（应用数学专业论文）单元能量投影法的数学分析.pdf

摘要 有限元法是解偏微分方程的有效方法之一。但是有限元解的导数一般在单元 边界不连续且整体精度不高。因而如何提高有限元解导数的精度成为近年来有限 元研究的热点之一。 2 0 0 4 年袁驷教授对于二阶方程两点边值问题基于力学解释提出了所谓的“单 元能量投影法”，其基本思想来源于结构力学中的矩阵位移法和有限元数学理论中 的投影定理。数值例子显示了良好的效果。2 0 0 6 年单元能量法被推广到四阶两点 边值问题的有限元计算中，同样获得了令人满意的效果。但是这一系列很有吸引 力的结果均缺少严格的数学分析。 本文主要对二阶方程和四阶方程两点边值问题的单元能量投影法进行数学分 析，获得了一系列好的结果。我们的主要贡献是： 1 对于自伴二阶两点边值问题，我们运用投影型插值及强超逼近结果对单元 能量投影法导出的一种逐点导数与位移恢复公式进行了细致的分析，准确地指出。 了它们的收敛精度，这个结果修正了袁驷教授原先报导的结果。 2 对于非自伴二阶两点边值问题，我们导出了准确解在节点上导数的一种表 达式，再运用“正交性修正”证明了单元能量投影法节点恢复导数的o ( h ”) 1 ) 阶超收敛性。这是目前获得的后处理最高阶超收敛结果。 3 对于四阶两点边值问题的单元能量投影法。我们把袁驷教授的结果推广到 更一般的方程并对节点恢复弯矩证得了o ( h 2 。2 ) 阶的超收敛精度。这也是目前四阶 问题的后处理最高阶超收敛结果。对于恢复剪力，我们证明了o ( h 2 “3 ) 阶的较好结 果。 关键词：有限元，超收敛，后处理，单元能量投影法，投影型插值，单元正交性 修正，二阶两点边值问题，四阶两点边值问题。 a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di so n eo f t h ee f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d st os o l v ep a r t i a l d i f f e r e n te q u a t i o n s b u ti ng e n e r a lt h ed e r i v a t i v e so ft h ef m i t ee l e m e n ts o l u t i o na r en o t c o n t i n u o u sa c r o s st h eb o u n d a r yo fd e m e n t sa n dh a v el o wg l o b a la c c u r a c y t oi m p r o v e t h ea c c u r a c yo ft h ed e r i v a t i v eo ft h ef i n i t ee l e m e n ts o l m i o nb e c a l f l eo n eo ft h em o s t i m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c tr e c e n t l y i n2 0 0 4f o rs e c o n do r d e rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sp r o f e s s o ry u a n p r o p o s e dt h e5 0c a l l e de l e m e n t - e n e r g y p r o j e c t i o n e p ) m e t h o db a s e do nm e c h a n i c a l i n t e r p r e t a t i o n t h ef u n d a m e n t a li d e ac o m e sf o r mt h es t r a t e g yi nc o n v e n t i o n a lm a t r i x d i s p l a c e m e n tm e t h o df o rs k e l e t a ls t r u c t u r e sa n dt h ep r o j e c t i o nt h e o r e mi nf i n i t ee l e m e n t m a t h e m a t i c a lt h e o r y t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wh i g ha c c u r a c yo ft h en e wm e t h o d i n2 0 0 6 ，p r o f e s s o ry u a na p p l i e dt h ee l e m e n te n e r g yp r o j e c t i o nm e t h o dt ot h ef i n i t e e l e m e n tc o m p u t a t i o no f f o u r t ho r d e rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h en u m e r i c a l e x a m p l e ss h o wt h a tt h ee e pm e t h o da l s ow o r k sw e l lf o rt h ef o u r t ho r d e rp r o b l e m s b u t t h e r ei sn os t r i c tm a t h e m a t i c a la n a l y s i sf o rt h e s ev e r ya t t r a c t i v er e s u l t s i nt h i st h e s i sw eg i v eam a t h e m a t i c a la n a l y s i so nt h ee l e m e n te n e r g yp r o j e c t i o n m e t h o d o t i tm a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 f o rs e l f - a d j o i n ts e c o n do r d e rt w op o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，u s i n g p r o j e c t i o nt y p ei n t e r p o l a t i o na n du l t r a - a p p r o x i m a t i o nr e s u l t sw es t u d yt h ep o i n t w i s e d e r i v a t i v ea n dd i s p l a c e m e n tr e c o v e r yf o r m u l ai nd e t a i l w eo b t a i nt h e i rc o n v e r g e n c e r a t ee x a c t l y t h i sr e s u l tc o r r e c t e dy u a n se a r l i e rc o n c l u s i o n 2 f o rn o n - s e l f - a d j o i n ts e c o n do r d e rt w op o i mb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , w ed e r i v e f o r m u l ao fd e r i v a t i v eo fe x a c ts o l u t i o ni nn o d a lp o i n t b yv i r t u eo fo r t h o g o n a l c o r r e c t i o nt e c h n i q u ew ep r o v e dt h e o ( h 2 ) ( k 1 ) s u p e rc o n v e r g e n c ef o rt h e n o d a l r e c o v e r yd e r i v a t i v ed e r i v e db ye e p m e t h o d t h i si st h eh i g h e s to r d e rs u p e r c o n v e r g e n e e r e s u l tf o rd e r i v a t i v ep o s t p r o c 七s s i n ga tp r e s e n t 3 f o rt h ee e pm e t h o do ff o u r t ho r d e rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , w e e x t e n dy u a n sm e t h o dt om o r eg e n e r a le q u a t i o n sa n dp r o v e dt h e o ( h 2 “21 s u p e r c o n v e r g e n c ef o rr e c o v e r yb e n d i n gm o m e n t s t h i si st h el l i g h e s to r d e rs u p e r c o n v e r g e n c e r e s u l tf o rf o u r t hp r o b l e m su pt on o w f o rr e c o v e r ys h e a rf o r c e sw ep r o v e dt h e o ( h 2 “) k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t , s u p e r c o n v e r g e n c e , p o s t p r o c e s s i n g ，e l e m e n t e l l e l g y p r o j e c t i o nm e t h o d ，p r o j e e t i o nt y p ei n t e r p o l a t i o n , e l e m e n to r t h o g o n a lc o r r e c t i o n , s e c o n d o r d e rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，f o u r t ho r d e rt w op o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m 表1 1线性元边界结点结果 附表索引 表1 2 二次元边界结点结果 表3 1 恢复导数端点误差( k = 4 ，5 次元) 表3 2 导数最大模误差( k = 2 ，3 ) 表3 3 导数最大模误差( 后= 4 ，5 ) 表3 4 常系数内点导数最大模误差( k = 2 ，3 ) 表3 5 常系数内点导数最大模误差( k = 4 ，5 ) 表3 6 位移逐点恢复k = 2 ，3 次元 表3 7 位移逐点恢复k = 4 ，5 次元 表3 8 变系数位移逐点恢复( k = 2 。3 次元) 表3 9 变系数位移逐点恢复( k = 4 。5 次元) 表4 1 非自伴问题线性元边界结点结果 表4 2 非自伴问题二次元区域中点结果 表4 3 导数收敛率的比较 表5 1c 1 元端结点弯矩恢复 表5 2c 1 元内部结点弯矩恢复 n 巧 驺 钉 钒 舛 舛 弱 硒 嘶 堋 嗡 嗍 哪 叫 叫 堋 堋 州 伽 叫 吲 嗡 懈 嗡 | 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：奄乏年 日期；2 朋7 年莎月2 ；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 ，保密lj ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密i l 。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期i 日期： 日日 喀 月月 、o寸 年年 埘罗 第1 章绪论 1 1 有限元超收敛与应力恢复 1 1 1 问题的提法 有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值计算方法，广泛应用于 科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。冯康先生在1 9 6 5 年的著名论 文【l 】中第一次独立地阐明了有限元方法的数学实质及其理论基础，这是第一次系统 地采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术。从数学角度来 说，有限元方法是从交分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值( 通 常是分片多项式插值) ，把偏微分方程的求解转化为代数方程组的求解。 众所周知，一般说来，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且 整体精度不高，网格加密和有限元次数增加能适当改善它的精度。然而随着网格 的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的代数方程组的阶将按几何级数急 剧增加。因而怎样对有限方法所得到的数值结果事后进行某种加工( 要求这种加 工工作量很小) 来提高有限元解及其导数的精度成为有限元研究的一项重要内容。 1 1 2 历史背景 有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1 9 6 7 年z i e n k i e w i e z - c h e u n g 就 在1 1 l cf i n i t ee l e m e n tm e t h o di ns t r u c t u r a la n dc o n t i n u o u sm e c h a n i c s ) 翻中指出在计 算中发现线性有限元解的导数在某些特殊点上有特别高的精度。这种奇特的现象 后来被d o u g l a s - d u p o n t l 3 1 称为有限元的超收敛性。通常，这些特殊的点称为应力佳 点。不久还发现有限元解本身在一些特殊点也有超收敛性，这些特殊的点称为位 移佳点。应力佳点和位移佳点统称为超收敛点。 超收敛的意义是非常明显的。利用超收敛性质可以在不大幅增加计算量和存 储量的情况下显著提高有限元解及其导数的精度，超收敛还是构造有限元渐近准 确后验误差指标的有力工具。 ：，：，。，：，。，：，：，。，：重目l l | l l i l 自| l i ；l l ，：，。，：，：。：一 1 9 6 9 年，前苏联人0 9 a n e s j a n - r u h o v e t s f 4 1 对线性三角形元( 直角元) 得到一 个重要估计( 第一型弱估计) 口( 一”，v ) = a ( u - u , ，v ) = 0 ( 矗2 ) 陋啦：h v 诺( q ) ( 1 1 1 ) 从而得到 慨一“川。= d ( 2 ) ( 1 1 2 ) 其中u 为有限元解，为“的有限元插值a 后来公式( 1 1 2 ) 被林群5 1 称之为有限元的超逼( 接) 近。尽管当时o g a n e s j a n r u h o v e t s 并没直接得到逐点的超收敛估计，但是这项工作对开辟研究有限元超收 敛问题的新途径是很有益的。然而这样的工作至少8 年没有被人注意，直到1 9 7 7 年1 9 7 8 年才分别由捷克人z l a m a l t 6 1 和中国人陈传淼朱起定 7 1 各自独立地发现，从 而在有限元超收敛研究此后三十年的蓬勃发展中起到了重要作用。 有限元超收敛的研究自1 9 7 0 年代起至今方兴未艾，现有的研究工作基本遵循 两条途径： 一是找出有限元插值逼近的超逼近点。然后利用插值弱估计等手段导出有限 元解及其导数本身所具有的超收敛性质，也就是所谓的有限元的天然超收敛性 ( n a t u r a ls u p e r c o n v e r g e n c e ) 。这一方面的工作已经做得比较精致，国际公认的有 限元超收敛三大学派( 美国的i t h a c a 、t e x a s 及中国学派) 都作出了很大的贡献， 其成果已写入多本专著，如【8 】、【9 】、 1o 】、【1 l 】、【1 2 】、【1 3 】、【1 4 】、【1 5 】、 1 6 】等。 在中国，最先以陈传淼、朱起定为代表，提出了“单元合并”技巧及后面发 展的单元正交分析方法，解决了两个基本估计并得到相应的一些超收敛结果，是 中国超收敛研究的先行者，以林群、朱起定为代表提出了“离散g r e e n 函数 两个基本估计渐近展开”框架，奠定了解决逐点超收敛性、外推、插值处理、 校正等问题的理论基础。于是形成了以林群、陈传淼、朱起定为代表的中国学派。 1 9 8 2 年，在“北京中法有限元国际研讨会”上，朱起定”7 l 综合分析了国内处 已有的超收敛结果，把有限元超收敛估计归结为两个基本估计( 弱估计) ： a ( u 叫，v ) = o ( h k “) 。 a ( u u l ，v ) = o ( 矿+ 2 ) 1 1 v f 2 。，v v e s ：( n ) ，l g 2 其中七为有限元次数。利用离散g r e e n 函数的基本估计，妥善地给出了解决逐点超 收敛问题的基本框架“离散g r e e n 函数的两个基本估计”框架。 4 1 9 8 2 年，陈传淼出版了专著有限元方法及其提高精度的分析，这是超收敛 领域最早的一本著作。 1 9 8 5 年朱起定教授建立了一套完整的离散g r e e n 函数理论，总结了中国有关 天然超收敛性的全部工作，写成了“有限元超收敛理论”讲义，此讲义在全国广 泛流行，1 9 8 6 年林群研究员将他的“渐近展开式一外推”的一些成果编入该书 第六章再次散发全国。1 9 8 9 年朱起定与林群共同完成了同名专著【9 】，这是国陌薤 第一本全面系统地论述二阶椭圆问题有限元超收敛理论的专著。 在美国，以s c h a t z ，w a h l b i n 为代表形成了i t h a c a 学派，在他们确立的内估钎 理论的基础上，利用“局部对称处理技巧”得到一个较普遍的超收敛结果，它适 用于所有二阶椭圆边值问题。 t e x a s 学派的代表人物是有限元研究的元老b a b u s k a ，他们【1 3 1 基于计算机搜索 系统地研究了有限元的超收敛性，不仅检验了已有的超收敛理论结果，还获得了 许多新的结果，为广大理论工作者提供了大量新颖的课题。 第二种途径是利用各种后处理技术，使经过处理的有限元解具有超收敛性质。 值得一提的是，在1 9 8 0 年代，中国入在校正、外推及插值处理等后处理技术方面 做出了许多出色的工作。 实际上，直接从有限元解计算所得的应力场在单元边界不连续且精度不高。 因此如何利用有限元的天然超收敛性质来改善有限元的精度便为成众人关注的问 题。为获得更高精度的解，目前流行的后处理技术有： 1 平均和局部插值技术 自1 9 6 0 年代有限元法被用于工程与科学计算伊始，为获得更理想的结果， 节点导数的平均就自然而然地被用于实际计算中去。事实上，早期( 1 9 7 0 年代末) 的超收敛结果大多是在平均意义下得到的。虽然这种方法是如此原始，直观，但 是它的成功与超收敛点的存在却是密切相关的。之后各种形式的平均和局部投影 技术都被用来改善有限元解及其导数的精度，如【1 9 】等。关于这方面的综述性论文 参见k 商琵k n e i 也i a r 眦a k i 的 2 0 】。 2 整体投影技术 改善有限元的精度的另一个比较直观的方法是对有限元节点导数值做整体c o 连续的插值( 一般来说插值基函数与有限元计算中的基函数一致) 或其它整体投 影【2 1 j 【2 2 】，但是，这样做运算量太大，而且对二次元这样做精度没有很明显的 提高。 3 外推技术 有限元外推是有限元发展的一个重要方面。1 9 8 3 年，林群吕涛沈树民口q 运 用“离散g r e e n 函数两个基本估计”框架思想，提出了“离散g r e e n 函数渐 近展开式”的新框架，利用一个渐进展开式( 对一次元) ： 4 ( 社叫，v ) = c h 2j 茁d 4 u v d x d y + o ( h 4 ) 0 v l | 1 lv v s g ( n ) ( 1 1 4 ) 和离散g r e e n 函数的几个估计解决了困难的二维外推问题，从而开创了对有限元 的外推等一系列问题的系统研究。之后有限元外推经过林群及其合作者吕涛、沈 树民、陈传淼、朱起定、r a n n a e h e r 、b l u m 、许进超、王军平等的进一步发展，至 今有限元外推理论已经比较完善，不仅成为提高有限元精度的可靠方法，而且是 有限元后验误差估计、超收敛点发现的基石。这些工作已经使得复杂的有限元理 论大为简化，其应用范围也大为扩展。这方面的文献可参考【2 5 】、【2 6 、 2 7 1 等。 4 超收敛单元片应力恢复技术 1 9 8 7 年z i e n k i e w i c z - z h u 提出了一种基于后处理技术的误差估计方法z z 方法，并于1 9 9 2 年起在文【2 9 】一 3 3 1 中系统完整地提出了超收敛单元片应力恢复技 术( s u p c r c o n v e r g e n c 冶p a t c hr e c o v e r y ) ，简称s p r 技术。由于它具有计算简单、效 果显著、易于理解和现有的有限元应用软件接口方便等特点，因此一经提出就受 到了工程界的广泛欢迎，并被b a b u k a 等人以为是用于渐近准确的后验估计效果 最好的技术之一删。自此，有限元后处理技术从理论研究走向实际应用，进入了 一个全新的发展阶段。 该技术的基本思想是在单元片( 由围绕公共节点的所有单元所组成) 上利 用几个样本点进行最b - - 乘曲面拟合获得节点毛及其他点的应力的恢复值，其中 所选取的这些样本点基本上是应力的超收敛点或高精度点。在一致剖分下，无论 是一维还是二维情形，对偶次有限元利用s p r 技术都可以获得节点应力的强趣收” 敛结果，即比整体最优收敛阶高两阶的精度；而对奇次元只获得了超收敛结果。 s p r 技术提出后，在理论上z m z h a n g ，l z z h u ，b l i 等人在文【3 5 】2 1 4 0 、 4 1 】 中分别对两点边值问题、二维矩形元、三角形线元证明了利用s p r 技术得到的一 系列结论，并对其结论从理论上给予了某些推广。 2 0 0 1 年张铁嗍提出了“导数小片插值恢复技术”。这种技术可以用于计算存限 元内节点处导数的近似值，并且在小片恢复区域上具有整体超收敛性。在一定条 件下，利用这种技术还可以获得节点的强超收敛性。 对于变系数两点边值问题，2 0 0 1 年陈传淼” 4 3 - 4 4 改造了投影型插值，提出了 “正交性修正”，构造出一种与原微分方程有关的插值，得到最佳超逼近，然后利 用单元片插值处理方法证得每个均匀单元片( 两个等长单元之并) 上导数和位移 分别存在k + l 及k + 2 个强超收敛点。 2 0 0 3 年朱起定和赵庆华h 5 1 对常系数两点边值问题提出了一种新的校正格式， 利用投影型插值分别得到了应力和位移逐点o ( h “2 ) 和o ( h “3 ) ( k 为有限元的次 数) 的强超收敛结果，对变系数问题获得了高l 阶的超收敛结果。 2 0 0 4 年朱起定和孟令雄【蛔对三角形二次元证明了s p r 技术的强超收敛结果， 同年朱孟【4 7 】对一维和二维的奇次元提出了一种新的恢复技巧，获得了导数的强 超收敛结果，弥补了s p r 技术对奇次元仅获得超收敛( 高1 阶) 的缺陷。 2 0 0 4 年张铁4 9 】提出了一种导数恢复技巧，获得了节点o ( h 2 ) 阶恢复导数，而 且有o ( h “1 ) 阶整体导数超收敛，考虑的问题是二阶自伴两点边值问题，之后由赵 张 4 9 1 推广到了一维积微分方程。 2 0 0 6 年朱起定赖军将【5 0 1 将朱起定赵庆华【4 5 1 的结果推广到了一维变系数非自 伴方程。 注：本节内容参考- j 5 1 2 及 5 2 的前言。关于有限元法我们参考 5 3 - 5 8 1 。 1 2 单元能量投影( e e p ) 法简介 如前所述，鉴于常规有限元应力精度比位移精度呈数量级的下降，工程界和 理论界均在探索高精度的应力恢复方案。力学与结构工程专家袁驷教授最近提出 了一种新的一维有限元后处理计算方案 5 9 4 , 3 1 。该方案数值算例显示了很好的超收 敛性质，且计算方法简便易行，本节将以两点边值问题为例，对此方案做一简要 介绍。 考虑变截面杆件轴向弹性变形问题，以“为轴向位移，厂为轴向分布荷载，g 为分布弹簧的刚度，杆件截面的拉压刚度记为p ，杆长取单位值。以位移作为基 本的未知量，该问题归结为如下的二阶常微分方程的两点边值问题。 l u 三一( p 甜，) + 弘= ，0 2 时，q ( 一o 一) ) = ( 一1 ) 哆( t + o t ) ) ； ( 3 ) 当i 3 时，( q ，n 。) = 0 ，一3 只一3 ( p ) ； ( 4 ) 当f ，2 , i + j 为奇数时，( q ，q ) = 0 。 现在假设“曰1 ) ，则导数l z ( e ) ，于是它可展成f o u r i e r 级数： u = a o + 厶( + 厶( 力+ + a k l a x ) + 其中吼= ，k )