（基础数学专业论文）初等算子的范数估计.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代随着这一理论的迅速发展，现在这一理论已成 为现代数学中的一个热门分支它与量子力学、非交换几何、线性系统、控制理论、数论 以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透近年来，为了进一步研究 算子代数的结构，许多学者对初等算子的范数进行了深入的研究在算子代数的研究中， 人们长期关注初等算子的相关理论而对此理论的研究，人们长期关注的问题是初等算子 的范数估计 本文共分三节 第一节为本文的引言与预备知识，我们主要介绍了在本文中用到的符号，定义和后两 节需要的一些定理首先我们介绍了用到符号表示的意义，接着给出了初等算子、数值域 和极大数值域等概念最后，给出了一些常用的结果 第二节我们从数值域的角度给出了b ( h ) 上基本初等算子、 j o r d a n 初等算子，广 义导子和内导子的范数达到上确界和下确界的充分条件，其中b ( h ) 表示无限维可分的复 h i l b e r t 空间h 上有界线性算子的全体组成的b a n a c h 代数，并给出il ，+ ，a | l = l + 2 11 a 1 2 的充要条件 第三节我们研究了几类特殊初等算子的范数，并给出了标准算子代数里f l ，+ 日l | = ，1 + 2 1j a b l | 和i i ，+ 凯，b l l = l + l i aa i i b i i 成立的充分条件 关键词：初等算子；范数；数值域；自伴；极大数值域 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h et h e o r yo fo p e r a t o ra l g e b r a sb e g a ni n1 9 3 0 s t h i st h e o r yd e v e l o p s v e r yf a s ta n dn o wi t i so n eo ft h em o s ti n t e r e s t i n gb r a n c hi nm o d e r nm a t h e m a t i c s i t h a su n e x p e c t e dc o n n e c t i o n sa n di n t e r c a t i o n sw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r y , l i n e a rs y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , n u m b e rt h e o r y8 sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n t b r a n c h e so fm a t h e m a t i c s i no r d e rt od i s c u s st h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，i nr e c e n t y e a r s , m a n ys c h o l a r sh a v ef o c u s e d 、o nt h er e l a t e dt h e o r yo fe l e m e n t a r yo p e r a t o rf o ral o n g t i m e t h em o s ti m p o r t a n tq u e s t i o ni n t h i sf i e l di st h en o r me s t i m a t i o no fe l e m e n t a r y o p e r a t o r t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s w ei n t r o d u c et h es i g n s ，d e f - i n i t i o n sa n ds o m er e s u l t st h a ta r en e e d e di nl a t e rs e c t i o n s f i s to fa l l ，w ei n t r o d u c et h e m e a n i n go fs i g n sw h i c hi su s e di nt h ep a p e r i nt h es e c o n dp l a c e ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n s o fe l e m e n t a r yo p e r a t o r ，n u m b e rr a n g e sa n dm a x i m a ln u m b e rr a n g e s i nt h ee n d ，w eg i v e s o m er e s u l t st h a ta r eu s e di nl a t e rs e c t i o n s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p to fn u m e r i c a lr a n g e t h e nw eu s e i tt og i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e nt h eb a s i ce l e m e n t a r yo p e r a t o r s ，j o r d a ne l e m e n t a r y o p e r a t o r s ，g e n e n r a ld e r i v a t i o na n di n n e rd e r i v a t i o na t t a i nt h e i rl e a s tu p p e rb o u n da n d g r e a t e s tl o w e rb o u n do ft h e i rn o r me s t i m a t i o no nb ( 日) h e r eb ( h ) d e n o t e st h eb a n a n c h a l g e b r a so fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ro nai n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p a r a b l ec o m p l e xh i l b e r t s p a c eh a n dw ea l s og i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e r eil ，+ 。al = 1 + 2 1 1 a l l 2h o l d s i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h en o r mo fs e v e r a ls p e i c i a lc l a s s e so fe l e m e n t a r y o p e r a t o r s w ea l s oc o n s i d e rt h ee l e m e n t a r yo p e r a t o r si ns t a n d a r do p e r a t o ra l g e b r a sa n d g i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h e ni i j + 。b l l = 1 十2 1 1 a i i i i b | | a n dl i ，+ ，b l | = 1 + i i a i i i i b i lh o l d k e y w o r d se l e m e n t a r yo p e r a t o r s ；n o r m ；n u m e r i c a lr a n g e ；s e l f a d j o i n t ；m a x i m a l n u m e r i c a lr a n g e 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 。本人郑重声明：此处所提交的硕士论文初等算子的范数估计，是本人在导师指导 下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部 分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：夏嚷一 日期：w 。7 【 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 初等算子的范数估计系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下 完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以 其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权 曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容 作者签名；聂九 导师签名： 2 日期：y 。7 。爱矗 b 热伊鼍。6 。6 。 曲阜师范大学硕士学位论文 1 引言和预备知识 算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的迅速发展，现在这一理论已成为 现代数学中的一个热门分支它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制理论，甚至数 论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透为了进一步研究算子 代数的结构，近年来，许多学者对初等算子的范数进行了深入的研究在算子代数的研究 中，人们长期关注初等算子的相关理论而对此理论的研究，主要的问题之一就是研究初 等算子的范数，对这一问题的研究目前主要有以下几个方向的成果 1 j g s t a m p f l 在文献 1 】中估计了内导子珥的范数，即珥= i n f 2 l l t - a 川，a c 】以及广义导子的范数i l “，b l | = i n f x ( 1 l a 一划+ i l b 一划 2 m b o u m a z g o u r 在文献 2 】中给出了复h i l b e r t 空间上的算子的范数估计，并推导 出一些不等式用于运用，对任意代数上的j o r d a n 初等算子的范数也给出了估计 3 m b a r r a a ，m b o u m a z g o u r 在文献【4 】中通过数值域的方法，也给出了l l 饧，b | | = l i a i i i i b i i 的充分条件 4 m m a t h i e u 在文献【7 】中提出素的俨代数中i i ，日i i a i i i t b i l 是否成立的问 题，然后由其本人证明了：对于任意代数中的算子a ，b 都有i i ，b | | ；i i a b 5 李绍宽与顾才兴在文献 1 5 中给出了初等算子6 ( x ) = a x b + x d 的一些结论 如恻l = f i a i i i i b i i + l i d i l 的充要条件是帆( a ) n ( d ，b ) 6 r m t i m o n e y 在文献 1 9 】中运用矩阵值数值域及迹类方法给出了代数上的 初等算子的范数公式 本文利用上述学者的研究方法及结论进一步讨论了l l ，+ 。b | l = 1 + l i a i i i i b i i 及 i i ，+ b | i = 1 + 2 1 1 a i i i i b i i 的充分条件，并通过这些充分条件进一步考虑了其他初等算 子的范数 下面我们首先给出本文中将要用到的一些符号 设日为复h i l b e r t 空间，b ( h ) 表示h 上的有界线性算子构成的全体，表示b ( 日) 上的恒等算子r ( z ) 表示复数z 的实部，表示a 的伴随算子 定义1 - 1 对a ，b b ( 日) ，v x b ( h ) ，如果 锄，b ( x ) = a x b ， 1 第一节引言 则称彳红b 为基本初等算子。 定义1 2 对a ，b b ( 日) ，v x b ( 日) ，如果 。b ( x ) = a x b + b x a ， 则称b 为j o r d a n 初等算子 定义1 3 对a ，b b ( 日) ，v x b ( 日) ，如果 则称6 a b 为广义导子 6 a ，b ( x ) = a x x b ， 定义1 4 对t b ( 日) ，v x b ( 日) ，如果 则称西为内导子 定义各种初等算子的范数如下： 西( x ) = t x x t ， l i 彳数，b i l = s u p l l x l l ：i i a x b i i ：x j e i ( h ) ， i j 锡么。b i j = s u p l l x l l ：i i i a x b + b x a i i ：x b ( 日) ) ， l l 以，b i i = s u p l t x l l ：i i i a x x b i i ：x b ( 日) ) ， l l a 2 - i l = s u p l l x l l ；t l l t x x t i i ：x b ( 日) ) 定义1 5 设t b ( 日) ，定义t 的数值域彬( 丁) 为 w ( t ) = ( t 茁，z ) ：z h ，l i = 1 l = 1 ) 集合w ( a ) 的闭包是紧凸集 唧，：善( 志) ，t 。 l0，t=0 2 曲阜师范大学硕士学位论文 定义1 6 设a ，日j e 7 ( 日) ，定义4 + b 关于b 的数值域w b ( a + b ) 为： w b ( a + b ) = 入c ：存在x n h ，j i z n l | = 1 ，使得a = l i m ( a + b x 。，z 。) 7 1 , 且l i mi | b z 。| i = i i b i i 当取a = i 时，上述数值域即关于b 的s t a m p f l i 极大数值域w o ( b ) 定义1 7 若任意( z ，y ) h h ，定义算子( z y ) ：h _ 日为 ( zoy ) ( z ) = ( z ，y ) z v z 三f 定义1 8 若是b ( h ) 的包含所有有限秩算子的一个子代数，则称是一个标准算子 代数 当a 为h 上的自伴算子时，1 a i i = s u p ：) 我们用d i s t = ，y 表示z ，y 间的距离 下面给出一些常用的定理： 弓l 理1 1i l l 若肛w o ( t ) ，i i , i1 1 6 r l l 2 ( i i t l l 2 一i p l 2 ) 证明由p w o ( t ) 知，存在 z 。) n 日，i l z n i | = 1 ，使得 ( t ，z n ) 一p ，i l t z 。i i - l i t l l 设 ) n 日，( z n ，y n ) = 0 ，i l y i i = 1 ，使得 r = 口n z n + 风鲰，k z n = z n ，k y n = 一， 且在 上= 0 从而存在e n _ 0 ，使得 l l ( t k k 丁) = 2 1 z , , i 2 ( i i t i l 2 一i q n l 2 ) 一g 。 因为q n _ p ，故i i 而j i 9 ( i i t i l 2 一川2 ) ； 3 第一节引言 引理1 2i l l 若l i k | | = i i z 。l l = 1 ，且i i k 1 1 2 1 一g ，i i , li i ( x ：x 一，) z 。1 1 2 2 e 证明 l i ( 群一，) z n i l 2 = i i x ：x x n l l 2 2 i i x x n l l 2 + i f z 。1 1 2 2 ( 1 一l i x x 。 2 e 证毕 引理1 3i l l 西= 2 i i t l l 营0 w o ( t ) 证明由引理1 1 知若0 w o ( t ) ，则曲2 1 1 t 1 1 因为对v t ，而2 1 1 t i i ，所以充分性得 证 下证必要性：设i l 曲= 2 1 i t i i ，则 z 。) 。日，_ ) 。b ( 日) ，使得 1 f l i = j l z n i | = 1 ，l i ( 丁一x t ) x n | | 一2 1 r l t 而 i i z n l i _ 1 ，l i t z 。i | _ i i t l l ，f i t x x 。| i _ l i t i i 由l i ( t x 一x t ) x n l | _ 2 i t i i 可知，存在1 1 7 nj i _ o ，使得t x z 。= 一x t x 。+ 蠢 设( t ，) 一p 即p w o ( t ) 因为 ( t x z n ，x x n ) = 一( k 丁z n ，k z n ) + e 他 = 一( t x n ，磷。n ) + g 。 则存在i l e 川一，o 使得 ( t x x 。，k z 。) = 一( t ，) + e ： 由引理1 2 可知t i m n o o ( t x n x 。；k z 。) = 一肛因为4 - # w o ( t ) ，所以0 w o ( t ) 引理j 名若a ，b 0 ，则l i j a , b i | = l i a i l + i i b i l 兮w n ( a ) nw ，( 一b ) d 证明设入吼( a ) nw r ( 一b ) 则存在，g h 使得 l i f l i = | l 夕| i = 1 ， ( a f ，f ) = a i i a i l + ， ( b g ，g ) = - a i i b i l + e 4 曲阜师范大学硕士学位论文 从而存在e 使得 ( a f ，f ) l l a i l = - l l b i i + e ， 因此可定义算子u 如下： u ：- b g i i b i l _ a f i i a i i g _ ， 则必存在e ”使得l i u i i = 1 + g ” 其他证明如同引理1 。2 引理1 5f 翻 对v a ，b ，c ，d j e 7 ( 日) ，下面两条等价： ( 1 ) | l 编，b + 锄，d | i = i i a i i i i b i l + l i c i i i i d i i ( 2 ) 吼( 9 a ) n ( d b + ) 0 且f i a i i = i i a i i i i c i i ，j i d b + l i = i i d i i i i b 证明( 1 ) 号( 2 ) 设l l 纸，b + w g c ，d i j = i i a i i i i b i i + l i c i i i i d i i 则存在( z 。 n h ， ) n b ( h ) 且l i z ，；l l = l l k l = 1 ，使得 j i a i i i i b i i + l i c l i i i d i l = l i m n i i a k b x 。+ c x d z n 对v n 1 ，有 i a x , ，b x 。+ c x , , d x 。1 1 2 = f a x b x 。1 1 2 + i i c x d x 。i f 2 + 2 r ( ( a x b x n ，c x d x n ) ) 由于 i i a k b x n i | i i a i i i i b = , , i i i i a i i i i b i i ， i i c x d z n l | i i c l l l l d x , , i f l i c l | | i d i i 从而 l i r a n l i b = n i | = i i b i i ，l i m 1 i d x n l f = i i d i i 因此 l i m 。( b b x n i i b i l 2 z n ) = l i m 。( d + d x n i i d i l 2 z 。) = 0 取孙= 纽i i b l l 则存在【 nch ，l i r a n z n = 0 ，使得。n = 衙+ z n ，从而存在 n ) ns c ，l i m 。e n = 0 ，使得 a x b x 。，c x d x 釜c 丸骱，x d b 弧) + e 。， 5 第一节引言 因此： t i r r h ( c + a k 鲰，k d b 4 鲰) = l i a i i i i b i i i i c i i i i d i i t i m 1 l ( c * a ) x y i l = l i a i i i i c l l = l i c 。a 1 1 t i m i i ( d b ) 弧i l = i i s l l l l d i l = l o b + 因而可得 1 1 6 p a ，一d b j l = l i a i i i i c l i + l i b l l t l d i i = l i c + a i i + l i d b i i 由引理1 4 知：w ，( c 以) nw ，( d b ) 仍 ( 2 ) 今( 1 ) ，设l i a i i i i c l l = i i v + a l | ，l i b i i i i d i l = i i d b i | 且( a ) nw i v ( d b + ) o 由 引理1 4 知： i c ，一d b | | = i i a i i i i c i i + i i b i i i i d i i 因而存在 z n ) n h ， ) n 冬b ( h ) 且l i i l = l i l = 1 ，使得 t i m 1 i e 饯z n + x , ，d b + z n | l = l i a i i i i c l i + i i b i i i i d i i 如上所证可得：l i r a n l i b + z 。i f = i i b i i 记 磊】- 。h ，l i r a 。锄= 0 则b b + z 。= i i b 酽z 。+ 从而 f t ( c a x d b + 硝= f t m “4 b ) 篙，( c x d ) 篙) = i i a l b i c i d 由此可得：i i - 么 a ，b + 慨d f i = l i a i i i i b i l + l i c l i i i d i i 引理j 6 【a 设若a ，b b ( 日) ，则i l 锄b l | = i i a i i i i b 证明对任意_ ( 】n 汲川z n | l = l ，则 l l 纸，b i i - i i a ，b ( z n 厕s x n 川 = i i b x , 俪b x n ) a x , , l l _ i l l ，衙) ( 瓴，丽a x n ) i = i i 饼饼| | 6 曲阜师范大学硕士学位论文 从而 兹，b | l s u d 1 i b x 1 1 1 2i i a x = 1 1 2 f l = 俐 而l l 以。b i i i a i i i i b i i ，所以 l 锄，b | l = l i a i i l l b i i 引理j 7f 翻若a ，b 为h 上的正算子，定义ho 日上的矩阵算子t 如下： 肚a ：) 则l i t i lsm a x l l a i i ，l i b i i - t - l l o l l 证明记t = ab 。) + 0 1 ：) 则易证 l l a 三) l i m a x 川a | | ，l l b l l ， l l ( 三：) l i = l i c l i 因此可得 j i t i i m a x l l a i i ，l i b i l + i l o l l 引理1 8f 蜀若a ，b ，c ，d b ( 日) ，则 l l 以，b + 结，d | l 【( m a x l l b i l 2 ， i d i l 2 ) + i b d 1 ) ( m a x l l a i z ，i i c l l 2 ) + t i c 刮) 声 证明设x b ( 日) ，z h ，使得i i x l l = 忪j | = 1 而 l a x b x + c x d x l l 2 = l i a x b z l l 2 - i - i c x d x l 2 + 2 r ( ) 7 因为 第一节引言 a x b z l l 2 + i i c x d x l l 2 i i a i l m a x 网1 阮惭y + 驯 取n _ ( 7 0 ，则l i ，b i l i i i i b i i a y + 南一b u l l 由a ，y 的任意性知 慨b | i a s u p( 胁s u 忙p ( 1 1 1 1 w b ab1b + 商励i i ) ) a ( ) i b f i =i j d i i 2 a e w s b 咒a b ) b 悄+ 赢b m( )i l dj | 引理工1 0 【翻若a ，b b ( 日) ，则 f i ，b i ( i i a i i i i b i i + l i m b i i ) ( i i a i i i i b i i + l i b + a i f ) 】； 特别的，若b + a = a b = 0 ，则i i ，日l i = i i a i i i i b i i 证明取引理1 8 中的c = b ，d = a 则 1 1 ，b i l 2 【m a x l l a l l 2 ，i i b | 1 2 + i i a b i i m a x l l a i l 2 ，l l b l l 2 ) + i b + a 设a ，b 都是非零的，因为1 1 ，b i | = i i a i i i i s i i i i ，尚l | 由上式可得： l i ，b i | ( i i a i i i i b i i + i i a b i i ) ( i i a i i i i b i i + l i b a 1 1 ) j ； 若b + a = a b + = 0 ，则l i ，b i | i i a i i i i b i i 而由引理j 9 知l i ，b | | l i a i i i i b i i 从而 l i ，b | i = i i a i i i i b 9 第一节 引言 引理j 1 1 【j 】设a ，b 都不是i 的常数倍，则 州i n f l l a 一划十i | b 一= 怕一划+ i i j e 7 一a o 的充要条件是 w n ( a 一入o ) nw 么( 一( b a o ) ) 0 证明 若仅( a 一入o ) nm 勺( 一( b a o ) ) 9 ，贝4 1 1 6 a b i i = l l j a x o b 一入。i l = l i a a o | l + i f b a o 但因为 l i a x z s l l = i i ( a a ) x x ( b a ) l i i i ( a a ) l i + 1 1 日一a | | 则显然有 j | 6 a ，b i i i n c f l l a a l l + l i b a | 1 ) 从而证明了必要性 下证充分陛不失一般性，我们假设入o = 0 ，对任意给定的a ， 0 ，则存在。，y h ，l i xj l = l l y l l = 1 ，使得 i ( a + 入) 。i 十l i ( s + 久) 秒1 1 l t a i i 十i b i l e 由代数知识知：存在与入选择无关的常数k ，使得 厥 ( a z ，x ) l l a i l + ( b y ，y ) i i b i i 】k ( i a l 2 + ) 若仰( a ) nw ( - b ) 仍，贝0 d i s t w n ( a ) ，w n ( 一b ) 】= j 0 由连续性知：对足够小的入， d i s t w n ( a + 入) ，w k ( 一( b + a ) ) 】 d 2 由凸性及连续性知，任意满足上述条件的z ，y 必满足：对任意小的a ， l ( a z ，z ) l l a t l + b y ，y ) i i b i i l j 4 1n 曲阜师范大学硕士学位论文 从而必存在适当的入使得i a l 6 4 k ( i a l 2 + e ) 但这是不可能的，所以知不是最小的， 从而充分性得证。 引理j 1 2i 功 i j 6 a ，b 1 t = i n f a c i i a 一入1 1 + l i b a l l 】- 证明易知l l 以日| l i n f l l a 一刈+ l i b 一划) 若a ，b 有一个等于c z i ，则只要取入= q 即可取 i n 。 l l a a l | + i l b 一入 1 ) = i i a a 。l i l i b 一入。i l 由引理1 4 和1 1 1 知 1 1 6 a b i i = l i 以一知，b a 。| | = i i a 一入o l l + l l b a o 从而 1 1 6 a ，b i i = i n 。f ij a 一入l i + l i b a i | ) 引理1 1 31 3 1 若a ，b b ( 日) ，则下面两条等价； ( i ) i i i + 确。bj l = 1 + l i a i i i i b i i ( 2 ) 1 1 6 a ，一日| = l i a i l - i - l i b i i 。 证明( 1 ) 净( 2 ) 设i i j + 觞，b l i = 1 - t - l i a i i i i b i i ，则存在 z n ) 。曼h ， 墨) 。b ( h ) 且 i “= i i f i = 1 ，使得对v n 0 ， 1 + l i a i i i i b i i = l i m n l l z n 十a 托b x n 因为 l l k z n + 饯b z 。i i l l k z n i i + l i a x b x n l i 1 + l i a i i i i b 所以有 l i r a 。i i a x b x n i i = i i a i i i i b i i 另一方面，对v n ， z n4 - a x , ，b x n l l 2 = i i x n x 。1 1 2 + i a x 。, b x 竹1 1 2 + 2 r ( z n ，a 墨b z 。) 第一节引言 因此可得： 由于 因此 而对v n 1 ，有 f i 佻( k ，a x , ，b x 。) = j i a i b ( x = z 。，a k b x 。) i l i a k z 。i i l l x , 。b z 。l l ， l i m n i a + 。n | l = l i a i ，l i r a n l l x , , b z 。l l = l i b i i p a ，一b l l i a 十x 。b i l i a z 。+ k b x 。 由于l i r n n i a + k + x , t b x n i i = lj a i i + i i b i i 因此f t 6 a - , - b i i i i a i i + i i b l l 易得 1 1 6 a - - b l l i a i i + l l b l l 从而1 1 6 a ，一b l l = l i a i l + i i b i i ( 2 ) 专( 1 ) 设l l 以，一b i l = l i a 1 + l i b l l 由引理1 4 知；眠( 钟) nw n ( b ) 仍设 p w n ( a ) nw n ( b ) 则存在 z n ) n ，( 鲰 n 日， l z n l = l l y 。 | = 1 ，使得 l i m n l l a + z n l | = i t a l l ，l i m n i i b y 。i l = i t b i i 1 i m n ( a + x n ，x 。) = 肛i i a i ，l i r a n ( b 鲰，y n ) = 肛i i b l l 设( u n ) n 日且l l l | = 1 ，( z 竹，u 。) = 0 则存在q 。，风c ，使得a + z 。= q 。z 。+ 风乱。 则我们必可以找出“。，使得对讹，( a + z 。，) = 阮0 同理设 ) 。日且i l = 1 ，( ，呶) = 0 则存在，文c ，使得 b = 7 n 鲰+ 如，( b ，) = 如0 定义： 1 k ) 。b ( 日) 为 则对所有礼，l i k | l = 1 k = ( 。，) + ( ，) 乱。 ( 弧，a k b 咖) = ( a z 。，h + “t n ) = o g 。石+ 风矗 由 z n ) n ， i l j + 4 a 曰 + a b f l 1 1 k 鲰+ a b i l 1 + f i a i i i i b i = z j m 。fj + 以b 孙f i l i z + 确，b i i 1 + l i a i i i b t i 。 因而i l ，+ 彳红。8 l i = 1 + i i a i i i i b i i 由引理1 1 1 ，1 1 2 ，1 1 3 ，我们可以得到以下的结论 引理1 1 41 3 】对任意a ，b b ( 日) ，下面三个条件等价： ( 1 ) l l z + 确b f = 1 + f i a i i i i b i i ( 2 ) w n ( a ) n ( b ) 谚 ( 3 ) 对所有的a c ，f t a t i 十f i b t f | i a a l i + f b a 引理1 ：1 51 4 1 设为标准算子代数，取z ，y 为日中的正交单位向量定义a = 。，b = 可9 y ，则j l 锄，b l l = i i a i i l l b i i 1 3 第一节 引言 证明由于i f a l i = i i b i i = 1 ，且 ，b ( 7 7 ) = ( fo ) ( fo 叩) ( 7 7o7 7 ) + ( 叼o7 7 ) ( 圆7 7 ) ( o ) = 恁o ，7 ) 因此1 1 。b 1 另一方面，对v xe ，p h ，有 l l i 唿 a b ( z ) p i i 2 = | | ( z 7 7 ，荨) ( | d ，7 7 ) + ( z ，7 7 ) ( p ，f ) 卵2 = ( 。7 7 ，f ) 1 2 i ( p ，7 7 ) f 2 + l ( z ，7 7 ) 1 2 l ( p ，) i 2 i i = 1 1 2 ( 7 7 ) 1 2 + f ) 1 2 ) 1 2 i i = 1 1 2 因此i i ，b f | 1 从而1 1 b i i = j i a f l i i b i i 1 4 曲t 师范大学硕士学位论文 2 从数值域角度估计初等算子范数 本节从数值域的角度得到b ( h ) 上几类初等算子的范数达到上确界和下确界的充分 条件，以及一般情况下jj ，+ 一| j = 1 + 2 1j a i l 2 成立的充要条件 定理2 1 若a b ( h ) ，士l l a l l w o ( a ) 贝l | jj j + 锄，a | i = 1 + l l a l l 2 证明若士a l l w o ( a ) ，则存在 _ ，) 。h 且i l z 。| i = 1 ，使得 从而 因此 取礼一。，则 士i i a | | = l i r a 。一。( a r 。：r 。) ，l i r a a x 。| i = a n a i l 2 = 2 i 砜一( a z n ，z 。) 2 ，+ 锄， i l ( j + 。锄 ) ( z 。z 。) z 。 = f l z 。+ ( a x 。，x n ) a x 。| f 1 + ( a x 。，z 。) 2 1 i ，+ 。锄， i i 1 + l i a i 2 易知i ，+ 锄，j 4 i 1 + j i a 1 2 ，从而 i j + 。g a ，a l l = 1 + jj a i l 2 定理2 2 若a b ( h ) ，+ i i a i i 仇j ) ( a ) ，贝l jjj ，+ ，以i l = 1 + 2 1 1 a i l 2 证明 由士| l a | | w o ( a ) 可得：存在 z ， 。h ，i i z 。| l = 1 ，使得 + t a i l = l i m 。 a x 。，x , d ，l i mj l a x 。i l = j l a n + 。o 1 5 第二节数值域角度估计初等算子范数 对上述满足以下条件， ，+ ，a i i ( z + 锡，a a ) ( z noz n ) z 。l i = l 。n l l 2 x n + 2 a ( x n x n ) a x n l l = 1 2 + 2 ( a x n ，x n ) a x n | i 川l 1 1 2 l l 1 1 2 + 2 ( a x n ，z n ) ( a z n ，z 再) 1 1 取n o 。可得i l ，+ ，a l l 1 + 2 1 1 a l l 2 易证l l + ，a i l l - 4 - 2 1 1 a l l 2 ，所以 l l ，+ ，a | l = 1 + 2 i l a l l 2 定理2 3 若l i a i l w o ( a ) ，则l l ，+ 以，一j t l l = l + 2 1 1 a 1 1 证明若i i a i l w o ( a ) ，则存在 z n ) n 日，l l l | = 1 ，使得l i a i l = l i r a n ( a x 札，z 再) 而 ，+ 占a ，一a i l l l ( z + 以，一a ) ( z noz 珏) z 竹l | = i l z n + a ( ox n ) + ( x n 圆) a j 1 1 + 2 ( a x n ，z n 1 1 取 r t _ o o