（凝聚态物理专业论文）磁场作用下抛物量子阱线中离子施主束缚激子体系的性质.pdf

摘要 本文在有效质量理论的框架下研究了抛物势量子阱线中离子 施主束缚激子体系( d + ，x ) 的性质。在数值计算中，我们在绝热近似 下采用一维有效势模型对( d + ，x ) 体系的哈密顿进行简化，将哈密顿 化为等效的一维形式，然后利用有限差分法对能量本征方程进行求 解，得到体系的基态波函数、基态能和束缚能，并对计算结果进行 了详细的分析和讨论。 首先，计算结果表明抛物势量子阱线中离子施主束缚激子体系 的束缚能随着抛物势强度的增强而增大，随着外加磁场的增大而增 大。沿平行于阱线方向的磁场的加入相当于增大了抛物势量子阱线 的约束强度。对于体系束缚能的变化，磁场和量子阱线的约束作用 依其强弱的相对关系而交替成为主导因素。 其次，我们计算并比较了离子施主束缚激子体系对应于两个不 同解离过程的束缚能，并对其数值关系进行了深入的分析。 然后，我们利用体系的基态波函数计算了体系中各粒子间的平 均距离随抛物势强度和磁场的变化关系，得到了合理的结果。我们 比较了电子与施主杂质之间的平均距离和电子与空穴之间的平均 距离，发现两者之间的数值关系与中性施主杂质和激子束缚能的数 值关系是相关联的，我们对此进行了计算和讨论。 最后，我们描绘出了体系的波函数和概率密度分布图，并对施 主杂质离子对激子的束缚机制进行了分析，进而得到了一个较为直 观的物理图象。 关键词：抛物势量子阱线激子束缚激子施主杂质束缚能 l l i a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，t h ep r o p e r t i e so fi o n i z e d - d o n o r - b o u n de x c i t o n s i na p a r a b o l i cq u a n t u mw e l lw i r eu n d e rm a g n e t i cf i e l d sa r es t u d i e dt h e o r e t i c a l l y i nt h ef r a m e w o r ko fe f f e c t i v e - m a s se n v e l o p ef u n c t i o nt h e o r y w i t h i nt h e q u a s i o n e - d i m e n s i o n a le f f e c t i v ep o t e n t i a lm o d e l ，t h eh a m i l t o n i a no ft h e ( d + ，x ) c o m p l e xc a nb er e d u c e dt oa ne f f e c t i v eo n e - d i m e n s i o n a lf o r m ，a n d t h eh a m i l t o n i a ne i g e n v a l u ee q u a t i o nc a nb es o l v e db yt h ef i n i t e - d i f f e r e n c e m e t h o do nat w o d i m e n s i o n a lm e s h t h eg r o u n d - s t a t ew a v ef u n c t i o na n dt h e v a l u e so ft h eg r o u n d - s t a t ee n e r g ya n db i n d i n ge n e r g ya r eo b t a i n e dv i aa b o v e p r o c e d u r e s ，a n dt h er e s u l t sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l f i r s to fa l l ，t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h eb i n d i n ge n e r g yo ft h e i o n i z e d d o n o r - b o u n de x c i t o n si nap a r a b o l i cq u a n t u mw e l lw i r ei n c r e a s e sa s t h ep a r a b o l i cp o t e n t i a li n c r e a s e s ，a n dt h eb i n d i n ge n e r g yi se n h a n c e db y i n c r e a s i n gt h em a g n e t i cf i e l d w ef i n dt h a tt h em a g n e t i cf i e l da p p l i e da l o n g t h ea x i so ft h e q u a n t u m w e l lw i r e s t r e n g t h e n s t h ee f f e c to ft h e c o n f i n e m e n to nt h ee l e c t r o na n dh o l e t h er e s u l t si n d i c a t et h a t ，w i t hr e s p e c t t ot h ei n f l u e n c eo nt h eb i n d i n ge n e r g yo ft h ec o m p l e x ，t h ed o m i n a n tf a c t o r a l t e r n a t e db e t w e e nt h ee f f e c to ft h em a g n e t i cc o n f i n e m e n ta n dt h ee f f e c to f t h es p a t i a lc o n f i n e m e n td u et ot h ec h a n g eo ft h en u m e r i c a lr e la t i o nb e t w e e n b o t ho ft h e m s e c o n d l y ，t h eb i n d i n ge n e r g i e so ft h ei o n i z e d d o n o r b o u n de x c i t o n si n t w od i f f e r e n td i s s o c i a t i o np r o c e s s e sa r ec a l c u l a t e da n da r ec o m p a r e dw i t h e a c ho t h e r t h er e l a t i o nb e t w e e nb o t ho ft h e mi sa n a l y s e di n t e n s i v e l yi nt h i s p a p e r t h i r d l y ，t h ea v e r a g ei n t e r p a r t i c l e d i s t a n c e sa r ei n v e s t i g a t e da sa f u n c t i o no ft h ep a r a b o l i cp o t e n t i a la n do ft h em a g n e t i cf i e l du s i n gt h e i v g r o u n d s t a t e w a v ef u n c t i o n ，a n dt h es a t i s f a c t o r yr e s u l t sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，w ec o m p a r et h ea v e r a g ed i s t a n c eb e t w e e nt h ee l e c t r o na n dt h e d o n o ri o nw i t ht h a tb e t w e e nt h ee l e c t r o na n dt h eh o l e ，a n df i n dt h a tt h e n u m e r i c a lr e l a t i o nb e t w e e nb o t h o ft h e mi sc o r r e l a t e dt ot h a tb e t w e e nt h e b i n d i n ge n e r g yo fa ne x c i t o na n dt h a to fah y d r o g e n i ci m p u r i t y f i n a l l y ，i no r d e rt od e p i c tap h y s i c a lp i c t u r eo ft h e ( d + ，x ) c o m p l e x ， w ep l o tt h ed i s t r i b u t i o no ft h ew a v ef u n c t i o na n do ft h ep r o b a b i l i t yd e n s i t y ， a n dt r yt or e v e a lt h em e c h a n i s mf o rt h eb i n d i n go fe x c i t o n st oad o n o ri o n k e yw o r d s p a r a b o l i cp o t e n t i a lq u a n t u mw e l lw i r e e x c i t o n b o u n de x c i t o n d o n o ri m p u r i t y b i n d i n ge n e r g y v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文磁场作用下抛物量子阱线中离子施主束缚激子体系的性 质，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：旁j 磊 如( j 3 年l f 月2 7 日 、 指导教师确认( 签名) ：倪 扣1 7 ：；年f j 月上7e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：列磊 z o o g 年i1 月2 7 日 指导教师( 签名) ： 2 d ) 寥年1 1 月2 7 u 1绪论 1 1半导体物理的发展 半导体物理学作为凝聚态物理学的部分，已经发展了半个多世纪， 并逐渐成为一个充满活力、发展最为迅速的前沿学科。以此理论为基础而 生产出的半导体器件在微电子、计算机、通讯以及相关领域发挥着不可替 代的作用，这也激起人们对半导体科学技术的极大关注。半导体物理的发 展不仅有力地推动了现代科学技术的发展进程，而且从根本上改变了当代 人类社会生活的面貌。 二十世纪三十年代初，人们开始将量子理论应用到晶体中去解释其中 的电子态。19 2 8 年布洛赫( f b l o c h ) 提出了著名的布洛赫定理，发展并 完善了固体的能带理论。19 31 年威尔逊( h a w i l s o n ) 应用能带理论给 出了区分导体、半导体和绝缘体的微观判据，从而奠定了半导体物理的理 论基础。19 4 8 年发明的晶体管，又以其独特的功能吸引了人们的注意，大 大促进了半导体物理的研究。五十年代，半导体物理的研究蓬勃展开，对 半导体的能带结构、各种工艺引起的半导体能带的变化、半导体载流子的 平衡及输运、半导体的光电特性等进行研究并作出理论解释，从而发展成 为一个完整的理论体系。其中，对p n 结、金属半导体接触理论的研究就 是在五十年代发展成熟的。六十年代，半导体物理的发展已达到成熟与推 广时期。19 5 8 年，安德森( p w a n d e r s o n ) 提出了局域态理论，开创了无 序系统研究的新局面，为非晶态半导体物理的研究奠定了基础。19 6 9 年， 江崎( l e s a k i ) 和朱兆祥( r t s u ) 提出可以通过人工调制能带的方法 制备半导体超晶格，使人们得以对人工调制的周期性结构独特的物理特性 和二维电子气进行研究。也正是在半导体超晶格的研究中，19 8 0 年冯克利 青( k v k l i t z i n g ) 【2 】发现了量子霍尔效应这一低维物理现象。 半导体物理的发展经历了从简单到复杂、从有序到无序、从三维到低 维的过程，已发展成为一个庞大的理论体系，并具有多个分支学科，如半 导体表面物理、非晶态半导体物理、半导体超晶格物理等，现在仍处在科 学研究的前沿地位。 1 2 半导体超晶格物理 半导体超晶格物理的建立是半导体能带理论发展的必然。能带理论建 立起来后，人们对各种规则晶体材料的性能有了相当的认识，并建立了以 能带理论为基础的半导体物理体系去解释出现的现象。接下来人们必然会 想到人为改变和调制能带去制备新的材料，以期获得最新的效应及新的用 途。 l9 6 9 年和19 7 6 年诞生的分子束外延( m b e ) 并i 金属有机物化学汽相沉 积( m o c v d ) 薄膜生长技术为整个半导体科学领域带来一场革命。随着这些 微加工技术的进步和发展，实现了晶体的低速率生长，加之超净工作条件 的建立，使得人们能够制造出高质量的异质结构，它具有所设计的势能轮 廓和杂质分布，其尺度可以控制到单原子层，为新型半导体器件的设计与 应用奠定了技术基础。 1 9 6 9 年，在美国i b m 公司工作的江崎( l e s a k i ) 和朱兆祥( r t s u ) 【1 1 首次提出了“超晶格”概念，即利用半导体微加工技术，人工制作的一 种周期性结构，其周期仅为天然材料晶格常数的若干倍。这里“超的含 义是指在天然的周期性以外又附加了人工周期性。 l9 7 1 年，卓以和( a y c h o ) 【3 】用分子束外延( m b e ) 技术生长出了第一 个g a a s a i ，g ah a s 超晶格材料。由此便揭开了超晶格、量子阱、量子线 和量子点等低维半导体材料研究的序幕，人们可以根据自己的意愿和需 要，调制半导体晶格周期结构，制造出人工晶格，实现特定的物理性质和 技术要求。 严格来说，由两种或两种以上组分不同或导电类型各异的超薄层( 相 邻势阱内电子波函数会发生交迭) 材料，交替堆叠形成的多周期结构称为 “超晶格材料；通常把势垒较厚以致于相邻势阱中电子波函数无交迭的 周期结构称为“量子阱或统称为“超晶格量子阱 材料；而把其化合物 组分连续变化的这类结构成为“递变带隙微结构”。 利用m b e 和m o c v d 等超薄层生长技术将两种禁带宽度不同、但晶 2 格常数匹配较好的半导体材料( 包括i i i v 和i i v i 族化合物以及g e s i 半 导体系统) 按不同方式组合交替生长在一起，就可以构成异质结、量子阱 或超晶格等人工剪裁结构。如果分隔量子阱层的势垒层材料比较薄，不同 阱之间存在有足够强的状态耦合，那么这种人工生长出的周期性结构就成 为超晶格。 而如果势垒层材料比较厚，并且量子阱、异质结界面势阱的宽度小到 可以与电子波长相比较，那么约束在势阱中的载流子沿阱宽方向不再能作 自由运动，它们只能在准x y 二维平面内保持自由运动。电子运动状态由 原来在体半导体中的三维自由运动向量子阱、异质结中的准二维自由运动 演变，使半导体中的电子态、元激发和相互作用过程均发生了重大变化， 而且赋予了异质结、量子阱等准二维结构许多全新的特性。如果进一步对 电子、空穴的运动附加维度限制，即可成为准一维结构“量子线”，甚至 成为完全受限的准零维结构“量子点”。 超晶格、量子阱、量子线、量子点等经过“人工剪裁 的低维半导体 材料具有了天然半导体材料不具备的极其丰富的物理内涵和独特性质，为 半导体器件的制作和应用提供了发展机遇，成为低维物理、材料科学、纳 米技术、微电子技术研究的热点。 半导体低维结构具有能带人工可剪裁性、量子约束效应、共振隧穿效 应、超晶格微带效应、二维电子气效应、电子波量子相干属性、负磁阻效 应和量子霍尔效应等重要性质。我们在下面例举一些半导体低维材料的性 质和应用。 1 2 1量子约束效应 在半导体超晶格的发展初期，由于人们的制作技术水平比较低因此制 作量子点的困难很大，所以主要的研究精力放在对量子阱的研究上。在量 子力学中，能够形成离散量子能级的原子、分子的限制势就相当于一个量 子阱。人们可以利用分子束外延( m b e ) 和金属有机物化学汽相沉积 ( m o c v d ) 等技术来制作人造量子阱。由于半导体材料中掺杂浓度的不同造 成能带的变形，从而形成能带为直角形或抛物形的量子阱。由于电子在沿 生长方向上的运动受到限制势的约束，因此形成了一系列的分散的能级。 通过计算和分析发现量子能级的差别与量子阱的宽度成反比，并且只有当 量子阱的宽度小于1 0 0 n m 时量子效应才变得很明显。此时电子的二维运动 与自由时的三维运动的能态密度有本质的区别，三维运动的能态密度与 e 成正比，而二维运动的能态密度则为常数。通过对耦合双量子阱的光 谱分析，人们发现原来的一个吸收峰分裂成两个吸收峰，相对应于原来量 子阱中简并量子态的对称和反对称组合，从而进一步证实了量子约束效 应。 电场对体材料的光吸收效应称为费朗兹一凯尔迪什效应。通过实验发 现【4 1 ，电场对量子阱光吸收的作用更为明显。激子的吸收峰发生红移现象， 但吸收峰的形状保持不变，这种效应叫做量子约束斯塔克效应。这主要是 由于在电场的作用下，使量子阱发生倾斜进而使电子向势能低的方向移 动，造成了这种红移现象。利用这种量子约束的斯塔克效应，人们已制成 了自光效应器件。 由于g a a s a 1 。g ah a s 材料的品格常数几乎相同，生长出的量子阱、 超晶格材料界面平整，缺陷错位很少，质量较高，所以在早期便得到人们 的高度关注。随着科学和技术的发展，人们期望研制出用其它材料组成的 超品格结构，但在自然界中两种晶格常数相等或相近的材料组合很少，因 此人们开始研究晶格常数不匹配的半导体材料，并且发现只要在一定的品 格失配限度内( 小于7 ) ，可以依靠弹性形变来弥补晶格之间的差别，因 此在界面上不会发生错位或缺陷。这种超品格中存在一定的弹性形变，因 此称这种超晶格为应变超晶格。这种超晶格存在弹性形变因而可以影响到 其能带结构，从而增加了一种新的“剪裁”能带的手段。 由于人们希望可以利用s i g e ，s ih 超晶格做成集成电路，并且可以利 用能带剪裁的方法使它发光，进而做成半导体器件，因此激励着科研人员 进行了大量的研究工作。但是由于s i 和g e 的晶格失配程度较大，再加上 它们的生长温度较高，因此这种超晶格材料的质量问题一直未能被解决。 直到贝尔实验室的x i e 等利用加入缓冲层的方法，使超晶格中应变情况发 生变化，使得这种能带结构有利于提高电子沿平行界面方向的迁移率，从 4 而为制造将通常的集成电路与量子器件集于一体的超级芯片开辟了条 新的道路。 1 2 2 超晶格微带效应 从严格意义上来说超晶格结构和量子阱结构是有区别的：量子阱或多 量子阱是指量子阱之间势垒厚度很大、各个量子阱的束缚能之间的耦合作 用很小；超晶格结构是指量子阱之间势垒厚度很薄、各个量子阱的束缚能 级之间耦合很强，可以形成微带。微带是指布里渊区很小且能带宽度很小 的能带，与固体罩的能带类似但又有很大区别，因此一些一般在固体中观 察不到的现象可以在超品格结构中被观察到。 由于对垂直的微带输运的研究比对光学性质、平面输运的研究对材料 质量方面的要求更高，因此在l9 7 4 至19 8 3 年间，人们把主要的注意力集 中到“量子阱效应”，而对“超晶格效应”暂时地失去了兴趣。随着制作 工艺的提高，在19 8 3 年以后，人们对超晶格微带的研究又重新开始。m a a n 等【5 】通过研究磁场平行于超晶格生长方向的光谱，发现由于电子能级在磁 场作用下的量子化，微带又分裂成一系列离散能级【6 】。m a a n 等的磁光实验 间接证明了超晶格中微带的存在。c h o m e t t e 等【7 】用光学方法研究了微带输 运。他们在超晶格的下边设计了一个宽的单量子阱，当用光在超晶格中激 发电子、空穴后，就能观察到在单量子阱中电子空穴复合产生的辐射( 能 量较低) ，从而证明在超晶格中存在电子、空穴通过微带的垂直输运。用 这种方法还能确定电子和空穴在微带输运中的扩散系数和迁移率。在垂直 于界面的外加磁场和电场下，超晶格的微带波函数逐渐局域化，微带分裂 成一系列离散能级，对应于每一个量子阱中的束缚能级。这种万尼尔一斯 塔克效应是超晶格微带效应的明显例证。 对超晶格的微带输运存在两个理论：布拉格衍射的玻耳兹曼输运理论 【8 】和场引起的局域态之间的跳跃电导理论【9 1 。目前这两方面的实验和理论 研究正在进行中。 1 2 3低维和小量子系统 由于量子阱可以使电子在一个方向上受到限制，产生许多特殊的量子 效应，并且可以具有许多新的应用，人们开始通过提高制作工艺使电子在 其它两方面同时受到限制，制造出了电子在两个方向上受约束，只在沿线 的方向上能自由运动的量子线结构；电子在三个方向上都受约束的量子点 结构。这种几个方向的约束作用可以由电子的能态密度进行体现：零维电 子的能态密度是一系列孤立的线；二维电子能态密度是台阶状的，一维电 子能态密度与( e e 。) 。1 他成正比，因此在e = e 。处发散，呈尖峰状。 在实际的制作工艺中，要制造出量子线或量子点并不容易。人们在分 子束外延生长的量子阱或超晶格材料基础上，采用侧向腐蚀方法可以制作 出量子线或量子点阵列，或者在调制掺杂的异质结构上，用劈裂金属栅方 法，通过加负压以耗尽栅下面的电子，从而得到窄的一维电子通道。由于 制作工艺的限制，只能制作尺度在几十纳米到一百纳米的量子器件，因此 在实验上观测的量子效应并不很明显。 s m i t h 等【1 0 。1 1 1 利用电容法通过测量一维或零维的能态密度来研究磁场 对这些系统的影响，发现了准一维系统对外磁场显示出很强的各向异性。 h e i t m a n n 等【1 2 】用磁场下的输运测量和远红外光谱研究调制掺杂的一维电 子气，结果发现集体相互作用对它的电子性质有很强的效应，并且制成周 期排列的量子点结构。人工半导体“原子”首次在该实验中被制备出来。 r e e d 等采用电子束刻蚀的方法在双势垒结构侧面刻蚀量子点阵列来观测 量子点的共振隧穿现象【1 3 】。由于这些量子点的量子限制作用，每个量子点 能级开始分裂为离散能级，因此在电流随电压变化时出现了一系列共振 峰。我们可以通过这些共振峰值来计算量子点的能级。k o u w e n h o v e n 【1 4 】等 在劈裂栅工作的基础上在制作金属量子点时发现了“库仑阻塞 效应。 半导体纳米微粒晶体是低维量子系统的另外独立分支。它是利用化学 汽相沉积的方法制作出纳米尺度的微粒晶体。这种材料具有光学的非线性 和特殊的光学性质，因此具有很大的应用前景。但由于制作出的颗粒大小 不均匀并且有很复杂的表面效应，因此有很多问题有待进一步研究。 1 2 4 量子阱激光器 超晶格量子阱等低维结构诸多新效应的发现使得光电器件的设计和 制造技术发生了根本变化，产生了新一代光电器件。 在量子约束效应发现后不久就观察到量子阱中光学泵浦的激光作用 6 1 5 - 1 6 】，接着又制成高量子效率的量子阱激光器【1 7 】。量子阱激光器具有极低 的阈值电流( 小于lm a ) ，且阂值电流对温度具有弱依赖性。超晶格量子 阱中的量子约束效应，使超晶格量子阱激光器的性能有了很大的改进，主 要是提高了量子效率，例如微腔激光器的量子效率可达到1 。特别是采用 量子线和量子点结构的低维量子阱激光器，由于有效状态密度的显著变 化，电子运动被分别限制在一维、零维电子系统内，预计比量子阱激光器 具有更低的阈值和更弱的温度依赖性，这将对光纤通信、光计算和光信息 处理的应用产生革命性的影响。 1 3本文的研究背景 量子阱、量子线、量子点等人工材料因其特殊的物理性质、广阔的应 用前景而成为十分引人瞩目的研究对象。这方面的研究丰富了人类对微观 和介观世界的知识，推动了凝聚态物理的发展，因而也是理论研究的重要 前沿领域之一。 在这些半导体低维结构中，量子空间约束效应限制了电子和空穴的运 动。作为结果，粒子沿约束方向运动的能量被量子化了，而且由于波函数 在约束方向被压缩了，这使得电子和空穴之间波函数的重叠增加了，同时 粒子间的库仑相互作用以及库仑相关效应也增强了。这些特性导致处于低 维半导体结构中的束缚体系比在体材料中具有更大的束缚能。 激子是固体中的一种基本的元激发，是由库仑相互作用束缚着的电子 空穴对。而激子又能够束缚于被电离的施主杂质上，构成三粒子复合物 ( d + ，x ) ，这是种较简单的( 相对于( d o ，x ) 和双激子、三激子等复合物) 且广泛存在的束缚激子体系，在实际的半导体材料中由于存在大量的杂质 和缺陷而可以产生对激子的束缚。早在l9 5 8 年，l a m p e r t 1 8 1 就在理论上首 次预言了( d + ，x ) 和( d o , x ) 等束缚激子体系存在的可能性。19 6 0 年h a y n e s 1 9 】 在实验中观测到与束缚激子体系中电子空穴对的辐射复合相关联的光致 发光谱。在有效质量近似的框架下，人们对三维( 3 d ) 半导体体材料中 ( d + ，x ) 体系的稳定性和束缚能进行了理论的研究。结果显示出，( d + ，x ) 体 7 系的稳定性与电子空穴有效质量比o ：坠是相关的。在体材料中，当 m h o o 。= o 4 5 4 时( d + ，x ) 体系是稳定的2 0 1 。 由于量子约束效应，可以预期在低维半导体结构中( d + ，x ) 体系将比在 3 d 半导体中具有更高的稳定性。据我们所知，s h a n a b r o o k 和c o m a s 2 1 】首 次报道了在量子阱中杂质束缚激子体系的光谱观测研究。 随后一系列的实验研究 2 2 - 2 7 1 进一步证实了这种发生在低维结构中的 现象。r e y n o l d s 等2 2 1 在任意掺杂的g a a s g a h a l ，a s 多量子阱中观测到了与 束缚激子跃迁相联系的谱线，n o m u r a 等【2 3 】报告了在硅掺杂的单量子阱中 的( d + ，x ) 跃迁，l i u 等 2 4 1 和r e y n o l d s 等【2 5 1 观测了杂质位于饼心和阱边两种 情况下束缚激子体系的光致发光谱。b u h m a n n 等【2 6 1 在磁场下测量了( d + ，x ) 体系的束缚能，发现在较弱磁场情况下体系的束缚能对磁场的变化不敏 感，而当磁场高于2 7 t 时束缚能随磁场的增强显著地增大。 随着实验研究的进展，对于低维半导体结构中束缚激子体系的理论研 究迅速展开。l i u 等 2 7 - 2 9 在有效质量理论的框架下利用变分法计算了有限 深g a a s g a 。a 1 ，a s 量子阱中( d + ，x ) 和( d 。，x ) 体系的束缚能随阱宽和杂质离 子位置的变化关系，数值计算的结果与r e y n o l d s 等【2 5 】的实验数据符合的 很好，并且根据理论的结果对实验中掺杂位置的不确定性进行了合理的推 断，从理论上澄清了在实验结果分析中的疑问。d ac u n h al i m a 等 3 0 1 用变 分法计算了考虑r x 混合的g a a s a 执s 量子阱中( d + ，x ) 体系的束缚能。 s t e b e 等【3 1 1 利用r i t z 变分法对无限深球型量子点中( d + ，x 1 体系的束缚能进 、 行了计算，并与三维体材料的情况作了比较。 e s s a o u d i 等3 2 1 利用变分法计算了在外加电场作用下g a a s g a h a l ，a s 量 子阱中( d + ，x 1 体系的束缚能随阱宽、场强和掺杂浓度的变化关系，发现在 阱宽较窄时束缚能对场强和掺杂浓度都不敏感。s t e b e 等【3 3 】计算了在外加 磁场作用下( d + ，x ) 体系在量子阱中的束缚能，结果表明磁场的加入增大了 体系的束缚能。e s s a o u d i 等1 利用变分法研究了在磁场作用下( d + ，x ) 体系 在量子阱中的稳定性与掺杂位置的关系，发现当施主离子远离阱心时体系 将变得不稳定，而外加磁场具有加强体系稳定性的作用。 s t a u f f e r 等1 利用变分法计算了在理想的二维极限情况下( d + ，x ) 体系 的束缚能，并研究了体系的稳定性与电子空穴有效质量比6 ：坐之间的依 m h 赖关系，发现当a 6 。= o 8 8 时( d + ，x ) 体系是稳定的，临界值6 。约为体材料 的两倍2 0 1 。但是他们所选取的尝试波函数没有充分考虑到( d + ，x ) 体系中远 离施主离子处空穴的概率分布，是不完善的，因而所得到的o 。数值偏低。 研究量子阱中的( d + ，x ) 体系，所用的方法大多为变分法。这种方法的 关键在于选择合理的尝试波函数，对于不同的量子约束系统，往往要选取 不同的尝试波函数。只有尝试波函数充分反映出特定的物理条件，才能得 到令人满意的结果。 由于变分法的结果存在精确度依赖于尝试波函数选取的局限性，人们 开始发展和采用其它方法。r u a n 等【3 6 1 利用超球面绝热膨胀方法 ( h y p e r s p h e r i c a la d i a b a t i ce x p a n s i o na p p r o a c h ) 在二维极限情况下对电子- 空穴有效质量比的临界值o 。进行了计算，结果发现( d + ，x ) 体系对于任意的 。都是稳定的，即在二维极限情况下的稳定性不存在临界值o 的限制。由 此便在理论上确证了半导体低维结构有利于提高( d + ，x ) 体系的稳定性。另 外，还有一些理论计算方法被采用：微扰法【37 1 、分数维方法 ( f r a c t i o n a l d i m e n s i o n a la p p r o a c h ) 3 8 - 3 9 】、路径积分蒙特卡洛法( p a t h i n t e g r a lm o n t ec a r l oa p p r o a c h ) 4 0 】等。 近年来，有限差分法【4 1 郴1 作为一种高效率且准确度不依赖于尝试波函 数选取的方法，被越来越多地运用到低维量子约束系统的研究中 4 4 - 4 8 】。 s z a f r a n 等【4 4 1 利用有限差分法结合虚拟时间技术、采用一维有效势模型【4 5 1 9 计算了抛物势量子阱线中带电激子体系( x + 、x 一) 的束缚能。a n 和l i u 4 6 】 利用一维有效势模型和有限差分法研究了在磁场作用下抛物势g a a s 量子 阱线中中性施主杂质体系d o 的性质。z h a i 和l i u 4 7 1 利用有限差分法对磁场 下抛物势量子阱线中负施主杂质离子体系d 一的束缚能进行了计算。z h a n g 、 s h e n 和l i u 4 8 】利用有限差分法计算了磁场下抛物势量子阱线中双激子体 系的束缚能。 到目前为止，我们还没有看到关于抛物势量子阱线中在外加磁场作用 下( d + ，x ) 体系性质的理论研究。因此，在本文中我们利用有限差分法和一 维有效势模型对( d + ，x ) 体系的束缚能进行了数值计算。本文的第二章介绍 了我们所采用的模型和计算方法，第三章对数值计算结果进行了分析和讨 论，第四章对我们的主要结论作了总结。 i o 2 理论框架 我们所研究的物理体系是在对称抛物势量子阱线结构中的离子施主 束缚激子体系，即激子被施主杂质离子所束缚的体系( d + ，x ) 。 在抛物势量子阱线结构中，取( x ，y ) 方向作为抛物势约束方向，z 方向 为电子和空穴的自由运动方向( 即平行与阱线的轴向) ，施主杂质离子位 于原点( 0 , 0 ，o ) 处。 在本文的数值计算中，各参量的取值采用g a a s 材料的数据 4 9 - 5 0 1 ： m 。= 0 0 6 6 5 m o ，m h = o 3 4 m o ，= 1 2 5 。 我们在以下的理论推导中，均采用高斯单位制。 2 1 离子施王束缚激子体系的基态能 根据有效质量包络函数理论【5 ，在有效质量近似下，离子施主束缚激 子体系的哈密顿为 h = 去( 正+ e 2 h ( x2 h + y ：) 一+ e 2 e 2 ( 2 1 ) 2 e r , k屯 式中m 。、m 。分别为电子和空穴在抛物势阱线中的有效质量，。、饥分别 为电子和空穴的振子频率，则电子和空穴的振子长度分别为 。_ j 去 j 去 r 曲：、i i j 夏j 飞万二聂f i 瓦j i f 为电子与空穴之间的距离， r d = 0 了i 万疆和k = 、f ；i i 万i 分别为电子和空穴到施主杂质离子 的距离； 取外加磁场沿z 方向，采用库仑规范( v 一a ：0 ) ，则矢势为 天= 三百亍= 一三b y i + i 1b 与= ( 一丢b 弘j 1b x ，。) ， 体系的哈密顿可写为 一石h2 ”( 0 2 研2 + 豺 b e 2 m 。c 壳2fa 2a 2a 21 一面l 碡+ 研+ 瓦厂 l 。+ 嚣 ( x ：+ y ：) 毒u 嚣 x ：+ y ：) + 丢m 。：( x ：+ y ：) + 互1m 。：( x ：+ y ：) 一毒+ i e 2 一i e 2 式中。嘞( x 。毒1 斟l 出瓦吖。i j k叫力( x 。击嘲射 空穴的轨道角动量算符沿z 方向的分量。 令 c 。= 生：1 ， m 。 c h m c 一一， m h 将哈密顿分为三项之和 一h 2 胁( 0 2 2 m + 别 。叙：。匆：i + 去m 。乙by ：) + 石1 m 。吒2 。( k 2 + y ：) h l - 一。瓦h 2 瓦a 2 面h 2 碡0 2 一詈+ 熹一言 h z 一。面e bl 。一c 。面e b l 曲 式( 2 3 a ) q b c b 2 = c ： 令1 曲= e 2 8 2 4 m ：c 2 + ：，0 ) 2 i i b = c ： e 2 8 2 4 m ：c 2+ ： 压= 厄压 。= 压= 厄压 ( 2 2 ) 分别为电子和 ( 2 3 ) ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) ( 2 3 c ) ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) 考虑到在量子阱线中x ，y 方向的抛物势对系统的束缚比z 方向的库仑 势束缚强很多，因而满足绝热近似的条件【45 1 ，可以将体系波函数的x , y 坐 标与z 坐标分离，写作 1 2 甲( i ，i ) = v ( x 0 , y 。) v ( x h , y 。) ( p ( z 。，z 。) ( 2 5 ) r 一 | | k 广r h c 门川 旦理旦箧 心r 七 + 酽一m 去 0 、 k 圯 “ = 。 v ( x e , y o ) = 瓦1 唧( 警 、，( x h , y h ) = 瓦1 唧( _ 警) 由于我们所选取的是基态波函数，故有 h ：v ( x 。，y 。沁( x 。，y 。) = 0 因此，实际上：h = h 。+ h 因v ( x 。，y 。) v ( x 。，y 。) 为h 。的本征函数，故 h 。v ( x 。，y 。沁( x 。，y 。) - - - ( e 。+ e 。) v ( x 。，y 。) v ( x 。，y 。) 根据量子力学中二维谐振子的计算结果52 1 ，基态本征值为 e 。+ e b = 而( c b + ( o h b ) ( 2 5 a ) ( 2 5 b ) ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) 为了计算方便，我们采用自然单位制对公式进行无量荆化。 取2 m 。：壳：i 1k ：1 ( 2 7 ) 4 。 ( 2 7 ) 式中k = 三 经过标准的无量纲化过程之后可以得到 5 2 - 5 3 ： 长度单1 立a b = 者= 9 9 4 9 ( m ) ，台b 量单位ry = 舞= 5 7 8 9 ( m e v ) ， 这是电子在g a a s 中的b o h r 半径和r y d b e r g 能量常数； p m 。 磁场单位b = 二兰 = 9 7 0 3 l x l 0 。( t ) ， 2 2 壳4 速度单位c = 熹= 8 7 4 9 x 1 0 4 ( m s ) ， z 厅 在此自然单位制下，光速c ：2 9 9 7 9 x 1 _ 0 s ( m 一s ) ：3 4 2 6 6 1 0 3 4 2 6 6 x 1 0 s ， 在此自然单位制下，光速c = - 一= 3 ， 根据( 2 7 ) 式k - - - - 笠：2 ，又因= 1 2 5 ，故电子电量e = 5 。 离子施主束缚激子体系的无量纲哈密顿为 h = h 。+ h ( 2 8 ) 1 4 h 。一c c _ ( 篆+ 篆 + c 。 - ( 篆+ 象) + 击二b y ：) + 石1 吒2 - m y ：) n i 一一。碡a 2 矗詈一i 2 根据公式( 2 4 a ) 、( 2 4 b ) 和( 2 7 ) 有 曲= 厄矿面，曲= 扛矿面 卜( 鑫卜砧- ( 轰) - ( 2 9 ) 式中p ：堕，p 即为无量纲的l a r m 。r 频率。 根据公式( 2 6 b ) 和( 2 7 ) 有 e o + e 。：c o 曲+ 。：乏丽+ 乏丽 离子施主束缚激子体系所满足的能量本征方程为 h v ( x 。，y 。h ( x 。，y 。( z 。，z 。) = e v ( x 。，y 。) v ( x 。，y 。( z 。，z 。) ( 2 11 ) 式中e 为体系的基态能。 采用一维等效势模型，可以将能量本征方程( 2 11 ) 化为 h 巾( z 。，z 。) = 脚( z 。，z 。) 纵向波函数的等效哈密顿 h - e e + e h c 去瓦a 2 叱( z e ) + z h ) + 吲z 。z h ) 库仑相百作用的一维等效势 i = 胍。x e d y e d x h d y 。卜c y k y h ) ) = i i i e a x 。d y 。d ) 【。d y 。i 詈i v 2 ( x 。，y 。沁2 ( x h ，y 。) h i 一) = o x c d y 旭d y n 【一三卜( x h 执) ( 2 8 a ) ( 2 8 b ) ( 2 9 a ) ( 2 9 b ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 附录i ) ： ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 a ) ( 2 1 4 b ) ( 2 1 4 c ) 利用傅立叶变换的方法作出( 2 14 a ) 、( 2 1 4 b ) 和( 2 14 c ) 三式的积分，可 g q g k k k ，、i 以得到等效势的实空间表达式( 附录i i ) ： 吼。_ 卜石志疵x ( 矬 k ( z c 卜石柏x k ( z h ) = 石柏x 其中e r f c x ( x ) = e l e r f c ( x ) ，互补误差函数e r f c ( x ) = 下2 f e - d t 。 、7 c ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 b ) ( 2 15 c ) 利用有限差分法对能量本征方程( 2 1 2 ) 式进行求解( 附录1 1 1 ) ，即可得 到离子施主束缚激子体系的基态能e 。 2 2激子体系的基态能 在有效质量近似下，激子体系的哈密顿为 1 - 1 。2 t - 1 。o + h 。l + h 1 2【z - 1 0 ) h 扩c 。 一磊h 。( 叙0 2 + 毒 + c 。 - 盖( 蠹+ 磊) + 去m 。c o 乙b y ：) + 瓦1 m 。吒2 n ( k 2 “h ) ( 2 1 6 a ) h x l 一去基盖毒一专( 2 1 6 b ， h n ：c o _ e bl 。一c 。兰l 出( 2 16 c ) 2 m ，c2 m ，c 公式中各参量的意义与2 1 节中各参量相同。 在绝热近似的条件下，激子体系关于x 、y 坐标的波函数形式同( 2 5 a ) 和( 2 5 b ) 式，并且能够与z 坐标分离。 由于h 。：v ( x 。，y 。如( x h ，y 。) = 0 因此，实际上：h 。= h 柏+ h 。i 为了分离出质企，的运动。需萼对z 方向讲行举标蛮换用相对举标z 和质心坐标z 代替z c 和z 。 1 6 z 。z c z h ( 2 1 7 a ) z = m e z , + m h z h ( 2 1 7 b ) m c + m h 激子体系的波函数可以写作 甲( i ，i ) = v ( x y