（系统理论专业论文）关于模糊紧性与粗集拓扑的研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本文的主要目的是在工一拓扑空间以及不分明化拓扑空间上，讨论基于不同形式的 紧性的相关性质并就粗糙集与拓扑的问题进行研究 本文由两部分组成，第一部分是关于工一拓扑空间以及不分明化拓扑空间紧性的研 究第二部分是关于粗糙集拓扑的研究全文共分为三章 第一部分的主要内容如下： 第一章首先在完全分配格上借助于文 8 提出的一紧的概念，给出了基于覆盖形 式的s 一紧的概念，并且证明了这种紧具有很好的性质例如：s 一紧是闭遗传的；被连 续映射保持；一个弱诱导的三一丘z 砂拓扑空间( 工。，万) 是s 一紧的，当且仅当( x ，【艿】) 是 紧的，并且证明了这种紧性满足t y c h o n o f f 乘积定理其次，引入了s 一仿紧，s 一局部有 限，s e ，s 一正则的概念，研究了它们的相关性质与特征，得出了满足s 一五分离性质 的s 一仿紧空间为s 一正则空间的结论再次，给出了s l i n d e l 6 f 性质的定义并且讨论它 与一般l i n d e l 6 f 性质的关系最后，研究了可数s 一紧的性质与特征 第二章首先，利用连续值逻辑的语义方法将诸如强半开集、不定映射的概念引入 到不分明化拓扑空间中，并由此出发给出了不分明化拓扑空间中豁一紧性，并讨论了其 性质其次，将一开集、口一开集的概念引入到不分明化拓扑空间中，采取形式化的逻 辑语言给出了不分明化拓扑空间中的一紧性、口一紧性、可数一紧性、可数口一紧性 以及口一l i n d e l 6 f 、口一l i n d e l 6 f 性质，进而讨论了其性质 第二部分的主要内容如下： 第三章首先，定义了区间值模糊粗糙集的上下近似，并讨论了其相关性质其次， 借助于区间值模糊截集的概念，给出了区间值模糊粗糙度量最后，由区间值模糊关系胄 诱导出了区间值模糊集关于近似空间的模糊上下近似证明了当r 是论域c ，上的一个自 反传递的区间值f u z z y 关系时： m r 矿r s ( u ) ，倒，童b 盘( 4 ) ) _ x 袅( a j ) 并由此得出了一个有趣的结论： 聊城大学硕士学位论文 。= 阻) 悱i v f s ( u ) 构成论域u 上的一个f u z z y 拓扑 关键词：模糊拓扑；s 一紧性；s 一仿紧性；不分明化拓扑；租糙集；区间值模糊 集；上、下近似 i i 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , o u rm a i np u r p o s ei st od i s c u s st h ep r o p e r t i e so fd i f f e r e n tc o m p a c t n e s si n l t o p o l o g i c a ls p a c e sa n df i 商f 3 ，i i l gt o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dt os t u d yt h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nr o u g hs e t sa n dt o p o l o g y t h i sp a p e rc o n s i s t so f t w op a r t s t h e ya r ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e ro fp a r to n et h ec o n c e p t so fs c o m p a c t n e s s , s - p a r a c o m p a c l n e s s , s l o c a lf m i m ，s 一瓦s 一g u l a ra n d s l i n d e l o f p r o p e r t yi sd e f i n e d a n ds o m ep r o p e r t i e so f s - c o m p a c t n e s sa n ds p a r a c o m p a c t n e s sa r ep r o v e d f o re x a m p l e ，t h et y c h o n o f ft h e o r e m f o rs _ c o m p a c t n e s si st r u e aw e a k l yi n d u c e dl - f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c ei s s - c o m p a c t i f a n d o n l yi f ( x ，吲) i sc o m p a c t as 一五s - p a r a c o m p a c ts p a c e i s s r e g u l a rs p a c e m o r e o v e r , t h ep r o p e r t i e so f c o u n t a b l es - c o m p a c m e s sa r es t u d i e d i nc h a p t e r2 ，t o p o l o g yi ss t u d i e db yt h es e m a n t i cm e t h o do fc o n t i n u o u sv a l u e dl o g i c f i r s t l y ，t h ec o n c e p t so fs t r o n g l ys e m i o p e ns e ta n di r r e s o l u t em a p p i n ga r ed e f i n e di nf u z z - i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e s m o r e o v e r , w ei n t r o d u c ea n ds t u d yt h es s - c o m p a c t n e s si n 比z i f y - i n gt o p o l o g i c a ls p a c e s m a n yc h a r a c t e r i z a t i o n so f 嚣- c o m p a c t n e s sa r ep r e s e n t e d s e c o n d l y ，t h ec o n c e p t so f 卢一o p e ns e t , 口- o p e ns e ta l ed e f i n e di nf u z z i f y i n gt o p e - l o g i c a ls p a c e s m o r e o v e rw ei n t r o d u c ea n ds t u d yt h ep c o m p a c t n e s s ，a 。- c o m p a c t n e s s ， c o u n t a b l e 一c o m p a c t n e s s ，c o u n t a b l ea - - c o m p a c t n e s sa n d p l i n d e l o fp r o p e r t y ，口一 l i n d e l o fp r o p e r t yi nf u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e s m a n yc h a r a c t e r i z a t i o n so f 佟一c o m p a c t - n e s s ，a - c o m p a c t n e s s ，c o u n t a b l e f l c o m p a c t n e s s ，c o u n t a b l ea - c o m p a c t n e s sa n d 一 l i n d e l o f p r o p e r t y , 口- l i n d e l o f p r o p e r t i e sa mp r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，f i r s t l y ，t h ec o n c e p t so fu p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t o r so fi n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e ta l ed e f i n e d a n ds o m ep r o p e r t i e sa r es t u d i e d s e c o n d l y ，w i t ht h eh e l po f t h e i n t e r v a l v a l u e df u z z yc u ts e t , w eg e tap a r a m e t e r i z er o u g h n e s sm e a s u r eo fa ni n t e r v a l - v a l u e d f u z z yr o u g hs e t s a tl a s t ，w ep r o v e dt h a tt h ef u z z yi n t e r v a l v a l u e dr e l a t i o n rc a ni n d u c ea 晒t o p o l o g y i n f i e l d u 1 1 1 聊城大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：f u z z yt o p o l o g y ；s - c o m p a c t n e s s ；s - p a r a c o m p a c t n e s s ；f u z z i f y i n gt - o p o l o g i c a ls p a c e s ；r o u g hs e t s ；i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t ；u p ( l o w ) a p p r o x i m a t i o n0 - p e r a t o r i v 聊城大学硕士学位论文 前言 1 9 6 5 年，l a z a d e h 建立了f u z z y 集理论( 1 ) 1 9 6 8 年，c l c h a n g 给出了，一拓 扑空间的概念( 2 ) ，后经j a g o g u e n 将值域i = 【o ，1 1 推广为带有逆序对合对应的完全 分配格，而提出了三一拓扑空间( 即 3 和 4 中的三一拓扑空间) 的概念在此之后的十 几年内，虽有b h u t t o n ，c k w o n g 等人的出色工作( 5 ，6 ，7 ) ，但由于没有找到理想 的f q z z y 点与f u z z y 集的邻属关系，使有点化拓扑的发展受到限制而几乎停滞不前 1 9 7 7 年，刘应明教授在分析了c k w o n g 的f u z z y 点与其邻域系的弊病之后修改了 f u z z y 点与f u z z y 集的从属关系，打破传统的邻域方法，创造性地引入了“重域”的概 念，并成功地建立了m o o r e s m i t h 收敛理论此举从根本上深化了f u z z y 拓扑学的研究， 并给这门学科的发展带来了无限生机随后王国俊教授利用“非远即进”的思想又引入了 “远域”的概念，并由此在完全分配格上建立了以点集拓扑学、f u z z y 拓扑学乃至更为 一般的工一拓扑学为特款的拓扑分子格理论其中，“分子”、“远域”、“序同态”是拓扑 分子格理论的三个核心概念分子是f u z z y 点的抽象化，远域是重域的一般化，序同态则 是z e d e h 型函数的推广从此以后，有点化学派迅猛发展，如今己经是硕果累累 作为f u z z y 拓扑学中比较重要的问题，c l c h a n g 关于f u z z y 紧性的研究是不成功 的，因为f u z z y 拓扑空间( 三一拓扑空间) 较之一般拓扑空间多了一个层次结构，在这 种更广的框架之下建立紧性理论要复杂的多目前已有多种模糊紧性。这其中王国俊教授 的“良紧性”理论( 4 ) 是比较理想的，被前苏联数学家a $ o s t a k 誉为“最好的模糊 紧性” 在一般拓扑学中，紧性有多种不同形式的等价刻画，其中最简捷的当推有限覆盖的 描述因此在f u z z y 拓扑空间( 三一拓扑空间) 中探索用有限覆盖的形式来刻画模糊紧性 便显得非常有意义史福贵教授创造性地利用覆盖的形式定义的9 一紧( 8 ) ，得到了许 多好的结果鉴于此，本文的第一部分内容就是在三一拓扑空间中进步一步研究f u z z y 紧 性的有限覆盖式刻画引入了s 一紧的概念，并讨论与之相应的仿紧性，可数性以及 l i n d e l s f 性质。 通常的f u z z y 拓扑空间，其f u z z y 拓扑是一个由肖上f u z z y 集合所构成的分明集族， 因此就其拓扑而言，f u z z y 的特色并没有充分体现出来为此1 9 8 5 年a $ o s t a k 在文 4 2 聊城大学硕士学位论文 中将开集的概念模糊化，把，一拓扑空间的概念做了进一步的推广，建立了x 上的 f u z z i f y i n g 拓扑空间随后，很多国内外学者也先后给出了类似的讨论其中，应明生教 授在文 1 0 一1 2 中利用连续值逻辑的语义方法提出了不分明化拓扑，从一个新的角度发展 了不分明集框架下的拓扑学并在此基础上利用包含度来区分覆盖的程度，将覆盖式定义 置于连续逻辑值的l u k a s i e w i c z 一$ a r s k i 系统中加以解释，给出了紧性的刻化，得到了很 多较为理想的结果鉴于此，本文的第二部分内容就是利用连续逻辑值语义的方法来进一 步研究不分明化拓扑空间，并就不分明紧性进行了深入的探讨 p a w l a k 1 7 ，2 h 所建立的粗糙集理论，是研究信息系统中知识的不完善，不准确问 题，是通常集合论的推广在p a w l a k 粗糙集模型中一个关键的问题就是等价关系，由等价 关系所确定的等价类是建立近似空间中上下近似的基础所在由此便产生了一个问题，即 能否将等价关系推广到更为一般的关系，甚至是模糊关系呢? 在文 3 4 ，3 5 ，3 6 f u z z y 粗糙 集的概念被提出，并且用论域上的一个模糊关系替换了分明的一般二元关系文 2 0 ，2 5 ， 2 6 提出了区间值f u z z y 集( 简称为i v f s ) 的概念，并用于近似推理、信号传输及控制器等领 域本文的第三部分是在上述工作的基础上，利用区间值f u z z y 集和区间值f u z z y 关系将 p a w l a k 粗糙集模型进行了推广，得到了若干结论此外，还就粗糙集与拓扑的关系进行了 研究，得到了当f u z z y 关系满足自反性和传递性时，由f u z z y 下近似可以确定一个拓扑的结 论 2 聊城大学硕士学位论文 第一章l - f u z z y 拓扑空间的紧性 1 1 预备知识 本章中( 厶 ，v ，) 总表示一个f u z z y 格，表示非空集合x 上的所有工一a z 秒集g ! 分 别表示的最小元和最大元m ( t ) ( m ( ) ) 表示三( f ) 上所有的非零即约元 定义如下的二元关系：对a ，b l ，口- ( b 当且仅当对每个d l ，当b s u p d 时，总 是存在p d ，有口p 称- 是可乘的( 见 9 ) ，如果对a , b ，x ，y l ，当口 b 且工y 时，总 有口 占- x y 我们规定在本章中上述二元关系总是可乘的在本章中 口e 工l a - b ) 是 b 的最大极小族，记为( 6 ) 对任意的4 r ，( 彳) 表示a 的最大极小族，并且 户( 爿) = 夕( 爿) n m ( ) 本章的其他术语可参考文献 3 【4 8 9 此外，对4 ，口l ，采用如下记号： a 扣= j x 1 4 ( 砷茹口 ，4 驯l = x x 1 4 ( x ) 2 口 4 町= x x i a f l ( a ( x ) ) ，0 4 1 = x z x l a 垂瑾4 ( x ) 定义1 1 1 嘲设( 矿，万) 为工一细拓扑空间，口材( 工) ，g e r ，称6 为g 的 一个尾一开覆盖，若溉x ，当口瘩声( g ( 工) ) 时，存在4 e o 使得口e 卢( 爿( 工) ) 显然，o 为g 的一个疋一开覆盖，当且仅当溉x ，有口( g ( x ) v a ( x ) ) 定义1 1 2 嘲设( p ，o 3 是一个l 一拓扑空间，口三 o ，g e ，称( ，占是g 的 一个q 一开覆盖，如果对工x 当g ( z ) 口时有v 。“4 0 ) 窿 定义1 1 3 嘲设( r ，j ) 是一个三一拓扑空间，g x ，称g 是一紧的，如果拟0 g 的每个尾开覆盖，都有有限子族构成g 的q 一开覆盖若! 是9 一紧的，则称( ，回 是s 一紧的 定义1 1 4 “1 设( ，6 ) 是一向拓扑空闻，4 ，如果对任闭集 e 。，当 聊城大学硕士学位论文 ( 岔e ) 彳= 。时，存在，2 ，丁使( 三置) _ = 。，则称( p ，艿) $ j ；e s l i n d e l g f 空间 定义1 1 5 没( ，占) 是三一丘掣拓扑空间，a e ，口吖( j 巳) 如果4 的任一a 一 远域族都有可数子族构成彳的o t 一远域族，则称a 具有口l i n d e l s f 性质如果对任意的 口m ( o ，a 都有口一l i n d e l j f 性质，则称a 具有l i n d e l 6 f 性质如果! n n l i n d e l g f f t 质，则称( ，占) 是l i n d e l 6 f 空间 定义1 1 6 设( j ，r ) 是分明拓扑空间，吐叮) 表示从( x ，r ) 到上的所有下半连续函 数的全体q 仃) = 口r i a 4 n n c o , ( t ) 是x 上的三一拓扑( ，吨口) ) 叫做由d 拓扑生成的 定义1 1 7 啪设( ，6 ) 是一个三一拓扑空间，称( ，j ) 是弱诱导的，如果v 口l ， 诩酣，有4 ( 4 吲 l - 2l - f i z z y 拓扑空间的s 一紧 定义1 2 1 设( 三善，艿) 为l f u z z y 拓扑空间，g r ，称g 是s 一紧，如果 v 口m l ) ，g 的每个尻一开覆盖都有有限的子尾一开覆盖如果! 是s 一紧的则称 ( l x ，艿) n s - n n 定理l 2 2 设( r ，回为一廊拓扑空间，如果s u p p ( x ) 是有限的，则( r ，万) 是s 一 紧的 定理l 2 3 设( r ，回为c f u z z y 拓扑空间，g r 是s 一紧的，日则g 日是 s 一紧的 证明设是g 日的一个尾一开覆盖，则m u h 是g 的一个皮一开覆盖由g 是s 一紧的可知，存在m u 日 的有限子尾一开覆盖、王， 令z = 甲、 日 ，则中是g 日的一个有限尾一开覆盖，这就表明g 片是s 一紧 的 4 聊城大学硕士学位论文 定理1 2 4 设( r ，6 ) ，( r ，) 为l - f u z z y 拓扑空间，g e l x 是s 一紧 的，厂：( ，6 ) 寸( ，) 是连续映射，并且对任意的y y ，存在x 厂1 ( y ) 使得 厂( g ) ( y ) = g ( x ) ，则，( g ) 在( f ，) 是s 一紧的 证明 设西p 是厂( g ) 在( 上r ，) 中的一个反一开覆盖，则v y e y ，有 口卢( ( g ) ，) v ( 甚彳( ) ，) ) ) 因此，x ，可知 口( g ( x ) v ( 甚厂1 ( 4 ) ( x ) ) ) 1 1 1 3 f 一1 ( m ) = 厂一1 ( 爿) 1 4 。 是g 在( ，万) 中的一个尻一开覆盖g a g 是s 一紧的可 知，存在s 的有限子族甲，使得厂1 ( 甲) = ，1 ( 爿) i 爿甲) 是g 的一个尾一开覆盖， 对任意的) ，y i r x f 。( y ) 使得厂( g ) ( y ) = g ( x ) 得 口e ( g ( 工) v ( 善厂1 ( 爿) ( x ) ) ) = ，( ，( g ) ( j ，) v ( 善a ( y ) ) ) = 芦( 厂( g ) ，( y ) v ( 甚彳( 训 这就表明甲是厂( g ) 一个尾一开覆盖从而厂( g ) 在( ，) 是s 一紧的 引理1 2 5 嗍设( ，0 3 为弱诱导的三一细拓扑空间，口三，4 艿则4 。l 【6 】 定理1 2 6 设( ，回为弱诱导的三一向拓扑空问，则( ，艿) 是s 一紧的，当且仅当 ( x ，【占】) 是紧的 证明设( 工，p 】) 是紧的，对口m ( 三) ，设o 6 是! 在( p ，占) 一个尾一开覆盖，则由 引理1 2 5 可知， ) i 巾 是( 工，p 1 ) 的一个开覆盖，则由( 置p 1 ) 是紧的可知，存在 m 占的一个有限子族甲，使得 l 壬，( 。) = 4 。) l 爿、王，j 是( x ，【占】) 的一个开覆盖，显然甲是是! 在( r ，d ) 一个尾一开覆盖，这就表明( ，艿) 是s 一紧的 反之，设( ，6 ) 是5 - 紧的，q 是( x ，p 】) 的一个开覆盖对口声( ! ) 是! 在 聊城大学硕士学位论文 ( ，占) 一个见一开覆盖，于是由( r ，6 ) 是s 一紧的可知，存在q 的有限子族甲，使得肌 是! 在( ，占) 一个尾一开覆盖显然甲是( x ，p 】) 的一个开覆盖这就表明( x ，p 1 ) 是紧 的 推论1 2 7 设( z ，f ) 是一个拓扑空间，则( ，魄( f ) ) 是s 一紧的，当且仅当( x ，r ) 是 紧的 引理1 2 8 嘲设l 是一个完全分配格，则下列条件等价： ( 1 ) 极小映射p ：三斗2 保有限交： ( 2 ) 二元关系 最 昱k - 只，则存在1 f 靠使得 p q 现考虑叩n q 若r l n d 是g 的尾一开覆盖，则由条件可知存在，7 n q 的有限子族a 构成g 的尾一开覆盖，而，7 n q q ，则是q 的有限子族，这就与q 是r 的最大元矛盾， 所以叩n q 不是g 的反一开覆盖，这就表明对任意的a ，7 n q ，存在石工，使得 口芒( g ( 膏) v 彳( x ) ) 。 由( 1 ) 可知q 是g 的尾一开覆盖，因此对所有的x z ，存在d e q 使得 口，( g ( x ) v d ( x ) ) 令d 2 兰金4 ，其中对f ，z 是有限集，且以玎 迸一步，存在f ，使得口( g o ) v 念以( x ) ) ，所以对每个，z 由引理1 2 8 - i 知，口声( g ，( 工) v 呜( x ) ) ，这与口仨( g ，( x ) v 鸣( x ) ) 矛盾证毕 定理1 2 1 0 设 ( 栌，西) 。是一族一助拓扑空间，( r ，万) 是其乘积空间，若对 f ，g j 在( 芦，4 ) q 口是s 一紧的，则g = gg f 在( ，艿) 是s 一紧的 。 证明令b = 只。( 口) l f ，d fe 4 ，则b 为艿的子基由引理1 2 9 ，要证g 是s 一紧 的，r i n g 的每个包含于b 的尾一开覆盖都有有限子族构成g 的尾一开覆盖 设中是g 的尾一开覆盖，西b 令，中= 苫仍 ，其中 织= z 。( e ) l 旦b ，b ，点) ，则 聊城大学硕士学位论文 帆x ，a ( g ( 石) v 二爿( 膏) ) = 卢( g ( x ) v 品( 蔫彳( x ) ” ( 1 ) 若存在f ，使得置，口p ( g 7 ( t 1 ) ，i t j v x e x ，口( g o ) ) ，此时西的 任意有限子族都是g 的尾一开覆盖 ( 2 ) 若v f j ，存在t 工，使得口舞( g “) ，) ，则存在七，使得巩是g 的尾一开 覆盖 事实上，若不存在七j 使得b 。是q 的见一开覆盖，则，v i ，存在儿置，使得 口萑【q ( 以) v 函b ( 叫 协 叱= ；篡是 于是g ( z ) = ( ( 善4 ( q ) o ) ) v ( 苗只。( q ) ( z ) ) ) = ( 兰q ( 只) ) vv g f x ) 而且对任意的f j ，由 a 茌( 近丑) ) = ( 菡p - i , ( b ) ) ( z ) ) = 户( 盖4 ( z ) ) 可知口正等( 茜彳( z ) ) = ( 苗( 温4 ( z ) ) ) f l l l a 芒f l ( o ( z ) v 甚a ( z ) ) ，这与口p ( g ( z ) v 兰爿( z ) ) ，矛盾 由q 在( 庐，瓯) 中是s 一紧的可知，存在b 。的有限子族甲。构成q 的一个尾一开覆 盖，且 巧1 ( b ) ) = 巧1 ) l 矿甲。 是g 的尾一开覆盖 事实上，协并，若口芒( g ( x ) ) ，口芒( 巧1 ( q ) ( x ) ) ，即口正( q ( 尸( 工) ) ) 因此口( q ( x ) v 茹。伊( x ) ) = p ( g ( j ) v ( v 巧1 ( 妒) ( x ) ) ) 这就表明 巧1 ( 甲。) = 巧( p ) l p 、壬，。 是g 的尾一开覆盖证毕， 通过定理i 2 4 及定理1 2 1 0 ，可以得到如下定理 定理1 2 1 1 设 ( 驴，点) 。是一族三一切拓扑空间，( ，j ) 是其乘积空间，则 ( r ，6 ) 是s 一紧的，当且仅当，v f ，( ，巧) 是s 一紧的 聊城大学硕士学位论文 1 3 l f u z z y 拓扑空间的s 一仿紧 定义1 3 1 设( f ，国为三一向拓扑空间，以为r 中的模糊点，称u e j 为x a 的强 开邻域，如果a 卢( u ( x ) ) 定义1 3 2 设( r ，o 3 为l - f u z z y 拓扑空间，a e ，称u 艿为a 的强开邻域，如果 x q 4 粼x e x ，都有彳( 工) ，p ( x ) ) 定义1 3 3 设q = 4i f r ，d ，a e m ( l ) ，若口芒卢( d ，( 膏) ) 时，存在包含毛 的强开邻域u ，及r 的有限子集瓦，使得， v t 写，4 ( x ) u ( z ) q 则称q = 4 t e t 在d 上是s 一局部有限 定义1 3 4 设( ，o 3 为工一向拓扑空间，如果对任意的而，以e 村( r ) ，当x y 时，存在包含毛，丘的强开邻域p ，q ，使得p a q = o _ ，则称( r ，万) 是s 一艺的 定义1 3 5 设( ，o 3 为l - f u z z y 拓扑空间，口肘( 工) ，b ，当垤隹s u p p ( b ) ， 存在包含磁，b 的强开邻域p ，q ，使得p q = q ，则称( ，万) 是s 一正则的 定义1 3 6 设( r ，回为三一细拓扑空间，d ，称d 是s 一仿紧的，如果对任 蕞的o t e m ( l ) ，d 的每个尾一开覆盖中都存在一个尾一开覆盖甲加细m ，并且甲在d 上是s 一局部有限的当d = ! 时，称( ，艿) 是s 一仿紧的 定理1 3 7 设( ，o 3 为l - f u z z y 拓扑空间，m 是s 一仿紧的，则m a n 是s 一仿紧的 证明对口膨( 上) ，设m 是m a n 的一个反一开覆盖，令r = u 则f 是肘的 一个统一开覆盖由m 是s 一仿紧的可知，存在肘的尾一开覆盖、壬，使得甲加细f ，并且 甲在m 上是s 一局部有限的 令= 、王， ，则是肘 的一个反一开覆盖，并且加细因为a ；在s m 上是s 一 9 婴堡奎鲎堡主兰垡堡塞 局部有限的，当然在膨 上也是s 一局部有限的，所以m a n 是s 一仿紧的 定理1 - 3 8 设( r ，艿) 为弱诱导的三一纫拓扑空间，则( r ，艿) 是s 一仿紧的，当且 仅当( z ，p 】) 是仿紧的 证明设( x ，【j 】) 是仿紧的，对口肘0 ) ，令m 为! 在( r ，5 ) 中的一个反一开覆盖则 。( 。) = 4 。) i 爿o 是( x ，p 】) 的一个开覆盖，由( x 6 】) 是仿紧的可知，存在( x ，p 】) 的局 部有限的开覆盏、壬，= e i t r 加细乳1 令r = 施a a ie 垡以) ，4 ，则由西是! 在( r ，6 ) 中的一个尾一开覆盖可 知，垤尽，口( ! ，( 工) v ( 甚一( 工) ) ) = ( 1 7 ( 石) v ( 二( ! ( 工) 彳( x ) ) ) ) = ( r ( x ) v ( 甚( 如( x ) 彳( x ) ) ) ) 这就表明，r = a a i b ，垡椎j ，一e 西 是! 在( ，占) 中的一个尾一开覆盖 现证r 是s 一局部有限的，取【万】，以及，的有限子集瓦，由甲是局部有限的可 知，v ，写，日n o 于是对口肘( 三) ，可知尻是在! 中的包含屹强邻域，并 有，肌( 工) 彳( x ) q 从而有， 、 ( ( 施 4 ) 加) ( x ) = ( 舭) ( 工) ( 爿 氟) ( x ) = 施w ( z ) ( 爿 肌) ( x ) q 所以f 是s 一局部有限的 反之，设甲是( x ，p 】) 的一个开覆盖，则存在口m ( o ，使得中= 舶i 曰甲 是! 在 ( ，巧) 中的一个尾一开覆盖，由( ，艿) 是s 一仿紧的可知，存在( ，占) 的一个尾一开覆 盖r 加细m ，并且r 在! 中是s 一局部有限的 令= 名) i f r ，易见a g ( x ，【占】) 的个局部有限的开覆盖，并且加细掣，这就 表明( z ，p 】) 是仿紧的 定理1 3 9 设( ，j ) 为s 一墨的s 一仿紧的空间，则( r ，万) 是s 一正则的 1 0 聊城大学硕士学位论文 证明设( ，艿) 为s 一毛的s 一仿紧的空间，而e m ( l x ) ，b e 6 且x 芒s u p p ( b ) 因 为( ，占) 是s 一乏的，对口膨( 工) ，y es u p p ( b ) ，存在包含矗及弘的强开集0 ，g 使 得0 g = q 令m = 9 l 虼曰 u 占 ，则中是( ，占) 的一个成一开覆盖由( ，j ) 是s 一仿紧 的可知，存在( ，6 ) 的一个尾一开覆盖甲加细中，并且l 壬，在( ，j ) 3 = 是s - 局部有限 的 令q = 4 1 4 耋占，4 v ，f ， ，则q 是口的一个疋一开覆盖，并且加细 g i 儿s 占) 显然q 在( ，占) 上是s 一局部有限的，因此存在! 中的分子，及包含虼的强开邻域u ， 对r 的有限子集t o ，有v ，r 一瓦，v 4 = q 因为q 加细 g i 儿占 ，则v i n ，取 只e j ，使得4 ，级 令p = u ( 矗己) ，q = 善4 ，易见p 是包含毛的强开邻域，q 是包含口的强开邻域 事实上，由q 是占的一个尾一开覆盖可知，对儿b ，有 口( ( y ) v ( v 4 ( j ，) ) ) 即v d r - ，当p ) v ( v 4 ( ，) ) s u p d 时，存在p d ，使得口s p 因为 v 4 ( y ) ( y ) v ( v 4 ( y ) ) s u p d 所以，vd 三，当v 4 ( y ) 呻d ，存在p d ，使得口p ，从而就有 a ( v 4 ( ) ，) ) = ( q ( y ) ) 这就表明，q 是包含b 的强开邻域 因为，( 墨矗) n ( 曼蛾 = 曼( ( 三只) q j 兰n ( 只 统) = q 所以， 尸 q = p 匕4 ) 聊城大学硕士学位论文 = p 、 ( 。x 。4 ) v ( 曼4 ) = - p ( ，。x 。4 ) v p ( 曼4 。) u ( 。芝。4 ) v ( 鑫最) ( 曼岛) ，。x 。( u 4 ) v 三( 最 蛾) 这就表明f p ，占1 是s 一正则的 1 4s l i n d e l s f 空间 定义1 4 1 设( ，j ) 是一肋拓扑空间，4 ，口肼化) ，如果4 的每个忽一 开覆盖q ，都存在它的一个可数子族甲构成a 的一个尾一开覆盖，则称a 具有 s - a - l i n d e l s f 性质如果对任意的口m ( o ，a 黼- s - a - l i n d e l s f 性质，则称4 具 有- s - l i n d e l s f 性质如果! 具有s l i n d e l 甜性质，则称f ，6 ) 是s - l i n d e l s f 空间 在文 4 中由定理4 2 1 8 可知，( l x ，6 ) 是准l i n d e l s f 空间，当且仅当( r ，艿) 的每个 开覆盖都有可数子覆盖，并且若是4 的一个尾一开覆盖，当然也是a 的一般意义下 的开覆盖，所以有以下推论 推论1 4 2 设( ，j ) 是r - f u 2 0 , 拓扑空间，若( r ，6 ) 是s l i n d e l s f 空问，则 ( ，占) 是准l i n d e l s f 空间 当工- - o ，1 】时，是彳的一个尾一开覆盖，当且仅当是4 的一个口一远域族，所以 有如下推论 推论1 4 3 当工= 【o ，1 】时，( ，万) 是s l i n d e l 6 f 空间，当且仅当( r ，6 ) 是l i n d e l s f 空间 于是可以得到如下关系图： 1 2 聊城大学硕士学位论文 l i n d e l 6 f # 尘尘苎s l i n d e i 醚呻臻l i n d e l 雒l i n d e l 勰 圈1 1 定理l 4 4 设( ，j ) 是l - f u z z y 拓扑空间，且s u p p ( x ) 为有限集，则( 驴，j ) 是 s l i n d e l 6 f 空闻 定理i 4 - 5 设( r ，艿) 是一囊z 秒拓扑空间，a m ( 三) ，b e 8 ，则： ( 1 ) 若4 是s 一口一l i n d e l 6 f ，则a b 也是s 一口一l i n d e l 6 f ； ( 2 ) 若a 是s l i n d e l s f ，则a a b 也是s l i n d e l s f 证明只证( 1 ) 设。是4 占的一个成一开覆盖，则o u b 是爿的一个以一开覆盖 由a 是s 一口一l i n d e l b f 的可知，存在o u f 的可数予族甲构成爿的尾一开覆盖，从而 甲、 f 是。的可数予族甲、 f 是彳的几一开覆盖事实上，对口叠( ( 4 丑) o ) ) ，易 证口芒卢( o ) ) n ( 占( x ) ) ，从而就有口芒夕( 4 ( 工) ) 且a 舞卢( o ) ) ，由口芒( ( x ) ) 及 彳是s 一口一l i n d e l 6 f 的可知，存在膨l l ，使得口( 膨( x ) ) ，又口叠( o ) ) ，所以 g ( 材( 工) 、( x ) ) ，其中m 、t 、 占 这就证明了、l ，、 是爿的尼一开覆盖 综上所述，a b 也是s o f l i n d e l s f 的同理可证s l i n d e l s f 的情况 推论1 4 6s l i n d e l s f 空间是闭遗传的 定理1 4 7 设( ，艿) 是弱诱导的三一御拓扑空间，则下列条件等价： ( 1 ) f ，8 ) 是s - l i n d e l 6 f ： ( 2 ) j 口膨( 二) ，使得( ，8 ) ；硅s - a - l i n d e l s f ； ( 3 ) ( 工，p 1 ) 是l i n d e l s f 的 证明( 1 ) j ( 2 ) 显然 ( 2 ) 毒( 3 ) ，设甜是( z 【占】) 的歼覆盖，对任意的”甜，有国= 厄l u e u ) 是( ，j ) 的一 个允一开覆盖则由s - a l i n d e l 6 f 可知存在由的可数子族甲构成( ，6 ) 的尾一开覆 盖，其中甲= 氙i i = 1 ，2 ，此时 l i = 1 ，2 就是“的可数子族并且覆盖( x ，p 1 ) ，所 聊城大学硕士学位论文 以( x ，【占】) 是l i n d e l 5 f 的 ( 3 ) j ( 1 ) ，设口m ( ) ，q 是( ，d ) 的一个尼一开覆盖因为( ，占) 是弱诱导的，所 以硝= q 口 ：u q 是( x ，【艿】) 的一个开覆盖，又( x ，f 占】) 是l i n d e l 5 f 的，于是存在硝的 町数子族q o = v i 的：持l ，2 覆盖( x ，【占j ) ，此时q 。= 配：i = l ，2 就是q 的一个可数 予族，并且构成( ，艿) 的一个疋一开覆盖从而由口的任意性可知( ，艿) 是 s l i n d e 】6 f 的 1 5 可数s 一紧空间 定义1 5 1 蔺设( ，艿) 是一个三一拓扑空间，g e x ，称g 是s 一紧的，如果 c a 肘( 三) ，g 的每个尾一开覆盖，都有有限子族构成g 的q 一开覆盖若! 是s 一紧 的，则称( ，回是s 一紧的 定义1 5 2 设( 矿，回是一个工一拓扑空间，g x ，称g 是可数一紧的，如果 v 口肘( 上) ，g 的每个可数见一开覆盖，都有有限予族构成g 的q 一开覆盖若! 是可 数r 一紧的，则称( l x ，艿) 是可数s 一紧的 定理1 5 3 若g 是s 一紧的，则g 是可数s 一紧的 定理i 5 4 若g 是可数s + 一紧的，是闭的，则g h 是可数s + 一紧的 证明设是g 胃的可数忽一开覆盖，则u u 是g 的可数反一开覆盖由g 是可数s 一紧的可知，存在u u h 的有限子族矿，使得矿构成g 的一个q 一开覆盖令 矿= 矿 日 ，则矽是g 抒的一个q 一开覆盖这就表明g 是可数s 一紧的 推论i 5 5 可数s 一紧是闭遗传的 定理1 5 6 若g 在( ，戎) 中是可数一紧的，f ：x y 是连续映射，五：哼f 是的扩张，则左+ ( g ) 在( ，蕊) 中是可数s + 一紧的 1 4 聊城大学硕士学位论文 证明设u 嘎是( g ) 的可数尾一开覆盖，则砂r 有 a f l ( f z ( g ) ( y ) v 品4 ( y ” 因此存在x x 使得 口多( g 7 ( x ) v 凶t ( a x x ) ) 这就表明f ( 矿) = 岔( 彳) f 爿是g 的可数反一开覆盖，由g 是可数f 一紧的，- - f 知 存在u 有限予族形使得疗( 矽) 是g 的q 一开覆盖 而由 f ( g ) ( y ) v 善a o ) = ( o ) g ，( x ) ) v ( 善触) ) 2 ，。p ( g ( z ) v ( 品一( m ) ) ) ) 2 。( g ( 聋) v ( 凶u ( 4 ) ( x ) ) ) ) 可知形是f z ( g ) 的q 一开覆盖因此( g ) 在( ，最) 中是可数一紧的 引理1 5 7 姗( ，回是一个弱诱导的三一拓扑空间，口e 三。a e 6 ，则4 。，是【羽中的 开集 定理i 5 8 ( 矿，回是一个弱诱导的一拓扑空间，则( ，国是可数f 一紧的当且仅 当( 置【6 】) 是可数紧的 证明设( x ，陋1 ) 是可数紧的，对口e m c l ) ，令【，是! 在( ，0 9