（基础数学专业论文）关于一些和式的加权均值与一些特殊序列的算术性质.pdf

西北大学博士学位论文 摘要 许多著名的和式及特殊序列在解析数论的研究中占有十分重要的地位，数 学家利用它们取得了很多不平凡的结果，从而探索它们之问的内在联系，就有 重要的价值和作用。 本文研究了一些和式的加权均值及某些特殊序列的算术性质。给出了特征 和，g a u s s 和，k l o o s t e r m a n 和，c o c h r a n e 和及h u r w i t zz e t a - 函数的一些混合均值 公式：研究了当变量取值限定在一些特殊集合上时d h l e h n l e r 数的算术性质及 与d h l e h m e r 问题有关的两个求和估计问题；同时还研究了一些特殊数列及算 术函数的均值，并给出了一些较强的渐近公式具体来说，主要成果如下： 1 通过对k l o o s t e r m a n 和，c o c h r a n e 和( 包括广义c o c h r a n e 和) 及h u r w i t z z e t a - 函数混合均值的研究，来揭示其内在的深刻联系，给出了这三者混合均 值的一些较为精确的渐近公式 2 通过把短区间上的特征和转换某种形式的d i r i e h l e tl - 函数与g a u s s 和，研 究了 g a u s s 和与短区间上的类特征和的2 七次，1 次，- 2 k 次三种不同类型的混合均 值，获得了一系列的渐近公式 3 利用三角和与k i o o s t e r m a n 和估计研究了k - f r e ed h l e h m e r 数及其推 广的算术性质；利用原特征的性质和d i r i e h l e tl - 函数的均值定理，研究了 与d h l e h m e r 问题有关的两个求和估计问题 4 刑用复变积分法研究了特殊序列 岛( 竹) ) 的算术性质及它和除数函数的加 权均值同时利用初等的方法给出序列 ( n ) ) 的一个较强的均值计算公式 关键词：k l o o s t e r m a n 和：特征和；g a u s s 和；h u r w i t zz e t a - 函数；d i r i c h l e tl - 函 数：d h l e h m e r 问题；特殊数列；渐近公式 a b s t r a c t ( 英文摘要) a b s t r a c t ( 英文摘要) s o m ef a m o u ss u m sa n ds p e c i a ls e q u e n c e sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h ee t u d y o fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dm a n yn o n t r i v i a la c h i e v e m e n t si nt h i sf i e l dw e r e m a d eb yu s i n gt h e m s oi t i sv a l u a b l ea n dm e a n i n g f u lt oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n - s h i p sa m o n gt h e m i nt h i sd i s s e r t a t i o n w es t u d yt h eh y b r i dm e a nv a l u eo fs o m es u m sa n dt h e a r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so fs o m es p e c i a ls e q u e n c e s as e r i e so fh y b r i dm e a nv a l u e f o r m u l a eo nc h a r a c t e rs l i m 8 ，g a u e ss u l n s ，k l o o s t e r m a ns u m s ，c o c h r a n es u m s a n dh u r w i t zz e t a - f u n c t i o na r eg i v e n w es t u d yt h ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t yo f d h l e h m e rn u m b e rt h a tt h ev a r i a b l ei sc o n f i n e di ns o m es p e c i a ls e t sa n dt h e e s t i m a t e so fs u m sr e l a t e dt 0d h l e h m e rp r o b l e m w ja l s ow o r ko ns o m es p e c i a l s e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n do b t a i ns o m es h a r pa s y m p t o t i cf o r m u - l a ei n v o l v i n gt h e m t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r e 稿 f o l l o w s ： 1 b ys t u d y i n gt h eh y b r i dm e a nv a l u e si n v o l v i n gk l o o s t e r m a ns u m 8 ，h u r w i t z z e t a - f u n c t i o na n dk l o o s t e r m a ns u n 2 8 ，w ed i s c l o s et h er e l a t i o n s h i p sa m o n gt h e m ， a n ds o m es h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a ea r eg i v e n 2 b yt r a n s f o r m i n gc h a r a c t e rs u m so v e rs h o r ti n t e r v a li n t os o m et y p e so f d 城c h l e t 【广f u n e t i o n sa n dg a u s ss u m s w es t u d yt h r e ek i n d so fh y b r i dm e a nv a l u e b e t w e e nas u ma n a l o g o u st oc h a r a c t e rs u m sa n dg a u s ss u n l s ，a n dg i v eas e r i e so f a s y m p t o t i cf o r m u l a e 3 u s i n gt h ee s t i m a t e sf o rt r i a n g l es u m sa n dk l o o e t e r m a ns u l n s ，w ei n v e s t i - g a t ek - f 工e ed h l e h m e rn u m b e ra n di t sg e n e r a l i z a t i o n a n do b t a i n e ds o m ea s y m p - t o t i ef o r m u l a ea b o u tt h e m b yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fp r i m i t i v ec h a r a c t e ra n dt h e m e a nv a l u et h e o r e m so fd i r i c h l e tl f u n e t i o n w ea l s os t u d yt h ee s t i m a t e so fs u m - m a t i o nr e l a t e dt od h l e h m e rp r o b l e m 4 w ju s et h ec o m p l e xi n t e g r a lt os t u d yt h ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t yo fs e q u e n c e 白加) ) a n di t sh y b r i dm e a nv a l u ew i t hd i v i s o rf u n c t i o n w ea l s oo b t a i nas h a r p e r a s y m p t o t i cf o r m u l ai n v o l v i n gs e q u e n c ee 口( n ) ) b yu s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d k e y w o r d s ： k l o o s t e r m a ns u m s ；c h a r a c t e rs u m s ；g a u s ss u m s ；d i r i c h l e tl - f u n c t i o n ；d h l e h m e rp r o b l e m ；s p e c i a ls e q u e n c e s ；a s y m p t o t i cf o r m u l a * * i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰 写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作暑签名：4 主旦坠指导教师签名：；毯。乏国移 7 年6 月5 日m 年6 月f 日 一。一一。 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：彳i 闪i j 练 淅7 年g 月j 、e t 西北大学博士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论中许多和式、算术函数以及特殊序列有着悠久的历史和丰富的内容， 数学家利用它们取得了很多不平凡的结果，从而探索有关数论问题与它们之间 的内在联系，就有重要的理论意义。 特征和、k l o o s t e r r n a n 和、g 脚与h u r w i t zz e t a - 函数与一些著名的数 论问题紧密相关，一直是数论研究的热点问题。k l o o s t e r m a n 2 1 本人就发 现k l o o s t e r m a n 和与尖形式的f o u r i e r 系数h e c k 上界密切相关，f o u v r y 等人【2 5 1 证 明了可以利用它的符号来构造伪随机序列近年来高维k l o o s t e r m a n 和 在m a a s s 形式的f o u r i e r 系数估计 5 l 和s e l b e r g 特征值猜想_ 2 l 方面，也显示了巨大 的作用特征和在d i r i c h l e tl - 函数理论，与算术数列有关的数论问题、晟小正剩 余以及最小原根等方面有着重要的应用( 参阅 3 ， 4 】， 9 ，【5 8 ， 5 9 】，1 8 6 ) 。但是这些 和式与算术函数的取值是十分不规则的，研究其值分布特性就显得很困难。例 如对特征和的估计至今也没有取得令人满意的结果。d u k e 和1 w a n i e c b5 】发现三 次指数和实际上是带有三次d i r i c h l e t 特征的广义k l o o s t e r m a n 和，张文鹏 6 1 1 1 7 0 1 证 明了d e d e k i n d 和与c o c h r a n e 和可以化为某种形式的g a u s s 和与d i r i e h l e tl - 函 数，这样就可以得出d e d e k i n d 和与c o c h r a n e 和的一些均值公式这些给我们 以启示，也许可以通过探讨特征和、k l o o s t e r m a n 和、o a u s s 和、c o e h r a n e 和 及h u r w i t zz e t a - 函数之间的内在联系，研究它们均值分布的规律，从而由另一 个角度出发，来研究这些和式与算术函数的有关性质。 d h l e h m e r j 删问题的研究有助于我们深入了解整数分布的性质张文 鹏 5 2 1 1 s s l 很好地解决了d h l e h m e r 数的渐近计算公式，研究了1 7 4 1 1 7 5 1 渐近公式 中的误差项的二次均值，说明了该误差项是最佳的。他要求我们来研究当 变量取值限定在些特殊集合上时，这时d h l e h m e r 数的算术性质，c o b e l i 和z a h a r e s c u 1 1 l 考虑了模p 上不可约曲线中的l e h m e r 问题；e m r ea l k a n s s l 等人 考虑了l e h m e r k 组数，s t d p h a n er l o u b o u t i n i s t i 研究了短区间上的l e h m e r 问题 这些问题是否能往其它方面推广，并获得有趣的结果? 在( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，s m a r a n d a c h e 3 6 提出了1 0 5 个 未解决的数论问题对其中的一些问题进行研究，并得到一定程度上的解决，似乎 是有趣并有意义的 基于以上的想法，我们研究了特征和，g a i l y q s 和，k l o o s t e r m a n 和，c o c h r a n e 和 及h u r w i t zz e t a - 函数的些混合均值，k - f r e ed h l e h m e r 数，以及一些特殊数列 及算术函数，并得到了一定的成果 第一章绪论 1 2主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了数论中一些和式的加权均值及特殊序列的算术性质， 这些成果主要表现在特征和，g a t l s 8 和，k l o o s t m m a n 和，c o c h r a n e 和及h m - w i t z z e t a - 函数的一些混合均值：与d h l e h m e r 问题相关的一些结论；以及一些特殊 数列及算术函数的有关性质这三个方面，内容分布在第二至第五章具体说来，本 文的主要成果和内容组织如下： 1 k l o o s t e r m a n 和，c o c h r a n e 和及h u r w i t zz e t a - 函数与数论中许多著名问题 密切相关，在第二章中，本文利用g a u s s 和与d i r i c h l e tl - 函数的有关性质，通过 对这三者的混合均值的研究来揭示其内在的深刻联系，得出了k l o o s t e r m a n 和， c o c h r a n e 和( 包括广义c 0 c l r a n e 和) 及h 1 1 r 耐t zz e t a - 函数的混合均值的一些渐近公 式 2 短区间上的特征和与g a u s s 和有着悠久的历史和丰富的内容在第三章 中，本文通过把短区间上的特征和转换某种形式的d i r i c h l e tl - 函数，g a u s s 和，利 用原特征的性质和d i r i c h l e tl - 函数的均值定理，研究t g a u s s 和与短区间上的特 征和的2 七次，1 次，- 2 k 次三种不同类型的混合均值，获得了一系列的渐近公式 3 d h l e h m e r 问题的研究有助于我们深入了解整数分布的性质及规 律本文在第四章中，定义t k - f r e ed h l e h m e r 数及其推广情形，利用三角和 与k l o o s t e r m a n 和估计来研究了它们的渐近性质并给出其渐近计算公式：同时我 们研究了与d h l e h m e r 问题有关的两个求和估计问题 4 在第五章中我们研究了一些特殊序列的均值本文利用复变积分法研究 了特殊序列 岛( 住) ) 的算术性质及它和除数函数的加权均值。同时利用初等的方 法给出序列 ( 礼) 的一个较强的均值计算公式。 2 西北大学博士学位论文 第二章关于k l o o s t e r m a n i i 与h u r w i t zz e t a - 函数 的加权均值 数论中有许多和式，如g a u s s 和、k l o o s ；t e r m a n 和、d e d e k i n d 和、特征和 等，它们和数论中许多著名的问题紧密相关。但是往往这些和式的算术性质较 难研究，例如i ( 1 0 0 s 搬1 n 吼和的分布很不规则，甚至可以根据它的取值符号来构 造伪随机序列，然而令人惊奇的是在一些加权均值中，该和式却表现出良好的分 布性质。本章我们通过对k l o o s t e r m a n 和，h u r w i t zz e t a 一函数与c o c h r a n e 和三者 的混合均值的研究，来揭示其一些内在的联系。 2 1关t k l o o s t e r m a n $ 口的加权均值( i ) 设q ( 3 ) ，m ，n 是三个整数，1 9 2 6 年，k l o o s t e r m a n l l l 在研究正定二次型时， 引入了著名的k 1 0 0 l t e r m a n 和 g ( m ，州，= 壹e ( 半t o o + n o b = 1 ) ， ，州) = e ( - ) ， 、1， 其中e ( ) = e 2 州p ，5 是由同余式萌兰1 ( , n o dg ) 决定的，f 表示对满 b = l 足( b ，口) ：1 所有的整数球和。他1 2 j 指出对k ( m ，瞒口) 任意非平凡上界估计都会 改进尖形式的f o u r i e r 系数h e c k 的上界，f o u v r y 等人f 2 5 j 发现可以用k 1 0 0 s t e r m a i i 和 的取值符号来构造伪随机序列，正是由于k l o o s t e r m a n 和与解析数论有如此紧 密地联系以及在密码学方面的广泛应用，它引起包括e s t e r m a n n 1 8 ，s a l i d 3 4 1 d a v e n p o r t 1 3 1 ，c a r l i t z 4 1 t h o o l e y 4 2 1 ，l a c h a u d l v t ，h e l l e s e t h 4 5 和w e i l 4 s l 等许多学 者的兴趣。1 9 5 8 年，m o r d e l l 5 1j 引进了如下形式的高维k l o o s t e r m a n 和 k z ( h ，舻塞；l 寥a 塞e ( 业坐等坐缈 ，七+ 1 g = 7 7 e ( 业竺生之止幽 o l 2 = l d = l 、1 近年来在m a a 8 s 形式的f o u r i e r 系数估计嘲和s e l b e r g 特征值猜想方面1 8 2 】，高 维k l o o s t e r m a n 和显示了巨大的作用 2 0 0 0 年，t o d dc o c h r a n e 弓 入下面的和式 其中 c ( h 触= 妻7 ( ( 拟( i a h l ) ) ，触= 黝( ( i ) ) ，d = 1 ， c ( z ，= 。一；! 一5 篓暑? 不是整数 董三重羞至竖! ! ! 竺! ! ! ! ! 垫量望! 竺坠垒! ：塑壑塑丝塑堡 ： i _ e 自e 主釜! ! ! = ! = # = ! 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 。2 5 一一 这一和式是与著名的d e d e l d n d 和 柚= 剖a 一a h ) ) 是很类似的，一些学者研究了它的算术性质和均值分布。例如，张文鹏【7 1 1 研究 了c o c h r a i l e 和的上界估计，得到下面： 命题2 1 设q 是正整数，则有上界估计 l c ( h q ) l v 琦d ( q ) i n 2q ， 及对素数p 有渐近公式 墓俨c ”，= 丧矿+ 。0 唧( 怒) ) 张文鹏1 7 3 1 还发现在c o d l r a i l e 和与k 1 0 0 砧咖和 脚渤= 喜e ( 竿) ， 之间存在关系，他得到下面： 命题2 2 设口是s q u a r 争f i l l l 数，则有 妻砌，1 妒( 讪) ：孬- 1 似a ) + o ( e 唧( 畿) ) ( 2 1 ) 这里( 口) 是e u l e r 函数。 下面我们来研究混合均值 壹亡k ( a a 吠( 啪 匕 1 q ) ( ( ；，：) c ( 以q ) 的渐近性质，这里( ( s ，n ) 是h u r w i t zz e t a - 数。藉此来寻找c o c h r a n e 4 9 l 与k 1 0 0 l ；晒m a n 和以及h u 阿i t zz e t a - 函数之间的一些内在联系 定理2 1 ：设整数q23 为一奇数，那么我们有渐近公式 妻壹脚a 班哆1 ；b 删加) = 一磐! ! ( 一志) + d ( n 这里是一个任意给定的正数，i i 表示对q 所有满足：p l q 且p 2 t q 的素因子p 求 ，, t l q 积 为完成定理的证明，我们需要下面几个引理 4 西北大学博士学位论文 引理2 1 ：设整数q 3 且( 口，q ) = 1 ，则有 ，= 丽- 1 。r n o dq 础，匡掣) 2 ， 这里x 蹦的一个d i r i c h l e 漪征，且x ( - 1 ) = - 1 , g ( m ) = 娄腓( 等) 是 对应于x 的g 缸们咖 证明：这是f 7 0 的引理1 。 引理2 2 ：设口是一个正整数，x 是模口的一个非原特征，正整数矿i q 且满足x = 赡。x o ，则有下面结论? 当 ，q ) 1 时，我4 f i 有 g c 肿，钌( 南) r ( 杀丽) p ( 杀面) m 炉( 南) 删 这里赡表示模q 的主特征，口1 是和g + 有相同因子的q 的最大的除数，p ) 是m 功抛s 函数； 倒当( 亿q ) = 1 时，我们有 g ( x ，n ) = 元( n ，x + ( 拳) 肛( 吾) 7 ( x + ，； 陋当x 是模g 的原特征时，我们有 g ( x ，n ) = 元) r ( x ) 证明：参阅文献 7 】 s l 理2 3 ：4 q 22 和r 是两个整数，且满足幻= 1 则有恒等式 + 心) = p ( 拟d ) ， x r o o dq d i ( q ，r - 1 ) 及 t ，( q ) = p ( d ) ( ：) ， a l q 此处表示对所有模q 的原特征求和，t ，( q ) 是模q 的原特征的个数 xm 甜q 证明：参看 7 0 】中的引理3 5 第二章关于k l o o s t e r m a n 和与h u r w i t zz e t a 函数的加权均值 引理2 4 ：设g = 删，满足( 乱，盯) = 1 ，且u 是一个s q u a r e - f u l l 数或者“= 1 ，口是一 个s q u a r e - r e * 数，则有渐近公式 ，。础z 9 2 d l d 2 脚 _ ) ( ；，神 xm a d 埘 、一7 x ( - - 1 ) = - - 1 = ；n ( ，一志) + o ( a ；托) p l l q 、 “77 证明：为叙述简便，这里记 ( q )( q ) f h ，6 ) = f ，d z d 2 9 1 9 2 ) 叮，6 其中，y = u d ，j = d z d 2 9 1 9 2 ，f n ，6 ) 表示一个任意的函数 我们还可记： b ( q )( q ) f ( 7 ，6 ) = f 6 1 f ( 7 ，6 ) 1 ， 县( q ) “) 7 f n ，6 ) = f 6 1 f ( 仉j ) 1 6 f ( 谢，d l d 2 9 1 9 2 ) ， c ( 叮)“) f n ，6 ) = f f ( 6 ) 1 ，6 c ( q ) 7如) 及 f ( 6 ) = f f ( ，y ，j ) 1 ，6 ( q ) ( g )伯) 这里和的区别在于把中形如p ( 七) 的因子换成融( 七) i = p 2 ( ) 再令 a ( y ，x ) = x ( 站) m n s y 其中x 是模谢( = ，y ) 的任意特征，m 是一个参量，且吖埘 根据a b e l 恒等式，我们有 于是 砸翩= n 妻= l 警2 1 纛警+ s 笋句 n m 。 叉( 6 ) l 2 ( 1 ，戈) l ( ；，魂) xr n o a , , f x ( - z ) = - i 6 一曲篮州 竺删 啮崎p 啪 蚶m 查曲 p 一 篷船 p 一 惦 屹嘶娥 咖 西北大学博士学位论文 磊。荆( 。洲- 7 - n + = 掣刁( 。姜m 掣+ 掣匆) f 、l l n s 盯+ ；f 譬如) 注意到( 口，q ) = 1 ，由引理2 3 可知 x ( n ) = ；+ ( 1 一x ( 一1 ) ) x ( 。) = ；+ x ( 口) 一j 1 x ( 一口) xm o d 叮xm 删xm 喇xm 嘶 x ( 一i ) = - i = 互1 p ( ：) ) 一；p ( 拟“) u l ( q ，a - - 1 )u l ( g ，o + 1 ) 于是，我们有 妻7 , 5 磊m o d + - y 邢，( 1 f s m 孕) + 元( 6 ) l 半i x ：裂rr5 - 塑 2 弓i s i 。m 一等_ m l n m 1 ，d1 s m s m 2 ( 6 l m n ) x m o & r x ( 一1 ) - 一l ：互1b 之( q ) ，紫 弘( 辨。) 。，5i s l s m1 m ，l s n 曼 f i ( 7 ，$ l m n 一1 ) 一j 1b专fq)。姜盯，三訾州，61mn+lislsm 6 i r o n + 1 ) p ( ；) 烈s ) 一虿2 一警| ( ；) 烈曲 。1 ，占1 m f l n s ! l f 。l ( 1 ， 。 5 ；若荨芦眇三，篓肘。量蒜 ( i r a ，1 ) = 1( n ，q ) = 1 5 l m n = - l ( s ) 一；7 , 8 a l t 卢( 孙“，量。姜m 。量蒜 h ，1 ) = 1( n ，q ) = l 6 1 m n - 兰一l f “ 上述公式中的主项取自于满足下面条件的项：6 1 r a n = g 1 9 2 d l d 2 l m n5 1 且9 l = 9 2 = d l = 如= z = m = n = 1 ，其余各项均为余项 7 ( 2 2 )m 一 璋舭 学 量 掣 蜓 第二章关于k l o o s t e r m a n 和与h u r w i t zz e t a 一函数的加权均值 于是 等量则( 。三华) ( 。美盯掣) ( 。曼学) = ；菇南苇p ( j ) 蜘，+ 。m l ，髻。苇k ( j ) i ，。磊w 。c b + 1 ) e 一1 ) + 0 p 写驯狮s ，l h 乏 m ，根据特征的周 期性，我们有 x - ( n ) = x t ( ”) ， 村9 虫 m n _ m + ( z - m ) l q q 其中i x 表示z 的小数部分。 从而有 害磊，n o d + ? 邢，量l m m 警：竽如 + 髫( 6 ) 等。：竽出 了，5x1 f 村 。朋 ：掣。fr 智j mi 。氩 f5 - 型 l 厶肘旅轰：m z 8 j 2 ( s i r e n li z 一；d z 1 量一 x 西北大学博士学位论文 b ( q ) 7 ， f j m q ) t - o o ( 净一刁z 屯 9 1 押m j 1l i l 2 m 利用同样的方法，我们可得其余各误差项估计 z 一2 如 等量邪，i t m 学f 竽句 + 元( j ) 半f ，掣句。 1 ，6 m 嘶 叫”9。m q 2 + 5 m l n m ( 2 4 ) ( 2 5 ) 等，郧，荟。，掣f 竽句 元( 5 ) 芈。掣句 1 ，6xr o o d 7l s t s m1 n f 。 q l “m 一 1 n 2m( 2 6 ) 等量荆f 竽如f 竽匆f 竽如 9 3 “m 一， 擎，郧) 掣f 掣出f 郧) 掣：，掣出。 1 x r o o d 7 l _ r a m 。朋 。朋 q 2 押m 一l n m ( 2 7 ) ( 2 8 ) 擎，毛：，邢，磊荟。，掣”m 掣x 如 + 元( 6 ) 型芝掣竺掣如 1 ，5xm 嘶l s - s 肘。1 n 盯 q l “m 一 i n 2m ， ( 2 9 ) 等，邢嘎学f 掣如f 竽咖 1 ，5xm o d e ,l n j i f 。 “4 9 生 三h 蜓 h 蛾 一 ， 掣。 乙一z 钺一 第二章关于k l o o s t e r m a n 和与h u r w i t zz e t a 一函数的加权均值 q 2 押m i l n m 现在取m = g 并结合式( 2 2 ) 一( 2 1 0 ) ，我们可得 ( 2 1 0 ) 等量邢舻班( 捌= 嘶v l l q 一志) + o ( 声。)1 xm 嘶 、。 ， 。 、r v7 于是完成了引理2 4 的证明 定理2 1 的证明 对任何复数s = 口+ i t 1 1 1 2s 盯 1 ，由【3 我们知道 并且注意到 蝴) = 三壹剃e a q 8o - 1l ( 锨) = 三元 ) e ) 扣脚= 妾害洳，e ( 竿a c - 1 - c ) 元( 。) 1 ；口) = 元( n ) e ( _ _ ) o=口=c=1 一 = 者荆e ( ；) 喜施，e ( ；) 吡卜 利用这些等式及引理2 1 ，有 k ( a , 1 ；q ) ( ( ；，；b ) e ( 曲，q ) = 丽- 1 。三( 扣脚湖) ( 扣删) ) 匡掣) 2 = 一高。象批c 剐薹掣) 现在根据口= 伽且( 札， ) = 1 ，“是一个s q u a r e - f u l l 数或者= 1 ，钉是一 个s q u a r e - f r e e 数，以及对任何非原特征xm o dg ，一定存在唯一的一个正整 数m ( m l q ) 与唯一的模m 的原特征r 使得x = x 熘( 瑶是模q 的主特征) ，并结 合g a u s s 和的性质( 参看汹) ：当x ( 一1 ) = 一1 时，彳( f ) 丁( f ) = 一m 。我们可 知：当且仅当m = 谢时，有矿( q m ) p ( q l m ) 0 ，这里d h 对模q 任何非原特征x = 矿魍，根据引理2 2 ，我们有等式： r ( x ) = r ( 墨) 卢( 熹) r ( 矿) o 1 0 西北大学博士学位论文 及 子堡! 笙星：兰! ：子呈鱼壹! 兰：( 塑塾! 竺( 壶! ! ! ! ! ：垒：! 鲁行 ，。箍， 嘶( 南) ( q t “。= 1 “ 比) 妒( m ) r ( 煮) p ( 赤) ( g ) r ( r ) m d - 妒( 詈) p ( 9 ) 矿( 9 ) r ( 最) p ( 赤) ( 口) r ( 矿) g d - ( 酱) ：rr 型兰堕( 耋! 竺! 妻坐些翌 磊垂9 a 1 - 妒( 酱) 。 d 1 i ：9 i 新1 妒百， 三q7 q7 脚，如) ( ( i 1 ，扣岫) 7 7 k ( 1 ；g ) 晦：) g ( 曲，g ) 口= l6 = 1 。 = 一高丢。乏“妒( 辨班( 刍硼 x = 一掣；磊磊。矗磊糍 “ d 扣d - l jd 2 i ：口t l 击m l 遗g l 啦d l d 2 妒i 孟7 妒i 玄j ，。驰，鲥桃2 ( 1 ，批( 神 xm o d t d = 一扣讹，骢( 一志) 删门 这样便完成了定理2 1 的证明 1 1 矿一 “一曲一烈一 生 劫丽 x 一 篁| 血一 = 、j n o 百三妒森崎 ：苯一 喇 吣 = = ；蓦= l m v 生 删 崎 蚶 = 惜 圳 jj-i一 第二蕈关于k l o o s t e r m a n 和与h u r w i t zz e t a 一函数的加权均值 2 2关于k l o o s t e r m a n 和的加权均值( i i ) 刘红艳【8 1 l 定义了下面形式的广义c o c h r a n e 和： ，哪 q ) 2 蚤 , - - 【扣a - - i ? 。h ) ，d = 1 。 一 其中 瓦p ) = b “。im x 篓罢j 不是整数； 虽k ( z ) 为几次b e m o u i i i 多项式，瓦0 ) 为定义在o ：x ) 的研究是解 n o 析数论的中心问题之一易见该和式q ，1 9 1 9 年前后，p 6 1 y a 和v i n o g r a d o v 1 4 l 得 出这一和式c 撕l o g q 1 9 7 7 年，h l m o n t g o m e r y 6 l r c v a u g h a n g a 在广 义r i e m a n n 假设下，证明了这一和式撕i o g l o gg 如果在不记( ) 常数的 情况下这一估计式的阶是最佳的，因为在1 9 3 2 年r ，e a c p a l e y l 叫得到存在特 征x 使得这一和式v q l o g l o g q ( 有关这方面内容还可参看【1 2 】，【3 9 ，【4 7 】， 4 8 】， 【4 9 】， 5 0 和 9 6 ) 最近徐哲峰和张文鹏【9 5 l 得到下面的特征和在短区间 1 ，；) 上的2 次均值 剖驴= j ( q ) q k l 6 ( 8 ) 啦2 孵圹1 飘( - 一学) + d ( 扩) 我们知道g a 榔r ( x ) - 妻胖( ；) 尚是原特碱删= 以 我们知道g a u s s 和r ( x ) = x ( n 扣( ；) ，当x 是原特征时，i 丁( x ) i = 姐， n = l 一 而当x 是非原特征时，它的取值极不规则，甚至可以为零! 张文鹏l 铝l 【6 9 l 【7 2 1 研 究g a u s s 和与d i r i c h l e tl ，函数的混合均值给我们以启示，我们也可从另外一个角 度来研究特征和。下面来研究以下三种形式的g a u s s 和与特征和的混合均值 ( ，) i1 2 k ) h ( 一1 ) 4 x ( 。) i ， x x l i j o ( 击i ) 叫( 一1 ) 4 x ( 。) l ii x 妒 l 口 杀i c d 羞荔。量，隆c _ 1 段c 。) i p s vx 卜l 户1 1 4 若 i 通过对这些均值的研究，可以使我们找出其内在的一些联系。 3 1关于类特征和的2 后次加权均值 我们称和式( 一1 ) 。x ( a ) 为类特征和，酋先来考虑( j ) 型均值。 1 o 0 及正整数，有渐近公式 i r ( 删” x ( 一1 ) - 1 x x 0 ( 一1 ) 4 x ( n ) 口 = 竿( 琢( 一圹飘( ，一学) 砷母) ， l r ( x ) pl ( 一1 ) 。x ( n i x ( - 1 ) = 1 i o i = 喾( 扩2 瓢( 一圹1 县( ，一挚) 唧峥) 定理3 2 ：设奇数q 9 7 0 及正整数女，我们有渐近公式 i r ( x ) l ”j ( 一1 ) 4 x ( o ) i x m 甜口 f 口 8 ，x 是模口的一个历n c k 塬特征，则有 1 倒当x ( 一1 ) = 埘，x ( n ) = 0 f 1 1 倒蜊叫_ - 1 时，曼水) ：! 掣呶) 坤潮， 1 8 塑! ! 奎量堡主茎堡垄兰昌t 一 例划叫：1 时，登x = 掣狮撖t ) ， 口叼矧叫_ 1 时，登加) = 塑喘型啾) 砸国， 艄删圳，登x ( 口) = 华降撕卅砺1 蝴x 8 1 ) 】， f 删当x ( 一，) 一，时，墨x ：警f 生翌譬型加翮一击坤，撬) ， 其中心是模4 的原特霍8 ，和x 8 2 是模8 的两个原特征，且分别为骼- ( 3 ) = 1 ， 翌餐委磊炎证明( v ) 式，其他可类似地证明由于q 是奇数，易见；- i ，从而根据证明：我们只证明( v ) 式，其他可类似地证明由于q 是奇数，易见；，从【f 根碾 引理3 3 有 墨x ( 8 ) ：型7 ，手掣 一；掣毽- 1 掣+ 尹n = l 攀- - 1 = 华( 挈耋掣+ 薹学) = 掣( 掣础剐+ 丽1 砌翩- ) ) 弓i 理乳5 ：设奇数q 8 ，x 是模q 的一个特征，x 4 是模4 的原特征，x 8 - 和是 模8 的两个原特征，x s z ( 3 ) = 1 ，( 3 ) = - i ，则有以下的关系式 。黜- i ) = im 蒯弘= 掣( 扩1 吵圹1 飘( 一挚)x 9 w 一1 、 + o ( q ) ， 哆l j 量阪城舯：掣( 矿1 孵圹飘( - 一学) x ( 一1 ) = l y l q 一、 + d ( 矿) ， z j 眦卜掣i ：i 揣 x ( 一1 ) ；- 1 p w 第三章关于类特征和的加权均值 x ( 2 m ) j l ( 1 ，洲= x ( - i ) = -