（基础数学专业论文）在一定条件下的所有cpp单群.pdf

蓁冀雾蓁 i 薹l 蓁主；薹蚕| 囊，萋；主i ! 二_ 主! 耋雪霎 薹! 兰 i ；：蚤匡| l 墓雾 薹墓蓁| 萋重i 叁三譬 薹耄薹薹耋妻薹茎i霎；：耋 薹薹妻。i 薹薹耄；霎垂：兰i i 主主薹_ _ 三i ；茎i 囊蓁蓁蓁j 薹妻i 薹霉釜i 喜i ? 重雏萌l 鬟童囊囊! ! 茎妻要妻耄一l l 至萎! i 茎茎i ! ；雾i 薹薹竺三丽掌? 至差i 妻；薹霎羹薹! 委茎三喜乏饕；蓁耋耋譬蓄萋垂j 季囊妻三至霎囊? 塞蓁薹萋= 霎主! 垂量委茎茎茎i ! 薹! 耋；喜霎耋! ! ! l 童誊堇；霎妻；妻至蓁萤耋主季妻薹! 妻誊誊耋至雪王乏霎奏i 隆l 垂薯曩雾塞主霎霎霎：至荸雾三i ；茎茎鎏i ；妻茎耋耋；蓁薹薹主； 羹塞；重蓁霎i 主霎枣i i 耋i 蓁耋蠢= 霪垂蓁i 冀囊萎墓k 堡j 薹蓁鍪囊芦妻薹蓁! 蓁薹羹小囊l ；l 喜差差霖型重 篓雾茎羹! ；耋；薹茎葡ik 叁羹一一囊蓁。羹| 薹雾| 蓁妻：冀囊蓁羹萋；雾| 蓁i 茎茎主妻i 主薹一萋萋! i 重i 羹享；善薹耋、霪墓耋妻妻量i j 曩扪i i 蒌霎墓i 高j 薹| 霎霎! 塞；妻要霪羹一酝雪l 垂囊耋墓耋一霎；3 ；鏖霪量目霉萼 囊嘉i 耄耄| 詈霉：i 薹差委垂暮孽；耋! ；至茎季i 。蓁li j 一主茎l i 垂i ? j ! 皆匿雾鼙荔。雾茎i 薹蠹髫糍茎堇鐾鐾；奏善于宁j 宴 x 在一定条件下的所有单群 基础数学专业硕士研究生李明辉 指导教师曹洪平副教授陈贵云教授 摘要 本文定出了所有的有限c 茹单群，其中p 是素数，且p = 2 。驴+ 1 ，q ，p 为非 负整数 文章的主要结论如下t 定理3 2 设p 为2 q 驴+ 1 ( q ，p 0 ) 型素数，则所有c 品单群g 由下表给 出t pc 品单群 2 a 5 ，山；a l ( 口) ( 口为f e r m a t 素数，m e r n n e 素数或q = 2 m ，m 3 ) ， a 2 ( 2 2 ) ，2 b 秒+ 1 ( m 1 ) 3 a 5 ，a 6 ；a l ( 口) ( g = 2 3 ，3 “+ 1 ，或2 3 ”士l 为素数，m 1 ) ，a 2 ( 2 2 ) 5a 5 ，a ，a 7 ；尬l ，；a l ( g ) ( 口= 7 2 ，5 m ，2 5 ”士1 为素数，m 1 ) ， a 2 ( 2 2 ) ，q ( g ) ( g = 3 ，7 ) ，2 a 3 ( 3 ) ，2 岛( g ) ( q = 2 3 ，2 5 ) 1 1 a 1 l ，a 1 2 ，a 1 3 ；尬1 ，尬2 ， 锄， 锄， 勉以，日s ，s z ，d n ，m c l ，c 0 2 ； a 1 ( 口) ( q = 3 5 ，1 1 m ，2 1 1 m 士1 为素数，m 1 ) ，a 4 ( 3 ) ，a 5 ( 3 ) ， 晚( 3 ) ，g ( 3 ) ，既( 3 ) ，风( 3 ) ，2 a 4 ( 2 2 ) ，2 a ( 2 2 ) 1 7 a 1 7 ，a 1 8 ，a 1 9 ；乃，日e ，如，；a l ( 口) ( q = 1 6 ，1 7 m ，2 1 7 m 士1 为素数， m 1 ) ，q ( 4 ) ，a ( 2 ) ，毋( 2 ) ，2 风( 2 ) ，2 风( 2 ) ，2 玩( 2 2 ) 4 1 山l ，a 4 2 ，a 4 3 ；f 1 ；a l ( 口) ( 口= 3 4 ，4 1 ”，2 4 1 m 士1 为素数，仇1 ) ， 玩( 3 ) ，a ( 3 ) ，2 易( 2 5 ) ，2 d 4 ( 3 2 ) i 2 眈( 3 2 ) 2 f o u a 丽n 争u p p( ks i m p l eg r o u p s p = 2 2 “+ 1厶，a 舛1 ，4 + 2 ；a 1 ( g ) ( 口= 2 护，矿，印“士1a r ep r 岫，仇1 ) ， c 茹( 2 2 6 ) ( 口1 ，n + 6 = n ) ，2 d 2 口( 2 妒) ( d 2 ，口+ 6 = 佗) ， 2 d 加+ l ( 2 ) ( n 2 ) ，乃( 2 m ) ( 仇l ，4 m = 2 n ) e 1 8 屺 岛，a p + 1 ，4 + 2 ；a l ( g ) ( g = 矿，妒士1a r ep r i m e 8 ，m 1 ) k e yw o r 凼：s i m p l e 寄o u p s ( k 口o u p s8 i m l eg r o u p sd fl i e 帅ed i o p h a n t i n e e q u a 土i o 珊 5 1引言 确定满足某些条件的群足群论中一个重要的研究课题，本文所研究的c k 群正 是根据一定条件定出的群 一个群称为q p 群，如果它的p 阶元的中心化子为p 群本文所研讨的g p 群均 为有限群，文中所提到的不定方程有解是指有整数解，不定方程无解是指无整数解 1 9 6 1 年，文献【1 】中s u z u hm 最先定出所有的锄单群，它们是a 5 ，a ，a l ( g ) ( g 为f e r m a t 素数，m e r n n e 素数或口= 2 m ，仇3 ) ，a 2 ( 2 2 ) ，2 磁m + 1 ( 7 7 l 1 ) 十多年 后，文献【2 1 中a r a dz 给出了所有的c 单群，它们是如，a ，a 1 ( g ) ( 口= 2 3 ，3 ”+ 1 ， 或2 护士1 为素数， m 1 ) ，a 2 ( 2 2 ) 1 9 8 1 年，文献【3 】用有限单群分类定理得 出了氏单群随后，陈重穆教授和施武杰教授发现文献 3 】中出现遗漏的同时， 用有限单群分类定理确定了当p 为素数，且p = 2 0 3 卢+ 1 ，口，p 为非负整数时所 有的c 单群，见文献【4 1 文献【4 】的最后作者留下了这样一个问题t 当p 不是 2 口扩+ 1 ( q ，p 0 ) 型素数时，如何确定g p 单群? 本文针对这个问题展开讨论，并 定出了当p 为2 0 5 口+ 1 ( q ，p 0 ) 型素数时所有的c 品单群 本文也运用有限单群分类定理并得出以下定理； 定理3 2 设p 为2 0 驴+ 1 ( q ，p o ) 型素数，则所有c k 单群g 由下表给 p单群 2 a 5 ，a 6 ；a 1 ( g ) ( 口为f e r m a t 素数，m e r s e n n e 素数或口= 2 ”，仇3 ) ， a 2 ( 2 2 ) ，2 霹”+ 1 ( m 1 ) 3 a 5 ，a 6 ；a l ( g ) ( g = 2 3 ，3 “+ 1 ，或2 3 m 士1 为素数，仇1 ) ，a 2 ( 2 2 ) 5 a 5 ，山，a 7 ；尬l ，m 如；a 1 ( g ) ( 口= 7 2 ，5 m ，2 5 仇士1 为素数，m 1 ) ， a 2 ( 2 2 ) ，q ( 口) ( 口= 3 ，7 ) ，2 a 3 ( 3 ) ，2 玩( 口) ( g = 2 3 ，2 5 ) 1 1 a 1 l ，a 1 2 ，a 1 3 ；尬l ，尬2 ， 锄，a ， 锄，以，曰s ，s z ，d n ，m 以，c d 2 ； a l ( g ) ( 口= 3 5 ，1 1 ，2 1 1 m 士1 为素数，m 1 ) ，a 4 ( 3 ) ，a 5 ( 3 ) ，风( 3 ) ， g ( 3 ) ，d 5 ( 3 ) ，d 6 ( 3 ) ，2 a 4 ( 2 2 ) ，2 a 5 ( 2 2 ) 6 续 pc 茹单群 1 7 a 1 7 ，a 1 8 ，a 1 9 ；以，日e ，f 嚣，足4 ；a l ( g ) ( g = 1 6 ，1 7 m ，2 1 7 ”士1 为素数，m 1 ) ，q ( 4 ) ，q ( 2 ) ，只( 2 ) ，2 d 4 ( 2 ) ，2 d 5 ( 2 ) ，2 屁( 2 2 ) 4 1 山l ，如，钆；f 1 ；a 1 ( g ) ( 口= 3 4 ，4 l m ，2 4 1 m 士1 为素数， m 1 ) ，玩( 3 ) ，a ( 3 ) ，2 8 2 ( 2 5 ) ，2 风( 3 2 ) ，2 d 5 ( 3 2 ) p = 2 2 ”+ 14 ，钳l ，缸2 ；a l ( g ) ( 口= 2 垆，矿，2 矿士1 为素数，仇1 ) ， ( 2 炉) ( 口1 ，n + 6 = 竹) ，2 见。( 2 2 6 ) ( 口2 ，口+ 6 = 礼) ， 2 翰+ 1 ( 2 ) m 2 ) ，乃( 2 m ) ( m 1 ，4 m = 2 ，1 ) p 为其它4 ，a p + 1 ，2 ；a 1 ( g ) ( 口= 矿，妒士1 为素数，m 1 ) 7 2预备引理 作为准备，我们先给出一些引理 引理2 1 设p ，g 为素数，a ，p 是非负整数，则不定方程矿一矿= 1 的整数解 为- ( o ) 口= 1 ，p = 0 ，p = 2 ； ( 6 ) 卢= 1 ，p = 2 ，g = 2 。一1 ； ( c ) a = 1 ，p = 2 卢+ 1 ，口= 2 ； ( d ) q = 2 ，p = 3 ，p = 3 ，g = 2 证明见文献【4 】 引理2 2 不定方程z 2 + 圹= 名2 满足( z ，可) - l ，2 i 可且z o 的全部整数解为 z = 口2 6 2 ，z = 2 0 6 ，z = 0 2 + 6 2 ，其中n ，6 是一奇一偶，且满足( 口，6 ) = 1 的任意整 数 证明见文献【5 j 引理2 3 不定方程护+ z + 1 = 旷，p 为素数当p = 3 时，解为z = 1 8 或 1 9 ，可= 7 ；当p 3 时仅有解z = 0 ，可= 1 证明见文献【6 ，7 】 引理2 4 对于不定方程护+ 1 = 2 旷， ( 1 ) n 3 时，其整数解为 ( a ) z = 士1 ，耖= 士1 ，当矽= 一1 时，n 为偶 ( b )佗= 4 ，z = 士2 3 9 ，耖= 士1 3 设矽= p 为2 。5 卢+ 1 ( q ，p o ) 型素数， ( 2 ) 佗= 1 时，其整数解为 ( a )z = 士3 ，p = 5 ( b )z = 士9 ，p = 4 1 ( 3 ) 亿= 2 时。其整数解为 z = 士7 ，p = 5 证明( 1 ) 见文献【8 ，9 】 8 从而解得z = 士7 ，p = 5 此时口= 2 ，6 = 1 ，c = n 一6 = 蕊，符合题意 引理2 5 对于不定方程z 2 + z + 1 = 3 旷 ( 1 ) n 3 时，其整数解为 z = 1 或一2 ，= 1 设! ，= p 为2 0 酽+ 1 ( q ，p 0 ) 型素数， ( 2 ) n = 1 时，此不定方程无整数解 ( 3 ) 礼= 2 时，此不定方程无整数解 证明( 1 ) 见参考文献f 4 】 ( 2 ) n = 1 时，由z 2 + z + 1 = 劬，配方得 扛+ 2 ) 忙一1 ) = 3 2 。酽 于是有 二二；三i 驴c t ，或 三二；三三二2 口c t t ，或 二二：三三矿 c t ，t ， 或 z + 2 = 3 5 芦( i v ) 或 z + 2 = 驴( v ) 或 z + 2 = 3 ( v i ) iz 一1 = 2 口iz 一1 = 3 2 aiz 一1 = 5 尹 。 由( i ) 得2 a = 3 - 驴+ 3 ，易知( 3 驴+ 3 ) 耋0 ( m d 招) ，而2 口不然，故方程组( i ) 无 由( i i ) 得驴= 3 2 口一3 ，易知( 3 2 。一3 ) 兰0 ( 仇d d 3 ) ，而5 口不然，故方程组( i i ) 无 解 由( i i i ) 得5 2 n = 6 ，易知6 三0 ( m d 粥) ，而5 2 口不然，故方程组( 豇i ) 无解 由( i v ) 得2 口= 3 5 卢一3 ，易知( 3 5 卢一3 ) 三o ( m o d 3 ) ，而2 a 不然。故方程组( i v ) 无 解 由( v ) 得护= 3 2 口+ 3 ，易知( 3 2 口+ 3 ) 三0 ( m o d 3 ) ，而驴不然，故方程组( v ) 无 解 由( v i ) 得5 2 d = 0 ，显然方程组( v i ) 无解 因为方程组( i ) ( i i ) ( i i i ) ( i v ) ( v ) ( ) 均无整数解，故不定方程护+ z + 1 = 劬无整数解 1 0 续表 i 序号 方程解t r 口p mn ( 8 )g 一1 = 矿 3 5 1 1 2 矿+ 1p n 为素数 ( 9 ) 2 2 仇+ 1 + 2 ”+ 1 + 1 = 矿 4 l2 1 ( 1 0 )2 2 m + 1 2 m + 1 + l = 矿 511 522 ( 1 1 )3 2 m + 1 + 3 m + 1 + 1 = 矿 无解 ( 1 2 )3 毓+ 1 3 m + 1 + 1 = 矿 无解 ( 1 3 ) 2 4 m + 2 + 2 3 ”+ 2 + 2 2 m + 1 + 2 刑。1 + l = 矿 无解 ( 1 4 ) 2 4 m + 2 2 3 m + 2 + 2 2 饿+ 1 2 m + 1 + 1 = 矿无解 ( 1 5 )9 8 士q 7 千9 5 一9 4 千9 3 士口+ 1 = 矿 无解 ( 1 6 ) 垡8 一9 6 + 矿一9 2 + 1 = 矿无解 证明( 1 ) ( 2 ) 9 2 士q + 1 = 矿 ( i ) n = l 时，有矿士g = 2 5 声，即窖士1 ) = 2 。5 多，所以g = 2 。，g 士1 = 5 卢， 或者g = 5 口，g 士1 = 2 a ，推出2 。一5 卢= 士1 当2 。一酽= 1 时，由引理2 1 解得 q = l ，多= o ，p = 3 ，g = 2 为矿一g + l = 矿之解；当铲一驴= 一1 时，由引理2 1 解得q = 2 ，p = 1 ，此时p = 铲驴+ 1 = 2 1 ，矛盾 ( i i ) n 2 时，设n 有素数因子t ，则不定方程化为q 2 土留+ 1 = ( 矿，) 。，由引理 2 3 知不定方程无解 ( 3 ) q r 一1 + 口r 一2 + + q + 1 = p ” 由文献【1 0 】知p 为1 + 打型，或p = r 且几= 1 若p = 1 + 七r ，则ri2 n 驴，由r 为奇素数得r = 5 ，方程化为9 4 + q 3 + 9 2 + 口+ l = ( q 5 1 ) ( g 一1 ) = 矿由文献【1 1 】知此方程仅有解为g = 3 ，p = 1 1 ，竹= 2 若p = r 且n = 1 ，贝4 由g r 一1 + 口r 一2 + + g + 1 = r 得g r 一2 ( 口+ 1 ) + + 1 = r ， 因此g r 一2 f ，这仅当g = 2 ，r = 3 时成立，但p = 7 为2 口驴型素数，矛盾 由本引理中不定方程( 3 ) 的解可得七= 3 或5 当后= 3 时，由文献【4 】知不定方程 无解当七= 5 时，t = 3 ，p = 1 1 ，扎= 2 为解 当七= 1 时，则t = 2 矿+ 1 为奇素数，。即g = 矽+ 1 为奇素数 ( 9 ) ( 1 0 ) 2 纫件1 士2 m + 1 + 1 = 矿 上式可化为( 2 “+ 1 士1 ) 2 + 1 = 2 矿由引理2 4 知 ( i ) 扎= 1 时，2 m + 1 士1 = 士3 ，p = 5 或2 m + 1 士1 = 9 ，p = 4 1 易知m = 2 ，p = 4 1 为不定方程( 9 ) 的解，m = l ，p = 5 为不定方程( 1 0 ) 的解 ( i i ) 死= 2 时，2 m + 1 士l = 士7 ，p = 5 易知m = 2 ，p = 5 为不定方程( 1 0 ) 的 解，不定方程( 9 ) 无解 ( i i i ) n 3 时，2 m + 1 士1 = 士2 3 9 ，p = 1 3 ，几= 4 ，矛盾 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 3 加+ 1 士3 m + 1 + 1 = 矿 令z = 3 m + 1 士1 ，于是上式化为妒士z + 1 = 矽由引理2 5 知 ( i ) n = 1 或2 时，不定方程无整数解； ( i i ) n 3 时，解为z = 1 或2 沪= 1 ，矛盾 故( 1 1 ) ( 1 2 ) 方程无解 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 2 4 m + 2 士2 3 m + 2 + 2 细+ 1 士2 ”+ 1 + 1 = 矿 由文献【4 】讨论知佗为奇数，且m + 1 = 口，n = 1 或3 ( i ) 几= 1 时，( 2 加+ 1 + 1 ) ( 2 m 4 土1 ) = 5 卢，于是2 拥+ 1 + 1 = 驴- ( 岛p ) 由引理 2 1 知角= 1 ，2 2 刑1 + l = 5 ，此时m = 昙，矛盾 ( i i ) n = 3 时，原不定方程化为 ( 2 2 m + 1 + 1 ) ( 2 m 士1 ) = 5 p ( 3 + 3 2 仇+ 1 5 卢+ 2 2 m + 2 5 卵) 设2 加+ 1 + 1 = 5 七，因2 加+ 1 + 1 为奇数，故2 加+ 1 + 1 兰5 ( m o d l 0 ) ，则2 咖+ 1 量 4 ( m d d l o ) ，即2 m + 1 兰2 ( m d d 4 ) ，矛盾故5 十( 2 枷+ 1 + 1 ) ，故驴i ( 2 m 士1 ) 若 驴i ( 2 m + 1 ) ，则m 三2 ( m d 以) ，所以2 m + l 兰1 ( m d 以) ，故2 + 1 + 1 兰3 ( m d d l o ) ， 因此( 2 加+ 1 + 1 ，2 m + 1 ) = 1 ，即驴= 2 m + 1 ，由引理2 1 知m = 2 ，p = 1 易知此不 是不定方程的解若5 卢l ( 2 m 一1 ) ，同理知( 2 + 1 + 1 ，2 m 一1 ) = 1 ，即护= 2 m 一1 ， 由引理2 1 知m = 1 ，= 0 易知此亦不是不定方程的解 1 4 故( 1 3 ) ( 1 4 ) 方程无解 ( 1 5 ) 9 8 士9 7 千9 5 一9 4 千9 3 士口+ 1 = 矿 ( 1 6 ) 9 8 一9 6 + 9 4 一9 2 + 1 = 矿 用m a t l a b 编程求解，知不定方程( 1 5 ) ( 1 6 ) 无解 或p = 5 ，m = n = 2 于是群2 岛( 2 3 ) 与2 岛( 2 5 ) 均属于氏单群； ( d ) 当2 加+ 1 + 2 + 1 + 1 = 矿时，由引理2 6 知，此方程的解为p = 4 l ，m = 2 ，n = 1 于是群2 易( 2 5 ) 属于a 1 4 1 。单群 注在q ，p 取某些特定值时，p 为铲驴+ 1 ( q ，p 0 ) 型素数与p 为2 a 5 卢+ 1 ( a ，p 0 ) 型素数可能相等的值为p = 2 2 ”+ 1 由表i i 和表i i i 可知当p = 2 矿+ 1 时，表i i 和表i i i 中所有的c 锄单群完全一致 问题与思考 问题1 当q ，p ，n 1 0 0 时引理2 6 中不定方程( 5 ) ( 6 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 是否有其它的 解? 问题2 当p 不是2 口妒+ 1 或2 0 护+ 1 型素数时，其中q ，p o ，如何确定 单群? 1 9 4 附录 程序1 求不定方程9 4 十9 3 + + g + 1 = 5 ( 2 。5 口+ 1 ) n 的解 f u n c t i o n 【d 】= 删i e ( q ) ； q 为存有若干个整数元素的数组 t q = 8 i z e ( q ) ；q 的维数 k q = t q ( 2 ) ；q 中元素的个数 m = 1 ： f o r8 = 1 ：1 0 0 q 取1 1 0 0 内的整数值 f o rt = 0 ：1 0 0 p 取0 - 1 0 0 内的整数值 f o ri = 1 ：k q f o rj = 1 ：1 0 0 扎取1 1 0 0 内的整数值 i f q ( i ) 4 + q ( i ) 3 + q ( i ) 2 + q ( i ) + 1 = = 5 木( 2 。车5 。+ 1 ) j f d ( m ，1 ) = q ( i ) ；存放使得方程成立的口的值 d ( m ，2 ) _ j ；存放使得方程成立的n 的值 d ( m ，3 ) = 8 ；存放使得方程成立的a 的值 d ( m ，4 ) = t ；存放使得方程成立的卢的值 m = m + 1 ；方程有m 一1 个解 e n d e n d e n d e n d e n d 程序2 求不定方程口8 一口6 + 口4 一q 2 + 1 = ( 2 。酽+ 1 ) “的解 f u n c t i o n 【d 】- 触l j i e 2 ( q ) ； t q = s i z e ( q ) ； k q = t q ( 2 ) ； m = l ： f o rs = 1 ：1 0 0 参考文献 【1 】s u z u k i m f i n i t e 黟o u p 8 耐t h n i l p o t l 印吐c e n t e a l i z e 碍 n a 衄a m e rm a t h s o c 1 9 6 1 ，9 9 ( 3 ) ：4 2 孓4 7 0 ； 【2 j 舡a dz ac l a 鹤迈c a t i o no f3 c g 掣o u p s 眦d 印p l i c a t i o n st og l a u b e m 觚g o l d s c h 嘶d t t h e o e m j o u r n a lo f 灿g e b r a 1 9 7 6 ，4 3 ：1 7 昏1 8 0 ； 【3 】j s w i l l i a m s p r i l eg r 印hc b l p o n e n t 80 ff i n i t eg r o u p s j o 啪a l lo fa l g e b r a 1 9 8 1 ， 6 9 ：4 8 7 5 1 3 ： 【4 1 陈重穆，施武杰关于c 品单群西南师范大学学报( 自然科学版) 1 9 9 3 年第1 8 卷第3 期； 【5 】张广祥抽象代数一理论、问题与方法科学出版社北京：2 0 0 5 ，7 1 7 4 ； 【6 1n a g e ut d 够6 9 u a t i o 璐i n d 6 t e r m j n t 6 e s 奎2 + z + 1 = 旷e t 户+ z + 1 = 3 毫，“n o r s k e m a lf 0 r e n i i l 伊s bs e r i 鹤i 1 9 2 1 ，2 ：1 2 一1 4 ； 【7 】l i u n g g r 印w e h l 瞬b e 咖k u n g 饥曲e rd i ed a r s t e u u n gg 粕z e rz a h l e nd l l r c l lb i n a r e k u b i s c h en 咖n 矗tp i t i v ed i s l a r i m i n a t e a c hm a t h 1 9 4 3 ，7 5 ：1 2 1 ； 【8 】l i l l n 踞r 锄w 0 b e rd j eg l e i c h u n g 朗1 + d = 2 圹衄d1 + d z 2 = 4 矿r s k ev i d s e l s kt b n d h j e m 1 9 4 2 ，1 5 ( 3 0 ) ：1 1 5 - 1 1 8 ； 【9 l 柯召，孙琦谈谈不定方程上海：上海出版社 1 9 8 0 ，6 9 - 7 1 ，8 4 ，n 7 ； 【1 0 】柯召，孙琦数论讲义( 下) 北京：高等教育出版社1 9 8 7 ，2 2 ； 【1 1 js t l o r e yt ，n ，t i j d e m 咖r n e w 印p h c a t i o 瑚o fd i o p h a n t i n ea p p r o 。c i m a t i o n st od l 沪 p h 粕t i n ee q u a t i o n m a t hs n d 1 9 7 6 ，3 9 ：5 - 1 8 ； 【1 2 】乐茂华g e l f o n d - b 妇方法在丢番图方程中的应用科学出版社北京t1 9 9 8 ，1 9 m 2 1 7 ： 【1 3