24.4 相似三角形判定（第5课时）同步练习

24.4相似三角形判定（第5课时）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海宝山·二模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（）A． B． C． D．3．（2018·上海市西南模范中学九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（

）A．7对 B．6对 C．5对 D．4对4．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（）A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．5．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，已知在中，点在边上，那么下列条件中不能判定的是（

）A． B．C． D．6．（2019·上海市民办嘉一联合中学九年级阶段练习）如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（

）A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形二、填空题7．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件___，可以使△AOD与△BOC相似．8．（2018·上海·九年级阶段练习）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形:________________．9．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．10．（2021·上海·九年级期末）如图，点D在的边上，当______时，与相似．三、解答题11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在线段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求证：△AED∽△ABC．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足，求证：△ABD∽△ACE．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．【能力提升】一、单选题1．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（

）A． B．是的平分线C． D．2．（2021·上海·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFGC．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG3．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（

）A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AECC．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC4．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．5．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知每个小正方形的边长均为1，与的顶点都在小正方形的顶点上，那么与相似的是（

）A． B．C． D．二、填空题6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形．7．（2022·上海浦东新·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中项．9．（2021·上海市文来中学九年级期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度三、解答题10．（2021··九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．11．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．12．（2018·上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．13．（2021·上海市金山初级中学九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．14．（2017·上海市玉华中学九年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点D、E、F.（1）求证：；（2）联结EF，求证：.

15．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）如图，在△ABC中，D和E分别是BC和AB上的点，BE=EC，联结DE，EC交AD于点F，且．（1）求证：△FCD∽△ABC；（2）若AF=FD，求证：DE⊥BC．16．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．（1）求证：；（2）如果，求证：．17．（2021·上海·九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).①求证：△APB∽△DCP；②求PC、BC的长.(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.②设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.

24.4相似三角形判定（第5课时）（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海宝山·二模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．【答案】C【分析】利用等边三角形的性质可得再利用公共角可得答案．【详解】解：△ABC与△BDE都是等边三角形，故选C．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在与中，∵，且，∴．故选:A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．3．（2018·上海市西南模范中学九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（

）A．7对 B．6对 C．5对 D．4对【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．【详解】图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，∴△ABC≌△CDA，∴△ABC∽△CDA，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∞△CDA，∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定，平行四边形的性质.4．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（）A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定条件进行逐项分析即可．【详解】解：由题意得：∠AOB=∠COD，A、∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；B、∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB=∠COD，∴△BOA∽△COD，故此选项不符合题意；C、，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△COB，并不能证明△AOB与△COD相似，故此选项符合题意；D、，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．5．（2022·上海闵行·九年级期末）如图，已知在中，点在边上，那么下列条件中不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断A，B，由两个角对应相等的两个三角形相似可判断C，D，从而可得答案.【详解】解：而不一定相等，不能判断，故A符合题意；，而故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键.6．（2019·上海市民办嘉一联合中学九年级阶段练习）如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（

）A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形【答案】C【分析】如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题．【详解】解：A.又平分故A不符合题意；B.平分又故B不符合题意；C.三角形与三角形，仅有一个公共角，不能证明相似，故C错误，符合题意；D.故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题7．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件___，可以使△AOD与△BOC相似．【答案】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案．【详解】添加一个条件：，，，．【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．8．（2018·上海·九年级阶段练习）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形:________________．【答案】△ABE∽△FDE【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，从而可推出∠ABD=∠CDB，已知对顶角相等，根据有两组角相等的两个三角形相似，从而得到△ABE∽△FDE．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．∵∠AEB=∠FED，∴△ABE∽△FDE．故答案为：△ABE∽△FDE.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用．9．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C．【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．故答案为∠D=∠B（答案不唯一）．10．（2021·上海·九年级期末）如图，点D在的边上，当______时，与相似．【答案】【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可．【详解】由∠BAC=∠CAD共用，当时，∽．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理．三、解答题11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在线段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求证：△AED∽△ABC．【分析】首先计算和，得到，结合∠A为公共角，即可证明结论．【详解】证明：∵AB＝6，AC＝8，BD＝2，CE＝5，∴，，∵，，∴，又∵∠DAE=∠CAB，∴△AED∽△ABC．【点睛】本题考查相似三角形的判定，理解并熟练运用相似三角形的判定方法是解题关键．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足，求证：△ABD∽△ACE．【分析】根据已知条件证明△ADE∽△ABC，得到∠DAB=∠EAC，即可得到结果；【详解】∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵，∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确判断是解题的关键．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，在△BDE与△BFE中，BD=BF，∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．【能力提升】一、单选题1．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（

）A． B．是的平分线C． D．【答案】D【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②；故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．2．（2021·上海·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFGC．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【分析】由正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，可以证明△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BDE∽△BCG，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF与∠CBG不一定相等，∴△ABF与△CBG不一定相似，故选项C符合题意；△BDE∽△BCG，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．3．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（

）A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC【答案】C【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似．【详解】A.是直角三角形，不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；D.只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；C.是等腰直角三角形，则设，则，，，，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行一一判定即可．【详解】解：A、如图标字母M，N，∵∠MNB=∠A=76°，∠MBN=∠CBA，阴影△BMN与原△BCA有两个角相等，∴△BMN∽△BCA，故本选项不符合题意；B、如图标字母D、E，∵∠EDB=76°=∠A，∠DBE=∠ABC，阴影三角形与原三角形有两个角相等，∴△DEB∽△ABC，故本选项不符合题意；C、如图标字母G、K，∵∠C为公共角，CG=3，AC=6，，CK=4，，但不知道邻边BC的长，因此无法判定阴影三角形与原三角形相似．故本选项符合题意．D、如图标字母H、F，∵FC=2，HB=5，AB=8，AC=6，∴AF=AC-FC=6-2=4，AH=AB-HB=8-5=3，，∴，，∴，∠HAF=∠CAB，阴影三角形与原三角形有对应边成比例且夹角相等，∴△HAF∽△CAB，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．5．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知每个小正方形的边长均为1，与的顶点都在小正方形的顶点上，那么与相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：，A、∵，∴，∴△DEF与△ABC相似；B、∵，∴，∴△DEF与△ABC不相似；C、∵，∴，∴△DEF与△ABC不相似；D、∵，∴，∴△DEF与△ABC不相似．故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用．二、填空题6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形．【答案】3【分析】由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解．【详解】∵□ABCD∴，∴，∵∴∵，∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案．7．（2022·上海浦东新·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【详解】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中项．【答案】AB．【分析】利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD，进而利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵∠C＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC，又∠A=∠A∴△ABC∽△ACD，∴，即AC2＝AD•AB，∴AC是AD和AB的比例中项，故答案为：AB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD．9．（2021·上海市文来中学九年级期中）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC，再根据四边形的内角和为360°列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，△ABD与△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题10．（2021··九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．【分析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠DCF=90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F为公共角即可得出结论．【详解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF=∠CBE∵∠CDF＋∠F=90∴∠CBE＋∠F=90∴∠BGF=90=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11．（2020·上海市徐汇中学九年级期中）如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，，又∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．∴∠ABO=∠DCO．∵AB∥DE，∴∠ABO=∠EDO．∴∠DCO=∠EDO．∵∠DOC=∠EOD，∴△DOC∽△EOD，∴，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意找准对应角和对应边．12．（2018·上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）相似；理由见解析.【详解】（1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE；（2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD=∠CBE，进而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA，即可解题．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．点睛：本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质.熟练应用三角形全等及相似的判定方法是解题的关键.13．（2021·上海市金山初级中学九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．【分析】由∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°得∠BAF=∠C；由∠ABO+∠AOB=90°，∠AOB+∠COE=90°得∠ABF=∠COE．由两对角对应相等判定三角形相似．【详解】证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°．∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE．∴△ABF∽△COE．【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法：有两角对应相等的三角形相似．关键在充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．14．（2017·上海市玉华中学九年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点D、E、F.（1）求证：；（2）联结EF，求证：.

试题分析：（1）证明△AED∽△ADB即可得出结论；（2）通过证明△EAF∽△CAB即可．试题解析：证明：（1）∵DE⊥AB，AD⊥BC．∴.又∵.∴.∴∴.（2）同（1）可得：.∴.∴，.∴.∴∴.15．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）如图，在△ABC中，D和E分别是BC和AB上的点，BE=EC，联结DE，EC交AD于点F，且．（1）求证：△FCD∽△ABC；（2）若AF=FD，求证：DE⊥BC．试题分析:(1)根据等边对等角可以知∠ABD=∠ADB，∠EBC=∠ECB，从而证明△FDB∽△ABC，(2)由AF=DF可得DF=然后利用相似三角形的性质可知BD:BC=1:2，从而可以知道BD=DC，最后利用等腰三角形三线合一的性质可得到DE⊥BC.（1）证明：∵BE=EC，∴∠ECB=∠B，∵，∴，∴△FCD∽△ABC，（2）证明：∵△FCD∽△ABC，∴，∠ADC=∠ACB，∴AD=AC，∵AF=FD，∴，∴，∴，∵BE=EC，（此条件不写，下列不得分）∴DE⊥BC.16．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．（1）求证：；（2）如果，求证：．【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵