（光学专业论文）Λ型三能级原子系统的线性熵.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 由于原子与光场相互作用系统线性熵的研究对原子、光场量子态的制备有着重 要意义，因此受到人们的普遍关注。我们研究三种三体系统，考察了三个子系统线 性熵的演化规律对系统初态的依赖关系以及系统相互作用对这种依赖关系的影响。 首先，我们考察了一个静止的人型三能级原子与双模腔场组成的三体系统。该 系统仅有二个子系统( 原子与耦合模) 间存在相互作用，所以第三个子系统( 闲置模) 的线性熵始终保持不变，这一规律与系统的初态无关。当双模腔场初始时刻处于无 关联的纯态时，原子与腔场中耦合模的线性熵始终相等；当双模腔场的初态处于 s u ( 2 ) 相干态时，原子与耦合模的线性熵不再始终相等。显然原子与耦合模的线性熵 的演化特征与耦合模的线性熵的初始值有关。 其次，我们研究了由单模腔场驱动的质心做谐振运动的简并a 型三能级原子系 统。该三体系统中两个子系统( 原子内态与腔场) 相互作用的强弱依赖于第三个子 系统( 原子质心运动) 的状态，所以只有当原子质心运动处于占有数态时，原子质 心运动的线性熵才始终保持不变。在此条件下，若原子内态与腔场在初始时刻处于 纯态，则原子内态与腔场的线性熵始终相等。当原子质心运动处于占有数的相干叠 加态时，原子质心运动的线性熵不再始终保持为零，在此条件下，即使原子内态与 腔场的初态为纯态，原子内态与腔场的线性熵不再始终相等。故三个子系统线性熵 的演化特性均与系统的初态有关。 最后，我们还研究了由单模腔场驱动的质心做谐振运动的非简并人型三能级原 子系统。该三体系统的三个子系统间存在耦合，即使原子质心运动处于占有数态， 原子质心运动的线性熵也不再保持不变，原子内态与腔场的线性熵不再始终相等。 但原子内态与原子质心运动的线性熵相等，然而这一规律只有在原子质心运动处于 占有数态时才成立。 关键词：线性熵；j a y n e s - - c u l m i n g s 模型：a 型三能级原子；s o ( 2 ) 相干态； 原子质心运动。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h er e s e a r c ho ft h el i n e a re n t r o p yo ft h es y s t e mo ft h ea t o mi n t e r a c t i n gw i t ht h e f i e l dh a sa l li m p o r t a n ts i g n i f i c a n c et op r e p a r et h eq u a n t u ms t a t e so f t h ea t o ma n dt h ef i e l d , s om u c ha t t e n t i o nh a sb e e np a i do ni t w eh a v es t u d i e dt h r e ek i n d so ft h r e e - b o d ys y s t e m s ， a n dt h ee v o l u t i o no ft h el i n e a re n t r o p i e so ft h et h r e es u b s y s t e m sd e p e n d i n go nt h ei n i t i a l s l a t eo ft h es y s t e m ，a sw e l la st h ee f f e c t so ft h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h et h r e es u b s y s t e m s o nt h ed e p e n d e n c e ， f i r s t l y , w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h et h r e e - b o d ys y s t e mt h a ti sc o m p o s e do fas m i l e 人- t y p et h r e e 1 e v e la t o ma n da t w o m o d ef i e l d o n l yt h e r ei st h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w o s u b s y s t e m so ft h es y s t e m ( t h ea t o ma n dt h ec o u p l e dm o d e ) ，s ot h el i n e a re n t r o p yo ft h e t h i r ds u b s y s t e m ( t h ei d l em o d e ) a l w a y sr e m a i n su n c h a n g e d , w h i c hh a sn o t h i n gt od ow i t h t h ei n i t i a ls t a t e so ft h es y s t e m w h e nt h et w o - m o d ef i e l di si nt h eu n r e l a t e dp u r es t a t e sa t t h ei n i t i a lm o m e n tt h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o mi sa l w a y se q u a lt ot h el i n e a re n t r o p yo f t h ec o u p l e dm o d e ；w h e nt h ei n i t i a ls t a t eo ft h et w o - m o d ef i e l di si ns u ( 2 ) c o h e r e n ts t a t e ， t h el i n e a re n t r o p i so ft h ea t o ma n dt h ec o u p l e dm o d ea l en ol o n g e ra l w a y st h es a n 】e o b v i o u s l yt h el i n e a re n t r o p ye v o l u t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h ea t o ma n dt h ec o u p l e dm o d e r e l a t e st ot h ei n i t i a lv a l u eo f t h el i n e a re n t r o p yo f t h ec o u p l e dm o d e s e c o n d l y , w eh a v ee x p l o r e dt h es y s t e mo fas i n 西e - m o d ef i e l di n t e r a c t i n gw i ma d e g e n e r a t e da - t y p et h r e e - l e v e la t o mi nah a r m o n i ct r a p ，i nw h i c ht h e 蜘g t ho ft h e i n t e r a c t i o nb e t w e e nt w os u b s y s t e m s ( t h ea t o m i ci n t e r n a ls t a t ea n dt h ef i e l d ) d e p e n d so n t h es t a t eo f t h et h i r ds u b s y s t e m s ( t h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s sm o t i o n ) s oo n l yi ft h ea t o m i c c e n t e r - o f - m a s sm o t i o ni si nf o c ks t a t e ，t h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s s m o t i o na l w a y sr e m a i nt h es a m e u n d e rt h i sc o n d i t i o n , i ft h ea t o m i ci n t e r n a ls t a t e sa n dt h e f i e l da r ei np u r es t a t e si nt h ei n i t i a lm o m e n t , t h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o mi sa l w a y s e q u a lt ot h el i n e a re n t r o p yo ft h ef i e l d 珊l e nt h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s sm o t i o ni si nt h e c o h e r e n ts u p e r p o s i t i o ns t a t e so ff o c ks t a t e , t h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o m i c e e n t e r - o f - m a s sm o t i o ni sn ol o n g e ra l w a y se q u a lt oz e r o u n d e rt h i sc o n d i t i o n , e v e ni f t h e i n i t i a ls t a t e so ft h ea t o m i ci n t e r n a ls t a t ea n dt h e 丘e l da r ei nt h ep u r es t a t e s t h el i n e a r e n t r o p i e so ft h ea t o m i ci n t e r n a ls t a t e sa n dt h e 矗e l da 托n ol o n g e ra l w a y st h es a m e t h e r e f o r e ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ee v o l u t i o no fl i n e a re n t r o p i e so ft h et h r e es u b s y s t e m s i sr e l a t e dt ot h ei n i t i a ls t a t eo f t h es y s t e m f i n a l l y , w eh a v ea l s os t u d i e dt h es y s t e mo fas i n g l e - m o d ef i e l di n t e r a c t i n g 、j v i t ha n o n - d e g e n e r a t ea - t y p et h r e e - l e v e la t o mi nah a r m o n i ct r a p ，i nw h i c ht h et h r e e - b o d y s y s t e mi sc o u p l e db e t w l 笼- nt h et h r e es u b s y s t e m s e v e ni ft h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s s m o t i o ni si nf o c ks t a t e ，t h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s sm o t i o nn ol o n g e r r e m a i n su n c h a n g e d , a n dt h el i n e a re n t r o p i e so ft h ea t o m i ci n t e r n a ls t a t ea n dt h ef i e l di s 1 1 0l o n g e ra l w a y st h es a m e h o w e v e r , t h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o m i ci n t e m a ls t a t e si s e q u a lt ot h el i n e a re n t r o p yo ft h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s s ，b u to n l yi ft h el a wi s s e tu p w h e nt h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s sm o t i o ni si nf o c ks t a t e k e y w o r d ：t h el i n e a re n t r o p y ；j a y n e s - c u m m i n g sm o d e l ；t h ea - t y p et h r e e - l e v e l a t o m ；s u ( 2 ) c o h e r e n ts t a t e ；t h ea t o m i cc e n t e r - o f - m a s sm o t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：赫乎 日期：力秒年夕月2 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：诩老垆 日期：砷年多月刁日 导师签名： 前五 1 日期： 。7 年争月7 日 本人已经认真阅读靠c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程一中的 规定享受相关权益。回童迨塞握銮卮澄卮i 旦坐生i 旦= 生i 旦三生蕉查! 作者签名：翻眵砰 日期力明年5 月刁日 导师签名：郭a 日期： 口甲年参月- 7 日 ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 引言 量子光学作为近代光学的一个重要分支，它主要是研究光场的量子特性以及光 与原子( 离子、粒子等) 之间的相互作用。1 9 6 3 年j a y n e s 和c u m i n g s 提出的j a y n e s - - c u m i n g s ( j _ - c ) 模型，这是一种简单的可精确求解的理论模型，描述的是二能 级与光场之间的相互作用n 1 。1 9 8 7 年r e m p e 等人首次在实验中验证这一模型隅习， 从而使得j _ 一c 模型研究不但具有理论价值，而且还具有现实意义。随着研究的深 入，人们将其进行了推广，例如；考虑多光子跃迁的h 模型沁司，双原子系统的 j c 模型，还有以多能级原子系统为研究对象的j - c 模型n 纠们，包含非线性介质 的j c 模型n 墨嘲，计及原子质心运动的j - c 模型n 4 侧，腔场存在损耗的卜c 模型胁删 等等，并得出了一系列的富有成效的结论。 量子熵能不仅能定量的量度系统的无序程度，而且还是量子态纯度的量度。 1 9 9 0 年j u li og e a - b a n a c l o c h e 研究了j a y n e s - c u 皿n i n g s 模型中原子线性熵的演化规 律，发现由强相干场驱动的初始时刻处于纯态的二能级原子在其布居差崩塌区域的 某一时刻接近纯态嘲。1 9 9 2 年m o r s z a g 等指出这一规律不依赖于原子的初态。 b o u k o b z a 和t a n n o r 强调只有当原子和光场组成的二体系统的初态为纯态时，原子和 光场的熵才始终保持相等，此时两者间存在正关联；假若系统初态为混合态，原子 和光场的熵亦可呈现反关联嘲。文献嘲进一步讨论了系统初态处于混合态时，原子 和光场线性熵的演化规律及彼此关系对光场初态的依赖。多能级原子m u 、多模光 场慨蜘以及多个原子阻蚓等广义j a y n e s - e u m m i n g s 模型中原子内态熵成为人们研究 系统动力学演化特性的有力工具。z h o u d 盯和f a n g 嘲等还将研究对象推广到存在损耗 的系统。通过对人型三能级原子与腔场相互作用系统中原子( 场) 熵的研究，z h o u 随嘲 等揭示了原子与腔场间纠缠与退纠缠的演化规律。 j - c 模型是在忽略了原子沿腔轴的空间运动和原子波包宽度与腔模共振波长 相比很小的条件下得到的，原子看作是静止的实际上原子的运动总是存在的 随着原子捕获技术的提高，原子质心运动在光与原子相互作用过程中的重要性日显 突出，大量研究结果表明原子质心运动不仅改变原子的辐射性质m 删，而且影响原 子内态的动力学行为特征力；以原子质心运动为中介，m o r i g i 等实现了先后两个 脉冲光的纠缠嘲：随后z h e n g 提出了实现4 - q u b i t 丛态的方案嘲。这些研究成果使 人们认识到捕获粒子质心运动状态的相干操控在量子信息领域有着重要的应用价 值，进而激发人们研究成功原子质心运动的非经典态咖1 的热情。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文的主要内容如下： 在第二章中我们利用时间演化算符的方法，研究一个静止的人型三能级原子与 双模腔场组成的三体系统，并给出了原子与腔场中耦合模的线性熵随时间演化的一 般表达式。该系统中闲置模的线性熵随时间的演化不依赖于系统的初态，且始终保 持不变，这是因为该系统中只有原子与耦合模间存在相互作用。当腔场中双模处于 无关联的纯态时，原子与腔场中耦合模的线性熵才始终相等，与原子与单模腔场相 互作用时的情形类似；当腔场中双模处于s u ( 2 ) 关联时，原子与腔场的线性熵不 再总是相等，两者呈现反关联。 在第三章中，我们以理想腔中单模驻波腔场驱动的简并人型三能级原子系统作 为研究对象，给出了原子内态、原子质心运动和腔场线性熵的一般表达式。由于r a b i 振荡依赖于原子质心运动的占有数，使得系统对应于不同的原子质心运动的占有数 的演化步调不一致，因此原子内态与腔场的线性熵依赖于原子质心运动的强弱。所 以只当原子质心运动处于占有数态，原子质心运动的线性熵才保持不变，而且只有 当原子内态与腔场的初态均处于纯态时，原子内态与腔场的线性熵才始终相等。当 原子质心运动处于相干态时，由于原子质心运动的叠加态的几率幅会随时间改变， 使得原子质心运动不再处于初始状态，此时即使原子内态与腔场在初始时刻处于纯 态，原子内态与腔场的线性熵亦不再始终相等。 在第四章中我们研究了理想腔中单模驻波腔场驱动的非简并人型三能级原子 系统，给出了原子内态、原子质心运动和腔场的线性熵的一般表达式，并讨论了原 子质心运动的不同状态对原子内态、原子质心运动和腔场线性熵的影响。在原子与 腔场的相互作用过程中，由于原子内态的改变伴随着原子质心运动的变化，因此即 使原子质心运动处于占数态时，原子质心运动的线性熵也不再保持不变，原子内态 与腔场的线性熵不再始终相等。但原子内态与原子质心运动的线性熵相等，这一规 律也只有在原子质心运动处于占有数态时才成立。 第五章是对我们所做工作的总结和对未来工作的展望。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 静止的人型三能级原子系统的线性熵 量子纠缠是一种奇特量子现象，广泛应用于量子通信和量子计算中。本章主要 介绍在理想腔中一个静止的a 型三能级原子只与双模腔场中的一个模( 耦合模) 发 生相互作用时原子和耦合模的线性熵的随时间的演化规律，揭示原子与腔场的耦合 模之间的纠缠特性。 2 。l 基本模型及理论推导 如图2 1 所示，在理想腔中一个静止的人型三能级原子与双模腔场( 石，五) 中的耦合模石发生相互作用，其系统的哈密顿量( 壳= 1 ) 日= 日l + 盈 ( 2 1 ) 反= 五+ i 1 ) + 1 1 ) ( 1 l( 2 2 ) 应= 驴( 爿+ z ) + 萌 + 幺) + ( f 2 ) ( 2 l 一1 3 ) ( 3 1 ) ( 2 3 ) 2 ) 。 1 1 上 ，上 t 图2 1 人型三能级原子能级结构图 因为宣和反对易，所以在相互作用绘景中，相互作用哈密顿量可写为 或= g a ( c r l + 文) + 驴( 也+ 幺) + q 2 ) ( 2 i 1 3 ) ( 3 1 ) ( 2 4 ) 时闻演化算符 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( f ) = 唧( 一i n , t ) 2 + 虿= g 窜 玟 掣叫扣 掣“妒 掣一扣 亟丝兰遂一建 鸢怠 c 一1 ，一t 一 虿矿舢 其中 c 1 = c o s b ：】 c 2 = c o s b 2 t 】 掣暗切 掣矿孑二 霞6 ”“ z s - s i n b i t & = s i n 【息力 宣：扭丽息：归硒 假设系统初始时刻处于态i y ( o ) ) ，则描述系统的密度算符可表示为 声( o ) = l y ( o ) ) ( y ( o ) l 在相互作用绘景中，t 时刻系统的密度算符 p 7 ( ，) = 眈o ) 声( o ) 研( f ) 腔场耦合模石、闲置模正和原子的约化密度算符分别为 磁) = 玩历) 【( f ) 】 兹( f ) = 弘嘶) 【q ) l 厄( f ) = 气压) 【( f ) 】 则腔场耦合模石、闲置模五和原子三个子系统的线性熵分别为 黾 = 1 一喇研) 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 a ) ( 2 8 b ) ( 2 8 c ) ( 2 9 a ) 蝇一垦 遂 叶口一矿一 逝窟 + 一 口 叶口一 矿一 硕士学位论文 l a s t e r st 1 4 e s i s s a o = l 一姒研) s o ( t ) = 卜丹( 【( f ) 】2 ) ( 2 9 b ) ( 2 9 c ) 容易得出闲置模厶的线性熵必保持不变，这是因为闲置模五不参与原子与耦合 模彳间的相互作用。为了简便起见，假定初始时刻原子均处于上能态。 2 2 讨论与分析 2 2 1 腔场无关联 假设腔场双模初始时刻处于无关联的纯态，态矢为i 盼( o ) ) = & l 啊，恐) ， 则系统的初态为i y ( o ) ) = 1 1 ，啊，吃) 。由式( 2 6 ) 式( 2 9 ) 可以计算出， 耦合模彳和原子线性熵的表达式 & = 墨 = l 一2 杞) = 1 一4 叫2 b 叫2 叫叫2 l 白叫2 叫叫2 b 钟 ( 2 1 0 ) + 2 蠊+ 蠊蠊( f ) + 蠊嘞 其中 郇) ：e 坐堑等幽 ( 2 1 l a ) n + l 啪m 枷 警一掣 ( 2 1 l b ) 州一g 石掣+ ，掣 q 州= 躯i 丽 显然可见，原子的线性熵与耦合模石的线性熵相等。 ( 2 1 1 e ) ( 2 1 2 ) 初始时刻，腔场耦合模石处于光子数态。由式( 2 1 0 ) 一式( 2 1 2 ) 可以推导 5 硕士学位论文 h a s t e r st h e s i s 出原子( 耦合模石) 线性熵的表达式 黾( f ) = s o ( t ) = 8 a 2 + 2 9 2 ( 玎+ 1 ) c o s ( q 州啪嘶+ 1 ) ( 2 1 3 ) 一a 2 ( n + 1 ) c o s ( f 2 。+ l f ) + ( 刀+ 1 ) 2s i n 2 ( q 舯l ，) 】 当原子两下能态简并( 即a = 0 ) 时，原子( 耦合模彳) 线性熵为 最=_=一1-cos4厕gt， 周期为f = 赤，显然原子! 耦合模石) 线性熵的周期随着初始腔场光子数的增大而减小当f = 耥( 七= 。，1 ，2 ) 时，原子( 耦合模石) 线性熵达到最大值0 5 ，此时系统的态矢为 粤。玛1 ) + 卜旷l 刀+ 1 ，瑚“：0 ，l ，坞一) ，其中l 伊) ：( 1 2 ) + 1 3 ) ) 芝，显然此时原子与 耦合模彳处于最大纠缠态。由系统的相互作用哈密顿量，我们不难看出，当原子内 态处于0 2 ) 一1 3 ) ) 芝时，原子与耦合模石退耦合，原子内态只能在1 1 ) 和2 ) + 1 3 ) ) 芝 之间跃迁，因此原子内态线性熵可达到的最大值为0 5 ，和二能级原子与单模场作 用时的情形相似。当f = 竺二 = 0 , 1 ，2 ) 时，原子( 耦合模彳) 线性熵等于零， 2 9 4 2 ( n + 1 ) 。 原子与耦合模彳退纠缠，原子与耦合模石各自退回到纯态。当原子两下能态非简并 ( 即o ) 时，原子( 耦合模石) 的线性熵随时间的演化曲线有着严格的周期性( 如 图2 2 中( a ) 、( b ) 、( c ) 所示) 。从上分析可知，原子( 耦合模石) 的线性熵的演化周 期、原子( 耦合模石) 线性熵的最大值出现的时刻以及原子( 耦合模石) 线性熵在一个 周期内出现的次数和失谐量有密切关系，即两者之间的纠缠关系依赖于失谐量。 腔场耦合模处于相干态时，原子( 耦合模石) 的线性熵随时间演化如图2 3 。当 a = 0 时，原子( 耦合模石) 的线性熵的最大值为0 5 。在强驱动场下，原子( 耦合模石) 6 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s 的线性熵呈现崩塌和回复现象。原子( 耦合模彳) 的线性熵的崩塌时间为 州砻厮，回复时间是f ，2 9 瓜丽。当f = f ，2 时，原子( 耦合模 彳) 的线性熵趋于零，这表明原子和耦合模石均处趋于纯态。当0 a ( 2 1 4 ) 由式( 2 6 ) 式( 2 1 0 ) 可以得出，原子与耦合模石的线性熵分别为 配o ) = l 一 n nk ( f ) 1 2 i c l o ) 1 2 + 兰羔i 乞川( r ) 1 2 i c 2 巾( f ) 1 2 + 兰兰l _ ( f ) 1 2 l 岛一( r ) 1 2配o ) = l 一 i q ，( f ) 1 2 i c l o ) 1 2 + i 乞一一。( r ) 1 2 i c 2 ，_ l ( f ) 1 2 + l c 生一( f ) 1 2 l 岛q ( r ) 1 2 t r = 0 片l os , - in f l l肛lw = i 一2 r e 【c 2 一。砖一o ) 6 一。江一o ) 】 8 ( 2 1 5 a ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e $ i s s z , ( 0 ：l 一羔0 q 一( f ) | 2 1 4 q o ) 1 2 + i c 2 一( f ) 1 2 + l 岛，o ) 1 2 ) + ( i c 2 卅。( f ) 1 2 + l c 3 一+ 。( f ) 1 2 ) ( f q 一+ 。( ，) 1 2 + i c 2 一+ 。( ，) 1 2 + l 乞，肿。( ，) p l 】 ( 2 1 5 b ) 其中 q ，= e 生堑譬幽 。n + l ( ，) 咄厢 掣一掣 啪) _ c g 丽 警“掣) 从式( 2 1 5 ) 不难看出，若腔场的双模处于s u ( 2 ) 关联时，原子的线性