（系统理论专业论文）命题逻辑系统中若干问题的研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 近年来，大量的学者从事基于三角模的非经典逻辑( 包括命题逻辑和谓词逻辑) 的研 究( 其中著名的逻辑系统l u k a s i e w i c z 逻辑，p r o d u c t 逻辑，g 6 d e l 逻辑和r 逻辑都是基于 左连续三角模的形式系统) ，并取得了丰硕的研究成果本文仅对命题逻辑的四个方面：公 式的条件口一真度，卢一重言式，理论的可证度及真值函数进行了研究，其主要内容如下： 1 介绍了本文所需的预备知识：t 一模、蕴涵算子、自由f 一代数、m t l 一代数及命 题逻辑系统的基本概念和相关定理 2 分别在模糊命题逻辑系统和疗值命题逻辑系统中引入了公式的条件口一真度的概 念，并研究了它们的性质 3 在命题逻辑系统中给出了公式的条件口一重言式概念，讨论了它们的性质，并分 别在l u k a s i e w i c z 逻辑系统，g 6 d e l 逻辑系统，乘积逻辑系统，r 逻辑系统及相应的 值逻 辑系统中研究了条件口一重言式的分布 4 在模糊命题逻辑系统中，探讨了一种基于标准m t l 一代数m = 【o ，1 】判定理论r 是 否能推出公式口的新思路。引入了刻画理论r 推出公式口的程度的一种指标一称为公式口 的理论r 可证度，研究了它的性质，并给出了模糊命题逻辑系统l u k 中公式的理论可证度 的计算公式 5 以g 6 d e l 系统为背景，针对只含一个或两个原子生成的公式，解决了真值函数的特 征问题，进而按照逻辑等价关系对公式集，( p ) ，f ( p ，g ) 进行了细致的分类 关键词命题逻辑系统：条件口一真度：条件口一重言式：可证度：真值函数 塑篓奎兰! ! 主兰堡堡茎 a b s 仃a c t i nr e c e n ty e a r s t h er e s e a r c ho nr s o l m sb a s e dl o g i c ( i n c l u d i n gp r o p o s i t i o n a ll o g i ca n d p r e d i c a t el o g i c ) h a sr e c e i v e dm o r ea n dm o r e s c h o l a r sa t t e n t i o n ( f a m o u sl o g i cs y s t e m s l u k a s i e w i c zl o g i c t h ep r o d u c tl o g i c ，t h eg 6 d e ll o g i ca n drl o g i ca r ea l ll e f t - 七o n t i n o u s t - n o r m sb a s e df o r m a ls y s t e m ) ，a n di th a so b t a i n e dp l e n t i f u lr e s u l t s t h i sp a p e rf o c u s e s0 1 1 p r o p o s i t i o n a ll o g i co nf o u ra s p e c t s ：c o n d i t i o n a l 口- t r u t hd e g r e eo ff o r m u l a , c o n d i t i o n a l 声一m u t o l o g y ，p r o v a b l ed e g r e eo fat h e o r ya n dt h et n i t hv a l u ef u n c t i o nh a s c o n d u c t e dt h e r e s e a r c h 1 1 l em a i nc o n t e n t sa sf o l l o w s ： 1 ii n t r o d u c es o m ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g ew h i c ha l en e e d e di nt h i sa r t i c l e ：t h et - n o r m , t h e i m p l i c t i o n o p e r a t o r ，t h e f r e et - a l g e b r a , t h em t l a l g e b r a a n d t h e b a s i cc o n c e p t s a n d t h e r e l a t e dt h e o r e m si np r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m 2 t h en o t i o n so fc o n d i t i o n a l 口一t r u t hd e g r e eo ff o r m u l a si nf u z z yp r o p o s i t i o n a ll o g i c s y s t e ma n dm a n y - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e ma r ep r o p o s e d a n dt h ep r o p e r t i e so ft h e m a r es t u d i e d 3 t h en o t i o n so fc o n d i t i o n a lb m u t o l o g i e so ff o r m u l a si n t h ep r o p o s i t i o n a ll o g i c s y s t e m sa r ep r o p o s e d t h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d , a n dt h e i rd i s t r i b u t i o n sa 坞r e s e a r c h e d r e s p e c t i v e l yi nl u k a s i c w i c zl o g i cs y s t e m , g & l e ll o g i cs y s t e m ，p r o d u c tl o g i cs y s t e m , r l o g i c s y s t e ma n dc o r r e s p o n d i n gn - v a l u e dl o g i cs y s t e m 4 i ns c h e m a t i ce x t e n s i o ns y s t e m sl u k 、g 3 d 、na n d 三+ o fp r o p o s i t i o n a lf u z z y l o g i cs y s t e m sm t l ，an e w m e t h o dt oe s t i m a t et h e o r i e s f w h e t h e ro rn o ti n f e rbb a s e do n s t a n d a r dm t l a l g e b r al = 【o ，1 】i sg i v e ni nt h ep a p e r f i r s t , t h ec o n c e p t i o no fp r o v a b l e d e g r e eo ff o r m u l ao nt h e o r i e sfi si n t r o d u c e d ，w h i c hi s a l li n d e xt oa l le x t e n to ft h e o r i e s ft h a ti n f e rf o r m u l ab ：s e c o n d , i t sp r o p e r t i sa s t u d i e d ；t h i r d ，t h ef o r m u l ac a l c u l a t i n g p r o v a b l ed e g r e eo f f o r m u l a o nt h e o r i e si sg i v e ni np r o p o s i t i o n a lf u z z yl o g i cs y s t e ml u k 5 w i t h0 6 d e ll o g i cs y s t e ma sb a c k g r o u n d ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h et r u t hf u n c t i o n s a s s o c i a t e dw i t hf o r m u l a sg e n e r a t e db yo n eo rt w oa t o m si ss o l v e d f u r t h e r m o r e ，t h ed e t a i l e d c l a s s i f i c a t i o n so ff ( p ) ，f ( p ，q ) a r ep r o v i d e d 聊城大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：p r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m ；c o n d i t i o n a l 口- t r u t hd e g r e e ；c o n d i t i o n a l o t a u t o l o g y ；p r o v a b l ed e g r e e i i ! 聊城大学硕士学位论文 前言 早在古希腊时期亚里士多德就对断言一个命题p 或其否定妒必有一个成立的排中 律提出了质疑，只不过没有明确提出多值逻辑的理论而已系统的多值逻辑理论是由 j l u k a s i e w i c z 与e p o s t 各自独立地于2 0 世纪2 0 年代提出的 作为经典二值逻辑的自然延伸，多值逻辑在理论和应用领域都有了较大的发展( 1 ) 比较著名的多值逻辑系统有l u k a s i e w i c z 系统、k l e e n 系统、标准序列系统、g 6 d e l 系统 以及r 系统，这些系统在多值逻辑体系中占据主导地位。代表了多值逻辑的发展方向 自1 9 6 5 年美国控制论专家l z a d e h 提出模糊集理论以来，关于模糊系统的研究得到 了迅猛的发展：1 9 7 3 年z a d e h 教授又提出了模糊推理的c r i 算法，此种算法在模糊控制中 取得了巨大成功由于没有建立模糊推理的c r i 算法的理论基础，模糊逻辑的理论和成果 受到一些学者的质疑，因此不少学者致力于模糊推理的理论基础的研究比较成功的研究 有国外学者h a j e k 提出的基于三角模的形式化逻辑b l 逻辑，国内学者王国俊于1 9 9 7 年 提出的命题逻辑系统三王国俊教授不仅提出了逻辑系统上，而且在命题逻辑系统中取 得了很多重要的成果：在多值和模糊命题逻辑系统中建立了公式的广义重言式，真度，公 式间的相似度，伪距离，近似推理，理论的发散度和相容度的理论( 2 8 ) 2 0 0 6 年，王国 俊教授综合上述思想又将其作为一个逻辑学的分支一计量逻辑学( 【9 】) 提出，这样极大的 丰富了逻辑学的内容本文在此基础上做了更进一步的研究，在多值命题逻辑和模糊命题 逻辑中提出了公式的条件口一真度，条件一重言式的概念，并研究了它们的性质：在模糊 命题逻辑中提出了公式的理论可证度的概念，并给出了计算方法：在g o d e l 系统中解决了 只含一个或两个原子的公式的真值函数的特征的难题 聊城丈学硕士学位论文 第1 章预备知识 文中未说明的概念和记号均合于文献 1 0 ，1 1 ，1 2 1 定义1 1 1 设：【o ，1 1 2 专【0 ，1 】是二元函数，为指标集，如果 ( i ) ( 【o ，1 1 ，) 是以1 为单位的交换半群： ( i i ) v a o ，l 】，丘( x ) = 口x 是增函数，则称为【o ，1 】上的三角模，简称t 一模 如果还满足 ( i i i ) v 口，包e o ，l 】( f n 口( 善岛) 2 善0 + 龟) ，则称+ 是左连续的三角模 定义1 2 叫设是【o ，1 】上的三角模，：【0 ，l 】2 - - ) 0 ，l 】是【0 ，1 】上的二元函数，若 a * b c 当且仅当a 6 j c ，口，b ，c 【0 , 1 】，则称是与相伴随的蕴涵算子，称( ，j ) 为伴 随对，特别若是左连续三角模，则称j 为正则蕴涵算子 定义1 3 叫设r 是非空集，是非负整数之集a r ：r 斗是映射，则称( r ，a r ) 为型 有时简记为r ，并令l = ( ，e t l a r ( t ) = 行 定义1 4 “1 设r 是型4 是非空集如果对每个f t ，有一o ) 元函数：a 鲫专 4 ，则称4 为r 型泛代数，或，代数当r 时，叫r 代数a 上的玎元运算对每个0 元 运算t 以记4 中相应的元素、 定义1 5 t “1 设s 是非空集，r 是型。f 是r 一代数，盯：s f 是映射如果对任一r 一 代数a 以及任一映射f ：s 斗a ，存在唯一的r 一同态妒：f a 使妒= f ，则称f 为由s 生成的自由r 一代数 定义1 6 舯1 对任意一个左连续r 一模，定义命题演算q 尸c ( ) 如下：f ( s ) 是由原子 公式集s = p l ，p 2 ，见，) 和特定元o 通过连接词& ，斗，形成的自由代数，( s ) 中的元 素称为公式 由基本连接词& ，斗，1 定义新的连接训如f ： 2 聊城大学硪士学位论文 ，妒表示妒寸石， 妒v y 表示“妒斗y ) 斗) ( ( y _ 妒) 寸9 ) ， 妒；y 表示( 妒一y ) & ( y 寸缈) ， ，j 一 矿表示矿& 妒& & 妒 定义1 7 ”1 如果n l ，p k 2 ，为公式矿的全部原子公式，则称 p 研( 妒) = p k l ，n ：，p k ) 为矿的命题变元集，记p 为妒( n i ，a ：，p ) 定义1 8n 0 1 一个m t l 一代数是一个有界剩余格( 肼，n ，u ，j ，0 ，1 ) ，其中n 和u 是格 中的下，上确界运算，( ，j ) 是伴随对，且满足预线性性，即对任意y m ， o j y ) u ( y j 工) = 1 定义1 9 ”1 设矿f ( s ) ，m 冗为m t l 一代数 ( i ) 设x = p k l ，p k 2 c ) c s ，则称映射v ：x 斗m 为命题变元集z 上的一个赋 值，记作h = ( v ( p k l ) ，v ( p k ：) ，v ( ”，x 上的全体赋值之集记作q ( x ) ，特别地，当x = s 时，简记作q 若矿= 妒( 见。，见2 ，p o ) ，则赋值( 简记为v o p 碲( 妒) 上全体赋值之集 记作q ( 哳劬) ) ，简记为q ( 妒) ，用i q ( 缈) i 表示q ( 妒) 的势 ( i i ) 设v e q ( 矿) 或v q 若妒= 妒 妒，矿= y 庐或伊= y & ，记v ( 妒) = v ( f ，) v ( 庐) = m i n v ( 1 | f ) ，v ( 扔 ，1 ，( 咖= v ( 妒专妒) = v ( 妒) j v ( ) 或v ( 妒) = v ( y & 力= v ( y ) v ( 妒) ( 这里 ( ，j ) 是一个伴随对) 为公式妒在赋值v 处的值，简称9 的值 不同的左连续三角模 及不同的赋值格m 对应不同的逻辑系统四个重要的模糊命题 逻辑系统l u k 、丌、g 砌和l + 对应的丰和( 木和j 是一伴随对) 如下： l u k ：x * y = ( x + ) ，一1 ) v 0 ， x 气y ： 11 ? 卸，w 【0 ，1 】 糟屯垆1 l 一工+ 弘x y ，l 砷l j g 耐：x * y = x y 聊城大学硕士学位论文 x 气y = i l ，l ，x 。 y 胙 当赋值格肘： o ，士，_ n - 2 ，1 ) 时，对应上础( l u k a s i e w i c z ) 疗值逻辑系统、( 乘积 玎一1h 一1 或p r o d u c t ) h 值逻辑系统、g s d e ln 值逻辑系统 若不申明，下文的妒c p ) 都是指逻辑系统上础、g s d 、h 或r ，将置。，和r 统记为r 注1 1 0 ( i ) 设妒f ( s ) 称矿为重言式，若v v q v ( 妒) = 1 ：称妒为矛盾式，若 v v q v ) = 0 ( i i ) 设矿= 妒( 见l ，p k 2 ，n ，) 兀s ) ，v ( 妒) ，v v q 劬) 是一个m ”专m 的函数，记作 v ( 妒) = 石= 妒( v ( n 。) ，v ( 见：) ，v ( p 。) ) = 石( 葺，) ，“，x z ，) m 4 ，称它为妒的真值函 数 ( i i i ) 在系统q p c ( ) 中，对于任意的妒f ( s ) ，妒的真值函数石在定义的区域上是分块 连续的，因此是可积的 定义1 1 1 ”1 ( i ) 对于任意的正整数坍，若矿= 妒( 仇1 ，以2 ，p 。) 不含变元n ( “) ， n ( 。+ ，) ( ，为有限或+ ) ，它也可看作包含m + z 个命题变元n l ，p h ，仇( 肿+ 1 ) ，见【“) 的 公式，记作缈= e ( p k l ，见2 ，) = g ( p , l ，p k 川) ，见( 州，) 。则称妒为妒的，元 或町数扩张，记作y = 妒“称变元集 a l ，p u , ，p k ( ) ，n ( “) ) 为变元集 p k l 一，p h 的扩张，变元集 n l ，p b ，为变元集 n ，儿。，n 1 ) ，既( “ 的收缩 4 聊城大学硕士学位论文 ( i i ) 设x = n ，n 2 ， y c s ，若v x ( p k i ) = v r ( 只。) ，h ( 最：) = v r ( 丑2 ) ，” y a p s ) = v d & ) ，v x q 。( x ) ，v r q ，( y ) ，则称v r 为的一个扩张，为v r 的一个收缩 引理1 1 2 t 例设妒f p ) ，妒为妒的z 元扩张即9 = 妒( n ”，p h ) = g ( p l l 一，p h ， p k ( 州) ，p k ( “) ) ；x = p k l ，) ，y = p k l ，p k ，n ( ) ，见，) ) ，咔为如的一个扩 张g 1 v r ( p 目) = h ( 粕) ，j = l ，2 ，m ，则h 妇) = v r ) 1 9 3 t1 1 3 【1 1 1 设矿= 妒( 既i ，n 2 ，p o ) ，( 回，r 是系统q p c ( + ) 对应的蕴涵算子，则 称辨重积分 靠( 妒) = k 砥，) 幽一巩 为公式妒的r 一真度，简称9 的真度 定理1 1 4 ( 积分值不变性定理) o ”设妒= 烈仇。，n 2 ，p 。) f ( s ) ，y = y ( n 1 ，见2 ， p h ，p k ( 。+ l l ，p 狮+ f ) ) 是9 的f 元扩张，则 k 石( 铀，) 凼一奴2 。r 歹( 私，铂) 幽”哦一 定义1 1 5 n 1 1 若r f ( s ) ，则称r 为理论设r 是理论，从r 出发的推演是一个有限 的公式序列 仇，仍t ，虢， 这里对每个仍( f s 行) ，仍是公理或仍e r ，或存在_ ，七 f 使仍是由竹和纯使用i m p 推得的 结果纯叫做r 一结论，或r 推出，记作r i - 当r = o 时，纯称为定理 定义1 1 6 1 1 1 设妒，缈，( s ) 。 如果卜妒斗妒且卜i c ，专妒，则称妒与矿是可证等价的，记作p y ( i i ) t a 果v v e q ，v ( 妒) = v 缈) ，则称缈与y 是逻辑等价的，记作缈* y 聊城大学硕士学位论文 第2 章命题逻辑系统中公式的条件口一真度 2 0 0 0 年王国俊教授分别于文 3 ，5 】和文 4 v p 提出了非经典逻辑和经典逻辑中公式的 真度理论；2 0 0 5 年至2 0 0 6 年张兴芳教授研究了一阶模糊谓词逻辑公式的有限解释，可数 解释真度理论，区间解释真度理论 1 3 ，1 4 公式真度理论的研究已经成为人们研究的热 点读者注意上述研究都是从全体赋值的角度考虑公式的真实程度，然而在现实生活中我 们往往需要在特定条件即某种理论下考虑一个事件( 即公式) 的真实程度 1 5 ，由此迫切 需要我们建立命题的条件真度理论本章分别在模糊命题逻辑系统和n ( n 2 ) 值命题逻辑 中建立了命题的条件口一真度理论 2 1 模糊命题逻辑系统中公式的条件口一真度 本节取m = 【o ，1 】，蕴涵算子选屯，或r 算子 定义2 1 1 删设，：【o ，l r 专【o ，1 】，则的k 次扩张定义为 ，”( 而，+ i ) = ，( ，靠) ，v ( 黾，+ i ) 【o ，l r “ 这里k = o ，1 ，2 ，当七= 0 时，= 厂 定义2 1 2 设妒f ( s ) ，r = 锄，伤，纯) c f ( s ) ，x = v a r ( 妒) u u r a r ( , ) = p k i ，一， t - i 儿) ，则称 r 。( 9 ) =黑等i q ( r 肿o i q ( r 。缈) l ”“ 1 ， l n ( r 。伊) 卜0 为公式妒在r 下的模糊条件口一真度，在不引起混淆的情况下简称为妒在r 下的条件口一 真度，其中 q ( r 。妒) = f i x i ，靠) 【o ，l 】”l 石( 一，) 口，识r ) ， 6 聊城大学硕士学位论文 i q ( l 妒) l 为集合q 正。妒) 的测度，口【0 ，1 】当口= 1 时，称f r l ( 妒) ( 简记为r 仰) ) 为缈在r 下的条件真度若集合胁( y ) 与x 中元素的个数相等，用歹表示命题，的真值函数：若 t a r ( r ) 中元素的个数f = 。o ，从而对任意口【o ，l 】，l q ( 虬伊) | - l ，但q 缈。9 ) = ( x ，y ) 【。，l 引工 0 q ( j ) 命题2 1 6 若对任意的v q ( r 。妒) 都有v ( 妒) = 1 ，则2 r 。( 咖= 1 命题2 1 7 设妒f ，口，卢( o ，1 】如果口 0 ，存在k q ( j ) 使得口 = 。0 易见r ( 矿一妒) = 1 ，所以s u p f ( 矿寸y ) l 妒。( r ) 5 1 为 了区分这两种情况，特别弓l 进符号1 一，并规定： 定义4 1 3 设f f ( s ) ，y f ( s ) 称 m “咖- - 9 等茄斗叫, , ) l 吼c ed 盯h 乩”z = 为公式y 的理论r 可证度这里，当p r d v r 缈) = s u p f ( 矿斗y ) l 妒d 口) = l 时，称公式y 的理论r 可证度是拟1 命题4 1 4 设r f ( s ) ，y ，( s ) ，则r 卜y 当且仅当公式矿的理论r 可证度等于 1 证明若r 卜y ，则y d ( i d ，f ( 妒专矿) = 1 ，那么p r o v r ( v i ) = 1 反之，若p r o v r ( 9 ) = l 则y d ( r ) ，那么r 卜妒 当f = g 时，y 的理论r 可证度就是妒的真度( 参见 4 ) 引理4 1 5 冽设r f ( 研，r ，矿f ( s ) 则 ( i ) 缈p & 吵 & & 虻) ”，缈p 妒a a ) “d ( r ) ，且 ( 卯& 硝2 & & 矽) ”( 卯 绔 a 站) ”： ( i i ) r 卜妒当且仅当j 码，鸭，m k 使得卜( y p & 时& & ) _ y 成立 定理4 1 6 设f f ( s ) ，y f ( s ) 则 ( i ) 当 s u p f ( 卵& 秽2 & & 卵寸矿) l 纯，仍，纯r ) = 1 且叠d ( r ) ，有 _ i ，m 2 ，- ，艇 p r o v r 缈) = l - ； ( i i ) 当 s u p f ( 妒，1 & 缈? 2 & & 伊? 。 妒) l 或妒d ( r ) 时，有 _ 1 ”2 _ - ，h e p r 昕( 矿) = s u p f ( 矽& 疗& & 开j ) 啊，4 h ，月月e 证明略 1 9 聊城大学硕士学位论文 4 2 逻辑系统l u k 中公式的理论可证度 定义4 2 1 设妒( 只，p 。) f ( s ) ，石是妒的真值函数，称 k p r ( 妒) 皇 ( _ ，靠) i 妒( 一，x 。) = 1 ，( x l ，) o ，l 】”) 为公式烈b ”，p ) 的核犀j m ( k e r ( q o ) 表示勋( 咖的l e b e s g u e 测度 2 4 定义4 2 2 设rc - f ( s ) 。x = 只l 一，e l 。 或娩i ，p k ，) 为f 中公式出现的全部 原子公式之集，则称 k e r ( f ) 皇n j ，( 妒) l 伊r 为理论r 的核 注4 2 3k e r ( f ) c 0 ，l r ，为正整数或0 0 用m ( k e r ( f ) ) 表示k e r ( r ) 的l e b e s g u e 测度当k e r ( 1 ) 是无限维空间时，定义 m ( k e r ( f ) ) = l i m m ( k e r ( r ) f l o ，1 r ) 可以证明下述引理 引理4 2 4 设9 ( 既1 ，p k ) f ( s ) ，y ( n l ，p h ，n ( “) ，a ( 。“) ) 是烈n 1 ，一，p k ) 的，元扩张，则 聊( j ，( 妒) ) = m ( k e r ( w ) ) 引理4 2 5 设r c f ( s ) ，x = 既l ，一，) 是r 中出现的全部原子公式之集，则对任 意的正整数z ，y = p k l ，”，p 如。，n 。+ 1 ) ，见，) ，令r = 缈i 吵是矿的，元扩张，妒r ) ，则 m ( k e r ( r ) = m ( k e “r ” 引理4 2 6 嗍设妒( 以l ，p h ) ，( s ) i o v n n ， 矿= ( n 妒- ( n - 1 ) ) v o ，肝= 1 ，2 ， 注4 2 7 对于逻辑系统l u k 而言，逻辑公式所对应的真值函数称为m c n a u g h t o n 函 数一个疗元函数，：【o ，l r 一【0 ，l 】叫m c n a u g h t o n 函数，若该函数满足： 聊城大学硕士学位论文 1 ) ，是连续函数： 2 ) 【o ，1 r 可分成有限个部分，在每个部分上，都可由一个整系数的押元一次多项式 去表达 引理4 2 8 设妒( n ，p k ) ，( s ) ，g 是【o ，1 1 ”上的闭区域，若公式9 的真值函数； 在g 上是研元一次多项式，且满足； l ，乇是石在g 上的最大值( 其中o 七 1 ) ，则对每 个固定的正整数n ，公式矿的真值函数矿= ( 玎；( 五，k ) 一一1 ) ) v 0 宅e g 上达到最大值 ( 挖砧一( 打一1 ) ) v o ，且o ( 押砧- ( n - 1 ) ) v o 1 证明因为矿= 0 虱玉，矗) 一伪一1 ) ) v o 是关于石的递增函数，砧是；在g 上的最大 值( o 砧 1 ) ，所以矿= ( 御恼，) 一伽一1 ) ) v 0 毛e g 上达到最大值( ，一( 疗一1 ) ) v 0 ，且 0 ( ，讲g 一( 玎一1 ) ) v 0 l 时，有 l f ( 妒” y ) 一所( g ) i y d w i o ，l r = l i m 两+ - 一。l h nj 鬲 qq 由引理4 2 9 知慨鬲= 所( g ) ，i = 1 2 ， 若，= ，显然结论成立：若， ，因为在每个区域q ，i = l + l ，上石= l ，从而 歹= ( 以石一一1 ) ) = 1 ，f p - v d w = f e w ，所以由引理4 2 8 知 g z q l i m r ( a p ”寸y ) = l 一脚( 胁( 妒) ) + j 两 k e r ( a ) 2 2 聊城大学硕士学位论文 易证下述引理： 引理4 2 1 1 设r 量f ( s ) ，妒f ( s ) ，妒d ( r ) 则 f ( 妒一矿) 1 一m ( k e r ( r ) ) + f 两 k e r ( r ) 引理4 2 1 2 设r f ( s ) ，y f ( s ) ( i ) 当r = 锄，仍) 有限时， l i r a v ( d ，”一妒) = l 一所( 始r ( r ) ) +l 缈h ； 蠡云r ) ( i i ) 当r = 娩，仍，仍， 无限可数时， ! i i i l l i m r ( o , ”) = 1 - m ( k e r ( f ) ) + i 妒加 缸五r ) 其中日= 仍 仍a 仍 证明( i ) 若r = 仍，仍，仍，因为仍 仍a 仍d ( f ) ，k e r ( r ) = k e r ( q 0 1 鲠a 仍) ，所以由引理4 2 1 0 知， l i r a r ( 口”一矿) = 1 一所( 勋( r ) ) + f 两： k e r ( r ) 伍) 因为 k e r ( d t ) d _ k e r ( d 2 ) _ 2 缸r ( 口) 2 r k e r ( f ) = 7 k e r ( d t ) ， 所以r h ( i ) 知 i i ml i m r ( d t ”寸y ) ) 2 舰 ( 1 一m ( k e r ( d t ) ) + j 缈咖】 艋r ( 凸j = 1 - m ( k e r ( f ) ) + ly 咖 k e r ( r ) 定理4 2 1 3 设r f ( s ) ，y f ( s ) ，则 聊城大学硕士学位论文 从而 p r 。v r ( y ) = l 一所( 胁( r ) ) + j 历咖 k e r ( f ) 证明一方面，由引理4 2 1 1 知，v 妒d ( f ) f ( 妒寸y ) l m ( k e ，( r ) ) + 两， k e r ( r ) p r o v r ( v ) - o yy o ，囊) ，【o ，l 】：解释成最小值 2 3 ， i ，x 【u x u 故本章用a 代替 5 1 由一个原子生成的公式的真值函数的特征 以下用，( p ) 表示仅由一个原子p 生成的公式的全体f ( p ) 中的公式虽然只由一个 原子生成，但