（基础数学专业论文）组合数论中的几个问题.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 子集和与零和是组合数论中两个重要的分支本论文研究了这两个领域中的三 个问题：限制子集和，d a v e n p o r t 常数，短零和子列 本论文共包含四章第一章对论文中的术语进行介绍第二章在有限交换半群 上推广7 d a v e n p o r t 常数设g 是有限交换半群，定义gj 鬟j d a v e n p o r t 常数d ( g ) 是满 足下面条件的最小正整数粤，使得g 上任何长度为z 的序列必包含一个真子列t ( s ) 满足t 中所有元素的乘积等于s 中所有元素的乘积令冗= ，o oz m 我们主 要的结果是确定t d ( r ) 一d ( 沙) ) ，其中冗是冗的乘法半群，u ( r ) 是冗的乘法单 位群 第三章对阿贝尔群中的限制子集和问题进行研究设g 是奇阶阿贝尔群，a 是g 的子集对于任意的正整数h 【2 ，i a i 一2 】，我们证明了i 扩a i i a i ，等号成立当且仅 当a 是g 中某个子群的陪集，其中h a 是由a 中所有h 个不同元素的加和所组成的 集合 第四章研究了与短零和子列相关的几个问题令e x p ( g ) 表示有限阿贝尔群g 的 指数群g 上的零和序列t 称为短零和序列如果1 l t i e x p ( g ) 设s 是群g 上的 序列，h ( s ) 表示s 中元素出现的最大次数当s 不包含长度在【l ，九( s ) 】中的零和子列 时，我们得到了i ( s ) l 不平凡的下界此外，我们在某些类型的有限阿贝尔群g 中 证明了：存在整数t e x p ( g ) + 1 ，p ( g ) 一1 】使得g 上任何长度恰为t 的零和序列必 包含短零和子列，其中p ( g ) 是满足下面条件的最小正整数z ，使得g 上任何长度至少 为z 的序列都包含短零和子列 关键词：有限阿贝尔群；有限交换半群；剩余类环；d a v e n p o r t 常数；零和序列；短零和 子列；限制子集和 i 组合数论中的几个问题 s o m ep r o b l e m si nc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y a b s t r a c t b o t hs u b s e ts u i n sa n dz e r o - s u mp r o b l e m sa r ei m p o r t a n tt o p i c si nc o m b i n a t o r i a ln u m - b e rt h e o r y i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h r e ep r o b l e m sr e l a t e dt ot h e m ：r e s t r i c t e ds u m s e t s ， d a v e n p o r tc o n s t a n ta n ds h o r tz e r o - s u ms u b s e q u e n c e s t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e ric o n t a i n ss o m eb a s i cn o t a t i o n sa n d c o n c e p t s i nc h a p t e r2w eg i v ean a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fd a v e n p o r tc o n s t a n tt oa n y f i n i t ec o m m u t a t i v es e m i g r o u p l e tgb eaf i n i t ec o m m u t a t i v es e m i g r o u p t h ed a v e n p o r t c o n s t a n td c g ) o fgi st h es m a l l e s ti n t e g e r s u c ht h a t ，e v e r ys e q u e n c eso fle l e m e n t si n gc o n t a i n sas u b s e q u e n c et ( s ) w i t ht h es a m ep r o d u c to fs l e tr = 磊1o o z 0 a m o n go t h e rr e s u l t s ，w ed e t e r m i n ed ( r ) 一d ( u c r ) ) ，w h e r er i st h em u l t i p l i c a t i v e s e m i g r o u po f 冗a n du ( r ) i st h eg r o u po fu n i t so fr i nc h a p t e r3w ef o c u so nt h er e s t r i c t e ds u m s e t si na b e l i a ng r o u p s l e tg b ea n a b e l i a ng r o u po fo d do r d e r ，a n dl e tab eas u b s e to fg f o ra n yi n t e g e rhs u c ht h a t 2 h i a i 一2 ，w ep r o v et h a tl h a a i l a ia n dt h ee q u a l i t yh o l d si fa n do n l yi fai sa c o s e to fs o m es u b g r o u po fg ，w h e r eh ai st h es e to fa l ls u m so fhd i s t i n c te l e m e n t so fa 。 i nc h a p t e r4w ei n v e s t i g a t es o m ep r o b l e m sc o n c e r n e dw i t hs h o r tz e r o - s u ms u b s e - q u e n c e s l e te x p ( c ) b et h ee x p o n e n to faf i n i t ea b e l i a ng r o u pg w ec a l laz e r o - s u m s e q u e n c eti ng as h o r tz e r o - s u ms e q u e n c ei fls j t i e x p ( g ) l e tsb eas e q u e n c eo f e l e m e n t si ng ，a n dl e th c s ) b et h em a x i m a lr e p e t i t i o no fs w eo b t a i ns o m en o n t r i v i a l l o w e rb o u n do fi ( s ) ii nc a s ew h e nsc o n t a i n sn oz e r o - s u ms u b s e q u e n c eo fl e n g t hi n 【1 ，危( s ) 】w ea l s op r o v et h a tf o rs o m et y p eo ff i n i t ea b e l i a ng r o u p sg ，t h e r ee x i s t ss o m e i n t e g e rto f 【e x p ( g ) + 1 ，p ( g ) 一1 】s u c ht h a te v e r yz e r o - s u ms e q u e n c eso fe l e m e n t si ng w i t hl e n g t h 俐= tc o n t a i n sas h o r tz e r o - s u ms u b s e q u e n c e ，w h e r ep ( g ) i st h es m a l l e s t i n t e g e rzs u c ht h a te v e r ys e q u e n c ei ngw i t hl e n g t ha tl e a s tzc o n t a i n sas h o r tz e r o - s u m s u b s e q u e n c e k e y w o r d s ：f i n i t ea b e l i a ng r o u p s ；f i n i t ec o m m u t a t i v es e m i g r o u p s ；r e s i d u e c l a s sr i n g s ；d a v e n p o r tc o n s t a n t ；z e r o - s t u m s e q u e n c e s ；s h o r tz e r o - s u ms u b s e q u e n c e s ；r e s t r i c t e ds u m s e t s i i 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 = 巴 恧。 作者签名：至! 茎! 盘日期：鲨! 堡：i ：! 多 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 作者签名： 导师签名： 王1 訇灰 巡年月堕日 5 9 一一一肌 一一一 眺删帆一 狮一怖摊一 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 1 1 背景介绍 组合数论又称堆垒数论，其主要范畴是对整数环或抽象群上的子集以及序列的 组合性质进行研究自上个世纪五六十年代，在一批有影响力的数学家，如p a u le r d 6 s ， j o h no l s o n ，h e n r yb m a n n 等带动下，组合数论得到了很大的发展，子集和与零和是 组合数论中两个有区别而又相互联系的分支 对子集和问题的研究是较早的，早期的工作主要是对整数集的算术性质进行研 究，并取得了不少精彩的结果：如l a g r a n g e 的四平方和定理，证明了任何非负整数都 可以写成四个非负整数的平方和即设集合a 包含所有非负整数的平方和，贝j j 4 a 堆 垒出非负整数集合再如上个世纪f r e i m a n 证明的关于整数堆垒的逆问题：设a 是有 限整数集合，如果j 2 a i 相对例较小时，则a 接近是一个多维算术级数 当前的研究主要是针对抽象群中的子集在抽象群中对子集和进行研究开始 于c a u c h y 定理：设a ，b 是素数阶循环群g 的子集，有i a + b f m i n ( p ，i a i + l b i - 1 】 h d a v e n p o r t 在1 9 3 5 年独立发现了同样的结果，该结果被称为c a u c h y d a v e n p o r t 定 理，在组合数论中有着重要而又广泛的应用后来被m k n e s e r 推广到一般的阿贝 尔群中：设a ，曰是阿贝尔群g 的非空有限子集，令h s t ( a + b ) ，则1 a + b f i a + 日l + l b + 日i 1 日i 这个结果被称为k n e s e r 定理，成为了组合数论中奠基性的 结果 随着研究的深入，子集和的内容也变得更加丰富，但其中的工作主要还是可以 分成两类：第一类是直问题，即确定若干个子集的和集势的界( 下界上界通常考虑 是否覆盖某个集合) ，如提到的四平方和定理，c a u c h y - d a v e n p o r t 定理幂 i k n e s e r 定理 第二类是逆问题，或称结构问题，即对满足特定条件的子集的结构进行研究，如前面 的f r e i m a n 的结果，又或著名的k e m p e r m a n 结构定理对阿贝尔群中和集的势i a + 引 “较小”的子集对( a ，b ) 进行了分类刻画，k e m p e r m a n 定理可以认为是k n e s e r 定理 的逆定理而本论文的第三章处理的就是有限阿贝尔群中的限制的子集和问题对 1 组合数论中的几个问题 于限制的子集和问题在该章会有更详尽的介绍， 零和问题是组合数论中一个年轻领域，零和问题的提出可回溯到1 9 6 1 年，p e r d s s ， a g i n z b u r g 和a z i v 在文献f 1 8 】中给出的一个结论：2 n 一1 是满足下面条件的最小 正整数z ，使得循环群q 上任何长度不小于z 的序列s 。都包含一个佗长零和子列这 就是著名的e r d 6 s - g i n z b u r g - z i v 定理( 简称e g z 定理) 在随后的几年里，p c b a a y e n ， p e r d s s 和h d a v e n p o r t 等人着手研究满足下面条件的最小正整数z ，使得群g 上任 何长度不小于它的序列s 都包含一个非空零和子列在后来的文献中，这个最小正整 数量被称为群g 的d a v e n p o r t 常数，记为d ( g ) 本论文的第二章讨论d a v e n p o r t 常数 的推广，并在有限交换半群上定义了d a v e n p o r t 常数 e g z 定理和d a v e n p o r t 常数是零和领域的两个开创性工作零和领域中许多研究 都是直接围绕它们展开的，如高维东在文献【2 l l 中提出的常数f ( g ) ，( e ( g ) = l g i + d ( g ) 一1 ) 建立了e g z 定理和d a v e n p o r t 常数之间的联系，从而将两者统一起来再 如考虑对e g z 定理在非循环的有限阿贝尔群上的模拟提出的零和常数s ( g ) ，研究的 是满足下面条件的最小正整数孽，使得群g 上任何长度不小于粤的序列s 都包含一个 长度为e x p ( g ) 的零和子列，因为8 ( a ) 有其几何意义，h h a r b o r t h 提出：s ( 簖) 是满 足下面条件的最小正整数z ，使得在r 维欧氏空间中任何个格点中必然存在礼个格 点的中心还是格点，故现在围绕零和常数8 ( g ) 的问题通常也称为格点问题和8 ( g ) 密切相关的一个零和常数是p ( g ) ，考虑的是满足下面条件的最小正整数邑使得群g 上任何长度不小于z 的序列s 都包含一个长度至多为e x p ( g ) 的非空零和子列，p ( g ) 探讨的问题也被称为短零和子列问题s ( c ) 和p ( c ) 也是近几年研究得最多的零和常 数，然而目前对它们的刻画却非常有限本论文的第四章围绕零和常数p ( c ) 进行研 究 与子集和问题的研究类似，零和问题的研究也可以分为两大类：第一类是零和 常数问题，简单的讲就是寻找满足条件的最小或最大的整数，以保证满足预定性质 的序列的存在性，如前面提到的零和常数d ( g ) ，e ( g ) ，p ( g ) ，s ( g ) 第二类是逆问题， 是考虑不满足特定要求的极值序列的性质，如零和理论中熟知的概念：性质b ，c ，d 就是分别针对d ( g ) 一1 长的零和自由序列，p ( c ) 一1 长不包含短零和子列的序列， s ( g ) 一1 长不包含e x p ( g ) 长零和子列的序列所提出的，可以参阅文献【2 4 ，2 5 j 1 2 定义及记号说明 f z l ：不小于实数z 的最小整数 2 大连理j i ：大学博十学位论文 l z l ：不大于实数z 的最大整数 【a ，h i ：n ，b nn _ a b ， o ，6 】表示由n ，b 之i 自j 的所有整数( 包含n ，b ) 构成的集合 设r 是交换幺环，定义r 是r 的乘法半群，u ( n ) 是r 的乘法单位群 定义z 。为模n 的剩余类环，z 。o o z 嘶是剩余类环z 叩，z 。，的直和 定义g 表示n 阶循环群 设a 是群g 的子集，定义 表示由a 生成的子群 设日是群g 的子群，记作h g ，定义 g ：刎为h 在g 中的指数 设g 是有限阿贝尔群，则存在n 1 ，n 2 ，n ，n ，使得g = g ，og 。o o ， 其中r = n l = 1 或1 0 ，称s 包含元素g ，记为：g l s 掌记 s u p p ( s ) = d6g ：v g ( s ) 0 ) cg 木若对于任意的夕g ，都有吻( s ) 1 ，称s 为平方自由序列 木，( g ) 中的单位元素1 称为空序列，记为a ，其长度为0 率序n t 称为序列s 的子列，如果在厂( g ) = o 有t i s ，即对于任意的夕g ，都有( t ) 吻( s ) 书当t s ，即例 i s f 时，称t 为s 的真子列 奉记s t _ 1 为序列s 除去子列z 的元素之后得到的序列 木以盯( s ) 表示序列s 的和，即有： 宰对于任意的后6 1 ，2 ，口，记 ( s ) = 吼。+ 职2 + + 吼k ：1 i i i 2 i k z ) ， k 血 ( s ) = u ( s ) 知 i = l 5 g 9 s 吩 秘 = 吼 。汹 l i s 盯 组合数论中的几个问题 幸定义s 的堆垒集 宰定义 宰定义 定义s 的典型分解为 其中 ( s ) = u ( s ) i = 1t o ( s ) = ( s ) u o ) ( s ) = 1 搿 ( 跚 甄，甄( s ) ， & = 夕s u p p ( s ) ：( s ) z ) ，t = 1 ，危( 回 木s 是零和序列：若有盯( s ) = 0 木s 是零和自由序列：若有0g ( s ) 奉s 是极小零和序列：如果s 是零和序列，且其任意非空真子列都是零和自由序列 幸s 是短零和序列：如果s 是零和序列，且其长度满足1 | s e x p ( g ) 设g ，是有限阿贝尔群，对任意一个映射妒：g g 都存在唯一的同态： ，( g ) 一厂( g 7 ) 使得驴( 9 ) ：妒( 夕) 即9 是妒的自然延拓，定义为9 ( 卉绑) ：卉妒慨) 为 t = 1i = l 方便起见，仍以妒表示9 显然有i s i = i 妒( s ) i ，q o ( s u p p ( s ) ) = 8 u p p ( 妒( s ) ) ，如果妒：g _ g ，是同态，则盯( 妒( s ) ) = 妒( 盯( s ) ) 类似的，可以定义任意群g ( 不一定交换) 上序列的相关术语： 设g 是群，s = 9 1 鲰是群g 上的序列 宰记仃( s ) = g l + + 肌 宰t 是s 的子列：若t = g i l 9 i 。，t 【0 ，明，1 i 1s i t z 木t 是s 的零和子列：若盯( t ) = 0 宰s 是零和自由序列：若s 不包含非空零和子列 6 大连理工大学博士学位论文 幸s 是极小零和序列：如果s 是零和序列，且其任意非空真子列都是零和自由序列 木定义s 的堆垒集 ( s ) = 盯( z ) ：t 取遍s 的所有非空子列) 注记2 ：在本论文中，对于非交换群上的序列，元素的运算仍然记作加法，只须保持 运算的顺序 设g 是素数幂，r n ，令f 口表示g 个元素的有限域 a g ( r ，g ) ：f 口上r 维仿射空间 宰定义f 口上的仿射几何 d ( r ，q ) = y ：v 是a g ( r ，q ) 的仿射子空间) 幸d i m ：对任意v d ( r ，g ) ，d i m ( v ) 表示y 的仿射维数 奉定义 d i m ( 。矿( r ，q ) ) = d i m ( a g ( r ，口) ) = r 丰点：v ( 7 - ，q ) 称为点，若d i m ( v ) = 0 ：l c 线：v ( nq ) 称为线，若d i m ( y ) = 1 水共线：点集a 曼a g ( r ，q ) 称为共线，若存在一条线l d ( r ，q ) 满足a l 奉l 矿交( 或简记为：交) ：点集a a g ( r ，q ) 称为胁交，若i a i = m 且a 中任意三个点 都不共线 奉极大交：点集a a g ( r ，q ) 称为极大交，若没有( i a l + 1 ) 一交 记( 巧) = y ：v 是巧的仿射子空间) 由有限几何知道：同一个基域上的同 维仿射几何彼此仿射同构，即( r ，g ) 仿射同构于( ) 注记3 ：( ，q ) 中的仿射子空间又称为传递子空间( 或陪集) 7 组合数论中的几个问题 1 3 论文内容概述 子集和问题与零和问题是组合数论中两个重要的分支本论文主要研究了这两 个领域中的三个问题：限制子集和，d a v e n p o r t 常数，短零和子列 第二章研究了d a v e n p o r t 常数的推广，d a v e n p o r t 常数是零和理论的最重要的常 数本文在有限交换半群上定义了d a v e n p o r t 常数和相对d a v e n p o r t 常数令环咒： z n ，o ok ，我们确定了其乘法半群r 的d a v e n p o r t 常数d ( r ) 和乘法单位 群u ( r ) 的d a v e n p o r t 常数d ( v ( r ) ) 之间的关系：d ( r x ) = d ( u ( 冗) ) + 岛，其中p 2 = 移 l i 7 ：2i im ) 这是定理2 5 的结论并且在定理2 6 中针对任意的元素g r ， 研究了相对d a v e n p o r t 常数d 口( r ) 第三章研究了有限阿贝尔群上的限制子集和问题在阿贝尔群中对限制子集和 进行研究起始于e r d 6 s 和h e i l b r o n n 在1 9 6 4 年所提出的一个猜想，这个猜想被d i a sd a s i l v a 和h a m i d o u n e 解决，本文引述为定理3 1 此后一些研究者对阿贝尔群中的限制 子集和问题进行了研究，然而对于任意的整数h 关于一般的有限阿贝尔群的子集a 的限制子集和h a a 还没有取得任何结果，其中h a 是由a 中所有h 个不同元素的加 和所组成的集合本文在奇阶阿贝尔群中对i h n a l 的下界进行了研究，在定理3 5 中证 明了：设a 是奇阶阿贝尔群g 的子集，对于任意的正整数h 【2 ，l a i 一2 l ，有i h a l i a i ， 等号成立当且仅当a 是g 中某个子群的陪集 第四章研究了与短零和子列相关的几个问题，并引入了几个相应的常数：p ( s ) ， p ( g r ) ，c o ( g ) 设s 是阿贝尔群上的序列，定义p 拶) 表示s 的最短非空零和子列 的长度，若s 是零和自由序列，规定p ( s ) = 0 设g 是有限阿贝尔群，对任意正整 数， ，定义p ( g ；r ) = m 黔【p ( s ) ，旧s = r ) ，其中s 取遍g 上所有长度为r 的序列定 义c o ( g ) = 【e x p ( g ) + 1 ，p ( g ) 一1 】：g 上任何长度等于t 的零和序列s 必有p ( s ) 【1 ，e x p ( g ) 】) ( 其中p ( g ) 是满足下面条件的最小正整数z ，使得g 上任何长度至少为f 的序列都包含长度在【1 ，e x p ( g ) l 中的零和子列) 第4 1 节对任意阿贝尔群上不包含 长度在【l ，危( s ) 1 中的零和子列的序列s 进行研究( h ( s ) 表示s 中元素出现的最大次 数) ，给出了l ( s ) l 的几个下界，叙述为定理4 1 ，定理4 7 ，推论4 1 ，其中主要的结论是 定理4 1 第4 2 节初步探讨了p ( g ；r ) 随着r 的变化规律，叙述为命题4 1 ，命题4 2 ，命 题4 3 第4 3 节通过定理4 1 0 ，定理4 1 1 在两种类型的有限阿贝尔群中证明了岛( g ) d 通过定理4 1 2 和命题4 8 确定了一些具体的有限阿贝尔群c o ( g ) 的取值最后在猜 想4 1 中提出了关于岛( g ) 的进一步可能的工作 8 大连理工大学博士学位论文 2 d a v e n p o r t 常数的推广 d a v e n p o r t 常数是零和理论中最重要的常数，该常数已经从不同角度得到了推广 本章在有限交换半群上定义t d a v e n p o r t 常数，并针对剩余类环的直和r = z n ，o o z 确定了r 的乘法半群r 的d a v e n p o r t 常数d ( r ) 与乘法单位群u ( r ) 的d a v e n p o r t 常数d ( u ( 冗) ) 之间的关系，这是文献【4 8 】中主要的结果 2 1 d a v e n p o r t 常数及其若干推广 定义2 1 ：对于任意有限群g ，d a v e n p o r t 常- 数d ( g ) 是满足下面条件的最小正整 龇，使得g 上任意长度为z 的序列都包含一个非空零和子列 定义2 2 ：对于任意有限群g ，d ( g ) 是指g 上最长的零和自由序列的长度 注记4 ：d ( g ) 也可以定义为g 上最长的极小零和序列的长度由定义易证：对任意 的有限群g 有d ( g ) = d ( g ) + 1 d a v e n p o r t 常数由h d a v e n p o r t 于1 9 6 5 年最先提出d a v e n p o r t 常数是零和理 论中一项开创性的工作，这一常数的提出激发了许多有意义的研究d a v e n p o r t 常 数d ( g ) 在数论和群论的不同领域里都有应用如文献【1 】对于伪素数c a r m i c h a e l 数 有无穷多个的证明就是利用了d ( g ) 的界的估计d a v e n p o r t 常数d ( g ) 是零和理论 研究的核心问题之一，对d ( c ) 值的确定这些年已经取得一些结果下面我们给出两 类重要的有限阿贝尔群中d ( g ) 的取值，这个结果在第四章的证明中也会被引用 定理2 1 ： 2 4 】设g 是有限阿贝尔群则d ( g ) m ( g ) ，特别地，若g 是矿群 或r ( v ) 2 ，有d ( g ) = m ( g ) 9 组合数论中的几个问题 除了g 勘群或r ( g ) 2 的情况，在一些特殊的群例中d ( g ) 值也得到了确定， 文献f l o ，2 4 ，2 5 ，4 9 】详细介绍了关于d ( g ) 已知的结果和一些猜想欲知其详，可参阅 上述文献 除t x 寸d ( g ) 值在不同群例中进行确定，d a v e n p o r t 常数的推广也受到了不少研 究者的关注下面将介绍d a v e n p o r t 常数已有的几个推广，重点是m s k l b a 提出的 相对d a v e n p o r t 常数在2 2 节，我们在有限交换半群上定义- j d a v e n p o r t 常数和相 对d a v e n p o r t 常数 定义2 3 ：对于任意有限阿贝尔群g ，设南是正整数，定义d 七( g ) 是满足下面条件 的最小正整数厶使得g 上任何长度为z 的序列必然包含k 个两两不交的非空零和子 列 一 定义2 4 ：对于任意有限阿贝尔群g ，设t 是正整数，定义d 。( g ) 是满足下面条件 的最小整黜( 如果不存在，定义为o 。) ，使得g 上任何长度为z 的序列必然包含长度 至多为t 的非空零和子列 由定义显然有d 1 ( g ) = d ( g ) 对于一般的k n ，请查阅文献( 【2 4 】，第5 节) ，( 【2 5 】， 第6 1 节) ，其中列出了关于d k ( g ) 已知的结果 有定义易见：若t d ( g ) 有d t ( g ) = d ( g ) 因此仇( g ) 和d 。( g ) 都是对d ( g ) 的自然推广这些新概念的提出也有助于对d a v e n p o r t 常数的研究，如0 o r d a z 和d q u i r o z 在文献【4 1 1 中利用一个讨论d t ( g ) 和d k ( g ) 之间联系的已知结果( 该结果由y 0 h a m i d o u n e 最先发现) 给出了非循环有限阿贝尔群g 中d ( g ) 值的上界他们证明了： 命题2 1 ：【4 1 】设g 是有限阿贝尔群，且g 不是下列类型的群：瓯，仍o q m ， 仍。骁m ，则 等号仅在g = q o a m 时成立 d ( g ) 粤+ 3 注记5 ：不难发现对任意有限阿贝尔群g ，若t = e x p ( g ) 有d 。( g ) = p ( g ) ，其中p ( g ) 的定义请详见第4 章 下面我们介绍m s k a l b 对d a v e n p o r t 常数所做的推广 1 0 大连理工大学博士学位论文 定义2 5 ：i t g 是有限阿贝尔群对任意元素9 g ，定义岛( g ) 是满足条件的最 大正整数匕使得g 上存在一个长度为z 的序列s 满足盯( s ) = g ，s 的所有非空真子列 都是零和t 3 由序列 由注记4 ，有d o ( g ) = d ( g ) ，若g 0 有b ( g ) d ( g ) m s k a l b 在文献【4 4 ，4 5 】中证明了下面关于b ( g ) 的结果： 定理2 2 ：【4 4 设g 是有限阿贝尔群，g g 1 ，不妨假定t l 1 定义是冗到场的典 型同态 1 4 大连理工大学博士学位论文 对任意长度为d ( u ( 凰) ) + 妻n ( t ) 的序列s ，若满足丌( s ) = g ，仿照定理2 5 ，可以 i = 1 r 证明s 是可约序列从而推出d g ( r ) d ( u ( r o ) ) + n ( h ) 一1 i = 1 下面只须说明d g ( 冗) d ( u ( 凰) ) + 壹n ( t d 一1 设如= p i ，l p i ，2 p i ，n ( “) 是t t 的 素因子分解，i = 1 r 令g o = ( 等，誓) 在u ( 凰) 上取长度为d ( u ( 凰) ) 一1 的 序n w 使得不包含满足丌( y ) = 1 的非空子列v 由于砂( g o ) u ( r o ) ，故存在元 素h u ( r o ) 使得丌( 彤) 雄h = 西( g o ) 对于彤中任意元素a ( 或h ) ，- 7 p a 从u ( r ) 取到 元素a ( 矗) 满足币( a ) = a ( 相应地：( 矗) = h ) 令咖= 兀矗，s = 形( 矗木c 1 0 1 ，1 ) ) a l w n “二、 t 1 ( p l , 2 ) 6 1 p l ，n ( t ，) ) 兀1 v1 - i 玩慨，j