吸引子的动态结构， 近似惯性流形，非线性伽辽金近似，惯性集等问题进行了多方面的研究，得到了 一系列重要的结果。 江苏大学硕士学位论文 数学上，已建立了无穷维动力系统的重要理论，提供了理论研究和数值计算 方法。无穷维动力系统，实际上主要是研究解的性态问题。因此，对它的研究也 为非线性偏微分方程的研究提供了新的课题。在偏微分方程中，为了了解解的性 态，特别是当t 一时解的情况，引进了整体吸引子的概念。整体吸引子是无穷 维动力系统中重要概念。 1 2 研究的基本方法及现状 无穷维动力系统所关心的主要问题是非线性发展型偏微分方程整体解的存在 性，正则性，稳定性，全局吸引子的存在性以及全局吸引子的分析性质和几何拓 扑性质研究非线性偏微分方程比较常用的方法为：构造问题的近似解，作出近 似解的先验估计，而近似解的得来可根据g a l e r k i n 方法和f a e d o - g a l e r k i n 方法， 近似解的收敛性可通过能量不等式以及s o b o l e v 嵌入定理证明得到；当然，若相 应的算子是单调的或拟单调的，可以由算子的这种特性求得近似解的收敛性。还 有一些方法如正则化方法或称人工粘性法，它就是在方程或边界条件中添加带有 参数的算子，使当e 0 时得到己被很好研究过的可解问题，然后对这些问题 的解建立对e 的一致的估计，并在此基础上取一o 的极限；还有c o u r a n tr 在 经典变分问题中引入的“s t r a f e 法，他在泛函中添加一个带参数的项，使在闭 凸集上泛函最小值问题化为新的整个空间上的泛函最小值问题等等。 关于整体吸引子的研究，主要有下面几个问题： ( 1 ) 方程中解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性； ( 2 ) 吸收集的存在性； ( 3 ) 紧吸引子的存在性； ( 4 ) 吸引子的刻画，如其拓扑结构，维数估计等。 然而研究限制在全局吸引子上的动力系统将能了解很多重要的反应整个系 统的信息。所以证明全局吸引子的存在性是研究无穷维动力系统的一个基本的问 题。 相对而言，吸收集的存在性较易获得通常是利用能量不等式或辅助泛函得 到，即，用能量不等式或辅助泛函证明有界吸收集或点吸收集的存在性，或者有 界集的正轨道终归有界等。这样，如何获得紧性将是证明全局吸引子存在的关键 2 江苏大学硕士学位论文 所在通常的办法是验证下列条件之一：一致紧性，渐近紧性，渐近光滑性，缈一极限 紧。 一致紧性条件通常的验证办法是当某空间v 紧嵌入到空间h 中时，证明系统 在v 中有吸收集。应当说，这个验证办法的根本前提是系统的解半群具有一致紧 性，它通常是由s o b o l v e 紧嵌入来得到的，这就需要对解有更高的正则性的估计。 另一方面，由于s o b o l v e 紧嵌入只能对有界域或某些加权空间成立，这是一个很 大的限制，通常用来处理有界域中的可正则化方程，如反应扩散方程，2 d n v a i e r - s t o k e s 方程等，见b a b i n & v i s h i k 6 ，r o b i n s o n 1 8 ，t e m a m 1 。 渐近紧条件最初是由l d a y z l m e k s y a 1 9 提出，它是全局吸引子存在的必要条 件。关于这种紧性，在常用的验证方法中除了s o b o l v e 紧嵌入和半群分解外， j b a l l 2 8 给出了验证这一条件的能量方法，即所谓的弱连续方法他的主要依据 是：在一致凸b a n a c h 空间中弱收敛加上范数的收敛就可得到强收敛这种方法在 处理缺乏紧嵌入定理的情形时很有用。 渐近光滑的验证通常是结合常数变易公式，利用分解半群( 实质上时对非线 性项作分解) 的方法，即将解半群分解成两族非线性算子( 不一定还满足半群性 质) ，一个是紧的，另一个随时间趋于正无穷而趋于零，从而证明半群有紧的吸 引集( 见c h o l e w a & d l o t k ov 2 0 ，h a l e 5 ) 。 上述这三种方法都是在上世纪7 0 一9 0 年代发展起来的，是考虑全局吸引子存 在性的主要理论基础。直到现在人们一直没有放弃寻找更为有效的方法去判定系 统半群吸引子的存在性。2 0 0 2 年m a ，w a l l g & z h n o g 在 3 2 中，结合非线性泛函 分析中的非紧性测度的概念，提出了上述缈一极限紧的概念。应当指出用非紧性 测度来刻画半群的紧性早被人们运用，如h a l e 5 ，s e ll & y o u 3 3 等专著。但是 在他们的工作中一直都没有一个有效的方法去估计非紧性测度。例如，h a l e 在 5 中，是用r 一压缩的概念或半群分解方法来估计非紧性测度的，这就需要对 非线性项作一些特殊的假设，如分解性和光滑性条件等。而m a ，w a l l g & z h n o g 在 3 2 中给出了一个新的一且非常有效的验证方法，即下述条件( c ) ： 对任意g 0 和任意有界集曰，存在f 但) 0 和有限维子空间马，使得p s ( t ) b 关于t t ( b ) 一致有界且 0 ( ，一p ) s ( f ) x 0 s ，v t f ( b ) ，x b 3 江苏大学硕士学位论文 这里，p ：日寸h ，是有界投影。 通过验证条件( c ) ，人们可以利用与获得耗散性几乎完全相同的能量不等式 直接估计非紧性测度。进一步，2 0 0 6 年z h o n g ，y a n g & s u n 在 3 0 中，用强弱连 续半群代替通常的连续半群或弱连续半群，建立了非常一般的理论框架。 非线性波动方程是数学物理中最具有吸引力的研究领域之一。一方面，它揭 示着现代物理学中一些最深刻的运动规律：另一方面，作为最重要的一类偏微分 方程，它一直是数学研究的重要内容。非线性k i r e h h o f f 方程、s e h r d d i n g e r 方 程、b e n j a m i n b o n a - m a h o n y 方程都是重要的波动方程。其中非线性k i r c h h o f f 方程起源于对弹性细弦的微小振动的描述，非线性s e h r d d i n g e r 方程是量子力学 中的重要模型 3 4 ，而非线性b e n j a m i n b o n a m a h o n y 方程则是描述非线性色散 和耗散相互作用的长波传播模型 3 5 。有许多文献研究过这三类方程，并取得了 一系列重要进展。尤其是对这三类方程初边值问题解的全局存在性及其渐近行为 的研究取得了丰硕的成果，如 6 ，2 0 ，3 3 ，3 0 。 r t e m a m 等对具有线性内部耗散条件的波动方程进行研究，得到了一系列关 于整体吸引子的存在性的结论 4 - 9 。1 9 9 5 年a h a r a u x 等又对具有非线性内部 耗散条件的波动方程的整体吸引子进行了研究 1 0 一1 3 。其中g r a u g e l 在 1 1 ， 中指出当耗散函数的增长指数为1 鲁时此类波动方程存在整体吸引子。 1 9 9 9 年 j z s h e n g f a n 得到了在阻尼项和力源项具有线性增长条件下，整体吸引子的 h a u s d o r f f 维数的上界 1 5 。2 0 0 2 年i l a s i e c k a 和a r r u z m a i k i n a 研究了具有 非线性耗散性质的2 维半线性波动方程的整体吸引子的存在性，并得到了吸引子 的某些结构特性，即分形维数的有限性及吸引子的正则性 1 4 。2 0 0 3 年秦玉明 和尹玉在 3 8 中研究了具有d i r i c h l e t 边界条件可压缩的n v a i e r s t o k e s 方程组 解的整体存在性。2 0 0 4 年i c h u e s h o v 和i l a s i e c k a 研究了当阻尼项和力源项 具有严格递增指数时波动方程整体吸引子的存在性且具有有限的分形维数 1 6 。 2 0 0 2 年a k u r t 研究了如下具有初边值条件并且含有混合导数项u 。的波动方 程： l “甜一h 材+ 仍l 扛+ 芦l l f + 厂( “) = ( 功，x q = ( 0 ，z ) ，t r + “( x ，o ) = n o ( 力，m ，( x ，0 ) = u l ， x q 【u l 施= o ， f r + 4 江苏大学硕士学位论文 指出方程在日j ( 9 r ( 固上吸收集的存在性【3 】。2 0 0 6 年c s u n ，m y a n g ，c z h o n g 对非线性项厂增加条件i 瓣与：= 。，( 。， 0 及任意有界集bc e 。，存在t = z ( 占，b ) 使得 o ( 。) ( us i ( f ) 曰) 西， 其中( ) 表示在关于r ( 回范数的非紧致k u r a t o w s k i 测度，c 为与占 和t 无关的常数， s 。( f ) = 万。s o ) 这里万为映射硝( q ) r ( q - - ) 联( 回。 5 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 证明书( f ) ) r 卸在日j ( q ) 三2 ( 9 中是渐近光滑的。 其次，研究了一类具有阻尼项和力源项的四阶波动方程的整体弱解和整体 弱吸引子的存在性：利用半群理论，考虑该问题在适当函数空间的变分形式，并把 问题写成如下形式： 百d u = a u + 删m 力= 出 、一7 il l lj 利用嵌入定理等证明a 生成c 0 半群，从而得到整体弱解的存在性。然后利用 s o b o l e v 空间的一些不等式以及相关理论讨论了解半群豳p ) ) ，卸在日；( 固r ( q ) 匕具有吸收性，从而得到了方程的整体弱吸引子的存在性。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章相关理论综述及预备知识 在这一章中，我们仅列出一些基本概念及其性质，不加证明 2 1 相关泛函知识准备 首先，我们给出基本的r 空间 定义2 1 1 2 2 2 3 对于1 p o o ，定义 r ( q ) = 厂i 厂：f 2 - r ，厂可测且i 厂 ) | pd x r ，s l 。o 。 ， 其中l i 州。= e s s s u p n i f ( x ) = i n f s u p 硝i f ( x ) 。 s c ，q s 具有。测度) 特别地，当p = 2 时，r ( 回是h i l b e r t 空间，其内积与范数分别为： 另外， 似v ) = v d r , o 1 l “i = i i “0 p ( q ) = ( 甜，“) 2 h 1 ( q ) = “r ( q ) ，口“r ( q ) ，l f 疗) ， u r n ) 为g 在h 1 ( 9 中的闭包， ( ，呦( n ) = ，o + z ( d , u ，皿d i f f i l 引理2 1 2 2 2 ( l p 中的列紧性) 设q c r ”为一可测集： ( 1 ) 当1 p 0 0 时，( 回中一集合为( 相对) 弱列紧( 即从其中任一序列内都 能抽出弱收敛的子序列) 的充要条件是：范数有界： ( 2 ) 当1 p 0 0 时，则函数族xc p ( 固为( 相对) 强列紧( 即从其中任一序列 内都能抽出强收敛的子序列) 的充要条件是： 7 江苏大学硕士学位论文 珈州。；厂彳) 有界： x 同等整体连续，即对，ex 一致地有 对厂z 一致地有 l 。i 枷r a i ( x + 办) 一厂( x ) i p d x = 0 ： 1 i r a 酬栩i f ( x ) i p d x = 0 注：若q 有界，则条件自动满足。 定义2 1 3 2 2 矿”p ( q ) = “p ( q ) ：d “甜口( q ) ，o h 聊 赋予范数： 如果p ，l u l l 册，p = 。磊。o z ) 8 “i i ：) i ， 如果p = ， = i l d “ o l a l 0 ，a ，b r ，则 动陶口1 2 + 扣2 ( 2 ) h o l d e r 不等式：设1 p ，g o o ，一1 + 一1 ：1 ，若“l p ( 9 2 ) ，1 ，r ( 哟则 p目 川出训m ， 一般的，设1 - p i , 仍，o o l 瑚1 b = l , u k 驴( q ) ( 后= 1 ，2 ，所) 则 u 1 u 2 u md x 砂r a 她 ( 3 ) y o u n g 不等式：设1 p ，g 0 则 p口 8 江苏大学硕士学位论文 曲生+ 丝 pq ( 4 ) m i n k o w s k i 不等式：设1 p o ，使得对任何he w 咖( 哟，有 i 丕。妒怿i = l = k n 删p 出+ c 出- 引理2 2 2 2 4 ( g a g li a r d o n i r e b e r g s o b o l e v 不等式) 假设1 p 刀，则存 在常数c ，它仅依赖于p ，n ，使得： ul p * ( ) cd u 矿( 州 对所有的q “) 成立其中p 2 i n p i 引理2 2 3 2 4 ( 一般的s o b o l e v 不等式) 设u 是r ”中的有界开子集，边界是 c 1 的假设ew 1 p ( 9 ，则 ( 1 ) 如果七 ；，则有：“川回，其中考2 万1 一n ，另夕卜，有估计式：pq p i l u u 口。u ，- 旦，则有：甜c 一，n - - i , r ( 巧) ，这里 p 另外，有估计式： r2 【旦】+ 1 一旦，如果旦不是整数 ppp 任意小于啪正整数，如果旦是整数 p | f 甜0 c i f ；卜h ( 盯) _ o 使得对任意的“喇巾( 9 ，有 圳p d x _ c lv “f p d x 下面我们引入应用广泛的g r o n w a l l 不等式 引理2 2 5 1 2 3 ( g r o n w a l l 等式) 设7 7 ( ) 是【0 ，t 】上的非负绝对连续函数， 如果满足不等式： 1 1 v ) o ) 叩( f ) + 甲o ) ，a e t ， 其中似f ) ，甲( f ) 在【0 ，t 】上为非负可积函数，对于任意的f ，o 0 则对几乎处处的f 下成立： 孝( f ) c 2 0 + c , e c ) 引理2 2 7 1 2 3 ( 一致的g r o n w a l l 不等式) 设g ，h ，y 均为( t o , o o ) 上正的局部可 1 0 江苏大学硕士学位论文 积函数，f t y 为瓴，呦上的局部可积函数，并且满足： d 出y g y + j l ，f 乞， t t + rj c + rt t + r jg ( s ) d s 口l ，jh ( s ) d s - t o 伊) 时都有s ( f ) xc b 整体吸引子存在暗示了吸收集的存在：反之，有下面的性质可看出，半群若存 在吸收集，并满足其他一些条件，其吸引子也存在 日为一个度量空间，s ( f ) 为解半群，现在给出两个假设条件： ( 1 ) 算子s ( f ) 对充分大的t 是一致紧的，即任意的有界集b ，存在t o ( b ) ，使得 江苏大学硕士学位论文 us ( t ) b 在日中相对紧： ( 2 3 3 ) ( 2 ) s ( f ) = s ( f ) + s ：o ) ，其中s o ) 对充分大的r 一致紧，s ：( f ) 是日一h 连续映射 且对于任意有界集cch ， 名( f ) - s 涨u p 。0 s 2 ( 酬日专o ，一o o ( 2 3 4 ) 引理2 4 2 2 5 3 设日为一个度量空间，算子半群 s ( r ) ) ，卸连续且满足上面 的假设条件( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 或条件( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 4 ) ，同时假设 存在开集u 和u 中有界集b ，使得b 是u 中吸收集，则召的国极限集a = 缈p ) 是紧吸引子，吸收u 中的有界集，它是u 中最大的有界吸引子 更进一步，若日是b a n a c h 空间，u 是凸的，且映射s ( f ) ：l i o - s ( t ) u 。对每个日 中的连续，则a 是连通的 注 2 5 ：可将上述引理2 4 2 中的条件( 2 3 4 ) 替代为下述条件，此引理仍成 立： 半群s p ) 为渐进紧的：对于h 中的任意有界序列 黾 ，当& j 时， s n ) ) 。在日中是列紧的，则称半群 s ( f ) ) ，卸是渐进紧的 ( 2 3 5 ) 命题2 4 3 1 1 如果半群 s ( f ) x 卸满足( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 或 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 4 ) ，则对于日中的任意有界集曰o ，国慨) 是非空的紧的不 变集 引理2 4 4e l l 设x 为测度空间，p o ) ) ，卸为x 上的连续算子构成的算子 半群，如果p ( f ) l 卸具有有界的吸收集且是渐进紧的，则p l 卸在x 中有紧的 全局吸引子，吸引x 中的有界集 江苏大学硕士学位论文 第三章一类含有混合导数项的波动方程的整体吸引子 本章主要研究一类含有混合导数项的非线性波动方程的整体吸引子的存在 性问题：应用k u r a t o w s k i 测度，通过渐近先验估计，证明了解半群$ ( f ) ) ，卸在 k u r a t o w s k i 测度下的渐进光滑性，从而得到了这类的含有混合导数项的非线性波 动方程在日i ；( 9 l 2 ( 哟上的整体吸引子的存在性定理。 3 1 引言 近年来，已有不少作者对波动方程的吸引子作了广泛深入的研究本章将利 用在文【2 8 ，2 9 ，3 0 】中给出的先验估计方法，研究如下具有初边值条件并且含有混合 导数项u 扛的波动方程： x q = ( 0 ，z ) ，f r + x q t r + ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 其中，u 。ev = 日j ( q ) ，u ，和h 属于h = 三2 ( 9 ，口，为正常数，满足下述条件 ( 3 1 4 ) - ( 3 1 6 ) 时在风= v x h 上的整体吸引子的存在性： f ( s ) = i ，( 7 7 ) d 7 7 - c ；( 3 1 4 ) ，( s ) s f ( s ) - - c ；( 3 1 5 ) l 耘铲一o ，叫 其中c 0 ，c 1 ) 在文【3 】中a k u r t 得nt 方n ( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 在条件( 3 1 4 ) - ( 3 1 5 ) 下吸收集的存 在性，并没有研究整体吸引子；在文 2 6 ，2 7 q by z h a n g ，c z h o n g 等利用紧致性的必 要条件( 即1 2 中所提及的条件( c ) ) ，得到了以上方程在条件( 3 1 4 ) 一( 3 1 6 ) 下整体 吸引子的存在性本章将通过应用k u r a t o w s k i 测度验证解半群的渐进光滑性，利 用分解半群的方法，得到上述方程( 3 1 1 ) - ( 3 1 3 ) 在磊上整体吸引子的存在性 1 4 z ， 坂办 = + 而x b q + 砂i k一脚叱 慨砘 p址，为 一酞 严i 江苏大学硕士学位论文 为方便起见，约定以下记号：矿= 日；( 9 ，h = 工2 ( q ) ，( ，) ，卜i l 表示日上的内 积和范数，即对于任意“，y h ，有 l ，v ) = f u v d x ,u | | = ( 叫i n o 将矿上的范数记为0 u 忆= 恢i i 且我们有 2 仆l | 2 这里 表示具有d i r i c h l e t 边界条件的一比。的第一特征值 ( 3 1 7 ) 引理3 1 1 1 3 设h o ，“l ，h ，口，c 如前所述，且，满足条件( 3 1 4 ) 0 1 5 ) ，方程 ( 3 1 1 ) ( 3 1 3 ) 在= 日；x l 2 上存在连续半群豳( f ) ) ，卸：s ( f ) 。，“。) = ( f ) ，( f ) ) ， 其中“( f ) 为( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 关于 o ，u 1 ) 的整体弱解 注3 1 2 茬e 3 q h 将连续半群s ( f ) 定义为：当f 0 时s o ) 满足s o + d = s ( f ) s ( s ) 事实上，连续半群s ( f ) 可定义为：当，0 时s ( f ) 满足s ( s + 砂= s ( t ) s ( s ) 且 s ( o ) = l d 条件( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 可以保证半群岱o ) ) ，卸e e o = 日j ( 固2 ( q ) 上具有有界 集，即可知以下引理： 引理3 1 3 2 6 1 在引理3 1 1 的条件下，岱q ) ) ，卸在风= h j ( 9 三2 ( q ) 具有有 界吸收集即对于任意有界集bc e 。，存在t = r p ) 及正常数p 使得对于任意 f t 及 o ，h 1 ) b ，有 b ( ，) 0 ；+ i k ，p ) 0 ：p 2 ， 这里 ( f ) ，u ，( f ) ) = s ( f ) ( 比。，u 。) 为方程关于，) 的唯一弱解 对于整体吸引子存在性的证明来说，主要的难点在于证明解半群的一致紧致 性或是证明它的一致光滑性本文将通过以下两个步骤证明半群冬( ，) ) 。卸的渐进 光滑性： 步骤l ：证明对于任意占 0 及任意有界集bce 。，存在t = r ( ，b ) 使得 江苏大学硕士学位论文 唯( q ) ( us 。( f ) b ) o i a 的有限开覆盖的半径小于6 ) 若a 为x 中的非空无界集，则我们定义“a ) = 0 0 下面给出关于暂的性质的引理： 引理3 2 2 3 2 ，3 3 完备空间x 上的非紧致的k u r a t o w s k i 测度础) 满足下 列性质： ( 1 ) k ( a ) = 0 当且仅当a 为紧致集，这里a 为a 的闭包； ( 2 ) k 似) = r ( a ) ； 若x 为b a n a c h 空间，则有： ( 4 ) 对于任意a bcx ，有茁 + 口) t c ( a ) + 鬈( 曰) 定义3 2 3 1 3 4 设书p ) ) ，卸为b a n a c h 空间x 上的半群，若对关于范数8 8 i l j 任意有界的序列扛。) ：。cx 及f o ，t n 专0 0 ( 刀_ o o ) ，岱( f 厅x n 疑l 存在关于拓 扑z 收敛的子列，则我们称岱o ) ) ，卸为( x ，z ) 一渐近紧致的( 这里，拓扑z 与空间 x 匕的范数诱导拓扑相容) 1 6 江苏大学硕士学位论文 定理3 2 4 3 2 ，3 3 设x 为b a n a c h 空间，爷p ) ) ，卸为x 上的连续半群，则当 书o ) 。卸满足下述条件时在x 上存在整体吸引子： ( 1 ) 岱( f ) ) ，卸在x 中具有有界吸收集： ( 2 ) 对于x 中的任意有界集b ，有x ( s ( t ) b ) j 0 ( f 专o o ) 引理3 2 5 2 8 ，2 9 设b 为r ( q ) p 1 ) 中的有界子集，v f , 0 若存在 m = m ( b ，印使得对于任意甜曰有上( 跏) ( h m ) p s ，则有 k 刎 2 p 1 占 引理3 2 6 1 2 9 设b 为r ( 9 ( p - - - 0 中的有界子集，若b 在r ( 回中存在p n e t ，则存在m = m p ，s ) 使得对于任意u b ，有 l ( i u l z 肋, ) i 材i p 2 p + 1 g p 引理3 2 7 2 9 ，3 0 对于任意 0 ，若存在与有关的正常数m ，使得 ( 1 ) 存在g ，0 0 ) 的有界子集b 具有r ( 固上的占一n e t 引理3 2 8 1 2 8 ：1 设书( f ) ) ，卸为r ( 哟p 1 ) 上的半群，且岱o ) ) ，卸k f ( n ) 中具 有有界吸收集，则对任意s 0 及r ( 9 上的任意有界集b ，存在正常数z = z 伊) 及m = m ( s ) 使得对任意“o b ，r t 掰( q ( p ”o l m ) ) 占 引理3 2 9 2 8 嵌入 r ( 0 ，z ；月j ( q ) ) n 1 。( 0 ，t ；l 2 ( 嘞j ( 0 ，z ；( q ) ) 对于任意1 m o o 及1 s 6 为紧致的 推论3 2 1 0 1 3 5 若厂满足( 3 1 6 ) ，且b 为 r ( 0 ，r ；日：( q ) n w 蛔( o ，t ；l 2 ( q ) 上的有界子集，贝t jf ( b ) = 厂 ) k b ) 在上7 ( d ，t ；l 7 ( 嘞( 1 0 和任意有界子集bce 。，存在正常数m = m ( s ) 和 t = t ( s ，b ) 使得对于任意t t 和 o ，比1 ) b 有 k 一“x 1 2 d x c s ， 这里h ( f ) = s l o ) o ，u 1 ) 且正常数c 与g ，m 和b 无关 证明：由引理3 1 3 可知存在五使得u 汹s l o 声为日j ( q ) 上的有界集，则 u ，强s l ( f 声在f ( 固上是列紧的( 1 s 6 ) 特别地，当s = p + l 6 ，由引理3 2 5 可知存在m l = m l ( s ，s ) 使得对于任意 t 正和 o ，u 1 ) b 有 k ) 一酬5 出 g ( 3 3 1 ) 令，= 【( 甜- m 2 ) + 】f + 万( “一m 2 ) + ，0 万 1 r o 万 8 0 ，可知 1 则有 一万( 1 + 譬x l + 口2 ) 拿2 万 ( 一回q m ：) i v l 2 出+ 万m 龇) b 工1 2 威一a ( p 一回以，d 一面 工，d 譬k ：一出+ 害。龇如 故可得 三堕d t ( l 。h 忱，盯出+ 。捌：，k 1 2 螂+ 譬l 口忱，盯出+ 害“洲：产x 1 2 出 - - ( f ( u ) ，d + q ，d 即可表示为 云l 面d ( l 。即m ：，盯出+ 。口肘：产x 1 2 + c ( m 龇，盯出+ 。“产x 1 2 弋厂 ) ，d + ，叻 首先， o ，d = ( 拢：) j 1 u t d x + 万( “拢：) h ( u m z 皿 利用c a u c h y 不等式及( 3 3 1 ) 式，可知，当f 充分大，r 为正常数且充分的小， 有 江苏大学硕士学位论文 l “拼：) i j l 一m 2 ) 虹l ( u z m 2 ) h i 陋陬 刁。谢：，陋o ) l 譬出+ c 叩l 似洲：，川p + 1 出 7 7 匕拼：，) i p p + j 出+ c 叩占 同时， ( 厂( “) ，d = ( ，( h ) ，【( “一m 2 ) + 】，+ 8 ( u m 2 ) + ) = 磊d ( 群判f 砂+ ( 厂 ) ，万( “一m 2 ) + ) = o 则有i 厂( s ) 1 2 占卜2 r + c 占则由( 3 3 1 ) ，有 a ( u z m 2 ) f ( u ) 一m z 协i c dk 圳， 渺i 0 和有界子集bc e o ，存在正常数m = m ( s ) 及z = r ( 岛b ) 使得 对于任意r t 和o o ，u 1 ) b 有 ( ( 陋) | 谢) ( i 比( f ) | _ m ) 6 出) c ， 这里u ( t ) = s l o ) o ，u 1 ) 且正常数c 与占，m 和b 无关 则有引理3 1 3 ，3 2 5 ，及3 2 7 ，可知定理3 3 1 正确口 3 4 整体吸引子的存在性 设b o 为岱u ) ，卸的正不变有界吸收集，类似与文 3 6 ，令“= 1 ，+ w ，可将方程 ( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 分解为： f 一k + + 以= ( 功， v ( x ，o ) = u o ( 砷，v t ( x ，0 ) = h l ( 矽，但1 ) 【1 ，l 铀= o ， 1 一w ，刍+ + 夕峨= 一，( h ) ， h x ，o ) = m ( x ，0 ) = 0 俾2 ) 【u l 砌= o ， 引理3 4 1 存在函数厂= y 使得当，一0 0 是y ( f ) - - or 当t 0 时有 i 卜( ，) 幢+ v t ( t ) 2 7 ， 这里v 是但1 ) 关于初值q o ，“1 ) b 的解，且y = y ( f ) 与w f 无关 证明：对馁1 ) 关于z = 屹+ 西，0 万 岛取内积，则类似于引理3 3 2 的证明过 程，可得 三- 扣z i l 2 + i 蚶) + ( 圳z h 2 t - t 罗2 一万( 一帆z ) 一a a ( v 善，力= ( ，z ) 则可知 2 1 江