（应用数学专业论文）非等熵情况下气态星体的稳定性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 有自引力势能的气态星体内部结构随时间的发展变化可以由e u l e 卜p o i s s o n 系统来 描述，它包括由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程构成的e u l e r 方程组及由星 体本身密度决定的自引力势能所满足的p o i s s o n 方程： 卜+ d i v ( ) = o ， j ( ) t + d i v ( ou ) + v 尸= 一pv 圣， l ( j d s ) t + d i v ( p s u ) = o ， 【圣= 4 7 r 夕j d ， 其中p = j 口( z ，t ) ，t j = u ( z ，) ，s = s ( z ，) ，尸，9 和圣分别表示星体的密度，运动速度，熵函 数，气体压力，引力常数和自重力势能t2o 表示时间，空间变量z r 3 气体压力满足下面的状态方程： 尸= a p 7 矿， 其中a 为常数，为了便于讨论，本文将其正规化为1 ，绝热指数为7 1 的常数 e u l e r p o i s s o n 系统解的稳定性是天体物理学家非常关心的问题，他们对解的稳定性 做了一些猜想，但并没有给出严格的理论证明e u l e r - p o i s s o n 系统解的存在性和稳定性 等都与绝热指数和熵函数密切相关近年来，国内外许多学者对系统定态解的存在性做 了一系列研究，并且当熵函数为常数时，证明了一部分解的稳定性的猜想当熵函数为 一般函数时，问题变得更加复杂，就我们所知，到目前为止，熵函数为一般函数时还没 有相关的稳定性结果 本文主要研究非等熵时气态星体的稳定性和定态解的存在性当： 7 1i st h ea d i a b a t i cc o n s t a n t a s t r o p h y s i c i s t sa r ei n t e r e s t e di nt h es t a b i l i t yq u e s 七i o n t h es o l u t i o n sa n d s t a b i l i t yo f e u l e r - p o i s s o ne q u a t i o n sa r ec o n c e r n e dw i t ht h ee n t r o p yf u n c t i o na n da d i a b a t i cc o n s t a n t r e c e n t l y m 彻【yr e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fs t e a d ys o l u t i o l l s 盯eo b t a i n e d ，a n ds o m e s t a b i l i t vr e s u l t sa r eo b t a i n e df b ri s e n t r o p i cf l o w a sw ek n o w ，t h e r e a ，r en or e s u l t sa b o u t t h es t a b i l i t yf o rn o n i s e n t r o p i cf l o w t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h en o n l i n e a rs t a b i l i t yo fg a s e o u s s t a r sa n dt h ee x i s t e n c eo fs t a t i o n a r ys o l u t i o n si nt h en o n - i s e n t r o p i cc a s e w h e n ； 7 1 的常数 从文献 3 l 中知不同的绝热指数对应不同的气体分子结构例如，7 = ；对应单原子 气体，y = 对应双原子气体，7 _ 1 + 对应更重的气体 对于e u l e r - p o i s s o n 系统，解的存在性和稳定性主要依赖绝热常数和熵函数近年来， 国内外许多数学学者对系统的定态解( 即系统与时间无关的解，有的资料中也称为平衡 解) 进行了深入的研究系统的解要满足质量守恒和能量守恒，因此速度场u 不能是任意 的u = o 时系统满足质量守恒和能量守恒，此时系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 和( 1 3 ) 化为： iv p = 一pv 西， 肿4 丌9 n ( 1 4 ) lp = j d 7 e ) s ( z ，) 为常函数时，固定气态星体的总质量丘。p 如= 朋，在文献【3 】和【1 1 】中有如下 关于定态解的结果：l ，y 2 时，对于每一个有限的总质量m ，方程没有定态解；如 果2 7 o ，则方程至少存在一个有紧支集的定态解p ； 7 o 存在唯一的基态解( 该解没有紧支 集) a u c h m u t y 和b e a l s 【l 】在假设； ，y 2 和一些衰减性条件下，证明了方程( 1 4 ) 有 极小能量j 下解的存在性，而且解p ( z ) 有紧支集接着l c a 肪r e l l i 和a f r i e d m a n 2 1 讨论 了 1 】中得到的解以及使真空和流体分离的有关自由边界的形状 s ( z ，) 不是常函数时，若： 7 0 ，p i 锄= o ，d e n gy i n b i n 等在文献 4 1 中证明了方程至少存 在一个正的定态解，在文献【5 】中证明了系统有唯一的定态解；接着在一个给定的速度 场u ( z ) 中，d e n gy i n b i n 和y a n gt o n g 在【6 】中通过两个非线性变换u = 亡t ( e 号p ) 1 _ 1 和仳= e 茜u ，把平衡态方程化成了二阶椭圆方程 乱一q ( z ) u + ，( z ) u 口一k ( z ) e 一六s = o 其中o ( z ) ，( z ) 等的定义在后文中有交待他们通过研究该椭圆方程的解的情况得出了 多个平衡解的存在性l u ot a o 和j o e ls m o l l e rf 1 4 1 讨论了，y 取不同的值时方程径向 对称解的存在性及其性质，另外还得到了径向解的非存在性结果文献f 1 5 1 和f 7 】中讨论 了；，y 2 时解的爆破现象 由于方程解的稳定性有许多应用价值，天体物理学家们猜想：当熵函数为常 数，1 7 ：时系统的定态解是不稳定的；： 7 2 时系统的定态解是稳定的到目前 为止，这方面仅证明出少部分结果对于系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 和( 1 3 ) 的初值问题目前只证出来 局部解的存在性，在文献 1 l 】中，l i ns s 把系统限定在有界区域中，研究了系统定态解的 线性稳定性他证明了定态解在； 7 2 时是稳定的，在1 7 ：时是不稳定的假设 系统初值问题的全局解是存在的( 到目前为止，这仍然是个公开问题) ，最近，r e i n 在文 献【1 6 1 中用变分方法证明了2 ，y 2 时的非线性稳定性；d e n gy i n b i n 等在文献【4 l 中用 能量的方法说明了7 = ；时的不稳定性；j a n gj h 在文献【1 0 】中通过构造与方程相似的 能量，得到了一系列的能量估计，证明了7 = ：时的非线性不稳定性其他还有一些有趣 的结论参见文献【17 】，【1 8 】，【2 0 j ，【1 3 】和【9 l 等目前2 7 时的非线性稳定性还有待研究 上面的都是熵函数为常数时的稳定性结果，就我们所知，目前还没有非等熵情况下 的稳定性结果本文的主要目的就是研究气态星体在非等熵情况下的非线性稳定性当 然本文的结论是有条件的，即要假设e u l e r - p o i s s o n 系统初值问题的全局解是存在的为 了使问题有物理意义，限定星体的密度 j d o ，i 王留p ( z ，) = o 本文熵函数满足： ( a 1 ) ：给定熵函数s ( z ) c 3 为有界函数，即存在常数岛 s 1 ，使得对于比 r 3 有s o s ( z ) s 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 记亏 如：= z r 3 r ) ，b 蹦：= z r 3i 尺i z i k ) 定义约束集 4 m ：= o ，卜= m ，厂尸 0 在状态( p ，u ) 时的能量为 跏卜犰卯蚺击p 如一兰锱蛐，5 ， 其中第一项表示动能，第二项是由大气压力产生的能量，第三项表示重力势能u = 0 时， ( 1 5 ) 式化为 眦卜击腑一善锱蛐 6 ， 受 1 6 和【1 】等文献的启发，； ，y r 时p ( z ) = o ) 上极小化泛函e ( p ，u ) ，通过在p 的紧支集上做一系列一致估计解决问题本文中不需要 限定j d 是轴对称的，证明中要克服的困难同样是无界域r 3 的失紧性，借鉴文献【1 6 】中的方 法，我们用集中紧原理 1 2 l 在约束集4 m 上得到泛函b ( p ) 的极小达到函数接着假定系统 的全局解存在，在全空间r 3 上主要用变分方法得到了非等熵时系统定态解的非线性稳定 性 1 2 主要结论 定理1 1 熵函数s ( z ) 满足( a 1 ) 且； ，y 0 ，有 上r 硝圳z m n n 一时，肌一p o 在l 7 ( r 3 ) 中弱收敛 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 且 l b r p o 2m 一， v 圣p 。一v 圣。在l 2 ( r 3 ) 中强收敛， 其中垂o = 中p o ，并且肋是b ( p ) 在4 m 上的极小达到函数 熵函数s ( z ) 满足( a 1 ) 且； 0 使得下面的结论成立：对于e u l e 卜p o i s s o n 系统初值问题的每 个解( p ( z ，) ，u ( z ，) ) ，初值j d ( z ，o ) 4 m ，如果 m ( 邶) ，问+ 南l l v 印) 一v 圣。胁三出，0 ) | 巾，0 ) j 2 出 0 使得下面的结论成立：对于e u l e r - p o i s s o n 系统的每个 解( j d ( z ，) ，u ( z ，) ) ，初值p ( z ，o ) 4 m ，女口果 舰( 圳) ，问+ 南胁出脚一v 圣。肛三出，0 ) i 出，0 ) | 2 出) ；，那么 m = i n “m 历( s ，p ) 有如下的性 质： ( a ) 对任意的m o ，我们有：一 m o ； ( b ) 对每个o ；时，结合4 m 的定义得一。 1 对于d 帆否么百有 证毕 b ( 万) e s 0 - s 1 6 _ 3 邶，j d + 6 - 5 咖) e s o - s 1 6 - 5 ( 邪，枷” = e 跏岛( 筹) 3 嘶) 下面证明一个有用的估计 引理2 4 对于任意的p 4 m ，； 7 1 证明由于p 4 m ，因此p 在l 7 中是有界的 把位势能量作如下分解： 一；产脱刊纠r 锱蜊蚪儿蚓舢i r 一 ：= l l + 1 2 + 1 3 9 硕士学位论文 m a s t e r st e s l s 由日引d e r ，s 不等式和日o u s d d r ，一y d t z 礼9 ，s 不等式可得， ，l o ，n o n 使得r 风，n 他。时， 肪( z ) 出如 jb r 证明由4 m 的定义知，泛函b 的任意极小化序列在4 m 上的l 1 范数是有界的 由( 2 2 ) 式知 点妇( 肪) 0 决定( 2 6 ) 式右端的符号，所以存在品 o ，风 o ，当r 风时 小州z 南( 一一等一志) 如 为了证明定理1 1 ，我们需用集中紧原理和下面的引理( 文献【1 6 】中有类似的引理) 引理2 6 如果7 ，( 肌) p ( r 3 ) 有界且在l 1 ( r 3 ) 中雕一肋则 ( a ) 对于任意的r ob r r 3 ，在l 2 ( b r ) 中有强收敛 v 圣p 。 v 圣阳 ( b ) 如果( 肌) l 1 ( r 3 ) 是有界的，印l 1 ( r 3 ) 且对于任意的e o ，存在r o 和竹o n ，当n 佗。时有刮ri 陬( z ) j 如 警( 因为7 ；) 因此 在l 2 ( j e 7 r ) 中有强收敛： v 垂p 。一v 西加 r 充分大时，从( 2 2 ) 式知 乞i v 吲2 拈咖以刊 凡笔皆州z ，l 工l r，i z 一掣l 凡 i 山一y i 等 0 ， 证毕 。i v 圣肌一v 西p 0 1 2 d z 丘rl v 一v 叫2 出+ 上胁i v 圣肪一v 叫2 如 i v 中p 。一v 垂舶1 2 d z + c i v 圣p 。1 2 + l v 西p 0 1 2 d z jb r j b r ” e 互+ 互 2 3定理1 1 的证明 证明由引理2 6 知，我们只需证明肋是泛函耳( p ) 的极小达到函数 把p 4 m 分成三部分考虑： 相应的有 因此 p 2 ) ( 口r lp + ) ( b 凡1 r 2 p + x b r 2 ，。p ：2p l + p 2 + 伪 k = 警学州刈一蛐，s ， 研( d ) ：= b ( p 1 ) + b ( p 2 ) + b 洒) 一，1 2 一，1 3 一如3 1 1 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 取忌 2 r 1 则 下面我们估计1 2 ，如3 ： ，c 1 1 3si “2 ，：+ 如s = p 圣z d z + p z 圣。d z = 一去( 圣，圣z 出+ 圣。吲z ) = 南v ( 圣，+ 蚴v 吲z q i v ( 垂- + 中3 ) i i ：i i v 西。i i 。 g i i j d t + p 3 l i ，i i v 圣。| i 。 a | l v 西2 忆 其中圣。= 圣 定义m = j r 研，z = l ，2 ，3 ，则m = m + + 慨结合引理2 3 知 m 一耳( p ) = 危m 一日( p 1 ) 一日( 比) 一日( p 3 ) + ，1 2 + ，1 3 + 如3 ，一e 函呐 ( 等) + ( 等) 3 + ( 等) 3 】) m + 是+ a l i v 垂。i i ：( 2 7 ) g 九m m ，+ g ( 壶+ l i v 中z i i ：) ， 这里g ，g 只依赖于质量m 和熵函数s ( ，z ) ，我们想用( 2 7 ) 证明对于极小化序列的子序 列，只要选取适当的分割参数，n 充分大时，都使得慨充分小 极小化序列( p n ) 在( r 3 ) 中是有界的，因此存在子序列，不妨仍记为( p 。) ，使其 在l 7 ( r 3 ) 中弱收敛，即耽一肋选取风 凡使( 2 8 ) 式右边的第二项小于e 4 适当选取r 2 2 r 1 使第一项也很小现在固定j r l 和r 2 ，由引理2 6 ( a ) 可知( 2 8 ) 式中的第三项收敛到零 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st i e s l s ( 耽) 是极小化序列，因此选取合适的n 有 i 所( p 。) “m l 0 ，存在r 0 使得 m 2 | b r p o 2m 飞 所以 p o l 1 且h o 出= m 因此p o 4 m 由f o d u 引理知 郴，川如1 唑掣郴，缸 ( 2 9 ) 结合上式和引理2 6 得 厨( p o ) sl i m i n f 历( p n ) = m 所以p o 是耳( p ) 在4 m 上的极小达到函数 1 3 硕士学位论文 m s ，l e r l st h e s i s 第三节e u l e 卜p o i s s o n 系统的定态解 3 1 方程的转化 臣器 作非线性变换 u ( s p ) = 击矿- 1 e s ”劫， f 一u + n ( z ) 札= ，( z ) ，t a ， 既佃苗， 4 吲孚) q e 耥s 一击 m ) = 三上。i v 砰+ 0 ( 咖2 如一击小州州兆 方程( 3 1 ) 和方程( 3 3 ) 的解有如下关系： 引理3 1 若u 是方程( 3 3 ) 的解，则方程( 3 1 ) 的解为 ，p ：( 孚u e 訾s ) 击， iv 圣= ；( _ l 正e 砉) v s v ( 乱e 砉) 证明结合( 3 2 ) 式知 一j d v 圣= 1 d ( v ( u e 蓦) 一三( u e 砉) v s ) = 巾( 音e s ) 一击e s v 5 i = p 扩1 e s v s + 7 ，1 e s v 卅 = p 7 v ，+ e s v p 7 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) = z ， c 0 一柳 +c ，)v 为土婶勰 = 量 z a 日“的 中 程 其 方 结合方程( 3 3 ) 得 圣= v ( v ( u e 砉) 一号( u e 砉) v s ) = v ( v 仳e 寺一去u e 砉v s ) = e 若( u 一。( z ) u ) = 嘞9 ( 孚u e 昔s ) 击 = 一4 丌9 p 因此( 3 5 ) 是方程( 3 1 ) 的解 3 2能量最大解的存在性 由第二部分的证明知，存在肋4 m 使得b ( 肋) = i n 厶 ，历( p ) ，因此j 9 0 是方程( 3 1 ) 的 解所以札o = 击露一1 ，1 一击是方程( 3 3 ) 的解 若u w 1 ，2 ( r 3 ) 是方程( 3 3 ) 的解，则对于任意的妒1 ，2 ( r 3 ) 下式成立： ( 7 ( u ) ，妒) = ( v u v 妒+ n ( z ) u 妒) 如一 ，( z ) ( u + ) 9 妒如= o - ，r 3，r 3 因此 小) = 抬v 砰州功胁一击小州州如 = ( 三一击) 小州州如 ( 3 6 ) ：塑坠望厂矿e 印一 ，y l ，r 3 由引理3 1 和( 2 5 ) 式知 跏) = = 等上。缸 ( 3 7 ) 对比( 3 6 ) 与( 3 7 ) 易知，对于满足条件( a 1 ) 的熵函数s ) ，； ，y 2 时，b ( j d ) 在4 m 上的 极小达到函数加满足 耳( 肋) = p 既b ( p ) ，m 。) 2 嬲m ) 因此o 是二阶椭圆方程( 3 3 ) 的能量最大解 3 3山路引理型径向解的存在性 记 x = ”2 ( r 3 ) ：= u w 1 2 ( r 3 ) ，“( z ) = 让( ) ， 1 5 硕士学位论文 m s t e r st h e s i s x 为x 的对偶空间 定义 泛函，c 1 ( x ，r ) ，c r ，如果序列 让。) cx 满足n _ + 。o 时， j ( u n ) _ c ，7 ( u n ) _ o 于x 则称序列 u 。) 为泛函j ( u ) 的( p s ) 序列如果每个( j ) s ) 序列有收敛的子序列，称泛 函，( u ) 满足( j p s ) 紧性条件 引理3 2 如果口0 ) o ，3 ，y o ，泛函，( u ) 关于c 存在( p s ) 序列 u n ) 甚lcx ，使得n 一+ 时 u 。一u 。在x 中强收敛， ，( t 正。) = c ，7 ( u 。) = o 证明任取序列 u 。) cx ，死_ 。时 ，( 乱n ) _ c ，7 ( u 。) 一0 于x 凼此有 1 c + 1 小n ) 一南( j r 弘n ) ，札n ) = 等加砰+ 0 ( 咖2 妣 所以 u n ) 在义中有界 空间x 中的有界集是弱列紧集，且嵌入昨，2 ( r 3 ) q 扩( r 3 ) ( 2 p 6 ) 是紧的，可 取子序列不妨仍记为f u n ，使得n _ 。时 u n 一位。弱收敛于x ； n 一仳。强收敛于扩( r 3 ) ( 2 p 6 ) ； “n 让cn e 于乏3 则对任意的矽x ，佗_ o 。时有 v u 剧+ m ) 删妇+ m ) ( u 舻纰= 。， 这说明札。x 是方程( 3 3 ) 的弱解 令札n = 札。+ u n ，则n 一时易知 一0 弱收敛于x ； _ o 强收敛于( r 3 ) ( 2 p 6 ) ； _ 0o e 于r 3 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 所以n _ 。时结合b 7 e 别s l 钯6 引理知： 上。i v u 坪如= 上。i v u 。1 2 如+ 上。i v u z + 。( ，) ， 上。n ( z ) 札：如= 上。( z ) “：如+ 上n ( z ) u 2 出+ 。( 1 ) ， ( z ) ( u ：) 州如= ，( z ) ( “ ) 如+ ，( z ) ( 砖) 叶1 出+ d ( 1 ) ， ，r 3- ，r 3 r 3 由于2 n ； ( 3 ) 存在u x ，i i u 0 7 ，( u ) o 定义 r ：= 9 c ( 【0 1 1 】；h ) l9 ( o ) = o ，夕( 1 ) = u ) 则 是泛函，的临界值 c 。瓣器麓啦( ) l 9 ro l 。 定理3 3 若n ( z ) o ，2 0 ，0 u | i = 7 充分小时，( u ) o ；对于任意 的u x ，牡 o ，_ + o 。时 因此存在充分大的o 使得，( 幻u ) o 泛函j r 满足( 尸s ) 紧性条件因此方程( 3 3 ) 有非平凡解哪，2 ( r 3 ) 1 8 尸 上旦 一+v 厶呶 护一2 一 = 一 硕士学位论文 m s t e r st h e s l s 第四节稳定性分析 这部分，我们主要用变分方法证明本文的稳定性结果。 4 1 一个恒等式 引理4 1 如果熵函数s ) 满足( a 1 ) ，伽4 m 是b ( p ) 的极小达到函数，其相应的位 势为西o ，则在p o 的紧支集上有 妒7 ( s ，p o ) + 圣o = ， 其中7 = 乏，为常数 证明对任意的e 0 ，定义 k ：= 0 ， 砂7 ( s ，伽) + 圣o = k在k 上， 1 9 ( 4 1 ) 硕士学位论文 m s t e r 。st l i e s l s 其中托是常数 令e _ 0 ，可得 矽( s ，冈) + 圣o = 在伽的紧支集上 证毕 对任意的户么m ，速度u 满足，p h 2 出 0 ，z 。 o ，初值p ( z ) 4 m ，u o ( z ) 对于任意的凡n ，有 m 川+ 南忡。一v 州+ 三出) h ( 刮2 出 ( 4 5 ) 结合( 4 2 ) 和( 4 4 ) 知 恶( e ( p ( z ) ，( z ) ) 一e ( 肋，o ) )n _ = 恕沁( n 川一南忡。一v 圳+ 丢俐州删2 如) = 0 因此 l i me ( p ( z ) ，u o ( z ) ) = e ( 肋，o ) = 点1 r ( p o ) ( 4 6 ) 竹+ 由于解( 肌( z ，) ，( z ，) ) 满足能量守恒，因此 l i ms u p 耳( p n ( z ，礼) ) l i m e ( 风( z ，。) ，u 。( z ，。) ) = l i me ( p ( z ) ，讹( z ) ) ( 4 7 ) n + = b ( p o ) ， 由于p o 是b ( j d ) 的极小达到函数，因此n 一+ 。时 m 。( 州。) ，问一南l l v 一v 圣。n 三硝州n ) l 叫叫圳2 出_ 。 ( 4 8 ) 由于其满足质量守恒，得( 砌( z ，) ) 4 m 是b 的极小化序列由定理1 1 知对其子序列仍 记为( 肌) ，有 i i v 垂p 。一v 圣o i l 2 _ o ( 4 9 ) 结合( 4 8 ) 和( 4 9 ) 知 d ( 肌( z ，n ) ，肋) + 去r 风( z ，k ) i ( z ，z 圳2 如一o ，当佗_ 时， 因此当n _ 。o 时 d ( j d 。( z ，z n ) ，肋) + 南i i v 西加一v 圣舶哐+ 丢砌( z ，z n ) i ( z ，z n ) 1 2 出_ 。， 这与( 4 5 ) 式矛盾证毕 硕士学位论文 m 【 s t e r st h e s l s 4 3定理1 3 的证明 证明仿照定理1 2 的证明，朋m 是b ( p ) 在么m 上的极小达到函数全体组成的集合对 任意的亿m m ， 0 存在反 o ，如果初值估计 成立，则有 m ，胁) + 去胁p v 圳：+ 三俐州刮2 出) 文 m ( 州) ，砧+ 南 l v 啡一v 训；+ 三出一m 州炉出) e 因此只需取 即得结论 6 ：= m i n ( 文) 2 2 硕士学位论文 m s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】g a u c h m u t y ，r b e a l s ，、厂a r i a t i o n a ls o l u c i o n so fs o m en o n l i n e a rf r e eb o u n d a r yp r o b _ l e m s ，a r c h r a t i o n m e c h a n a l 4 3 ( 1 9 7 1 ) 2 5 5 2 7 1 【2 】l c a f f a r e l l i ，a f h e d m a n ，t h es h a p eo fa x i s y m m e t r i cr o t a t i n gf l u i d ，j f u n c t a n a l ， 6 9 4 ( 1 9 8 0 ) 1 0 9 1 4 2 【3 】s c h a n d r a s e k h a r ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h es t u d yo fs t e l l a rs t r u c t u r e s ，u n i v e r s i t yo f c h i c a g op r e s s ，1 9 3 8 4 】y d e n g ，t l i u ，t y a n g ，z y a o ，s o l u t i o n so fe u l e r p o i s s o ne q u a t i o n sf o rg a s e o u s s t a r s ，a r c h r a t i o n m e c h a n a l 1 6 4 ( 3 ) ( 2 0 0 2 ) 2 6 l 2 8 5 【5 】y d e n g ，y g u o ，u n i q u e n e s so fs t a t i o n a r ys o l u t i o n sw i t hv a c u u mo fe u l e 卜p o i s s o n e q u a t i o n s ，a c t am a t h s c i s e r b e n 9 1 e d 2 3 ( 3 ) ( 2 0 0 3 ) 4 0 5 4 1 2 6 】y d e n g ，t y a n g ，m u l t i p l i c i t yo fs t a t i o n a r ys o l u t i o n st ot h ee u l e 卜p o i s s o ne q u a t i o n s ， j d i 骶r e n t i a le q u a t i o n s 2 3 1 ( 2 0 ( ) 6 ) 2 5 2 2 8 9 7 】y d e n g ，j x i a n g ，t 、，a n g ，b l o w u pp h e n o m e n ao fs 0 1 u t i o n st oe u l e r - p o i s s o ne q u a - t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 2 8 6 ( 2 0 0 3 ) 2 9 5 3 0 6 【8 】l e v a n s ，p a r t i a ld i 雎r e n t i a le q u a t i o n s ，g r a d u a t es t u d i e si nm a t h ，1 9 9 8 ，a m s ， p r o v i d e n c e r h o d ei s l a n d 【9 】y g u o ，g b k i n ，s t a b l es t e a d ys t a t e si n s t e l l a rd y n a m i c s a r c h r ，a t m e c h a n a l 1 4 7 ( 1 9 9 9 ) 2 2 5 2 4 3 【1 0 】j j a n g ，n o n l i n e a l ri n s t a b i l i t yi ng r a v e t a t i o n a le u l e r - p o i s s o ns y s t e mf o r ，y = 2 ，a r c h r a t i o n m e c h a n a l 1 8 8 ( 2 ) ( 2 0 0 8 ) 2 6 5 3 0 7 【1 1 js l i n ，s t a b i l i t yo fg a s e o u ss t a r si ns p h e r i c a l l ys y m m e t r i cm o t i o n s ，s i a mj m a t h a n a l 2 8 ( 3 ) ( 19 9 7 ) 5 3 9 5 6 9 【12 】p l i o n s ，t h ec o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ei nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s t h e l o c a l l yc o m p a c tc a s e p a r ti ，a n n i n s t h p o i n c a r ea n a l n o n l i n e a i r e ，1 ，( 1 9 8 4 ) 1 0 9 1 4 5 【1 3 】t l i u ，t 1 y a n g ，c o m p r e s s i b l ef l o w 、v i t hv a c u u ma n dp h y s i c a ls i n g u l a r i t y ，m e t h a p p l a n a l 7 ( 3 ) ( 2 0 0 0 ) 4 9 5 5 1 0 ( 1 4 】t l u o ，j s m o l l e r ，r o t a t i n ga u i d sw i t hs e l f - g r a v i t a t i o ni nb o u n d e dd o m a i n s ，a r c h r a t i o n m e c h a n a l 17 3 ( 3 ) ( 2 0 0 4 ) 3 4 5 3 7 7 【1 5 】t 【1 6 】 m a k i n o ，b l o w i n gu ps o l u t i o n so ft h ee u l e r p o i s s o ne q u a t i o nf o rt h ee v o l u t i o no f g a s e o u ss t a r s ，r 艮a n s t h e o r y s t a t p 1 1 y s i c 2 1 ( 1 9 9 2 ) 6 1 5 6 2 4 g r ，e i n ，n o n l i n e a rs t a b i l i t yo fg a s e o u ss t a r s ，