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一类时间序列的多重分形分析 摘要 本文基于多重分形理论和分析方法，通过实证分析，分析了实测定像眼动数 据的多重分形性质 本文包括以下几个方面的研究内容： 首先，采用q 阶矩结构分割函数法对双眼定像眼动的水平和竖直运动分支分 别做了多重分形分析结果表明，双眼水平位移时间序列的多重分形性强于竖直 位移序列左右眼水平位移基本一致，左右眼竖直位移也呈现出基本相似的性质 同时还对去除m i c r o s a c c a d e s 后的双眼水平和竖直运动分支做了多重分形分析 发现，去除m i c r o s a c c a d e s 后四列呈现出类似的弱多重分形性质，这表明 m i c r o s a c c a d e s 可能是引起水平和竖直运动分支多重分形性差异的原因之一，也可 能是引起多重分形性的原因之一 其次，采用多重分形消除趋势波动分析法( m f - d f a ) 对双眼定像眼动水平 和竖直运动分支序列做了多重分形分析，得出和q 阶矩结构分割函数法分析类似 的结论通过随机打乱双眼定像眼动水平和竖直各运动分支序列，对其做多重分 形分析，并和打乱之前定像眼动各分支序列的结果比较，发现定像眼动序列的多 重分形性是由序列的长程相关性和胖尾分布两种原因共同作用而成的结果 文中采用两种方法分析所得的结论是一致的，说明了所用方法分析序列多重 分形性质的可行性以及结论的准确性 关键词：奇异谱；奇异强度：多重分形消除波动趋势分析法；长程相关性； q 阶矩结构函数分割法 一类时间序列的多重分形分析 a b s t r a c t b a s e do nt h em u l t i f r a c t a lt h e o r ya n da n a l y s i sm e t h o d ，w ea n a l y z e dt h e m u l t i f r a c t a lp r o p e r t yo ft h ef i x a t i o n a le y em o v e m e n t s t h i sp a p e rc o n t a i n e dt h ef o l l o w i n g a s p e c t s ： f i r s t ，b yu s i n gaq t h o r d e rm o m e n ts t r u c t u r ep a r t i t i o nf u n c t i o nw ea n a l y z e dt h e m u r i f r a c t a l sf o r t h eh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lf i x a t i o n a lm o v e m e n t so f b o t he y e s t h e r e s u r ss h e wt h a tt h e r ew e r ed i f f e r e n tm u l t i f r a c t a ls e a l i n gb e h a v i o rb e t w e e nt h e h o r i z o n t a la n dv e r t i c a lm o v e m e n t s w h e nm i c r o s a c c a d e sw e r er e m o v e d ，t h es c a l i n g b e h a v i o ro fh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lc o m p o n e n t sb e c a m es i m i l a r i ts u g g e s t e dt h a t m i c r o s a c c a d e sm i g h tb eo n eo ft h ec a u s eo fd i f f e r e n c eb e h a v i o rb e t w e e nh o r i z o n t a l a n dv e r t i c a lf i x a i o n a lm o v e m e n t s ，a n da l s om i g h tb et h ec a u s eo fm u l t i f r a e t a l p r o p e r t y s e c o n d ，b yu s i n gm u l t i f r a c t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i sw ei n v e s t i g a t e dt h e m u l f i f r a c t a lp r o p e r t yo ft h eh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lm o v e m e n t so fb o t he y e s ，a n dg o t s i m i l a rr e s u l t sa si nt h eq t h o r d e rm o m e n ts t r u c t u r ep a r t i t i o nf u n c t i o na n a l y s i s a f t e r s h u f f l i n gt h eh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lm o v e m e n t sr e s p e c t i v e l y ，a l lt h es e r i e sh a dw e a k e r m u l t i f r a c t a lp r o p e r t y t h o s er e s u l t sc a nb ed u et ol o n g - r a n g ec o r r e l a t i o n sa n dab r o a d p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n t h ec o n s i s t e n tr e s u l t so b t a i n e db yu s i n ga b o v et w om e t h o d si l l u m i n a t e dt h e f e a s i b i l i t yo ft h et w om e t h o d s ，a n dt h ev e r a c i t yo fr e s u l t sw e r ee n s u r e d k e y w o r d s ：s i n g u l a r i t ys p e c t r u m ；s i n g u l a r i t ys t r e n g t h ；m u l t i f r a c t a ld e t r e n d e d f l u c t u a t i o na n a l y s i s ；l o n g r a n g ec o r r e l a t i o n s ；q t h - o r d e rm o m e n ts t r u c t u r ep a r t i t i o n f u n c t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：至豳亟日期：迎2 三! 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文 在解密后适用本规定 学位论文作者签名：j 豳确导师签名：迓会零 日期：迎zi ：2 y 一类时间序列的多重分形分析 第一章绪论 1 1 多重分形理论的应用背景与现状 分形几何作为一种描述客观世界的几何工具，虽然是在2 0 世纪7 0 年代才提 出来，但是经过了三十几年的发展，它已广泛应用到自然科学和社会科学中的多 个领域，成为当今国际上许多学科的研究热点之一 维数是空间和客体的重要几何参量，在状态空间中维数反映了描述该空间所 需的恰当变量的个数或自由度，自然界物体较曲折的边缘对应着较大的分形维 数，人造的光滑的边缘则对应着较小的分形维数混沌吸引子的分形维数说明了 刻画该混沌吸引子所必需的信息量分形方法作为一种信号分析方法应用范围 比较广泛，应用到时间序列上，目前主要集中在混沌时间序列和非平稳时间分析 上分形维数是分形的主要定量特征应用分形维数进行信号检测是近年来分 形信号研究的热点尽管分形维数具有一定的几何意义，揭示了集合的尺度不变 性或相似性但在实际应用中，仅用单一的分形维数并不能准确的反映分形及其 丰富的特征，无法对其局部进行精确的分析和刻画于是人们在此基础上提出了 多重分形的概念 多重分形又称多标度分形( m u l t i f r a c t a l ) ，是m a n d e l b r o t 在1 9 7 2 年研究 湍流时首先提出的多重分形是研究一种物理量在一个支撑( s u p p o r t ) 上的分 布状况它描述了分形在生长过程中不同层次的特征，每一层次用不同的参量来 表示即多重分形是定义在分形结构上的由多个标度指数的奇异测度组成的无 限集合它刻画了分布在子集上的具有不同标度和标度指数的分形子集的局部 标度性，即用一个谱函数来描述分形不同层次的特征，从系统的局部出发来研究 其最终的整体特征从几何的观点看，组成分形集的若干个子集的分形维数都不 同，但可用一个谱函数表示 近年来对多重分形的分析研究范围很广泛经济学、金融市场、医学到网络 流分析以及生物学都有涉及下面按方法分类作一简单介绍： 1 ) 标准多重分形方法 1 ，2 它是最简单的一种多重分形分析方法，来说明 不同对象的标度不变性，已被大量运用在湍流、基因学和金融数据分析等方面 3 ，4 ，5 y c t i a n 等 6 分析了网络控制系统中网络感应延时问题通过模型 1 一类时问序列的多重分形分析 和仿真实时通信系统得到不规则的网络通信数据，并对此进行了分析结果表 明，网络感应通信延时具有多重分形性且长程相关，此外，还发现网络感应通信 延时没有短期随机性 但是标准多重分形方法形式体系要求时间序列是正规的、平稳的，当时间序 列由于趋势的影响而不平稳或不能正规化后，这种标准形式体系不能给出正确的 结果 2 ) 小波变换模量最大法( t h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m am e t h o d w t m m ) 7 ，8 ，9 ，1 0 这是一种改进了的多重分形体系，用来研究分形的多重标度 性质和非稳定性的自仿对象它基于具有连续基函数的小波变换需要在整个 时间标度上连续小波变换中搜索最大路径，对计算量有着较高的要求且数据结果 的稳定性不是很让人满意 3 ) q 阶矩结构分割函数法( q t h - o r d e rm o m e n ts t r u c t u r ep a r t i c t i o n f u n c t i o n ) 这种方法降低了计算的复杂性，且扩大了分形的应用范围，在物理、 材料、自然图象的处理等方面都有广泛应用能检测出数据是否具有多重分形性 d i n g s h u ni t o 1 1 等运用一些统计工具对1 9 8 7 2 0 0 2 年间台湾每日股价指数 ( t s p i ) 进行了分析发现其呈右偏态频率分布，通过自相关和功率谱分析分别粗 略检测到了长程相关性和标度变化性分析证实了所研究时间序列中多重分形 性质的存在王树珏、田华 1 2 也用此方法对深圳证券市场进行了多重分形分析， 结果表明中国股市存在多重分形特征：同时通过多重分形谱的统计物理计算，得 出中国股市多重分形特征较弱的结论在医学上，p l a m e nc h 1 3 则用此方法分 析了心跳动力系统的多重分形性并对健康和非健康的对象进行了比较，结果表 明，非健康者系统的多重分形性弱些 4 ) 多重分形消除趋势波动分析法( m u l t i f r a c t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o n a n a l y s i so fn o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e s ) 这是k a n t e l h a r d t ，s t e p h a n ( 2 0 0 2 ) 提出的一种新的多重分形分析方法，简称m f d f a 方法 1 4 该方法是一维分形 d f a 方法的推广，而d f a 方法是处理非平稳序列长期相关性的有力工具，因此 m f d f a 使用方法可以稳健地对非平稳序列进行多重分形分析不仅容易被人们 理解和使用，而且对于平稳的时间序列，k a n t e l h a r d t 证明了用m f - d f a 方法得 到的标度指数与用标准多重分形形式体系得到的标度指数相等；对于非平稳的序 2 一类时间序列的多重分形分析 列，则效果又不次于小波变换模量最大法因此，m f - d f a 是一种很好的多重分 形分析方法 卢方元 1 5 应用m f d f a 方法对上海综合指数收益率和深圳成分指数收益 率进行多重分形分析结果表明：上证综指收益率和深成指收益率均呈现多重分 形特征，均存在长程相关性和胖尾分布；深成指收益率序列的相关性程度高于上 证综指收益率序列的相关性程度，从而上证综指收益率的波动性大于深成指收益 率的波动性k m a t i a 1 6 分析了市场1 0 3 0 年间2 9 种商品和2 4 4 9 种股票的 日价格序列，表明商品序列的多重分形谱比股票的广，同时西者的多重分形性主 要是由价格波动引起，其次是由于暂时的价格结构且对于商品而言，价格波动 上更高阶的相关性，意味着更广的多重分形谱p 0 考w i e 1 7 也对德国股市做了 类似的分析 在金融以外的其他领域，m f d f a 理论也有着广泛的应用lt e l e s c a 1 8 分 析了意大利南部地震区的地电数据序列的波动，其多重分形性主要来源于大小波 动的不同长程性指数时间变化呈偏离单分形性，从而增强了地震发生前对信号 的多重分形分析力 p e n g j i a ns h a n g 1 9 分析对象是北京玉泉营高速公路2 0 0 1 1 1 6 2 0 0 4 6 1 7 历时4 0 个月的交通车速时间序列检验了其具有多重分形性，且通过和随机打 乱后数据比较得出其具有长程相关性 1 2 本文的研究方法和对象 本文采用q 阶矩结构函数分割法和多重分形消除趋势波动分析法( m f d f a ) 对实测定像眼动数据进行了多重分形分析通过比较定像眼动序列与去除眼动 的各序列的分析结果，我们可以检验m i c r o s a c c a d e s 对于双眼的水平和竖直位移 性质的不同影响，以及对数据多重分形性质的影响 使用m f - d f a 方法还能够很容易区别两类不同原因产生的多重分形一般说 来，若使用m f - d f a 方法得到数据具有多重分形性，则这可能是由于两种不同原 因引起的：一种是由于序列大小波动的不同长程相关性引起的，另一种则是由序 列的胖尾分布引起的若要检测是由哪种原因引起的，通过打乱数据并随机重排 构成新的序列，如果是由于前一种原因引起的，打乱后序列的多重分形性会丢失， 3 一类时问序列的多重分形分析 从而呈现单分形性；如果后一种原因引起的多重分形性，由于打乱前后序列的概 率分布并没有变化，故数据打乱前后所得的标度指数也相同；如果多重分形性是 由以上两者原因引起，则打乱后序列的多重分形性会比原序列略弱些 数据源自德国波茨坦大学心理学系，是由e y e l i n k - i i 型眼动仪测得的数 据来自5 个正常人约5 0 0 次试验每人大约进行1 0 0 次试验，每次实验周期3 秒，取样率为5 0 0 h z ，空间分辨率 o 0 0 5 0 ，每次试验所得数据包括左右两眼的水 平运动与竖直运动轨迹最后一共得到4 7 4 组有效数据每组数据包含5 列，依 次是时间间隔，左眼水平位移，右眼水平位移，左眼竖直位移，左眼水平位移 对于眼睛水平或垂直运动所得到的位移序列五，i 一1 ，n + 1 ，我们计算其 速率：屹一t o “+ 。一五) ，这里写表示取样比率，在我们的试验数据里毛一5 0 0 h z 在本文中提到的位移序列均是指对其速率时间序列来分析的 1 3 论文安排 第一章绪论介绍了多重分形理论的具体应用，并说明了本文的研究方法 第二章时间序列的q 阶矩结构函数分割法分析运用该方法对数据进行分 析，并给出分析过程及结论 第三章时间序列的m f d f a 方法分析运用该方法对数据进行分析，并给出 分析过程及结论 第四章总结 4 一类时问序列的多重分形分析 第二章时间序列的q 阶矩结构分割函数法分析 q 阶矩结构分割函数法( q t h - o r d e rm o m e n ts t r u c t u r ep a r t i c t i o nf u n c t i o n m e t h o d s ) 是进行时间序列多重分形分析较为直观的方法它是用多重分形谱来 描述归一化后的分形时问序列在不同标度区间的特征，即从系统的局部出发来研 究其最终的特征它不仅使计算复杂性大大降低，而且通过对多重分形谱的计 算，对分形测度在支集上的分布进行了刻画，从而扩大了分形的应用范围 本章详细研究并实现了用q 阶矩结构分割函数法分析眼动位移序列，全面探 讨了定像眼动位移序列的多重分形性质，并对各列的性质作了相互比较发现双 眼的水平位移序列的多重分形性均强于竖直位移序列，但对于左右眼差别较小 同时通过分析去除m i c r o s a c c a d e s 后的位移序列的多重分形性发现，去除 m i c r o s a c c a d e s 后的四列均呈现出较弱的多重分形性，且相互问差异非常小从 而可以说明m i c r o s a c c a d e s 可能是影响双跟位移序列水平竖直运动分支多重分 形性差异的原因之一，也可能是引起多重分形性的原因之一 2 1q 阶矩结构分割函数法 对于给定的时间序列y ( f ) ，使用q 阶矩结构分割函数法进行多重分形分析的 步骤如下： 1 构造归一化序列 t ，即有t o ，荟鼍。1 2 - 1 ) ( 2 ) 将序列 薯) 分为v 个长度为s 的子区间，这样可以得到每个区间上的 盒概率p “妨。k - ( 羡。t ，；1 ，2 ，虬，其中虬l 【s 】 ( 2 - 2 ) ( 3 ) 由此可以得到口阶分割函数： 磨4 乙( s ) 一h o ) i ，其中q 可以取任意的实数( 2 - 3 ) 对变量s ，如果存在如下幂律关系 乙o ) j 砌， ( 2 4 ) 5 一类时间序列的多重分形分析 则当r 臼) 是q 的一次线性函数对或r ( q ) 对目是一条直线时，时间序列是单分形 否则是多分形其中指数f 国) 被称为质量指数( m a s se x p o n e n t ) f ( 留) 可以通过 对乙( s ) 和s 进行双对数拟合而得到这时的f ( q ) 即为分形行为的标度函数 刻画时间序列多重分形特征的另一种方法是奇异谱，似) 由文献【1 9 】知道， a - f 。( 日) ，( 口) 一q a r ( q ) ， ( 2 5 ) 这里口称为h o l d e r 奇异指数( 又成奇异强度) ，它是反映各标度区间奇异程度 的度量而，似) 是口的连续函数，表示a 在序列总的分布中所占的分量 当序列的多重分形特征比较明显的时候，f ( q ) 的非线性程度就比较强， ) 的分布就比较广泛；反之，若，似) 的分布比较窄的时候，时间序列的多重分形 特征就比较弱 2 2 实证分析 本文中对数据进行的分析处理过程全部借助于m a t l a b 语言计算完成原数 据包含五列：时间间隔，左眼跟动水平位移，右眼眼动水平位移，左眼眼动竖直 位移，左眼眼动水平位移 分别对后四列位移序列进行了多重分形分析，并对结果进行比较，发现五个 入的结论基本类似，因此下文仅仅列出其中一名实验者的实验值的多重分形分 析，计算中所得f 0 ) 是该名实验者所做9 8 次实验结果分析的平均值 2 2 1 定像眼动数据分析 下文中将四列：左眼眼动水平位移序列，左眼眼动竖直位移序列，右眼眼动 水平位移序列，右眼眼动竖直位移序列依次简称为h lv lh r ，v r 图2 - 1 给出 的是一次实验的数据点列图 6 一类时间序列的多重分形分析 图2 - 1 一次实验中定像眼动的h l 。h r ，v r 的数据图横坐标是时间间隔，纵坐标 是各列的轨迹图中可见，水平位移似乎比竖直位移波动略大些 分别对四列位移序列进行多重分形分析取不同的s 的值，重复步骤( 1 ) ( 3 ) 为了把全部数据都考虑进去，把数据由后至酶再重复步骤( 2 ) ，第( 3 ) 步中则 是对所有的分割函数求均值由公式( 2 2 ) ( 2 4 ) ，取6 j s s 等，q = - 1 0 ，一9 ，- 8 ，89 ，1 0 ，可求得序列的质量指数f 国) 的估计值 首先考察i o g zo ) 和l o g $ 之间的关系，若不管q 取什么值，数据点都近似 呈一条直线，刘说明对固定的a 值，时问序列具有分形标度特征另外，如果对 于不同的q 值，数据点各直线的斜率各不相同，则表明该时间序列还具有多标度 性，即具有多重分形特征对任意一个位移轨迹做以上分析，均可发现四列数据 都具有多重分形性图2 2 中，以一次实验的轨迹分析作例来说明多重分形性的 存在但图象中并未反映出四列间有何区别 7 一类时问序列的多重分形分析 图2 - 2 四列的l o g z 。0 ) 一l o g s 关系图每幅图象中直线对应的q 值由上之下均依次为 q = - 1 0 ，- 9 ，1 0 其次，考察各列的r g ) 鼋曲线r q ) 的非线性性强弱程度直接反映了时间 序列的多重分形特征的强弱程度通过分析发现四列均具有较明显的多重分形 特征其中，水平方向上位移序n 的r ( q ) q 曲线相似，而竖直方向位移序列的 r ( q ) 一q 曲线类似，且水平的非线性性均强于竖直的，这说明水平眼动位移具有 较强的多重分形性而竖直方向位移序列的f ( q ) 一q 曲线与代表线性趋势的直线 较为接近，故多重分形性稍弱见图2 - 3 8 一类时间序列的多醇分形分析 图2 - 3 四列位移速率序列的f q ) 一q 点图其e e q = - 1 0 ，- 9 ，- 8 ，9 ，1 0 相应得到f 国) 然后，计算离散的口( q ) 的值这里口可以从微商得出，即口国) t 导p 国) ) 离散空问中求极限可采用差分法来求有向前差分，向后差分，中央差分本文 采用中央差分法，即，瓴) 。垒主l 上盥，该式的几何意义即是以二点函数 以+ i 一心- 1 值，瓴+ 。) ，瓴一。) 计算在t 的斜率 计算结果表明水平定像眼动位移的口值范围介于0 4 4 和1 2 5 之间，而竖直 眼动位移的口值仅介于0 7 3 和1 2 1 之间，口值的变化较小图2 - 4 反映了不同口 值时的a ( q ) 对应值的折线图 由离散的口值，可以得对应的f ( a ) 值f ( a ) 关于口变化的基本形状呈二次 曲线，这与理论结果一致同时注意到，水平定像眼动序列的f ( a ) 类似，分布 带均宽于竖直位移分布带，这表明了定像眼动水平位移的多重分形性强于竖直位 移且水平和竖直位移对于左右眼几乎没有区别见图2 5 9 一类时间序列的多重分形分析 图2 4 四列定像眼动位移序列的a ( q 1 - q 分析图 图2 - 5 四列定像眼动位移序列的，( 口) 一口图 1 0 一类时间序列的多藿分形分析 2 2 2 去除m i c r o s a c c a d e s 序列分析 本节中对去除m i c r o s a c c a d e s 后的各位移序列进行多重分形分析目的在于 找出2 2 1 中双眼水平方向和竖直方向位移序列多重分形性不同的原因 分析方法过程同2 2 1 去除m i c r o s a c c a d e s 后各序列的位移图仍然显示了随机性和无规律性图 2 5 显示的是一次实验的四列位移图 一 榔 懈l 蝴 图2 - 5 一次实验中去除m i c r o s a c c a d e s 序列的四列位移序列点图 来看- l o g z 。o ) 和l o g s 之间的关系左右眼水平竖直序列性质几乎都相似 四列不仅皆具有分形性，且分形性质相似 一类时间序列的多重分形分析 图2 - 6 去除m i c r o s a c d e s 序列的l o g z 口o ) 一l o g s 关系图每幅图象中直线对应的q 值由上之下均依次为q _ - 一1 0 - 9 ，1 0 求得f 国) 的估计值后，对v ( q ) 一q 作对应点图，各列折线与代表线性趋势的 直线都只有微弱的偏离，表明水平和竖直位移序列的多重分形性都是较弱的，见 图2 7 同样对口一日作折线图，四列的口值范围几乎一致，都没有太明显的变化， 均只介于0 8 7 和1 1 7 之间四列序列图象上也是呈现高相似性，见图2 8 再由离散口得到对应的， ) 关于口的函数图，得到f ( a ) 的凸性图，说明 存在多重分形性，但f ( a ) 都仅在口的个小范围【0 8 5 ，1 2 1 之间分布，说明四列 位移的多重分形性都较弱见图2 - 9 一类时间序列的多重分形分析 图2 - 7 去除m i c r o s a c c a d c 序列各列的f ( q ) 一q 图 图2 - 8 四列去除m i c r o s a c c a d e 位移序列的a ( q 、一q 图 一类时何序列的多重分形分析 2 3 结论 图2 - 9 去除m i e r o s a c c a d e s 四列位移序列的， ) 一口的图 本章通过运用q 阶矩结构分割函数法，对定像眼动时间序列做了多重分形分 析并相互比较各列的多重分形性结果表明，水平位移序列的多重分形性对于 左右眼是类似的，竖直位移序列也呈现出相似的多重分形性。但前者的多重分形 性质强于后者 为了分析左右眼多重分形性质差异原因，再对去除m i c r o s a a c a d e s 位移序列 做了多重分形性研究此时，水平和竖直序列都呈现出几乎一致的弱多重分形性 从而说明m i c r o s a c c a d e s 可能是引起左右眼球在水平和竖直方向的多重分形性 差异的因素之一，也可能是引起多重分形性的原因之一 1 4 一类时间序列的多重分形分析 第三章时间序列的m f d f a 方法分析 对于时间序列的多重分形性质分析现在常用两种可能的方法第一种是使 用连续小波变换从所有标度的小波变换振幅中获取标度指数，这是2 0 世纪9 0 年代初提出的小波变换模量最大法( w a v e l e tt r a n s f o r m m o d u l u s m a x i m a ) 7 9 该方法是在小波分析的基础上建立的，需要在整个时间标度上连续小波变换中搜 索最大路径，这种方法对计算要求很高，数据结果的稳定性也不是很让人满意。 近年来，k a n t e l h a r d t ，s t e p h a na n de v a e t a l 提出了一种新的多重分形分析 方法一多重分形消除趋势波动分析法( m u l t i f r a c t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o n a n a l y s i s ) ，简称m f - d f a 方法 1 4 该方法是单分形d f a 方法的推广，而d f a 方法 2 0 ，2 1 是处理非平稳序列长期相关性的有力工具 2 2 - 2 6 ，因此m f - d f a 使 用方法可以稳健地对非平稳序列进行多重分形分析m f - d f a 方法与标准多重分 形形式体系以及小波变换模量最大法相e e ，不仅容易被人们理解和使用，而且对 于平稳的时间序列，k a n t e l h a r d t 证明了用m f - d f a 方法得到的标度指数与用标 准多重分形形式体系得到的标度指数相等；对于非平稳的序列，则效果又不次于 小波变换模量最大法因此，m f - d f a 是一种很好的多重分形分析方法 2 7 - 2 8 本章详细研究并实现了用m f d f a 方法分析眼动位移序列发现双眼的水平 位移序列的多重分形性均强于竖直位移序列，但对于左右眼差别较小同时通过 分析去除m i c r o s a c c a d e s 后的位移序列的多重分形性发现，去除m i c r o s a c c a d e s 后的四列均呈现出较弱的多重分形性，且相互间差异非常小从而可以说明 m i c r o s a c c a d e s 可能是影响双眼位移序列水平竖直运动分支多重分形性差异的 原因之一，也可能是引起多重分形性的原因之一 另外为了研究定像眼动序列的多重分形性产生的原因，通过随机打乱数据并 对其作m f d f a 方法分析后，发现四列序列的多重分形性是由长程相关性和胖尾 分布两种原因共同作用的结果 一类时间序列的多蓖分形分析 3 1m f d f a 方法 对于给定的时间序列x ( 0 ，t 一1 ，2 ，月，使用m f - d f a 方法进行多重分形分析 的步骤如下： ( 1 ) 构造累加序列y o ) ， ) ，( f ) 。善一动，= 1 2 ， n ( 3 - 1 ) 其中，；一三罗球) 这里的n 表示序列长度 胆爿 ( 2 ) 把序列 y ( f ) ) 等分成长为s 的m 个互不相交的区间为了使序列 ) ，o ) 的全部数据都进入计算，将 ) ，( f ) 按i 由大到小和由小到大备划分一次，最终总 共得到2 m 个区间 ( 3 ) 对每个区间y ，y 一1 ，j f ，通过最小二乘法拟合f 阶多项式砖。来计算数 据的局部趋势，然后计算方差 当v l ，2 ，m 时 f 2 ( v ，s ) 一；| ；州) 州卜烈z ) 2 ( s 2 ) 当r 。m + 1 m + 2 ，2 m 时 。 f 2 ( r ，s ) 。砉 y p 一( v m ) s + r 卜d q 啦 ( 3 一s ) 拟合多项式的阶数可以为1 ( m f - d f a l ) ，2 ( m f - d f a 2 ) 等等通常要求 兰苫s 之f + 2 4 ( 4 ) 对所有区间上的方差取平均值，最终得到口阶波动函数 聃) = 怯扩s ) n ”4 胙r c 。4 ， 当4 。0 时，波动函数由下式确定 1 6 一类时问序列的多重分形分析 孙) 一p i 石1 善2 u - n 朝 ( 3 _ 5 ) 当日- 2 ，m f - d f a 就退化成标准的d f a 方法为了求出对于s 的依赖度，必 须取大量不同s 值对c o ) 进行计算 ( 5 ) 如果分析好的数据表现出分形性，波动函数c 0 ) 对于s 就存在以下幂 率标度关系 ( s ) 一s ( 3 6 ) 对每个q ， 察l o g ( f q ) 与l o 窖0 ) 的斜率，得到标度指数 ( q ) 的集合| i i ( q ) 被认为 是广义的h u r s t 指数，其中 ( 2 ) 就是我们通常所说的h u r s t 指数如果对所 有q ，均有 ( q ) - h ，则序列是单分形性的特别地，当序列不相关或短程相关 时，| i l ( 鼋) - 0 5 ；当 ( 口) 依赖于口为q 的非线性函数时，序列就是多重分形当q t 0 时，i l ( q ) 描述了时间序列中小波动的标度性质，而鼋0 时 ( 口) 则描述了大波动 的标度性质通常认为厅( q ) 是孽的递减函数 了解了广义h u r s t 指数的谱，就可通过如下的关系计算出奇异强度口和奇异 谱f ( a 1 a - i l ( 日) + q h l ( 日) ，f ( a ) 一q c t 一 ( q ) 1 ( 3 7 ) 这里i l ) 表示 ( 口) 关于孽的导数 当序列的多重分形性质比较明显的时候， ( q ) 的非线性程度就比较强，似) 的分布比较宽反之，若时间序列的多重分形性较弱，则，位) 的分布较窄 3 2 实证分析 本部分分析处理全部借助于m a t l a b 语言完成分别对左眼眼动水平位移、右 眼眼动水平位移、左眼眼动竖直位移、右眼眼动竖直位移四列时间序列做m f - d f a 方法分析，比较实验结果发现对于五名实验者的分析结论基本类似，故仅 列出其中一名实验者实验结果的m f - d f a 方法分析，且计算中所得的 ( q ) 为该 1 7 一类时同序列的多莺分形分析 名实验者所做9 8 次实验数据的分析平均值 3 2 1 定像眼动数据分析 对四列位移数据进行m f - d f a 分析根据公式( 3 1 ) ( 3 6 ) ，取q = 一l o , - 9 ，- 8 ，89 , 1 0 并对固定的q 值，取不同的s 值重复步骤( 1 ) 一( 5 ) ，可 求得各眼动位移速率序列的广义h u r s t 指数的估计值拟合阶数取1 ，2 ，3 ，4 时结论相似，故本文中采用1 阶拟合方法( 即m f d f a l ) 图3 - 1 为一次实验 的l o g ( ) 与l o g ( s ) 双对数图由图中可见，双眼的水平位移序列波动性大于竖直 位移序列，但各自对于左右眼区别较小 图3 - 1 一次实验中四列定像眼动位移序列的i o g c o ) l o g s 关系图每幅图中点列对 应的q 值由上至下依次为q - 1 0 ，一9 ，1 0 对四列序列的9 8 次实验所得 ( 鼋) 分别取平均值后，作 ( g ) 对应于口的点列图 见图3 2 发现四列均具有比较明显的多重分形性其中水平位移序列的 ( 鼋) 对 于q 的波动程度显然要大于竖直位移，说明水平位移序列的多重分形性强于竖直 位移序列，对于左右眼区别则不大 1 8 一类时间序刊的多重分形分析 然后根据公式( 3 - 7 ) 计算离散的a 国) 和，似) 的值其对应点列图见图3 3 我们发现水平位移速率序列的多重分形谱比竖直位移速率序列的宽：水平眼动位 移序列的瑾值介于- o 1 2 9 和0 8 6 7 之间，而竖直眼动位移序列的a 值介于0 0 7 2 和o 7 5 8 之间水平的分布带均宽于竖直位移分布带，这也表明了水平位移的多 重分形性强于竖直位移 表3 - 1 四列眼动序列的广义h u r s t 指数 ( q ) 估计值的平均值其中误差均在 0 0 5 7 8 0 1 8 2 之间 q l - l lv ll i rq r 一1 00 8 0 5 5 90 6 9 4 8 4 8o 7 5 1 9 7 8o 6 8 1 2 4 3 90 7 9 8 5 1 20 6 8 6 9 8 10 7 4 5 1 8 80 6 7 2 4 7 8 80 7 9 0 4 6 3 0 6 7 7 8 8 90 7 3 7 5 7 10 6 6 2 2 0 3 7 0 7 8 1 3 8 50 6 6 7 3 8 4 0 7 2 9 1 40 6 5 0 2 1 7 - 60 7 7 1 2 3 40 6 5 5 3 1 30 7 2 0 0 6 40 6 3 6 3 2 3 50 7 6 0 2 0 30 6 4 1 6 1 50 7 1 0 8 1 20 6 2 0 3 3 1 40 7 4 9 0 3 70 6 2 6 3 8 70 7 0 2 4 3 l0 6 0 2 5 9 5 - 30 7 3 9 6 5 80 6 1 0 3 8 l 0 6 9 7 0 3 80 5 8 3 8 1 2 - 20 7 3 5 2 7 80 5 9 4 0 0 20 6 9 8 0 9 90 5 6 4 9 5 3 l0 7 3 9 1 9 7 0 5 7 7 3 2 4 0 7 0 8 9 5 90 5 4 6 9 2 5 o0 7 3 4 4 50 5 5 7 9 7 3 o 7 1 0 0 3 60 5 2 9 0 1 5 l0 6 0 6 0 2 90 5 2 6 70 。5 9 9 4 8 40 4 9 6 2 9 6 20 3 6 4 5 3 10 4 7 7 3 9 90 3 7 4 5 7 70 4 3 7 7 1 6 3 0 2 1 4 8 5 1 0 4 2 0 8 1 80 2 2 6 0 2 50 3 7 0 6 4 7 40 1 3 5 4 2 90 3 7 1 6 4 6o 1 4 4 4 9 50 3 1 5 7 7 50 0 8 7 1 6 60 3 3 3 3 0 50 0 9 4 3 20 2 7 4 5 0 3 60 0 5 4 3 5 90 3 0 4 1 90 0 6 0 1 3 70 2 4 3 6 9 7 0 0 3 0 4 2 6o 2 8 1 8 3 40 0 3 5 2 7 10 2 2 0 2 5 80 0 1 2 1 6 6 0 2 6 4 3 3 90 0 1 6 3 4 80 2 0 1 9 1 7 9- 0 0 0 2 2 30 2 5 0 3 7 3o 0 0 1 4 6 80 1 8 7 3 1 9 1 0- 0 0 1 3 8 70 2 3 9 0 1 50 0 1 0 5 3o 1 7 5 4 8 4 1 9 一类时间序列的多鼋分形分析 图3 - 2 四列位移序列的 ( 牙) 一q 散点图 图3 3 四列眼动序列的( a ) 一a 图 2 0 一类时问序列的多重分形分析 3 2 2 去除m i c r o s a c c a d e s 序列分析 对去除m i c r o s a c c a d e s 序列进行m f d f a 分析可求得去除m i c r o s a c c a d e s 后 的各位移序列的广义h u r s t 指数的估计值本部分采用的是1 阶拟合( 即 m f d f a l ) 通过分析可知，去除m i c r o s a c c a d e s 后的四列序列具有非常相似的分形性图 3 4 和图3 5 很好的说明了这一点因此可以说明，原来各列数据中多重分形性 的差异可能是由m i c r o s a c c a d e s 引起的且去除m i c r o s a c c a d e s 后序列的多重分形 性都较弱，故m i c m s a c c a d e s 也可能是引起多重分形性的原因之一 图3 _ 4 去除m i c r o s a c c a d e s 之后序列的 ( q ) 一q 对应图 一类时间序列的多蕈分形分析 图3 - 5 去除m i c r o s a c c a d e s 后序列的，( 口) 一a 对应图 3 2 3 定像眼动位移序列的多重分形成因分析 引起数据出现多重分形性质的原因有很多，一般两种原因引起的多重分形性 很容易通过m f - d f a 方法来检验：一种是由于时间序列的长程相关性引起的； 另一种情况下，时间序列虽然不相关但是具有胖尾分布使用m f d f a 方法则能 够很容易区别出仅由长程相关性或仅由胖尾分布存在而产生的多重分形 对于给定的呈现出多重分形性的时间序列x o ) ，将其打乱、随机重排构成新 的序列x v ) ，使用m f d f a 方法求新的序列的x v ) 的广义h u r s t 指数h ) 如 果多重分形性仅由序列x ( t ) 的长程相关性引起，则由于打乱后的序列石t ( f ) 不存在 相关性，从而 - ( 鼋) 一0 5 ；如果序列的多重分形性是由石( f ) 的胖尾分布引起的， 则由于打乱序列前后序列的概率分布相同，从而 ( g ) 一| i l ( q ) ；如果多重分形是由 上述两种原因引起的，则打乱后的序列z i ( f ) 的多重分形性要弱于x ( f ) 将四列定像眼动位移序列随机重排数次后，使用m f - d f a 方法估计计算其广 义h u r s t 指数h ( q ) 其值见表3 2 ，误差均在0 0 2 2 一o 1 3 5 之间h f ( q ) 对碍的点图 一类时间序列的多重分形分析 如图3 - 6 所示比较表3 - 1 和表3 2 、图3 2 和图3 - 6 ，可以发现： 1 当q 0 时，几乎所有的h ) 估计值