（基础数学专业论文）弱hopf代数的模代数在其不变量上的积分.pdf

摘要 在这篇论文中，我们主要研究关于弱h o p f 代数的两方面内容：模代数在它不变量上 的积分和余模代数在其余不变量上的积分 在第一章中，主要介绍了本文的研究背景和一些关于弱h o p f 代数上的基本定义和基 本结论 在第二章中，主要是把h o p f 代数中模代数在它不变量上的积分这一性质推广到弱 h 0 p f 代数上，得到的主要结论是： 1 ) 设h 是余可换的有限维弱h o p f 代数，a 是可换的左h 一模代数+ 若m ( ，日) m ， m 作为左a 一模是自由的，且m 的a 一秩为1 ，那么对于范畴h ) m 中的任意态射 ，：m 斗m ，都有d e t ( ，) a h 2 ) 设h 是有限维的余可换的弱h o p f 代数，那么所有可换的日一模代数是它不变量 上的积分 3 ) 设日是有限维的余可换的弱h o p f 代数，a 是可换的左日一模代数若a 是 一a m n e 的，那么其不变量a 日也是k a m n e 的 在第三章中，主要是把关于h o p f 代数的余模代数在其余不变量上的积分这一性质推 广到弱h o p f 代数上，得到以下主要定理： 1 ) 设h 是可换的有限维弱h o p f 代数 m 作为右a 一模是自由的，且m 的a ，：m m ，都有d e t ( ，) a 。” 2 ) 设日是可换的有限维弱h o p f 代数 上的积分 a 是可换的左h 一余模代数若m h m a ， 秩为1 ，那么对于范畴h m 中的任意态射 那么所有可换的日一余模代数是其余不变量 3 ) 设日是可换的有限维的弱h o p f 代数，a 是可换的左日一余模代数若a 作为 一代数是有限生成的，那么其余不变量a 。h 作为k 一代数是有限生成的 关键词：弱h o p f 代数；模代数；s m a s h 积；不变量；积分 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t ，、耽s t u d yi n t e g r a l i t yo fm o d u l ea l g e b r ao 、他ri t 8i n 、吼r i a n t so ff i n i t e d i m e n s i o n a lw e a kh o p fa l g e b r a ；t h e n ，w es t u d yi n t e g r “i t yo fc o i n o d u l ea l g e b r ao v e ri t s c o i n v a r i a n t so f6 n i t ed i m e n s i o n a lw e a kh o p fa l g e b r a i nc h a p t e ri ，w em a i n l yi n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h ep r e v i o u sw o r ko v e r t e a kh o p fa l g e b r a i nc h a p t e ri i ，w em a i n l yg e n e r a l i z ei n t e g r a l i t yo fm o d u l ea l g e b r ao v e ri t si n v a r i a n t s w h i c hi si m p o r t a n tr e s u l t so nh o p fa l g e b r at o r e a kh o p fa l g e b r a ，t h ef o u o w i n gr e s u l t sa r e o b t a i n e d ： 1 ) l e t 日b ea 矗n i t ed i m e n s i o n a lc o c o m m u t a t i v e 、e a kh o p fa l g e b r ad e f i n e do v e ra 6 e l dk ，ai sac o m m u t a t i v ehm o d u l ea l g e b r a l e tm b ea no b j e c ti n ( a ，h ) ms u c ht h a t w h e nc o s i d e r e da sa na m o d u l ei sf e eo fr a n ko n e ，f o re v e r y ，：m m ( a ，h ) m ， t h e nw eh a et h a td e t ( ，) a 日 2 ) l e t 日b e a6 n i t ed i m e n s i o n a lc o c o m m u t a t i v ew e a kh o p fa l g e b r ad e f i n e do v e ra f i e l dk ，ai sac o m m u t a t i v e 口一m o d u l ea l g e b r a ，t h e nai si n t e g r a lo v e ri t si n v a r i a n t s 3 ) l e t 日b ea6 n i t ed i m e n s i o n a lc o c o m m u t a t i v ew e a kh o p fa l g e b r ad e f i n e do v e ra n e l dk ，ab eac o m m u t a t i v e 日一m o d u l ea l g e b r a ，w h i c hi sk a 伍n e ，t h e na hi sk a m n e i nc h a p t e ri i i ，w em a i n l yg e n e r a l i z ei n t e g r a l i t yo fc o m o d u l ea l g e b 王ao v e ri t sc o i n v a r i a n t so ff i n i t ed i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r at o 、v e a kh o p fa l g e b r a ，t h ef b u o w i n gr e s u l t sa r e o b t a i n e d ： 1 ) l e t 口b eaf i n i t ed i m e n s i o n a lc o m m u t a t i v ew e a kh o p fa l g e b r ad e 6 n e do v e ra 矗e l d k ，ai sac o m m u t a t i v eh c o m o d u l ea l g e b r a fb ea no b j e c ti nh “s u c ht h a tw h e n c o s i d e r e da sa na m o d u l ei sf r e eo fr a n ko n e ，f o re v e r y ，：m m h m a 7 t h e nw e h a et h a td e t ( ，) a 丑 2 1l e t 日i sac o m m u t a t i v ef i n i t ed i m e n s i o n a lw e a kh o p fa l g e r aa n da i sac o m m u t a t i v e h c o m o d u l ea l g e b r a ，t h e nai si n t e g r a lo v e ri t sc o i n v a r i a n t s 1 1 第一章研究背景和预备知识 1 1 研究背景 h o p f 代数( 见文献 1 ) 在量子群及数学物理理论中有着重要作用，所以近年来有许 多著名的数学家对h o p f 代数进行了系统深入的研究随着研究的深入，h o p f 代数的各 类弱化概念的意义逐渐被人们认识( 本文中的弱h o p f 代数就是其中的一类) ，并引起越来 越多的关注利用h o p f 代数( 见文献【2 ) 构造、r a n 哥b a x t e r 方程在理论物理中占据重要 的地位，其方程的求解也是研究的重点但众所周知求、，a n 廿b a x t e r 的解是高度复杂的问 题，退化解的研究大大拓展了、n g - b a x t e r 方程的研究范围其次，弱h o p f 代数与正则 幺半群间有着紧密的联系：i ) 一个半群代数是弱h o p f 代数类当且仅当此半群为正则幺 半群；i i ) 若弱h o p f 代数的余代数结构是点的，则其类群元集是正则幺半群但是若需要 深入的展开这两方面的研究则必须掌握更多的具体的非平凡的弱h o p f 代数的性质本文 将给出一些弱h o p f 代数上关于不变量的一些性质 对于有限维的h o p f 代数日，假设a 是可换的左h 一模代数，其不变量是下面的集 合t a 8 = o a i - o = ( ) o ，v 目) 根据文献 3 4 】有结论：当日是余可换时，a 是a 日上的积分 对于有限维的h o p f 代数日，假设a 是可换的左日一余模代数，其余不变量是下面的 集合： a 月= n a ip ( o ) = 1oo 根据文献5 1 有结论：当日是可换时，a 是a ”爿上的积分 在文献【6 中作者也给出类似的性质：设日是有限维的对合的h 0 p f 代数，且c h a r f d i m h 那么任意的可换日一模代数是其不变量上的d i m 日阶积分 本文的主要目的是将h o p f 代数上一些关于不变量上的积分推广到弱h o p f 代数上， 给出关于不变量和余不变量上的积分的刻划 第一章研究背景和预备知识 1 2 预备知识 在本节中将给出关于弱h o p f 代数的一些预备知识 本文所讨论的代数与余代数均是域k 上的代数与余代数采用s 硼e d l e r 符号，设 ( c ，e ) 是余代数，对于v6 g ，记：幽= 6 l 6 2 为了讨论方便，下面给出弱h o p f 代数的定义及一些基本结论 定义1 2 1 ( 【2 ) 一个五元组( 日，肛，让，) 如果满足下列条件1 3 ，称其是一个弱双 代数( w b a ) 如果( 口，p ，u ，e ) 满足下列条件1 4 ，称其是一个弱h o p f 代数( 日a ) 1 日是域k 上的有限维的可结合代数，具有乘法p ：日。日日和单位u ：k h ， “和札是一线性的且满足下列条件t 结合性：p 。( p o t d ) = p 。( i d op ) ， 单位性：po ( “o d ) = i d = 卢o ( i d ou ) ( 下面将用z 代替p ( z ，) ，1 = ( 1 ) 代替u ) f 1 2 1 】 ( 1 2 2 ) 2 何是域上的余代数，并具有余乘：日斗日。日和余单位：日，和e 是k 一线性的且满足下列条件； 余结合性：( o i d ) 。= 0 d o ) 。， 余单位性：忙o d ) o = i d = ( 掘 e ) 。 3 余代数和代数结构的相容性如下： 余乘的乘性：对于任意的z ，g 日， ( z ) = ( z ) ( g ) 余单位的弱乘性：对于任意的茁，z 日， e ( 。可z ) = ( z 1 ) ( 可2 z ) ； ( z z ) = e ( z 啦) e ( 9 1 。) 单位的弱余乘性： 2 ( 1 ) = ( ( 1 ) o1 ) ( 1o ( 1 ) ) ； 2 ( 1 ) = ( 1o ( 1 ) ) ( ( 1 ) o1 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 0 ) ( 1 2 6 6 ) 2 ( 1 2 7 n ) ( 1 2 7 6 ) 第一章研究背景和预备知识 公式( 1 2 3 1 ) 得：( s ( = ) ) = 1 1 s ( z ) 1 2 s ( z ) 凸= s ( z ) ( n 1 a ) = ( s ( z ) 1 o ) ( s ( 。) 2 1 a ) = ( 1 l 8 ) ( s ( z ) 1 2 o ) = ( 1 1 o ) ( 1 2 s ( z ) 1 ) = n ( s ( z ) l a ) = o ( so 岛( 名) 1 ) = o 沁soe ( z ) - 1 a ) = n 0 o 矗。s ( z ) 1 a ) = o ( 自osos ( z ) 1 a ) = n ( 。1 ) 对于v 岱，芗甄，有 。( 。) = ( 石可l a ) = o ( z ( 1 a ( 掣1 a ) ) = n ( z 1 1 a ) ( z 2 ( ”1 a ) ) = o ( 1 1 z 1 a ) ( 1 2 - ( g 1 a ) ) = n ( 1 a ) ( l ) 日可以看成是左风一模，我们用ao 皿日来表示右甄一模a 和左趣模h 在 凰上的张量积那么对于vo a ，。凰， 日， o o o 肌 = n 0 凰z 定义1 3 2 ( 1 7 ) ) a 和日的s m n t h 积a # 日定义如下：作为向量空间创h 等于a m 日 用n 8 表示o 矾 圳日a 4 h 上的乘法如下：对于vo ，6 a ， ，9 h ， ( 0 8 ) ( 6 8 9 ) = e o ( 1 6 ) 4 九2 9 易见a 4 h 作成一个代数，且单位元是1 a 4 l 盯 定义1 3 3 ( 【8 ) a 是左日一余模代数，如果满足下列条件 ( 1 ) a 是代数 ( 2 ) a 是左日一余模，余模结构为： p ( ) = 晓一loo o 6 第一章研究背景和预备知识 其中o a ，n 一1 日 ( 3 ) 满足下列相容条件；对于任意的8 ，6 a ， p ( 0 6 ) = p ( o ) p ( 6 ) ， ( o i 幽) 。p ( 1 a ) = ( 1op ( 1 a ) ) ( ( 1 ) 1 j 4 ) 可以证明( 1on ) p ( 1 a ) = ( ， i d a ) p ( o ) 和( 2 d a ) op ( 1 a ) = ( 1 p ( 1 a ) ) ( ( 1 ) o1 a ) 等价 定义1 _ 3 4 ( 8 】) c 是余代数，称g 是右日一模余代数，如果满足下列条件： ( 1 ) e 是余代数 ( 2 ) g 是右日一模，其模作用为： c o hc ( 3 ) 满足下列相容条件：对于vc g ，九日， g ( c ) = c ( c ) - ( ) ， c ( c ) = e g ( c - 白( ) ) 可以证明c e l ( h ) = 。( c l 哟c 2 和e c ( c ) = e c ( c ( 丸) ) 等价 定义1 3 5 ( 8 ) 右弱d o i h o p fd a t u m 是一个三元组( 日，a ，c ) ，其中日是k 上的 弱h o p f 代数，a 是左日一余模代数，g 是右的日一模余代数 特别的，设日是k 上的弱h 叩f 代数，a 是左日一余模代数，且g = 日( 口上的余 代数结构) ，日自然可看成是右日一模余代数，那么( 日，a ，g = 日) 是右d o i h o p fd a t u n l 定义1 。3 6 ( 8 】) m 被称为右弱d o i - h o p f - 模，如果m 同时是右a 一模，左g 一余 模，且具有下列相容条件： p m ( m o ) = m 一- o 一- 。m 。n o ， 其中n a ，m m ，p ( n ) = n lon o ，p ( m ) = 仇一lom o 范畴c 肘( h ) a 的定义如下：范畴。m 陋) a 中的对象m 是右弱d o i h o p f _ 模，态射 既是右a 一模映射，又是左g 一余模映射 特别的，当a = 日时，日m a 等价于g m ( 日) a ( 在第三章中我们将研究范畴 “中 的若干结构) 7 第一章研究背景和预备知识 9 范畴 帕中的任意态射t ，定义p ，( t ) = t 可以证明p 是p 的逆函子 注记1 3 1 0 特别当g = 日时，有h “掣心6 骨( 在第三章中将用到此结论) 口 第二章模代数在其不变量上的积分 2 1 范畴( a ，h ) m 的若干性质 在本章中所指的弱h o p f 代数日是余可换的，左日模代数一是可换的 若m 是左目一模那么左丑一模m 的不变量为下列集合： m h = m m 【 r m = e ( ) m ，v h ) ( 2 1 1 ) 范畴( h ) m 定义如下：若m ( ，h ) ，则m 同时是左 模和左且一模，且满足 下列相容条件：对于v 日，。a ，m m ： ( o m ) = ( t n ) ( 。t m ) ( 2 12 ) 范畴中的态射同时是左a 一模和左日一模同态 下面将看范畴阻，m 的一些性质 若m5 ( ，叫m ，m 是左日一模，则m 上有一个右吼一模结构： m g = s ( z ) m ， 其中r n m ，z 凰 若m ，( ，川m ：由上式知道m 是右皿一模，我们用m 巩表示右吼一模m 和左日模在爿t 上的张量积 m o h ，是左a 一模，模作用为：对于vo a ，m 肘，n ， n - ( 仃l o h cn ) = 。竹l o 靠t h 。是左h - 模，模作用为： ( m o h 。n ) = 1 - 盯；o 2 n 其中 日，m ，n 事实上t 其中 日，m m ，他事实上t 1 h ( m o 矶n ) = 1 i m o 矾1 2 n = 1 t m - 1 2 0 m 礼： = s ( 1 1 ) 1 2 m o 巩 = r n o _ f ：r 1 0 蔓三童 送垡塑垄基至銮量占塑塑坌 1 1 由此知道mo 风( a ，日) m a 是可换的左日一模代数若m ，( a ，h ) m ，左a 一模m 可以看成是一个右a 模，我们用m a 圆来表示右a 一模m 和左a 一模在a 上的张量积，可以证明 m a ( ，日) m 记a o m 为融合张量，融合条件为：对于v m m ，n n a ，z 凰， m n a o 矾n = m a o h e n n m 彳a o 风n = m a o h e z 礼 下面文章中我f f 丁将用圆来表示a 打+ 若m ，( a ，日) m ，则m 园( ，日) m 特殊地有a ( a ，日) m ，a 园m ( a ，h ) m ，对于 vn a ，z h ，f n m ， ( n z ) m = n - ( 。m ) ( 2 1 3 ) 类似按照上面的方法，对于任意n 个m 胃) m ，设； 霸( m ) = 则咒( m ) h ) m 同样的结构运用到( ，h ) m 的态射，：m m 上 m _ 殁( m ) ， 上曰( ，) m _ 瑕( m ) 这里巧( ，) 2 芝堂! 量二鱼，所以珂是范畴( n ，印m 到自身的函子由 m 圆n n 圆m ，m 圆刊m ，n m ) 生成的巧( m ) 的h o p f 理想h ，设八j m = 礤( m ) “ 事实上人三是范畴h ) m 到自身的函予 命题211范畴(a，h)m等价于(a#日)m证明定义函子 -p：(a，h)m(a岍)m， 第二章模代数在其不变量上的积分 = o g ( 礼) o t 件= ( o t 。) t ( 9 ( 佗) o ) = o 扎0 0 。d ) o 护) = o r 雪( 礼。护) 定义 t i d + ( n o t ) 卜_ _ n o t ，+ 1 其中o 护) ”可以验证t i d 【f 】是 亡 ，日) 一模映射因为对于vo 护a o 护) t _ i d _ c 】( 护( n 圆妒) ) = ( n ) t 却+ 1 = n 扩t i d 嘲( 礼 矿) 由此知道定义的( t d 日一口) 是州胡到旧的( a 日) 一模映射 如果用题中的m 和，分别代替上面的和9 ，则m 嘲( a h ) m ，m 嘲作为a 闻一 模是自由的，根据定理2 2 4 ，可以得到d e t ( t - i d m 一，) a 嘲h 因为a 【叫日= o 伊a 叫1 九( 护) = e ( h ) o ，v 日) ，对于v h ，o a h ， n r a 日都有： ( t 。) = ( o ) 护= ( t ( ) o ) t 4 = 氏( ) ( o 矿) 所以a 嘲h = a h ”从而有d e t ( t - i d m 【t 】一，) a 日【t 下面证明： d e t ( t - i d m 嘲一，) = f 2 ，( t ) 事实上：m ( ，硼m ，m 作为左a 一模是自由的，且m 的a 一秩为n ，则m 有一 组自由的a 一基，设为 m i ，i = 1 ，2 n 对于范畴( ，h ) m 中的任意态射，：m m ， 那么有： ，：m m ， 1 6 第二章模代数在其不变量上的积分 其中，( m ：) = o 。l m l + n 。2 m + - + 。m 。，i = 1 ，2 礼即 从而有 吲隹叠 t n 1 1一0 1 2 0 2 lt n 2 2 0 l n n 2 n 一口n 1一a n 2 t n n n 按照上面的构造m 纠( a h ) m ，m 嘲作为州纠一模是自由的，相应的有，：m f m 弘 是范畴( a 日) m 中的态射 j ( m t ) = 弘嘲 m 嘲圆圆m 由第二章第一节的知识 。、，o 。一 n 知道； j ( m 作为左a 一模是自由的，且 j ( m 嘲) 的州小一秩为1 ，其a 基设 为：m 1 m 圆m 2 旧圆圆m 。嘲 设f = 八写( ，) ) f ：m 嘲圆m 嘲圆圆m h m m 圆m 嘲园圆m 【亡 由注记2 2 ，2 知道d e t ( ，) = d e t ( f ) 根据上面的构造得到 f ( m ，嘲圆m z h 园- 圆m 。嘲) = ，( m - ) 圆，( m 。) 嘲圆圆，( m 。) 吲 l l m 1 + 。1 2 m 2 + + n l n m 。) 嘲园- 圆( o n l - m 1 + o 2 t m 2 + + n n m n ) p ( m - m 圆m 。嘲 r 圆m 。嘲) 0 1 1 0 1 2 0 2 1a 2 2 n 1 0 2 n 0 n lo n 2 。 n n n 第二章模代数在其不变量上的积分 所以由定义2 2 1 得知 所以 d 酣( f ) 由定理22 3 从而得知d e t ( f ) a 圩”根据题中的t i d m 【 】的构造知 d 甜( t 蛐汀m = t0 - 0 0t o 0 0 由注记2 2 ，2 得到： d e ( t i d 彳一，) = d e t ( 亡i d m 【l 】) 一d e t ( 乃= d e t ( 捌m h ) 一d e t ( f ) d e t ( t 捌m h 一，) 8 1 “ n 2 “ 从而得到：d e t ( t i d m 嘲一，) = q ，( t ) 2 3a 在a 日上的积分 口 定义2 3 1 ( 8 】) 设a 是可换代数，川a ，任意o a ，称o a 是a 7 上的阶 积分，如果存在0 t 一1 ，n o a ，满足+ n “一一1 + + o = o 如果对于a 中的任意 元都是上的积分，则称a 是a 上的积分 定理2 3 2 设h 是有限维的余可换的弱h o p f 代数，a 是可换的左日一模代数， 则a 是a h 上的积分 1 8 嘞 咄 u 哪 咄 塑至皇叁巡墼垄基金丕变量土塑塑坌 2 6 因为，( m ) n = ，( m o ) ，所以p ( m n ) = p ( m ) n 即： 仇一l 。m 。，n = m 一1 。1 。m 。( 3 2 1 ) 得到： ( 1o m ) p ( ) = ( 1 m ) p ( 1 a 血) = l m 一1 圆m ( 1 0 8 0 ) = 岛( 1 一i ) 一iom ( 1 0 口o ) = 岛os 。s ( 1 - 1 ) n 一1 0 m ( 1 0 0 0 ) = 岛。龟os ( 1 - 1 ) a 1 0 m ( 1 。盘o ) = e sos ( 1 _ 1 ) o 一1 0 m ( 1 0 0 0 ) = ( m 1 ) n l o m o n o = 5 ( m 一2 ) m l o 一】o m o 伽 = s ( m 一2 ) m 1 0 m o - o = 氏( m 一1 ) 仇o n = 民os ( 1 _ 1 ) o m ( 1 0 0 ) = 岛( 。一1 ) o m o = ( 1 国m ) ( s 。( o 1 ) 圆n o ) 对于o a ，有p ( n ) = 。( o 1 ) o o ，所以a a c 。h ( 由公式3 1 2 ( 由公式1 2 2 ( 由公式3 1 6 ) ( 由公式3 2 1 ( 由公式3 1 6 ( 由公式3 1 5 定理3 。2 2 。设日是可换的弱h o p f 代数，a 是可换的左日余模代数。若m h m ， m 作为右a 一模是自由的，且m 的a 一秩为礼，对于范畴h 螈中的任意态射，：m - m 日b 么d e t ( f ) a 。日 证明由题知m 日m ，根据第三章第一节的构造知道八a 是h m a 到自身的函子 特别的当自由4 一模m 的4 一秩为扎，那么 冀( m ) 日 “作为自由a 一模秩为1 ， 八j ( ，) 是范畴h m 4 中的态射由注记2 2 2 知：d e t ( 人j ( ，) ) = d e t ( ，) 根据定理3 2 1 ，所 以d e t ( ，) a c o 口 第三章余模代数在其余不变量上的积分 定理3 2 3 设日是可换的弱h o p f 代数，a 是可换的左打一余模代数若m 凡m a ， m 作为右a 一模是自由的，且m 的a 一秩为礼，对于范畴日地中的任意态射，：m + m 都有n ，( ，的特征多项式) 的系数在a 。打上 证明设是未定元，a 是左日一余模代数，含未定元t 的多项式代数a 有一个 自然的左h 一余模结构：对于v h ，o r a 嘲， p ：a 嘲寸a 【t l o 日 n p n 一1o o 由a 嘲上通常的乘法以及上面的左日一余模结构，得到a 是左日一余模代数 1 4 是代数，其乘法如下：对于vo 六6 a 嘲， 单位兀是1 a 2 a 【c 】是左日一余模，余模作用为：p ( o ) = o to n o ，其中o a ” 3 满足下列相容条件：对于v ( n ) ，( 6 ) a 讲( n ) ( 纠) _ p ( o 扩) p ( 6 ) ； ( o i d ) 。p ( 1 ) = ( 1o p ( 1 d ) ) ( ( 1 ) o1 ) 设h “，用m 来表示ok 【司，在 f 】上定义一个左日一余模结构 o k 嘲一日o o k 嘲， 札 七亡 h 礼一l o 竹o o 南， 其中p ( n ) = 礼一1 圆礼0 由a 到上的作用定义a 嘲到嘲上的作用： 吲o a 嘲+ 礼 矿oa h ( n 。) + j 由上面的结构嘲且 “”对于范畴日a “中的态射g ：斗，由9 定义 口：g 圆i d ，对于vn 。有口。护) = 9 ( n ) o 所以雪是嘲到自身的映射 第三章余模代数在其余不变量上的积分 可以证明是范畴 “【q 中的态射事实上，雪是左日余模映射 po 雪( n o 矿) = po g ( 竹) o = 口( n ) 一1 0 9 ( n ) o o 护 = n l 9 ( n o ) o 护 = ( j o 雪) 。p m o 妒) 定义映射 t i d f q ：m 乩 n o hn 护+ l 。 可以证明t i d 是范畴日 “ f 】中的态射所以：t - i d m 一：m 胡是范 畴h m 删中的态射 如果用题中的m 和，分别代替上面的和9 ，则m 嘲日a “mm 圈作为a 嘲一模 是自由的，根据定理3 2 2 可以得到d e t ( t i d m 【日一) a 嘲c o h 又因为a 嘲。h = o a 川p ( 口) = 岛( 。一1 ) oo o ，对于任意a c d h ，n r 4 ”h 嘲ca 嘲，都有 p ( 口t 2 ) = ( p 。) 。= 。( 一1 ) oo o 矿， 所以a f c 。h = a 。h 因而有d e t ( t i d m 嗍一力a 。h ” 下面证明d e t ( z 涮m 【c 】一f ) = q ，( t ) 。 设m 是自由的右a 一模，且m 的a 一秩为n ，其a 一基设为 ) ，i = 1 ，2 n 定 义范畴h m 一中的态射： ：m m ， m 1f ，( m 1 ) ， m 2 h ，( m 2 ) ， m 。f ，( m 。) ， 其中，( m t ) = m l n n + m 2 凸2 i + - _ + m n i ，i = 1 ，2 - - n 所以有； 第三章余模代数在其余不变量上的积分 把1 0 4 l l 睁l 疗扩充成a l 青的一组自由的a 基，对于任意的a ，都有 从而有 r 。( 1 0 4 1 一l 睁1 疗) = ( 1 0 4 1 - lp 1 矗) n q 如= t o0 一n 2 1t 0 2 2 n