（道路与铁道工程专业论文）路基工后沉降计算与分析的初步研究.pdf

堕查銮望盔堂受塞生堂垡堡塞 苎! 墨 _ l _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ i _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 。一 摘要 伊3 4 4 9 9 i 工 一 ， f 在一般地基条件下，针对铁路路堤地基工后沉降的问题，) 本文研究了用 k 斡模型来模拟地基土的蠕变性质，计算地基工后沉降的途径。考虑到室 内流变试验的困难，提出采用初期的原体变位测试数据来反演分析粘弹性模 型的特性参数。为此，本文根据铁路路基( 地基) 的实际情况，提出了合理 假设，建立了计算模型，推导出了平面有限元的计算方程；同时为了反分析 粘弹性参数，还详细推导出了利用位移反分析法计算未知参数的方程组。在 此基础上编制了反分析地基土粘弹性参数，并用所得参数计算地基位移的应 用程序。 为了验证方法的可行性和程序的正确性，本文结合邯济线跨3 0 9 国道济 南端路桥过渡段的实测资料值，利用所编制的程序反演得到了粘弹性参数 值，并以这些参数值计算了多个断面的工后沉降值。计算结果能较好地符合 实测数据，说明本文提出的计算模型是合理的，分析方法是可行的。 关键词：路堤地基k h 模型工后沉降粘弹性参数位移反分析 西南交通大学研究生学位论文 第1 1 页 a b s t r a c t a i m i n g a tt h ec o m m o nf i l l - f o r m a t i o no f r a i l w a y , t h ek hm o d e li ss u g g e s t e d t os i m u l a t et h ec r e e po ft h es u b s o i l ，s ot h a tt h es e t t l e m e n ta f t e rc o n s t r u c t i o nc a nb e c o m p u t e d b a c ka n a l y s i s o fv i s c o - e l a s t i c p a r a m e t e r s b a s e do nt h es e t t l e m e n t m e a s u r e di ns i t ui saw o r k a b l ew a yi no r d e rt oa v o i dt h ed i f f i c u l t i e si nc r e e pt e s t si n l a b o r a t o r y t h e r e f o r , b a s e do nt h ea c t u a l i t yo fh i g h s p e e dr a i l w a yf i l l - f o r m a t i o n s e v e r a lp r o p e r p r e s u m p t i o n sa r es u g g e s t e d t h ec a l c u l a t i o nm o d e la n de q u a t i o n so f t w o - d i m e n s i o n a lf i n i t ee l e m e n ta r ei n t r o d u c e dh e r e i no r d e rt o g e tv i s c o e l a s t i c p a r a m e t e r s ，t h ee q u a t i o n sf o rc o m p u t i n gb yb a c ka n a l y s i so fd i s p l a c e m e n ta r ea l s o i n t r o d u c e di nd e t a i lh e r e a n da n a p p l i c a n tp r o g r a m i sd e v e l o p e d i no r d e rt o v e r i f yt h ea p p l i e a b i l i t yo ft h em o d e la n dt h ea c c u r a c yo ft h e p m g r a m ，t h ec o m p u t i n gw a sc a r r i e do u tw i t ht h es e t t l e m e n to fh a n - j ir a i w a y m e 龇e di ns i t u t h er e s u l t so f c o m p u t i n gc o m eu pt ot h em e a s u r e dv e r yw e l l t h i s h a sv e r i f i e dt h e a p p l i c a b i l i t yo f t h ea b o v em e n t i o n e dm o d e la n d m e t h o d k e yw o r d s ：f i l l - f o r m a t i o nk hm o d e ls e t t l e m e n ta f t e rc o n s t r u c t i o n v i s c o - e l a s t i cp a r a m e t e r s b a c k a n a l y s i so f d i s p l a c e m e n t 西南交通大学研究生学位论文 第1 页 1 1 前言 第一章绪论 随着我国经济的迅速发展，传统的铁路运输已不能适应现代社会发展的 需要。高速公路和民用航空业的迅速壮大，使普通铁路在速度上居于绝对劣 势，长途客运受航空运输的排挤，短途客运则被汽车运输取代，铁路客运陷 入了“夕阳产业”的被动局面。于是，铁路高速客运的发展成为铁路赖以生 存和适应社会发展的唯一出路。 长期以来，由于列车速度及运量相对较小，我国铁路轨下系统的变形影 响不很突出，铁道工程师们多注意于系统内部构件的强度设计，并以强度作 为轨下结构设计的主要控制因素。高速铁路的出现对传统的铁路设计、施 工和养护维修提出了新的挑战，在许多方面深化和改变了传统的设计思想。 对于有碴轨道，高速铁路要为列车的高速行驶提供一个高平顺和稳定的轨下 基础。而轨下基础的道床和路基是由散体材料组成的，散体材料容易产生变 形，而且抵抗振动的能力弱。因此，有碴轨道的下部结构是线路结构中最薄 弱的也是最不稳定的环节。仅就路基来看，路基的变形是制约列车高速运行 的重要因素之一。 过去我们对路基按破坏强度设计，但对于高速铁路而言，强度已不是主 要的因素。因为一般来讲，在达到破坏前，路基可能已出现了不能容许的过 量变形。因此，变形问题是轨下系统设计的关键。对路基来讲，要控制变形 最主要的就是要控制路基的下沉量。我们关心的下沉量主要有三类：线路 建成后运营阶段行车所引起的基床累积总下沉：列车行驶中轨面的弹性变 形：路基填土及地基的压密下沉i “。 本文主要讨论路基填土及地基的压密下沉。这种下沉属永久下沉，是由 填土的自重( 包括轨道上部建筑) 引起的。散体材料总会发生压密下沉，它 发生在两个时间段：一是施工阶段的下沉：二是施工完成后所谓的工后下沉。 施工阶段的下沉一般不必计较，它不影响实际的工程实施，因为总要填到设 计标高。我们关心的是工后下沉。下沉量太大，说明填土的压实密度不足， 强度低，容易形成不均匀沉降，这在特殊路段如路桥过渡段等对高速行车的 安全性和平稳性影响很大，会导致行车障碍及其它技术问题。另外，过大的 堕塑銮望盔堂堑塞生堂垡鲨塞 苎! 墨 _ _ _ - _ _ - _ - _ _ _ _ _ l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - 。1 一一 下沉还会破坏路基面的排水条件以至不能保持良好的横向排水坡度。因此， 我们需要一种能较为全面地反映影响路基填土沉降的各种因素的计算沉降的 方法，为路基的设计提供依据。 1 2 路基压密下沉的研究现状 沉降是土力学中的主要研究课题之一，地基沉降的理论发展至今已取得 了长足的进步，并且在工程建设中发挥了巨大的指导作用。然而，从工程建 设的发展和要求来看，还需要对现有的地基沉降计算理论作进一步的研究和 改进。正如泰国学者b a l a s u b r a m a n i a m 和b r e n n e r 所指出的那样，地基沉降 计算理论“尽管有了很大改进，但沉降的预估比一般的土工计算更具技术性。 今天，在许多情况下已能够预估出误差不超过1 0 2 0 的最终沉降量 ( a k a g i ，1 9 7 9 年) ，但是，预估沉降与时间关系的能力仍然相当差”【3 | 。 目前，工程中常用的计算路基沉降的计算方法有两种，一是经典理论的 分层总和法，二是采用双曲线模型的有限元法。 ( 1 ) 分层总和法h 1 分层总和法计算地基沉降时，是在地基沉降的计算深度范围内把它划分 为若干层，每个分层按薄压缩层地基计算压缩量。然后将各分层的压缩量叠 加起来求得总压缩量。其基本计算公式为： j ：y a s 。：y 鱼乌 ( 1 - 1 ) 智智l + e l ， 式中 e 。，地基中第f 层土施工前在该层平均自重应力作用下压缩稳定时的 孔隙比： p ，。地基中第f 层土施工后在该层平均自重应力和平均附加应力共同 作用下压缩稳定时的孔隙比： 厅，地基中第i 层土的原始厚度： n 压缩土层的数目。 该法简便、直观，计算参数少且容易确定，人们对计算参数有着深刻的 认识，因而在工程界广为应用。但该法以均质弹性半空间的应力来计算非均 质地基的做法在理论上显然不协调，其所引起的计算误差也较大。 ( 2 ) 双曲线模型5 】 6 1 双曲线模型的核心是应力与应变之间双曲线关系的假设。许多验证表 堕壹銮望盔堂堑塞生兰垡堡塞 苎：墨 明，这个假设能够反映土体变形中期和后期的特点，它适用于从软土到密砂 邓肯建议的双曲线模型通过切线弹性模量e 和切线体积模量b ，计算下 阱鑫肾r 3 b , + e , ，。3 訾b , - e , 删 a 6 x z ， e f 咆引( 1 础一) z ( 1 - 3 ) 骂= k b p o i 旦l ( 1 - 4 ) p o ) 昌2 丽3 , i - o 3 ( p 1 一盯3 ) ，：2 0 3s i _ n 口_ + 2 一c c o s ( 1 6 ) 。 l s l n 上列公式中c ，妒，k ，k b ，甩，小，r ，均为计算参数，通过常规三轴 试验测定，p 。为大气压力。 对双曲线模型采用有限元分析法能够模拟现场施工分层填筑的真实情 况，同时也考虑了土的非线性特征，可以较全面地考虑土体的变形特征及其 边界条件。而且该模型应用较广，对其参数的变化情况也已积累了较丰富的 经验。 上述两种沉降的计算方法各有利弊，但它们有一个共同的缺点，都没有 考虑时间因素对沉降的影响。采用这些方法计算得出的结果是路基的最终沉 降量，它们并不能反映路基沉降随时间变化的历程。而土这种散体材料的松 弛和蠕变现象非常明显，它的变形不仅与应力的大小有关，而且与这些应力 作用的时间过程有关。为了描述土体的应力应变关系受时间因素的影响，我 们可以采用粘弹性模型来描述土体的性状。 西南交通大学研究生学位论文第4 蔓 1 3 本文的选题 为了描述路基的沉降随时间变化而变化的过程，本文将利用流变力学原 理，采用粘弹性模型来计算土体的沉降。 与弹性力学问题相似，求解粘弹性问题时，解析法只适于一些简单的问 题的求解。对于线性流变体，如果认为剪切变形和体积变形具有相同的流变 规律，就有可能利用几个简单的定理来推断应力和粘性应变的变化；如果剪 切变形和体积应变的规律不同，在理论上也可以采用拉普拉斯变换来求解。 但从计算实践中发现，除了些比较简单的问题外，由于拉氏变换反演的困 难，对岩土工程的许多实际问题，还难以籍这类解析解来得出计算结果1 7 j 。 因此，在求解路基填土及地基沉降这类复杂问题时，需要借助于数值分析的 方法。同时，数值分析方法可以较全面地考虑土体的变形特征及其边界条件。 因而，本文将路基体视作线性流变体采用有限元法来进行计算。 考虑土体材料粘弹性特征的填筑体的沉降计算，无论是在道路工程界、 水利工程界，还是在机场工程界，都还处于探索阶段，其材料参数的取值也 毫无经验可言。为了取得流变参数，一般需要进行流变试验。但由于需要长 期加荷，室内进行流变试验是十分困难的，而且室内试验条件与现场实际情 况相比，边界条件也有着较大的区别。因此，根据原体变位观测资料进行反 演分析，是切实可行的途径之一p l 。本文将结合邯济线跨3 0 9 国道济南端路 桥过渡段的沉降观测资料，通过反演分析来取得该段路基体的流变参数。 为此，本文详细介绍了计算模型，推导了粘弹性模型的平面有限元计算 方法，并编制了计算程序。为了反演得出流变参数，本文编制了反分析程序。 利用所编制的程序反算了邯济线跨3 0 9 国道济南端路桥过渡段地基土的流变 参数值，再利用这些参数计算了该段地基随时间变化的沉降值，并与现场实 测值进行了对比分析。 一 要查銮塑盔堂堑塞生堂垡迨皇 苎! 墨 _ _ _ _ - _ _ _ - - _ _ _ _ - _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ l - - _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ l l _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一一 第二章流变模型及其有限元解法 2 1 描述粘弹性的典型模型 为了模拟粘弹性材料的形变规律，可以将材料看作是由非均质的不同质 点组成的。其中一部分质点是纯粘性的，另一部分质点是纯弹性的。这些质 点的不同组配，就构成了模拟不同粘弹性特性的各种模型【9 。作为纯粘性质 点的元件一般是阻尼器( d a s hp o t ) ，其特性为形变速率与施力大小成正比( 符 合d c d t = 卅叩关系) 。作为纯弹性质点的典型元件是线弹簧( s p r i n g ) ，符合 = 盯e 关系。常见的可用于描述工程材料受力变形的粘弹性性态的模型有 麦克斯韦( m a x w e l l ) 模型、开尔文( k e l v i n ) 模型、三单元模型( 1 ( _ h 模 型和k i h 模型) 和伯格斯( b u r g e r s ) 模型1 1 0 】。为了叙述方便，在此以一维 问题为例进行说明。 2 1 1 麦克斯韦( m a x w e l l ) 模型 麦克斯韦模型由一根弹簧和一个阻尼器组成， 如图2 1 所示。其中弹簧用于描述材料变形的弹性 性质，阻尼器用于描述粘性性质。经过简单推演， 可写出与这一模型相应的本构方程为 疗盯 占= + 一 e 0r l e or l 认m 广1 一 图2 - i 麦克斯韦模型 ( 2 1 ) 设自，= o 时起对模型施加常应力盯= o 0 ，其初始条件为d r 0 ) = o e o ，因此 有 荆锄( 击+ 音 沼：， 上式可改写为 占( ，) 2 南 c 2 引 一 堕塞銮望盔堂受塞生堂垡丝塞 苎! 墨 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ - _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ - 。一 e ( f ) = 丁与( 2 - 4 ) e o 仇 “1 ，( f ) 2 击+ 去i i 协s ， l 将式( 2 3 ) 与弹性力学中的公式相比较，可看出e ( f ) 的含义与杨氏模量相 同，可将称其为等效弹性模量。而，( f ) 称为蠕变柔度，它是表征单位应力作 用下材料变形大小的量。 与麦克斯韦模型相应的盯一t 、占一，曲线如图2 2 所示。 l 图2 - 2麦克斯韦模型 图2 - 3开尔文模型 2 1 2开尔文( k e l v i n ) 模型 开尔文模型是由一根弹簧和一个阻尼器并联而 成，如图2 - 4 所示。模型显示的特点是材料受力后 发生的变形不存在明显的初始弹性变形。其相应的 本构方程为 占+ e l 占= 一 盯 叩l叩i 图2 - 4 开尔文模型 ( 2 6 ) 西南交通大学研究生学位论文箜! 里 仍设自f ：o 时起对模型施加常应力仃= 盯。，其初始条件变为占“) = 0 ， 因此有 占o ，= 詈 一e d 一考j r ( 2 7 ) 上式所示应力应变关系可简化为( 2 - 3 ) 式，相应的e o ) 、j ( f ) 分别变为 刖= 肥一击e d 一制 弦s ， 朋= 击音e x p ( 一剽 协， 与开尔文模型相应的仃一t 、占一t 曲线如图2 - 3 所示。 2 1 3 三单元模型 三单元模型由一根弹簧和一个开尔文模型组成。根据元件组合形式串联 和并联的不同，又可以分为k h 模型和k i h 模型，分别如图2 - 5 和图2 - 6 所示。 嵋一 图2 - 5k h 模型图2 - 6 k i h 模型 k h 模型本构方程为 舌旦占：鱼些口+上d(2-10-i-20 ) 占o 占= = _ j 口+ 一盯 ) 仇 e o r f ie o 在自t = 0 时起对模型施加常应力盯= 盯。的条件下，因为有占( ，。) = c r 0 & ，所 以 占o ，= 击+ 主i - 一e x p ( 一考j ， 仃。 c z - t ， 一 查塞銮望查皇堑錾生堂垡鲨奎 苎! 墨 _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ l - _ _ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - - 一一 相应的等效弹性模量和蠕变柔度为 e o ，= 主：+ 主i t e x p ( 一考 ，) ) c ：- z ， ，o ，= i + 击 t e x p ( 一鲁r c z - s ， k h 模型的盯一，、占一，曲线如图2 - 7 所示。 ( 亡+ 廿 a o 晶 i 厂 图2 7k h 模型 图2 - 8k i h 模型 k i h 模型的本构方程为 ( + 鲁) 毒+ 鲁占= 击疗+ 去- 盯。 c 2 州， 自，= 0 时起对模型施加常应力盯= c r o ，初始条件占( ，o ) = c r o ( e l + e ：) ，所以 棚= 南e x p ( 一若* 西南交通大学研究生学位论文 第9 页 相应的等效弹性模量和蠕变柔度为 刚= 叭击一南e x p ( 一带 协 删= 击一确e x p ( 一若 k i h 模型的盯一r 、占一f 曲线如图2 - 8 所示。 2 。1 4 伯格斯( b u r $ o r s ) 模型 伯格斯模型由麦克斯韦模型和开尔文模型串联而成，如图2 - 9 所示。模 型的本构方程为 图2 - 9 伯格斯模型 警咖芦嚣方+ ( 卺+ 警卜盯 池 仕t 2 0 l f 可起珂模型砸刀口帚应力盯2 a 0 ，并考愿初始条件s ( t o ) = c r 0 晶和 分以) = 旦+ 鱼，可得 r ir 2 占o ，= 主= - + 弓+ 击 ，一c x p ( 一鲁， - 盯。 c 2 t 9 ， 其相应的等效弹性模量e ( f ) 和蠕变柔度j ( ，) 分别为 e o ，= 主i + i t + 击 - 一e 一鲁， c z - 2 。， 西南交通大学研究生学位论文 第10 页 j o ，= 主i + 弓+ 主i - 一e x 一弓j ， c z z ， 伯格斯模型的盯一f 、占一f 曲线如图2 - 1 0 所示。 b 击+ 珈 图2 1 0 伯格斯模型 从上面的分析可知，对上述几种一维粘弹性模型，在r = 0 时对模型施加 盯= c r o 且保持不变的条件下，本构方程可用统一的公式表示，区别仅仅是等 效弹性模量的计算表达式的不同。 在弹性力学中，由于对材料各向同性的假设，所以在表示空间应力和应 变关系的虎克定律中，只有两个弹性常数，如弹性模量e 和泊松比。同样 道理，对于粘弹性材料，也可以把它假设为均匀及各向同性的。因此，可以 仿照弹性力学的方法，把一维应力应变关系的结果推广到三维情况p l 。实际 上也可以把弹性固体视为粘弹性材料的一种极限情况。因此依照对应原则， 从弹性力学中的广义虎克定律可以得到粘弹性力学中三维应力应变关系方 程。 由虎克定律： 西南交通大学研究生学位论文箜! ! 里 e e 。= 盯。+ p ，一毛盯。) ( 2 2 2 ) 则对应得到某一时刻在某一应力作用下的粘弹性力学关系： e ( f h ( ，) = 盯。( f ) + ( f 舫，( f ) 一岛盯。( f ) 】 ( 2 2 3 ) 式中e ( ，) 、( r ) 为粘弹性模型的参数，通常它们是随时间变化的，而且对应 于应力历史不同的应力，e ( ，) 、( f ) 有不同的取值。 2 2 流交问题的求解 求解粘弹性问题可采用解析法或者数值方法。采用解析法时，若直接求 解粘弹性基本方程，会遇到数学上的麻烦。目前通常采用弹性一粘弹性对应 原理的方法。该方法对于动态问题采用傅立叶变换，对于静态或准静态问题 则采用拉氏变换，利用弹性解和粘弹性解的像函数的对应关系，可求出粘弹 性问题的解【1 2 】。但该法依赖于弹性力学解，因此与弹性力学问题相似，只适 用于一些简单的流变力学问题。对于大量存在于实际工程的复杂问题，就需 借助于数值分析的方法。下面主要介绍采用有限元法求解流变问题。 2 2 1 有限元法的基本概念 有限元法是一种数值计算方法，其基本原理是：通过变分原理( 或加权 余量法) 及分区插值的离散化处理，将控制方程( 偏微分方程) 及边界条件 转化为一组代数方程组，从而将确定求解域内连续的场函数代之以求解有限 个离散点处的场函数值。以线弹性问题为例，对求解域离散化后，利用最小 势能原理或虚功原理可将域内的平衡方程式写为 yf 陋1 r b d r = f ( 2 2 4 ) 式中，表示对所有单元的求和，嘲称为变形矩阵，p ) 表示单元内 的应力。若用扫 表示应变， t 表示单元的结点位移， d 】表示弹性矩阵， 则有 扛 = 陋 ( 2 2 5 ) 斜= 【d 怡 = 【d p ， ( 2 2 6 ) 将式( 2 2 6 ) 代入( 2 2 4 ) ，则有 西南交通大学研究生学位论文蔓l ! 垦 【8 r 【d 1 8 。弘矿= 扩j ( 2 - 2 7 ) 上式可写为 k = f ( 2 - 2 8 ) 其中k 】称为总刚度矩阵，它由各单元的单刚【七】组装而成，即 = 【七】= f 时【d p ( 2 - 2 9 ) 秘 为整个求解域内各结点的位移， f l 为作用于各结点的等效结点力，它 由体力荷载、丽力荷载、初始应力场和初始应变场、温度场等产生。 对一个给定的问题，k 】和 毋都可以确定，因此，通过解方程组( 2 2 8 ) 可求得p ，再由式( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 即求出单元内各点的应变忙 和应力 p 。 对线弹性问题，式( 2 2 8 ) 中的区】与位移p 无关，故方程组是线形的， 其求解过程比较简单。对几何非线形( 大变形) 或材料非线形( 例如弹塑性) 问题，其总刚k 】与p 有关，例如对非线形弹性问题，有 k 似 胎) = 驴 ( 2 3 0 ) 这是一个非线形方程组，其求解是一个迭代过程。常用的求解方法有直 接迭代法、牛顿法或修正牛顿法、拟牛顿法等。 对流变问题，平衡方程( 2 2 4 ) 显然是仍需满足的，其主要区别在于本 构方程的不同。 2 2 2 常量应力边界条件下的有限元法 在应力边界条件不变，且泊松比不随时间变化的情况下，粘弹性结构 内的应力分量将保持不变1 1 0 】| l “，则结构的应变只与这一应力的作用时间有 关，仿照弹性应力应变关系式p ) = 【d 拈 ，某一时刻的粘弹性应力应变关系 也可表示为： = 【d ( ，胎( ，) ( 2 3 1 ) 对于二维平面应变问题上式中各矩阵可分别表示为： 扫 = b ，盯，r 龇) = k ，o ) 占，o ) 坩 西南交通大学研究生学位论文 第13 页 【d ( f ) 】= e ( t x l 一) 0 + x l 一2 a ) 1 生0 1 一a 生 10 1 一 。捅 因此，在常应力边界条件，且泊松比不随时间变化的情况下，线性粘 弹性体在某一时刻的应变与应力是成正比的，它的应力应变关系与弹性条件 下的应力应变关系是完全相同的。只要已知某一时刻的e ( r ) 值，我们完全可 以按照弹性力学有限元方法来求解该时刻的应力、应变及位移值等。 2 2 3分级加筑情况下的计算 线性粘弹性体某一时刻的应力与应变成正比，因而可采用线性迭加原 理，可以用下列两个方程来描述这种迭加性m 】。 占i c 仃i ， l = c 占i 盯( ，) i ( 2 3 2 ) 占p ，( f ) + 盯：( ，一t ，) 】= 占b 。( ，) 】+ s 6 丁：( ，一t ) 】 ( 2 3 3 ) 式中c 为常数。式( 2 - 3 1 ) 说明c 倍应力口( f ) 在，时刻产生的变形等于c r ( t ) 芒e 该时刻产生的变形的c 倍。式( 2 - 3 2 ) 说明不同时刻的两个应力共同作用下 所产生的变形，等于此二时刻的各个应力分别产生的应变之和。 由式( 2 - 3 1 ) 可得，在恒定应力p 作用下，材料产生的变形为： 鼬) ) = 嘶) r ( 2 3 4 ) 假设在f = 0 时刻，结构受到恒定应力c r o 日( f ) 的作用，其变形为： ( f ) ) = 【d ( ，) 】- l k ( ，) ( 2 3 5 ) 式中的( ，) 是海维赛( h e a v i s i d e ) 单位函数，其表达式为 删= 艇： 在，= f i 时刻，给结构施加应力q h ( ，一f 1 ) ，其变形为： k ( f f i ) = 【d ( f f 1 ) 】。p 。( ，一) ( 2 3 6 ) 结构在先受到c r o 圩( f ) 作用，随后再承受o l h o f 1 ) 后，按照式( 2 3 3 ) ，其 堕塞銮望丕兰堑塞生堂垡望塞 苎! ! 墨 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ l l _ _ - 。一一 变形为： 龇) ) = k ( f ) ) + k ( f i i ) ( 2 - 3 7 ) 分级加载的情况，相当于是在f = 0 ，q ，r ：，f 。时刻，结构先后 受到了扫。h ( f ) ，扫。h ( f ) ) ，p ：h ( f ) ，p 。圩( f ) 等应力的作用。按照迭 加原理，可得结构在某时刻f 的变形为： 扛( f ) ) = 扛，( ，一f i ) ) = 【d ( ，一t ) 】- 1 p ，h ( t - r ，) ) ( 2 - 3 8 ) i - 0i = o 采用有限元法计算时，可按常应力边界条件分别计算出各个时刻的 p ，( f f ) 所产生的矗 ，再加以迭加，就可以得出结构在某一时刻f 的应 变。 2 2 4初应变法有限元法公式的建立【l 蚰 2 2 4 1 粘弹性本构方程的表达式 为适应有限元计算，还需对粘弹性材料本构方程的形式做进一步的变 化。 为叙述方便，我们先以一维问题为例进行说明，再向多维问题推广。 对线性粘弹性材料，其本构方程可用微分方程表示为 静擎= 挚爹 亿s ， 用积分方程表示，则可写为 s ( f ) = j o b ( o ) + 肌一r ) 掣出 ( 2 - 4 0 ) 或 盯( f ) = g ( f k ( 0 ) + i g ( f r ) 旦掣出 ( 2 - 4 1 ) 式中，j ( ，) 和g ( ，) 分别为材料的蠕变函数和松弛函数。 由分部积分，式( 2 - 4 0 ) 可写为 占( f ) = ，( o 龇) 一i 荆型掣如 ( 2 - 4 2 ) 并可得 占”( ，) ：占( ，) ( r ) ：占( ，) 一，( o p ( ，) ：一f 盯( ，) 垒冬鸡，( 2 - 4 3 ) 其中占”( ，) 为，时刻的粘弹性应变，占，( ，) 为应力盯( ，) 产生的弹性应变。 西南交通大学研究生学位论文墨! ! 蔓 f + 缸时刻的粘弹性应变可表达为 s ”( f + ，) = 一f + “盯( f ) 旦掣r ( 2 4 4 ) 当流变模型选定后，其相应的蠕变函数，( f ) 即可确定。由式( 2 - 4 3 ) 或 ( 2 - 4 4 ) 可以看出，粘弹性应变”与应力仃的历史有关，因此，需将整个 计算时间分为若干个小段，再通过分段求和得到各时刻的占”。当然，我们 期望能通过f 时刻的占”( f ) 来确定t + f 时刻的占”( f + f ) ，否则，为确定每一 时刻的占”，均需重新进行求和，其工作量显然很大的。对比式( 2 - 4 3 ) 和 ( 2 - 4 4 ) 可以看出，由于在被积函数及积分上限中均含有t ( 或t + a t ) ，因 此仅根据以上二式很难直接由6 v e ( ，) 求出占”( f + f ) 。以下分析如何利用蠕变 函数，( f ) 的特点来简化计算。 首先确定蠕变函数，( f ) 的形式。为此可令式( 2 - 3 9 ) 中的盯= l ，因此有 塑：堡一一坐：0 ( 2 4 5 ) 。l a t a t ” 再用蠕变函数，( f ) 替换占( f ) ，则式( 2 4 5 ) 可写为 y 玑罢= p 。 ( 2 4 6 4 6 ) 己g 石2 l 2 。 上式是一个r l 阶常系数常微分方程，由微分方程理论可知，其相应齐次 方程的解为 ，( f ) = c l p 喝+ c 2 e 谓+ + q e 哪= q p 嵋 ( 2 4 7 ) 对粘弹性固体，即q 。0 时，方程( 2 4 7 ) 有形式为，( f ) = c 。的特解，系 数c o 可由( 2 - 4 6 ) 的具体形式确定。因此，粘弹性固体的蠕变函数j ( r ) 可表 达为 ，o ) 2 挚e 呐。 由此可得 型掣：窆瞩。卅r ， 衍j ， 若设口，= c ，屈，则上式可写为 了a 1 ( t - f ) ：窆即刮，- r ) a r 智 ( 9 0 0 ) ( 2 4 8 ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 璺塑苎堡丕兰笙墨兰兰篁堡茎苎! ! 墨 并有 ! 掣= 喜c r ，e 一屏。+ 一f ) cz s ， 故有 占”o ) = 一m 骂净一萎n 船舶，盯( f 协( 2 - 5 2 ) 占”( f + ，) = 一f + “盯( ) 掣d r = _ 妻厂叩谓叶盯( r 蚺 则有 善ne w f c l i e - # , ( t - r ) o p m 一娄e 似 厂叩计f ) 盯g 如 ( 2 5 3 ) 由此得r 寸，+ a t 的粘弹性应变增量 占忡( ，) = 占岬( f + f ) 一占坩( ，) 2 骞屏“) j c t j e - p , ( , - t ) o ( f m 一静“即训酬盯( f m ( 2 - 5 4 ) 若设 以( ，) = f c t , e - p , o - o c r ( r ) d r ( 2 5 5 ) 占”( ，) 2 娄( 1 一e 一胂h ( ，) 一喜+ “q e 刮叫盯( 弦r ( 2 - 5 6 ) 上式中的以( ，) 可由前一时刻的，( f = ，一，) 确定，即 以( ，) = 以( ，+ ，) = f + “c t i e - 届t - r ) 盯( f p r = e 础r “即钟- r 】盯( r k = f 似n e w 叫盯( f 如+ 厂叩俐似r ) 盯( f k ( 2 - 5 7 ) 由式( 2 - 5 5 ) 对以( ，) 的定义，可得 一( ，) = e 一4 “以( ，) + f 、“口，p 一岛( 1 ，+ ，_ r ) 盯( f 弦r ( 2 5 8 ) 堕壹銮望杰堂受塞生堂垡迨塞 兰坚墨 - _ - _ _ _ _ - _ l _ - _ _ l _ _ _ _ _ - - _ - _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 一。 因此，若将总时间划分为f o 、f l 、f 一2 、f 、f i 、f 共m 个时步，与此相对应的时刻为t 。、t 。、一“、t 。、r 。，即 f o = 0 f = ，t l + “一l 设已知时刻气一。寸t 。的粘弹性应变增量a 6 ”也一。) ，当然其相应的j ，( f “) 也是 已知的，则由式( 2 5 6 ) 、( 2 5 8 ) ，下一时步a t 。i p t 。_ f 的a 8 ”以) 及时刻 ，。的a 6 ”“+ ，) 可由以下公式计算 以纯= e - p , a t * - i j ，) + f k - i 口i e - # , ( t t - o a r ( f 如 ( 2 - 5 9 ) 占”以) = 娄( 1 一e 一屏机h 以) 一言e 刮k i f 盯( p r c z _ 6 。) 若设 u “) = r 口j e - 肌“1 仃( f m 则上式可写为 ，以) = p 咱她一j ，( r 。) + 。“一，) 以) ：窆( 1 一e 一 虬h 伉) 一nm 以) t k + 。时刻的占”以+ ) 为 占v e 以+ 。) = 占”以) + 占”“) 对于如图2 1 l 所示的开尔文一虎克( 1 ( _ h ) 模型，其蠕变柔度为 删虿1 如争 因此有”= 1 ，= - 1 r h ，届= e l r , 代入式 ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) 旃口 图2 - 1 1k h 模型 一 要查窒望盔堂堑塞生堂垡迨茎 苎! ! 墨 _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - l - - _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 一 ( 2 - 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 可得 m 以) = 一1rp 一目1 h 盯( f 肌 ( 2 6 5 ) 确叱 j j ( t k ) = e - 与协以也一) + m ( ，。) 占”( ) = ( 1 一e 一5 机m h ( ，) 一以( ，。) ( 2 6 6 ) ( 2 ，6 7 ) 式( 2 - 6 1 ) ( 2 - 6 4 ) 为占”及占”的计算公式。显然，在，。= 0 即刚开 始加载时，占”以) = 占”( o ) = 0 ，且由( 2 - 5 5 ) 应有以“) = 以( o ) = 0 。由此， 可根据递推公式( 2 6 1 ) ( 2 6 4 ) 求得各时刻的s ”。此外，还可以看出， 对某一时刻例如f 。的s ”的计算，其积分区域己由原来的0 j f 。缩小为现 在的“_ ，。，计算工作量显然是大大减小了。 对三维问题，若以、分别表示应力偏张量和应力球张量，则蠕变 型本构方程可写为 占，( f ) = e ( ，) + 占嚣( f ) 岛 = 一m ) 掣加j ( f ) 掣批岛( 2 - 6 8 ) 式中，以( r ) 、，：( ，) 分别为剪切蠕变函数和各向同性压缩蠕变函数。若以0 ” 表示占k ”k ，方表示吼，并将s 。、瓯等用矩阵形式表示，则有 每”( f ) ) = 每”( f ) ) + 护”( ，) p = 一) 掣扎胁) 掣砷 ( 2 - 6 9 ) 其中 孑= 仃船= 盯l l + 盯2 2 + 盯3 3 = 盯j + 仃y + 盯： 西南交通大学研究生学位论文塑! ! 蔓 缸 = b ，s y 屯屯 ， = 【l 110 0 o r 与一维问题相似，以，、口：，及届，、：表示与式( 2 - 6 1 ) 、( 2 - 6 3 ) 中 、属相应的系数，以p ，f 、p ：， 代替，以扛 、孑分别代替原式中的仃， 则本构方程( 2 - 6 9 ) 的计算式可写为 其中 “， 。= p 咱冉“，l + u ，l ( 2 7 0 ) u ：，) 。= e 喝m “p ：，) 一，+ ( ：) 。 k w k ：杰( 1 - e - mn 。一n 口。，k i m oi - o 口w k ：窆( 1 一e 饥乩如：，) 。一杰( ：，k i - of t 0 帆k = r ”卵砌- f b ( 咖r ( 似，x = r ”口z ，e 一如k 1 1 吾( f p r k ”k = k ” + ( 口”x ， ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) ( 2 7 3 ) ( 2 7 4 ) ( 2 7 5 ) ( 2 7 6 ) 访”k + i = 访”k + 协l + l ( 2 - 7 7 ) 式中，p ，k 表示p 。“) ) ，p ：l 表示以，纯) ，其余依次类推。 2 2 4 2 有限元法公式的建立 当同时满足以下条件时，可采用初应变法求解： 材料的流变特性以蠕变型本构方程表示。 总应变中包括瞬时弹性应变及粘性应变，如虎克一开尔文模型及其它 串联有虎克模型的流变模型。 当符合上述条件时，材料的本构方程可写为如下形式： 西南交通大学研究生学位论文第! ! 夏 盯 ，= 【d m 占 ，一 占1 ) ( 2 7 8 ) 上式中的 占”l 代表粘性应变增量，视所选用的流变模型不同，它可以是粘 弹性的、粘塑性的，或者二者之和。 现假设已求得，时刻的应力与变形，而欲求，+ ，时刻结构中的应力及变 形。与式( 2 2 4 ) 相似，若列出时刻，+ f 的平衡方程式，则有 + 肛r + 。d v = 帆+ 。 ( 2 7 9 ) 式中，仁l + 。烈e t + a t 时刻的结点荷载。 将p 。= p ) ，+ 盯) ，及式( 2 - 7 8 ) 代入上式，则有 肛】r p ) 。d v = 肛r 怡) + 盯 ，砂 = 肛】7 p ) ，d r + z 肛r f d p p 矿 艿 ，一b 】7 【d 舡s 9 l d y = 扩 。= 扩 ，+ 妒l ( 2 8 0 ) 令 猷 ，- - a f ，+ 扩 ，一肛】r p ) ，a v + y 肛r f d 舡占” d y ( 2 8 1 ) 则 k 舱酰= 从) ， ( 2 8 2 ) 上两式中，k 】是线弹性总刚度矩阵，它在整个计算过程中是保持不变 的。 艿 ，为t f + f 待求的位移增量。 a r ，可看作在此期间结构所承受 的不平衡结点荷载，其中 ，是r f + f 外荷载的增量， 护l 一肛】r p ) ，d y 可以认为是由于f 时刻p ，的计算误差而“遗留”下来 的不平衡荷载，若计算足够精确，它应该是为零；肛1 r 【d 赂s l d 矿则是 在此期间由粘性应变增量所产生的不平衡结点力。 由式( 2 - 7 0 ) ( 2 7 7 ) 可知，式( 2 8 1 ) 中的 占”l 与 盯 ，+ 。有关， 但 盯 。，也是未知待求的，因此，式( 2 8 1 ) 、( 2 8 2 ) 的求解通常是一迭 西南交通大学研究生学位论文 第2 i 页 代过程。 设计算时间为0 呻丁，对整个时间过程进行离散化，则有 f o = o ，f l ，r 2 ，t 3 ，一，f 。，。“，t m = t 设已求得f = ，。时的) 。、p 。、p ”l 等量，若再以上标珂表示时步 ，。一f 。计算中的第玎次迭代，则式( 2 8 i ) 、( 2 - 8 2 ) 可写为如下迭代公式： k 拾子 ：= 出 ： ( 2 8 3 ) 缄 ：= 盯 。+ 沪 ，一肛】7 b 。d y + 肛r 【d 啦占”等1 d v ( 2 8 4 ) 与此相关的公式有 占 ：= 陋弘艿 ： ( 2 8 5 ) 盯 ：【d 如占 ：一 占v 墨) p ：+ 。= p 。+ 占 ： p ”, i n + = p