（系统理论专业论文）李结构方法在非线性发展方程求解中的应用.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本文将变换方法分别应用到( 2 + 1 ) 维b u r g e r s - k o r t e w e g d ev r i e s ( 3 d b k d v ) 方程和非 对称n i z h n i k - n o v i k o v v e s e l o v ( a n n v ) 方程的求解问题中，得到了新解 第一章是预备知识介绍了外积与外微分的概念，并把常微分方程组求解过程中所 应用的p f a f f 方程组的构造推广到偏微分方程中给定一个偏微分方程，通过作变换构造 出p f a f f 方程组，求此p f a f f 方程组可得原方程新解与原解之间的关系，有一个解，就可 利用此关系得到一个新解，此过程称为变换方法求解偏微分方程 第二章中，利用经典李群方法，求出了3 d b k d v 方程的对称，利用此对称约化该 方程，求解其中的约化方程得到了原方程的新解虽然求出了一些新解，但是大部分约 化方程都是很难求解的，鉴于此，利用第一章介绍的变换方法求出了一些新解，这些解 是利用李群方法无法得到的 在第三章，首先利用直接对称方法得到了a n n v 方程的对称，取特殊情况得到了一 个有限维对称，利用对称的等价向量场，构造了一个八维对称代数，并得到了群不变解 的优化系统，将变换方法与优化系统结合起来，求出了该方程的新解，并且对其中的三 环孤子解在不同时刻的相互作用性质用图像进行了展示和分析 本文将该方法应用到3 d b k d v 方程的求解中，得到了利用李群方法得不到的新解， 说明了变换方法的可行性和优越性；将变换方法与群不变解的优化系统结合应用到 a n n v 方程上，求出了新解，通过分析a n n v 方程三环孤子解的相互作用性质，说明三 个环孤子之问的相互作用是完全弹性的 关键词：非线性发展方程；变换方法；精确解 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ea p p l yt h et r a n s f o r mm e t h o dt os o l v i n gt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb u r g e r s - - k o r t e w e g d ev r i e s ( 3 d b k d v ) e q u a t i o na n dt h ea s y m m e t r i cn i z h n i k n o v i k o v - v e s e l o v ( a n n v ) e q u a t i o na n dg e ts o m en e ws o l u t i o n s c h a p t e r1i st h ep r e p a r a t i o n w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p t i o n so fe x t e r i o rp r o d u c ta n d e x t e r i o rd i f f e r e n t i a t i o na n d g e n e r a l i z e t h ep f a f fe q u a t i o n su s e di n s o l v i n gt h eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t ot h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n f o ra 1 1e q u a t i o n w ec a nc o n s t r u c t t h ep f a f fe q u a t i o n sb ym a k i n gat r a n s f o r m a t i o n s o l v i n gt h ep f a f fe q u a t i o n s ，w ec a ng e ta r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en e ws o l u t i o n sa n dt h e o l do n e so ft h eg i v e ne q u a t i o n g i v e na s o l u t i o no ft h eg i v e ne q u a t i o n ，w ec a l lg e tan e wo n e b yu s i n gt h er e l a t i o n s h i p w ec a l l e dt h e p r o c e s st h et r a n s f o r mm e t h o d i n c h a p t e r2 ，u s i n gt h ec l a s s i c a ll i em e t h o d ，w ef i r s to b t a i nt h es y m m e t r yo ft h e 3 d - b k d ve q u a t i o n t h e nw er e d u c et h e3 d b k d ve q u a t i o nu s i n gt h es y m m e t r ya n dg i v e s o m ee x a c ts o l u t i o n so ft h e3 d b k d ve q u a t i o nb ys o l v i n gt h er e d u c e de q u a t i o n s t h o u g hw e g e ts o m es o l u t i o n s ，t h em o s tr e d u c t i o n sc a n tb es o l v e d s ow ea p p l yt h et r a n s f o r mm e t h o d m e n t i o n e di nc h a p t e r1a n dg e ts o m en e ws o l u t i o n sw h i c hc a n tb eo b t a i n e db yu s i n gl i e m e t h o d i nc h a p t e r3 ，b ya p p l y i n gad i r e c ts y m m e t r ym e t h o d ，w ef i r s tg e tt h es y m m e t r yo ft h e a n n v e q u a t i o n t a k i n gt h es p e c i a lc a s e ，w eh a v eaf i n i t ed i m e n s i o n a ls y m m e t r y b yu s i n g t h ee q u i v a l e n tv e c t o ro ft h es y m m e t r y , w ec o n s t r u c te i g h t - d i m e n s i o n a ls y m m e t r ya l g e b r aa n d g e tt h eo p t i m a ls y s t e mo fg r o u p i n v a r i a n ts o l u t i o n s c o m b i n i n gt h et r a n s f o r mm e t h o dw i t ht h e o p t i m a ls y s t e m ，w eo b t a i ns o m en e ws o l u t i o n so ft h ea n n ve q u a t i o n ，a tl a s t ，w es h o wm a d a n a l y z et h ei n t e r a c t i o np r o p e r t yo ft h et h r e et r a v e l l i n gr i n gs o l i t o ns o l u t i o no ft h ea n n v e q u a t i o n i nt h i sp a p e r , w ea p p l yt h et r a n s f o r mm e t h o dt os o l v i n gt h e3 d b k d ve q u a t i o na n do b t a i n s o m en e ws o l u t i o n sw h i c hc a n tb eo b t a i n e db yu s i n gl i em e t h o d t h a ts h o w st h ef e a s i b i l i t y a n ds u p e r i o r i t yo ft h et r a n s f o r mm e t h o d w ea p p l yt h et r a n s f o r mm e t h o dc o m b i n e dw i t ht h e o p t i r e a ls y s t e mo fg r o u p i n v a r i a n ts o l u t i o n st os o l v i n gt h ea n n ve q u a t i o na n da t t a i nn e w 1 1 聊城大学硕士学位论文 s o l u t i o n s a tl a s t ，b ya n a l y z i n gt h ei n t e r a c t i o np r o p e r t yo ft h et h r e et r a v e l l i n gr i n gs o l i t o n s o l m i o no ft h ea n n ve q u a t i o n ，w es h o wt h a tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h r e et r a v e l l i n gr i n g s o l i t o n si sc o m p l e t e l ye l a s t i c k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；t r a n s f o r mm e t h o d ；e x a c ts o l u t i o n 1 1 聊城大学硕士学位论文 刖再 随着现代科学技术的发展，自然界中许多问题都可建立数学模型，其中某些模型可 用非线性发展方程或方程组来描述对特定问题的研究自然就归结为对描述该问题数学 模型的研究，求解模型方程( 组) 的解往往可以有助于人们深入了解自然界中的物理、力 学等过程，因此非线性发展方程( 组) 解的研究倍受国内外的广泛关注。近几十年来，人 们主要集中在低维非线性发展方程解及其性质方面的研究( 如见【1 1 2 1 ) ，1 9 6 7 年，美国的 四位学者g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 创立了反散射方法【1 3 1 ，也称非线性f o u r i e r 变换法，并成功求解了k d v 方程初值问题随后又出现了d a r b o u x 变换法i h l 、b a c k l u n d 变换法【1 5 l 、齐次平衡法【1 6 - 2 0 、李群方法1 2 1 。2 3 1 、分离变量法陋l 、辅助函数方法【2 5 1 、p a i n l e v 6 分析法1 2 6 1 、h i r o t a 变换法【2 刀及推广的直接方法脚1 等等随着各种求解方法的不断出现， 不但使一些难以求解的方程得到解决，而且发现了许多非线性发展方程有重要意义的新 解近年来，尤其是计算机的发展和符号运算如m a p l e 和m a t h e m a t i c a 的出现，也为求 解方程提供了极大的帮助 在诸多方法中，李群方法是研究非线性发展方程的有力工具之一，是求非线性方程 精确解的最常用方法之一，它不仅可以为解决某些方程的求解问题提供方法和技术支持， 而且同时促进了李群、李代数、微分几何等数学理论的发展【2 9 3 0 1 文献【2 9 】 3 1 1 系统总 结了利用李群方法和李结构方法研究非线性偏微分方程解的基本理论及技术，文1 3 2 1 、 3 3 1 对平衡方程的等价群问题进行了研究基于李群方法的思想和原则，【1 】、【5 】、【2 9 1 一1 3 1 】 都对构造函数变换或构造辅助方程解决微分方程的求解问题进行了系统的研究但在有 关研究中仍有许多急于解决的问题，一方面，应用李结构法讨论非线性偏微分方程解的 局部存在性理论虽然有了长足的发展，为微分方程解的研究奠定了基础，但按此方法求 出精确解的工作仍有待继续加强，主要是李群中的理论研究与解决微分方程求解的实际 问题有待加强另一方面，利用李群对称方法求解也存在两个基本的难题：一是如果由 向量场的特征方程组不能求出相应的首次积分( 尽管理论上能保证初值问题存在局部解) 或得到的积分由隐式确定，就难以继续对原方程约化；二是即使利用特征方程组的解可 约化方程，由单参数群得到的只降低了一维的约化方程求解仍是一个难题如果上述两 个问题能得到较好的部分解决，无疑对多维非线性发展方程解的研究是十分有价值的于 是想到通过基于分析观点的对称约化方法与基于几何观点的李结构法的有机结合，对上 聊城大学硕士学位论文 述两个问题予以探讨和解决，使求解由群向量场决定的特征方程组和利用不变量约化方 程分离开来，即使不能显式地得到特征方程组的首次积分，对于给定的偏微分方程，在 外微分形式下，可以化为p f a f f 方程组，通过求解p 晰方程组得到新解与原解之间的关 系，以期得到有应用价值的方法体系 本文将变换方法分别应用到3 d b k d v 方程和a n n v 方程的求解问题中，得到了新 解首先介绍了外积与外微分的概念，把常微分方程组求解过程中所应用的p f a f f 方程组 的构造推广到偏微分方程中给定一个偏微分方程，通过作变换构造出p f a f f 方程组，求 此p f a f f 方程组可得原方程新解与原解之间的关系，有一个解，就可利用此关系得到一个 新解，此过程称为变换方法求解偏微分方程其次，利用经典李群方法，求出了3 d b k d v 方程的对称，利用此对称约化该方程，求解其中的约化方程得到了原方程的新解尽管 求出了一些新解，但是大部分约化方程都是很难求解的，因此，我们又利用变换方法求 得了一些新解，这些解是利用李群方法无法得到的最后，对于a n n v 方程，利用直接 对称方法求得了对称，取特殊情况得到了一个有限维对称，利用对称的等价向量场，构 造了一个八维对称代数，并获得了群不变解的优化系统，将变换方法与优化系统结合起 来，求出了该方程的新解，并且对其中的三环孤子解在不同时刻的相互作用性质用图像 进行了展示和分析 2 聊城大学硕士学位论文 第1 章基本概念及方法介绍 1 1 外积 设e 为实维线性空间，构造一种新的线性空间a e ，其中p = 0 , 1 ，2 ，n 如果考虑 线性空间 p e 中的向量运算满足如下表达式，则称c c ，为外积运算符号【3 4 1 k ( a a b ) = k a a b a a b + a a c = a a ( b + c ) a a b = - b a a ( b c ) = ( a b ) c 其中，k r ，向量a 、b 、c a 9 e 显然， o e = r 。a 1 e = e 对y-p=2e=僖钯咒卜鼢吐咒e凯矿，y+et=l 的一组基，向 ， 2 e = 五 咒l a r ，再e ，咒e ，设q ，吃， 的一组基，向 【 i j 量x 、j ，具有如下的描述形式： 则向量x 与y 的外积为： nn x = 五岛，j ，= 肛岛， 1 = 1i = l 工 y = ( 一h ) q 乌， 故 q 巳1 1 s i j n 构成了 2 e 中的一组基，i s l 2 e 的维数为c ：= n ( n 一1 ) 2 1 2 外微分 设m 是n 为微分流形，a 是m 上的一个开集，e ( a = 0 ，1 ，n ) 是定义在a 上的全 体r 次的c ”微分形式的集合对于a 上的全体c 。微分形式的集合： n f ( a ) = e ( a ) ， 聊城大学硕士学位论文 在f ( a ) 中定义外微分运算【2 钟 定义1 ：映射d ：f ( a ) 斗f ( 爿) 称为外微分，如果 o ) d ( c o + 缈) = d + d 妒，v 功，妒f ( 4 ) ， ( 2 ) d ( 甜 妒) = d 国 矿+ ( 一1 ) o ) a d p ，m 、妒f ( a ) ，r 为的次数， ( 3 ) 若是零次的，则c o 为普通微分， ( 4 ) 若是零次的，则d ( 咖) = o 注3 4 1 ：( 1 ) 在三维欧氏空间中，设函数f ( x ，y , z ) 在空问区域v 上连续，则可以定义4 个具 有外微分形式的函数 鳓= f ( x ，y ，z ) ， q = a ( x ，y ，z ) d ) 【+ b ( 薯y ，z ) d y + c ( x ，y ，z ) 出， q = a ( x , y , z ) d x a d y + b ( x , y ，z ) 妙 出+ c ( x ，y ，z ) d z 如， q = f ( 茁，y , z ) d x a d y a d g ， 其中嘞、q 、吧和鸭分别具有0 阶、l 阶、2 阶和3 阶外微分形式若再假设空间区域v 上 所涉及到的函数皆可微，则外微分运算如下： d = f ：d x + 0 妙+ d z ， d 0 4 = ( q - b ：) d y a d z + ( a ：q ) 出 如+ ( b ，- a ，) d x , , d y ， d 哆= ( a ：+ b ：+ c ，) 出 妙 出， d 鸭= 0 ； 其中的下指标x 、j ，和z 分别表示该函数对此坐标求偏导数，如：垦皇2 边 麟 因此，在，l 维外积空间中，每一个是后阶外微分形式忙 1 ，x 1 ，x 2 , - - , x 。是a n 任n n c ”的向量场，则 d 埘( x 丙，x r ) 喜( - 1 ) j + l x f o ( x l , - - , 秘，x r ) + ：1 ( 一l y ”( 【x i ，x j i x l ，i ，墨，x ，) ， 1 l g 誓= 2 d r u ，誓d r 2 2 = 之i ，李= 彳+ z 瓦，誓州i ，誓- o ， 辱= i ，手= ：瓦，辱：- z i ，荨：i 捌i ，辱州i ， 誓= 刁石，誓= - 2 一r , 。+ 豺i ，d 凼r j a = - 2 一r u ，+ 4 d i ，誓= s d r m ， 且满足 x 1 ( o ) = 一，x 2 ( o ) = x 2 ，x 3 ( o ) - - x 3 ，i ( o ) = ，i ( o ) = 眨，i ( o ) = 吩， i ( o ) = ，i 。，- ，i ( o ) = ，i ( o ) = ，i ( o ) = b ， 解上面的方程组可得 = 一十工2 s 一s 2 - - 詈，= x 2 2 出3 5 - - 凼2 ，7 = ，+ s ，石= 妒， 2 1 婴壁查兰塑主堂竺笙塞 因此 即 一x = x + y , ，- - 如：一罢，- 歹= y - 2 d t s 一西z ，j ；r + j ，；妒， j 石；妒( ；一菇蕊27 dj ，y + z 疬捌 - _ 刁 情形4 口= ( y + 1 ) 也- 2 d ( t + 1 ) u ，q - n t ，在此情况下，：y n ( 2 1 ) 的不变群的生成元为 v = ( j ，+ ) 去一2 d ( h - ) 熹+ 昙， 向量场为 v = v 1 或+ y 2 a 2 + 矿3 岛+ z 2 铲+ z 3 矿+ z 1 2 a 1 2 + z 1 3 a 1 3 + z 2 2 a 2 2 + 乙a 2 3 + 乞，a + z 1 1 2 8 1 2 + z 1 1 3 n + z 1 2 2 a 1 2 2 + z l a 1 + z 1 3 3 a + z 磁a 2 2 2 + 2 a 2 2 3 + z 2 3 3 a 2 3 3 + z 3 3 ，a 3 3 3 ， 其中 = x 2 + 1 ，矿2 = - 2 d ( + 1 ) ，矿= l ， z j = d 2 ( 形) + 矿1 2 + 矿2 吒2 + 矿3 吒3 = 一， 乙= 皿( 肜) + 矿1 3 + y 2 + y 3 乓，= 2 呶， z 1 2 = d 2d i ( 矿) + y 1 2 + 矿2 2 2 + 矿3 2 3 = 一i ， z 0 = d 3d l ( 阡7 ) + 矿1 h + 矿2 2 3 + 矿3 吒3 3 = 2 d t 2 ， z 之= d 2 d 2 ( 形) + 矿1 ，i 2 2 + 矿2 吃2 2 + 矿3 r e 2 3 ；2 吒2 ， z = q d 2 ( 矿) + 矿1 2 3 + 矿2 r 2 2 3 + y 3 ，b 3 = 吒3 + 2 西k ， 互3 = q b ( 形) + 矿1 ”+ y 2 + 矿3 = 4 呶3 ， z i l 2 = d 2d ld l ( 阡7 ) + 矿1 1 1 2 + 矿2 吒l 笠+ 矿3 ，i l = 一l l ， z l l 3 = d 3d 1d 1 ( 形) + 1 1 3 + 矿2 1 2 3 + r l l = 2 如1 2 ， 互2 2 = d 2 d 2d l ( 形) + 矿1 ，i 1 2 2 + 矿2 ，i 2 2 2 + 矿3 吒2 = - 2 r l l 2 ， z j 2 3 = d ；d 2 d 1 ( 矿) + 矿1 l + 矿2 吒2 + 矿3 2 = 1 3 + 2 嘲2 2 ， z l ”= d 3 d 3d l ( ) + 矿1 ，i m + 矿2 埘+ 矿，i 拼= 4 幽2 3 ， z 拢= d 2 d 2 d 2 ( 矿) + 矿1 2 2 2 + y 2 ，如+ 矿3 ，j 2 2 3 = 一3 2 2 ， 聊城大学硕士学位论文 z 2 2 3 = d 3 d i d 2 ( 降7 ) + 矿1 吒2 + y 2 f j r 2 2 3 + 矿3 吒2 ”= - 2 r 1 2 3 + 2 d 如趋， z j ”= d , d , d e ( w ) + v 1 2 3 3 + y 2 ，b 3 3 + 矿3 r 2 3 ”= + 4 西砬3 ， z j 3 3 = d 3 d 3 q ( 矿) + 矿1 3 3 3 + 矿2 r 2 3 + y 3 r 3 3 ，3 = 8 也 ， 其中矿= 一( y + 1 ) 蚝+ 2 d ( t + 1 ) u ，一虬，则有 譬= + 1 ，丝d s = 划p + 1 ) ，丝d s 乩生d s = o 亟d s - o ，誓= ，亟d s = 2 d i ，凼 、 ， 凼 盟一o，誓=彳，誓划一q2，鲁=-2一r12，idr23=乏捌i，盟=4dr-；7,ds d s ， 凼 “ 出凼凼 ”“ 阜_o阜=i，idth3=2ag，_drm=瓦，阜=-一rll3+2dr-云，idrip3as a sa sa s 删石， 仍琊 警= 刁i ，鲁= 一2 一r m + 2 d i ， 且满足 d r z 3 _ _ _ k 3 ：_ 2 i + 4 d r - i ，阜= 8 d i ， 出 a s x i ( o ) = j 1 ，x 2 ( o ) = x 2 ，x 3 ( o ) = 矿， ( o ) = ，2 ( o ) = 吒， ( o ) = 弓， i ( o ) = l i ( o ) = ，i ( o ) = ”，i ( o ) = 吩3 3 ， j 6 年上回圈刀程组口j 得 一x i = x 14 - ( + 1 ) ，一d + 1 ) s 2 一要 = 工2 一嬲( 矿+ 1 ) s 一凼2 ，= 矿+ s ，石= 缈， 因此 ；= x + ( y + 1 ) 5 一d ( f + 1 ) s 2d s 3 ，y = y - 2 d ( t + 1 ) s 一凼2 ，；= ，；= 矿， 即 ；= 矿( ；一( 歹+ ) s d ( - + - ) s 2 + 詈s 3 , 一y + 2 d ( - + t ) s 一西2 ，；一s ) 由文献【4 3 】知方程( 2 1 ) 有解 铲喁千罴m ( 善) 撖h ( 孝) 盖脚( 孝) c s c h ( 善) 2 ， = 喁千罴 鼬( 孝) f s e c 矗( 善) - 丧阻( 善) f s e c 矗( f ) 2 ， 聊城大学硕士学位论文 其中善：千当f x 一- 3 b 2 + 一一2 _ _ _ s a o a c f 1 ，则由情形l 知， 5 c i2 5 cj = 千罴 c o m ( 善) c s d h ( 约 一2 3 5 b 凹2 。 c o t h ( g ) + c s c h ( 善) 2 ， 鸭4 ，= 千互6 i b 2 t a l l l l ( 善) f s e c 矗( 孝) 一2 3 5 b 邪2 。 t a i l l l ( 孝) f s e c ( 耵， 也为方程( 2 1 ) 的解，其中孝= 千当fx一砂一25cds2-3b2+25aoacfl，类似地，由其它情形 5 c i2 5 cj 也可得到其它新解因此，只要知道方程( 2 1 ) 的一个解我们就可以利用情形1 - 4 中得到 的结果生成方程( 2 1 ) 的新解 本章主要研究了3 d b k d v 方程的对称和精确解利用经典李群方法，首先求出了 3 d b k d v 方程的对称，接着利用此对称约化方程，通过求解约化方程并得到了原方程的 一些新解尽管求出了一些新解，但是大部分约化方程都是很难求解的，鉴于此，我们 叉利用蛮换方法求m 了一磐新解。这蜱解旱雨i 用卒群方法予法得到的 聊城大学硕士学位论文 第3 章非对称n i z h n i k - n o v i k o v v e s e l o v 方程的精确解 3 1 引言 本章考虑下面的非对称n i z j m i k - n o v i k o v - v e s e l o v ( a n n v ) 系统 l + 甜。一3 v z u 一3 v u ，= 0 ， ( 3 1 ) ；= v ， ( 3 2 ) 此方程首先由b o i t i 等人 4 4 1 利用弱l a x 对关系得到事实上，a n n v 方程也可以从k p 方程 4 s j 的内部变量相关对称限制关系得到，并且可以看作是不可压缩流体的模型其中“ 和v 是关于速度的分量【1 3 】该系统的谱变换在文献 4 4 】和 4 6 】中已被研究过，在文献【4 6 】 中，该系统还被h i r o t a 和s a 主s l l i 】7 1 看作是( 2 + 1 ) 维的推广结果c l a r k s o n 和m a n s f i e l d 4 8 1 研究了此系统的非经典对称、p a i n l e v e 性质和相似解，文献 4 9 】研究了它的条件相似约化， 并且文献【5 0 】和 s q 给出了一些不同类型的局域激发，在文献 5 2 】中，给出了一系列具有 相同力点对称的a n n v 系统在变换v = p 冲u = p r 之下，a n n v 系统等价于一个单变 量势方程【5 3 l p f + p 御一3 p = p y 一3 p ；p = 0 ( 3 3 ) 在文献【5 3 】中，作者由( 3 3 ) 式的l a x 对表示得到了全部的李点对称群文献 5 4 】利用 b a c k l u n d 变换得到了与( 3 1 ) 、( 3 2 ) 式等价的方程 q + “m = 3 u o - y 1 聃+ 3 以a ：1 蚝 的显式解 3 2a n n v 方程的对称和优化系统 为了找到方程( 3 3 ) 的对称盯( x ytp ) ，我们取 仃= a ( x ，j ，t ) p ，+ 6 ( x ，y ，t ) p y + c ( x ，y ，t ) p t + d ( x ，y ，t ) p + e ( x ，y ，) ， ( 3 4 ) 聊城大学硕士学位论文 其中a ( x ，y ，f ) ，b ( x ，y ，) ，c ( 工，弘，) ，d ( x ，y ，f ) 和e ( x ，y ，f ) 是待定函数把( 3 4 ) 式代入到 ( 3 3 ) 中，可得到一个新方程，此时，把p ，替换成3 儿岛+ 3 见p 匆一巩，左边就变成一 个关于p 以及它的导数的多项式令多项式每一项的系数为零就可得到一系列关于函数 口，b ，c ，d 和e 的偏微分方程，解这些方程，可得 口= ；矗( f ) 工+ ，( f ) ，6 = g ( y ) c = o ) ，d = 1 3 h o ) ， e = l h ( f ) r + j 1 厂o ) 石+ f ( ，) ， 其中厂( r ) ，g ( y ) ，h ( t ) 莆i lr ( t ) 是任意函数于是，可得到方程( 3 3 ) 的对称如下 盯= ( 拟咖州，) ) n + g ( y ) 以州她 + 1 3 h ( f ) p + l h ( ，) x 2 + j 1 ，o ) x + f ( f ) 如果取1 i ( f ) = 3 q t + c 2 、( ，) = 3 掣+ c 4 、g ( y ) = 岛y + c 6 和f ( t ) = c t t + c 。，就可得到 盯= ( c i x + 3 白f + q ) 见+ ( 岛y + c 6 ) p y + ( 3 q ，+ q ) b + q p + 白x + 岛r + 岛 ( 3 5 ) 上述对称的等价向量场表示为 矿= ( q 工+ 地，+ 矗) 丢+ ( 掣+ 气) 号+ ( 3 印+ 岛) 昙一( q p + c 3 x + 印+ ) 云( s 6 ) 一般地，对于对称群的每一个子群，都有一族对应的群不变解，因此我们可以得到 a n n v 方程的一族群不变解，但是要想列出所有的群不变解是非常复杂的事情因此有 必要找到这些群不变解的优化系统应用文献 1 2 1 中提出的方法，我们将要寻找这个优 化系统 n j 匡j ( 3 5 ) 式，可构造下列八个算子v l ( i = 1 ，2 ，8 ) h = a ，v 2 = a y ，v ，= a ，k = a p ，v 5 = x o ，+ 3 t o ，一p o ， k = y o ，峙= 3 t o ，一如p ，v s = t o p ( 3 7 ) 通过换位子运算h ，】= v 卅一，可得 【v l ，v 2 】= o ，【v 1 ，b 】= o ，【v l ，v 4 】= o ，【l p lv 5 】= v ，【v lv 6 】= o ，【v 1 ，b 】= v 4 ， v l ，吒】= o ， 【v 2 ，b 】= o ，【1 , 2 ，】= o ，【v 2 ，码】= o ，【吃，v 6 】= v 2 ，【v 2 ，v 7 】= o ，【v 2 ，v 8 】= o ，【b ，h 1 = o ， 聊城大学硕士学位论文 【v 3 , v ， = 3 v 3 ，【b ，v 6 = o ，【v 3 , v t = 3 v ，【v 3 ，v 8 】= v 4 ，【v 4 , 吩】= v 4 ，【v 4 ，】= o ，【v 4 ，b 】= o ， 【v 4 ，v s l = o ，【v 5 ，v 6 】= o ，【b ，v 7 = 2 v 7 ，【v 5 ，v s = 4 v s ，【吒，v t = 0 ，【v 6 ，v s 】= o ，【v 7 ，】= o ， 于是，有 性质算予v ( f = 1 ，2 ，8 ) 构成一个八维l i e 对称代数 若令v = c h v t + , b y 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 + a s v s + 吼v 6 + q + a s v s ，应用公式 4 d ( e x p ( s v ) ) v o = v o 一占【v ，v o + 三2 占2 v ，【v ，v o 3 ， 和性质1 ，通过复杂的计算得到以下定理： 定理八个算子q o = 1 ，2 ，8 ) 生成优化系统s 如下： ( a ) b + v 6 ，如，a 6 0 ； ( b ) 啦v 2 + 吩，a 5 0 ，a 6 = 0 ； ( c ov 3 + v 6 + 嘶v 7 + v s ，q ，魄，a 7 0 ，a s = 0 ； ( c 9a 6 v 6 + 岣+ v l ，口6 ，吗0 ，a j = a 5 = 0 ； ( d 1 ) q h + v 3 + 嚷v 6 + 吨v 3 ，吗，a 6 0 ，呜= 口7 = 0 ； ( d 2 ) lv l + v 6 + 魄v 3 ，6 ，a s 0 ，a 3 = 吩= a 7 = 0 ； ( c ) a 4 v 4 + 吒，氏0 ，q = q = a s = a v = 2 0 ； ( f 1 ) 吃v 2 + 码+ q v 7 + a s v s ，吗，a v 0 ，呜= = 0 ； ( f 2 ) 口2 v 2 + v 7 + 屹，a 7 0 ，a 3 一a 5 a 6 0 ； q 1 ) q v l + 呸v 2 + v 3 + a s v 8 ，a 3 0 ，a 5 = a 6 = 嘶= 0 。 ( 9 2 ) h + 嘭v 2 + 吨v 。，q 0 ，a 3 = a s = a 6 = a 7 = 0 ； 哂) v 2 + 口摹吒，啦，a s 0 ，q = 呜= a s = 吼= a 7 = 0 ； 吃+ a 4 v 4 ，a 2 0 ，q 2 a 3 5 a 5 = a 6 = a 7 = a s = 0 通过以上定理可以得到方程( 3 3 ) 的解的优化分类 聊城大学硕士学位论文 3 3a n n v 方程的精确解 下面我们利用上面的优化系统来求a n n v 方程的解，构造新的坐标变换 妒： x ，y ，t - - x l , x 2 , x 3 , 似，r 2 ，r 3 ，l ，2 ，3 ，2 2 ，仫，1 2 ，1 3 ，2 2 ，2 3 ，”r 2 2 2 ，勃3 ，赫，r 3 ” ， 其中一= x ，x 2 = y ，矿= ，矿= “( 毛川) ，- = 尝，吃= 考，吩= 考，t 。= 窘，：= 去， a 2 “0 2 u0 2 u0 2 u 扩” 吒3 2 丽饧2 矿嘞2 丽3 万1 1 。万 扩甜a 3 甜 而，5 夏丽 a 3 “a 3 u扩“a u a 3 材a 3 “o u z z 2 丽丐”2 丽矿丽z 。矿r 2 2 3 2 丽2 丽2 可 情况( a ) ：g r = x 矽x + a 6 y p y + 3 织+ p ，在此情况下，方程( 3 3 ) 的不变群的生成元为 v = x 丢+ ，号+ 3 t 昙一p 吾， v 2 x 瓦+ ，瓦瓦一p 石 向量场为 矿= 矿1 a l + 矿2 a 2 + a 3 + 内p + z j a l + z j a 2 + z j 扩+ z i l a l 。+ z j 2 a 1 2 + z j 3 a 1 3 + 2 之a 趋+ z j 3 a + 五3 矿+ z l l l 扩1 1 + z l l 2 a 1 1 2 + z 1 1 3 扩1 3 + z 1 丝a 1 2 2 + z 1 2 3 a 1 2 3 + z 1 3 3 扩3 3 + z 2 2 2 a 2 2 2 其中 + 2 岛3 a 2 2 3 十z 2 3 3 a 2 ”+ z j 3 3 扩3 3 ， v 1 = 一，v 2 = a 6 x 2 ，v 3 = 3 x 3 ，矿= 一口 z ；= d l ( 矿) + 矿1 吒l + 矿2 i i 2 + 矿3 ，i 3 = - - 2 r 1 ， z 2 = d 2 ( 矿) + 矿：+ 矿2 勃+ 矿r 2 ，= 一( 吒+ i ) 巴， 乙= d 3 ( 形) + y 吒3 + 矿2 饧+ 矿3 = - 4 r 3 ， z 1 1 = d 】d l ( 矿) + 矿1 吒h + 矿2 1 2 + 矿3 1 3 = 一3 l ， z j ：= d 2d l ( ) + 矿1 1 ：+ 矿2 2 2 + y 3 。= 一( 2 + 氏) ：， z l ，= d 3d l ( ) + y 1 1 3 + y 2 ”+ y 3 巧3 3 = - 5 r 1 3 ， z 2 2 = d 2 d 2 ( 矿) + 矿1 2 2 + 矿2 r 2 2 2 + 矿3 嘞3 = 一( 1 + 2 ) ，2 2 ， 聊城大学硕士学位论文 z = d 3 d 2 ( 形) + 矿1 2 3 + 矿2 ，五3 + y 3 吒 = 一( 吒+ 4 ) 吒3 ， z 3 3 = d 3 d 3 ( 矿) + v j q 3 3 + 矿2 勃3 + 矿3 弓驺= - t r 3 3 ， z 1 1 l = d ld ld l ( ) + 1 l l + 矿2 1 1 2 + 矿3 _ ，i l l 3 = 4 i i ， z l l 2 = d j q q ( 阡) + 矿1 1 1 2 + 矿2 1 2 2 + 矿3 1 2 3 = - ( 3 + a 6 ) r i l 2 ， z l i ，= bd l 口缈) + y 1 ，+ 矿2 1 2 ，+ 矿3 1 1 3 3 = - 6 1 3 ， z j 趋= d 2 d ld i ( 阡7 ) + 矿1 i 丑+ 矿2 2 2 2 + 矿_ 2 2 3 = - 2 ( 1 + a 6 ) r 1 2 2 ， z 1 2 3 = d 3 d 2 q ( ) + y 1 ，i 1 2 3 + 矿2 r l m + v 3 1 2 3 3 = - - ( 5 + 0 6 ) r 1 2 3 ， 五3 3 = d 3 b d l ( ) + v 。m + 矿2 3 3 + ，i 3 3 3 = - 8 3 3 z 2 = d 2 d 2 d 2 ( 矿) + r i m + v 2 r 2 m + 矿r 2 2 2 3 = 一( 1 + 3 吼) ， z j = d j d l d 2 ( ) + 矿1 2 2 3 + y 2 ，j 2 2 3 + 矿3 吃2 3 ，= - 2 ( 2 + a 6 ) r 2 2 3 ， z 之，= d 3 d 3 d 2 ( 形) + 2 3 3 + 矿2 ，+ y 3 嘞3 3 = 一( + 7 ) r 2 ”， z ，= d , d , d d w ) + v 1 3 3 3 + y 2 ，岛3 3 + 矿3 弓3 ”= - l o t 3 3 3 ， 其中形= 一p 一识- a 6 y p y 一3 城，则有 害d x i ：丁，害：，害：，7 ，誓：写，：，害叫& + 1 ) i ， 警= 一i ，誓= 。i ，等= 一( 2 + ) i ，誓一s i ，i d r 2 2 = 一( 魄) 云， 鲁= 一( 口6 + 4 ) i ，i d r = 一7 i ，i d r m = - 4 一r m ，i d y l l 2 = 一( 3 + a 6 ) 一r 1 1 2 ， 誓= 瓦，警= 之( + a 6 ) 一，= 1 2 2 ，警= 一( s + a 6 ) 一z 1 2 3 ，i d r m = - 8 一q 3 3 ， 鲁= 一( 1 + 3 口6 ) i ，i d r 2 2 3 = - 2 ( 2 + d 6 ) i ，i d r 2 3 3 = 一( + 7 ) i ，警一 且满足 一( o ) = 一，x 2 ( o ) = x 2 ，工3 ( o ) = x 3 ， ( o ) = 巧，2 ( o ) = 吃， ( o ) = 吩， n 。( 0 ) = ， ，( 0 ) = 吩， 。( o ) = 。，n 。( 0 ) = r 3 ， 聊城大学硕士学位论文 解上面的方程组可得 因此 即 了= x 1 矿，= x 2 e ”，= x 3 p “，石：秽一， 一x = x e 。，歹= 声“，；= 耙“，石= p t p ， ；玎妒( ，为，) 重复上面的计算步骤，我们可以求出其它几种情况的解，现把它们列在表3 1 中 表3 1 a n n v 方程的解 情况对称盯 方程(