（交通信息工程及控制专业论文）基于小波变换的旋转机械故障诊断.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 基函数的不同导致对信号观测角度和观测方法的不同，这是f o u r i e r 变换、短 时f o u r i e r 变换和小波变换的本质区别。通过比较故障诊断中常用的各种小波基函 数的性能和特点，研究不同的故障信号特征与各种小波基函数的内在联系，指出真 正的最优小波变换应该是根据信号特征与其最近似、最匹配的基函数的信号分解。 通过分析对比信号奇异性检测的各种方法的优点和不足，指出复数h e r m i t j a n 小波具备准确识别信号瞬时相位的能力。提出了基于h e r m i t i a n 小波变换的时浏一 尺度幅图和相图来识别信号奇异性的方法，建立了信号奇异点与幅图和相图的对应 关系，在轴承损伤故障诊断中取得了成功的应用。 关键词：小波分析，故障诊断，非平稳信号，h e r m i t i a n 小波 基于小波分析的旋转机械故障诊断学 a b s t r a c t t h ed i f f e r e n c eo fb a s ef u n c t i o nc a u s et h ed i f f e f e n c eo fo b s e r v a t i o na n g l ea n d o b s e r v a t i o nm e t h o df o rs i g n a l ，t h i si st h ee s s e n c eo fw a v e l e tt r a n s f e rd i f f e r e n t i a t ef o u r i e r t r a n s f e rfs h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f e r c o m p a r i n g p e r f o r m a n c e a n dc h a r a c t e r i s t i co f v a r i o u sw a v e l e tb a s ef u n c t i o n si nc o m m o nu s ei nf a u l td i a g n o s i sa n ds t u d y i n gi n n e r c o n n e c t i o no fd i f f e r e n tf a u l td i a g n o s i ss i g n a la n dv a r i o u sw a v e l e tb a s ef u n c t i o n s ，i ti s p o i n t e do u tt h a tg e n u i n eo p t i m u mw a v e l e tt r a n s f e r i st h a t s i g n a ld e c o m p o s eo fb a s e f u n c t i o ns h o u l db em o s tc l o s et oa n db em o s ts u i t e dt os i g n a lf e a t u r e i ti si n d i c a t e dt h a th e r m i t i a nw a v e l e th a st h ea b i l i t yt os e n s i t i v e l yr e c o g n i z et h e t r a n s i e n tp h a s eo fs i g n a lt h r o u g hc o m p a r i n gt h ea d v a n t a g ea n ds h o r t c o m i n go fm a n y k i n d so fm e t h o d su s e df o rs i n g u l a r 时d e t e c t i o no fs i g n a l t h et i m e s c a l ea m p l i t u d ep l o t a n dp h a s e p l o t b a s e do nh e r m i t i a nw a v e l e tt r a n s f o r ma r ep r e s e n t e dt o s i n g u l a r i t y d e t e c t i o no fs i g n a l t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o nr e l a t i o nb e t w e e n s i n g u l a r i t y a n d a m p l i t u d ep l o t o rp h a s ep l o ti sc r e a t e d a ss u c c e s s f u la p p l i c a t i o n ，f a u l to fa x l e t r e e d a m n i f y i sf o u n d b y m e a n so f t h i sm e t h o d k e yw o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，f a u l td i a g n o s i s ，n o n s t a t i o n a r ys i g n a la n d h e r m i t i a n 拜台1 7 e l e t 4 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 傅立叶分析( f o u r i e ra n a l y s is ) 大约在1 8 2 2 年，法国著名数学家傅立叶从热力学的角度提出一种新的理论即“热 的解析理论”，这种理论以一种全新的观点对当时的分析领域产生了极为重要的影响， 使数学，物理等学科产生了很大的变化，并引起众多科学家的广泛关注，后被誉为傅 立叶分析方法，但傅立叶提出的这种方法仅仅是一种理论，尚不能具体进行应用。1 9 6 5 年，美国贝尔实验室的c o o l e y ，t u k e y 两位工程师综合前人的研究结果，提出了影响 深远的快速傅立叶变换即f f t ，从此傅立叶方法从理论走向实践，成为大家爱不释手 的一种数学工具，十分自然的将许多学科统一起来，很难发现一门自然科学或工程技 术不与傅立叶方法发生联系。 傅立叶变换一直统治着线性时不变信号处理，最主要的原因是傅立叶基所用的正 f 研 弦波8 是所有线性时不变算子的特征向量。若我们用l 来表示一个线性时不变算子， 则该算子完全由其特征值 ( ) 刻画： v r ，l e = ( ) p “ ( i 1 ) 设，是系统的输入，要计算输出l ，首先将，分解成正弦波“ 。之和： 邝) = 圭 。夕( 珊) p “d a ( 1 2 ) z 石r f o u r i e r 分析使用的是一种全局变换，因而不能同时兼顾信号在时域和频域的局 部化性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。显然，基于f o u r i e r 变换的传统信号处理方法不再适合于信号处理非平稳信号。因此，寻求合适的非平稳 信号处理方法，对识别和提取故障征兆及故障的分析、定位和预报具有深远的意义。 为了分析和处理非平稳信号，人们对f o u r i e r 分析进行了推广乃至根本性的革 命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时f o u r i e r 变换、g a b o r 变换、时频 分布( p a g e 分布、w i g n e r r i f l e 分布、c h o i w i l l i a m s 分布等) ，分数阶f o u r i e r 变 换。这些方法已经被广泛应用于机械设备故障诊断领域。 傅立叶分析定义了“频率”的感念，用它可以分析信号能量在各个频率成分的 分布情况。尽管傅立叶分析对数学，物理产生了深远的影响，但对于许多应用来说是 不够的，即传统的傅立叶分析存在一些不足之处。例如，例如，傅立叶变换无法作局 部分析等。尽管1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗傅立叶变换( 或称短时傅立叶变换) 等对 弥补傅立叶变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这个问题。小波分析正 是为了克服傅立叶分析的不足而提出来的。 基于小波分析的旋转机械故障诊断 1 2 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 1 2 1 小波分析发展的历史 小波变换( w a v e e tt r a n s f o r m ) 具有时频局部化分析的优良性能，最适合于非 平稳信号分析。小波变换是在f o u r i e r 变换的基础上发展起来的，它被数学家认为是 半个世纪以来调和分析的结晶。1 9 8 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 首次提出了小 波的概念。之后，a g r o s s m a n 对m o r l e t 的伸缩、平移小波概念的可行性进行了研究， 丌刨了小波分析的先河。1 9 8 6 年，y m e y e r 创造性构造出二进伸缩、平移小波基函数， 掀起了小波研究热潮。不久，p g l e m a r i e 和g ，b a t t t e 又分别独立地给出了具有指 数衰减地小波函数。1 9 8 7 年，s g m a l l a t 巧妙地将多尺度思想引入小波分析，统一 了前人所提出地各类正交小波构造方法，发明了m a l l a t 塔形快速算法。该算法正交、 高效，奠定了小波变换工程实用基础。1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集地 证交小波基，系统地建立了小波分析理论体系。1 9 8 9 年到1 9 9 1 年，r r c o lf m a n 、 m v w i c k e r h a u s e r 提出小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 概念及算法，推广了m a l l a t 塔形 算法，提高了小波变换地频域分辨率，引入s h a n n o n 熵评价小波基选取地好坏。1 9 9 3 年，d a v i de n e w l a n d 提出了谐波小波，具有锁定相位触能力，且算法可以利用f f t 实现。1 9 9 4 年，j g e r o n i m o 和d h a r d i n 又提出了由多尺度函数构造多小波 ( m u t i w a v e l e t s ) 理论。多小波同时具有短支撑、正交性、对称性和高阶消失矩，能 够提供完备地信号分孵、重构以及良好的边界处理功能，已经在图像压缩等方面成功 应用。1 9 9 4 年到1 9 9 6 年，s w e l d e n sw 和ld a u b e c h i e s 又提出以上升型算法为核心 的第二代小波变换理论使所有的运算都在空间域内进行，既提高了运算效率，又节 省了内存容量。经过近2 0 年的发展，小波变换已经广泛应用于信号及图像处理，语 音分析、数值计算、模式识别、量子物理和故障诊断等领域。重庆大学已成功研制开 发出小波变换信号分析仪，填补了国内空白。华中理工大学、东南大学、哈尔滨工业 大学、西安交通大学等单位也在小波的理论分析和工程应用中开展了大量的研究，先 后提出了小波包自回归、基因小波、谐波小波时频剖面、m o r l e t 小波广义闽值消噪 等方法，并成功诊断出设备的多种故障，如旋转机械的油膜涡动、动静碰摩、松动、 蒸汽激励等故障，往复压缩机进、排气阀泄漏故障诊断，柴油机各缸工作异常、喷油 器针阀磨损故障，齿轮裂纹、磨损故障，轴承内外圈故障。 然而，小波分析还在处于发展的初级阶段，离工程实用化和普及还有很大的差 距，1 9 9 5 年8 月在o b e r w o l f a c h 举行的“小波圆桌会议”上，全球致力于小波研究 的著名学者们对小波的现状和未来展开了热烈的讨论，指出了小波研究中的问题和不 足，展望了小波的未来，这个会议对小波今后的发展具有里程碑式的作用，对此，w i m s w e l d e n s 在文献中给予详细的报道。与会学者致认为，基函数的选择问题是小波 变换征途上的第一难关。小波基函数的现状、正交性、紧支性、衰减性、对称性及光 2 南京航空航天火学硕士学位论文 滑性的不同决定了小波特性的千差万别。在信号分解时，若采用了不适宜的基函数， 则会由于特征信息被冲淡，反而给故障信号特征的检测和识别造成困难。因此，如何 选择合适的小波基是小波变换能否在故障诊断中取得突破性进展的关键。很多学者已 经致力于小波包变换最优基和最佳树形结构分解地研究。因为小波包变换的母小波只 有一个，最佳树形结构分解实际上是在探索小波包变换最佳尺度，不是真正意义上地 最优基小波变换。最优基小波变换应该是根据信号特征选择与其最匹配、最近式的基 函数的信号分解。迄今为止，最优小波基仍然没有明确的选择标准，故障诊断中小波 基的使用存在随意性。 1 3 机械故障诊断技术( m a c h i n e r yf a u l td i a g n o s i s ) 1 3 1 机械设备状态监测和故障诊断技术的意义 机械状态监测和故障诊断( c o n d i t i o nm o n i t o r i n g f a u l td i a g n o s i s ，c m & f d ) 技术可以用我国中医学的理论简明扼要的概括为八个字，即“望闻问切，对症下药”。 “望闻问切”是指状态监测，“对症”意味着提取故障征兆进行分析诊断，“下药”则 是制定合理的维修策略。具体来说，状态监测是采用各种测量和监视方法，记录和显 示设备运行状态，对异常状态作出报警，为设备的故障分析提供数据和信息。故障诊 断则是根据状态监测所获得的信息，结合设备结构特性和参数，对可能要发生或已经 发生的故障进行预报。分析和判断，确定故障的类别、部位、程度和原因，提出维修 对策，使设备恢复到正常状态。 一切机设备，不管它的规模的大小和性能优劣，在运行过程中迟早会出现这样 或那样的故障。尤其是现代科学技术高速发展的今天，机械设备正朝着大型化、高速 化、连续化、集中化、自动化的方向发展，机械设备的组成和结构变得越来越复杂， 设备的各子系统之间的联系也越来越密切，一旦设备的某个部分在运行过程中出现故 障，就很可能中断生产，造成巨大的经济损失，甚至带来灾难性的后果。 应用先进的c m & f d 技术，不仅可以发现早期故障，避免恶性事故的发生，还可 以从根本上解决设备定期维修中不足和过剩维修问题。 l _ 3 2 状态监测和故障诊断技术的进展、形状 从6 0 年代末开始，国内外的许多学者和工程技术人员对c m & f d 技术的理论和工 程应用方面进行了深入系统的研究，到目前为止，随着信息论、系统论、控制论和计 算机技术等前沿学科和先进技术的引入，c m & f d 得到迅猛发展，新理论、新技术、新 方法不断涌现，至今c m & f d 已经发展成为一门独立的新兴学科。 ( 1 ) 传感器技术、测试方法及信号采集技术 通过传感器获得的一次信号( 原始信号) 的可靠性和完各性是故障诊断结果正确 3 基丁小波分析的旋转机械故障诊断 与否的前提，所以，在不断提高传感器性能的同时，需要研制新型传感器来测量设备 的各种物理参数。美国实业家b e n t l y 先生发明的非接触式电涡流传感器可获得转轴 的振动信息，为转子动力学、滑动轴承的故障研究做出了卓越的贡献。振动加速度和 速度传感器的性能也在不断的改善，特别是造低频传感器的出现，使水轮机、炼钢包 回转台、建材转窑、搅拌滚筒的低速回转机械设备的低频振动测量成为可能。另外， 用于测量温度、压力、流量、粉尘度、化学气体、声音、电流等物理量的传感器也不 断被应用到工程实践。目前，传感器的发展正向复合化、智能化的趋势发展。随着微 型机械和纳米技术的完善，有可能研制出“走入”机器内部来观测零件运转和损坏情 况的微机器人传感器。如果这一理想得以实现，将会给机械设备c m & f d 带来一场革命。 随着大规模集成电路、计算机技术和网络技术的进步，使多机组、大规模的信 号采集、储存和传输的以实现。为了获得机械设备全方位的运行信息，大部分监测系 统都采用多传感器组合方式来实施设备信号采集和状态监测。目前，一套监测诊断系 统往往同时为多台设备服务，它获取信号包括振动量、位移量、运行工艺量( 温度、 压力、流量等) 和状态变量等，系统的测点已经达到数百个以上。 多测点、多传感器的采集方式在提供了丰富信号的同时，导致了信号的多样性 和复杂性。为了从大量的设备信号中提取有效信息，多传感器信息融合( i n f o r m a t i o n f u s i o n ) 和数据挖掘( d a t am i n i n g ) 技术得到了迅速的发胀，但它们的共同前提是必 须具备有效的信号处理和特征提取方式。没有这个前提，信息融合和数据挖掘将不能 发挥预期的作用。因此，如何对各种复杂信号进行处理、分类和综合，提取出故障特 征是故障诊断中富有挑战性的研究课题。 ( 2 ) 故障机理及故障征兆研究 故障机理及故障征兆的研究是c m & f d 技术的基础。根据研究对象和故障的物理特 点，建立相应数学模型一直是故障机理及故障征兆研究的有效手段。国内外学者利用 转子学理论，已经对旋转机组的不平横、不对中、弯曲、油膜涡动、油膜振荡、松动、 摩擦、磨损、裂纹、喘振等常见故障做了大量的研究，不仅探明了故障机理，而且为 旋转机械的优化设计提供了依据。当然，故障诊断是- - 1 实践性很强的科学，从设备 的运行、检修中积累知识也是故障机理和征兆研究的重要途径。具有代表性的工作是 1 9 6 8 年j o h ns o h r e 在美国机械工程师学会( a s m e ) 石油机械工程会议上撰写了一篇 名为“高速涡轮机运行故障的原因与校正”的文章，将典型故障划分为九类二十七种， 归纳了四张涉及故障征兆及其可能原因的图表，这些图表一直被工程技术人员作为设 备监测和故障诊断的重要依据。我国上海发电成套设备设计研究所和哈尔滨工业大学 也在国家“七五”、“八五”期间收集了很多国内2 0 0 m w 、3 0 0 m w 汽轮发电机组典型故 障案例，建立了上于条汽轮发电组规则。在研究人员的不断努力下，旋转机械故障机 理的研究已经成为故障诊断学科中迅速发展的分支。 但是，传统转子动力学的研究主要是基于线性转子模型进行的。事实上，转子系 统是非线性的，导致其非线性的因素有：部件之间的摩擦、滑动轴承轴油膜力、材料 4 南京航空航天大学硕士学位论文 本身物理性质、滚动轴承中的间隙和恢复力、裂纹、大变形和大位移等。基于线性系 统原理的转予动力学理论与方法难以对实践中出现的丰富的非线性动力学现象做出 准确的描述、阐释和预测。这样，建立基于非线性转子动力学的旋转机组故障机理及 故障征兆理论已经迫在眉睫。 复杂机械系统故障诊断是c m & f d 面临的难题。复杂机械设备以内燃机为代表，他 的运动形式多样，激励源比较多，既有往复运动，又有旋转运动，同时还存在不平衡 冲击，导致故障原因的故障与故障征兆的对应关系非常复杂。 另外，齿轮、滚动轴承、电机等多种通用机械设备的故障形式和原因也得到深入 的研究，如日本丰田利夫教授利用电流来分析电机的故障原因，取得了可喜的成就。 我国华中理工大学对机械设备中的钢丝绳断丝监测诊断具有国际领先水平，在工程中 取得广泛应用。近期，国内外对锅炉、压力容器、高空索道、电梯、工业提升机械、 游乐设旌等特种设备的安全监测给予了足够的重视，针对这些特种设备的故障机理研 究正在逐渐展开。 故障机理研究表明，机械监测诊断将面临大量的非平稳动态信号，这是因为：机 械设备运行中，故障的发生或发展导致动态响应信号具有非平稳性；工矿企业中有大 量大变工况、非平稳运行的机电设备，它们的运行状态具有菲平稳性；机械设备运行 中的驱动力、阻尼力、弹性力的非线性以及机械系统本身( 材料、刚度等) 的非线性， 反映在动态信号上具有非平稳性。如何对动态信号的非平稳性进行有效额分析是监测 诊断的关键性问题之一。 通过故障征兆的研究，我们发现不同的机械故障往往具有不同的信号特征。如不 平衡、不对中、涡动等故障，它们反应在振动信号中主要为正弦波的叠加：发生了松 动、敲击、碰摩、气流激励等故障时，信号中往往会出现单边衰减的冲击响应波形或 表现出奇异性：若同时存在两个频率接近的激励源则会出现“鱼腹状”调制波形等等。 如果能将复杂的信号按照机械系统不同故障模式的相应时域信号特征进行分解，使分 解的特征与系统状态具有一一对应关系，这样，就可以实现故障信号的分解和分类并 行处理，从而为非平稳信号的特征提取和识别提供一种新的解决途径。 ( 3 ) 信号分析、处理方法和特征提取技术 对信号进行有效的分析、处理来提取故障特征信息，是对机组运行状态进行合 理估计和分类的关键。可以所机械故障诊断技术的每一项进展都与信号处理手段的发 展密切相关。振动信号分析是故障诊断领域最活跃的一个分支。常用的分析技术包括： 滤波和消噪技术、时域分析( 波形分析、相关分析、统计分析等) 、时序分析( 自回归 谱) 、基于f o u r i e r 变换的频域分析( 幅值谱、功率谱、高精度内插谱、包络谱、倒 谱等) 和时频分析( 短时f o u r i e r 变换，w i g n e r 时频谱图) 、瞬态分析( 波特图、n y q u i s t 图、瀑布图、阶次图) 。这些传统的信号处理技术应用于机械信号分析以来，使机械 故障学科得到迅速发展，并在生产实践中取得辉煌的成就。 5 基于小波分析的旋转机械故障诊断 1 4 本文研究的主要内容 对小波理论从工程技术角度进行了系统的阐述，系统的比较各种常见小波基的特 性，研究不同的故障信号特征与各种小波基函数的内在联系，并针对故障诊断的处理 小波基适用范围进行了分类。 针对旋转机械故障诊断经常出现的信号奇异性问题，在比较m o r l e t 小波和 h e r m i tj a n 小波性质和准脉冲信号的处理结果后，得出使用h e r m i t i a n 小波时间尺 度的幅图和相图更能识别信号奇异点，并在轴承横向裂纹故障诊断实验中证明其效 果。 6 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章小波变换与机械故障非平稳 信号特征提取 2 1 傅立叶分析及其优点和局限 2 1 1 傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 4 王n - + n n n tf i g n n n 数x ( t ) ，若满足狄里赫利条件，则有下式成立： x ( f ) = 吼e 弛 旷亭弘e 叫“协 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 同样，任意一个非周期信号x ( f ) ，若满足狄罩赫利条件，则有下式成立 硼) = 去d ( 咖刚如 3 ( 国) = e x ( t ) e - j 。i d t ( 2 4 ) 傅立叶变换的物理意义：把一个信号分解为一组复指数信号组合。对周期信号来 说，复指数信号的幅度为 吼) ，并且在成谐波关系的一组离散点k c o o ，k = 0 ，1 ，2 ， 上出现。对非周期信号而言，这些复指数信号出现在连续频率上，其“幅度”为 x ( 翻) ( d 缈2 石) 。非周期信号x ( f ) 变换一 ) 通常就称为x ( f ) 的频谱。因为工( 出) 告诉 我们这样一个信息，就是x ( f ) 是由怎样的不同频率的正弦信号组成的。 2 1 ，2 傅立叶变换的优点与局限 优点： 1 )由于分析的基函数p “是一组正交函数，易于分解，即易于计算各分量的大 小。 2 )d 。或卫( 国) 的物理意义非常明显，是频率为珊的谐和振动分量，有很大的实 用价值。 3 )两个信号 ( f ) 及x ( r ) 在时域中的卷积，( r ) = i x ( t ) h ( t f ) 出的傅立叶变换 7 基于小波分析的旋转机械故障诊断 f ( c o ) 等于两者变换后频域的乘积，即f ( c o ) = ( ) 爿) ，这给在频域中描述振动特 性带来很大计算上的方便。 4 )对数字信号作离散傅立叶变换已经发展了快速算法f f t ，可以在很短时间内 乍谱分析。因此有可能做弱实时分析。 局限： 为了得到个频率分量x ( 出) 必须知道t 从( 一。，+ o 。) 所有时间的信息。实际上 爿( 们是频率分量的一个平均意义上的量。由整体波形所决定，也即傅立叶分析不 能作局部分析。 例如：设信号z ，o ) = x 1 0 f ) 则根据傅立叶变换的时移性质，有 ：( 棚) = e 一7 “，( 出) 。虽然这个两个信号的幅值谱l x ：( 国) i = 1 ，( ) l ，但是时域波形是 不一样的。 为了能着重分析某一时间段内信号的特点，曾提出了短时傅立叶变换。就是给被 分析的时域信号x ( r ) 加“时间窗”，即乘上一个限制时间段的函数g ( f ) 再进行傅立叶 变换，其变换如下x ，f ) = b o ) 9 0 一r ) e d t ，注意窗g o f ) 中的f 时是可以变动的， 三 即窗可以在时间轴上移动使x 0 ) 逐步进入被分析状态，这样就可以提供在一局部时间 内信号变化快慢程度的特性了。但是加窗傅立叶分析仍然有它的局限性。很显然，此 时得到的频谱x 洄，r ) 是_ 洄) 的一种近式。有时两者相差很大( 取决于信号的频带和 窗的形状与大小) 。而且由于窗的大小和形状是固定的，对变化着的不同时间段只能 使用相同的窗，所以它不能适应信号频率高低的不同要求。 例如：设信号x ( f ) = 1 , - 。o t 0 是尺度因子( 基于工程的需要，d o 不考虑) ， f 反映位移，其值可正可负，符号 代表内积，上标代表取共扼， y 。( ) = 芹1 ( _ i - - _ + 】是基于小波的位移与尺度伸缩。式2 6 中不但t 是连续变量，而 口l 口 7 且和f 也是连续变量，因此称为连续小波变换，简记c w t 。 式2 ，6 的内积往往被不严格的解释成卷积。这是因为 内积： x ( f ) ，y ( 卜r ) 卜( f ) 吵( t - f ) 西 卷积： = 卜( f ) f ，+ o f ) 如= 卜( f ) y + ( r r ) 出 两式相比，区别仅在矿0 一f ) 改成少 - o r ) 】。即i u c t ) 首尾对调。如果矿( f ) 是关于 。0 对称的函数，则计算结果无区别；如非对称，在计算方法上也没有本质区别。有 些学者是直接按卷积来定义小波变换的。他们所采用的定义是( 是基本小波) ： 啊c 邮，= 去卜。( 等弘 d 。 、d， ( 2 7 ) 不难证明式2 6 ，2 7 两个定义有密切联系。当妒( f ) 和o ) 都是实函数时，如果p ( f ) 2 t ( f ) ，贝。有：阡7 ：( 口，f ) = 苫阡z ( 口，r ) 叫口 小波变换在频域上的特点： 9 基于小波分析的旋转机械故障诊断 呢池加害k 矿如 由此可见：如果y ) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表特征分 析信号x ( ) 频域上局部性质的能力。采用不同a 值作处理时，各v ) 的中心频率 和带宽都不一样，但品质因数 即( 中心频率) ( 带宽) 却不变。总之，从频域上看， 用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波器对信号进行处理。带通的目的既 可能是分解，也可能是检测( 此时它相当于一组匹配滤波器) 苏轼名言“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”蕴涵了信号处理的本质。从不 同的角度观测信号将会得到不同的信息。只有观测位置得当，才能看到信号的庐山真 面目。f o u r i e r 变换、短时f o u r i e r 变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，s t f t ) 和小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 的本质区别就是信号观测角度和观测方法的不同， 这种不同无疑是以基函数的结构和特点为标志的。 小波变换从基函数的角度出发，吸取f o u r i e r 变换中的三角基与短时f o u r i e r 变换中的时移窗函数的特点，形成紧支撑、振荡、衰减的小波基函数y ( f ) ( 母小波) 。 小波变换的含义是：把母小波矿( f ) 作时移f 后，再在不同尺度口下与待分析信号x ( f ) 作内积： 忙棒蓦耩频 图2 i 小波变换多分辨率分析思想图示 从图2 1 可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分辨的。小波 变换既看到了森林( 信号概貌) ，又看到了树木( 信号细节) ，能精确地在时间一频率 ( 时间一尺度) 平面内刻画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。小波变换是迄 今为止最优秀的非平稳信号处理方法。 小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑性及正交性的不同决定了小波 1 0 南京航空航天大学硕士学位论文 的千差万别。在信号分解时，若采用了不适宜的小波基函数，则会由于特征信号被冲 淡，反而给故障信号特征的监测和识别造成困难。小波包变换最优基和最佳树形结构 分解实际上是在探索小波包变换最佳尺度，不是真正意义上的最优基小波变换。如何 选择合适的小波基是小波变换能否在故障诊断中取得突破性进展的关键。国内外学者 的研究表明“，根据信号特征来选择基函数的信号分解方法是可行的，也是有效的。 通过系统比较各种常见小波基的特性，研究不同的故障信号特征与各种小波基 函数的内在联系。指出只有根据信号的特征选择相应的小波基进行分解和特征提取， 才能有效识别故障信息，使小波变换达到工程实用化。 2 3 小波基性能研究 2 3 1 小波基必须满足的条件一允许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) 小波变换的反演公式为 其中虬，( f ) 含义同式( 2 8 ) 为了使上式成立，系数c ，必须满足 旷j 艺峰c o 。弦s ， 其中痧4 c o ) 为母小v ( t ) 的f o u r i e r 变换。式( 2 9 ) 即母小波的允许条件，它的 推论是：能作母小波的函数至少必须满足旷( 0 ) = 0 ，由此可知 p ( f ) 出= o ( 2 - 9 ) 式( 2 9 ) 表明，母小波以r ) 的均值为0 ，即它必然具有正负交替的振荡波形，“小 波”( w a v e l e t ) 由此得名。 2 3 2 小波基的性质 1 ) 紧支性、衰减性 若母小波 f ，( f ) 在区间 a ，b 外恒为0 ，则称y ( f ) 紧支在这个区间上，即矿( f ) 具有紧 支性。紧支性决定了小波的局部化能力，支撑区间越窄，时域局部化能力越强。如果 母小波( f ) 不具备紧支性，则希望它有快速衰减性，即当i t 一+ 。时，y ( f ) 趋向于0 。 衰减性和紧支性一样，也反映了小波的时域局部化能力。 基于小波分析的旋转机械故障诊断 2 ) 光滑性和正规性( r e g u l a r i t y ) 若母小波y ( ) 在某一点或某一区间k 阶导数连续，但k + l 阶导数不连续，则称 少( ，) 在在一点或这一区间k 阶光滑。光滑阶数k 越高，母小波( ，) 的f o u r i e r 变换双曲 在频域衰减越快。实际上，利用消失矩可以刻画y ( f ) 的光滑性。消失矩定义为：若 ( r ) 对所有的0 p m 满足 p 9 矿( f ) = 0 ( 2 1 0 ) 则称( f ) 具有m 阶消失矩。式( 2 1 0 ) 也叫做小波的正规性条件。消失矩阶数m 越大，y ( r ) 越光滑，其频域局部化能力越强。具有高阶消失矩的小波适合于监测高阶 导数不连续的信号，因此适合于提取信号的奇异性。 但是，光滑性与紧支性或衰减性是矛盾的。也就是说，小波不可能同时在时域和 频域都具有良好的局部化性能。因此，小波基的选择只能在紧支性、衰减性与光滑性、 正规性之间平衡”“。 3 ) 对称性和线性相位 令妒( f ) l 2 ( 尺) ，若它的f o u r i e r 变换满足 a r g ( 妒( ) ) = 一k c o ( 2 11 ) 其中k 为与时间有关的常数，则称y ( f ) 具有线性相位。如果满足 a r g ( 妒( ) ) = 一k c o + ( 2 1 2 ) 其中为常数相位，则称纵f ) 具有广义线性相位。可见，具有线性相位或广义线性相 位的小波( ，) 可以避免对信号进行分解或重构时的相位失真。由信号处理理论可知， 一个f i r 滤波器至少具有广义线性相位当且仅当它的冲击响应信号是对称或反对称 的“。因此，小波基( f ) 的对称性也非常重要。 对称或反对称的小波基在监测信号奇异性时表现是不同的。对信号的过渡点( 拐 点) 或信号边缘，反对称小波在该处呈现最大值面对称小波呈现过零值，对于信号的 峰值监测刚好相反。 1 2 南京航空航天大学硕士学位论文 4 ) 正交性 设f ( t 一，女z 是一组函数集合，若 ( f k 1 矿p k 2 ) d t ：j ( t 。一k 2 ) ( 2 1 3 ) 则称f ( t 一女) 具有正交性。设l ( t 一女) 灰o 一女) ，k z 分别是两组幽数集合，若 则称l ( t k ) 和厂2 ( f k ) 是正交的。根据正交性质的不同，可以把母小波分为正 交小波、半正交小波、双正交小波和非正交小波。文献。1 系统分析了这4 类小波的定 义和特性。 小波的正交性是故障信号分析中最感兴趣的性质，它可以无冗余、无泄漏地将 信号分解到各个独立的频带下，便于实现特征提取。但是，紧支正交小波不能实现完 备的线性相位滤波。半正交小波比正交小波灵活，既能满足线性相位，可以实现正交 分解，但分解序列不是有限序列，在使用是必须截断，因而也存在误差。双正交小波 具有线性相位，可以实现信号完备的重构，在图像处理中应用比较普遍。非正交小波 放弃了正交性，可以将信号分解至任意的连续尺度下，具有良好的时频局部化分析功 能。如果选择具有对称性的非正交小波，不仅可以实现线性相位，甚至能做到无相移。 通过上述分析发现，小波的紧支性、衰减性、光滑性、对称性、线性相位和正 交性的不同决定了小波的千差万剐。在应用小波变换时，应该根据分析对象和目的选 择具有相应性质的小波基。 2 4 故障诊断中常用小波基特点及性能比较 2 4 1d a u b e c h i e s 小波 d a u h e c h i e s 小波没有严格的数学表达式，通常用数值方法以数表和曲线的方法 给出。如果已知其低通滤波器脉冲相应系统h ( n ) ，高通滤波器脉冲相应系数g ( h ) 有 下式给出 g ( n ) = ( 一1 ) “h ( 2 n 一胛+ 1 ) ， 月= 0 , 1 ，2 n 一1 ( 2 1 4 ) 有 ( h ) 和g ( ”) 可以计算出尺度函数p ( f ) 和小波函数y ( r ) 。图2 2 为n = 2 时的妒( f ) 和 矿( f ) 。d a u b e c h i e s 小波是一类具有紧支集的规范正交小波，它的支撑长度为2 n 一1 具有n 阶消失矩。d a u b e c h i e s 小波的缺点是不具有严格的对称性。消失矩阶数越高 小波光滑性越好，其代价是增加了紧支集的长度。 基于小波分析的旋转机械故障诊断 图2 2n = 2 时的d a u b e c h i e s 小波尺度函数和小波函数 2 4 2m a l f a t 样条小波 m a l l a t 在创造多分辨分析理论的同时，在l e m a r i e 和b a t t l e 的研究基础上，基 于2 p + 1 次多项式函数构造出m a l l a t 样条小波的频域表示妒( ) “”。当p = 1 时，m a l l a t 样条小波的波形和f o u r i e r 频谱如图2 3 所示。该小波在国= 0 处有3 阶零点，它的 二进尺度伸缩和平移均具有正交性，实现了二进尺度正交分解。但是基于二进尺度伸 缩的m a l f a t 塔形算法使每次小波分解后信号点数减半，不利于信号的特征提取。利 用图形显示算法可以将各尺度的分解结果对立重构回原始尺度，但基于二进分辨的正 交分解显得过于粗糙。 o 一0 - 1 0 - 2 t - r0 # 2 t1 0 _ 图2 3m a l l a t 小波函数y ( r ) 和f o u r i e r 频谱矿( 国) 2 4 3 调频类高斯类小波 它的统一表达式为 ( f ) = c ( e 一e - d 。27 2 ) e 一一2 9 2 ( 2 1 5 ) 其中c 为非零常数，为调制频率，盯为高斯参数，矿( f ) 的f o u r i e r 变换为 1 4 南京航空航天大学硕士学位论文 妒( ) = c 仃磊0 一一旧一。r e - o - 2 ( 。2 + 。o m )( 2 1 6 ) 可见，驴( ) 为实数，无f o u r i e r 相位，因此调频类高斯类小波变换不会导致信 号产生相移，这是它最大的优点。但该类小波属于非正交、冗余小波，为减少冗余量 和提高对信号的分析精度，通常选取c o 。5 若再采用紧框架，也能得到稳定和精确 的重构。实际上，当c = 仃= l ，。5 时，式( 2 1 6 ) 近似为m o r l e t 小波。调频类 高斯小波常用于带通滤波、频谱细化和对信号的精确定位和分析。文献”1 将高斯小 波应用于往复机械故障诊断，识别燃爆导致的“渔腹状”振动信号特征。文献“采 用优化m o r l e t 小波进行信号奇异性检测和降噪，取得了很好的效果。 2 4 4 谐波小波( h a r m o n i cw a v e l e t ) n e w l a n d 从工程实用的角度提出了谐波小波，其定义是 胁乞笋 ( 2 1 7 ) 其实部r e ( y ( f ) ) 为偶函数，虚部i m ( ( f ) ) 为奇函数，它们的波形如图2 4 所示。 谐波小波的f o u r i e r 变换为 妒c ，= ￥2 万篡于s4 石 c z ，s ， 可见，谐波小波实现了理想的盒形滤波，且不产生相位变化。用二进尺度对该小 波进行伸缩和平移，可以构成三2 ( r ) 空间规范正交基。另外，通过f f t 和i f f t 可以 实现谐波小波的快速变换。利用谐波小波构造的滤波器在满足正交性、无相移的同时， 能保持被分析信号的点数和采样频率不变，它已经被广泛应用于旋转机械振动分析和 故障诊断领域，如谐波小波轴心轨迹分形特征提取、谐波小波时频剖面信号奇异性识 别等。 1 o - 1 r e ( y ( f ) ) 1 0 1 i m ( 缈( r ) ) 022 02 ff 图2 4 谐波小波实部r e ( ( f ) ) 和虚部i m ( y ( f ) ) 基于小波分析的旋转机械故障诊断 2 5 针对故障诊断处理的小波分类 通过对小波基性质和故障渗断中常用小波的研究发现，各种小波基有各自的优点 和缺点，要使小波变换达到真正的工程实用化，必须根据故障信号的特征选择合适的 小波基。 用不同的小波基去识别信号的不同故障信息，从而避免了随意采用某一种小波基 函数并通过寻找该小波基函数的所谓最优基来同时提取所有信号特征的误区。 1 f o u r i e r 三角基 提取平稳信号谐波特征频率，适合于旋转机械不平衡，不对中，油膜涡动等故障 的识别。 2 m a l f a t 样条小波基和d a u b e e h i e s 小波基 将信号正交地分解到各独立频带内，实现对非平稳信号地整体刻画，可用于信号 分频带能量监测，是通用地非平稳信号分析工具 3 谐波小波基 对非平稳信号进行保相滤波，适合于从复杂信号中识别旋转机组不平衡，不对中， 油膜涡动等故障。可以刻画旋转机组提纯轴心轨迹。 4 m o r l e t 小波基 降噪，识别“鱼腹状”波形特征，适合于诊断齿轮箱齿面剥落、滚动轴承内外圈 及滚动体缺陷及往复及机械多频率激励 5 l a p l a c e 小波基 从复杂信号中提取冲击响应信号特征，适合于撞击、松动、动静碰摩等故障地诊 断。可以识别设备振动固有频率及阻尼参数。 6 h e r m i t i a n 小波基 识别信号地奇异性，适合于摩擦、裂纹等故障地诊断。 本文主要致力于研究冲击响应信号特征提取及非平稳信号地奇异性识别，重点讨 论了h e r m i t i a n 小波基的诊断。 1 6 南京航空航天大学硕士学位论文 第三章h e r m i t i a n 连续小波变换与信号奇异性识别 机械设备由于局部异常而诱发的信号往往具有奇异性( s i n g u l a r i t y ) ，它表现为 突变、尖点