（应用数学专业论文）四维非线性超混沌系统的控制与同步.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来，混沌控制与同步的研究得到j ，蓬勃的发展，迅速成为混 沌研究领域的重点，并与其它许多科学领域相互渗透，成为非线性学科 研究领域的一大热点，在物理、通信、医学、信息科学、生物工程等 领域有巨大的应用潜力和发展前景。虽然人们对混沌同步问题己做了 大量研究，但是对异结构混沌系统同步还没有引起足够关注。然而， 在实际应用中特别是混沌系统的同步用于安全通信中，考虑异结构同 步更具实际意义。本文对一类非线性超混沌系统的控制和同步问题进 行了深入研究与探讨，主要包括以下几个方面的内容： 首先，在第一、二章对混沌和混沌系统的控制与同步的研究背景和 现状进行了介绍，并阐述了混沌动力学的基本理论。 第三章研究了超混沌的q i 系统的自结构同步。根据l y a p u n o v 稳 定性理论和自适应法则，给出了超混沌的四维q i 系统的自同步方案， 并通过数值仿真验证了该方案的有效性。 第四章研究了超混沌的q i 系统和l - s 系统的异结构同步。利用 l y a p u n o v 稳定性理论和自适应控制法则，实现了超混沌的q i 系统和 l s 系统的同步，并给出数值仿真结果验证了该方案的有效性。 关键词：超混沌系统，自适应同步，异结构同步，超混沌控制与同步 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o nh a v eb e e ni n t e n s i v e l ys t u d i e di nr e c e n ty e a r s ， a n dt h e yh a v eb e c o m eah o tt o p i ci nt h er e s e a r c hf i e l do fc h a o s t h ec h a l l e n g i n g r e s e a r c hf i e l dh a sb e c o m eas c i e n t i f i ci n t e r - d i s c i p l i n ei n v o l v i n gm a n yo t h e rf i e l d s ，a n d h a v es i g n i f i c a n ti m p a c to nm a n yn o v e le n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s a l t h r o u g hp e o p l eh a v e d o n eal o to f t h i n g st os t u d yt h i s ，b u tt h e r ew a sn o te n o u g hc o n s i d e ro ns y n c h r o n i z a t i o n o fh y p e r c h a o so fn o n l i n e a rs y s t e m t h et h e s i sm a i n l yf o c u s e so nt h ec o n t r o lo fc h a o s a n ds y n c h r o n i z a t i o no fh y p e r c h a o so fn o n l i n e a rs y s t e m t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da s f o l l o w s ： f i r s t l y , i nf i r s tt w oc h a p t e r s ，c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o sa n dh y p e r c h a o s i i lt h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n ds t u d yc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h eb a s i ct h e o r yo f c h a o sd y n a m i c si sp r e s e n t e d i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep r i m a r i l ys t u d yt h ep r o b l e mo fo ih y p e r c h a o t i cs y s t e m w er e a l i z es y n c h r o n i z a t i o no fb e t w e e n h y p e r c h a o t i cq is y s t e m sb yc h o o s i n gt h ep r o p e r c o n t r o l l e r sa n dp a r a m e t e r s a n db a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n da d a p t i v e c o n t r o l ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dh y p e r c h a o s c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e s t h ef o r t hc h a p t e rd i s c u s s e st h ec o n t r o la n d s y n c h r o n i z a t i o no fan e wl - s h y p e r c h a o t i cs y s t e m w eu t i l i z en o n l i n e a rc o n t r o la n da d a p t i v ec o n t r o lt oa c h i e v e c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n sb e t w e e nh y p e r c h a o t i cq is y s t e ma n dg e n e r a l i z e dl - s s y s t e m l a s t ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt op r o v ei t se f f e c t i v e k e yw o r d s ：h y p e r c h a o t i cs y s t e m ，a d a p t i v ec o n t r o l ，s y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n t s t r u c t u r e s ， s y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o lf o rh y p e r c h a o t i cs y s t e m 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： m 勺年 | 壤磊生 月7f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 学位论文作者签名：关露 矽p 7 年 j 月卅日 指导教师签 砷7 年 江苏大学硕士学位论文 1 1 本课题的研究背景 第一章绪论帚一早瑁可匕 混沌是非线性科学研究的中心内容之一，与相对论、量子力学一起成为2 0 世 纪物理学的三次重大革命。甚至有人认为相对论、量子力学和混沌是“2 0 世纪科 学将永远铭记的三件事 。所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、 类似随机的现象，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式。它广泛地存在于 自然界诸如物理、化学、生物学、地质学以及技术科学、社会科学等各种科学领 域。 近半个世纪以来，人们对混沌现象的自然规律及其在自然科学和社会科学中 的表现有了广泛而深刻的认识，并且发展到了把混沌作为一门应用技术来研究。 由于混沌理论在物理、化学、医学、生物学、地质学、社会科学、信息科学、工 程以及技术科学等领域具有很大的应用潜力及发展前景，结合日益发达的计算机 技术，使得它成为学术研究和应用开发的热点。 混沌理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代后，发展壮大 于2 0 世纪8 0 年代。现如今，混沌理论的研究己成为各学科竞相注意的一个学术 热点。1 9 0 3 年法国数学家p o i n c a r e 在他的科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。他指出三体问题中，在一定范围内其解是随机的。实际上这是一种保守系 统中的混沌，从而p o i n c a r e 成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一位学者。 2 0 世纪的2 0 、3 0 年代，b i r k h o f f 紧跟p o i n c a r e 的学术思想，建立了动力系统理 论的两个主要研究方向：拓扑理论和遍历理论。到1 9 6 0 年前后，非线性科学研究 得到了突飞猛进的发展，k o l m o g o r o v 与a r n o l d 及m o s e r 深入研究了h a m il t o n 系 统( 或保守系统) 中的运动稳定性，得出了著名的k a m 定理，k a m 定理为揭示 h a m i l t o n 系统中k a m 环面的破坏以及混沌运动奠定了基础。1 9 6 3 年美国数学家 l o r e n z 在美国大气科学杂志上发表的文章“确定性的非周期流”，给出混沌解 第一个例子。在他的天气模型中，l o r e n z 看到了比随机性更多的东西，看到了一 种细致的几何结构，发现了天气演变对初值的敏感依赖性。l o r e n z 给出一个形象 的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国得克萨斯州的 江苏大学硕士学位论文 气候，这就是著名的“蝴蝶效应 。1 9 6 4 年，h e n o n 等人发现了h e n o n 吸引子。 1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 一起发表了论湍流 的本质拉1 ，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，同时提出“奇 怪吸引子( s t r a n g ea t t r a e t o r ) 这一名词，并且为耗散系统引入了这一概念。这 一工作由g o l t u b 等人的实验结果所支持，并对后来关于s m a l e 马蹄吸引子的研究 起到一定的推动作用。s m a l e 马蹄吸引子是指在l o r e n z 以后，美国数学家s m a l e 发明了被称做“马蹄 的一种结构，以后的岁月里成为混沌经久不衰的形象。接 着s m a l e 提出的马蹄变换，为2 0 世纪7 0 年代混沌理论的研究做好了重要的数学 理论准备。1 9 7 5 年，李天岩( t y l i ) 和j a y o r k e 在他们著名的论文“周期3 意味着混沌”中口1 ，给出了闭区间上连续自映射的混沌定义，在文中首先提出c h a o s ( 混沌) 这个名词，并为后来的学者所接受。1 9 7 7 年夏，物理学家j f o r d 和 g c a s a t i 在意大利组织了关于混沌研究的第一次国际性科学会议，标志着混沌研 究在国际科学界的正式起步。1 9 7 8 年，美国物理学家 i j f e i g e n b a u m 在统计物 理学杂志上发表了“一类非线性变换的定量普适性”的文章h 3 ，轰动世界。1 9 8 0 年，美国数学家b m a n d e l b r o t 用计算机绘出了第一张m a n d e l b r o t 集的分形图形畸1 。 1 9 8 1 年，美国麻省理工学院的p s l i n s a y 第一次用实验证明了f e i g e n b a u m 常数。 1 9 8 3 年，加拿大物理学家l g l a s s 在物理学杂志上发表了“计算奇怪吸引子 的奇异程度”的著名文章，并开创了全世界计算时间序列维数的热潮。1 9 9 0 年， 在德国专门召开了分翁与混沌研讨会。在我国，1 9 8 4 年著名混沌学家郝柏林院士 编著的 c h a o s 一书吲，阐述了混沌研究的一些理论结果，1 9 8 6 年，在桂林召开 了第一届混沌会议。1 9 9 0 年徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞的复合网 络中存在的混沌现象。近年来，混沌科学更是与其他科学互相渗透，无论是在生 物学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、 经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。混沌学的创立， 将在确定论和概率论这两大科学体系之间架起桥梁，它将揭开物理学、数学乃至 整个现代科学发展的新篇章。 由于混沌运动具有初值敏感性和长时i 、1 1 j 发展趋势的不可预见性，特别是对初 始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，所谓“差之毫厘，失之千罩 的 缘故，使得混沌控制举步维艰，长期以来人们觉得混沌是不可预测、不可控制的。 2 江苏大学硕士学位论文 但是上世纪九十年代以来国际上混沌控制的突破性进展，由此激发起来的理论与 实验应用研究的蓬勃了f ：展，使混沌的可能应用出现了契机，为人们展现了十分诱 人的应用j 发展的美好前景。 1 9 8 9 年，h u b l e r a ( 胡柏勒) 发表了控制混沌的第一篇文章心1 。1 9 9 0 年，e o t t ( 奥特) ，g g r e b o g i ( 格罩波基) 和j y o r k e ( 约克) 提出控制混沌的思想，并 基于混沌轨道足有无穷多不稳定周期轨道构成的基本性质，提出了一种参数微扰 控制混沌运动的具体实施办法，即现在称之为0 g y 方法馋3 ，很快他们提出的控制混 沌的思想和方法被w l d i t t o ( 迪托) 和r r o y ( 罗意) 等人在实验中证实，之后， 混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展。 混沌同步从总体上米说属于混沌控制的范畴。所谓同步，通俗地说就是指动态 系统中步调一致的现象。但混沌系统又有一特点，即在两个完全相同的混沌系统 中，当它们的初始条件有一微小差异时，两系统的运动轨迹在同一相空间将会变 得毫不相关。因此，许多人认为混沌系统要想达到同步似乎是完全不可能的。在 通过长期不懈的研究中，很多事实打破了传统的观念。在科学史上，最早观察到 的同步现象是在1 6 6 5 年由荷兰物理学家、钟摆的发明者惠更斯( ch h u y g n s ) 发现的。他偶然看到两个并排的钟摆的原来并不相同时刻的振荡居然达到了完全 同步。正是这一发现开辟了数理科学中的一个分支耦合振( 荡) 子理论，揭 示了自然界中相当普遍的同步现象及其机理，尤其是生物体内外的同步现象。 关于混沌系统的同步现象阳3 ，却是在二十世纪九十年代初发现的，1 9 9 0 年美 国海军实验室的学者p e c o r a 和c a r r o l l 在电子学线路的设计实验中首次观察到了 混沌同步的现象0 1 。他们发现一个混沌系统的某些相同的子系统在特定的条件下 可以做到相互同步，这里的两个系统同步，是指一个系统的轨道将收敛于另一个 系统轨道的同一值，它们之间始终保持步调一致，并且这种同步是结构稳定的。 这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点就是，运动 轨线对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相同的完全同 步的混沌系统简直是不可能的事情，但是混沌同步的发现冲破了这个禁锢，打开 了新的天地，具有诱人的应用发展前景。 根据目前的文献报道，在混沌同步中应用较多的有如下几种类型：第一种类型 是1 9 9 0 年p e c o r a - c a r r o l l 提出的。该类型的最大特点是同步的两个子系统之间 3 江苏大学硕士学位论丈 存在驱动与响应关系，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响 应系统无关。这种类型的同步具有原理简单，思路清晰，实用性强的优点。第二 种类型是藕合同步方案。1 9 9 4 年，美国学者r o y 及日本学者s y g a w a r a 等人分别独 立地从实验中证实了藕合激光阵列中的同步现象，k a p i t a n i a k 和c h u a 等人也用相 互藕合的方法使两个c h u a 氏电路达到了混沌同步。第三种类型是由k 。p y r a g a s 提出的连续变量微扰反馈方案。后来他与t a m a s e v i c i a s 又从实验上进一步验证了 此法用于两个混沌系统的同步也有效。第四种类型为h u b e r m a n 和l u m e r 在1 9 9 0 年提出的自适应控制方案。所有的系统变量自由地演化，没有必要知道动力学吸 引子的详细知识。1 9 9 4 年，j o h n 和a m e i t k a r 对h u b e r m a n 和l u m e r 所提出的自适 应控制方法进行了改进，使得非线性系统通过施加这种控制机制，不但可以实现 处于稳定的周期或不动点的系统同步，同时也可以使处于不稳定的周期，如棍沌 系统控制同步。计算机模拟结果证明此法对三阶l o r e n z 系统是有效的。1 9 9 6 年， l e o n0 c h u a 及t a oy a n g 等人运用自适应控制算法，实现具有时变参数及时变信 道的两个蔡氏电路的混沌同步，同时指出自适应控制对实际通讯系统的时变信道 及时变参数可以做出有益的补偿。1 9 9 7 年，a l e x a n d e r l f r a d k o v 应用自适应 控制的梯度算法实现了参数未知的混沌系统的控制同步。这无疑更加激起了人们 对混沌同步应用研究的极大兴趣。另外还有噪声感应同步、主动一被动同步等。 1 2 本课题的研究现状和发展前景 经过近几十年的发展，尤其是最近十多年的迅猛发展，混沌控制与同步及应用 研究已获得了重大的突破性的进展，人们已逐渐改变了对混沌运动的不稳定性， 不可控制的陈见，并开始利用混沌，应用混沌。目前国内外已经提出了许多不同 的控制混沌的方法，如：o g y 方法、偶然正比反馈技术( o c c a s i o n a lp r o p o r t i o n a l f e e d b a c k ，简称o p f 技术) 、自适应控制、线性反馈控制、自适应反馈控制等方法。 混沌控制目标由最初的不动点、低周期轨道的正定发展到高周期轨道或准周期轨 道的正定；被控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统乃至无穷维系统( 时 空混沌的控制) 。混沌控制正在同渐形成系统化的理论体系。同时，混沌控制在光 学、等离子体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物系统等大量实 验和应用中得到验证。人们对混沌控制的广义认识是：人为并有效地影响混沌系 4 江苏大学硕士学位论文 统，使之发展到实践需要的状态，这包括：( 1 ) 在混沌运动有害时，成功地抑制 混沌：( 2 ) 在混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产 生出特定的混沌轨道；( 3 ) 当系统处于混沌状态时，通过控制产生出人们需要的 各种输出。总之，尽可能利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的，是所有 混沌控制的共同特点。因此，混沌控制的主要目的是消除已有的混沌运动，或降 低混沌运动的程度。 需要指出的是：目前虽然控制混沌的理论主要应用于少数几个变量定义的混沌 动力学中，高自由度的系统( 例如大气和高雷诺数的运动流体) 不易控制，然而在 高维( 或无穷维) 系统情况下其吸引子可能是低维的，所以低维混沌系统的控制问 题仍具有一定的普遍意义。在混沌控制的研究中，时空混沌控制占有独特的位置。 一方面，实际系统绝大多数同时具有时间和空间变量，只有研究时空系统才能真正 解决大量的实际混沌应用问题，另一方面，对高维时空混沌及其控制的研究要比低 维混沌复杂得多，人们对它的认识还远不如低维混沌那么清楚。因此，这一领域研 究的未知空间广阔，具有很大的理论价值和应用潜力。 混沌同步从总体上来说属于混沌控制的范畴，根据目前的文献报道，在混沌 同步中应用较多的有如下几种类型阳3 ：第一种类型是1 9 9 0 年p e c o r a c a r r o l l 提出 的驱动一响应同步方案。第二种类型是耦合同步方案。第三种类型是由k p y r a g a s 提出的连续变量微扰反馈方案。第四种类型为h u b e r m a n 和l u m e r 在1 9 9 0 年提出 的自适应控制方案。另外还有噪声感应同步，主动被动同步等。 近年来竞争最激烈的应用研究是将混沌同步用于保密通讯中。已经发现，当 秘密通讯的双方都有完全相同的混沌电路时，在特定的条件下可以实现秘密信号 从发射机的编码到接收机的解码的全过程信息解密，即达到了两个系统的混沌同 步。这里两个系统的同步，是指一个系统的轨道将完全收敛于另一个系统轨道的 同一值，它们之间将始终保持步调一致，并且这种步调是结构稳定的。为此，p c e o r a 和c a r r o l l 研制了一种能产生混沌的非线性电路，并可以分成一个稳定的子系统 及一个不稳定的子系统，然后，把具有负的l y a p u n o v 指数的稳定部分复制成一个 响应系统，而原系统称为驱动系统，这样响应系统是稳定的而且是驱动系统的复 制品，其轨道就不受初始条件微小波动的影响，而将与驱动系统收敛于同一轨道。 这样将非线性映射所产生的混沌序列作为载波，把有用的信号作为调制信号并混 5 江苏大学硕士学位论文 合在混沌信号中发射出去；在接收端，利用混沌序列的发生规则从接收信号中提 取混沌载波，再经过简单的信号处理恢复出有用的信号。 同控制混沌同步的研究相比，人们对超混沌同步n 妇的研究可谓是刚刚起步。 超混沌运动与混沌运动类似，多种不稳定共存于一个系统中。但是超混沌运动同 混沌运动又有着本质的区别，从其统计特性来说，超混沌吸引子存在两个及两个 以上的正的l y a p u n o v 指数。它既具有多方向上指数型发散的特性，又处于高度缠 结的复杂形态。所以，对超混沌吸引子稳定控制的难度要远远大于混沌吸引子的 稳定控制。一个著名的例子就是对等离子体的稳定控制。超混沌同步已成为混沌 控制同步领域最艰巨的同标之一，经过大量的研究，人们首先把自同步原理推广 到了超混沌系统中，已经实现的超混沌同步的一个典型例子足复洛仑兹一哈肯系统 ( 简称c l i t e 系统) 。其次在自然界广泛存在着耦合振子，尤其是在生物、物理及 化学等众多系统中，耦合振子的同步是既普遍又重要的一种组织形式，它甚至与 生命息息相关。运用祸合同步方案已经实现了具有超混沌运动的广义v a nd e rp o l 振子的同步，同时在耦合的激光系统中人们也发现了耦合超混沌振子的同步。将 耦合同步方案推广到超混沌同步系统中去是一种研究趋势。第三种超混沌同步方 案是驱动一响应的超混沌同步，运用此方案已实现了r s s s l e r 超混沌系统的同步。 需要指出的是，目前大多的混沌通信系统都是采用仅含有个正的l y a p u n o v 指数 的简单混沌系统。然而，这样的混沌通信系统保密性还存在一些问题，含有多个 正l y a p u n o v 指数的超混沌系统，调制后的信号与原信号混在一起不可分辨，很难 破译。而且，超混沌吸引子具有多方向性，可作为多个混沌信号的载体传递信息， 能够更有效的编码，从而提高通讯速率及增加通讯的信息量和提高通信系统的保 密性能，对它们的研究尚处于萌芽或起步阶段，这也将是今后的研究热点和发展 趋势。 由于混沌控制和同步不仅在保密通信、信息处理等领域，而且在生物医学等 方面，都具有巨大的应用潜力和发展前景，目前已经提出了许多实现混沌控制和 同步的一些可能应用方案，主要是通过电子线路、激光系统、神经网络和计算机 系统等来实现。同时，由于超混沌比混沌在上述应用中更具优越性，所以人们正 在不断探索超混沌控制与同步的有效方法。总之，充分利用混沌的固有特性，在 混沌系统控制和同步的基础上开发其应用的潜力，这是在混沌研究中重要而又具 6 江苏大学硕士学位论文 有长远意义的课题。在理论和实验研究不断取得进展的同时，人们也正在不断开 拓新的应用领域。众多的控制和利用混沌的例子：对混沌激光器、混沌二极管电 路实现了控制：在通信、生理学、化学反应工程等方面不断地产生了新的技术构 想，并有希望很快地成为现实。有科学家深信，入的思维活动实际上是有控制的 混沌活动，其意义与规律远没有被人们认识并利用。我们有理由相信，控制和利 用混沌的前景必定是十分广阔和无比美好的。 1 3 本文的研究内容 自2 0 世纪6 0 年代以来，混沌控制与同步一直是混沌理论研究的中心课题， 目前对于混沌控制与同步的研究已经遍及许多学科领域，而超混沌系统的控制与 同步更是成为极富挑战性的研究课题。 本课题主要研究含有未知参数超混沌系统的异结构同步和超混沌系统控制和 自适应同步问题。全文共分四章，具体内容安排如下： 第一章为绪论。论述了本文选题的背景和研究的意义，对混沌的研究现状、 混沌控制的研究进展以及混沌同步的研究现状进行了综述，进而给出本文的研究 内容及章节安排。 第二章主要介绍了本文中涉及的基本概念和基础理论。在参考大量文献的基 础上，给出了几个关于混沌的数学定义，阐述了混沌运动的主要特征，介绍了超 混沌系统的特点和产生超混沌系统的方法，介绍了混沌及超混沌控制和同步的一 些基本概念和主要研究方法，从而形成较为完整的理论体系，为第三、四章的应 用研究提供了理论依据。 第三章研究了超混沌q i 系统的自结构同步。根据l y a p u n o v 稳定性理论和自 适应法则，给出了超混沌的四维q i 系统的自同步方案，并通过数值仿真验证了该 方案的有效性。我们设计了不同的控制器，使得响应系统与驱动系统同步。当参 数己知时，采用非线性控制法，方法简单有效不需要构造l y a p u n o v 函数，实现同 步的时间短；当系统参数未知或结构不确定时，基于l y a p u n o v 稳定性理论，给出 自适应同步控制器的系统设计过程和参数自适应律，使得系统达到同步的同时识 别未知参数。理论分析和数值仿真结果都表明这种方法具有简明的分析技巧和易 于掌握的特点，故而是实现超混沌异结构同步的有效可行的方法。 7 江苏大学硕士学位论文 第四章研究了四维超混沌的q i 系统和一个新的l s 系统的异结构同步问题。 首先介绍了一个在较大参数范围内呈现超混沌状态的新的超混沌的l - s 系统，然 后利用l y a p u n o v 稳定性理论和自适应控制法则，实现在了对这个的系统的控制及 含未知参数的自同步，并给出数值仿真结果。 8 江苏大学硕士学位论文 2 1混沌 第二章基本概念和基本理论 2 1 1 混沌的定义及基本特征 所谓混沌，粗略地说是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动 的动力学行为。由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此 至今混沌还没有一个统一的定义。目前，已有的定义是从不同的侧面反应了混沌 运动的性质。数学上常用的定义包括：离散动力系统( 映射) 的l i - y o r k e 意义下 的混沌( 高维空问中有相应的m a r o t t o 定理) 、d e v a n e y 意义下的混沌和连续动力 系统( 流) 的s m a l e 马蹄意义下的混沌。下面我们将简单介绍这几种意义下的混 沌定义引。 ( 1 ) l i y o r k e 的混沌定义 l i - y o r k e 定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定义 的，该定义可描述如下。 l i y o r k e 定理：设厂( 功是 以，6 】上的连续映射，若厂( 砷有3 周期点，则对任 何正整数刀，厂( 砷有刀周期点。 混沌定义( l i y o r k e ) - 区间，上的连续自映射，( 力，如果满足下面条件，便 可确定它有混沌现象： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间j 上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意x , y s ，x y 时，则有 l i ms u pi 厂6 ( 功一厂”( y ) i 0 ( i i ) 对任意x , y s ， 则有 l i mi n fl ，”( 力一厂8 ( y ) l = 0 ( i i i )对任意x s 和，的任意周期点y ，则有 l i ms u pl 厂“( 砷一厂“( y ) i 0 0 0 9 江苏大学硕士学位论文 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数f ( x ) ，如果存在一个周期为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩 的话来说，只要有周期一3 就“乱七八糟”的，什么周期都有。 ( 2 ) m e l n i k o v 的混沌定义 在二维系统中，最具开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于平 面区域d 上，f p ) cd ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半圆构成。映射 规则是不断把s 纵向压缩( 压缩比小于l 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再 弯曲成马蹄形后放网d 中。马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集之交，映射在这个 不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有 混沌。m e l n i k o v 对混沌的描述概括起来可描述为：如果存在稳定流形和不稳定流 形并且这两种流形横截相交，则必存在混沌。m e l n i k o v 给出了稳定流形和不稳定 流形横截相交的方法，但这种方法只适合于近可积h a m i l t o n 系统。它的定义方法 与物理现象中的混沌系统的定义是有区别的。 ( 3 ) d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下，混沌定义( d e v a n e y ) 为：设y 是一度量空间，映射f ：v _ y 如果满足下面3 个条件，便称厂在y 上是混沌的。 ( 1 ) 对初值敏感依赖。存在万 0 ，对任意的f 0 和任意的x v ，在x 的， 领域内存在y 和自然数咒，使得d ( f ”( 力，厂”( y ) ) 艿。 ( 2 ) 拓扑传递性。对y 上的任意对开集x ，y ，存在k o ，( x ) w y ( 如 一映射具有稠轨道，则它是拓扑传递的) 。 ( 3 ) 厂的周期点集在y 中稠密。 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形式。与其他复杂现象相区 别，混沌运动有着自己独有的特征，概括地说，混沌系统的复杂动力学具有如下 基本特性n 引： ( 1 ) 对初始条件的微小变化具有高度的敏感依赖性： ( 2 ) 用最大的李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数大于零表征； ( 3 ) 混沌吸引子在相空间内整体上是有界的，但是在吸引子内相轨迹具有高 度不稳定性，除了最大的李雅普诺夫指数大于零外，还具有有限值的拓扑熵与测 度熵； 1 0 江苏大学硕士学位论文 ( 4 ) 混沌吸引子的几伺特征是具有分形( 分数维数) 和目相拟嵌套结构；具 有连续功率谱； ( 5 ) 混沌吸引子具有遍历性； ( 6 ) 经常与分龠、分形和多种奇怪吸引子甚至排斥子等复杂动力现象共存。 2 1 2 李雅普诺夫指数 混沌最重要的一个特征量是李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数1 ，它刻画了系统 对初始条件的高度敏感性，从宏观上对系统的混沌吸引子进行了刻画。混沌运动 的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极靠近的初值所产生的轨道，随时 间推移按指数方式分离，李雅普诺夫指数是定量描述这一现象的量。 首先来看一维情形。在一维动力系统矗+ ，= f ( x 。) 中，初始两点在迭代一次后， 如果ii d fi l ，迭代使两点分开，如果i 军l 0 可以作为混沌行为的判据。 对于高维离散动力系统可以类似的定义李雅普诺夫指数。设f 是r ”j 尺”的 m 维映射，决定以下的1 7 维离散动力系统i n h = f ( x 。) 。将系统的初始条件取自一 个m 维的无穷小球，由于演变过程中的自然变形，球将变成椭球。将椭球的所有 主轴按其长度顺序排列，那么第f 个l y a p u n o v 指数根据第f 个主轴的长度只( 厅) 的 增加速率定义为： 以= 溉寺i ni 器嘞一，所 这样l y a p u n o v 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在 l y a p u n o v 指数小于零的方向上轨道收缩，运动稳定，对初始条件不敏感；而在 l y a p u n o v 指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初值敏感。注意椭球的主轴长度 按e 增加，由| j 二个主轴定义的区域面积按e ( 4 + a 2 ) 增加，由前三个主轴定义的区 域体积按e ( 4 + 五+ 白增加。如此等等，这个特性表达了l y a p u n o v 指数的另一个含义， 即前歹个指数的和由前个主轴定义的，维立体体积指数增加的长期平均速率确 定。用上述无限小状态球的演变来计算l y a p u n o v 指数足不能在计算机上实现的， 因为计算机不能表示无穷小量。另一个问题是球的扭曲程度也指数地加速增加， 因而所有主轴向量的方向将向最大l y a p u n o v 方向靠拢，无论计算机的精度如何， 都无法区分这些主轴向量的方向。为此，我们可以采用线性代数中的g s r 方法追 踪发散轴的行为，可以用相空间各维上的体积元素的长期增长速率来计算 l y a p u n o v 指数。但是在实际计算中还是很困难的，不过为了判断m 维离散动力系 统是否出现混沌，并无必要去计算一切李雅普诺夫指数。1 9 8 3 年格里波基证明只 要最大的李雅普诺夫指数大于零，就可以肯定混沌的存在，而计算最大的李雅普 诺夫指数可以采用下面的n i c o l i s 方法。 用1 1 0 表示m 维空间的距离，则最大李雅普诺夫指数满足 08 x o0 矿山爿lf “( 而+ 氓) 一f “( 而) 0 剖lj ( 一，y ( 毛一：) j ( x o ) 万x o0 1 2 江苏大学硕士学位论文 为计算兄。，选取6 x o 为d o e o ，其中矗。表示模，而表示一单位向量。j ( x o ) e o 也为一向量，设为d l e l ，d 。为模，e l 为一单位向量。j ( x l 地也为一向量，设为d 2 e ：， d ：为模，e ：为一单位向量。依次类推，得到，( 工。) 巳1 = d 。巳，巳为一单位向量， 则五。= l i m 三l i li 吃以q d z 噍l 。 可以借助构造一个特殊的函数v ( x ，) ，) ，并利用y 似y ) 及其通过方程组的全导数 掣便确定了方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法( 又称李雅普 考虑非线性微分方程组 警卸( 力 ( 2 1 ) 其中x = f 三 ，f c 功= 三三 ) i 二) ，假设f c = 。，且f c 砂在区域 g = ( 置，x 。) ：0 戈i l 0 ，那么方程( 2 1 ) 的零解是不稳定的。 定理4 如果存在一个定币的函数y ( 矽，其关于方程( 2 1 ) 的全导数华为常 a t 负，但使d v 。：0 的点x 的集合中，除零解z ：0 外，并不包含方程( 2 1 ) 的其它解， d f 则方程( 2 1 ) 的零解渐近稳定。 李雅普诺夫第二方法将稳定性的问题转化为李雅普诺夫函数的构造问题，寻 找和建立满足上述诸定理的函数v ( x ) ，实质上需要高度的技巧。李雅普诺夫和他 的后继者也已经提供了某些建立李雅普诺夫函数的方法。如：类比法、能量函数 法、变量分离法、变梯度法、广义能量法、首次积分线性组合与加权法等。 2 1 4 超混沌系统的定义与特征 超混沌系统的特点是至少在四维及更高维的非线性系统中具有两个或更多个 正的李雅普诺夫指数力，它广泛存在于自然界、流体、生物、经济等一大类高维非 线性系统( 包括时空系统) 的众多领域中。 需要指出：从理论上说，最简单的产生超混沌系统的方法通常是由两个或几个 低维的标准混沌系统通过适当的藕合构成，即把一些己知的低维标准混沌系统( 如 l o r e n z 系统、r o s s l e r 系统、c h e n 系统和c h u a 系统等) 作为构成超混沌系统的基本 单元，从而通过对它们多个系统的相互藕合构造出各种各样的超混沌系统。因此， 人们经常应用这种方法构成所需的超混沌系统，并实现超混沌的控制和同步问题， 这对实验研究既简便，又有指导意义。另外还可以通过线性反馈法构造高阶的超 混沌系统。 1 4 江苏大学硕士学位论文 2 2 混沌控制 2 。2 1混沌控制的定义 定义考虑一个非线性系统：x = f ( x ，f ) + u f = ( e ，e ，。，e ) 其中x = ( x 。，石2 ，x 。) ，f - - ( f 。，e ，c ) ，u 为控制函数。假设当u = 0 时，系 统是混沌的。当输入合适的控制器u 使得系统能够从混沌态到达稳定态，则系统 得以控制。 2 2 2 混沌控制的目标及分类方法 非线性系统的混沌控制的主要任务归结为：根据不同领域的实际需要，设法 从多种多样的非线性系组所产生的混沌行为中挑选出任意所需的各种周期信号， 甚至非周期信号，并实玩其稳定的有效控制。也可以说，利用非线性系统的特征， 通过各种策略、方法、途径，获得人们所需的动力学行为，从而为众多领域提供 应用的原理、方法和技术基础。目前，混沌控制的目标主要有以下几种【1 5 】 ( 1 ) 抑制或消除某些类型的混沌； ( 2 ) 稳定控制在混沌吸引子中所期望的不稳定的周期态； ( 3 ) 通过控制达到新的动力学行为； ( 4 ) 消除多重的混沌吸引子； ( 5 ) 实现两个或多个相同动力系统的周期同步、混沌同步及其控制； ( 6 ) 控制混沌吸引子中的非周期念、周期态及其同步的应用。 针对不同的任务目标，发展不同的控制策略和方法，迄今已经提出各种控制 方法【1 3 l 。图( 2 1 ) 中示出混沌控制与混沌同步的主要方法及类型。从图( 2 1 ) 可得出 混沌控制与混沌同步方法的多样性。这里强调了线性控制与非线性控制两大类型， 也可以划分为反馈控制与非反馈控制两大类型。 江苏大学硕士学位论文 2 3 混沌同步 图2 - 1 混沌控制的主要方法与类型 f i g 2 1 m a i nm c t h d sa n dt y p e so fc h a o sc o n t r o l 2 3 1混沌同步的定义 所谓混沌同步，指的是对于从不同初始条件出发的两个混沌系统，随着时间 的推移，它们的轨线逐渐一致。 。 考虑两个系统，一个混沌系统为： j = f 伍，t ) ( 2 2 )