（系统理论专业论文）可积系统与混沌系统中若干问题的符号计算研究.pdf

2 0 11d o c t o rt h e s i s 删 s c h o o lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：5 2 0 815 0 0 0 0 2 i l l a c 正n an r m a lu n 姗r s v s t u d yo ns o m ep r o b l e m so f i n t e g r a b l es y s t e m sa n dc h a o t i c s y s t e m sw i t hs y m b o l i c c o m p u t a t i o n d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s o f t w a r ee n g i n e e r i n gi n s t i t u t e s y s t e mt h e o r y s u b j e c t ： n o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lp h y s i c s a n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n t u t o r ：p r o f c h e n y o n g a u t h o r ： y a n gy u n q i n g 2 0 11 4 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文可积系统与混沌系统中若干问题的符号计 算研究，是在华东师范大学攻读硕士博孟( 请勾选) 学位期间，在导师的指导 下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名 e l 期：矽，c 年捐拥 华东师范大学学位论文著作权使用声明 可积系统与混沌系统中若干问题的符号计算研究系本人在华东师范大学 攻读学位期间在导师指导下完成的硕士璃左( 请勾选) 学位论文，本论文的研究 成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学 位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论 文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检 索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制 学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文水， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 矿2 不保密，适用上述授权。 翩签名唰扣i 。 本人签名：- l 血 ? p ，年f 月镅 木“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会 审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审 批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不 填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。 杨云青博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 朱佐农教授上海交通大学i 蒜 黄国翔教授华东师范大学 李志斌教授华东师范大学 曾振柄教授华东师范大学 张大军教授上海大学 摘要 基于符号计算，本文研究了非线性系统中可积系统与混沌系统中的若干问题， 工作主要分以下两个部分：一、分别从延拓结构方法、r i c c a t i 型伪势与b e l l 多项式 三个方面研究了非线性发展方程的可积性质：l a x 对、自b i i c l d u n d 变换、守恒律、 奇异流形方程与双线性形式等，并开发了计算非线性发展方程双线性形式的一个 程序包；二、构造了分数阶的l o r e n z 标准型与一个新的四维混沌系统，并给出了 它们的数值模拟。 第一章，介绍了本文所研究内容的理论背景与发展现状，其中包括非线性系 统的可积性、延拓结构理论、符号计算与混沌系统。 第二章，改进了延拓结构理论并将其应用于q i a o 方程，得到了该方程的两个 势与两个伪势，从中得到了新的反散射谱问题、l a x 对与无穷多守恒律。将延拓 结构理论扩展至忮系数非线性发展方程，并应用于变系数k d v 方程，得到了变系 数k d v 方程的l a x 对与p f a f f i a n 形式。 第三章，构造了广义五阶k d v 方程的r i c c a t i 型伪势，得到了广义五阶k d v 方 程在该条件下的l a x 对与奇异流形方程。在三种条件下，得到了广义五阶k d v 方程 的新奇异流形方程与自b i i c l d u n d 变换，其中c d g s k 方程、l a x 方程与k k 方程分 别包含在这三种情况之中。 第四章，基于b e l l 多项式，构造了得到非线性发展方程的双线性形式的机械 化算法，并在m a p l e 上给出了算法实现程序包。该程序包首先将非线性方程进行无 维化，然后将无维化后的方程表达成p 多项式的线性组合，从而给出其双线性形 式。并以实例验证了该算法的有效性和可靠性。 第五章，构造了分数阶的广义l o r e n z 标准型与一个新四维混沌系统，分析 了其动力学性质，并给出了数值模拟。通过选择不同的参数可以分别得到分 数阶的经典l o r e n z 系统、c h e n 系统、l n 系统、s h i m i z u m o r i o k a 系统与双曲型广 义l o r e n z 系统。 第六章，对全文的工作进行了总结和讨论，并对下一步工作进行了展望。 关键词：可积系统、延拓结构、伪势、l a x 对、守恒律、自b l i c k l u n d 变换、 b e l l 多项式、双线性形式、分数阶混沌系统。 a b s t r a c t b a s e do ns y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，s o m ep r o b l e m so fi n t e g r a b l es y s t e m sa n dc h a o t i c s y s t e m si nn o n f i n e a rs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d t h e r ea r et w om a i np a r t si nt h i sd i s s e r t a t i o n ：1 s o m ei n t e g r a b l ep r o p e r t i e so fn o n l i n e a re q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e dw i t hh e l po f t h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r em e t h o d ，r i c c a t it y p ep s e u d o p o t e n t i a l sa n db e l lp o l y n o m i a l s t h e s ep r o p e r t i e si n c l u d el a xp a i r s ，a u t o b i i c l d u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，c o n s e r v a f i o nl a w s ， s i n g u l a r i t ym a n i f o l de q u a t i o n s ，b i l i n e a rf o r m sa n ds oo n am a p l ep a c k a g et oo b t a i nt h e b i l i n e a rf o r m so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sd e v e l o p e d ；2 af r a c t i o n a l o r d e r g e n e r - a l i z e dl o r e n zc a n o n i c a lf o r ma n dan e wf o u r - d i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e ma r ec o n s t r u c t e d a n d n u m e r i c a l l ys i m u l a t e d i nc h a p t e r1 ，a ni n t r o d u c t i o ni sd e v o t e dt or e v i e wt h eb a c k g r o u n da n dt h ec u r r e n t s i t u a t i o nr e l a t e dt h ed i s s e r t a t i o n ，w h i c hi n c l u d e i n t e g r a b i l i t yo fn o n l i n e a rs y s t e m ，p r o l o n g a f i o ns t r u c t u r em e t h o d ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o na n dc h a o t i cs y s t e m i nc h a p t e r2 ，t h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et e c h n i q u ei si m p r o v e da n da p p l i e dt oq i a o e q u a t i o n t w op o t e n t i a l sa n dt w op s e u d o p o t e n t i a l sa r eo b t a i n e d , f r o mw h i c han e ws p e c t r a lp r o b l e mo fi n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ，l a xe q u a t i o n sa n di n f i n i t en u m b e ro f c o n s e r v e dl a w sa r eo b t a i n e d t h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r em e t h o di s g e n e r a l i z e dt ot h e v a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n da p p l i e dt ot h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t k d v e q u a t i o n ，f r o mw h i c hl a xp a i r sa n dp f a f f i a nf o r m so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n tk d v e q u a t i o na r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h er i c c a f i t y p ep s e u d o p o t e n t i a l so ft h eg e n e r a l i z e df i f t h o r d e rk d v e q u a t i o na r ed e r i v e d ，f r o mw h i c hl a xp a i r sa n ds i n g u l a r i t ym a n i f o l de q u a t i o n sc a nb e o b t a i n e d e s p e c i a l l y , n e ws i n g u l a r i t ym a n i f o l de q u a t i o n sa n da u t o b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sc a nb eo b t a i n e du n d e rt h r e ec o n d i t i o n s ，w h i c hi n c l u d ec d g s k e q u a t i o n l a x e q u a t i o na n dk ke q u a t i o n i nc h a p t e r4 ，b a s e do nt h eb e l lp o l y n o m i a l s ，am e c h a n i z a t i o n a l g o r i t h mi sp r o p o s e d t oo b t a i nt h eb i l i n e a rf o r m so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gi m p l e m e n t a t i o ns o f t w a r ep a c k a g ei nm a p l ei sd e v e l o p e d f i r s t l y ，t h ep a c k a g et r a n s f o r m st h e e q u a t i o ni n t oad i m e n s i o n l e s se q u a t i o n ，w h i c hc a nb ee x p r e s s e di nt h el i n e a rc o r n b i n a t i o n so fp - p o l y n o m i a l s ，t h e nt h eb i h n e a rf o r mo ft h i se q u a t i o nc a nb eo b t a i n e dd i r e c t l y t h e v a l i d i t ya n dr e l i a b i l i t yo ft h i sa l g o r i t h ma r ev e r i f i e db ys o m ee x a m p l e s i nc h a p t e r5 ，af r a c t i o n a l o r d e rg e n e r a l i z e dl o r e n zc a n o n i c a lf o r ma n dan e wf o u r - d i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e ma r ec o n s t r u c t e da n dt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e sa r ei n v e s t i g a t e d i na d d i t i o n ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n d i n t e r e s t i n gf i g u r e sa r ep e r f o r m e d b yc h o o s k e yw o r d s ：i n t e g r a b l es y s t e m ，p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e ，p s e u d o p o t e n t i a l ，l a xp a i r , c o n s e r v a t i o nl a w ，a u t o b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，b e l lp o l y n o m i a l ，b i l i n e a rf o r m ，f r a c t i o n a lc h a o t i cs y s t e m 1 v 3 1 r i c c a t i 型方程与可积性质3 1 3 2r i c c a t i 型伪势在广义五阶k d v 方程的应用3 4 3 3 本章小结4 3 第四章 4 1 4 2 4 3 4 4 第五章 5 1 5 2 5 3 b e l l 多项式及其在非线性系统中的应用 b e l l 多项式简介及与双线性导数的关系 构造非线性方程双线性形式的算法及其实现程序包 软件包p d e b e l l 的应用实例 本章小结 分数阶与四维混沌系统 分数阶微分简介 分数阶广义l o r e n z 标准型 一个新的四维混沌系统 v 5 5 9 3 7 9 9 o 6 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 3 9 3 9 7 3 3 4 7 7 7 第一章绪论弟一早珀了匕 2 0 世纪下半叶，非线性科学获得了前所未有的蓬勃发展。非线性科学是- - n 研究非线性共性的基础学科，被誉为2 0 世纪自然科学中的“三大革命之一”。科学 界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且具有广泛的应用背景。 事实上，这f - j 幂：4 学几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域，并且不断改变人们 对现实世界的许多传统看法。非线性科学的研究涉及对精确性和随机性、有序与 无序、偶然与必然、量变与质变、整体与局部等数学范畴和哲学概念的再认识。 一般说来非线性科学的主题包括：混沌、分又、分形、孤立子和复杂性的研究。 1 1 非线性系统的可积性 在非线性科学中，孤立子理论与可积系统在自然科学的各个领域起着非常重 要的作用 1 ，4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，2 3 。孤子理论不仅促进了传统数学理论的发展，同时也 表现出了非常广阔的应用前景，例如光孤子不改变其波形、波速，光纤孤子通信 具有失真小、保密性好等优点，对它的研究及应用吸引了人们越来越多的关注。 如今，孤立子已渗透到几乎所有的自然科学领域。激光、超导、晶格、位错、等 离子体、分子系统、生物系统、流体力学、地球科学、生命科学等许多学科分支， 都与孤立子有着密切的关系。而已有的研究显示，对于可积的非线性系统必然存 在着孤立波( 子) 解，因而可积系统的研究引起了物理学家和数学家的极大兴 趣。 目前，对于非线性系统的可积性还没有一个完全确定和统一的定义，所谓的 可积性只是在某种意义下的可积性。但这并不影响可积性研究丰富的数学内涵， 就如同人们目前为止不能给出什么是交响乐的定义一样，但并不影响人们对其的 热爱。通常，非线性系统具有以下几种意义的可积性标准： 1 l i o u v i l l e 可积 一个有限维动力系统的l i o u v i l l e 可积性是指系统中的方程能表示为h a m i l t o n 方 程，且存在个独立的相互对和的守恒量。2 0 世纪6 0 年代中期，对孤立子的研究 兴起，发现了为数众多的方程，尽管背景极不相同，却都被判明为l i o u v i l l e 完全 华东师范大学博士学位论文 第一章绪论 可积的。此外又知道，在小扰动下，虽然完全可积性被破坏，但原问题的不变环 面的一个大子集却被保留下来，组成一个复杂的具有正测度的c a n t o r 集，这就是 著名的k a m 理论。有人进一步证明【1 4 】，在w h i t n e y 可微意义下，扰动系统在上 述c a n t o r 集上仍是完全可积的。这样，造成1 9 世纪末叶以来对完全可积性的研究 停滞的原因不复存在。在一个新层次上，近年又开始了热烈的、忙碌的资料积累 过程：不过如j m o s e r 所指出，对可积系统本质的认识，还差得远 1 5 。 2 反散射( i s t ) 可积 可用反散射方法求解的非线性模型或系统称作该模型或系统是反散射可积的。 反散射方法是在1 9 6 7 年由c s g a r d n e r ，j g g r e e n e ，g d k r u s k a l 和r m m i u r a ( g g k m ) 首次应用于k d v 方程的 5 。此后人们又用这种方法求解其他一些非线 性偏微分方程，如非线性s c h r 6 d i n g e r 方程、s i n e g o r d o n 方程、b o u s s i n e q u e 方程、 t o d a 方程以及k p 方程等等 2 0 ，使其发展成为一种新的数学物理方法，通常称为 反散射变换方法( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mm e t h o d ，简称i s t 方法) 。方法的实质 是将非线性偏微分方程化成几个线性问题来处理，方法的基础是函数变换，由于 在求解过程中用至t j f o u r i e r 变换及逆变换，因此又称该方法为非线性f o u r i e r 变换。 长期以来，数学物理方法主要是处理线性偏微分方程问题，而对非线性问题 求解，则显得十分困难，因此一直没有一种系统的求解方法，这一局面由于反散 射方法的出现而有所变化。反散射方法与孤立子理论其他方面的数学问题有十分 密切的联系，将孤立子方程看成完全可积系统时，散射数据s t 是完全可积系统的 角变量与作用变量。将反散射方法看作非线性的f o u r i e r 分析，。它与b g c k l u n d 变换 中的非线性迭加原理互相呼应，就像一对孪生姐妹 1 5 。现在已看出，反散射方 法不但对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远的 影响。 3 l a x 可积 孤子方程有许多奇特的性质，其中最基本的性质是这些方程可以写成一对线 性问题的可积条件，称为孤子方程的l a x 可积。其实质是非线性方程或系统能够表 达成线性系统的相容性条件。l a x 对在孤子理论中具有十分重要的作用，基于方程 的l a x 对，通常可以用反散射方法或d a r b o u x 变换方法来构造非线性系统的孤子解 【1 6 ，1 8 】。r c o n t e 在【2 4 对l a x 对的阐述为： ”g i v e nap d e ，al a xp a i ri sas y s t e mo ft w ol i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s l a xp a i r s ：l i ( 以入) ，l 2 ( u ：入) d e p e n d i n go nas o l u t i o nu o ft h ep d ea n d ，i nt h e1 + 1 - d i m e n s i o nc a s e ，o na na r b i t r a r y c o n s t a n ta ，c a l l e dt h es p e c t r a lp a r a m e t e r ，w i t ht h ep r o p e r t yt h a tt h ev a n i s h i n go ft h e c o m m u t a t o r 【l a ，l 2 】i se q u i v a l e n tt ot h ev a n i s h i n go ft h ep d ee ( u ) = o ? 2 第一章绪论 华东师范大学博士学位论文 l a x 对可以表示为很多等价的形式，女e i l a x 表示、零曲率方程、s a t o 表示等等。 可积理论的一个基本问题是：对于给定的非线性偏微分方程，如何判别它为l a x 可 积，即寻找该方程的l a x 对，该问题的解决是非常困难的，迄今为止比较成功的方 法是h d w a h l q u i s t 和fb e s t a b r o o k 6 6 的延拓结构方法，但更多的人是凭直觉和 经验。这正是本文所研究的主要内容之一，后面将有具体介绍。 1 9 8 8 年，曹策问教授提出并发展了l a x 对非线性化方法【8 】。可积系统l a x 对非 线性化方法给出了一个从孤立子方程构造有限维可积系统( l i o u v i h e 意义下) 的 有力方法。其主要思想是通过找到谱问题中位势函数与特征函数之间的一种约束 关系，这种约束关系大部分来自于方程的对称，所以通常又称之为对称约束，将 这种约束带入原谱问题，可以将其约束成有限维h a m i l t o n 系统，并且可以证明该 系统在l i o u v i l l e 意义下是完全可积的。 4 p a i n l e v 6 可积 若一个非线性系统的一般解关于任意奇性流形的奇性都是极点型的，则 称该系统具有p a i n l e v 6 性质。若一个非线性系统具有p a i n l e v 6 性质，则称该系统 是p a i n l e v 6 可积的【2 ，3 ，9 。p a i n l e v 6 可积与反散射可积还存在着一定的联系，一般 认为p a i l l l e v 6 可积是反散射可积的充分不必要条件，臣p p a i n l e v 6 可积一定是反散射 可积的，但反散射可积并不一定p a i n l e v 6 可积，例如h a r r yd y m 不具有p a i r d e v 6 性 质 2 5 】，但是它是反散射可积的【2 6 。p a i n l e v 6 可积性的检验方法有w t c ( w e i s s t a b o r - c a r n e v a l e ) 方法【9 】、a r s ( a b l o w i t z ? r a m a n i s e g u r ) 方法【2 】、k r u s k a l 简化 法 1 0 、c o n t e 的不变展开法【11 】、p i c k e r i n g 的推广法【1 2 】和楼森岳教授的一般推 广方法【1 3 】。 5 对称可积 若非线性系统具有无穷多相互对易的k 对称和无穷多可以构成无限维v i r a s o r o 代数的7 对称，则称该系统是对称可积的【1 9 1 。在很多情况下，具有无穷多对称的 对称可积系统同时具有无穷多守恒律。 6 c 可积 c 可积的定义是ec a l o g e r o 【2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 】等对非线性偏微分方程提出的。 若非线性偏微分方程可以直接积分求得一般解或经过合适的变量变换线性化，则 称为其是c 可积的。而且将这些变换作用于一大类线性方程，可获得一大类c 可积 非线性方程。ec a l o g e r o 提出了两种可积，即c 可积与s 可积。s 可积是指可用谱变 换技术可解的非线性偏微分方程，等价于反散射方法可积。c 可积比s 可积更加严 格，也就是说若一个非线性偏微分方程是c 可积的，则其一定也是s 可积的，反之 则不一定成立 2 7 。c 可积与其他可积性质存在着重要联系，李翊神教授曾探讨 过c 可积方程的h a m i l t o n 结构、守恒量、对称及其李代数结构 3 2 。 此外，还有其他意义的可积性，如具有d a r b o u x 变换和b i i c k l u n d 变换意义下 3 第一章绪论 1 2 延拓结构理论介绍 非线性数学物理在过去几十年的发展中表明非线性发展方程存在着非常丰富 的数学结构，尤其是可积系统有着许多数学特征，诸如，可用反散射方法求解， 存在着l a x 对、b i i c k l u n d 变换、双h a m i l t o n i a n 结构、递归算子与无穷多守恒律等。 检验方程是否可积的一个有效方法就是h d w a h l q u i s t 和f b e s t a b r o o k 6 】6 ( w - e ) 的延拓结构方法，该方法是微分几何在非线性数学物理中的重要应用之一。延拓 结构理论不仅适用于大量的非线性发展方程，而且由它能比较自然地推广到高维 空间中去，因此，在这方面它比反散射方法具有更大的优越性，而且这种微分几 何法有可能成为反散射方法的理论基础。下面简单介绍延拓结构理论的发展历 程。 1 9 7 5 年，w - e 【6 基于外微分形式与李代数的表示论建立了偏微分方程的延 拓结构理论，引入了伪势的概念，并将此方法应用于k d v 方程，得到了k d v 方程 的l a x 对、b i i c k l u n d 变换以及无穷多守恒律。1 9 7 6 年，他们进一步研究了该方法 7 ，其中给出了多重伪势的应用，并以非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的双重伪势为例给 出了其双重b i i c k l u n d 变换。他们指出，非线性发展方程的延拓结构等价于一不完 整的李代数结构，并且该李代数结构有可能是无限维的。为给出该不完整李代数 的表示，他们采用强封闭方法得到一有限维的李代数，从而给出该李代数的表示。 1 9 8 0 年，w es h a d w i c k 从理论上证明了k d v 的延拓结构可以为无穷维李代数 4 2 。 h c m o r r i s 则将w e 的延拓结构理论从1 + 1 维情形推广到了1 + 2 维情形【3 5 。 1 9 7 6 年，j c o r o n e s 基于w - e 理论定义了一种简单形式的伪势【3 4 ，并给出用 传统方式构造这种伪势的方法。当用这种方式构造h i r o t a 方程的简单伪势时，他发 现简单伪势存在的必要条件恰好与h i r o t a 方程存在礼孤子解的条件相同，并且得到 了该方程的b i i c k l u n d 变换。r h e r m a n n 将w - e 理论中的延拓结构与几何中的联络 理论结合起来 3 3 】，以k d v 方程为例对延拓结构以及由延拓结构得到的b i i c k l u n d 变 换给出了很好的几何解释，从而对拥有孤立子解的非线性偏微分方程提供了几何 涵义。m c r a m p i n 等也从几何联络的角度对孤子方程进行了一些研究【3 6 。 1 9 8 0 年，d j k a u p 3 7 采用一般的微积分知识给出了w - e 延拓结构理论的一 个简单描述，并采用了很多例子证明了该表述的可靠性。1 9 8 3 年，r d o d d 与a 4 第一章绪论 华东师范大学博士学位论文 f o r d y 从代数的角度对该方法进行了研究，使得该方法更加算法化 3 8 ，3 9 。该方 法可以概括为下面两步：第一步，他们首先得到了该延拓结构所等价的不完整李 代数的生成子以及它们之间关系的一个集合：第二步，给出完整的李代数，并且 给出了所得到生成子集合的一个有限维矩阵表示，从而得到用反散射方法求解该 非线性微分方程相关的谱问题。并且他们将这一算法应用于一大批非线性偏微分 方程，证明了该算法的有效性。 1 9 8 1 1 9 8 3 年期间，郭汉英、陆启铿、吴可、王世坤、向延育等研究员 5 2 ，5 3 ， 5 4 对w - e 延拓结构理论进行了重新考察和研究，抓住w - e 理论中所缺乏的协变 性问题，运用联络论的非线性实现为理论工具，提出了协变延拓结构理论，从 而把w - e 理论协变化。利用该理论，他们讨论了一些非线性系统，如k d v 方程、 e r n s t 方程等的协变延拓结构，给出了它们的线性谱问题、无穷多对称与守恒律等 性质；并利用相应的群性质，得到了它们的r i e m a n n h i l b e r t 问题等。 1 9 8 7 年，m o m o t e 以s i n e g o r d o n 方程为例将延拓结构理论扩展到超对称非线 性偏微分方程 4 0 】，将该方程的延拓结构等价于一无穷维超李代数，并且给出该 超李代数的一线性表示，从而得到了该方程的超l a x 对。g h m r o e l f o s 与n w v a nd e nh i j l i g e n b e r g 贝, l j 基于k a c m o o d y 李超代数理论研究了超k d v 方程 4 1 】，得到 了该超李代数的精确形式及超k d v 方程的自b i i c k l u n d 变换与非线性迭加公式。 1 9 8 8 年，m c n u c c i 指出如果能够得到非线性方程的伪势为r i c c a t i 型，则可 以非常容易的得到该方程的l a x 方程、自b l i c k l u n d 变换与奇异流形方程【4 4 】，并通 过一大批实例说明该理论如何应用到1 + 1 维与1 + 2 维非线性方程中【4 5 ，4 6 1 。楼森岳 教授将该方法推广到了变系数的非线性偏微分方程中 4 8 ，得到变系数非线性方 程的l a x 方程、白b i i c k l u n d 变换与奇异流形方程。 1 9 9 6 年，b d e c o n i n c k 首次将w - e 延拓结构理论推广到了半离散系统【5 5 】，给 出了离散延拓结构的算法化表述，用于检验离散系统的可积性并给出了与其相关 的线性谱问题。 当然，国内外还有许多学者在延拓结构方面做过非常出色的工作，如： 1 9 7 8 年，b k h a r r i s o n 给出了广义相对论中的e r n s t 方程的延拓结构，并利用 此延拓结构给出了e r n s t 方程的b i i c k l u n d 变换 5 8 】；1 9 8 0 年，e vd o k t o r o v 提出 了没有延拓的延拓结构理论 5 6 ；1 9 8 5 年，e m d ej a g e r 与s s p a n n e n b u r g 给出 了矩阵k d v 方程与b o o m e r o n 方程的延拓结构，并由延拓结构给出了这两个方程 的b i c k l u n d 变换与解 6 2 】；1 9 9 2 年，a a a l e x e y e v 与n a k u d r y a s h o v 给出带有小 参数的发展方程的延拓结构方法 5 9 】；1 9 9 2 年，c h o e n s e l a e r s 与w k s c h i e f 给 出7 h a r r yd y m 型方程的延拓结构与常系数理想的b i i c k l u n d 变换 6 3 】；2 0 0 2 年，s i g o n i n 与r m a r t i n i n 给出了k r i c h e v e r - n o v i k o v 方程的延拓结构【5 7 】；2 0 0 6 年，e g r e y e s 给出一些浅水波方程的伪势与非局域对称【6 0 ；我国学者在这方面也做出了 5 绪论 这里所说的符号，可以是字母、公式，也可以是数字。因此，在符号计算中仍然 可以进行数值计算，数值计算也可以看作是符号计算的特例。 m a p l e 是一个应用最广泛的符号计算软件，是加拿大w a t e r l o o 大学符号计算小 组的g h g o n n e r 和k o g e d d e s 等于1 9 8 0 年开发研制的。由于其无与伦比的符号 计算能力使得它在众多符号计算软件中独领风骚。m a p l e 是一个开放的适用于不同 计算机环境的计算机代数系统，它由三部分组成：用户界面、内核和外部库。它 提供了范围广泛的数学计算功能，主要包括三个方面：符号演算、二维和三维图 形描绘以及数值计算。我们的许多工作都是基于m a p l e 平台完成的。 作为数学与计算机科学之间的一门交叉学科，符号计算始于2 0 世纪6 0 年代。 它的发展始终与代数计算和软件开发联系在一起，并受到了物理计算的激励，其 主要分支包括计算机代数、几何计算、自动推理与编程等【2 1 。符号计算强调构 造性理论的建立与发展、有效算法的设计与实施以及软件系统的研制与开发，与 吴文俊院士倡导的数学机械化思想密切相关 2 2 。 我国在符号计算领域的基础研究工作走在世界的前列，上世纪7 0 年代吴消元 法的提出，是中国当代数学发展中一个引人注目的具有中国特色的新里程碑。该 机械化工作被国际数学和计算机科学界普遍称之为吴方法和吴原理。目前，该方 法已在物理规律的发现、机器人学、计算机视觉以及促进现代数学研究等重大高 科技的前沿领域实现了成功的应用。 在非线性系统的研究中往往会遇到大量冗长繁复的代数计算、推理，会令 研究者望而生畏，传统的纸笔演算耗时费力且容易出错，因而不可能用于大规 模的计算，从而阻碍了相关的研究发展。另一方面，非线性系统特别是孤立子 与可积系统的研究中许多处理问题的方法都是构造性和算法化的，这正是符号 计算的用武之地。近年来，符号计算在微分方程和数学物理领域有许多重要应 用。单在计算微分方程的对称方面，在许多计算代数系统上都出现了很多程序 6 第一章绪论 华东师范大学博士学位论文 包，如：1 9 8 2 年，es c h w a r z 【6 4 首先在r e d u c e 上编写了求微分方程古典对称程序 的软件包；g j r e i d 等【6 5 】和e l m a n s f i e l d 6 6 分别在m a p l e 系统上开发出计算微 分方程对称群及简化微分方程组的软件包；1 9 9 1 年，wh e r e m a n 等人【6 7 给出了 一个m a c s y m a 程序用于计算大量微分方程的l i e 点对称等；w h e r m a n n 在f 6 8 还 对各种计算对称的程序包进行了归纳与总结，并对各自的优缺点进行了对比。当 然，符号计算在微分方程中的应用远不止如此，在微分方程的其他方面也得到了 广泛应用，如：朱思铭教授 6 9 根据a m s 猜想，利用符号计算和吴代数消元法对 偏微分方程的p a i n l e v 6 性质进行了研究，证明了一批方程具有p 性质；1 9 9 3 年起， 李志斌教授等 7 0 ，7 1 通过引入t a n h 函数方法，将偏微分方程的求解转化为代数 方程的求解，沟通了吴方法与微分方程之间的联系，随后他们团队又给出了精确 解 7 2 ，7 5 、p a l i n l e v 6 检验【7 3 、守恒律【7 4 及孤子方程的双线性变换 7 6 等程序 包；范恩贵教授【2 3 基于r i c c a t i 方程和一般的椭圆方程，利用吴方法求解了许多 方程的精确孤波解；朝鲁教授 1 0 1 运用吴微分特征集求解l i e 对称并获得了一批 对称，并给出了算法和程序，成功地将吴方法运用于偏微分方程的古典解中；陈 勇教授【1 0 2 、谢福鼎教授 1 0 3 和李彪副教授 1 0 4 将吴方法应用于偏微分方程 的p 2 l i n l e v 6 性质的研究，在m a p l e 上实现了对偏微分方程进行p 检验的软件包p t e s t 。 闰振亚副研究员基于符号计算对非线性发展方程的精确解及可积性质做了研究 【1 0 6 。 1 4 混沌研究背景与现状 随着计算机科学的发展，自从e n l o r e n z 2 0 世纪6 0 年代在数值试验中偶然发 现第一个混沌吸引子以来，混沌在许多领域中获得了巨大而深远的发展。半个世 纪以来，人们对混沌现象的自然规律及其在自然科学和社会科学中的表现有了广 泛而深刻的认识，并且发展到了把混沌作为一门应用技术来研究。理论上研究混 沌的目的是多方面的，主要是揭示混沌的本质，刻画它的基本特征，了解它的动 力学性质，并力求对它加以控制和利用使之为人类服务。近年来的大量研究表明， 混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物工程、力学工程、电子工程、信息工 程、计算机工程与应用数学等领域都存在着广泛的应用背景。随着人们对世界本 质认识的不断深入，人们发现分数阶混沌系统与高维混沌系统能够更好的描述某 些物理现象，并对此表现出极大的热情，逐渐使其成为了混沌研究的热点之一。 分数阶微积分理论已有3 0 0 多年的历史，可追溯到1 6 9 5 年l h o s p i t a l 与l e i b n i t z 的讨论【1 2 1 。目前，有关分数阶微积分的专著【1 2 2 ，1 2 3 ，1 2 4 ，1 2 5 对分数阶微积 分的定义以及分数阶微分方程作了很好的论述，但由于其缺少明确的物理意义和 7 华东师范大学博士学位论文 第一章绪论 实际应用背景而发展十分缓慢。1 9 8 3 年，b b m a n d e l b o g 首次指出自然界及许多 科学技术领域中存在大量的分数维的事实，且在整数阶微积分与分数阶微积分理 论描述的动力学系统之间存在着自相似现象【1 2 6 。进一步研究表明：分数阶微分 方程是整数阶微分方程的推广，整数阶微分方程是分数阶微分方程的特例。实际 上，几乎所有的物理模型都可以用分数阶微分方程描述，用整数阶微分方程描述 只是对实际物理模型的近似化处理。于是，将分数阶微积分应用于物理学和工程 学的热潮开始兴起。许多物理系统能展现出分数阶动力学行为，例如粘滞系统、 介质极化、电磁波、机电一体化、电化学、生物学、信