（工程力学专业论文）巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 巨型重载操作机装备是在极端载荷条件下作业的巨型工业机器人，它的主轴轴承在 高温和非连续载荷作用时易造成接触区润滑膜破裂、接触区的弹塑性变形。这些界面有 典型的接触行为和接触力学特征，尤其是界面的接触应力非常大，会影响装备的操作性 能和操作精度，以及装备的可靠性和使用寿命。因此，操作机间隙铰接触应力的准确求 解，对操作机的结构优化，疲劳分析有重要的意义。 基于虚功原理的弹性接触问题的线性互补方法，理论推导简便，概念清晰，求解时 不需要迭代。本文利用此方法研究操作机的间隙铰在荷载工况下进行接触应力。编制了 接触有限元程序，对通过有限元接触程序的数值解与经典赫兹解析解对比，证明了此程 序的正确性和可靠性。 针对l e m k e 算法求解由摩擦问题转化的线性互补方程会出现射线解而不收敛的情 况，本文运用n c p 函数法将完整的接触互补方程转化为非线性方程组来求解。通过选 用适合的n c p 函数得出了与a b a q u s 数值分析一致的结果。 最后给出了操作机间隙铰的接触应力分析结果，并与a b a q u s 数值分析结果做了 对比，结果对操作机的优化设计、可靠性设计和疲劳分析等有重要参考意义。 关键词：巨型重载操作机；互补方程；接触应力；赫兹解析解；射线解；n c p 函数 大连理工大学硕士学位论文 t h ec o m p l e m e n t a r i t ym e t h o df o re l a s t i cc o n t a c tp r o b l e m s o fh e a v y l o a dm a n i p u l a t o r a b s t r a c t t h eh e a v y - l o a dm a n i p u l a t o ri sa c t u a l l yak i n do fh u g er o b o tu n d e rt h ee x t r e m el o a d e n v i r o n m e n ti ni n d u s t r y t h eh i 曲t e m p e r a t u r ea n dn o n c o n t i n u u ml o a dm a yc a b s et h e f a i l u r eo ft h ei n t e r f a c el u b r i c a t i o na n dt h ee l a s t o p l a s t i cd e f o r m a t i o no ft h ec o n t a c ta r e ai n t h es h a f t t h e s et y p i c a lc o n t a c tb e h a v i o r sm a yr e s u l ti nh u g ec o n t a c ts t r e s s w h i c hw i l la f f e c t t h ep e r f o r m a n c e ，r e l i a b i l i t y , p r e c i s i o na n ds e r v i c el i f co ft h em a n i p u l a t i o n t h e r e f o r e ，t h e e 伍c i e n ta n da c c u r a t ea n a l y s i so ft h ec o n t a c ts t r e s si nt h ei n t e r f a c eo fs h a f t si sv e r yi m p o r t a n t f o rt h eo p t i m i z a t i o nd e s i g na n df a t i g u ea n a l y s i so f t h e h e a v y - l o a dm a n i p u l a t o r n el i n e a rc o m p l e m e n t a r i t ym e t h o df o re l a s t i cc o n t a c tp r o b l e m sb a s e do nt h ep r i n c i p l e o fv i r t u a lw o r ki su s e di nt h i sp a p e r , w i t hi t ss i m p l i f i e dt h e o r e t i c a ld e r i v a t i o n , c l e a rc o n c e p t a n dn o n i t e r a t i v es o l u t i o np r o c e d u r e t 1 1 ef e mp r o g r a mb a s e do nt h i sm e t h o di sr e a l i z e dt o a n a l y z et h ec o n t a c ts t r e s so ft h es h a f t so f t h em a n i p u l a t o r ，w h o s ea c c u r a c ya n de f f e c t i v e n e s s w a sd e m o n s t r a t e db yc o m p a r i n gt h en u m e r i c a lr e s u l t so ft h ef e mp r o g r a m 、加t l lt h ea n a l y t i c h e r t zr e s u l t s 1 1 1 en o n - c o n v e r g e n c er a ys o l u t i o nm a yo c c u rw h e nu s i n gl e m k ea l g o r i t h mt os o l v et h e e l a s t i cf r i c t i o n a lc o n t a c tp r o b l e mw i mt h el i n e a rc o m p l e m e n t a r i t ym e t h o d i nt h i sp a p e r , n c pf u n c t i o nm e t h o di su s e dt oc o n v e r tt h ei n t e g r a t e dc o m p l e m e n t a r yc o n d i t i o n si n t o n o n l i n e a re q u a t i o n s ，1 1 e l lt h ea v a i l a b l en c pf u n c t i o ni ss e l e c t e d t h es a t i s f y i n gr e s u l tc a l l b eo b t a i n e d i na c c o r d a n c ew i t ht h ea b a q u sn u m e r i c a lr e s u l t s f i n a l l y , t h ec o n t a c ts t r e s si nt h ei n t e r f a c eo fs h a r si nt h eh e a v y - l o a dm a n i p u l a t o rw a s o b t a i n e df r o mt h ef e mp r o g r a ma n dc o m p a r e dw i mr e s u l t so fa b a q u sn u m e r i c a la n a l y s i s 1 1 1 er e s u l t si nt h i sp a p e ri sh e l p f u lt ot h eo p t i m i z a t i o nd e s i g n , r e l i a b i l i t yd e s i g na n df a t i g u e a n a l v s i so ft h eh e a v y l o a dm a n i p u l a t o r k e yw o r d s ：h e a w - l o a dm a n i p u l a t o r ；l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t ym e t h o d ；c o n t a c t s t r e s s ；h e r t z s o l u t i o n ；t h er a ys o l u t i o n ；n c pf u n c t i o n i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：巨型重载握堡扭登性接触闻题鲍缦! 陛亘主i ：立洼 作者签名：三聋虽产一日期：二4 年孕月胡 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门瓠_ 构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：巨型重戴握住扭登! 眭接触闻题鲍绫性亘室l 友洼 作者签名： 盔星 日期： 坦3 年j 丑月生日 导师签名：纽2 日期：巫年二二月生日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 11 课题的背景与意义 巨型重载操作装备是制造产业链中的基础装备，体现国家极端制造能力和制造水 平，影响国民经济和国肪建设重大工程的实施。研究巨型重载操作装各的基础科学问题， 旨在揭示极端载荷条件下多自由度操作装备的运动特征、力学行为与动态响应规律，提 供巨型重载操作装备设计、制造与控制的关键技术为核电、造船、化工、国防等领域 亟需的大型构件精确高效制造提供理论支撑与技术保障。 巨型重载操作装备需要具备极端载荷条件下的多维灵巧操作能力。由于操作过程中 存在强外场作用、多维运动耦台及机构的过约束特征，重载操作装备易产生力流畸变和 操作灵巧性丧失，其电液伺服系统易产生紊流和随机空化，从而导致装备运动界面的日j 隙变化与润滑失效、结构力学性能衰退、运动约束冲突、控制系统失稳、末端精度丧失 甚至功能失效。因此，大承载灵巧操作机构与恒力央持机构设计、重载界面低摩擦润滑、 偏载和异常内力的预测与控制、大载荷过约束系统的同步与协调是重载操作装备的关键 技术。 图1i 某型号重载操作机 f i g 11 h e a v y - l o a dm a n i p u l a t o r 重载操作装备是在极端载荷条件下作业的巨型工业机器人。在重载条件下，运动副 间隙、摩擦与机构运动和变形之间，刚体运动与弹性变形之间都存在着耦合效应，而且 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 重载操作装备的冗余驱动和超静定结构还可能引起运动约束冲突、力流畸变和奇异偏载 等不确定力学行为。同时，在巨型重载操作装备主轴轴承中，大载荷作用造成滚动体长 时间处于高压状态，并伴随着偏载、高温和非连续冲击载荷作用，易造成接触区润滑膜 破裂、高副接触区的弹塑性变形。这些界面行为与力学特征不仅会导致振动增大、运动 精度丧失、运动副失效，影响装备的操作性能和操作精度，而且还会导致构件疲劳与损 伤，影响装备的可靠性和使用寿命。因此，在重载工作条件下如何合理地设计运动副的 构型及润滑方式，有效地降低摩擦系数，减小驱动力矩和能耗，进行力学性能优化设计， 提高其在重载条件下的安全性与可靠性，对于重载操作装备设计尤为重要。 接触问题广泛存在于巨型重载操作装备的构件中，这类问题的特点是具有单边约束 和未知接触区域，接触区域的确定依赖于加载方式、荷载水平、接触面性质等因素，属于 边界待定问题。重载操作机在非连续的高荷载工况下，界面的接触应力非常大，如果不 考虑的话，会使机构的运动以及铸造精度产大的误差。 操作机在重载下，界面接触应力的准确分析，接触边界条件的力学模型和数学求解 方法模型的准确建立是求解应力的基础问题。本文分析了当前接触问题的常用分析方法 和算法，主要研究重载操作机机界面间隙的应力分布特性，为操作机的相关构件优化问 题提供必要的计算参考。 1 2 接触力学的发展状况及其应用 在工程实际中存在着各种各样的接触问题，如弹性接触问题、弹塑性接触问题、耦 合热弹性接触问题等等。接触问题最早的研究始于h e r t z 的二次曲面物体的挤压问题， h e r t z 对无摩擦、大小相同的两个弹性球体在小变形、不产生相对滑动和半球分布压力 的假设下，用半逆解法进行了求解。从接触的性质来看，可以把接触问题分为赫兹接触 和非赫兹接触，非赫兹接触就是指不符合赫兹假定的接触问题。早期对接触问题的研究 主要是针对赫兹型的，推广到不同大小的球体间以及柱体和平面之间。 由于大多数接触问题都是数学上的混合边值问题，积分方程是接触力学的主导方 程，对其理论解法按所用的数学方法不同，大致可分为经典接触解法和非经典接触解法。 一些形状比较规则的物体间的接触问题，能用经典的数学工具来求解，使用最多的方法 是积分方程法【l4 】，求解积分方程可以使用积分变换。 用经典接触法得到的解的结果很漂亮，是封闭的解析解，但其解决问题的范围却十 分有限。随着电子计算机及控制论的应用，以及有限元和边界元的出现，给非经典的接 触理论领域的研究及数值解法的兴起和发展创造了前所未有的巨大空间。上世纪七十年 代末期后，基于有限元法的一些数值方法相继出现，具有代表性的主要有以下几种方法： 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 间隙有限单元法【1 5 】：它在接触体系的间隙之间引入一种人为添加的，虚拟的， 只能受压；不能受拉的间隙单元。间隙单元起着连接两接触物体的作用，因此它的形状 必须满足两物体无互相侵入这一实际情况。间隙单元实际上是一种假想的单元，它的开 和关取决于接触物体的特性和荷载情况，通过迭代调整该单元的压缩弹性模量。此方法 物理概念简单，便于使用，但在处理复杂的实际问题时收敛性得不到保证。 ( 2 ) 罚函数法【l6 】：该方法取符合一定条件的接触单元为罚单元，将接触区域的非 穿透性条件作为罚项引入接触系统的总势能中，将约束变分问题转化为罚优化问题来求 解。在此方法中，罚因子的选取决定了方程的求解精度，当然选取应考虑方程的闭锁、 病态、奇异、精度等因素，不能无限增大。如果不控制罚单元的量级可能会造成病态方 程而无法求解。 ( 3 ) 拉格朗日乘子法【l7 】：此方法将接触问题考虑为有约束的最小值问题，通过引 进l a g r a n g e 乘子来构造l a g r a n g e 函数，使上述问题转化为l a g r a n g 函数的无条件极值问 题。将一组变分不等式化为适合有限元计算的一组等式来对接触问题求解。 ( 3 ) 数学规划澍1 】【2 】【3 】：此方法通过将接触问题转化为规划问题，用线性规划或 二次规划( 线性互补) 技术求解。其中最有代表性的当属钟万勰的工作。他成功地用数 学规划法求解了有摩擦的接触问题。 1 3c a e ( a b a q u s ) 有限元接触算法 理解a b a q u s 的接触算法【3 3 】有助于更好理解接触力学的发展应用，能够更好将其 应用到重载操作机在高温高荷载状况下的接触力学分析中。 图1 2 所示为a b a q u s s t a n d a r d 中用的接触算法。该算法是建立在非线性n e w t o n - r a p h s o n 技术的基础上的。 a b a q u s 在每个增量步开始之前检查所有接触相互作用状态，以判断从属节点是 脱开还是闭合。在图1 2 中p 表示从属节点上的接触压力，h 表示从属节点对主面的侵 入距离。如果一个节点是闭合的，a b a q u s 确定它是在滑动还是粘结。a b a q u s 对每 个闭合节点加以约束，而对那些接触状态从闭合到脱离变化的节点撤除约束。然后a b a q u s 再次进行迭代并用计算修正值来改变模型。 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 图1 2 接触分析流程图 f i g 1 2 t h ef l o wd i a g r a mo fc o n t a c ta n a l y s i s 在第一次迭代结束后，a b a q u s 通过改变接触约束来反映接触状态的改变，然后 进行第二次迭代。a b a q u s 重复这个过程，直到接触状态不再变化才结束迭代。 接着的迭代为第一次平衡迭代，并且a b a q u s 进行正常的平衡收敛检查。如果收 敛检查失败，a b a q u s 将进行另一次迭代。每当一个严重不连续迭代发生时，a b a q u s 将内部平衡迭代计数器重新置零。这个平衡迭代的计数用于确定是否因收敛慢而放弃 这个增量步。a b a q u s 重复整个过程直至获得收敛的结果，如图1 2 所示。 在信息和状态文件中，每完成一个增量步就会总结显示有多少次严重不连续迭代， 和多少次平衡迭代。增量步的总迭代数是这两者之和。 通过区分这两类迭代，可以看到a b a q u s 非常适合处理接触计算和很恰当地完成 平衡迭代。如果严重不连续迭代次数很多，而只有很少的平衡迭代，那么a b a q u s 对 确定合适的接触状态就会出现困难。在默认情况下，a b a q u s 会放弃那些超过1 2 个严 重不连续迭代的增量步，而改变更小的增量步。如果没有严重不连续迭代，接触状态从 一个增量步到另一个增量步之间没有改变。 大连理工大学硕士学位论文 1 4 c a e ( a b a o u s ) 有限元接触步骤 a b a q u s 接触算法的主要步骤和注意事项【3 3 】。 ( 1 ) 定义部件 启动a b a q u s c a e ，进入p a r t 模块，创建你所需要的部件。 ( 2 ) 定义材料和截面属性 由于每个部件的材料不同，所以需要定义各个部件的属性，如弹性模量和截面属性 笙 寸o ( 3 ) 定义装配件与分析步 在a s s e m b l y 模块中对每一个部件生成单一的副本，然后进入s t e p 模块，定义一个 静态常规分析步，一般命名为：f u l la p a r t 。 ( 4 ) 输出请求 对输出文件( o d b ) 可用默认值，这样可以在v i s u a l i a z t i o n 模块中绘制应力和接触 压力的等值线。另外要输出分析开始时刻和每一个严重不连续迭代时刻的从面上点的接 触状态。这个信息被写入到了信息文件( m s g ) ；该信息对检查计算开始时定义的接触 面状态正确与否和确定分析过程中出现的问题特别重要。 ( 5 ) 定义接触面相互作用 首先定义相互作用面，涉及到主从接触面、滑移公式和赋予相互作用属性。然后定 义相互作用的属性，包括接触面之间的摩擦系数。 ( 6 ) 定义约束方程 在定义约束方程时首先要对部件进行分区；然后将这些位置定义为几何集。 ( 7 ) 定义载荷 在部件上给加上适合的载荷，包括集中载荷和分布载荷。 ( 8 ) 用边界条件约束刚性体运动 如果在没有约束条件情况下，由于计算机的精度误差在模型上会产生很小的平衡 力，微小的不平衡力会引起模型无限的刚体运动。 这样的刚体运动在数学上称为数值奇异性。在分析过程中当a b a q u s 检测到数值 奇异性时，它会在信息文件中输出求解问题信息。这类信息格式如下t 宰拳w a ri n g ：s o l v e rp r o b l e m n u m e i l l c a ls i n g u i ，a r i t yw h e np r o c e s s i n gn o d e5 8i n s t a n c et o p f l a n o e 1d o f 2r a t i o = 1 1 4 2 6 6 e + 2 0 ( 9 ) 剖分网格和定义作业 在生成网格之前应考虑单元的类型。在选择单元类型时，必须考虑诸如模型的几何 形状、将要观看的变形类型、载荷施加等几个方面因素。 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 ( 1 0 ) 分析结果 在分析结束后，要查看作业监控和状态文件，查看迭代的情况，和接触诊断的输出， 这些信息都在信息文件中。 1 5 本文主要研究内容 本文研究重载操作机机界面间隙的弹性接触问题，主要内容包括： ( 1 ) 运用文献中的方法基于虚功原理的弹性接触问题的线性互补方法【i 】，实现程 序化并与经典赫兹解做对比以证实程序的正确性。 ( 2 ) 研究了程序中接触刚度参数的调整对弹性接触应力和接触区域的收敛控制影 响，以及接触边界接触单元的处理方式。 ( 3 ) 针对求解弹性接触问题的线性互补方程时会出现射线解的情况，运用n c p 函数法将其内互补条件考虑最后归结为求解非线性方程组。 ( 4 ) 运用此方法对操作机的间隙铰的接触应力做了结果计算，并与a b a q u s 计 算结果作对比。 本文的研究工作得到了9 7 3 计划课题“非连续工况下重载装备的界面行为与力学特 性 ( n o 2 0 0 6 c b 7 0 5 4 0 3 ) 的资助，特此致谢! _ 人连理 ：大学硕士学位论文 2 弹性接触问题的基本理论与方法 21h e r t z 接触解的常用公式 1 8 8 1 年，赫兹( h e r t z ，hr ) 首先研究了经典模型的接触问题。本节列出一些常用 的经典接触赫兹公式。 ( 1 ) 弹性球体变形分析： _ 【j 幽2 1 均球体接触 f i g 2it w oc o b i a c ts p h l = r e s 设弹性球体的半径分别为一和4 ，变形前两球体在o 点接触( 相切) 。两个球体 在其中心均受集中力f 的作用，变形后球体在半径为a 的圆形区域接触。接触区域内 任意一点与中心的距离为p ，并且球体在p 的沉陷分别为毛，和乞，则： + 色= 丽p 2 + 瓦p 2 = ( 2 1 ) 黼p = 揣。 由于接触区域对于弹性球体是局部，因此p 远小于球体的半径4 和止，由于相互 压缩而相互接近的距离为j ，相对位移分别为和，则： + 心= d 一印2 ( 2 2 ) 如果将球体接触面看作弹性半无限体作用圆形区域分布载荷问题，a 和一，为球体 接触面上的点，则位移为： 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 m = 警j j q d s d 5 q a s a t 沙 ( 2 3 )m = ol il z j ) l 冗e 。j j w 2 = 豢i g 出如 ( 2 24 )w = ol l 口出d 沙( 夕 瓦e 、j 3 l1 其中，五，嵋和易，屹分别为球体局，是的弹性模量和泊松比。则： w ，+ w 2 ：去f 半+ 警 q d s d y 小助z ( 2 5 ) 2 i l 寸+ i j j j 筇嘞2 q 5 ( 2 ) 弹性球体接触压力分析： 下述公式中的q 接触压力是未知函数，因此，首先必须确定圆形区域的接触分布荷 载。赫兹认为接触区域的接触压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和 球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域。 图2 2 接触区域 f i g 2 2 t h e 卸限ao fc o n t a c t g ( p ) 2 等 p 2 如2 y ( 2 6 ) 其中g 眦为接触区域中心的压力，p s i n g 为接触区域内部任意一点与接触区域中心的距 离。如图2 2 所示，因为s 长度砌为j = 2 ：二万盂万。s 长度m n 中点的压力为g ( p ) ， 所以有： ，g ( p 迹= 等詈( 口2 - p 2s i i l 2 丫) ( 2 7 ) 因此，i i q ( p 脚：垄鬯4 a 二丝回代可得： 万= ( 警+ 警 争 晓8 ， 大连理工大学硕士学位论文 圆形接触区域的半径为： 最大接触应力为： - ( 半+ 警 簪 口2 g 。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 3 ) 轴线平行的两圆柱体接触时的接触应力： 轴线平行的两圆柱体接触时，变形前两者沿一条直线接触，受荷载p 后接触处发生 了弹性变形，接触线变成宽度为2 b 的矩形面，接触面上的单位压力按椭圆柱规律分布， 如图2 3 所示。变形最大的x 轴上压力最大，以昂表示，接触面上其余各点的压力按半 椭圆规律分布。 其余各点接触压力： 最大单位压力： 图2 3 两圆柱体接触 f i g 2 3t w oc o n t a c tc y l i n d e r s ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 辱盎 蜀 昂 i l p 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 接触区域半径： b = 7 一i - # + 丝、4 尸 、巨岛， x l 1 + 1 ( 2 1 4 ) 2 2 互补问题 运用数学规划法求解接触问题的数值计算方法是一个值得研究的课题。数学规划法 中的互补方法是求解接触问题的常用算法。近年来求解互补问题的几种主要方法【1 8 】【19 1 ， 包括投影方法、内点方法、方程组方法、延拓方法以及无约束优化方法。 互补条件最早是由k a r u s h 于1 9 3 9 年研究不等式约束非线性规划的最优性条件时提 出来的，然而含有互补条件的问题远不止于此，在许多经济和工程里关于一些平衡问题的 研究，也自然地涉及到互补条件。工程力学中存在大量带互补条件的问题，其中最典型的 是塑性定律和接触性条件。互补问题的一个显著特征是含有互补性条件，即要求两组非负 变量( 或变量的函数) 里的对应分量的乘积为零。 2 2 1 互补问题的概念 互补问题【11 1 的一般表达式为： 求x r ”，满足： 薯o ，( x ) ，o ，而，( x ) ，= o ( 2 1 5 ) 式中，( x ) ，是r ”一r “的一个函数。当f ( x ) = m x + q 时，上述问题则成为线性互补问 题( l c p ) 。 2 2 2 线性互补算法 求解互补问题的算法研究一直是数学规划的一个重要课题。但比较系统的研究始于 1 9 6 3 年，它把双矩阵对策n a s h 平衡点的问题转化为一个线性互补问题，并提出了一个互 补转轴算法，即i _ 觑l l k e 算法【1 0 1 【1 2 】。 求解线性互补问题的l e m k e 算法，具体的步骤可以参考文献【2 6 】。 标准线性互补问题如下式： f w - 2 q w z 0( 2 1 6 ) 【w t z = o m 是刀刀的方阵，q ，w ，z 是n l 的列阵。 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 如果q 0 ，则( w ，z ) = ( q ，0 ) 就是一个互补基本可行解。 ( 2 ) 如果不满足q 0 ，则引入人工变量，然后运用主消元法求准互补基本可行 解【2 6 1 。 ( 3 ) 在进行离基和迸基循环中，如果人工变量离基，则可以得到互补基本可行解 2 2 3 非线性方程组与互补问题的等价性( n c p 函数) 非线性互补问题是由c o t t l e 于1 9 6 4 年在他的博士论文里引进的，其背景是计算非线 性规划的驻点。在求解互补问题的算法方面，m a n g a s a r i a n l 8 1 证明了互补问题与一组非线性 方程组的等价关系，近年流行的n c p 函数方法即以该工作为基础。 ( 1 ) n c p 函数的概念： 函数c , u ：r 2 _ r 被成为一“n c p 函数，如对任意( 口，6 ) 1 r 2 ，缈( 口，b ) = 0 当且仅当 a 0 ，b 0 ，a b = 0 。 如果a 和b 满足妒( 口，6 ) = 0 ，则a 和b 就自动满足互补条件a o ，b o ，a b = 0 。 ( 2 ) p a n g 和g a b r i e 提出如下函数： 缈( d ，b ) = m i n a ，b ) ( 2 1 7 ) 函数i 血 口，b 被称为“m i n 函数”，显然r a i n 函数是一n c p 函数，它被记为。 这个式保持了较低的“整体非线性程度 ，但“局部非光滑程度”较高，m i n 函数的不 足是在直线口一b = 0 上的点均不可微，这使得映射r r ；l n ( x ，( z ) ) 为不可微。m i n 函数有另 一种表达式：( 口，6 ) = 丢( 口+ 6 一扳i 可1 。 ( 3 ) f i s c h e r - b u r m e i s t e r 提出如下函数( f b 函数) ： 吁o f b ( a ，b ) = x a 2 + 6 2 - a - b ( 2 1 8 ) 函数是一凸的n c p 函数，且在任意点( 口，6 ) 。0 为可微。它在“整体非线性程 度”与“局部非光滑程度 之间取得了恰当平衡，但是它在口= b = 0 时不可微。 ( 4 ) o l m a n g a s a r i a n 8 】利用单增函数构造了一族n c p 函数： 伊( 口，6 ) = 乡( i 口一6 1 ) 一秒( 口) 一秒( 6 ) ( 2 1 9 ) 其中口：r 寸灭为满足o ( o ) = 0 的严格单增函数。 定理【8 】：令0 ：r r 是任意严格单增函数，且o ( o ) = 0 ，则函数 ( 口，6 ) = 乡( 1 口一6 1 ) 一p ( 口) 一9 ( 6 ) ，v ( a ，6 ) 7 r 2 是一n c p 函数。 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 ( 5 ) 因为n c p 函数9 ( ，) 可自动保证互补条件的成立，利用上述的一些n c p 函 数，我们可将互补问题转化为等价的方程组。对任意一n c p 函数缈( ，) ，互补问题可等 价地转化为方程组【8 】： f 9 ( 五，e ( 工) ) 1 m ( x ) = | i ( 2 2 0 ) i 伊( 毛，c ( x ) ) j 可以看出求互补问题可以求解通过n c p 函数转化的非线性方程组，最终求出原 互补问题的解。 在本文中我们运用n c p 函数中的f b 函数和严格单增伊( ) 函数，将线性互补函 数中的f ( x ) ；m x + q 代入其中的n c p 函数从而求解如式( 2 2 0 ) 非线性方程组。第 三章将举例具体说明n c p 函数的应用。 2 2 4 二次规划与互补问题的等价性 二次规划的求解可以通过库塔克条件化为线性互补问题【刀，具体方法步骤可以参考 文献【2 5 1 。 ( 1 ) 二次规划定义为：求设计变量x r ”， m i l l f ( x ) = l x t a x + b t x ( 2 2 1 ) s t c x d ，x 0 式中：a 一给定的刀咒矩阵；c 一给定的聊拧矩阵；b = ( 岛t , 2 瓦) 7d = ( 4 破叱) r 二次规划的目标函数是二次型的，约束条件是线性的，所以可行域是凸的。其中库 塔克条件是最优化的充分必要条件。 ( 2 ) 问题( 2 2 1 ) 引入拉格朗日乘子力和a ，构造拉氏函数。 = 去x t a x + b t x + rc x - d ) - p t x ( 2 2 2 ) 式中：九= ( 五厶) r ；p = ( 鸬鸬心) 7 。 按库塔克条件，应当有九0 ，p 0 。x 是问题( 2 2 1 ) 的最优解的充要条件为： v ，l = a x + b + c t 久- p = 0 i c x - d o ( 2 2 3 ) 久t ( c x d ) = o ，p t x - - 0j 如果引入松弛变量v = ( 嵋i 2 ) 7 ，v 0 ，则可将式( 2 2 3 ) 化为： 大连理工大学硕士学位论文 i v + c x = d i 1 t c 1 九- a x = b 五，y ，= o ，歹= 1 ，2 ，孵 辑而= o , i = l ，2 ，刀 九2 0 ，v 0 ，p 0 ，x 0 其中，i 。和i 。分别为n , m 阶单位方阵。 只有作下面记号的变换： w = v 五= 爿 互补问题： q = ：z = ： ( 2 2 4 ) 则式( 2 2 4 ) 可以变为标准线性 w - i 2 q w j o ，乃0 ( 2 2 5 ) w j z 2o 式中：j = l ，2 ，3 ，n ；主是疗x 行的方阵；q 是n x l 的列阵；( w jz j ) 一对互补变量；w j z j = o 称为互补性条件。 所以二次规划问题( 2 2 1 ) 可以通过库塔克条件化为标准线性互补问题( 2 2 5 ) 。 第三章提到求解线性互补问题有时会出现射线解，通过线性互补问题与二次规划的等 价性可以更好的理解射线解的物理意义，从而可以选择合理的算法来处理射线解。 2 3 基于虚功原理弹性接触问题的线性互补方法 基于虚功原理弹性接触问题的线性互补方法【1 】是数学规划法接触问题，此方法仿照 塑性力学，将有摩擦的接触条件表为具有惩罚因子的线性互补形式，然后推导了适于 摩擦接触问题的虚功方程。在此基础上，结合有限元技术，给出了一种求解该类问题 的线性互补方法。此方法概念简单，易于推广应用，而且由于求解时无需迭代，因而 计算精度高，计算量少，在没有卸载时，只有一个增量步就可以求得解答。 2 3 1二维弹性接触物体体系的假设 二维接触物体假设【1 】： ( 1 ) 接触体是弹性的，且为小交形； ( 2 ) 接触表面的摩擦力遵守库伦定理； ( 3 ) 两个物体的可能接触边界非常接近，所以取两接触物体的边界接触点对连线 中点的连线，作为公共接触边界。 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 图2 4 两接触物体 f i g 2 4 t w oc o n t a c to b j e c t s x 如图2 4 所示本文研究接触体系是二维接触问题，设接触体系有两个物体组成，记 为q ( 1 和q ( 甜，s ? 是1 物体上的外力边界条件，碰2 是2 物体上的位移边界条件，碰1 和 碰2 j 是两物体的接触边界。 定义，是法向和切向接触应力，是法向和切向相对位移。 甜讲= 螂一“) + 皖，u c r = 甜9 一。其中哦是接触点的初始间隙。 2 3 2 二维弹性接触物体的互补模型 ( 1 ) 法向接触力与法向相对位移的关系 o l l u o 图2 5 与豁翻的关系 f i g 2 5 t h er e l a t i o nb e t w e e n a n dz 图2 5 给出了法向接触力与法向接触位移之间的互补关系，具体的表达式为： 大连理工大学硕士学位论文 趔一“竺) + 瓯o ，o ( “婴一”黔皖) = 0 图2 5 所示可以知道这种关系类似理想刚塑性体的应力应变关系， 写为： 石= o r c n 吒。 z 么 图2 6 与u c r 的关系 f i g 2 6 t h er e l a t i o nb e t w e e no a n dh 再 图2 6 给出了切向接触力与切向接触位移之间的互补关系， “9 一”= o ，w h e n ，i t r c r i - 一z o 。n 一o ，w h e n ，= 叫 螋一“) o ，w h e n ，= 吒 ( 2 2 6 ) 其屈服函数可以 ( 2 2 7 ) 具体的表达式为： ( 2 2 8 ) 由图2 6 所示可以知道这种关系类似理想刚塑性体单向应力应变关系，其屈服函数 可以写为： 石= + ( 2 2 9 ) 六= 一a c t + ( 2 3 0 ) 2 3 3 二维弹性接触体系接触应力与接触相对位移的表达式 图2 5 和图2 6 表示的类似理想刚塑性体的物理意义可以用图2 7 表示： 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 气 e hl 一 ，0 - 仃j - u t r , , 一 e 瓦 l o - 图2 7 - - 与u a 的关系 f i g 2 7t h er e l a t i o nb e t w e e n a n d 当图2 7 中e 的值取无穷大时，图2 7 将会越来越接近于图2 5 和2 6 ，所以在数值 计算时随着e 的不断增大，计算所得的接触应力值也越来越准确。 仿照塑性塑性力学，我们可以将接触相对位移分为弹性部分和非弹性部分，具体表 达式如下： = 以) + 以 ( 2 3 1 ) 2 ( 2 3 2 ) 搿= 丑善 ( 2 3 3 ) u o 讲 l d 0 = “) + 以 ( 2 3 4 ) 群黔 ( 2 3 5 ) = 喜乃岳 3 6 ， 接触应力与接触点相对位移之间的关系如下： = e ( 一五) ( 2 3 7 ) = e ( 一五+ 五) ( 2 3 8 ) 式( 2 3 1 ) 到( 2 3 8 ) 可以合并写为： i 吒= d c , j ( 一q 五) 五+ 咋= 0 ( 2 3 9 ) 【屹五= 0 ， v k ，五0 大连理工大学硕士学位论文 式中i = l ，2 分别表示切向及法向，k = l ，2 ，3 ，屹为松弛变量，c 肚分别为： = 瞄小 = 斗 2 3 4 二维弹性接触体系的虚功方程 对于图2 4 所示的接触物体，它应该满足： ( 1 ) 平衡方程：，+ 岛= o ( 2 ) 几何方程：毛= i ( u t , j + u j , i ) ( 3 ) 物理方程：o r = 在边界上还应当满足； ( 4 ) 邑上的力边界条件：气乃= 历 ( 5 ) 瓯上的位移边界条件：u i = 砺 j 吒= ( 一巳以) ( 6 ) 爰上的接触条件：石+ = 0 【咋以= 0 ， 屹，五0 接触物体的虚功方程推导如下： 经典的虚功方程： j 占甜，d r 2 + jb i s u i d f 2 = 0 ( 2 4 0 ) 式( 2 4 0 ) 中的q 表示接触物体体系，分部积分并把接触物体体系的接触应力与接触点 的相对位移关系式( 2 3 9 ) 和物体的物理方程吒- - o 材代入得到接触物体体系的虚功 方程： l6 q d 4 h & l 【l d q + d d c u 6 h 巧d s = k 胁，瓦二肿，以瓯凼 ( 2 4 1 ) 2 3 5 接触边界的处理方法 在接触物体虚功方程式( 2 4 1 ) 中，u d 。o s u q 豳和，丸万凼两项的积分区域 是接触公共边界，根据接触物体边界的假设可以知道在有限元离散接触边界时接触边 界的节点要一一对应，如图2 8 所示。 巨型重载操作机弹性接触问题的线性互补方法 ! 舻凼中的乙按线性插值! 灏丞中的接触相对位移函数按线性插 ! ? ：万西51 乏k 万 芝 击2 点 芝+ 艿虹万 芝+ 艿) 出 。2 4 2 ， ； ；卜艿谢f , , l 凼+ 摭f 严i 卿6 g , l a s 加m 肿的如) d 两6 a s 这一项我们采用4 节点零厚度的g 。血如哗元来模 图2 8 接触物体的接触边界 f i g 2 8 ，i h eb 0 毽n d a r yo fc o n t a c td b j e c 侮 如图2 8 所示，是接触物体体系的公共接触边界，该接触单元是由相邻的两对接 一 触点对组成。 下面对g o o d m a n 接触单元作简要介绍。取i d 接触面单元( 图2 9 ) ，单元长度为l ， 宽度础，厚度( 垂直与x y 平面) 为t ，接触面单元有4 节点i j m n ，节点i 、j 落在同一 条边上，i j 、皿1 分别是两接触面。接触面单元与相邻面单元或2 d 单元之间，只在节点 处有力的联系，每片接触面两端有两个节点。单元节点编号顺序为逆时针方向。 x g o o d m a n ! 接触单元 图2 9 接触单元 f i g 2 9 t h ed e m e n to fc o n t a c t 大连理工大学硕士学位论文 取线性的位移插值函数： m = 字，m = 竽 m = 罕，虬= 竿 则上、下缘上的任一点的位移可分别表示为： v 批芋) + 如竽卜 炸= 弘芋) + 如竽) 吩 由此可知单元上下缘的水平、垂直位移差为： 仃= 圭 ( 一) ( 一芋) + ( ”。一z 。) ( ，+ 芋) 吒= 吉 ( 一匕) ( 一芋) + ( 一匕) ( t + 芋) 单元节点力： f ) 。= 杉巧圪乩圪 r 。 单元节点位移： 万) 8 = “，_ “_ 甜。 r 。 接触点对的相对位移可以用单元的节点位移表示： 乏) = 圭 三- - 。c 0 。- 。d 兰言三言 艿 。= i 1 b 】 占) 。 其中c = ，一了2 x ；。= + 孚； b 】= i 三- 。( 7 0 。-