Dynamic Modeling of a Roller Chain Drive System Considering the Flexibility of Input Shaft.pdf

CHI NES E J 0URNAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE R I NG Vo 1 2 3 ，No 3 ，2 01 0 3 6 7 DOI ： 1 0 3 9 0 1 C J ME 2 0 1 0 0 3 3 6 7 ， a v a i l a b l e o n l i n e a t w ww c j me n e t t o m； www c j me n e t t o m c n Dy n a mi c M o d e l i n g o f a Ro l l e r Ch a i n Dr i v e S y s t e m o fI nput Sha ft Co ns i de r i ng t he Fl e x i bi l i t y xu Li x i n ， Y ANG Y u h u 一， CHANG Zo n g y u ， a n d LI U J i a n p i n g 1 S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g , T i a n j i n U n i v e r s i t y , 2 3 a n j i n 3 0 0 0 7 2 ， C h i n a 2 C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g , O c e a n U n i v e r s i t y o f C h i n a , Q i n g d a o 2 6 6 1 0 0 , C h i n a Re c e i v e d J u n e 1 6 ， 20 0 9 ； r e v i s e d Fe b r u a r y 5 ， 2 0 1 0 ； a c c e p t e d Fe b ru a r y 1 0， 2 0 1 0 ； p u b l i s he d e l e c t r o n i c a l l y Fe b ru a r y 2 5 ， 2 0 1 0 Ab s t r a c t ： Ro l l e r c h a i n d riv e s a r e wi d e l y u s e d i n v a rio u s h i g h - s p e e d ， h i g h - l o a d a n d p o we r t r a n s m i s s i o n a p p l i c a t i o n s ， b u t t h e i r c o mp l e x d y n a mi c b e h a v i o r i s n o t we l l r e s e a r c h e d M o s t s t u d i e s we r e o n l y f o c u s e d O l l t h e a n a l y s i s o f th e v i b r a t i o n o f c h a i n t i g h t s p a n ，a n d i n t h e s e mo d e l s ， many f a c t o r s a r e n e g l e c t e d I n t h i s p a p e r ， a ma t h e ma t i c a l mo d e l i s d e v e l o p e d t o c a l c u l a t e the d y n a mi c r e s p o n s e o f a r o l l e r c h a i n d r i v e wo r k i n g a t c o n s t an t o r v a r i a b l e s p e e d c o n d i t i o n I n t h e mo d e l ， t h e c o mp l e t e c h a i n tra n s mi s s i o n wi t h two s p r o c k e t s a n d the n e c e s s a r y t i g h t a n d s l a c k s p an s i s u s e d T h e e f f e c t o f t h e fl e x i b i l i t y o f i n p u t s h a ft o n d y n am i c r e s p o n s e o ft h e c h a i n s y s t e m i s t a k e n i n t o a c c o u n t ， a s we l l a s t h e e l a s t i c d e f o r ma t i o n i n t h e c h a i n， t h e i n e r t i a l f o r c e s ， the g r a v i ty and the t o r q u e o n d r i v e n s h a f t T h e n o n l ine a r e q u a t i o n s o f mo v e me n t are d e r i v e d f r o m u s i n g La g r a n g e e q u a t i o n s an d s o l v e d n u me ric a l l y Gi v e n t h e c e n t e r d i s t anc e and the tw o i n i t i a l p o s i t i o n ang l e s o f t e e t h o n d r i v i n g a n d d r i v e n s p r o c k e t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e fi r s t s e a t i n g r o l l e r o n e a c h s i d e o f the t i g h t s p a n ， d y n am i c s o f a n y r o l l e r c h a i n d r i v e wi t h tw o s p r o c k e t s a n d t wo s p a n s c a l l b e an a l y z e d b y t h e p r o c e d u r e F i n a l l y ， a n u me ric a l e x a mp l e i s v e n an d t h e v a l i d i ty o f t h e p r o c e d u r e d e v e l o p e d i s d e mo n s t r a t e d b y an a l y z i n g t h e d y n am i c b e h a v i o r o f a t y pi c a l r o l l e r c h a i n d r i v e Th e mo d e l c a n we l l s i mu l a t e t h e t r a n s v e r s e a n d l o n g i tud i n a l v i b r a t i o n o f th e c h a i n s p an s a n d t h e t o r s i o n a l v i b r a t i o n o f the s p r o c k e t s Th i s s t u d y c a n p r o v i d e a n e ffe c t i v e me tho d f o r t h e a n a l y s i s o f t h e d y n a mi c c h a r a c t e ris t i c s o f a l l t h e c h a i n d r i v e s y s t e ms K e y wo r d s ： r o l l e r c h a i n ， d y n a mi c mo d e l i n g ， L a g r a n g e e q u a t i o n s 1 I n t r o due t i o R As a n e ffe c t i v e wa y o f t r a n s mi t t i n g po we r ,c h a i n d riv e s i mp a c t ，po l y g o na l a c t i o n a n d e x t e r na l pe rio d i c l o a d we r e c o n s i d e r e d Th e n， a r e fine d d y na mi c mo d e l o f r o l l e r c ha i n d rive wa s d e v e l o pe d b y KI M ，e t a l ，t h e c o l l i s i o n s a n d r e b o u n d s o f t he e n g a g i n g r ol l e r we r e s t u d i e d Th e a u t h o r s c a n b e f o un d e x t e ns i v e l y i n ne a r l y a l l me c ha n i c a l a bo v e a l l u s e d the s i mpl i fie d mo d e l a n d h a ve s t ud i e d a e n g i n e e ri n g a r e a s T h e ma j o r a d v a n t a g e s o f c h a i n d r i v e s a r e t h e fle x i bi l i t y i n s e l e c t i n g s h a ft c e n t e r ,t h e a b i l i ty t o d r i ve m o r e t h a n o ne s ha ft t h e h i g h r e l i a b i l i ty a n d d u r a b i l i ty Ho we v e r , t h e a p pl i c a t i o n o f c h a i n d r i ve s i n t r o d u c e s p r o bl e ms s uc h a s n o i s e a n d vi b r a t i o n ，wh i c h mo t i v a t e d r e s e a r c he r s t o i n v e s t i g a t e t l 1 e d y n a mi c b e h a v i o r o f t h e m fo r v a r i o u s e n g i n e e rin g p u r po s e s Fo r a c o mp r e h e n s i v e r e v i e w o n t h i s s u b j e c t ， t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o WA NG e t a l t Fo r r e c e n t wo r k ，VEI KOS ，e t a l 【 。d e v i s e d a r e a l i s t i c a n a l yt i c a l p r o c e d u r e for t h e d y n a mi c a n a l y s i s o f r o l l e r c h a i n d r i v e s M a ny t e s t c a s e s h a d b e e n pe r f o r me d u s i n g t hi s p r o c e d u r e wi t h va r i o us t y pe s o f c h a i n s ，o p e r a t i n g a t d i r e n t s p e e d s ， s p r o c k e t r a t i o s a n d l o a d s CHOI ， e t a l 4 d e v e l o p e d a mo d e l b a s e d o n a x i a l l y mo v i n g ma t e r i a l t o s t u d y t r a n s v e r s e v i b r a t i o n o f r o l l e r c h a i n d r i v e s Th e c h a i n s p a n wa s a p p r o xi ma t e d a s r i g i d ba r a t l o w s pe e d s a nd e l a s t i c b a r a t m o d e r ate o r h i g h s pe e ds I n t hi s mo d e l ， t he Co r r e s p o n d i n g a u t h o r E - ma il ： y a n g y u h u t j u 。 e d u 。 c n T h i s p r o j e c t i s s u p p o r t e d b y Na t i o n a l Na t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( G r a n t No 5 0 6 0 5 0 6 0 ) ， a n d T i i n Mu n i c i p a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( Gr a n t No 0 6 YF J MJ C 0 3 3 0 0 ) s p r o c k e t a n d t he t i g h t s i d e o f t h e c ha i n d r i v e W h e l l the e mp h a s i s i s o n t he s y s t e m s g l o b a 1 vi b r a t i o n a n d d yn a mi c b e h a vi o r , a c o mp l e t e c h a i n 仃a ns mi s s i o n wh i c h r e ga r ds t h e c ha i n s pa ns a s t wo a x i a l l y mo v i n g s t r i n g s wi m t h e i r e n d s fix e d t o t wo rig i d s p r o c k e t s wa s d e v e l o pe d b y W ANG【 o J I n the s u bs e q u e n t wo r k LI U。e t a l 【 i nt e g r a t e d t h e l o c a l me s h i n g p h e n o me n a wi t h t h e g l o ba l c h a i n s p r o c k e t s y s t e m d yn a mi c b e h a v i o r I n o r d e r t o an a l y z e t h e d i s c r e t e n a t u r e o f t he c h a i n s pan s i n g l o b a l c ha i ns p r o c ke t s ys t e m，t he c ha i n s t r a n d wa s mo d e l e d a s a s e rie s o f i n d i v i d u a l l u mp e d ma s s c o n n e c t e d t o ge the r by ma s s l e s s s p r i n g s d a mp e r l Th e f i r s t t o us e t h e c o mp l e t e g e o me t r y wi t h a d y n a mi c mo d e l for d e t e r mi n i n g t h e l o a d d i s t r i b ut i o ns a l o ng t h e s pr o c k e t s a nd t h e f o r c e s a l o n g the c h a i n wa s TROEDS SON， e t a l t j I n t h e mo d e 1 t h e c h a i n t r a ns mi s s i o n wa s d i v i d e d i n t o f o u r s e p a r a t e p a r t s ： t h e t i g h t s p a n， s l a c k s pa n ，d r i v i n g s p r o c ke t a nd d r i v e n s p r o c k e t ， an d e a c h pa r t wa s mo de l e d a n d a n a l y z e d s e p a r a t e l y Be c a u s e t he c o mp a t i b i l i t y b e t we e n t he p a rts mu s t b e c o ns i d e r e d i n a c o mp l e t e mo d e l ， t h e bo u nd a r y c o n d i t i o n c h e c k i n g a nd s ol v i n g p r o c e d u r e a r e c o mp l i c a t e d A m o d e l o f a r o l l e r ： ! ： 竺 里 坐 ! 兰 ! ! 里 !e r C h a i n Dr i v e S y s t e m Con s i d e r i n g t h e Fl e x i bi l i t y o fI n p ut S h a f t c h a i n d riv e i n c l ud i n g t h e i mp a c t b e t we e n t he c h a i n a n d g u i d e b a r s wa s d e v e l o p e d b y PEDERS ENe t a l J J J I n t h e mo d e l ，a r e a l t o o t h p r o fil e i s r e p l a c e d b y a c i r c u l a r t o o t h p r o fil e a n d t h e c o n t a c t s b e t we e n r o l l e r s a nd s pr o c ke t t e e t h a r e d e t e c t e d by k i n e ma t i c c o ns t r a i n t s o f u s i n g u n i l a t e r a l c o ns t r a i n t me t h o d o l o g y F i n i t e e l e me n t t e c h n i q ue s a n d n u me r i c a l s i mu l a t i o n s o f tw a r e we r e u s e d b v ZHENGe t a l ， f o r p r e d i c t i n g t h e me s h i n g n o i s e d u e t o t h e i mp a c t o f c h a i n r o l l e r s a g a i n s t t h e s p r o c ke t o f c h a i n d r i v e s I n t h e mo d e l ， t h e c o mp l e t e s t a nd a r d g e o me t r y o f s p r o c k e t s a n d a l 1 c o mp o n e n t s o f c ha i n l i n k s we r e u s e d wi t h mi n o r g e o me t r y s i mpl i fic a t i o n T h e o b j e c t i v e i n t h i s s t u d y i s t o d e s c r i b e a n a u t o ma t e d g e n e r a l l y a p p l i c a b l e c o mp u t e r p r o c e d u r e t o wa r d s p r e d i c t i ve d e s i g n a n d a n a l y s i s o f t h e c o mp l e t e r o l l e r c ha i n d r i v e s u n de r d y n a mi c c o n d i t i o n s A ma t h e ma t i c a l mo de l i s d e ve l o pe d a n d t he n o n l i n e a r e q u a t i o n s o f mo ve me n t a r e d e r i v e d f r o 而 u s i n g L a g r a n g e e q u a t i o n s T h e e f f e c t o f t h e fle x i bi l i t y o f i n p u t s ha ft o n d yn a mi c r e s p o n s e o f t he c h a i n s y s t e m i s t a ke n i n t o a c c o u nt a s we l l a s t h e e l a s t i c d e f o r ma t i o n i n t h e c h a i n t h e i ne r t i a l for c e s t h e g r a v i t y a n d t h e t o r q ue o n d rive n s h a ft A r o l l e r s p r oc k e t t o o t h mo t i o n n e g l e c t e d ( 7 ) Al l p a r t s o f t h e mo d e l ， b o t h c h a i n a n d s p r o c k e t s a r e r e g a r d e d a s tw o d i me n s i o n a l bo d i e s a nd a l l va r i a t i o n s i n the d i r e c t i o n a l o n g t h e r o t a t i o n a x i s o f t h e s pr o c k e t s a r e n e g l e c t e d Fi g 1 s h o ws a mo d e l o f a t y p i c a l d r i vi ng s p r o c ke t wi th c h a i n l i nk s a r o u n d i t A c o o r d i n a t e s ys t e m i s d e fin e d i n t h e c e n t r e o f t h e dri v i n g s pr o c k e t Th i s i s t h e g l o b a l c o o r d i n a t e s ys t e m ， u s e d t o d e s c r i b e the g e o me t r y , wh e n c a l c ul a t i n g the po s i t i o n o f t h e r o l l e r s a n d t h e s pr o c ke t s Th e p o s i t i o n o f a n y l u mpe d ma s s p o i n t f c a n be e x p r e s s e d i n x a nd Yi d i r e c t i o n s Th e s t r e t c h i n g for c e s i n t h e t wo c o n ne c t i n g l i nk s a r e c a l l e d 一1 a n d Th e c o n t a c t f o r c e be tw e e n t h e s p r o c k e t a n d t h e r o l l e r i s c a l l e d a n d t h e g r a v i t a t i o n f o r c e i s mg I n e r t i a l f o r c e s i n t h e c ha i n o n e i n t h e r a d i a l d i r e c t i o n ： mR 1 a n d o n e i n t h e t a ng e n t i a l d i r e c t i o n t= mR。 l 1 ， a r e c o ns i d e r e d s i n c e t he r o tat i o n o f s pr o c ke t s i s n o t a t a ne a r l y c o n s t a n t a n g u l a r v e l o c i t y I n the s e f o r c e s t h e s t r e t c h i n g f o r c e s a n d t h e c o n tac t f o r c e c a n b e e x p r e s s e d a s t he s p r i n g - d a mp i n g f o r c e s Ad d i t i o n a l l y ,i t i s s u p p o s e d t h a t a l l t h e f o r c e s a c t a t ma s s c e n t e r I n t h e mo d e l ， t h e i n p u t s h a f t i s s i mp l i fie d a s a t o r s i o n s p rin g wi t h c o n s t a n t a nd c o n t a c t d e t e c t i o n a na l y s i s i s d e s c r i b e d i n d e t a i l i n t h i s t o r s i o n a l s t i f f ne s s a nd d a mp i n gTh e c o ns t a n t o r v a ria b l e s tud y Co mp a r e d wi t h t h e wo r k ma d e b y TR0EDS S0N e t a l 【 J wha t i s t h e s i mpl e s t n o di v i s i o n i s n e e d e d i n t h e c o mp l e t e c h a i n m o d e l a n d the bo u nd a r y c o nd i t i o n c h e c k i ng i s e a s Dy n a mi c s o f a n y r o l l e r c h a i n d r i v e wi t h t wo s p r o c k e t s a n d t wo s p a n s c a n b e a n a l y z e d b y t h e p r o c e d u r e ， i f t h r e e ne c e s s a r y p a r a me t e r s ，the c e n t e r d i s t a n c e 5 a nd t h e tw o i n i t i a l po s i t i o n a ng l e s o f t e e t h a n d 0 7 o n d r i vi n g a n d dri v e n s p r o c k e t s c o r r e s p o n di n g t o t h e fir s t s e a t i n g r o l l e r o n e a c h s i d e o f the t i g h t s p a n ，a r e g i v e n Fi na l l y ,a n u me r i c a l e x a mp l e i s g i ve n a n d t h e p r o c e d u r e d e v e l o p e d h e r e i s d e mo ns t r a t e d b y a n a l y z i n g t h e d y n a mi c be h a v i o r o f a t y p i c a l c h a i n d r i v e 。 2 Dy na mi c M o d e l - F o r p u r po s e s o f a n a l y s i s ， t h e c h a i n s tra n d wi l l b e a p p r o x i ma t e d a s a s e rie s o f p o i n t ma s s e s l u mpe d a t t h e r o l l e r c e n t e r s whi c h a r e c o nn e c t e d t o g e t h e r b y ma s s l e s s s p rin g s d a mpe r a s us e d i n t he o r e t i c a l wo r k s ” Fo r s i mp l i f y i n g c o mp l e x i ty o f t h e mo d e l ， the f o l l o wi n g a s s u mpt i o n s a r e ma d e i n t he d e riv a t i o n o f t h e c ha i n e q u a t i o n s o f mo t i o n ( 1 、 A1 1 t h e l i n k s h a v e e q u a l ma s s ， s t i f f n e s s a n d u n d e fo r me d p i t c h On e h a l f o f t h e t o t a l 1 i nk ma s s i s l u mp e d a t e a c h r o l l e r ( 2 、T he r o t a t i o na l i ne r t i a o f t he r o l l e r s a b o u t t h e i r c e n t e r o f g r a v i t y i s n e gl e c t e d ( 3 ) T h e c h a i n p i t c h i s e q u a l t o t h e s p r o c k e t p i t c h ( 4 、 Al l me c h a n i c a l c l e a r a n c e s a r e n e g l e c t e d ( 5 )A r e a l t o o t h p r o fi l e i s r e p l a c e d b y a c i r c u l a r t o o t h p r o fi l e t l l J ( 6 、 T h e f r i c t i o n b e t we e n t h e r o l l e r a n d t h e t o o t h fl a nk i n t h e p a r t o f t h e c h a i n i n c o n t a c t wi t h t h e s p r o c k e t i s s p e e ds bo u n d a ry c o n d i t i o n c a n b e i mp o s e d o n t h e r o t a t i o n a n g l e f o f i n p u t s ha ftW h e n t h e r o l l e r e n g a g e s i n t o t h e dri v e n s p r o c k e t ， i t s f o r c e c o nd i t i o n i s a l mos t t h e s a m e a s i t o n d r i v i n g s p r o c k e t A t o r q u e M i s i mp o s e d o n t h e d r i v e n s p r o c k e t s h a ft i n o r d e r t o s i mu l a t e t h e wo r ki n g l o a d mR。 1 ，c lg ， 一 一 ， ) F i g 1 M o d e l o f s p r o c k e t wi t h t h e c o n t a c t i n g c h a i n p a r t Fi g 1 s h o ws a s t a n d a r d g e o me t r y o f s p r o c k e t t o o t h wi t h t h r e e a r c s a nd o n e s t r a i g h t l i n e M o d e l i n g the f u 1 1 s p r o c ke t g e o me t r y a n d d e t e c t i ng t h e c o n t a c t b e tw e e n i t a n d r o l l e r i n mo v e me n t i s q u i t e d i ffi c ul t S oi n t h i s s t ud y a r e a l t oo t h pr o fil e i s r e p l a c e d b y a c i r c ul a r t o o t h p r o fil e a s u s e d i n t he wo r k t “J a s s h o wn i n F i g2 Th e a d va n t a g e o f t h i s s i mp l i fic a t i o n i s t h a t t h e c o n t a c t s b e tw e e n r o l l e r s an d t e e th c a n be d e t e r mi n e d e a s i l y Th e r a d i us o f the c i r c u l a r t o o t h pr o fil e i s R+ a n d t h e r o l l e r r a d i us i s R ， y i e l d i n g a c l e a r a nc e o f AR = Rt R I n t h e e ng a g i n g p r o c e s s ， o n l y CHr NES E J OURNAL oF M ECHANI CAL ENGI NEEI UNG 3 6 9 o n e s i ng l e p o i n t a t t h e t o o t h s u r f a c e c a n s i mu l t a n e o us l y b e i n c o n t a c t wi t ht h e s a me r o l l e r ( a ) Re a l t o o t h p r o fi l e ( b ) Ci r c u l a r t o o th p r o fi l e F i g 2 S i mp l i fic a t i o n o f t h e t o o t h p r o fi l e Th e c h a i n s pa n i s fina l l y mo d e l e d a s a s e r i e s o f ma s s p o i nt s c o n ne c t e d wi t h ma s s l e s s s p r i n g e l e me nt s a s s h o wn i n Fi g 3 Bo t h o f t he v i b r a t i o n s i n a n d y d i r e c t i o n s c a n be r e fle c t e d b y t he mo d e 1 Th e l i n ks i n b o t h the t i g h t a n d the s l a c k s p a ns s u ffe r t h e e 佰： c t o f g r a v i t y I n t h e m o ve me n t the e n g a g e me n t a n d d i s e n ga g e me n t ph e n o me no n be t we e n r o l l e r s an d s p r o c ke t t e e t h wi l l o c c ur p e rio d i c a l l y Th e c o n t a c t d e t e c t i o n b e t we e n t he m wi l l b e s p e c i fie d i n n e x t pa r t ： mo t i o n a nd c o n t a c t d e t e c t i o n an a l ys i s F i g 3 M o d e l o f the c h a i n s p a n 3 M o t i o n a nd Co nt a c t De t e c t i o n Ana l y s i s An e x a mp l e o f a g e n e r a l c h a i n t r a n s mi s s i o n i s s h o wn i n Fi g 4 I t r e p r e s e nt s t h e s i mp l e s t k i n d o f tra n s mi s s i o n s i n c e i t o nl y i n c l u d e s t wo s p r o c k e t s a n d o n e c h a i n On e s p r o c k e t i s d rivi n g， t h e o t h e r o n e i s d riv e n a n d t h e c ha i n t r a n s mi t s t h e p o we r b e tw e e n t h e m Th e t wo s p r o c ke t c e n t e r s a r e a s s u me d t o b e l o c a t e d a t t h e s a me he i g h t wi t h t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e a c t i n g i n t h e ne g a t i v e v d i r e c t i o n 辨