（机械电子工程专业论文）模态分析技术及其软件的研发.pdf

浙江人学硕士学位论文摘要 摘要 模态分析与参数辨识是振动工程领域一个重要的分支，是结构动态设计、振 动控制、减振消振以及利用振动信号的状态检测和故障诊断的基础。模态分析软 件则是利用实际工程测试数据进行结构模态参数辨识的一款可视化实用性软件。 本文着重研究基于频响函数的正交多项式曲线拟合模态参数辨识的方法，设 计并开发模态分析软件，本文的主要内容如下： 第一章阐述模态分析技术及模态分析软件在国内外的发展概况，阐述本文的 研究目标和意义，提出本文的研究内容和研究方法。 第二章介绍模态分析的基本理论及频域模态参数辨识的基本方法，并对参数 辨识算法进行扩展，提出求解模态参数的具体方法，并用m 础e m a t i c a 仿真验证 傅氏域离散正交多项式进行曲线拟合的正确性。 第三章介绍模态分析系统的构建框架，包括硬件系统和软件系统的构建框 架。介绍硬件系统的三大组成部分，并对软件系统进行分析与设计。 第四章介绍模态分析软件的具体设计方案和开发过程，软件功能包括三维结 构建模、模态参数辨识和结构运动仿真驱动三大模块。介绍模态分析软件的开发 工具s 砌c + + 语言，并结合图形编程接口o p e l l g l 来开发结构建模和结构数据 驱动模块。介绍利用参数辨识算法进行模态分析模块的具体开发。 第五章介绍模态分析软件的验证，通过实验案例，将本软件的分析结果与 a n s y s 有限元分析结果进行对比，证明本软件的正确性和有效性。 第六章对全文进行总结，对后续工作进行展望。 关键词：模态分析；参数辨识；o p e n g l ；离散正交多项式 浙江大学硕上学位论文 a b s 仃翟c t a b s t r a c t a sas i 嘶f i c 肌tb m c ho f 汕僦。蹦e i l 西n e 耐n 岛e x p 面n e i l t a lm o 捌a n a l y s i s ( e m a ) i st h eb a s i so f 灿c t u m l + d y l l 锄i cd e s i 印e m as o 胁a r ei sal 【i n do fp r a c t i c a l 啊s u a ls o f t 、) l r a r e1 l s e dt oi d 咄i 母s 臼弋l c l 七u r a lm o d a lp a r a m e t e r sb yt l l er e a lm e a 蛐g d a t a 1 1 1 i s p a p e rh a s f o c u s e do nn l em o d a lp a 衄鼬c ri d e i l t i f i c a t i o nm e t h o di n 姻啷c yd o m a i l l ，a i l d h a sd e v e l o p e dt h ee m a s o 肌a r e t h ef o l l o w i n ga r et l l em a i n c o n t e i l t so f 衄sp 印e r ： 1 1 1 ef i r s tc h a p t e rd i s c u s s e s 雠d e v e l o p m e n to fe m a 觚di t ss o 脚a r ea th o m e 锄da b r o a d ，e x p l a i n s 廿l er e s e a r c ho b j e c t i v e sa i l ds i 鲥f i c a l l c e ，a i l dp r o p o s e sm e i i e s e a r c hc o n t e n t sa n dm e 也o d s t h es e c o n dc h a p t e rd e s 嘶b e s 廿l eb a s i ct 1 1 e o d e so fe m a 觚dm o d a lp 舢e t e r i d e n t i 矗c a t i o nm e m o di n 缸铷u e l l c yd o m a 札p r o p o s e sas p e c i f i cw a yo fg e 仕i n gt l l e m o d a lp a r a m e t e r s ，觚dv 耐6 e sal ( i n do fd i s c r e t eo n l l 0 9 0 n a lp o l y n o m i a lc u n ，ef i t t i n g m e m o db y 训a t i o n 叻et h j r dc h a p t e rc o n 咖l c t so ft h e 妇n e w o r kt h ee m as y s t e l i l ，i n c l u d i n gt l l e h 灿a r ea n ds o f t w a r ep a n s t h e 矗) u 劬c h a p t e rd e s 嘶b e sas p e c i f i cs c h 锄et 0d e v e l o pt l l ee m as o f 细a r e ， w h i e hi n d u d i n gt 1 1 r e e d i m e n s i 伽mm o d e l i n g m o d a l 锄a l y s i s 猫w e l l 懿m o t i o n s i i i l u l a t i o n ，i i 帅d u c e st l l ed e v e l o p m e n tt 0 0 1 s ，i e s 砌cp l u sp l u s 锄do p e l l g l ， a i l ds p e c i f i e st h ew a yo fp 娥吼e t e ri d e l l t i f i c a t i o ni nm o d a la n a l y s i s t h ef i 舫c h a p t c rv a l i d a t e so f l ee m as o 脚a r eb yc o m p 撕n gt oa n s y s t h e1 a s tc h 印t e rs 蝴耐z e s l i sp a p e ra i l dp r o s p e c t st l l ef o l l o w i n gr e s e a r c h k e yw o r d s ：e x p 甜m e l l t a lm o d a la n a l y s i s ；p a r a m e t e ri d 肌t i f i c a t i o n ；o p c l l g l ； d i s 删eo m l o g o n a lp 0 1 y n o m i a l ； i i i 浙江大学硕士学位论文 致谢 致谢 在论文完成之际，谨此向每一位教导过我的老师，帮助过我的同学致以最诚挚的感谢! 衷心感谢我的导师陈章位教授。陈老师渊博的专业知识、丰富的工程经验和严谨的科 研态度让我留下了深刻的印象，并且在我的科研工作中产生了深远的影响陈老师不仅在 研究上为我提供了良好的环境和悉心的指导，在生活上特别是职业规划上也给了我很多帮 助和宝贵意见在此，我谨向陈老师深深的谢意和最诚挚的祝福 这两年多的研究生学习期间，实验室的各位同学包括钱小猛、黄靖、徐进荣、胡科伟、 陈家焱、刘娟容等在学习和生活上都给予了我很大的帮助和支持，在此感谢这些同学陪伴 我度过了这两年多的美好时光。 感谢杭州亿恒科技有限公司为实验提供必须的a v a n t 数据采集与分析仪、激振器、传 感器等设备。 最后，衷心感谢我的父母多年来在我的求学道路中给予的支持和鼓励。 袁兰 2 0 1 1 年1 2 月于杭州 浙江大学硕士学位论文 绪论 1 绪论 1 1 引言 机械振动是指物体在平衡位置附近来回往复的运动，任何机器、结构或它们 的零部件，由于具有弹性与质量，都可能发生振动【m 】。模态是机械结构的固有 振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。以振动理论为 基础，以模态参数为目标的分析方法，称为模态分析。理论上，所有线性动力学 系统，只要其输入输出可以测量，均可通过模态分析进行动态特性的研究。 模态分析是研究结构动态特性一种近似方法，是系统辨别在工程振动领域中 的应用。研究一个系统的振动特性，基本有两种途径。第一种是解析式的，即先 要知道结构的几何形状、边界条件和材料特性，把结构的质量分布、刚度分布和 阻尼分布用质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵表达出来，这样便有了足够多的信息 来确定系统的模态参数。第二种是试验式的，即从结构的测点的动态输入力和输 出响应开始，将测量得到的数据转换成频响函数，并用以辨识系统的模态参数， 最终用于对系统的改进【3 4 】。通常，模态分析都是指试验模态分析。本文中的模 态分析也是指试验模态分析。 1 2 模态分析软件的发展现状 1 2 1 国外发展现状 目前，国内外都有各种功能不一的模态分析软件产品，国外比较大型分析软 件主要有美国b 舢t 公司产品m e s c o p e v e s 等。 本文以m e s c o p e v e s 为例，介绍国外的模态分析软件。m e s c o p e v e s 是一 款试验后处理软件，能够对机械和结构的静态和动态特性进行分析处理，它能够 在试验结构和测量表面的三维模型上显示出采集到的振动、声学和其他工程数 据。它的主要功能包括信号处理、三维建模、运行挠曲振型、模态分析、结构改 正和声学分析等。m e s c o p e v e s 的主要模态分析方法有：最小二乘复指数法，最 小二乘复频域法，有理多项式正交分解法等。 浙江大学硕上学位论文 绪论 1 2 2 国内发展现状 在我国，到7 0 年代后期，模态分析( 当时称机械阻抗) 这一概念才逐步被 我国科技界所了解。尽管我国在模态分析领域里的研究工作起步较晚，但三十余 年来的发展还是十分迅速。在理论与方法的研究上我国目前已接近国际先进水 平，从历届国际模态分析会议( i m a c ) 上所发表的论文数量来看，我国已进入” 大国”的行列，在应用方面模态分析已渗透到我国各个工程领域，并取得了不少 成就。 但是，在模态分析的工程研制方面我国起步较晚，从国内的模态分析软件与 国外模态分析软件的对比中即可发现。国内的分析软件主要集中在小型实验模态 分析软件，主要有南京航空航天大学的n m o d a l 、北京东方所的d a s p 等。 南航的n m o d a l 具有输入激励和输出响应可测( e m a ) 和仅输出响应数据 的运行状态模态分析( o m a ) 功能。其e m a 模块适用于结构输入输出可测，采用 人工激励( 激振器或力锤) 情况下的多输入多输出振动模态分析；o m a 模块适用 于结构在运行状态，采用环境激励，输入不可测或仅使用输出数据情况下的振动 模态分析。 1 3 模态分析技术的发展现状及趋势 作为结构动力学中的一种逆问题分析方法，模态分析技术在工程实践中的应 用是从6 0 年代中、后期开始，首先在航空，宇航及汽车工业中开始发展。由于 电子技术、信号处理技术与设备的发展，到8 0 年代末这项技术已成为工程中解 决结构动态性能分析、振动与噪声控制、故障诊断等问题的重要工具。目前，这 一技术已渐趋成熟。模态分析的核心是模态参数辨识技术，辨识方法分为频域和 时域两种。 1 3 1 频域辨识法 频域模态分析方法大致经历了三个发展阶段【5 1 ，应用了三种不同的识别方 第一阶段为上世纪七十年代前期发展起来的单输入单输出辨识法( s i n 酉e 浙江大学硕士学位论文 绪论 螂u ts i n 舀eq j q p m ) ，该方法指利用一个频响函数矩阵进行参数辨识工作。其主 要方法是先将频响函数展开成有理分式或部分分式形式，继而用最小二乘法求 解。r i c h 砌s o n 于1 9 8 2 年提出的基于正交多项式进行频响函数的有理分式模型 进行曲线拟合的方法就是属于该类方法【6 】。此方法克服了传统幂次多项式拟合频 响函数的有理分式模型时在多项式阶次较高时容易出现的病态情况。单输入单输 出法的缺点是重复计算量大且结果一致性较差。 第二阶段为上世纪七十年代后期发展起来的单输入多输出辨识法( s i n g l e i n p u tm m t i p l eo u 印u t ) ，该方法指利用一列或一行频响函数矩阵进行参数的辨识 工作，又称整体参数辨识法。黜c h a r d s o n 于1 9 8 5 年提出的整体正交多项式拟合 即属于该类方法忉。虽然单输入多输出法的计算量相对减少，但是在重模态和密 集模态情况下会遗漏模态。 第三阶段为上世纪八十年代发展起来的多输入多输出辨识法( m u l t i p l e1 1 1 叫 m u l t i p l eq l t p u t ) ，在实际操作中，要求操作者选择若干个激振点分别进行单输入 多输出测试和辨识，然后就所得的几组模态参数进行比较、选择和补充，最后确 定一组模态参数。 1d e ra u w e r a e r 将基于频响函数的矩阵分式模型【8 1 ，运用正交多项式进行 曲线拟合工作，该方法在识别密集模态方面有了较大的提高，属于多输入多输出 方法。s h i l l 提出了频域内基于a r m a 模型的m 蹦o 模态参数识别方法，该方法 在求解正则方程的过程中也采用正交多项式改善病态【9 1 ，属于多输入多输出方 法。同时，s 1 1 i h 还提出了一种c m i f 方法，该方法最初目的是用作模态指示函数， 后来扩展为一种模态识别方法，也属于多输入多输出方法。 在频域内对频响函数进行拟合，采用正交多项式或者低阶模态识别方法，数 值问题只是得到了改善，并未完全解决，因此只能在一个频带内进行参数识别。 近几年来，有很多学者对频域识别中的数值问题进行了研究 协1 3 】 2 0 0 1 年，g u i l l a u m e 等人提出了最小二乘复频域识别技术( l e a s ts q u a r e c 伽叩l e xf d c q u 锄c yd o m a i n ，l s c f ) 。l s c f 技术使用同分母传递函数模型，它的 一个重要优点是能建立稳态图，被识别的同分母模型和测量的频率响应函数非常 相近，但转换同分母模型来识别模态振型向量时要通过对留数矩阵进行奇异值分 解【1 4 1 。l s c f 识别精度较高，并且能够产生清楚的稳定图，得到了广泛应用【1 5 。1 6 】。 随后，g u i l l a 啪e 等人又提出了多参考点最小二乘复频域识别技术( p r l s c f ) 。 浙江大学硕士学位论文绪论 p i 也s c f 技术是在l s c f 的基础上发展起来的，其采用右矩阵分式频响模型，在 建立稳态图时，极点和模态参与因子能同时得到。主要优点是可以省略了用奇异 值分解的方法来分解留数的步骤，直接根据最小二乘原理能够高效的识别出结构 的密集模态 1 7 。1 8 】该方法使识别密集模态的能力有了进一步提高，在多个领域得 到应用 1 9 - 2 0 】。 1 3 2 时域辨识法 时域模态分析方法比频域模态分析方法发展较晚，但近年来有长足发展。时 域法中最主要的几种参数辨识方法有亚布拉罕时域法、最小二乘复指数法、随机 子空间法、特征系统实现法、时间序列法。 亚布拉罕时域法的基本原理是利用自由响应数据建立特征矩阵的模型，求解 特征矩阵方程得到特征值和向量，利用模态参数与特征值和向量间关系，继而求 得系统模态参数。特点是模态频率的识别具有较好精度。有噪声干扰时，该方法 对特征值，尤其是特征向量的辨识精度较差，且难分辨、剔除虚假模态，其高阶 矩阵方程易病态【2 1 乏2 】。 最小二乘复指数法的基本原理是利用脉冲响应与留数、极点间关系，继而由 留数、极点与模态参数间关系得到系统模态参数。特点是受阻尼大小、模态密集 程度和噪声干扰等限制较小，可适用于实模态和复模态的分析【2 3 1 。 随机子空间法的基本原理是基于线性系统离散状态空间方程的识别方法。求 解状态特征矩阵的特征值和向量，继而由特征值和向量与模态参数间关系得到系 统模态参数。特点是对输出噪声有一定抗干扰能力，但计算量大且较难对模型进 行定阶和分辨、剔除虚假模态【2 4 1 。 特征系统实现法的基本原理是利用自控理论的最小实现理论，由脉冲响应数 据，采用奇异值分解得到系统特征值和向量，继而由模态参数与特征值和向量问 关系得到系统模态参数。特点是对模态参数的辨识精度高，当测点较多时，求解 矩阵规模较大【2 5 1 。 时间序列法是一种利用参数模型对有序的随机采样数据进行处理，从而进行 模态参数识别的方法。特点是无能量泄漏，分辨率高。但抗噪声干扰差，且较难 对模型定阶和分辨、剔除虚假模态【2 6 。2 8 】。 4 浙江大学硕士学位论文绪论 1 3 3 时频域辨识法 时频域方法是近年来兴起的基于时频谱分析的模态参数识别方法。信号的时 频表示方法是针对频谱随时间变化的确定性信号和非平稳随机信号发展起来的。 它通过时频变换将信号的能量同时在时域和频域展开，同时在时域和频域内观察 信号随时间和频率变化的过程，更容易得到信号的时频特征。用于模态参数识别 的时频分析方法主要有：短时傅立叶变换( s h o r t t i m e f o 面e rt r a n s f o 册，s t f t ) 、 g a b o r 变换、c o h e i l 类二次时频分布、小波变换和h i l b e n h u a n g 变换等【2 9 3 0 1 。 1 3 4 发展趋势 近十多年来，由于计算机技术、数据采集技术、数字信号处理技术以及传感 器、激励器等技术的快速发展，作为结构振动特性分析、振动故障诊断和预测以 及动力学特性优化设计的重要方法，模态分析得到了迅猛发展，并受到我国航空 航天、机械、汽车、船舶以及土木建筑等众多产业部门的高度重视。航空航天、 工程机械、汽车、土木建筑、电力、船舶等领域为保证产品可靠性及运行状态性 能，目前都应用模态振动试验对产品进行测试分析。如大型建筑比例模型的振动 台模态实验、大型桥梁在实际运行状态下的模态实验、大型电力供电网络的地震 模拟振动实验、船舶发动机的振动噪声模态实验，汽车整车的液压台振动模态实 验等。模态分析技术在线性模态理论方面的研究已日臻完善，但在工程应用方面 还有不少工作可做【3 1 】。 首先是如何提高模态分析的精度，扩大应用范围。增加模态分析的信息量是 提高分析精度的关键，单靠增加传感器的测点数目很难实现，目前提出的一种激 光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测点数目的增加随之而来的是增大数 据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测试方法、数据采集与分析方 面还有不少研究工作可做。 其次，模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。 虽然有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性 及当时工程实践中的非线性问题并未引起重视，非线性模态分析的发展受到限 制。近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人 们的重视。最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学，关于非线性模态的正交性、 浙江大学硕士学位论文绪论 解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。随之而来，则是 模态分析在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作。 另外，随着计算机处理器速度的提高和图形处理芯片的升级，图形处理能力 进一步得到改进，使得计算复杂机械结构模态并清晰显示部件振型变得更加容 易，结构建模将向着精度模型的方向发展、振型显示要向精确显示的方向发展。 另外，随着网络可靠性与网络速度的增加，基于远程测试和远程故障诊断控制系 统的模态分析系统将得以实现。 模态分析系统也可以考虑基于客户机服务器的工作模式，即客户机负责采 集然后把数据上传的服务器进行计算。 目前的模态分析软件基本都是一个试验后处理的分析过程，属于对实验结果 的离线分析，而不是在线分析过程。模态分析系统也可以考虑向在线模态分析的 工作模式发展。 综上所述，从国内外层出不穷的各种商品化的模态分析软件可以看出，模态 分析软件正在向以下方向发展： ( 1 ) 远程控制的模态分析； ( 2 ) c l i e l l t s e r v e r 工作模式的模态分析； ( 3 ) 非线性系统的模态分析； ( 4 ) 环境激励下的现场试验模态分析； ( 5 ) 激振器在线模态分析。 展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。 1 4 研究目的和意义 模态分析理论从2 0 世纪6 0 年代后期至今已趋于成熟，本文一方面对模态分 析基础理论和模态频域辨识算法的进行相关研究，希望可以在传统的模态分析理 论基础上对传统的频域模态辨识算法有所改进。 另一方面，国外的模态分析软件价格昂贵，但由于其强大的功能和稳定的 性能还是占领了大部分的市场份额。国内在模态分析软件的用户中，有超过 8 0 数量的用户使用国外的相关产品。 模态分析软件的研制，可以打破国外产品一统的局面，提高我国在模态分 6 浙江大学硕七学位论文 绪论 析方面的理论与实验分析手段，并减少国外同类软件的进口。本文以v c + + 和 o p e i l g l 为开发平台，编制功能完善的模态分析应用软件。 本文将基于傅氏域离散正交多项式的频域辨识算法应用于本模态分析软件 的参数辨识中，成功的完成从留数信息中提取模态振型的扩展工作，并完成整 体模态分析软件的开发工作。本文的研究内容对发展和提高模态分析技术有一 定的理论意义和应用价值。 1 5 课题的研究内容及研究方法 1 5 1 研究内容 本文开发试验模态分析系统软件，主要是对试验模态分析的后期数据分析处 理工作进行研究，研究内容主要包括以下几个方面： ( 1 ) 基于频域的模态参数辨识算法的研究。 一一( 2 ) 试验模态分析系统的设计。详细阐述了硬件的选择、实验细节设置和 软件的构思。 ( 3 ) 试验模态分析软件的研制。试验模态分析软件主要包括三维结构建模、 模态参数分析和结构数据驱动等功能。 ( 4 ) 试验模态分析软件的验证。 1 5 2 研究方法 ( 1 ) 模态参数辨识算法的理论研究。传统的模态参数识别算法很多，但它 们也有各自的优缺点。本文先论述常用的频域模态分析算法的实现方法，并采用 傅氏域离散正交多项式的算法进行曲线拟合，运用m a t h 锄a t i c a 进行仿真验证， 验证该算法的抗密集模态和抗噪声的能力；其次，对参数辨识算法进行扩展，提 出求解模态参数的具体方法，为后续的模态分析软件的开发提供理论依据。 ( 2 ) 模态分析软件的设计和开发。本文在介绍模态分析系统的基础上，脱 离专业数据软件工具的协助( 如m a t l a b 、m a t l l e i i l a t i c a 等) ，独立运用s u a lc + + 设计并开发了模态分析软件，使其具备结构建模、模态分析和结构运动仿真驱 动三大功能模块。 浙江大学硕士学位论文绪论 ( 3 ) u f f 模态文件格式转换。u f f 是美国俄亥俄州辛辛那提大学的结构 动力研究实验室提出的一种专门用于模态分析软件输入输出接口的通用标 准，是一种a s c i l 文本格式。本文对u f f 文件格式进行研究，实现u f f 模态文件的导入与转换。 ( 4 ) 图形开发工具0 p e n g l 的学习与研究。深入学习o p e i l g l 并结合s u a l c + + 实现了结构三维模型的建立，在此基础上对结构驱动算法进行探索，运用 约束变形来实现结构的时频域运动仿真功能。 ( 5 ) 模态分析软件的验证，通过与有限元分析结果进行对比，证明本软件 的正确性和有效性。 1 6 小结 本章主要分析了试验模态分析技术在国内外的发展概况，阐述了本文的研究 目标和意义，在此基础上提出了研究内容和研究方法。 8 浙江大学硕士学位论文 模态分析的理论和方法研究 2 模态分析的理论和方法研究 2 1 模态分析的基本理论 模态分析的本质是将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模 态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便 求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型【3 2 1 。 它是振动分析的理论过程，即解析模态分析的反向过程 3 3 】，如图2 1 所示。 。 广1 广1 广1 l 响应特性卜叫模态模毽卜_ _ 叫结构模型i 频率响应、脉冲响应固有频率、阻尼、振型 质量、阻尼、刚 图2 1 试验模态分析过程 2 1 1 多自由度系统理论 在很多情况下，结构往往可以看作刚体或若干刚体通过弹簧联结而成，从而 把无限自由度的系统简化为有限自由度系统。在某些特定条件下，研究该系统的 振动问题仍可以得到满意的精度。因为多自由度系统的传递函数是多个单自由度 系统传递函数的线性组合，所以本小节将直接以多自由度系统为例，说明模态模 型与结构频响函数之间的关系，为下文的模态参数辨识做出铺垫 3 4 。3 5 1 。 多自由度系统的频响函数 任意粘性阻尼的n 自由度离散线性系统如图2 3 所示，其运动方程可表示为： 瞰】协+ 【c 】往 “明缸) = 扩 ( 2 1 1 ) 其中， m 】、 q 、 k 】、缸 分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向 量和响应向量。 囤2 2n d o f 系统模型 浙江大学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 假定初始位移和初始速度为零，把时间域的矩阵方程变换到拉氏域，得： 0 ： m 】+ s 【c 】“k 】) z 0 ) ) = f 0 ) ) ( 2 - 1 - 2 ) 式( 2 1 2 ) 也可写成 z ( s ) 】f ( s ) ) = ，( 工) ) ，其中 z ( s ) 】为动刚度。将( 2 1 2 ) 颠倒，( s ) ) = 日( s ) 】矿( s ) ) ，得传递函数的定义： 】- z 】- l = 镏船 ( 2 - 1 - 3 ) z ( s ) 的行列式，叫做系统特征方程，其根为系统极点，决定系统的共振频 率。式( 2 1 2 ) 可表达为状态方程的形式： ( 缸p 】+ 【q 】) 】，) = 伊) ( 2 - 1 - 4 ) 其中，旧= 品篇 尥，= 酱1 跚期= 嚣) 胪仁 舄) 。 令力函数为零，则式( 2 1 4 ) 化为一般特征值问题，其特征值方程为： i 缸p 】+ 【q 】l - o ( 2 - l - 5 ) 求解特征方程可得2 n 特征值，对于欠阻尼振动系统，特征值呈复共轭对出 现，记为( 五，百) ；f = 1 ，且有n 对复共轭特征向量为拟) = 馏； ，舻k 为表 示系统运动的复振型。 模态坐标的正交性 将特征根和特征向量代入式( 2 1 5 ) ，得： ( 丑【p 】+ 【q ) f ， ，= 0 ( 2 - 1 - 6 a ) ( 五，【p 】“纠) 缈 ，= o ) ( 2 - l - 6 b ) 分别以 沙) t 前乘式( 2 1 6 a ) ，以 f ，) j 前乘式( 2 - 1 6 b ) ，然后再进行转置，由于 【p 和【q 】是对称阵，有： 以 ) j 尸】缈) ，+ 缈) j 【q 】缈) ，= o ) ( 2 l 一7 a ) 乃缈 j 用缈) ，+ 舻) j 【翻缈) ，= o ) ( 2 1 7 b ) 若五五，则有： 少) t 【p 】 妒 ，。o ；j 沙) j 【p ) 5 易 ( 2 1 8 ) i y ? 【q 】 5 f ， f = o 【 沙) j 【q 】 缈) r = 诉 式( 2 1 8 ) 称为复特征向量对矩阵【尸】和【q 】的加权正交性，且丑= 一g f n 。 浙江大学硕士学位论文 模态分析的理论和方法研究 令 y ) = 少】 f 代入状态方程式( 2 1 4 ) ，得： ( s 缈n p 】缈】+ 眇九q 】【l j f ，】) 协= 眇】7 f ) ( 2 1 9 ) 上述的正交性使系统方程成为一组解耦方程： ( 蚓pp + p + 州gg + 】) f ，= r f ) ( 2 1 1 0 ) 同时将状态方程变换到模态坐标系统的模态方程， f ) 为模态坐标。解出该方 程得： 卜 x ) 1 椰2 卜 们1 人 l 【u 】 川 【u 】 此方程将 和 毋相关联。 模态参数 因( 五，石) ；江l ，是系统特征方程的根，可将式( 2 1 - 3 ) 重写： 【日( s ) 】：丁型盟：第垫业 兀e o 一五) o 一彳) 兀e o 一五) f - lf - l 【彳】，和【彳】：项叫做留数，根据留数定理，得： = 喜鹊+ 器2 ，智、o 一五) 0 一百) 【彳 f = ( 日( s ) 】0 一丑) ) b ( 2 - 1 - 1 3 ) 通过推导可知，留数与模态振型向量的关系为m 】，= 足 矽) ， r ，墨为比例换算 因子。 最好，传递函数可转换为： ，= 善罐警+ 警等， 4 ， 定义【卅为模态向量矩阵， 明为模态参与因子矩阵： 【厂】【劬) 。形 ，舻 ：舻) 】 c 明= c s 劬小一熙形，彳t ，? 渺东，= 。r c 矿，2 - 1 - 1 5 ) 则式( 2 1 1 4 ) 转换为： 浙江大学硕士学位论文 模态分析的理论和方法研究 c 日c s ，= c y ，p 。j 一 。人 】一 。r t 矿，r c2 6 ， 将传递函数矩阵转换为频响函数矩阵，得： m 肛善c 错+ 等等， 邓， - 卜明汜。1 。1 7 i 至此，多自由度系统的频响函数与系统模态模型的一般性关系已经建立。 2 1 2 实际的模态模型 c日c国，虬。m=cu，。：c，彩j一八，盖。：h c 矿，：嘶c2 ，8 ， c 日c ，国，心。，= c u ，心。hc ，缈 j 一 人 ，杰。：c y ，：珊 。2 。9 ， 删k m 一学 其中，【歙】是上剩余项矩阵，【妆】是下剩余项矩阵，o 是响应点数，m 是 输入点数，一般为l 5 个，m 是可观测模态数。且模态数虬将总是小于响应点 数的影响近似于一个实常数值。所以，高于我们所关心的频率范围的模态对频响 函数的影响可以用一个常数项 职】来近似。对于比例阻尼的情况，在远高于某一 阶模态频率的范围，该模态对于频响函数的影响近似等于一个实常数除以一国2 。 所以，低于我们所关心的频率范围的那些模态的影响可以用_ 妆 矿来近似。 浙江火学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 2 2 模态参数的辨识方法 在建立了系统频响函数与模态模型的关系基础上，我们可以进行模态参数辨 识的阶段。模态参数辨识的目的是从测点的频响函数数据或时间历程来估计振动 特性，对应的模态参数辨识主要有频域和时域两种方法：频域法是对所测得的响 应与激励的频响函数进行的参数辨识；时域法是直接在时域中进行参数辨识。本 文主要介绍的是频域法的模态参数辨识。 本节首先介绍常用的频域模态分析算法的实现方法，其次对参数辨识算法进 行扩展，提出求解模态参数的具体方法，最后运用m a m 锄a t i c a 仿真验证傅氏域 离散正交多项式算法进行曲线拟合的正确性，为后续的模态分析软件的开发提供 扎实的理论基础。 2 2 1 频域模态参数辨识 频域模态参数辨识最常用的方法之一是先测量估计得到的频响函数，再应用 有理分式多项式对其进行拟合，最后应用最小二乘法对各模态参数进行辨识。 在参数辨识时，若考虑分析频段外的模态影响，可将式( 2 1 1 7 ) 的部分分 式形式的频响函数模态模型进行通分整理，并化为通用的有理分式形式的频响 函数模态模型： 邮小渊= 篇 ( 2 - 2 1 ) 量= o 为方便起见，将坞( j 国) 用日( j 国) 表示，省去小标f ，。待定系数q ，反r ，吒= 1 ； 识( j ) 和幺( j 珊) 分别为幂函数或离散点列上的正交多项式。 令频响函数的理论模型值与测量值之间误差为： q 住( j q ) 巧= 日( j 竹) 一疗( j q ) = 寄l 一一曰( j q ) 以嚷( j q ) 七= o 式中，疗( j q ) 是频响函数在频率q 处的测量值。 将误差对系数c t 和以线性化，进一步用误差向量p 表示为： = 妒c 一目d w ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 1 3 浙江大学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 式中： 或( 川见( 川 ：i 玩( j 哆! 幺( j 印：) i ； l 疗。( j 吼) 或( j 吼) j ( j q ) 仍( j q ) 罗：1 ( 蚴仍( j ：) ：“ l ( j 吼) 鲲( j 吼) m c ：| c ii ； h 或( j q ) b ( j q ) 岛( j 吐) b ( j ：) j 或( j 吼) b ( j 吼) 肚目 定义方差函数： - ，= & = 矿p ( 2 2 - 4 ) 式( 2 2 5 ) 中，上标“h ”表示共轭转置。为求得，的极小值，可使- 厂对向 量c 和d 求偏导，取偏导数为零后，即可得到关于频响函数系数矩阵的求解矩阵： 瞄猢= 圈 仁2 固 广，i y = 吉 y h p + 妒t 罗f u ：r e - 吵h w 拈- r e p 物l 帕矿“二。晶 求解式( 2 2 5 ) ，可得最小二乘意义上频响函数的最优拟合。但是，当式( 2 2 1 ) 采用幂多项式时，随着所需辨识的模态数量增加，其幂次也相应增加，从而导致 方程组( 2 2 5 ) 在阶次较高时出现病态。 为此，多应用正交多项式构建频响函数，即满足式( 2 2 6 ) 的要求，使( 2 2 5 ) 得到解耦，从而有效改善方程组的病态问题。符合条件的正交多项式很多，多应 用f o r s y t h e 正交多项式6 - 7 1 构建频响函数来解耦方程。但，f o r s 灿e 正交多项式的 构建过程需要负频率上的虚拟测量值，其冗余计算仍无法避免。为避免引入虚拟 测点，需要对其进行结构的改进。 1 4 1lllllllllllllj 、j、，、j 肼胁 矾 ，i，、，、 ) ) ) 肼眈 折 幺见幺 肼胁 纨 陬 舰 岛 2 【、，、，、j 以 m o 0 0 晶靠 晶 q 哆 吼 泓 舰 岛 。 = p 浙江人学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 喜圭 苡( j q ) 仍( j 咄) + 纯( j 峨) 访( j q ) = ：三三；七。1 二 l 工 6 一，( 2 2 6 ) 舶岛( 埘 啪枷( 训吲川印( 训衅； 。 胡彦超等人【3 6 1 针对该问题提出一种全新的傅氏域离散正交多项式，如式 ( 2 2 7 ) 所示，用于替代传统的多项式，从而达到曲线拟合时使求解模态参数 的方程组得到解耦，且可以不引入负频率的虚拟测量点而满足频域的共轭对称 性。 ”。( ) = o ( 国) = 1( 七= 1 ，m )( 2 2 - 7 ) 以(缈)=(j缈)一。(缈)+芒善渊一：() 本文在后续的介绍中，将仿真验证该正交多项式的曲线拟合能力，为后续的 模态分析软件中的参数辨识开发奠定基础。 2 2 2 参数辨识后处理 模态分析本质是对工程结构进行频响函数测试，利用所测频响辨识出结构的 模态参数，以获取动态特性。 通过上小节的模态参数辨识算法，只能获取系统的极点与留数。而模态分析 的最终目的是利用极点与留数信息获得结构的模态参数，即：模态频率、阻尼与 振型。所以有必要对参数辨识进行扩展，将极点和留数信息转换为真正的模态参 数。另一方面，利用频响函数进行参数辨识时，并未涉及到如何处理分段拟合时 不同频段间的互相影响关系。本节将以单参考点整体辨识算法为例，着重分析利 用频响函数的极点和留数信息获得最终的模态参数的方法，以及频响函数分段拟 合时的处理方法。 不同频响函数之间的转换 在讲述如何通过极点和留数获得模态频率、阻尼和振型之前，先介绍如何转 换不同类型的频响函数。因为在工程测试中，我们选用的运动传感器大多是加速 度传感器，但是，用于模态参数辨识的频响函数以速度频响函数最佳，所以在不 同频响函数之间需要进行对应的转换，这是模态参数辨识的前提。一般，频响函 浙江大学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 数包括位移频响函数、运反频响函数以及加速度频响函数，其定义为： 位移频响硪= 警鬻鬻 速度频响函数风= 驾岩糕警 加速度频响函数一= 警窝器警 位移频响函数可以表示为： 一封南+ 南h 器+ 褊 ( 2 2 固 三者之间存在如下简单关系( 不包括零频率点) ： 以( 国) = j 月v ( 缈) = ( j ) 2 月，d ( 彩) ( 2 - 2 - 9 ) ( 1 ) 若用户测试的频响函数( 国) 是加速度频响函数，按用户所选的原始 频响函数绘制峰值指示函数曲线，并进行计算点的遴选工作。对所有遴选频率点 钋的频响函数倌讲行转换，除零频率点外，计簋： ( 咖掣 ( 2 2 - 1 0 ) 若遴选点列中包括了零频率点，则选择与第一个非零的遴选频率点的速度频 响函数值相同的点，来代替速度频响函数在零频率点处的值。 按原有方式正常计算极点与留数，留数需要除以对应的极点值。也就是： = 孚 ( 2 2 1 1 )啄2 【2 。z 儿) 注意，此时得到的留数已经是位移频响的留数。 ( 2 ) 若用户测试的频响函数( 国) 是速度频响函数，按用户所选的原始频 响函数绘制峰值指示函数曲线，并进行计算点的遴选工作。不需要对所有遴选频 率点处的频响函数值进行转换。然后按公式( 2 2 1 1 ) 的方式计算极点与留数， 留数需要除以对应的极点值。 ( 3 ) 若用户测试的频响函数峨( 仞) 是位移频响函数，按用户所选的原始频 响函数绘制峰值指示函数曲线，并进行计算点的遴选工作。对所有遴选频率点处 的频响函数值进行转换，不需要顾及零频率点，直接计算： 浙江大学硕上学位论文模态分析的理论和方法研究 风f ( 略) = j q ( q ) ( 2 - 2 - 1 2 ) 然后按公式( 2 2 1 1 ) 的方式计算极点与留数，留数需要除以对应的极点值。 同理，将得到的是位移频响的留数。 极点估计相应的模态参数 系统极点可表示为： 彳( 七) = 仃( 七) + 国( | j ) = 一f ( | i ) q ( 七) + j q ( 七) l f 2 ( j | ) ( 2 2 1 3 ) 其中，五( 七) 是系统极点，盯( | | ) 是模态阻尼，彩( 七) 是有阻尼固有频率，f ( 七) 临 界阻尼比，q ( j ) 是无阻尼固有频率。 将式( 2 2 1 3 ) 进行变换： l q ( j ) = 矿2 ( j j ) + 缈2 ( 七) 。赢 q 。2 。1 4 从式( 2 2 1 4 ) 明显可以看出，极点已经转换为无阻尼固有频率和临界阻尼 比。 留数估计模态振型 模态振型估计是指将拟合得到的留数信息转换为单位质量振型( u m m ) 。本 小节将给出具体方法。 如图2 3 所示为一台激振器( 响应与激励都假设是x 方向) ，可以想象当激 振器轮换1 、2 、3 位置后，将得到3 3 = 9 个频响函数，组成一个规模为3 3 的方阵。因此，对于一个频响函数，有必要统一某种格式来保存，方便模态 分析软件开发时的对于频响函数的识别。 浙江大学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 图2 3 澈振器模态测试示例 本文设定频响函数的测点和测试方向的信息保存成“响应点+ 响应方向：参 考点+ 参考方向”的形式，命名为d o f s 属性项。如“1 x ：2 x 升表示响应点为1 号点，响应方向为x 轴方向；参考点为2 号点，参考方向也为x 方向。 假设，用户选定了8 个具有相同参考点的频响函数。那么，一个系统极点将 对应8 个留数。如表2 1 所示 表2 1 留数或振型显示 s h a p e1s h a p e1s h a p e 2 l a b e ld o f sm e a s u r 锄e 1 1 tt y p e m a 嘶t i i d ep h 弱e ( d e 曲m a g n i t u d c ( g )( g ) l1 x ：3 xr - e s i d u em o d es h 印e 1 0 85 o1 8 6 7 7 x ：3 xr e s i d u em o d es h 印e31 5 41 9 1 88 x ：3 xr e s i d u em 1 ) d es h a p e 74 31 2 3 将位移频响函数矩阵的第i 行、第j 列元素表示成： 岛( 小喜轰+ 志 ( 2 - 2 耶) 其中，五为极点，是极点数量( 与模态数量相等) ；缈是圆频率；j 是虚数 单位；是留数，对应极点五；星号枣表示取共轭。留数矩阵的规模与频响函数 矩阵的规模相等。第七个留数矩阵为： 口l l i口1 2 i 口2 l 七口2 2 i 口3 l i口3 2 i = q 识女稿i旃i 红i磊女绣i 欢。西t 珐。欢。欢。绣。 办。确。缟。欢。砖。噍。 ： ( 2 - 2 1 6 ) 弘 弘 ； 浙江大学硕士学位论文模态分析的理论和方法研究 系统的留数为= 幺丸纵。其中，q 是比例系数；九表示第七阶模态振型的 第i 个元素( 模态振型用向量表示) 。 若按单位模态质量换算，比例系数g 为： 幺2 南 j z 缈