（系统理论专业论文）时滞系统的稳定性分析.pdf

a b s t r a c t t i m e d e l a yi sc o m m o na n di n e v i t a b l ei nn a t u r e ，a n do f t e nm a k e st h es y s t e mp r o p e r t y d e c l i n eo re v e nc a u s e si n s t a b i l i t y t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so ft i m e d e l a ys y s t e m sa r e i n f i n i t e d i m e n s i o n a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i l et h o s eo fd e l a y f l e es y s t e m s a r eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n ds ot h es t u d yo ft i m e - d e l a ys y s t e m si sm u c hm o r e d i f f i c u l tt h a nt h a to fd e l a y - f r e e s y s t e m s t h e r e f o r e ，t h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i sf o r t i m e d e l a ys y s t e m sh a v eg r e a tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e e v e ni nt o d a y sa d v a n c e dt e c h n o l o g y , t i m e d e l a y , a sa ne s s e n t i a lf e a t u r eo fs y s t e m s ，c a n n o tb ec o m p l e t e l ye l i m i n a t e d t h ep e r f o r m a n c e so fc o n t r o l l e do b j e c t sa r em o r ec o m p l e x b e c a u s eo ft h ep r o g r e s so fs c i e n c ea n dt h ed e v e l o p m e n to fp r o d u c t i v ef o r c e s ，a n di ti s m o r ed i f f i c u l tt og e t p r e c i s em a t h e m a t i c a lm o d e l s s ot h es y s t e mm o d e l sa r eo f t e n u n c e r t a i n ，m a k i n gt h ea n a l y s i sa n dc o n t r o lo ft i m e d e l a ys y s t e m sb e c o m em o r ea n dm o r e c o m p l e xa n d d i f f i c u l t i nt h i st h e s i s ，t h es t a b i l i t yo ft h en o m i n a la n du n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m sw i l lb es t u d i e d i ti sm a i n l yb a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y t h et e c h n i q u e su s e di n c l u d et h ef r e e w e i g h t i n gm a t r i xm e t h o d ，t h ec o n v e xc o m b i n a t i o nt e c h n i q u e ，l e i b n i z - n e w t o nf o r m u l a ， a n dt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y s t a b i l i t yc r i t e r i aa r eg i v e ni nt e r m so fl m i s ，a n d n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n dt h em e r i t so ft h er e s u l t s 1 t h es t a b i l i t yo ft h en o m i n a lt i m e d e l a ys y s t e m si ss t u d i e db yc o n s t r u c t i n gan e w l y a p u n o vf u n c t i o n a l t h ed e r i v a t i o np r o c e s sa d o p t sm e t h o d ss u c ha st h es e g m e n t a t i o no f t i m e - d e l a yi n t e r v a l ，t h ef r e ew e i g h t i n gm a t r i xa n dt h ec o n v e xc o m b i n a t i o nt e c h n i q u e d e l a y d e p e n d e n ta n dd e l a y - i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i aa r eg i v e ni nt e r m so fl m i s f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h el e s sc o n s e r v a t i v e n e s so ft h er e s u l t s 2 t h er o b u s ts t a b i l i t yo fu n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m si sa l s os t u d i e d t h eu n c e r t a i n t yi s a s s u m e dt ob eo ft h ef o r mo fn o r m b o u n d e dp e r t u r b a t i o n s b ye x t e n d i n gt h er e s u l t sf o r d e l a y f r e es y s t e m s ，d e l a y - d e p e n d e n ta n dd e l a y - i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i aa r eg i v e ni n t e r m so fl m i s n u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s og i v e nt os h o wt h el e s sc o n s e r v a t i v e n e s so f t h er e s u l t s k e yw o r d s ：t i m e - d e l a ys y s t e m ；s t a b i l i t y ；u n c e r t a i n t i e s ；l y a p u n o vm e t h o d ； l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) 舢4删2舢7川3删3 舢7川il_y 目录 第一章绪论1 1 1 引言l 1 2 时滞系统研究背景与意义2 1 3 时滞系统研究方法与现状3 1 4 本文主要工作安排一5 第二章预备知识7 2 1 系统概述7 2 2 时滞系统概述8 2 2 1 时滞系统概念8 2 2 2 时滞系统分类一8 2 2 3 时滞系统数学模型9 2 3 时滞系统稳定性9 2 - 3 1l y a p u n o v 稳定性- 9 2 3 2 符号说明及相关引理1l 2 4 线性矩阵不等式( l m i ) 概述13 2 4 1l m i 定义。l3 2 4 2l m i 标准化问题1 4 2 4 3l m i 工具箱简介1 4 第三章标称时滞系统的稳定性分析1 7 3 1 本章引言1 7 3 2 主要结果1 7 3 3 数值实例2 5 3 4 本章小结2 6 第四章不确定时滞系统的稳定性分析。2 7 4 1 本章引言2 7 4 2 主要结果2 8 4 3 数值实例3 4 4 4 本章小结3 5 第五章总结与展望3 6 参考文献3 7 攻读学位期间的研究成果4 3 鸳| 谢。4 4 学位论文独创性声明4 5 学位论文知识产权权属声明4 5 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 在自然和社会现象中，时滞现象普遍存在，即事物的发展趋势不仪跟当前的状 态有关，而且依赖于过去时刻的状态。在实际工程和自然科学中，由于传输延误、 惯性和系统元器件老化等原因使得系统总存在时滞现象。通常以微分方程作为时滞 现象的数学模型，如在控制论、力学、物理学、生物医学、化学反应等领域中提出 的数学模型均带有明显的时滞现象；而在动力系统中时滞现象则更为普遍，特别是 在自动控制装置中，只要系统中含有反馈环节，输入信号到输出信号间必有一个时 间延迟，这正表明了时滞系统的运动状态不仅与系统当前的状态有关，而且还依赖 于过去的状态。显然，微分方程已不能精确描述其运动模型，取而代之的是微分差 分方程或微分积分方程，它们本质上都是无限维的，所以时滞的存在一般会对系统 产生恶劣的影响，引起系统性能下降，甚至导致系统不稳定。例如，对于系统【l j ： ( 口一1 ) ( 戈( f ) + 戈( f ) + x ( f ) ) = 0 ，其中a l ，可以推出系统的零解稳定；但是系统 戈o ) + 戈( f ) + x ( f ) = a ( s i ( t 一办) + i ( t 一办) + x ( t 一厅) ) ，对所有的h 0 都不稳定。 以单输入单输出系统为例来说明这一情况，系统方框图女i i 图1 1 所示： 图1 1 单输入单输出时滞系统方框图 系统一器= ，善；其特征方删托哨g = o 。 用泰勒公式展开e - r s 为p 一订= 1 + ( 一铅) + 五1 ( 一铅) 2 + + 去( 凇) 一+ 。所以 特征方程为：1 + ( 1 + ( 一铅) + 鬲i t ( 一铅) 2 + + ( 一铅) 疗+ ) g ( s ) = 0 。可见 么! 力! 特征方程是复变量s 的超越函数，它的解是无限多个，而不再是有限多个，这正是 青岛人学颀i ：学位论文 同时，在实际工程系统中，我们所研究的系统模型往往只能是实际对象的一种 近似描述，这种近似的来源是多方面的，常见的有：对系统有影响但被忽略的输入 信号，如各种干扰信号以及工作环境的变化对系统参数和动态的影响，非线性系统 的线性化处理、高阶系统的降阶处理所有这些近似都可看作是系统模型的不确定性。 不确定性的存在使时滞系统的分析与综合更加困难。而要想更好地分析时滞系统稳 定性，首先要搞清楚其研究背景与意义，研究方法与现状。 1 2 时滞系统研究背景与意义 在实际工业过程中，由于传输、测量等因素的影响，时滞现象普遍存在，如长 管道进料或皮带传输、极缓慢的过程或者复杂的在线分析仪等。在实际工程系统中， 由于数据在网络上的传输时间和控制器的运算时间等因素的影响，很多闭环系统内 部也都会出现时滞现象，如网络控制系统、遥控操作系统等等。另外，许多大时间 常数的系统，也经常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可归结为时滞 系统模型。一般情况下，如果一个系统涉及到物质或者信息的传输，则此系统往往 会存在时滞现象。因此，气体传输系统、化工系统、生物系统、医学系统、环境系 统、电力系统等【2 4 1 都是典型的时滞系统。 通常情况下，时滞现象的存在对系统的影响非常恶劣，往往会使系统性能下降， 甚至会导致系统不稳定。例如，航天领域中对航天飞机或宇宙飞船的控制信号，只 要有一秒钟的时间滞后，就会对航天飞机或宇宙飞船的滞后大系统产生很大的影响； 在含有多个执行器的控制系统中，每个执行器在施加控制力时受到不同时滞的影响， 系统中存在非同步现象，如果不加以必要的考虑和处理，就会使系统的性能降低， 甚至会带来整个系统的不稳定。而且随着科技的发展与时代的进步，工程实践中的 控制系统越来越复杂，对系统稳定性及控制器设计的要求自然也越来越高。因此， 研究时滞系统的稳定性具有十分重要的理论和实际意义。 下面用两个实例来说明时滞系统在实际中的普遍性和研究的重要性。 例1 1 【5 】：1 9 7 3 年wp l o n d o n 和j a y o r k e 研究的麻疹传播模型： 一 s o ) = f l ( t ) s ( t ) ( s ( t - 1 2 ) - s ( t 一1 4 ) 一2 r ) + 弘 其中，s ( f ) 表示在时刻t 无免疫力的个体数目；y 表示这个个体在人1 3 中所占的比 例；( f ) 为人1 3 特征函数；而1 2 和1 4 为常数滞量，代表潜伏期的上限和下限。 例1 2 【6 l ：2 0 0 3 年，史文忠，吴方向，王蓓等在研究飞机纵向运动系统时，提出 在大气紊流干扰下，含有时滞的飞机纵向运动系统的数学模型： 戈( f ) = 彳( f ) + 以x ( t - r ) + b “o ) + 蜀烈f ) 其中，x = 【口侈劬1 为飞机的状态变量，而碥为空气流速，口为气流迎 2 第一章绪论 角，移为俯仰角，鸱为俯仰角速度；u - - - it蘸l 为控制变量，万。为油门开度， 。 l，j ， 谚为升降舵偏角；国为外部干扰；f 0 为时滞，a ，a d ，b ，b i 为适当维数的常矩 阵，各元素由飞机的气动导数决定。 同时，在实际工业控制系统中，由于建模误差、测量误差、线性逼近和无法预 测的外部干扰等多种原因，各种生产过程、生产设备、运输系统以及其他众多的被 控对象的动态特性| 分复杂，很难用精确的数学模型进行描述，即使有时可以获得 精确的数学模型，但过于复杂，利用现有的控制系统设计手段无法实现，在进行分 析和设计时不得不进行简化近似。另外，随着生产过程中工作条件与环境的变化， 控制系统中元器件会老化或损坏，被控对象本身的特性也会随之发生变化。因此， 我们所研究的系统模型只能是实际对象的一种近似描述，这种近似的来源是多方面 的，常见的有：非线性系统的线性化处理、高阶系统的降阶处理、各种信号测量噪 声的忽略，以及对系统有影响但被忽略的输入信号，如各种干扰信号以及工作环境 的变化对系统参数和动态的影响，所有这些近似都可看作是系统模型的不确定性。 近几十年来，如何抑制时滞造成的系统性能下降一直是研究的热点和难点，然 而，即使在当今最先进的技术领域，时滞作为一种本质特性也不可能被完全消除。 另外，随着科学的进步与生产力的发展，受控对象越来越复杂，精确的数学模型很 难得到，往往具有不确定性。不确定性的存在使得时滞系统的分析和控制变得更加 复杂和困难。鲁棒控制理论正是为处理系统的不确定性而发展起来的，它的主要思 想如何设计一个控制器，使得存在一定范围的参数不确定性及一定限度的动态不确 定性时，闭环系统仍能保持稳定并且满足一定的动态性能品质。鲁棒控制理论主要 研究两个方面的问题，即鲁棒性能分析和控制律鲁棒综合【_ 7 1 。性能分析研究的是当 系统存在不确定性和外部干扰时，系统的稳定性和动态性能分析；控制律综合研究 的是当系统存在不确定性和外部干扰时，如何设计有效的控制律使得闭环系统具有 更强的鲁棒性。近几十年，鲁棒问题的研究【8 。1 3 】一直围绕这两方面展开，并取得了 丰硕的成果。 正是由于时滞是自然界中普遍存在而又不可避免的一种自然现象，又是导致实 际系统性能恶化甚至不稳定的主要根源，再加上时滞系统分析和控制日益复杂与困 难，使得时滞系统的分析和综合一直是一个热点问题。 1 3 时滞系统研究方法与现状 对时滞系统稳定性理论的研究与线性系统一样可分为频域法和时域法。频域法 即代数方法，基于l y a p u n o v 第一方法解系统特征方程，使得所有特征值位于复平面 上左半平面内。时域法主要有k r a s o v s k i i l y a p u n o v 泛函法、r a z u m i k h i n l y a p u n o v 泛函法及时滞不等式方法，前两种方法分别是由k m s o v s h i l m j 和r a z u m i k h i n 创立于 二i 青岛人学顾i ：学位论文 上世纪六i 年代。由于时域法克服了频域法不能处理时变与参数摄动的缺点且易于 计算，现己成为对不确定时滞系统稳定性分析及控制器设计的主要方法，且在工程 设计中的优势极为显著。 近几l 年来时滞系统的稳定性分析和控制问题得到了众多研究者的普遍关注。 不论采取哪一种方法进行稳定性分析，根据是否依赖系统中时滞的大小，所得的稳 定性条件可以分为时滞无关【1 5 郴1 和时滞相关两类【1 9 4 3 】：( 1 ) 时滞无关稳定性条件即在 该条件下，对所有的时滞d o ，系统都是渐近稳定的，这种条件不依赖于系统滞后 时间，适合处理滞后时间不确定或未知的时滞系统的稳定性分析问题；( 2 ) 时滞相关 稳定性条件即在该条件下，系统只在时滞d 取某些值时是稳定的，而在时滞d 取其 它值时就不稳定了。因此，此时系统的稳定性依赖于滞后时间。通常认为时滞相关 稳定性结果比时滞无关的结果有更低的保守性，尤其当时滞参数较小时l z 4 1 。 1 8 世纪，由于各类几何问题的出现，e u l e r ，b e r n o u l l i ，l a p l a c e ，l a g r a n g e 及 p o i s s o n 等数学家开始比较充分地研究了泛函微分方程。而时滞系统作为一类泛函微 分方程，直到2 0 世纪早期，由于工程学、生物学、生态学等领域建模的需要，才开 始引起人们的关注。直到1 9 4 0 年，时滞系统稳定性才被作为正式课题来研究。1 9 4 0 年，c h e b o t a r e v 发表了关于拟多项式r o u t h h u r w i t z 判据的论文；1 9 4 2 年，p o n t r y a g i n 得到关于拟多项式零点的基本结论；1 9 4 9 年，m y s h k i s 的一篇论文中第一次明确地 表述了初始值问题。在这些成果基础上，众多研究者开始尝试将l y a p u n o v 理论推广 到时滞系统中来，但都没有得到很好的结果。直到1 9 5 6 年，k r a s o v s k i i 提出判断时 滞系统稳定性的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 定理1 3 训。但k r a s o v s k i i 定理需要运算泛函，在 判定时滞系统稳定性时存在一定的难度。1 9 6 0 年r a z u m i k h i n 又提出了r a z u m i k h i n 定理【3 引，该定理只需对函数进行运算，从而克服了l y a p u n o v k r a s o v s k i i 定理的缺点。 1 9 8 6 年，k o l m a n o v s k i i - n o s o v 又研究了中性泛函方程【3 6 1 。从此，时滞系统稳定性研 究就一直是控制界的热门课题1 3 7 枷】。近年来，关于时滞系统稳定性特别是鲁棒稳定 性的分析方法有了新发展【4 1 m 1 。 近十几年来，时滞系统的稳定性分析问题吸引了众多学者的关注并取得一些成 果【4 5 5 5 1 。文献 4 6 - 4 7 以系统特征方程形式给出了系统时滞无关稳定准则，尽管很容 易验证，但要求系统度量矩阵负定或者系统矩阵是h u r w i t z 矩阵。文献 4 5 】采用 l y a p u n o v 方法以线性矩阵不等式形式给出了新的时滞无关稳定条件，借助凸优化算 法很容易求解。但是文献 4 5 4 8 均忽略了时滞信息，导致稳定判别标准具有一定的 保守性，特别在系统时滞量较小时。模型转换，如文献【4 8 】，曾是解决时滞相关稳 定性问题的主要方法。前人为获得系统的时滞相关稳定条件，先将原系统模型变换 为与其等价或不等价的新系统，然后利用l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函方法，获得基于 l m i 的时滞相关稳定条件，由于其中用到一些不等式去估计一些交叉项的上界，因 4 第一章绪论 而带来了保守性。文献 4 9 】通过选择一些自由权矩阵，考虑l e i b n i z - n e w t o n 公式中 各项间的关系，由于引入的自由矩阵不但增加了计算的复杂性，而且还必须满足一 定的l m i 条件，因而也有一定的保守性。另外，为了改进时滞相关条件，也有研究 者在如何构造新的l y a p u n o v 函数上做了一些工作。 由于建模误差、测量误差、线性逼近和无法预测的外部干扰及生产过程中工作 条件与环境变化等多种原因的影响，实际系统大多带有不确定性。因此关于不确定 系统稳定性分析问题的研究也吸引了众多研究者。2 0 0 4 年，张先明，吴敏等1 5 6 j 将 p a r k 不等式与l e i b n i z - n e w t o n 公式相结合导出一个新的二次型积分不等式，利用此 不等式研究了不确定性线性多时变时滞系统的时滞相关鲁棒控制问题，由于采用该 积分不等式可避免由模型转换带来的保守性，因而所得的结论具有较小的保守性。 2 0 0 5 年，h ey o n g ，w um i n 等【5 7 l 将l e i b n i z - n e w t o n 公式与自由权矩阵相结合，研 究了具有时滞的多胞型线性系统的鲁棒稳定性问题，并给出了鲁棒稳定判据。由于 引入的自由权矩阵不但增加了计算的复杂性，而且必须满足一定的l m i 条件，因而 也有一定的保守性。x u 等【5 8 j 避免了利用不等式估计时滞交叉项上界的估计，从而降 低了保守性。 线性矩阵不等式( l m i ) 的概念是1 9 7 1 年由w i l l e m s l 5 9 j 提出的。最近几t 年， 随着计算机技术、软件技术的迅速发展和求解l m i 凸优化问题内点法的提出【钏，特 别是m a t l a b 的l m i 工具箱的推出，使得线性矩阵不等式( l m i ) 方法己经被广泛的 应用到时滞系统的稳定性分析中【6 1 - 7 1 1 。通过构造恰当的l y a p u n o v 函数，将对时滞系 统稳定性分析的问题转化成一个线性矩阵不等式( l m i ) 的可行性问题或者一类具有 线性矩阵不等式( l m i ) 约束的凸优化问题，并以线性矩阵不等式( l m i ) 形式给出相应 的稳定性条件。l m i 方法具有两个突出的优点：第一，不需要参数调整的过程以及 任何正定矩阵；第二，己有专门对l m i 进行求解的软件包，如m a t l a b 的l m i t o o l b o x ，十分方便有效。因此，基于线性矩阵不等式( l m i ) 方法的研究已成为一个 热点问题。 由于对时滞系统的研究起步较晚，研究成果仍相对较少且带有各种各样的保守 性，研究空间仍相对广阔，将不断获得越来越多的学者关注，仍有很多可研究的空 间。 1 4 本文主要工作安排 本论文将以时滞系统为研究对象，研究此类系统的稳定性问题。主要理论基础 是l y a p u n o v 稳定性理论，应用l y a p u n o v 第二方法，选择适当的自由权矩阵，巧妙 运用l e i b n i z - n e w t o n 公式，借助m a t l a b 软件中的l m i 工具箱，利用目前广为流行 的线性矩阵不等式( l m i ) 技术，对标称时滞系统的稳定性分析、不确定时滞系统 青岛人学硕i ：学位论文 的稳定性分析进行了讨论研究，分别给出了各类系统稳定的充分条件，并给出数值 例子说明所给结论的有效性与低保守性。 第一章引言概述本课题的研究背景、国内外研究方法与现状，及本文工作安 排。 第二章给出本文研究工作用到的一些基本概念和基本引理，包括对系统的概 述、对时滞系统的概述、l y a p u n o v 稳定性概念和定理、线性矩阵不等式( l m i ) 概念 及常用技术。 第三章主要研究了标称时滞系统的稳定性分析，应用l y a p u n o v 第二方法，通 过引进一些自由权矩阵，以线性矩阵不等式( l m i ) 形式给出时滞系统的时滞无关 及时滞相关稳定准则。通过实例仿真，比较结果显示本文所给出的时滞相关稳定准 则较先前结果有较小的保守性。 第四章对范数有界不确定时滞系统的稳定性进行分析，通过引入自由权矩阵来 描述l e i b n i z n e w t o n 公式中各项间的相互关系，以线性矩阵不等式形式给出此类系 统的时滞相关稳定准则，仿真实例表明本文所给出的稳定标准有效。 第五章最后对本文研究内容进行总结，结合本人目前的研究现状和方法，对以 后进一步研究的一些问题做了展望。 6 第一二章预备知识 第二章预备知识 本章将对论文研究中用到的一些基本概念和数学知识作简单回顾，给出后续章 节中将要用到的部分定义及引理。 2 1 节介绍什么是系统，系统思想的起源，对系统概念进行简单回顾。 2 2 节概括描述时滞系统，包括什么是时滞系统、时滞系统的分类、时滞系统 的数学模型，还包括对时变常系数及不确定参数的时滞系统的描述等。 2 3 节给出本文研究工作要用到的一些基本概念和基本引理，着重介绍 l y a p u n o v 稳定性概念和几个重要的稳定性判据。 2 4 节线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，l m i ) 概述，包括线性矩阵不 等式的基本概念、三种标准的l m i 问题和相应的求解器，以及控制理论中常见的l m i 问题和l m i 用于控制问题的常用技术等内容。 2 1 系统概述 “系统”，从宁面上来看，“系”指关系、联系；“统”指有机统一；“系统”则指有机 地联系和统一。其实“系统”这个词人们并不陌生，电路系统、航天系统、生态环境 系统、社会经济系统、教育系统、交通系统、人体的消化系统、呼吸系统、泌尿系 统等等都是生活中常见的术语。但是究竟“什么是系统”或者说“系统的定义是什么”， 人们却很难给出确切的答案。 系统一词，源于古希腊语“铡衍私口”，是由部分组成整体的意思，各组成部分 不是偶然堆积在一起，而是按一定的关系结合起来。但是将系统作为一个重要的科 学概念，是1 9 3 7 年由一般系统论的创始人、美籍奥地利人、理论生物学家l v 贝塔 朗菲( l u d w i gv o nb e r t a l a n f f y ) 第一次提出来的，他将系统定义为“相互作用的诸要 素的综合体”l 7 2 】。日本工业标准( j i s ) 中对“系统”的定义是“许多组成要素保持有机 的秩序，向同一目的行动的集合体”；而美国韦氏( w e b s t e r ) 大辞典中对“系统” 的解释则是“有组织的或被组织化的整体；结合着的整体所形成的各种概念和原理的 综合；由有规则的相互作用、相互依存的形式组成的诸要素集合等”。我国科学家钱 学森教授则将系统表述为“把极其复杂的研究对象称为系统，即由相互作用和相互依 赖的若干组成部分结合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所 从属的一个更大系统的组成部分”f 7 3 1 。综上所述，所谓“系统”，是由若干相互区别、 相互联系而又相互作用的要素组成的，具有特定结构与功能的有机整体【7 4 1 。 可见，世界上任何事物都可以看成是一个系统，系统是普遍存在的。大至渺茫 的宇宙，小至微观的原子，一台计算机、一个校园网、一个学校、一个国家都 分别是一个系统，整个世界就是系统的集合。 7 l-o-r l 青岛人学硕l ：学位论义 远在明白什么是系统之前，人类的很多实践活动就已经能够体现系统思想了。 如易经把八卦看作万物之源，尚书洪范则把五行作为构成万物的基本要素， 都把宇宙看作一个整体：黄帝内经认为人体是由各个器官有机联系在一起的整体， 同时人体系统又是自然界的一部分；孙子兵法主张从敌我双方战争格局这个整体 出发来研究战争规律；所有这些都体现了系统思想。 虽然古代系统思想强调对自然界的整体性、统一性的认识，但却缺乏对整体各 个要素的认识能力【7 3 l 。1 5 世纪下半叶，人们开始把自然界看作相互独立的各种事物 ( 或现象) 的偶然堆积，把各个细节从总的自然联系中抽出来，分i - j 多l i j 类地进行研 究。1 9 世纪上半叶，能量转化、细胞和进化论的发现使人类更清楚地认识到自然 过程是相互联系的，在此基础上建立的辨证唯物主义认为，物质世界是由无数相互 联系、相互作用的事物和过程形成的统一整体，这正是系统思想。2 0 世纪中期，现 代科学技术的成就和发展终于使系统思想定量化，且为其实际应用提供了强有力的 计算工具电子计算机。这样系统思想就完成了从经验到哲学到科学、从思辨到 定性再到定量的发展过程。 2 2 时滞系统概述 2 2 1 时滞系统概念 时滞系统是指作用于系统上的输入信号或控制信号与在其作用下系统所产生的 输出信号之间存在着时间延迟的一类控制系统1 7 5 j 。在实际工业过程中时滞现象普遍 存在，如皮带传输、长管道进料或复杂的在线分析仪等。一般情况下，如果一个系 统涉及到物质或信息的传输，此系统就存在时滞现象。实质上，电力系统、环境系 统、气体传输系统、化工过程系统等都是典型的时滞系统。 2 2 2 时滞系统分类 一般的系统根据不同的分类标准有很多种不同的分法，时滞系统也同样。例如， 根据系统中所含时滞的个数，可分为单时滞系统和多时滞系统；根据时滞在系统状 态方程中存在的位置，可分为输入时滞、输出时滞和状态时滞系统；根据时滞是否 和随时间变化而变化，可分为定常时滞系统和时变时滞系统；根据系统中函数的性 质，可以分为线性时滞和非线性时滞系统；根据时滞参数的确定性，可分为确定时 滞系统和不确定时滞系统( 其中，确定时滞系统一般又可称为常系数时滞系统或标 称时滞系统) ；根据时滞的表现形式，可分为离散时滞和连续时滞系统。 可见，时变标称时滞系统即时滞随时间变化而变化，且系统参数是确定的时滞 系统；而时变不确定时滞系统即时滞随时间变化而变化，且系统参数是不确定的时 滞系统。 8 第一二章预备知识 2 2 3 时滞系统数学模型 对系统进行分析和控制的基础是建立系统的数学模型。系统的数学模型指的是 描述系统中各变量之间相互关系的数学表达式，可分为定性和定量描述两大类。定 性描述是用链、环、树、网络等拓扑结构来描述系统结构，给出系统各元素的排列 次序、相对位置、分布情况等。定量描述的模型有两种建立方法：一种是直接法， 先列写出系统各变量之间关系的动力学方程( 通常是微分方程) ，再经过整理、变换 得到微分方程、差分方程、状态方程、传递函数等所需要的模型形式；另一种是实 验法( 即系统辨识) ，先对系统施加一定的试验信号，测量输入输出，再经过分析和 处理，最后得到想要的数学模型。 一般情况下，时滞系统的数学模型可以用泛函微分方程或状态空间方程来定义。 先介绍泛函微分方程形式的时滞系统数学模型。考虑系统 5 c ( t ) = f ( t ，) ，t t o 2 一( 1 ) 其中，x ( f ) r 刀，是系统状态向量；t 定义为( 秒) = x ( t + 秒) ，秒【一7 ，o 】，表 示在非零时滞区间 _ f ，0 】上系统状态轨迹的转移算子；泛函f ( t ，t ) 表示从 卜7 ，o 】映射到尺月的连续函数，且满足f ( t ，o ) = 0 ；系统的初始条件是 x o ) = 矽o ) ，t 一7 ，0 】。由式2 一( 1 ) 可以看出，系统下一时刻的状态( 状态变量在 时刻t 对时间的导数文( f ) 不仅取决于当前的状态，而且取决于过去卜7 ，o 】时刻的状 态，因此系统是有记忆的。这正是时滞系统区别于非时滞系统的本质特征。 再介绍状态空间方程形式的时滞系统数学模型。考虑系统 5 c ( t ) = a x ( t ) + b x ( t 一石) 2 - ( 2 ) 其中，彳，b r 脓盯，f r + 。系统2 ( 2 ) 的特征方程为d e t ( s i 一彳一b e 一铅) = 0 。 容易看出，由于有指数型超越项e 叫3 的存在，系统存在无穷多个特征根，系统是无 穷维的。这也是时滞系统与非时滞系统的本质区别。本文主要利用状态空间方程来 描述时滞系统。 2 3 时滞系统稳定性 2 3 1l y a p u n o v 稳定性 l y a p u n o v 稳定性理论是俄国著名数学力学家l y a p u n o v 于18 9 2 年发表的运动 稳定性的一般问题的论文中首先提出的。论文中，l y a p u n o v 将系统稳定性分析方 法归纳为本质不同的两种方法，分别称为l y a p u n o v 第一方法和第二方法。其中 l y a p u n o v 第一方法又称间接法，主要通过将系统一次近似线性化，再通过对线性化 9 青岛人学硕i ：学位论文 系统的分析而给出原非线性系统小范围内稳定性的相关信息。此方法对分析简单系 统的稳定性较为有效且易于实现，但用于分析时滞系统特别对时变时滞系统的稳定 性则较为困难。在研究时滞系统稳定性问题时，比较常用的方法就是l y a p u n o v 第二 方法【7 6 7 3 1 。l y a p u n o v 第二方法也称为直接法，其特点是不需线性近似，而直接应用 系统状态空间方程，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，便可得相应的时滞系统稳定性 判据。 在应用l y a p u n o v 第二方法时，主要是判定l y a p u n o v 泛函的导数，并保证其导 数是负定的。一般来说，l y a p u n o v 泛函的导数比较复杂，为了导出容易检验的条件， 通常会在处理过程中将其放大来保证它的负定性，而这必然会带来一定的保守性。 另外，l y a p u n o v 第二方法是通过构造一个特定的l y a p u n o v 泛函得到时滞系统稳定 的条件，所以所获得的条件只能是充分的，而不可能是必要的，具有很大的保守性。 l y a p u n o v 泛函选取的方法不是唯一的，导出的相应的稳定性判据也就各不相同，在 保守性和适用范围上也不尽一致。这都是这种方法本身无法克服的缺陷。但是由于 l y a p u n o v 第二方法的适用范围非常广泛，所以对各种时滞系统稳定性进行研究时， 这种方法都仍然是一种非常有效的工具。 下面介绍几个重要的时滞系统稳定性概念： 定义2 1 时滞系统稳定：如果对任意t o r 及 0 ，存在函数万= 8 ( t o ，) 0 ，使得 当8 气。 0 ，使得当0 m 0 ，存在函数 万= 以) 0 ，万的选择与初始时刻，o 无关，使得当0 吒虬 o 均有7 = 丁( 吒，7 ) ， o l l ， o ( o ) ：q 为正定( 半正定) 矩阵； q r 疗表示从实数域尺及连续函数的有界 集c 映射到r 疗的有晃集，并且，秒，缈：r + 弓r + 均为连续非减函数，秒为严格增 函数，当s 0 时，( s ) 及秒( s ) 均为正数，且满足( o ) = 秒( o ) = 0 。如果存在一 个连续可微的函数v ：r c - - ) r 使得： 青岛人学颂i ：学位论文 ( 0 矽( o ) i i ) v ( t ，矽) 抄( 0 矽( o ) i l c ) ，v ter , v x er 疗， 2 一( 4 ) 并且沿系统2 一( 1 ) 的轨迹有： 矿( f ，矽) 一烈l l 矽( o ) 1 1 ) ， 2 - ( 5 ) 则称系统2 - 0 ) 的解x ( f ) = 0 是一致稳定的。 若c o ( s ) o ，v s 0 ，则称系统2 一( 1 ) 的解x ( f ) = 0 为一致渐近稳定。若还满足 l i r a 掌一( s ) = ，则称系统2 一( 1 ) 的解x ) = 0 为全局一致渐近稳定。 引理2 3r a u m i k h i n 稳定性定理： 考虑系统2 ( 1 ) ，f ：r x c ( - h ，o 】) 一r 刀表示从实数域尺及连续函数的有界 集c 映射到r 门的有界集，并且，秒，缈：r + 一r + 均为连续非减函数，抄为严格增 函数，当s 0 时，( s ) 及v ( s ) 均为正数，且满足( o ) = v ( 0 ) = 0 。如果存在一 个连续可微的函数v ：rxcjr 使得： ( 1 l x l l ) v ( t ，x ) 秒( 1 l x l l ) ，v f r ，v x er n ， 2 - ( 6 ) 并且沿系统2 ( 1 ) 的轨迹有：若v ( t + 秒