（应用数学专业论文）jm方程的行波解分支及一类pll方程的混沌与次谐波分支.pdf

昆聘理i j = 学碰士学位论文 摘要 全文分为两部分，第一部分利用动力系统分支理论研究了j m 方程，在一类特定 曲面上得出了该方程的所有精确行波解。本部分由六节组成，第一节介绍了该系统的 研究现状并给出了其行波方程在特定曲面上的两个参数条件；第二、三节分别讨论了 行波系统( 1 9 ) 在这两个条件下的分支集与相图：第四、五节根据第二、三节的情形 分别求得了j m 方程在给定条件下的所有精确显式行波解；第六节给出了主要结果 第二部分利用m e l n i k o v 方法研究了一类p l l 方程，证明了该系统s m a l e 马蹄型 混沌及次谐波的存在性，并并分别给出了其混沌区域及次谐波分支区域本部分由四 节组成，第一节介绍了m e l n i k o v 方法及所要研究的系统；第二节讨论了其未扰动系 统的定性性质；第三、四节分别证明了混沌及次谐波的存在性，并给出了混沌区域及 次谐波分支区域 关键词：j m 方程。孤波解，周期行波解，p l l 方程，m e l n i k o v 方法，混沌 次谐波分支 m 黾骧囊i 大学壤士学位论文 a b s t r a c t t h e p a p e r i n c l u d e st w o p a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，j - me q u a t i o ni sc o n s i d e r e db yu s i n gt h e b i f u r c a t i o nt h e o r yo f d y n a m i c a ls y s t e m a l s o ，a l lt h ee x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n si na f a m i l yo fs p e c i a lc u r v e ds u r f a c e sa r co b t a i n e d t h i sp a r tc o n s i s t so f s i xs e c t i o n s i ns e c t i o n 1 ，t h ei n t r o d u c t i o ni ss t a t e da n dt w op a r a m e t e rc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d i ns e c t i o n s2a n d 3 ，u n d e rc o n d i t i o n s ( 1 ) o r ( 2 ) ，t h eb i f u r c a t i o ns e t sa n dp h a s ep o r t r a i t so f ( 1 9 ) a r eg i v e n ， r e s p e c t i v e l y i ns e c t i o n s4a n d5 ，c o r r e s p o n d i n gt os e c t i o n s2a n d3 ，a l le x a c ta n de x p l i c i t f o r m u l a so ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o n su n d e rg i v e np a r a m e t e rc o n d i t i o n sa r es h o w e n i n z e c t i o n6 ，t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e n i nt h es e c o n dp a r t ，af a m i l yo fp l le q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gm e l n i k o v m e t h o d t h ee x i s t e n c eo fc h a o si nt h es u f t s e o fs m a l eh o r s e s h o e si ss h o w e na n dt h e p a r t i t i o n so f t h er e g i o n so fc h a o sa n ds u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n sa r eo b t a i n e d t h i sp a r t i n c l u d e sf o u rs e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，t h em e l n i k o vm e t h o da n dt h es y s t e mw h i c hw i l lb e d i s c u s s e da r en a r r a t e d i ns e c t i o n2 ，t h eq u a l i t i t a t i v ep r o p e 啊o f t h eu n p e r t u r b e ds y s t e mi s s t u d i e d i ns e c t i o n3a n d4 ，t h ee x i s t e n c eo fc h a o sa n ds u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n si sp r o v e d a n dt h e i re x i s t e n tr e g i o n sa 豫g i v e n k e yw o r d s ：j - me q u a t i o n , s o l i t a r ys o l u t i o n , p e r i o d i ct r a v e l i n gs o l u t i o n ，p l le q u a t i o n ， m e l n i k o vm e t h o d ，c h a o s ，s u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n 毫明理i 大学稚士学位论文 日l j茜 随着人类认识、改造与利用自然能力的不断提高，以及实际的需要，人们遇到 大量的非线性问题，例如在物理、化学、生物、工程技术等方面存在大量的、重要的 非线性问题。人们在处理这些问题的时候，不仅利用“数、理、化”等曾经以纵向发 展为主的传统基础学科知识，而且将之与日新月异的新技术相结合，使用数值、解析 和图形并举的计算机方法，推出了横跨多种学科门类的新兴领域，其中非线性科学占 有及其重要的位置。 然而，曾几何时，非线性还是一个难以逾越的难题，对一个具体问题的解决都需 要新颖的技巧和特殊的算法，当然，更谈不上对非线性的普遍认识，也无法发现它们 之间的内在联系。 到2 0 世纪6 0 年代中期，事情从非线性现象的两个极端同时发生变化，一方面， 描述浅水波运动的一个偏微分方程的数值计算，揭示了方程的解具有出奇的稳定和保 守性质。这启发人们找到了求解一大类非线性方程的普遍途径一反散射法( 见文献 1 ) 。反散射法大大扩展了h a m i l t o n 力学系统中原有的可积性概念，反映了这类方 程的内秉的对称和保守性质。后来，人们又发展了许多求解非线性偏微分方程的方法， 例如：d a r b o u x 变换法( 文献 2 7 ) 、h i r o t a 双线性法( 文 8 ，9 ) 、l i e 群法( 文 1 0 ，1 1 ) 、代数几何法 1 2 - 1 5 、齐次平衡法e 1 6 、双曲正切函数展开法 1 7 1 9 、 动力系统方法以及b a c k l u n d 变换法等，虽然这些方法都有其局限性，但它们对非线 性科学发展的促进作用却是不可估量的。 动力系统方法主要是利用动力系统分支理论讨论系统在不同参数条件下的奇点 类型，得出其在不同参数条件下的周期环域、同宿轨道及异宿轨道，从而可用分析学 知识求出其可能的精确周期解、同宿解与异宿解。本文继续把动力系统方法应用于 j a u l e n t - - m i o d e k 方程，获得了该方程在特定曲面上的所有精确孤波解和周期行波解 另一方面，在“不可积”的极端。对k a m 定理条件的“反面文章”，揭示了保守 力学系统中随机性运动的普遍性，而在耗散系统中则发现了一批奇怪吸引子和混沌运 动的实例。原来不含任何外来随机因素的完全确定论的数学物理模型对初始条件十分 敏感，以至初始微小的改变会引起该模型以后进展中非常大的改变，而对这以后的一 切预言都将变成空话。h p o i n c a r e 说：“初始条件中小的差错会在最终现象中 造成很大的错误；最初的一个小错误会产生最后的大错误，预言变得毫无意义”，混 琵臻理i 大学硬士学位论文 沌的关于初始条件的敏感依赖性这一特性最形象的比喻是“蝴蝶效应”。然而混沌并 不是无序的，它可能包含着丰富的内部结构。例如，随着计算科学特别是图形技术的 长足进步，人们得以理解和模拟出过去无从下手研究的复杂现象，从随机与结构共存 的湍流现象，到医学中心脏的跳动以及生物形态的发生过程都开始展现其内部的规 律。 混沌是有序的对立面，但是“完美的有序不会有新成果，而受控制的无序却具 有创造性，确定论的混沌是新生事物的携带者”。因此，为了揭示其内在规律性，近 3 0 年来，越来越多的人投入巨大的热情和精力去研究混沌现象，研究方法也层出不 穷，其中m e l n i k o v 方法是种十分有效的方法 2 0 ，2 1 。 m e l n i k o v 方法主要用来讨论带有弱周期扰动项的具有同宿环或异宿环的常微分 系统，通过建立p o i n c a r e 截面及p o i n c a r e 映射来度量该映射的双曲不动点( 周期点) 的稳定流形和不稳定流形的距离，从而判定系统是否存在横截同宿点，即可知系统是 否存在s m a l e 马蹄意义下的混沌，类似地，可以利用m e l n i k o v 方法研究该系统的次 谐波分支与超次谐波分支。本文利用该方法研究了一类p l l 方程，证明了该方程马蹄 型混沌的存在性并给出了其混沌区域及次谐波分支区域。 本文的写作得到了导师李继彬教授的悉心指导和帮助，特此谨致衷心感谢! 限于作者水平和能力，本文难免存在许多不妥与不完善之处，敬请各位老师不吝 指正。 l i 1 6 6 9 2 8 2 , 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：鸿删 4i q 日 期：7 0 。；年o 月疗日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：丛生辔敝作者挠 玛犬酒 晁暖理i 太学硬士学位论文 第一章y a “砌一蚴础后方程的行波解分支 1 1引言 物理学中若干重要的非线性动力学耦合系统，如耦合标量场中拓扑与非拓扑孤子 2 2 以及等离子体中不稳定性的演化 2 3 ，均是由相应的非线性耦合方程所描绘的 这些耦合的非线性系统往往呈现出孤子行为和特征，这种孤子行为和特征表征了物理 系统在时空演化过程中所形成的一种高度相干的稳定结构显然，相应的非线性微分 方程系统的精确孤波解和周期行波解对于理解和研究物理系统中的这类基本现象具 有特别重要的意义，在非线性研究中，寻找有效的方法发现这类方程的精确解仍是当 前重要的课题 j a u l e n t 和m i o d e k 考虑了如下的耦合方程 2 4 ( 即j - m 方程) ： u + u 0 + 3 _ f - y 。+ ；。一 一6 u 删 x 一_ 3 v 2 ；0 ，(1av 6 v u 6 u v v x - ；u x v 01l a ) u + u 必+ 圳+ i ；曩一 一一 2 = ，( ) 巧+ 圪。一6 已：y 一6 u v x i 一s k v 2 ：0 ( 1 1 b ) 该系统表示一个约束流模型m a t s u n o 发现了该系统与e u l e r d a r b o u x 方程之间的联 系 2 5 ，近年来，z e n gy 8 等在其谱问题方面做了大量的工作 2 6 - 2 8 ，e n g u if a n 在 2 9 中给出了该系统几组孤波解和周期行波解本文利用动力系统分支理论及方法 3 0 一3 3 ，3 7 ，3 8 研究该系统在四维相空间中某个曲面内，完整地获得了所有行波 解的参数表示，文 2 9 所获得的精确显式解仅为本文之特例 为求行波解，令 u = “( 孝) ，v = v ( 善) ，善= x c t ， ( 1 2 ) 系统( 1 1 ) 化为 刮+ 兰w ”+ 一6 “b w - - 6 删一i 3 = 0 ， ( 1 3 a ) 一卯，+ v w 一6 u v 一6 u v - 堕v ，v 2 ：0 ，( 1 3 b ) z 其中“”表示“导”对( 1 ，3 b ) 积分，得 口c v 。= g l + c v + 6 u v + 委v 3 ， ( 1 4 ) 其中颤为积分常数，由( 1 4 ) 得 堡丝坠翌墼丝篓苎 s 驯= 一互1 g t v - i 1 制一弘h ， ( 1 s ) 把( 1 5 ) 代入( 1 3 a ) ，并积分之，再把( 1 4 ) 代入，得到 ”= ”3 2 蜀v 一2 一了1 5 1 12 - - 6 1 6 5 v 4 一言坩， ( 1 6 ) 其中g ：为积分常数经变换后，我们得到( 1 i ) 的行波系统 “。- 9 2 + ，1 , t 2 - - 2 驴；矿萼以篙v 4 渺， ( 1 ，a ) v 。= g t + c v + 6 w + ( 1 7 b ) 由系统( 1 7 ) 的向量场定义的相轨线确定了j _ m 方程的所有行波解，但由于系统 ( 1 7 ) 是高维系统，具有非常复杂的轨线结构，因此，要在整个相空间中研究它是非 常困难的，i i i 考虑某个超曲面以实现这一目标，即考虑系统( 1 7 ) 在曲面 “= a o + a l v + a 2 v 2 上的动力学行为，可获得较完整的结果为此，把“= a o + a l v + a 2 v 2 代 入系统( 1 7 ) ，得 ( z 口：+ ；) ( v ，) 2 = 9 2 + c a o + 3 a 0 2 - a 。g t ) 一2 9 0 + n ：) v 一( c 疗：+ s 口。2 + s 口：+ ；c + 萼嘞) v 2 一( 1 2 a l + 1 0 ) q v 3 9 a 2 ：+ - 莩啦+ 渺， v 。= g 。+ ( c + 6 a o ) v + 6 a l v ：+ ( 6 啦+ 吾) v 3 c - s e ， 若v g ) 是系统( 1 8 a ) 与( 1 - 8 b ) 的公共解，则“皓) = a o + q v 售) + 口2 v 2 皓) ，v 皓) 必然 是系统( i 7 ) 的解，因此，首先研究其中较简单的系统( 1 8 b ) 系统( 1 8 b ) 可化为与之等价的平面动力系统 粤：j ，( 1 9 a ) 磊5 j ， ( 1 d 考- - g , + ( c + s 嘞h + 6 a l v x + ( e 吃+ 主 v 3 c - 。e ， 该系统果h a m i 】t o n 系缔奠h a m i l t n n 量为 2 品明理i 天学曩士学位谶支 何( v ，y ) = l y 2 - g l v _ 互1 ( c 讽) v 2 - 2 a t v 3 - 丢( 6 口2 + 乩 ( 1 1 0 ) 其中h 是h a m i l t o n 常数，由( 1 i o ) 得 坩= y ：= 2 h + 2 9 f f + ) v 2 + 4 a f t 3 + 如+ 妒 ( 1 1 1 ) 把( 1 1 1 ) 代入( 1 8 a ) 并比较v 同次幂的系数，得 条件( 1 ) ：吒：一i i , g la l = o ，c = - 4 口0 ，g ：= i 2 h + a 0 2 ( 1 1 2 ) 条件( 2 ) ：口2 = 一i 3 ，c = - 4 口卜2 a o ，g ：= 一j 1 i l + j 口。口? + 口，蜀 ( 1 1 3 ) 因此，若v g ) 是系统( 1 s a ) 与( 1 s b ) 的公共解，那么，对应的系数必须满足条件 ( 1 ) 或( 2 ) ，反之，若v 皓) 是系统( 1 8 b ) 即系统( 1 9 ) 的解并且相应的系数满足条件( 1 ) 或( 2 ) ，则v g ) 必然是系统( 1 8 a ) 的解，从而是系统( 1 8 a ) - q ( 1 8 b ) 的公共解又因为 若v ( x ，f ) = v g ) = v ( x c t ) 是系统( 1 9 ) 的连续解，f _ o o ，m ) 且l i m v 船) = m 。， l i m v ( 亭) = ，那么，当m 。= 时，v g ，r ) 称为孤波解，当m o 时，v f ) 称为扭 子或反扭子，并且，若v 皓) 是系统( 1 9 ) 的周期解，则v g ，f ) 称为周期行波解一般来 说，孤波解v 扛，f ) 对应着系统( 1 9 ) 的同宿轨道，扭子与反扭子对应着系统( 1 9 ) 的异 宿轨道，周期行波解对应着系统( 1 9 ) 的周期轨道，因而，要研究j _ m 方程的孤波解、 扭子解与周期行波解，只需在条件( 1 ) 与( 2 ) 下讨论系统( 1 8 b ) 即系统( 1 9 ) 的同宿轨、 异宿轨与周期轨为此，必须发现系统( 1 9 ) 在条件( 1 ) 与( 2 ) 及参数变化条件下的周期 环域、同宿轨道与异宿轨道下面我们利用动力系统分支理论分析系统( 1 9 ) 1 。2 条件( 1 ) 下系统( 1 。9 ) 的相图与分支集 此时系统( 1 9 ) 就是 堡：v ，( 2 1 a ) 磊2 y 喵 襄= 2 a o v - j 1 v 3 ( 2 1 b ) 系统( 2 1 ) 是h a m i l t o n 系统，其h a m i l t o n 量为 a 霹瑶i 太学礤士擎证论立 日( v ，y ) = j i y 2 一口。v 十2 8 l - v = 晟， ( 2 2 ) 显然，在( v y ) 平面上，系统( 2 1 ) 的奇点的横坐标为函数( v ) = 2 a o v 一= 1v 3 的零点， 在实数范围内t 若 0 ，则函数z ( v ) 有三个零点v = o 与v = 2 i 设也，口) 为系 统( 2 1 ) 的奇点，则在该点上，系统( 2 1 ) 的线性化系统的行列式j n ，o ) = 一z 化) ，由 平面动力学理论可知，对于可积系统( 2 1 ) ，若j 化，o ) o 做 o ) 定义的周期轨，其相图如图1 所示 1 2 2 当口o o 时，系统( 2 1 ) 有三个奇点d ( v ，y ) = o ( o ，o ) ，4 ( v ，_ y ) = 4 ( 2 i ，o ) ， 4 ( u y ) = a 2 ( - 2 瓜，o ) ，其中d 是鞍点， 与4 是中心系统( 2 1 ) 存在两条同宿到 鞍点0 并分别围绕中心a 。与a ：的同宿轨在这两条同宿轨的内部与外部分别有。族 周期轨，其相图如图2 所示 0 一 、 j 7， 二i i 心 l i，一n j fj， 、二 o 历 、_ 一一，7 ， 弋= = 二二= = ：= = 二 h ，, = ：、m _ - - - _ 底f 腻 ! 渤 心一一：= 。，一、 ，“ 、 f 厂气、| f f f 1 “o 4 ；? ? t 一一7 4 图l ，a o 0 图2 f a o 0 图3 a 0 ) 定义的周期 轨，其相图如图4 所示 1 3 2 2 当= 2 矸一2 7 b 0 2 = o ，b o o 时，系统( 3 3 ) 有二个奇点岛，_ y ) = 岛够2 ，o ) 与 马，j ，) = 马如，o ) ，其中也= 一撕丽，九= 2 撕丽，岛为尖点，b 3 为中心，系统( 3 3 ) 存在一条同宿到尖点b ：且包围中心b s 的同宿轨，在这条同宿轨的内部与外部分别有 一族周期轨，其相图如图5 所示 1 3 2 3 当；2 矸一2 7 b ；= o ，6 0 0 图6 a = o ，b o o 1 3 3 1 当 0 ， b o = 0 时，系统( 3 3 ) 有三个奇点o o ，d ：o ( o ，0 ) ， b 6 ，彩，y ) = 鼠，轨一o ) ，其中妒卵= 撕万，岛为鞍点，b 6 ，马为中心系统( 3 - 3 ) 存在两条同宿到鞍点0 并分别围绕中心风与b 7 的同宿轨，在这两条同宿轨的内部与 6 黾嚼理i 大学虱士学位论文 外部分别有一族周期轨，其相图如图7 所示 1 3 3 2 当 0 ，6 0 暮0 时，系统( 3 3 ) 有三个奇点垦，y ) = b t ，0 ) ，其中破是工) 有三个不等实根，i = 8 ，9 ，1 0 由于氏0 包含b o o 或b o 0 ，则纯 办 破o ；若b o 丸 唬，因此，不论b o 0 b o 0 ，b o = 0 图8 0 ，b o 0 圈9 a o ，6 0 o ) ，j m 方程存在一族不可数无穷 多个周期行波解，其参数表示为 u g ，r ) ：d 。一9 - o + i 丽) c n ：w 萄i j 虿g + 4 0 0r ) ，岛) ， ( 4 1 a ) y b ，f ) ：一4 a o + c ”嘛g + 4 口or ) ，毛) ( 4 i b ) 其中砰：2 a o + 产z h 彳+ 4 1 ，c n 0 ，) 以及后面的册u ，七) ，d h 0 ，七) 都是模为女( o ，1 ) 的 2 4 2 h + 4 口： j a c o b i 椭圆函数 3 4 1 4 2 在相图2 中，对应于曲线日( v ，_ y ) = 日( o ，o ) = 0 。j - m 方程存在一个对于v 是峰 形的孤波解和一个对于矿是谷形的孤波解，其参数表示为 u g ，r ) = a o 一4 a os e c h 2 佤g + 4 口o ，) ) ， ( 4 2 a ) e 磺理i | 走学硬士学崔论史 v ( x ，) - 2 瓦s e c 厅恼g 十4 嘞功 ( 4 2 b ) 对应于曲线族日( v ，y ) = h ( - 2 a ； 日国势，j - m 方程存在一族不可数 无穷多个周期行波解，其参数表示为 u g ，) = f 口。+ i 1 口； 一互1a ，妒一詈2 ， ( 5 1 a ) 矿g ，r ) = + q ， ( 5 l b ) 奠中 8 昌孵理i 大学硬士学位论文 声= 黑警端糖瓣， 慨z ， k 4 2 - - - - 继糕掣孵、( f l , - r e f l 3 ) 2 + ( i m f l 3 ) 2 鸺= - 6 8 2 - r e f l 3 ) z + ( 1 m f l , ) 2 ， r e 店，i r t l 历分别表示复数屈的实部和虚部，届，屈，历，历是方程 2 h + 2 b o # + b l # 2 一4 = 0( 5 3 ) 的四个根，其中届，展r 且磊 反，磊，磊是一对共轭复数 1 5 2 在相图4 中，对应于曲线族日，y ) = ho o ) ，j m 方程存在一族不可数无穷 多个周期行波解，其参数表示为 c ，g ，r ) = ( 口。+ i 1 口? ) 一j 1 口。妒一丢矿2 ， ( 5 。a ) 矿g ，t ) = 妒+ a i ， ( 5 4 b ) 其中 矿= 佩疗( 镢g 耐，l 击) ( 5 5 ) 1 5 3 在相图5 中，对应于曲线日，力= 日慨) ，j m 方程存在一个对于矿是峰形的 孤波解，其参数表示为 u g ，r ) = ( 口。+ i 1 口? ) 一互1 口。一三2 ， ( s 6 a ) y g ，r ) = + 口l ， ( 5 6 b ) 其中 = 羞矧捂 ( 5 7 ) 对应于曲线族日，y ) = o h 慨诅矗日0 ：) ) ，j - w 方程存在两族不可数无穷 多个周期行波解，其参数表示与( 5 1 ) 相同 1 5 4 在相图6 中，对应于曲线日侈，力= 日瓴) ，j - m 方程存在一个对于矿是谷形的 孤波解，其参数表示为 9 是聪理i 太学硬士举位论文 其中 u g ，r ) = 口。+ i i 口) 一丢口。妒一言2 ， 矿g ，t ) = 妒+ q ， 一9 弄- 2 2 6 l b , k x + + 2 2 ( 口。( a o + + 2 ：彳a t 2 ) ) ，t r 2 ( 5 8 a ) ( 5 8 b ) ( 5 g ) 对应于曲线族酗，y ) = 0 日慨沮 日慨) ) ，j - m 方程存在两族不可数无穷 多个周期行波解，其参数表示与( 5 1 ) 相同 1 5 5 在相图7 中，对应于曲线日0 ，y ) = h ( o ) = o ，j - m 方程存在一个对于矿是峰形 的孤波解和一个对于v 是谷形的孤波解，其参数表示为 ( ，g ，r ) = ( 口。+ i 1a ? 一j i 口。一百3 2 ，( 5 1 0 a ) 矿g ，f ) = 矿+ a i ， ( 5 1 0 b ) 其中 ：压s e e h f i l ( x + 2 ( a 。+ 2 口；) ，) 】 ( 5 1 1 ) 对应于曲线族日，y ) = 南( 一；砰= 日( 坟) 南 屈 对应于曲线族日，y ) = h ( 日( 玩) h 日( 马) ) ，j _ m 方程存在两族不 可数无穷多个周期行波解，其参数表示与( 5 1 ) 相同 对应于曲线日，| y ) = 日( 蜀。) ，j _ m 方程存在一个周期行波解，其参数表示为 u ( 墨r ) = ( 口。+ i 1 口；) 一互1 口。一i 3 庐2 ，( 5 2 0 a ) 甍骢理i 太学硬士学槛论文 其中 矿g ，) = 矿+ d 。 西= sin-i-2a l 吼一蛾。) 一0 魄一届)2 p ：b2 【口。+；j fj j ( 5 2 0 b ) ( 5 2 1 ) 其中，2 ：三抓压= 瓦瓦百= 丽，成，岛，九，氟。是方程 2 h ( b 1 0 ) + 2 b o 矿+ 6 l 2 一4 = 0 ( 5 2 2 ) 的四个实根 对应于曲线族日轨y ) = h 慨。) 届。 届， 1 6 结论 经过上述分析与计算，我们得出了j - m 方程在曲面甜= a o + 吼v + 口2 v 2 上的所有周 期行波解与孤波解，归纳后褥如下结论： 定理1 存在j m 方程的十二种参数条件使得该方程有形如( 4 1 ) ，( 4 3 ) ，( 4 4 ) ， g 踢理i 太学硬士掣垃论文 ( 5 1 ) ，( 5 4 ) ，( 5 1 2 ) ，( 5 1 4 ) ，( 5 2 0 ) ，( 5 2 3 ) 等九种不同参数表示的周期行波解 定理2 存在埘方程的五种参数条件使得该方程有形如( 4 2 ) ，( 5 6 ) ，( 5 8 ) ( 5 1 0 ) ，( 5 1 6 ) 等五种不同参数表示的孤波解 晁髓理i 太学硬士学证论文 第二章一类p l l 方程的混沌与次谐波分支 2 1引言 一个不含任何外来随机因素的完全确定的系统其长期行为竟然是非常不规则的 或混乱的? 这个问题困扰了人们几百年在混沌理论诞生以前，人们往往以为是计算 方式问题或计算误差所致，混沌理论诞生以后，人们才认识到这种不规则的混乱现象 并不一定是计算方式问题或计算误差所致，而在于系统本身混沌理论揭示出，许多 现象即使是遵循严格的确定性规则，但长期行为仍是无法精确预测，诸如大气湍流与 人的心脏跳动等混沌现象 3 5 近年来，混沌理论由于广泛的应用而引起人们极大的 兴趣，研究方法也多种多样，其中m e l n i k o v 方法与s h i i n i k o v 方法是研究混沌现象 的两种十分有效的解析方法 混沌是在确定的系统中出现的貌似不规则的运动，目前，对于混沌还没有统一的 数学定义，我们这里讨论的是在s m a l e 马蹄意义下的混沌( 文献 2 0 ，2 1 ， 3 6 ) 物理和力学中的许多问题，可以归结为带有弱周期扰动项的具有同宿轨道或异宿 圈的二阶或三阶微分方程系统，对于这类系统，利用一定的技巧，建立二维p o i n c a r e 截面和p o i n c a r e 映射，就可以用m e l n i k o v 方法来判定这个二维p o i n c a r e 映射是否 具有s m a l e 马蹄变换按照动力系统理论，如果一个平面映射存在s m a l e 马蹄变换， 这个映射就具有反映混沌属性的不变集因而，可以用m e l n i k o v 方法来判定一个系统 是否存在s m a l e 马蹄意义下的混沌另外，如果系统具有一族周期轨道，那么，当这 个系统带有周期扰动时，m e l n i k o v 方法还可以用来判定次谐波分支轨道的存在性 2 0 ，2 1 ，3 6 - 3 8 近十年来，该方法得到了很大发展，取得了许多成果，例如，用m e l n i k o v 方法 来研究多自由度的h a m i i t o n 系统的动力学行为 3 9 等 这里，我们考虑 4 0 中提出的一个p l l 模型，经过适当的正规化变换，该系统化 为 声= y ， i 4 ( 1 1 a ) 琵弱理i 大学硬圭学位论文 岁一 + ( 2 孝一p ) h ( ) y 一 ( 妒) + j 目b + m f l s i n f l t + m f f ) c o s f ) r ( 1 1 b ) 其中为相变量，五) 是依赖于相位检测器类型的周期为2 ，r 的非线性函数，参数为 正规化自然频率，孝是阻尼系数，o - 是正规化减谐系数，m 是正规化调幅系数，q 是 正规化角频率系统( 1 1 ) 是带有正弦外部受追项的非线性非自治的二阶微分方程，特 别地，非线性受迫项是2 万一周期的，这与受迫的摆振动方程是同一类型，而后者是混 沌的经典模型，因此，我们有理由相信：系统( 1 1 ) 在某种条件下也会产生混沌行 为 4 1 用计算机技术模拟出了当= 2 善= o 5 6 ，盯= 1 2 7 5 ， ( 庐) = s i n 庐，m 很小时 系统( 1 1 ) 的混沌运动与周期运动并作出了周期解的分支图，但没有在理论上作出解 释本文试图用m e l n i k o v 方法对此作出理论上的解释 因此，本文仅考虑当卢= 2 f = 彤，m = s ，且南( ) = s i n # ( 其中占为扰动参数， 0 占 0 ，y o ，i 栌万一4 r l 0 , 7 0 ，c r z r + 4 y o ，0 y o ，0 y 醴 ( 4 4 ) 则当占充分小时，在系统( 2 1 ) 的周期为m t 的r 型周期解附近存在系统( 1 2 ) 的周期 为m t 的r 型周期解；反之，若p ，y ) gd ：则系统( 1 2 ) 不存在周期为用丁的且型周期 解 1 8 | 聩毫i 太拳曩士学证论文 致谢 首先，我衷心感谢导师李继彬教授在这两年多时间里对我的培养和指导。导师在 学习上要求我们“讲数学就要讲其i d e a ，学数学就要学其i d e a ”，在为人处世方面要求 我们要诚实守信，讲信用，并且自己身体力行，为我树立了良好的榜样，使我终身受 益。 同时，我深深感谢理学院的张振良教授，林怡平教授，房辉教授和李庶民副教授 等老师在学习上给予的悉心指导。 此外，我要感谢李雄雄博士、胡小立博士、溥冬梅、陈丽娟、李红、周宏宪、申 建伟、张骥骧、马忠军等同学的有益探讨和帮助。 最后，我特别感谢我的父母，妻子，儿子和亲人，是他们做出了巨大的牺牲及全 力支持使我得以顺利完成学业! 在论文付印之际，我感谢所有的关心，所有的支持与帮助，感谢所有帮助我的人! 1 9 参考文献 1 】a b l o w i t z ，m j ，c l a r k s o n ，p a ，s o l i t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di n v e r s e s c a t t e r i n g ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 1 【2 m a t v e e v , vb ，s a l l e ，m a ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n ds o l i t o n s b e d i n ，s p r i n g e r ； 1 9 9 1 3 g u ，c h ：，h u ，h s ，z h o u ，z x ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n si ns o l i t o nt h e o r ya n di t s g e o m e t r i ca p p l i c a t i o n s ，s b u a n g h a is c it e c hp u b l ，1 9 9 9 【4 】e s t e e v e z ，eg ，d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o na n ds o l u t i o n sf o ra l l e q u a t i o n i n2 + 1 d i m e n s i o n s ，jm a t hp h y s ，4 0 ( 1 9 9 9 ) ：1 4 0 6 - 1 4 1 9 【5 d u b r o u s k y , vg ，k o