（基础数学专业论文）带hardysobolevmaz’ya项的奇异半线性椭圆方程的正解和变号解.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s p o s i t i v ea n ds i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rt h es i n g u l a r e l l i p t i ce q u a t i o ni n v o l v i n gh a r d y - s o b o l e v - m a z y at e r m s a 饶e s 诂 s u b m i t t e di np a r t i a l 凡圻l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s o rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y h u a n gb a o y i n g p o s t g r a d u t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o rp e n gs h u a n g j i e a c a d e m i ct i t l ep r o f e s s o r s i g n a t u r e a p p r o v e d m a y2 0 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 素盈碳 日期：2 0 lj 年岁月多日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：黄豆硖 日期：力l j 年夕月哆日 导师签名： 乒 锄多a 日期：扩l 、年厂月哆日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园意i 金文握交后滥蜃；旦坐生；旦二生；旦三玺筮查。 作者签名：黄宝谈 日期加f 1 年岁肪 日 导师签名：二机文扔 日飙妒、帝厂月_ 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文研究的是带h a r d y s o b o l e v - m a z y a 项的奇异半线性椭圆方程 也一入南= 紫+ 肛 在具有光滑边界的有界区域q 内的正解及变号解的存在性，其中z = ( y ，z ) r r 一七，2 七 n ，p t = n + 两2 - 2 t ，0 t 2 此外，0 入 堡三4 窆，0 p 入1 ( 入) ，入1 ( 入) 是算子一一盎的第一特征值本文主要研究当t = 2 一 而；2 、( n 伍- i 2 ) 声纛，即矶21 + 瓦i 巧丽4 菰的情形 为得到正解的存在性，我们用到全局紧定理及山路引理；为得到变号解的存 在性，我们用到对偶定理 关键词：对偶定理；存在性；全局紧定理；h a r d y s o b o l e v - m a z ，y a 不等式；山路 引理；正解；变号解 i t op r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，w eu s et h eg l o b a lc o m p a c t - n c s st h e o r e ma n dt h em o u n t a i np a s st h e o r e m ；t oa p p r o a c ht h ee x i s t e n c eo fs i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s ，w eu s et h ed u a lt h e o r y k e y w o r d s ：d u a lt h e o r y ；e x i s t e n c e ；g l o b a lc o m p a c t n e s st h e o r e m ；h a r d y - s o b o l e v - m a z y ai n e q u a l i t y ；m o u n t a i np a s st h e o r e m ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；s i g n - c h a n g i n gs 伊 l u t i o n s i i 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章引言及主要结果 1 第二章预备知识 4 第三章正解的存在性 7 第四章变号解的存在性 1 7 参考文献 2 6 致谢 2 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文研究方程 第一章引言及主要结果 z q ，7 ( 1 1 ) 的正解及其变号解的存在性，其中q 是r 中具有光滑边界的有界区域，z = ( 可，z ) t 七r 一毛，2 k n ，a = n 丽+ e 2 - 百2 一t ，0 2 时，0 入 坠；当k = 2 时，入= 0 此外，0 p 入1 ( a ) ，a 1 ( a ) 是算子一一壶的第一特 征值本文主要研究当t = 2 一万再2 、 n 伍- i 2 ) 两爻，e pp , 21 + 瓦石了露4 蓊的情 形 文献【2 0 已系统讲述了当n 4 ，0 p a l ( q ) 时，如下临界问题： f 一u = lu 2 。- 2 t 正+ p 缸， z q ， 【u 砩( q ) ( 1 2 ) 存在正解，其中q 是r 中的有界区域此外许多学者也研究了关于问题( 1 2 ) 的正解及其变号解的存在性，这些结论见文献【3 ，6 ，7 ，8 ，1 0 ，1 3 ，1 4 ，1 7 ，1 8 ，1 9 】- 如果在问题( 1 2 ) 中加上一个h a r d y 项，此时方程变为 篙乎小1 2 。钠一哦 ( 1 3 ) 当0 入 趔4 时，a f e l l ：e o 和f g a z z o l a 在【1 2 】中已得到这个问题的解的 存在性( 有可能得到变号解) 此外，d c o o 和s p e n g 在【4 】中利用【1 8 】的方法， 得到一个关于问题( 1 3 ) 的全局紧定理利用此定理我们有：当n 7 ，0 p 入l ( 入) ，0 a 必44 时问题( 1 3 ) 的确存在变号解，证明过程见参考文献 【5 】s p e n g 在【1 5 】中分别利用山路引理和对偶定理，得到：当n 4 ，且满足 j0 p ，0 p + 壶 a l ( o ) ，a 0 ， n = 4 ， 【0 一 缸 u ，-ij、-_-_l + 字 h i 哟 l l 故 让 以h 一 位 缸 下面我们给出本文的主要结果： 定理1 设q 是r 中具有光滑边界的有界区域，0 入 雌4 ，0 肛 入l ( 入) ，t = 2 一面；2 、( 1 n 伍- i 2 ) 芦嚣，当七一、硒= 萄可+ 2 时，方程( 1 1 ) 有 一个正解 定理2设q 是r 中具有光滑边界的有界区域，0 入 雌4，0 p 忌一 两= 可可+ 4 时，方程( 1 1 ) 至 少存在一对变号解土吻扛) ，且满足 上学出2 ， 这里u ( u 2 ) 是如下加权特征值问题的第一特征函数： 匕- - a v - - x 扣一 注：为了使 z ，lu 2l a 一1 yi 阶v 计一入簖，r z q 7 ( 1 7 ) z a q 与弼( q ? 中的范数忆l i ：( 上i v 让1 2 ) 荟1 等价( 见预备知识( 3 ) ) ，我们取。a 生竽对于弘，利用p o h o z 删恒等式可得当p o 且q 为星形区域时，方程( 1 1 ) 无非平凡解，证明类似于文献【1 6 】此外，易证方程( 1 1 ) 存在正解的必要条件为 p 入1 ( 入) ，证明见参考文献【3 】，故取0 0 由入0 可得 上( 1 v u 1 2 一入研u 2 ) f n iv 牡1 2 _ i i u i l 2 ， 从而有姒v 奸一入南) 卜1 惜价 注： 由此预备知识可定义硪( q ) 中的范数为 m l ：姒v 计一入岳) r ( 4 ) 砌) _ u i n f 佃 0 首先a 1 ( 入) 是极小可达的事实上，这等价于证明 入1 ( a ) = 砖+ 入 u 龆n ， 上( iv 让1 2 _ 入簖) lj f f l u 2 - - 1 ) 全m 是极小可达的取极小化序列 ) ，使得2 = 1 ，且 ，n 上( iv 蚶一a 静) 岫( u 从而i i 0 有界，故存在u 使得ju 于硪( q ) ，所以 上( iv u 卜a 高) 妯( n 5 u l l 2 上( 1 v u 1 2 - a 南) 孙， 因此缸是入1 ( a ) 的极小达到函数 其次a 1 ( a ) 0 事实上，由p o i n c a r 6 不等式，我们得到 所以 州朴一一 ；赶：二型! 二兰! 征球n v 们 上铲 c1 一杰) a l ( 入) 0 ( 5 )山路引理( 见文献【2 0 】) ：设x 是h i l b e r t 空间，i 伊( x ，r ) ，存在 e x ，p 0 ，使得l i e l l p ，且b _ i n fj ( 缸) ，( 0 ) j ( e ) 则对任意 0 ，存 l l u o p 在钍x ，使得： j ( u ) _ c ，j ( u ) _ o 于h _ 1 ( q ) ， 其中 c _ 7 i l 叭l fm 【0 1 a x 】珩( 锨 r ：= - y c ( 【o ，1 】，x ) ：，y ( o ) = o ，y ( 1 ) = e 在本文中，我们应用山路引理时取x = 硪( q ) ( 6 ) 对偶定理，详见文献【9 】 6 定义泛函，( u ) 如下： m ) = 三上( i v u 1 2 一入研u 2 一l u 2 ) 一p 上t + l 厂躞lyi ， 则泛函i ( u ) 的临界点即为问题( i i ) 的正解( 见定理1 的证明) 为得到正解，首先给出以下几个引理： 引理1 ( 全局紧定理) 设q 是r 中具有光滑边界的有界区域， ) c 硪( q ) ，当礼_ 时，( ) _ c ，i t ( ) 一0 于日q ( q ) ( 1 ) 当t = 0 时，存在让o 硪( q ) ，k ，1 n ，k 列正数 ) ( 1 歹七) ，z 列 正数【磁) ( 1 歹2 ) 及q 内的l 列点 ( o ，砭) ) ( 1 j 2 ) ( 其中当佗_ o o 时， ( 0 ，砭) _ ( 0 ，磊) 孬) ，使得 ( i ) = 护+ 警。( 心) 学略( 矗z ) + 骂：。( 磁) 竿日( r i ( x 一( o ，矗) ) ) + d ( 1 ) ， 其中，当n _ o o 时，有d ( 1 ) 一0 ，嵋_ ，磁_ 于明( q ) ，此外w 满足方程 ( 常) ，w 满足方程( 砰) ( i i )当扎_ 时，( ) 一i ( u o ) + 喙1 带( 瑶) + 骂：。碍( w ) 其中( p f ) 为 也入卉= ( 当川时，矶- - 2 - - 1 ) v u d 1 2 ( r ) ， 砰= 艺( iv 计一入羔) 一者上n 嵴，慨| 司上) 讹e 0 1 2 c r ) ( 2 ) 当t 0 时，有相同的结论成立，但此时是对任意的j f 1 ，纠有昭= 0 引理2 在引理1 的条件下，当0 入 生，c ，满足 丛二二! 盖竺 ( 上嵴) 丽 证明： 由预备知识( 2 ) 可知，当o 入 2 我们使用相同的方法可以证明上b 2 p ( 。力可u e m 万+ i = 既。，因此 k 需一 又由于b 2 p ( o ，z ) 岛( o ，z ) cq b p ( o ，z ) cb r ( 0 ，z ) b ( o ，z ) ，所以 b 2 p ( o , o b p ( o , o ( 1 一) 需 f a b , ( o 0 ( 1 节+ 1 ) 需 厶吼蹦吣，c 1 一，并， 同理可得j 厂n b d ( o 翻( 1 一) 筹甜p ( o ，z ) ifi 因此， 上研u e p t + l = 上n 并+ d ( 一拼厕+ 2 2 ( 3 加) ( i i ) 然后计算上( 1v u 坪一a 羔) 上( 1v 计一a 贵2 ) = 上i v 妒1 2 嘭+ 厂妒2l v 阢1 2 - ，n + 2 上c v 岬嘞以一入上等 在( 2 8 ) 两边同时乘以妒2 阢 ) ，积分可得 上卜v 妒咖入篑 - 上筹， 1 0 ( 3 1 1 ) 将 上v 以v c 妒2 以，：2 上c v 妒v 阢，妒阢+ 上妒2 iv 阢1 2 代入上式可得 2 上c v 岬嘞以+ v 吖一a 上筹= 上筹 再将上式代入( 3 1 1 ) 中得 上( iv 蚶一a 羔) = 上iv 卯噬+ 上筹 一方面，因为在b p ( 0 ，z ) 上v 砂= 0 ，所以 而 iv 妒1 2 眨iv 妒1 2 瞬 j b 2 p ( o ，z ) b p ( o ，名) ，n = iv 妒1 2 睡 ，f 氓b p ( o ，z ) iv 妒2 暖 l 吼聃， iv 妒2 以 c l 力靴，嘭 矿l ， 矿l 删。， = c e 2 一u 2 ( 考) d x j b n ( o ) b p ( o ) 巴 (一i-i-i ) 2【( 1 + 警1 ) 2；1 2 行 既寿一厉两水- 2 ) + 2 - 厶博 芘2 一卢一， 这里p = x ( k - 2 ) 2 - 4 ) l 一( 尼一2 ) 一 8 仇一l 1 1 i 矽l 伽哥丽一( ) 下 【( + iyi ) 2 + iz1 2 】再 ：一2 n + k 一、，( i = l 万可+ 2 另一方面，同( i ) 中的计算可得 因此， 上筹= 上n 筹删 上( iv 计一入羔) = 上箦+ d ( + d ( 矿肛) ( 3 1 2 ) 其中理：n 一忌+ v ( k - 2 ) 2 - 4 a + 2 2 ，p = - 2 n + k 一、亿f 二互弘_ 二_ 甄+ 2 ( i i i ) 最后我们计算上 上u ；上删k ，嘭= b p ( o , z ) f - 2 - - n ( u ( b p ( 0 ) 2 - n ( u ( ：c 厂 矿n ，b p ( o ) 面砭1 ) 2 + i 洲再4 z 一( 0 ，z ) ，) 2 “一厕水- 2 ) 培j 厂b 加，箫器 。( 0 1l l + l0l l + izi i p t 一1 = 铲州邓l ，丽丽幂氟面高百而两两 = 铲州邓厶，而丽幂氟面面1 万而雨 坛2 州邓厶恻。，而顽面磊面素瓦而i 雨 f 2 + c 产一n 一卢ii n e 卢芘2 + c e 2i l nel ，当卢+ n = 0 时， 1 既2 + 既2 一， 当p + o ，且当卢+ = 0 ，即= 七一、硒= 忑阿+ 2 时，有 上( iv 训2 一a 高一心) ( 上嵴) 丽 f ru ：+ i 竺尘! 竺二竺：二竺型( 自( 3 1 0 ) ( 3 m ) ( 3 m ) ) 一 ( 上n 筹删) 丽 ( 霹) 祷+ o ( 产) - - 1 - o ( e 2 ) 二丝：二竺：! ! 型 ( ，( 研) 纠m + l + d ( 叫、) 丽 ( 印) 嚣等( 1 + d ( e a ) + o ( e 2 ) 一c p e 2 二! 竺三：! 堡三1 2 ( 印) 再( 1 + d ( e q ) ) 丽 ( 由( 2 9 ) ) ：硭业型盟竖竖) 二坐丝坐型， ( 1 + 0 ( 萨) ) 丽 当足够小时，s 2lt h ei 为主项，于是 丛二尘兰盖竺 印 ( 上错) 丽 当口+ n 七一、厅瓦= 两f 丽+ 2 时，同理可得 上( 呼汗一a 斋一心) ( 上嵴) 丽 当足够小且p + n 0 时，s 2 为主项，于是 从而引理3 得证 丛二尘三盘型 田 ( 上嵴) 丽 引理4 设0 入 i 丝4l 三，0 p o ( i i i ) 令 = 魄，其中是引理3 中定义的，则 i ( t v ) = ( iv 砰一入南一# v 2 ) 一 b p t + 伊+ 1 ， 其中a = 上( iv 邗一入研v 2 一# v 2 ) 肛上并 1 4 ( 矿严“ iy1 2 1 1 型时 2 铲i a 一2 令冀竖竺1 】，硪( q ) ) ：- r ( o ) = o 删= e ) c 一罂黝嘶( t ) ) 6 0 ，由山路引理可得，当礼_ 时，存在 c 硪( q ) ，使得m j l ( u , t j ) _ c ，且 ( i ) 由引理4 ，我们可以得到一个( p s ) c 序列 ) ，使得，( ) 一c ，且 ，( ) _ 0 于日1 ( ( i i ) 证明c 赫( 砖) 舒 醐m a x ，】酢e ) 2 嚣筠m 捌蹦酢口) = 黜 罢艮鼎 = 鲁( 鲁) 南一p 旦t + 1 ( 鲁) 翳 = 磊2 ( g t 一 一) ，r ，+ i 忑k 歪r 嘉南( 跚n 一- - t ， c _ t f o m a t l 】xm e ) 0 故u 是方程 ( 1 1 ) 的一个正解 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章变号解的存在性 为求变号解，此时问题( 1 1 ) 对应的泛函j ( 让) 定义如下： m ，= 三上( 1 v u 1 2 一入簖卅) 一p 上t + 1 上学 首先我们引进下列新的记号： 定义蝇= 钍h j ( a ) i 让0 ，( ( u ) ，心) = o ) ，易证尬是闭的事实上， 在硪( q ) 中取尬，且_ u ，则 上( iv 蚶一入静一胁2 ) 一上嵴 一上( 1 v u 1 2 一入鲁卅) 一上帑 即( j 7 ( ) ，) _ ( ，( u ) ，u ) ，从而u m ，因此尬是闭的 定义c 1 = i n fj ( u ) 设让1 是第三章中找出的方程( 1 1 ) 的正解，则c 1 = j ( u 1 ) 记& = 乱明( q ) ：l i u 0 = 1 ) 为硪( q ) 中的单位球 考虑如下映射族： 口= 危：h o ( q ) 一硪( q ) ih 是奇的且是同构的) 设4c 硪( q ) 是易一对称的有界闭集( 也即牡a 令一牡a ) 记为岛中所 有易一对称的有界闭集组成的集合 在上定义7 ( a ) 如下： 7 ( a ) = i n f k i 存在 ：a 一融 o ) 是奇的且是连续的) ， 如果这样的k 不存在，或者a 是空集，则和通常的约定一样定义 兀= ac 明( q ) ：a 是闭的对称的且，y ( ( a ) n & ) 2 ，v h d ) 假设0 入 华，0 j _ 0 让l 旷1 ( v 2 一磅)h 缸肿n 掣 丌u p t + 1 ) 蒲( 也m iyl 。v 删 6 n n i m + 1 ) n i l i 可i l ”- i - l n “ 1 寿f 厂 j i v l _ 6 n n iv 一 p t + 1 t ) 寿 厂厶厂厶 南 、l ， 为得到变号解，我们给出如f 引理： 引理5设q 是r 中具有光滑边界的有界区域，0 a 幽4，0 p 0 时仅有( a ) 发生，且将( 矸) 变成( 印) ，霹t _ o ( v 1 ) 变成 矸( u 1 ) 下面仅考虑t = 0 的情况，对于t 0 的情况同理可得 一方面，由条件易知 霹括o ( u 1 ) 2 一 2 ( n t ) ( 印) 等，醌：o ( 沪) 2 一 2 ( n t ) ( 砖) 镑 而j ( u 七) _ c c ，+ 茄南( 印) 丽n - i ，从而j ( 铲) c = 碍t = o ( 而2 - t k 训：、n 一- , ， 产生矛盾 同理，当( 料) 发生时，我们也可以得到一个矛盾故( 3 ) 得证 最后我们给出本文的第二个主要结果的证明： 定理2 的证明：如果我们能证明下面的紧性条件 饧 q + 赫( 跚n i - t ， 由文献【9 】中的定理3 1 及本文的引理5 ，则方程( 1 1 ) 有解呦，且满足 上爿心2 ， 则u ，是变号解 2 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 如同第三章中的定义( z ) = 妒( z ) 阢( z ) ，且假设在第三章中得到的正解为 u 1 由椭圆方程的先验估计，我们可得 让z 俨( q ( o ，z ) 】) i - ic ( _ ( o ，z ) ) ) ， 所以u l c ( 百2 p ( o ，z ) ( o ，z ) ) ) ，即i l 让1i l l * ( b 2 p ( o ，z ) ( o ，名) ) ) c 令a = 让1 ，魄) ，显然a 五因此 下面只须证明 c 2 s u ps ( w ) = s u pj ( s u l + ) 埘a cs 。r e i r 嘶s u p rj ( s u l + r ) 2 要使j ( s 让1 + r ) 七一、雨= 可可+ 2 时， j ( s u lw r 啦) c ，+ 嘉南( 印) 丙n - - t + 啡口) + 啡2 十) 一q 一q 晤2 一卢一+ c e 7 + c u 其中2 一卢一 2 ，口 2 ，y u 要使了( s 让l + r ) 2 ，即n 七一、硒= i f = 孤+ 4 所以当 七一、万= 可可+ 4 时有 j ( s u l + r ) 七一 两= 可可+ 4 时定理2 成立 2 5 参考文献 【1 】1 a l ia l - a a t i ，c h u n h u aw a n ga n dj i n gz h a o ，ap o s i t i v es o l u t i o nt oas e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o nw i t hs o b o l e v - h a r d yt e r m s ，t oa p p e a ri nn o n l i n e a ra n a l l t m a 【2 】2 m b h a k t aa n dk s a n d e e p ，h a r d y - s o b o l e vm a z y at y p ee q u a t i o n si n b o u n d e dd o m a i n s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 4 7 ( 2 0 0 9 ) ，1 1 9 - 1 3 9 h b r e z i sa n dl n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，3 6 ( 19 8 3 ) ， 4 3 7 - 4 7 7 【4 】d c a oa n ds p e n g ，ag l o b a lc o m p a c t n e s s p r o b l e m si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ， 1 3 1 ( 6 ) ( 2 0 0 3 ) ，1 8 5 7 - 1 8 6 6 r e s u l tf o rs i n g u l a re l l i p t i c p r o c a m e r m a t h s o c ， 【5 】d c a oa n ds p e n g ，an o t eo nt h es i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n st oe l l i p t i cp r o b - l e m sw i t hc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n ta n dh a r d yt e r m s ，j d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，1 9 3 ( 2 0 0 3 ) ，4 2 垂4 3 4 【6 】d c a oa n dx z h o n g ，m u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n si n v o l v i n gt h ec r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，n o n l i n e a ra n a l t m a ， 2 9 ( 1 9 9 7 ) ，4 6 1 4 8 3 【7 】a c a p o z z i ，d f o r t u n a t oa n dg p a l m i e r i ，a ne x i s t e n c er e s u l tf o rn o n l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，a n n i n s t h p o i n c a r 爸 a n a l n o n l i n 爸a i r e ，2 ( 1 9 8 5 ) ，4 6 3 - 4 7 0 g c e r a m i ，s s 0 5 m i n ia n dm s t r u w e ，s o m ee x i s t e n c er e s u l t sf o rs u p e r l i n e a r e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gc r i t i c a le x p o n e n t ，j f u n c t a n 甜， 6 9 ( 1 9 8 6 ) ，2 8 9 - 3 0 6 【9 】i e k e l a n da n dn g h o u s s o u b ，s e l e c t e dn e wa s p e c t so ft h ec a l c u l u so fv a r i a - t i o u si nt h el a r g e ，b u l l a m e r m a t h s o c ，3 9 ( 2 0 0 2 ) ，2 0 7 - 2 6 5 【1 0 j f e s c o b a r ，p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m es e m i l i n e a xe l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，4 0 ( 1 9 8 7 ) ，6 2 3 - 6 5 7 【11 】i f a b b r i ，g m a n c i n ia n dk s a n d e e p ，c l a s s i f i c a t i o no fs o l u t i o n s o fac r i t i c a l h a r d y s o b o l e vo p e r a t o r ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，v 0 1 2 2 4 ，n o 2 ( 2 0 0 6 ) ，2 5 8 - 2 7 6 【1 2 】 a f e r r e r oa n df g a z z o l a ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs i n g u l a rc r i t i c a lg r o w t h s e m i l i n e a xe l l i p t i ce q u a t i o n s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 7 7 ( 2 0 0 1 ) ，4 9 4 - 5 2 2 【1 3 】z h a r t ，a s y m p t o t i ca p p r o a c ht os i n g u l a rs o l u t i o n sf o rn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，a 朐n i n s t h p o i n c a r 爸a n a l n o n - l i n 爸a i r e ，8 ( 1 9 9 2 ) ，1 5 9 - 1 7 4 【1 4 z l i ua n dj s u ，s o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sw i t hp e r - t u r b a t i o nt e r m so fa r b i t r a r yg r o w t h ，d i s c r e t ec o n t i n d y n s y s t ，1 0 ( 2 0 0 4 ) ， 6 17 - 6 3 4 f 1 5 】s p e n g ，r e m a r k so ns i n g u l a rc r i t i c a lg r o w t he l l i p t i c c o n t i n d y n s y s t ，v 0 1 1 4 ，n o 4 ( 2 0 0 6 ) ，7 0 7 - 7 1 9 【1 6 】p p u c c ia n dj s e r r i n ，ag e n e r a lv a