（计算数学专业论文）矩形上3次lagrange多项式插值的一些研究.pdf

太涟理工大学硕士学位论文 摘要 多元多项式的l a g r a n g e 插值是当前数值逼近研究中的热门课题之一，在现实中有 羞广泛豹应用。多笼多项式搔值与一冤多项式描值相比有藿更为复杂的饿质，在研究多 元多项式捅值时，一个首先必须解决的问题就是多元摄值的适定性问题，其次就是插值 公式的构造。本文正是针对这个课题在矩形上进行3 次l a g r a n g e 插值研究，并取得了 稻庭酶研究成果。 首先介绍了多元l a g r a n g e 插值的发展背景及相关成果，特别是基予叠加插值思想 的构造：元l a g r a n g e 撬值适定结点组的主要方法。然簿以一般矩形上一类特定撬值结 点组为研究对象，研究其上的3 次l a g r a n g e 缩点组的适定性和基酌数的构造问题。文 中选择矩形上特定的1 2 个点，即每边中点及关于中点等比例对称的两个点。如何在这 1 2 个点中逡择1 0 个点作势二元三次雾项式空间的插值逶定结点缀? 针对这个问题，文 中首先利用点组对应的范德蒙德矩阵非奇异性从数值计算上寻到选点的规律，进而利用 多元多项式撬僮中叠蹇瑟播馕方法从理论上严格涯鹳该规律，并绘遗所选撬蘧适定结点组 的几何构造特征。之后，针对适定的插值结点缀，仍然基于叠加捕值思想，借助结论证 臻审所键到豹三个撬圆构造搔僮基溪数及插值公式。最矮，文中进褥? 大量的数值实验， 选择不同类型的连续被插函数，同时利用不同适定结点组构造的插值逼近多项式进行误 差比较，得到了诸如不同适定结点组的选取不影响逼近效果等结论。另外，义中对一般 四边形上对上述研究闯题落进行一整尝试，褥到与矩形上该阀怒研究豹异阕点及看绥有 待解决的问题。 关键词：l a g r a n g e 插值；遣定结点组；插值基函数 s o m es t u d i e so nc u b i cl a g r a n g ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o no nt h e r e c t a n g l e a bs t r a c t m u l t i v a r i a t ep o l y n o m i a ll a g r a n g ei n t e r p o l a t i o ni sah o tp r o b l e mf o rd i s c u s s i o ni nt h e f i e l do fm u l t i v a r i a t ea p p r o x i m a t i o n i th a sm o r ec o m p l e xc h a r a c t e r st h a nt h o s eo fu n i v a r i a t e i n t e r p o l a t i o n w h e nw ei n t e r p o l a t eo nm u l t i v a r i a t ep o l y n o m i a ls p a c e ，t h ep r o b l e mw h i c ha t f i r s tw en e e dt or e s o l v ei st h e p r o p e r l yi n t e r p o l a t i n g ，a n o t h e ri m p o r t a n tp r o b l e mi s c o n s t r u c t i n gi n t e r p o l a t i o nf o r m u l a i nt h i sp a p e r , w ej u s tr e s e a r c hi nt h e s et w op r o b l e m sa n d o b t a i ns o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s f i r s t l y ，t h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t so fm u l t i l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o na r e i n t r o d u c e di nt h ef i r s tc h a p t e r ，a n di nt h ei n t r o d u c t i o n ，w ef o c u so nd e s c r i b i n gt h er e s u l t so f c o n s t r u c t i o no fp r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e s ( o rp p s n ，f o rs h o r t ) o nr 2 s e c o n d l y ，w e r e s e a r c hd e e p l yt h ep r o p e r l yi n t e r p o l a t i n gp r o b l e ma b o u ts e to fn o d e so nr e c t a n g u l a r ，a n dt h e n o b t a i nc o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n sw h i c ha r ea b o u tp o s e d n e s so ft h r e el a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n a n db a s i sf u n c t i o n s c o n s t r u c t i o n i nt h i sp a p e r ，w ec h o o s e12 p o i n t s ：t h em i d d l ep o i n ta n dt h e t w op o i n t st h a ti ss y m m e t r i c a la b o u tt h em i d d l ep o i n to ne v e r ye d g e h o wd ow ec h o o s et h e t e np o i n t sf r o mt h eg i v e n12p o i n t ss ot h a tt h et e np o i n t sc o n s t r u c tp p s n ? f o rt h i sp r o b l e m ， w ef i r s t l yg e tt h el a wh o ww ec h o o s et h ep p s nf r o mt h ec o m p l e t en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n , a n d t h e np r o v ei tb yu s i n gt h es u p e r p o s i t i o ni n t e r p o l a t i o nm e t h o d t h e n ，f o rt h e s ep p s n ，b a s i n g o nt h ei d e ao fs u p e r p o s i f i o ni n t e r p o l a t i o na n dt h r e ee l l i p t i c a lo f c h a p t e ri i i ，w ec o n s t r u c tt h e c o r r e s p o n d i n gb a s i sf u n c t i o na n di n t e r p o l a t i o nf o r m u l a a tl a s t , w ec h o o s ed i f f e r e n tp p s n a n dd i f f e r e n ti n t e r p o l a t e df u n c t i o n ，d ol o to fn u m e r i c a le x p e r i m e n t st ot e s tt h ee r r o r t h e n o b t a i ns o m ec o n c l u s i o n s ，i ti sn o tm a t t e rf o rt h ee r r o rt h a tc h o o s i n gd i f f e r e n tp p s n f o r e x a m p l e f u r t h e r m o r e ，w er e s e a r c hr e l a t e di s s u e s o i l g e n e r a lq u a d r i l a t e r a la n do b t a i n s i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e sc o m p a r e dt or e c t a n g l ea n dt h ef u t u r ew o r k k e yw o r d s ：k a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ；p p s n ；b a s i sf u n c t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目!丝旦! 兰三墨兰塑竺笪三竺兰皇塑丝皇二些塑垫 作者签名： 叠竺窒日期：兰竺竺降1 月生日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 彰珊文招储黾，些词礼 日期：逍年j 月土日 日期：掣年j 月上日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1多元多项式插值适定性研究 多项式插值问题作为计算数学中的一个基本问题，有着悠久的历史。我国早在隋朝 就由数学家刘焯( 公元5 4 4 6 1 0 年) 首先提出了等距结点内插公式，而后唐朝数学家张 逐( 公元6 8 3 。7 2 7 年) 提出了不等距结点内插公式【1 】，这比西欧学者在1 6 5 5 年发表的相 应结果早了一千多年1 2 。对于一元插值问题而言，由于长期的发展已经建立了十分完善 的理论体系。而多元插值虽然研究较早，但是发展缓慢，直到近二三十年随着它在应用 中的大量需要，比如多元函数的列表，曲面的外形设计和有限元法等，才使得有关多元 多项式插值的理论与方法的研究，在近二、三十年中迅速发展起来。 一元插值的理论与研究已经十分完善，而多元多项式插值由于其定义域是多维空 间，因而具有比一元多项式插值更为复杂的性质。在一元多项式插值中，单项式按序是 唯一排列的，并且根的个数由多项式的次数唯一确定。而在多元多项式插值中，这些性 质则不再具备，由此导致了在进行多元多项式插值时，即便插值结点数等于插值空间的 维数，也未必能保证多元插值多项式的唯一存在性。因此，在进行多元多项式插值时， 一个首先必须解决的问题就是多元插值的适定性问题。目前，国内外对这一问题的研究 大体上有两个方向：一是针对于给定的插值多项式空间，去构造出适定的插值结点组， 也就是构造出是插值多项式唯一存在的插值结点组；二是针对给定的插值结点组，去构 造出适定的插值多项式空间，并且这个多项式空间是在给定结点组上插值适定的所有多 项式空间中次数最低者，这将有利于提高插值多项式的代数精度。国外的一些学者，比 如：d e b o o r ，r o n 和t s a u e r 等人都对第二个方向进行了研究，而另外一些学者，比如 梁学章和x uy u a n 等人在第一个方向中有着深入的研究f 3 】o 本文就是对从第一个方向对 二元三次多项式在矩形上特定插值点的适定性进行研究。 多元多项式插值主要分为l a g r a n g e 插值，h e r m i t e 插值，b i r l d a o f f 插值等，由于本 论文主要研究的是l a g r a n g e 插值问题，故对其他插值问题的描述不详细给出，感兴趣的 读者可以查看相关文献【3 卜【7 1 。 多元l a g r a n g e 插值中适定性问题研究最深入的就是二、三元多项式插值，另外代数 流形上的多项式插值的适定性问题我的导师张洁琳教授曾深入研究过。下面我们分别对 这三个方面在插值适定结点组构造的研究成果进行一个大概的介绍。 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的一些研究 1 1 1 二元多项式插值适定性研究的发展 多元多项式插值的研究正是从二元开始的。关于二元多项式空间构造插值适定结点 组的课题，相对多元插值的其他研究方向，已经有了相对成熟的结论了。 1 9 4 8 年，r a d o n 就提出了构造二元多项式空间上插值适定结点组的添加直线法【引， 使得我们可以用二元n 次多项式空间上的插值适定结点组来构造二元n + 1 次多项式空间 上的适定结点组，从而我们可以从一点出发去构造任何次数的二元多项式空间里的插值 适定结点组。这种方法的意义在于把多元l a g r a n g e 插值的适定性问题转化为几何问题。 但是缺点在于构造高次的适定结点组速度过于缓慢。 1 9 6 5 年，梁学章提出了构造r 2 中插值适定结点组的新方法【9 】，r a d o n 的添加直线 法是该方法的一种情况，另一种情况可以叫做构造适定结点组的添加圆锥曲线法，后者 允许我们从二元1 1 次多项式空间上的适定结点组出发去构造二元n + 2 次多项式空间上的 适定结点组。添加直线法和添加圆锥曲线法结合起来用，就能更加快捷地得到我们所需 要的适定结点组。 1 9 9 8 年，梁学章和吕春梅进一步研究了r 2 中的l a g r a n g e 插值i 口- j 题【l o 】，提出了沿平 面代数曲线插值的基本概念，并给出了利用直线与一个任意k 次代数曲线相交来构造沿 平面代数曲线插值适定结点组的方法。我们可以称该方法为构造沿平面代数曲线插值适 定结点组的添加直线法。另外这篇文章结合沿平面代数曲线插值把添加直线法和添加圆 锥曲线法推广到更一般的情形，我们可以用二元n 次多项式空间上的适定结点组加上沿 一n + k 次二元代数曲线上的适定结点组得到二元n + k 次多项式空间上的适定结点组。我 们可以称其为添加代数曲线法。 2 0 0 1 年，梁学章和崔利宏进一步研究了沿平面代数曲线插值【1 1 】，提出了构造沿平 面代数曲线插值适定结点组的添加曲线法。 我们把上述这些方法统称为构造各种二元多项式空间上适定结点组的添加法，并称 将这些方法循环使用和综合使用构造全新适定结点组的方法为叠加法。这也是本文主要 用到的方法。 1 1 2 三元多项式插值适定性研究的发展 三元多项式插值，也就是r 3 中的多项式插值，在许多实际应用中都常常被涉及到， 比如曲面拼接、散乱数据插值与拟合等。最近十年在三元多项式插值适定性方面有了比 较大的发展。 大连理工大学硕士学位论文 2 0 0 1 年，梁、吕等人将二元多项式插值上的一些定义、引理推广到三维空间【1 2 】， 并类似二元的情形提出了构造三元多项式空间插值适定结点组的添加代数曲面法，也提 出了构造沿代数曲面插值适定结点组的添加平面法。 2 0 0 3 年，崔在他的博士论文中进一步研究了沿代数曲面和空间代数皓线上的 l a g r a n g e 插值问题【1 3 】，在这篇文章中，崔先给出了两个代数曲面充分相交的概念，然后 给出了关于代数曲面和空间代数曲线上插值适定结点组的构造定理，分别是构造沿代数 曲面插值适定结点组的添加代数曲线法，和构造沿空间代数曲线插值适定结点组的添加 代数曲面法。 除了梁和其学生在添加法方面的工作，国外学者x uy u a n 用因子分解的方式构造了 单位球面上的插值适定结点组【1 4 1 ，思路新颖。另外在他的另一篇文章中【15 1 ，他也给出了 单位圆盘和单位球面上的插值适定结点组之间的联系和转换方式。 1 1 3 流形上多项式插值适定性研究的发展 对于n 维空间中代数超曲面和代数流形上的l a g r a n g e 插值，国内外不少学者也做出 了不少的成果。 1 9 8 1 年，m y s o v s k i k l 雌p 提出了构造n 元多项式空间上插值适定结点组的添加超平 面法【1 6 1 。 后来到了2 0 0 0 年，梁和吕研究了c “中代数簇上的插值适定性问题【1 2 】，得到了构造 沿超曲面上的插值适定结点组的添加超平面法，随之得到了构造1 1 元多项式空间上插值 适定结点组的添加超曲面法，这种方法可以看做是m y s o v s k i k h , i p 的添加超平面法的推 广。 梁和吕的研究所针对的代数簇只是由一个超曲面和若干个超平面组成，而一般情况 下在由一些超曲面构成的代数簇上插值则是个非常复杂的过程，在这方面，我的导师曾 在其博士论文中做过深入的研究【1 7 1 。在文章中，张首先给出了n 维空间中s ( 2 s 玎) 个 代数超曲面充分相交的概念；接着利用倒插分算子证明了在充分相交的代数流形上插值 适定结点组的性质及判定条件，以及构造沿代数流形上插值适定结点组的叠加插值法； 最后，文章又将代数几何中著名的c a y l e y b a c h a r a c h 定理推广到n 维，并将其扩展。 1 2 本文的研究背景和主要工作 多元多项式插值现在在很多学科中都有着深刻的应用，其中就包括有限元。我们都 知道通常情况下用有限元法去近似求解s t o k e s 方程时，非协调元因其稳定性而备受青睐， 特别是四边形非协调元，其中最基础的工作之一便是非协调单元上的插值函数的构造。 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的一些研究 韩国学者s h e e nd w 进行非协调四边形元研究时【1 3 】，曾经在数值实验中发现了一 种现象：在平面矩形上选取位置较特殊的1 2 个点，即各边中点以及各边关于中点对称 的两个点，从这1 2 个点中选出二元3 次多项式空间的插值适定结点组时，如果选择不 当，会造成插值结点组的不适定。对于这种现象，他当时并没有进行严格的理论推导和 证明。 本文便是从这里入手，开始了我们的工作： 首先我们用m a p l e 做了完整的数值实验，得到了从矩形上这1 2 个特定插值点中如 何选取才能保证结点组适定的规律。 然后我们以坐标变换为工具，构造了3 个椭圆，每个椭圆都过矩形上1 2 个点中的8 个点，接着利用这些椭圆，我们将二元多项式空间中构造插值适定结点组的添加直线法 和添加圆锥曲线法结合起来使用，证明了得到的规律。 进一步我们利用添加法的思想对得到的适定结点组构造了l a g r a n g e 插值基函数及 插值多项式，最后我们做了几个数值实验，用得到的插值多项式来逼近各类连续函数， 并比较误差来测试其逼近效果。 1 。3 论文的组织结构 第二章里面我们介绍一些预备知识，这些知识都是后面进行研究的基础。 第三章我们通过数值实验得到了从矩形上1 2 个点中得到适定结点组的规律，并用 叠加法对其进行了理论上的证明。 第四章对第三章中的得到的适定结点组构造了l a g r a n g e 插值基函数，然后做了几个 数值实验以分析其逼近效果。 其中第三章、第四章为作者主要创新工作。 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 在进行具体的工作前，需要介绍一些后面研究将要用到的基本知识。本章的主要内 容是介绍多元插值的基本概念，二元多项式插值在构造适定结点组方面的一些定理和方 法。 2 1 多元插值的基本概念 设dc 础是有界闭区域，q ，q 2 ，q d 是忌个互异的点，p ，( x ) ，扔( x ) ，见( x ) 是 定义于d 上的k 个线性无关的，2 元实值连续函数( 通常取为多项式) 。对于给定的 f ( x ) c ( d ) ，欲求实线性组合 p ( x ) = q p l ( x ) + c 2 p 2 ( x ) + + c , p k ( x ) ( 2 1 ) 满足插值条件 p ( q ) = 厂( q ) ，f = 1 ，2 ，k ( 2 2 ) 这种问题称为多元插值问题( 多元l a g r a n g e 插值问题) 。满足条件式( 2 2 ) 之p ( x ) 称 为函数f ( x ) 的广义插值多项式。f ( x ) 称为被插函数。误差函数 r ( x ) = 厂( x ) 一p ( _ c ) 称为插值余项。 插值条件式( 2 2 ) 中所有的点组 q ) ：。称为插值结点组。把p 。( 石) ，p 2 ) ，见( x ) 的 所有实系数线性组合所做成的空间毋称为插值空间。若对于任何的f ( x ) c ( d ) ，上述 插值问题式( 2 1 ) 一式( 2 2 ) 的解总是存在而且是惟一的，则称该插值问题是适定插 值问题，并称结点组 q ) ：。是空间口的适定结点组。 特别地，将上述 a ( x ) ) 取为聆元代数多项式，便导致最常用的多项式插值。本文的 主要内容是就二元多项式插值问题( 即n = 2 的情形) 来讨论的。 二元多项式插值与一元多项式插值既有联系也有区别，对于二元多项式插值特别要 注意插值结点组的选取问题。如果选得不好便会导致插值问题的不适定。例如在直线上 选取不同的3 个点做成的结点组关于插值空间 r 1 吧- t a j j x y o t + j x lj 进行插值，及在圆周上选取6 个不同的点做成的结点组关于插值空间 r 1 吧- t a o x 7 y 0 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的一些研究 进行插值，均构成不适定插值问题。故如何构造有关插值空间的插值适定结点组，是二 元多项式插值所要解决的主要困难之一。 2 2 二元多项式空间中的多项式插值 本节研究二元代数多项式插值的适定性问题。为描述方便我们用符号2 表示次数 不超过柳的二元实系数多项式空间，并且用符号e 肌来表示z 的维数，则= f 垅：2i 。 二 我们先给出2 上l a g r a n g e 插值适定结点组的定义： 定义2 1 【9 1 设皿： q ) 篙( - - 聊：2i ) 是r ：中的e m 个相异点。对于一个任意给定 二 ， 的实数组 z ) 2 ，寻找一个多项式p ( x ，y ) 2 1 ，使之满足如下插值条件： p ( q ) = z ，f = l ，e 。 ( 2 3 ) 如果对于每一个任意给定的实数组 ，) 篙，方程组( 2 3 ) 总存在唯一的一组解，则 我们称该插值问题是适定插值问题( 或称该插值问题是适定的或正则的) ，并称相应的 插值结点组皿为关于多项式空间2 ) 的一个插值适定结点组。 首先为了解决二元多项式插值的适定性问题，我们首先需要介绍一个经典的结论。 引理2 11 9 q 1 ) ：。是2 的适定结点组的充要条件是 q f ) 毛不落在2 中的任何一 条代数曲线上。 这个引理的重要性在于它把l a g r a n g e 插值的适定性问题转化为一个几何问题，使得 我们可以用几何的方法去构造适定结点组，这也是添加法的理论依据之一。 对于避2 ) 上的适定结点组的几何构造方法，我们首先介绍r a d o l l 在1 9 4 8 年给出的 构造二元多项式空间上适定结点组( 当时称为正则结点组) 的添加直线法【8 1 。取c 2 中任 意一点( 墨，m ) ，不经过此点做一个直线，在上选互不相同的两点( 恐，咒) 和( 为，弘) ， 则( 誓，以) ，i = 1 ，2 ，3 不在同一直线上。然后不经过( 葺，只) ，i = 1 ，2 ，3 再做一条直线如，并于如上 选取互不相同的三个点( x 4 ，儿) 、( x 5 ，弘) 和0 6 ，y 6 ) ，则这6 个点( 薯， ) ，f = 1 ，6 互不相 同，并且不同时落在一个2 次曲线上，可以证明这6 个点是关于破2 ) 适定的插值结点组。 这样的添加直线的方法可以一直做下去，从而得到更高次的使得插值问题适定的结点 组。见图2 1 6 一 大连理工大学硕士学位论文 q l ，。1 r r 图2 1 添加直线法 f i g 2 1 a d ds t r a i g h t - l i n em e t h o d 我们此时用的插值适定结点组的概念是梁于1 9 6 5 年给出的【5 】，并且在文章中进一步 给出了构造适定结点组的新方法。 定理2 2 1 9 如果 q j ) 篇是嘭2 的一个插值适定结点组，并且 q ) 暑中没有任何点位 于一个j 次不可约代数曲线q ( x ，y ) = 0 上( 尼= 1 , 2 ，七= 1 意味着q ( x ，y ) = 0 为直线；七= 2 意味着q ( x ，y ) = 0 为圆锥曲线) 。则在曲线q ( x ，y ) = 0 上任取( 聊+ 3 ) k - 1 个点与a = q f 刍 一起必定构成关于2 的一个插值适定结点组。 定理的证明由代数曲线论中的b e z o u t 定理和引理2 1 得至i j l l 9 。由这个定理，我们 得到了构造硝2 ) 的某一子空间插值适定结点组的添加直线法( 七= 1 ) 和添加圆锥曲线法 ( 七= 2 ) 。r a d o n 的添加直线法如果缩小r 2 上正是定理2 2 在k = 1 时的情形。下面我 们写出添加圆锥直线法的步骤( 见图2 2 ) ： 第0 步，在r 2 上任取一点q 1 作为结点。 第1 步，在r 2 上任做一条二次不可约曲线五( 可以是椭圆、双曲线或抛物线) 不通 过q 点，在其上任选5 个互不相同的点作为新增加的结点。 第n 步，在r 2 上任做一条二次不可约曲线l 不通过前面已经选好的点，在其上任 选4 n + 1 个互不相同的点作为新增加的结点。 当第n 步完成时所得到的结点组记为，根据定理2 2 ，显然哆。是蟛的适定结 点组。 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的一些研究 另外添加直线法和添加圆锥曲线法可以综合起来使用，这样我们要得到一个适定结 点组的话就可以组合出许多方法。以后为了方便地表明一个适定结点组的添加过程，我 们用数字加法来表示。 例2 1对于硝2 ) 的适定结点组月，月中包括1 0 个结点，如果我们用1 + 2 + 3 “来 表示，说明只是由叠加直线法( 就是不断地使用添加直线法) 得到的( 见图2 3 ) ；如 果我们用1 + 2 + 7 表示，说明月是先用添加直线法，再用添加圆锥曲线法得到的( 见图 2 4 ) ；如果我们用1 + 5 “表示，说明只是先用添加圆锥曲线法，再用添加直线法得到 的( 见图2 5 ) 。另外，因为西2 ) 的最高次数是奇次，所以无法用叠加圆锥直线法得到。 图2 2 添加圆锥曲线法 f i g 2 2 a d dc o n i cc i i i v gm e t h o d 图2 4 f i g 2 4 i + 2 + 7 1 + 2 + 7 图2 5 1 + 5 + 4 f i g 2 5 1 + 5 + 4 我们用定理2 2 来构造2 上的插值适定结点组，每次添加代数曲线的次数最大是 2 ( 添加圆锥曲线法) ，那么有没有每次添加k ( k z ，k 2 ) 次代数曲线的方法呢? 答案 是有的，具体内容我们将在下节给出。 大连理工大学硕士学位论文 2 3 沿代数曲线上的多项式插值 1 9 9 8 年，梁和吕提出了沿平面代数曲线进行二元l a g r a n g e 插值的基本概念，并将定 理2 2 中所给出的构造二元l a g r a n g e 插值适定结点组的添加直线法( j j = 1 ) 和添加圆锥 曲线法( 忌= 2 ) 推广到了添加任意次( k 3 ) 代数曲线的情形。 定义2 2 设妫自然数，e m ( 尼) 定义如下： c 后，= ( 聊三2 ) 一( 聊+ 主一七 = 三( 所+ 1 ) ( 聊+ 2 ) ，脚 - k - 2 ) ，并且有条 件毋n c = a 。则有： 圆u c = 器( g ) 此定理可以解释为构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加直线法。构造的具体 步骤如下： 第0 步，在k 次无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = 0 上任取一点g 作为结点。 第1 步，在r 2 上任做一条直线f 1 不通过q 1 点，但与q ( x ，y ) = 0 相交于k 个不同的点， 将这k 个点作为新增加的点。 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的一些研究 第n 步，在r 2 上任做一条直线乙不通过前面已经选好的点，但与q ( x ，少) = o 相交于 k 个不同的点，将这k 个点作为新增加的点。 当第r l 步完成时所得到的结点组记为圆，根据定理2 3 ，显然毋是沿q ( x ，y ) = 0 的n 次适定结点组。如果我们设q ( x ，y ) = 0 为一椭圆，则图2 6 展示的就是前三步的情况。 图2 6 椭圆上的添加直线法 f i g 2 6 a d ds t r a i g h t l i n em e t h o do i lt h ee l l i p s e 2 0 0 1 年，梁和崔进一步给出了构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加曲线法。 定理2 4 【1 l 】假设一个k 次无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = o 和一个，次无重复分量代 数曲线p ( x ，y ) = o 恰相交于肼个互不相同的点，记为c = 龟) ：，。如果毋= f 。o 。，v ，- ，( k ) 且 圆砰( g ) ( 聊k - 2 ) ，并且有条件仍n c = o 。则有： b u c = 躺( g ) 利用沿平面代数曲线的插值适定结点组的概念和构造方法，梁和吕得到了构造二元 l a g r a n g e 插值适定结点组的添加任意次代数曲线的定理。 定理2 5 【1 0 】设结点组月= q ) 篇是2 的插值适定结点组，并且月中没有任何点 位于k 次无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = 0 上。对于任何插值适定结点组d 职( g ) ，则 d u 月必定构成砭冀的插值适定结点组。 此定理可以解释为构造二元多项式空间插值适定结点组的添加代数曲线法。显然定 理2 2 中所给出的构造插值适定结点组的添加直线法和添加圆锥曲线法就是定理2 4 中 当k = 1 和k = 2 时的特例。 大连理工大学硕士学位论文 有了添加代数曲线法，例2 1 中的喀2 的适定结点组的构造方法又多了一种：1 + 9 即添加一个沿三次代数曲线上的适定结点组。这三次代数曲线的要求是无重复分量，则 既可是一条三次不可约代数曲线，也可是一条二次代数曲线乘以一条直线，也可是三条 直线的乘积。 ；f a g 理工大学硕士学位论文 3 矩形上3 次插值结点组的适定性研究 矩形上插值点的适定问题的研究在实际应用中有着重要的意义，比如在有限元中的 非协调四边形元中，基础的工作之一便是构造非协调单位元上的插值函数，而要构造关 于插值结点组的插值函数，自然要先研究插值点的适定性问题。本章的主要工作是对矩 形上一类特定插值结点组的适定性进行研究，并得到如何选择插值点使得结点组适定的 规律，最后用叠加法的思想证明该规律。 3 1问题的引出 在四边形元的插值函数的研究中，经常会遇到这样一个问题：在矩形上如何选择插 值适定结点组? 出现这个问题的原因是因为，如果我们选择不当，可能导致插值结点组 的不适定。 韩国学者s h e e nd w 在进行研究时【1 8 】，就发现了这样的情况。选取矩形上这样的 1 2 个点，即各边中点及各边关于中点等比例对称的两个点，从中选取1 0 个点作为硝2 ) 的 插值适定结点组，如果选择不当，比如过1 2 个点中去掉的两个点的直线如果平行于对 角线，则1 0 个点不适定。下面我们具体的说明这个问题。 不失一般性，在直角笛卡尔坐标系上o x y 上给定这样一个矩形，矩形的对角线交点 为坐标系o x y 的坐标原点，并且矩形各边中点都位于坐标轴上，分别记为q 2 ( - a ，0 ) ， q 5 ( o ，- b ) ，q 8 ( 口，0 ) ，q 1 ，( o ，b ) ，四条边所在直线从左逆时针设为l o = 0 ，= 0 ，如= 0 ，毛= 0 。 ( 见图3 1 ) j 勘；。，。，9 兮o。 岛 电l 易韧o g z = oq b ( 1 ，o 乙 码 ， ， 】q r 钆。 岛 每7 图3 1 矩形及点的分布 f i g 3 1 t h er e c t a n g l ea n dt h ed i s t r i b u t i o no fp o i n t s 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的一些研究 各边按定比例口：里掣：坦魁再选择关于中点对称的两个点，由此得到1 2 个点 da 月= q ) 警，坐标分别是 q 1 ( 一a ，a b ) ，q ( - a ，0 ) ，q ( - a ，一e t b ) ， 幺( 一o t a ，- b ) ，q 5 ( 0 ，一6 ) ，级( a a ，一6 ) ， 9 ( 口，一o r b ) ，q 8 ( 口，o ) ，q 9 ( 口，a b ) ， q l o ( e t a ，6 ) ，q 1 1 ( 0 ，6 ) ，q 1 2 ( 一a ：口，6 ) 这1 2 个点便是我们所要特殊选取的点。由定义1 得知a i m ( 彰) = i 。- 。l = 1 0 ，显然 ，气、 二， 这1 2 个点不是p 1 2 的适定结点组。于是便有了我们的问题： 问题3 1这1 2 点中是否存在西2 的插值适定结点组? 若存在，是否任意去掉2 个即可? 如果不能任意去掉2 个点，那么该如何选择? 对这个问题进行解答并且证明便是本章的主要内容。 3 2 插值适定结点组分布规律 为求问题3 1 的结论，我们首先用数值计算的方法进行验证。 验证的方法如下： 不妨设任意去掉两个点后剩余十个点为 g ，) 竺。，记为q ，= ( 一，y j ) ，设一个二元三次多 项式为 p ( x ，y ) = a o + 口1 x + a 2 y + a 3 x 2 + 口4 x y + a 5 y 2 + a 6 x 3 + 口7 x 2 y + a s x y 2 + a 9 y 3 ( a i r ) 根据定义1 ，如果 毋驾适定，则对任意给定的实数组 z ) i ，= o 。，方程组( 2 3 ) 总存在 唯一的一组解，即等价于在这1 0 个点上范德蒙德矩阵非奇异，也就是如下矩阵 f 1x a m 五2 而乃 咒2x a 3x i 2 y l 五m 2m 3 1 i 1x 2 咒x 2 2 而虼疗恐3 # 咒恐疗疗l l i l 1x a o 乃ox a 0 2x a o y l o 2x a 0 3 五0 2 m o 五o m 0 2m 0 3 的行列式非零。 大连理工大学硕士学位论文 我们用上面的方法对1 2 个点中的1 0 个点进行验证，由于矩形的对称特性以及我们 所选取的插值结点的对称特性，我们需要验证的情况并不多，下表列出了我们用m a p l e 所验证的情况以及结果。 表3 1 适定性验证 t a b 3 1p o s e d n e s st e s t 去捧的点的下标系数矩阵的行歹n 式是否为适定结点缝 1 ，2 1 2 8 a l o b l o 口9 ( 1 一口2 ) 3 是 1 ，3 一1 2 8 a l o b l o 口9 ( 1 - o r 2 ) 2 是 1 ，4 - 1 2 8 a l o b l o 口9 ( 1 - o r 2 ) 2 是 l ，5 1 2 8 a l o b l o 口9 ( 1 - c r 2 ) 3 是 1 ，60否 1 ，70否 1 ，8 - 1 2 8 a l o b l o 口9 ( 1 - c r 2 、3 是 1 ，9 一1 2 8 a l o b l o 口9 ( 1 - a 2 ) 2 是 1 ，1 11 2 8 a bo 口9 ( 1 - o r 2 ) 3是 1 ，1 2 0 否 2 5 0 否 2 ，80否 因为我们所选取的矩形的一般性和验证的全面性，我们从中的可得到下面的结论。 结论3 1 设矩形和结点组月= q ，攫，都如图1 所示，在点组中任选两个点纹，g ， 并设过此两点的直线为，= 0 ，如果直线，= 0 平行于矩形对角线之或者，= 0 过对角线交 矩形上3 次l a g r a n g e 多项式插值的些研究 点即坐标原点织则结点组月去掉g ，酝后剩余十个点一定不是2 的插值适定结点组， 若不然则剩余十个点必定是2 的插值适定结点组。 3 3 用多元插值理论证明该规律 结论3 。l 的得出是透过数僮实验得到的，并没有严格的理论证明。本节将利用多元 多项式插值相关理论来证明结论3 1 。在证明中，我们主要用到的就是预备知识中着重 介绍的叠加插值法。 首先来确定一下进行叠加插值的思路。我们要构造的是西2 ) 的插值适定结点组，对 于这一点，例2 1 中曾详细的分析过，叠加的思路有四种：l + 2 + 3 “、l + 5 “、1 + 2 + 7 、 1 + 9 。根据分析，前两种叠加法，最后添加的匿个点必须位于一条直线上，这样的誊线 显然在我们的取点情况下是不存在的，所以可以采用后两种方法，在本文证明中我们采 用第三耪方法，至于最后一种，完全可以由第三种方法推导出来( 1 + 2 + 7 中过2 个点的 直线和过7 个点的圆锥曲线相乘就是3 次代数曲线) 。 既然确定了l + 2 + 7 的叠加插值法思路，就必须要构造一些至少过1 2 个点中7 个点 的圆锥曲线。事实土我们完全能够构造如过矩形上7 个点的椭圆，过程如下： 首先为辅助计算，我们以矩形对角线为坐标轴建立斜交笛卡尔坐标系o x y ( 如图 3 1 所示) ，壶此建立两个坐标系之闻的坐标转换公式。设o x y 的两个坐标辘单位向量 分别为e x ，g ，同理，o x y 。上的单位向量分别为p ，p y ，并且气在o x y 中的长度为l ， 则可以得蜀 气= 竺岛+ 鱼e ，e y = 一旦q + 鱼e ， ( 3 2 ) 气= ：岛+ ：，。一孑q + j 髟 。土z 其中c ；口2 + b 2 。 反之有 e x - 云一云72云q+万cey e ye ， ( 3 3 ) 五咯一云2 五q + 万e y 。 设一点在鲫坐标系下表示为( 墨y ) ，在酝y 坐标系下为 ：罗| ) ，则毒上述式子可 得 ( ；： = 至2a孙2b(yxc c i 1 ， 2 a2 b1 ( 3 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 简单计算即得十二个点在o x y 坐标系下的对应表示： q ( ( 1 一毗1 + 训， 幺( 一乏( 1 删，一哥删， q ( 詈( 1 一口) ，一詈( 1 + 口) ) ， q 1 。( 詈( 1 + 口) ，导( 1 一口) ) ， q ( - 罚， q 5 ( 三，一c “噬，一三c ) ， 鸟t 噬，争 q 3 7 ( _ 三( 1 + 口) ，兰( 1 一口) ) ， q 6 ( _ 丢( 1 一口) ，一丢( 1 + 口) ) ， q 9 ( 1 + 咄一三c ( 1 一训， q l z 噎( 1 一口) ，乏( 1 + 口) ) 经观祭不难发现在o x y 坐标系f ，1 2 个点具孺很强的对称住，不妨把1 2 个点分成3 组：人，= q 3 ，q 4 ，q 9 ，q 。) ，人：= q 1 ，q 6 7 ，q 7 ，q 1 ：7 ) ，人。= q 2 7 ，q 5 ，q 8 ，q l ，) 。则满足过 七个点的椭圆方程在坐标系o x y 下必然是标准方程，而且这样的标准椭圆只要过人，7 中 任一点，则必过人。中其他3 个点。为了方便，我们记代数曲线， ，y ) = 0 为z = 0 ，设过 g ，q 的椭圆方程为彳= 0 ，过q7 ，珐的椭圆方程为石= 0 ，过鸟，q 的椭圆方程为 石= 。，且设z 7 = 。( i = 1 , 2 , 3 ) 的表达式为熹+ 芳一l = 。( i = 1 , 2 , 3 m ) ，其中( x 7 ，y ) 表示在 一脆一 仇t y 坐标系下的点。将对应点坐标代入善+ 乓一1 ：o o ：1 ，2 ，3 ) ，便可以得到3 个椭圆 m in i 方程： 彳= 玉兰孝竖三+ 蔓三二孝字z 三一1 = 。， 石, = ( 2 丁- a ) x 2 + 三孝竺兰一1 = 。， 爿= 击( x 吃+ y 吃) 一1 = 0 j3 c 2 ( 1 + a 2 、“，7 一。 然后利用坐标转换公式( 3 4 ) ，便可以得到上述三个椭圆在直角坐标系叻下对应的方 程： = 0 ， = 0 ， = 0 叼曲叼曲州 + 一 矿铲矿 + + + 一矿f一矿，一矿 = = l i 石 左 五 矩形上3 次ia g r a n g e 多项式插值的一些研究 并记人，7 ( 扣l ，2 ，3 ) 在o 巧坐标系下对应