（基础数学专业论文）两类序半群的半格分解及几类序半群之间的关系.pdf

摘要 偏序半群的代数理论现今是最为活跃的代数学研究领域之一本文主要研 究了两类序半群的半格分解，同时还研究了几类序半群之间的关系及序半群同 态的若干性质，主要结果如下： 1 对内正则砒d 序半群进行半格分解，证明一个序半群s 为内正$ i j d u o 的当 且仅当它足单且左单且右单的半群半格 2 通过一系列等价命题给出了左正n d u o 序半群的刻画，证明左正则d 御序 半群即为左单且右单的半群半格 3 研究了几类序半群之间的联系：即序半群上加上左正则、右正则、内正 则、正则、左d u o 、右d u o 、a u o 这_ 几个条件中的几个得到不同类的序半群，这几 类看似不相干的序半群之问有着某种联系，其次研究了序半群同态的一些性质 关键词 内正则( 左正则) 序半群，d u o 序半群，格林关系，理想，同态 a b s t r a c t a l g e b r a i ct h e o r yo fp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i g r o u p si ss t i l lo n eo ft h em o s t a c t i v ef i e l d so fa l g e b r a t h em a i ng o a lo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st og i v eu st h ed e - c o m p o s i t i o n so ft w ot y p e so fo r d e r e ds e m i g r o u p s s e c o n d l y , t h i sd i s s e r t a t i o ng i v e s u st h er e l a t i o n sb e t w e e ns o m et y p e so fo r d e r e ds e m i g r o u p sa n ds o m ep r o p e r t i e s o fp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i g r o u p s h o m o m o r p h i s m i tm a i n l ya c h i e v e di nt h ef o l - l o w i n ga s p e c t s ： 1 t h ed e c o m p o s i t i o no ft h ei n t r a - r e g u l a ra n dd u oo r d e r e ds e m i g r o u p s i sg i v e n a no r d e r e ds e m i g r o u pi si n t r a - r e g u l a ra n dd u oi fa n do n l yi f i t i sa s e m i - l a t t i c eo fi n t r a - r e g u l a ra n ds i m p l ea n dl e f ts i m p l ea n dr i g h ts i m p l es u b - s e m i g r o u p s 2 t h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h el e f t - r e g u l a ra n dd u oo r d e r e ds e m i g r o u p sa r e g i v e no u tb yas e r i e so fe q u i v a l e n c ep r o p o s i t i o n s a nl e f t - r e g u l a ra n dd u oo r d e r e d s e m i g r o u pi si na c c o r d a n c ew i t has e m i - l a t t i c eo fl e f t - r e g u l a ra n dl e f ts i m p l ea n d r i g h ts i m p l es u b - s e m i g r o u p s w es t u d i e dt h er e l a t i o n sb e t w e e ns o m e t y p e so fo r d e r e ds e m i - g r o u p s ，i e t h e r ea r es o m er e l a t i o n sb e t w e e nt h ed i f f e r e n tt y p e so fo r d e r e ds e m i - g r o u p si nw h i c hs o m eo ft h et e r m si n c l u d i n gl e f t - r e g t t l a r ，r i g h t r e g u l a r ，i n t r a - r e g u l a r ，r e g u l a r ，l e f td u o ，r i g h td u oa n dd u oa r ea d d e d t h e nw es t u d i e ds o m e p r o p e r t i e so ft h eo r d e r e ds e m i g r o u p s h o m o m o r p h i s m k e y w o r d s i n t r a - r e g u l a r ( 1 e f t r e g u l a r ) o r d e r e ds e m i g r o u p ，d u oo r d e r e ds e m i g r o u p ，g r e e n s r e l a t i o n ，i d e a l ：h o m o m o r p h i s m n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到 故s ( a = ( s a 引理1 2 5 ( ( 州6 】= ( a b 证明： 由于( 州= sit 口，对某一a a ) ， 则有( 刎l i = 拍sit n ，对某一n 4 ) ， 这样( ( a 】6 】= 扫slps 地对某一亡( 月】= p sp t b o 良对某一a a ) ， ( a b = 【g siq d b ，对某一a 7 a ) ， 故( ( a 】6 = ( a b 截至目前，有许多学者致力于序半群理论的研究并取得了丰硕的成果，其中 理想、滤子、格林关系是他们在研究过程中广泛使用的几个强有力的工具下 将本文所涉及到的有关理想、滤子、格林关系的结论陈列如下： 序半群( s ，) 中，s 且，彩，称，为s 的左理想( 右理想、双边理 想) ，如果 1 ) s i i ( x s j ，i s i j ) ； 2 ) 若a i ，b s ，b a ，有b ， 称，为s 的理想，如果，既是s 的左理想又是s 的右理想 由上述定义不难看出，序半群s 的左理想、右理想、双边理想、理想均 为s 的子半群，并且s 本身是s 的左理想、右理想、双边理想、理想 定理1 2 1 序半群s 的左理想、右理想、理想均为s 的双边理想 证明： 1 ) s s i ( i s i n 2 ) s = ( 翻 这样序半群s 的左理想、右理想、理想均为s 的双边理想 3 第一章绪论 定理1 2 2 8 1 对任意n s ，( s n 】，( n 翻，( s n 卅，( 口s 凸 分别是s 的左理想、 右理想、理想、双边理想 定理1 2 3 【8 】t 为s 的左理想( 右理想、双边理想、理想) ，则t = ( 刁 定理1 2 4 【8 】若a ，口为s 的左理想( 右理想、理想) ，贝j j ( a b 、anb 、au 刮匀为s 的左理想( 右理想、理想) 定理1 2 5若a ，b 为s 的双边理想，贝j j ( a b 、anb 为s 的双边理想 证明略 注1 ：若a ，b 为s 的双边理想：则月ub 不一定为s 的双边理想 注2 ：与半群不同，若a ，b 为s 的左理想( 右理想、理想) ，则a b 不为s 的 左理想( 右理想、理想) 定理1 2 6 若a ，b 为s 的理想，贝j j ( a b ca nbc aub 证明：由于4 、b 为s 的理想，贝i j ( a b c ( a s c _ ( a = a ， 同理有( a b c _ b ， 故( a b 冬anb ， 这样必有( a 引冬anb 冬a ub 定理1 2 7 【6 】若，是s 的理想，t s ，则jnt 是t 的理想 类似地不难证明，若，是s 的左理想( 右理想、双边理想) ，t s ， 则jnt 是丁的左理想( 右理想、双边理想) 用l ( n ) ，r ( n ) ，( n ) ，b ( 口) 分别表示由口生成的主左理想、主右理想、主理 想、主双边理想，即l ( 口) ，r ( n ) ，( 口) ，b ( n ) 分别是关于“的含a 的最小的 左理想、右理想、理想、双边理想，足所有含a 的左理想、右理想、理想、双 边理想的交 不难证明，l ( a ) = ( a u s a ，r ( a ) = ( a u a s ，i ( a ) = ( a o s a u a s u s a s ，b ( a ) = ( aua 2ua s a 定理1 2 8 对任意a ，b s ，若a l ( i i ) ，贝l j l ( a ) l ( 6 ) 证明： n ( a ) = t sit a 或t y a ，对某一可s ， l ( b ) = t 7 si 口或z 7 y a 对某一y 7 s ) ， 4 两北人学硕七学位论文 a 己( 6 ) ，则有a b 或a x b ，对某一。s ， 这样，对任意t l ( 口) 有t a 或t y a ，对某一y 研， 若a 6 ，则t a b 或t y a y b ，此时t 己( 6 ) ， 若a x b ，则t a x b 或t y a y x b ，此时t l ( 6 ) ， 综上，l ( a ) 三( 6 ) 对于主右理想、主理想、主双边理想有类似结论 定理1 2 9 对任意a ，b s ，若a 6 ，则j ( n ) j ( b ) 证明： 对任意t i ( a ) = ( s 1 a s l 】，则存在z ，y s 1 ，使得x a y = b y ， 故t ( s l b s l 】= ，( 6 ) ， 所以i ( a ) ，( 6 ) 序半群s 的子半群f 称为滤子，如果 ( 1 ) a ，b s ，a b f ，则a f 且b f ， ( 2 ) a f ，c s ，a c ，贝i jc f 用n ( a 1 表示由a 生成的滤子 ：= ( n ，b ) l ( n ) = ( 6 ) ) 定理1 2 1 0 对任意a ，b s ，若a ( 6 ) ，则n ( a ) ( 6 ) 证明略 定理1 2 1 1 2 3 a w 是s 上的最小的完全半格同余 定义s 上的等价关系c ，冗z ，召，咒为格林关系， ( v a ，b s ) ：= ( a ，b ) il ( a ) = ( 6 ) ； ( v a ，b s ) 冗：= ( d ，b ) i 冗( 口) = r ( 6 ) ； ( v a ，b s ) z ：= ( n ，b ) i ，( q ) = ，( 6 ) ) ； ( v a ，b s ) 召：= ( o ，b ) lb ( a ) = b ( 6 ) ) ； ( v a ，b s ) 7 ：= n 冗 我 门有咒gc zs 及w 互冗z 5 第二章关内正n d u o 序半群 第二章关于内正$ l j d u o 序半群 本章给出内正则d u o 序半群的刻画，证明一个序半群s 是内正则d u o 的当 且仅当它是单且左单且右单的半群半格特别地，s 是单且左单且右单的序半群 链当且仅当s 是内正则d u o 的且s 的所有理想关于集合的包含关系构成链 2 1 预备知识 定义2 1 1 1 1 0 l 序半群( s ，) 为内正则的，如果对于任意a s ，有a ( s a ：s 显然，若s 是内正则的，有z ( a ) = ( s a s 定义2 1 2 【6 】s 称为左( 右) d u o 的，如果s 的每个左理想( 右理想) 均 为s 的右理想( 左理想) ；s 称为d u o 的，如果s 既为左d u o 的又为右d u o 的 定义2 1 3 【6 】s 称为单的，如果s 不包含任何真的理想：即对于s 的任意 理想，i = s 这样，对于任意a s ，有( s 凸翻= s s 称为左单的，如果s 不包含任何真的左理想，即对于s 的任意左理 想l ，l = s 这样，对于任意n s ，有( s 司= s s 称为右单的，如果s 不包含任何真的右理想，即对于s 的任意右理 想兄，r = s 这样，对于任意n s ，有( 口吲= s 定义2 1 4 ns 称为半素的，如果a ea 2 t ，有a t 定义2 1 5 【6 1s 上的等价关系口称为同余：对任意c s ，若( q ，b ) 仃， 有( 口c ，b c ) 巧且( c a ，c b ) 仃 s 上的同余盯称为半格同余，对任意a ，b s ：若( n 2 ，a ) 仃且( 0 6 ，b a ) 盯 s 上的同余仃称为完全同余，对任意a ，b s ；若a 6 ，则( 口，a b ) 仃 定理2 1 1 盯为s 上的半格同余测( z ) 口是s 的子半群 证明：仍( z ) 盯冬s ( x ( z ) 口) ， 对任意a ，b ) 盯，有a a x b a x ，则a b a x 2 ，而；t 2 g x ：故a b a x ，即a b 6 两北火学硕士学位论文 ) d 定义2 1 6 【6 】设矿为s 上的一个同余，定义纠：= ( z ) 盯iz s 】- 上的乘 法“ 为： ( v 2 ，y s ) ( z ) 口( 可) 口= ( z 矽) 仃， 则( s a ，) 为一个半群在半群酬盯上定义序“冬为： ( z ) 寸5 ( 可) 盯 净( z ) 盯= ：( z 秒) 矿， 贝 j ( s a ，冬) 为一个新的序半群 定理2 1 2 ( v a ，b s ) a b 兮( o ) 口5 ( 6 ) 口 证明：a b , 雾l l j ( a ，a b ) 即( n ) 口= ( a b ) 仃，故( 凸) 盯5 ( 6 ) 口 定义2 1 7 序半群s 称为一个单且左单且右单的序半群半格，如果存在 一个s 上的半格同余盯，使得定义任意z s ，s 的子半群( z ) 盯足单且左单 且右单的即存在一个s 上的半格同余盯及s 的单且左单且右单的子半群 族 最io t y ( = s o ) 满足： 1 ) vq ，卢y ，o t 卢，最n & = d ； 2 ) s = & iq y ) ； 3 ) 比，卢y ，s o 昂冬最芦 定义2 1 8s 称为是单且左单且右单的序半群的链，如果存在s 的一个 半格同余盯，使得对z s ，( z ) 盯足s 的一个单且左单且右单的序子半群且半 格s o 关于序关系“5 ”： ( z ) 口冬( y ) 口 今( z ) 口= ( z ) 盯 是一条链 s 的理想链是指s 的所有理想关于通常的集合关系“ 构成链 引理2 1 1 设s 是一个序半群，则s 的任意理想足素的当且仅当它们关于 集合的包含关系形成一个链且s 是内正则的 类似地，我们有，设s 是一个序半群，则s 的任意左理想足素的当且仅当它 们关于集合的包含关系形成一个链且s 是左正则的 7 第二章关内币n d u o 序半群 2 2内正则d u o 序半群的等价刻画 下面介绍本章的丰要结论，在得到该结论前我们先给出两个引理 引理2 2 1 设s 是一个内正则序半群，则s 足d u o 的当且仅当 ( 比s ) ( 鼬翻= ( s x 】= 翻 证明：( 必要性) 一方面，由于s 足d u o 的，则有( s z s ( ( 】翻( ( s d 】= ( s z 】； 另一方面，由于s 是内正则的：有( s x 】( s s x 2 吲( s x s ； 所以( s x s l = ( s 叫，同理有( s t 翻= ( z 翻，综上有( s z s l = ( s x 】= ( z 翻 ( 充分性) 设三是s 的一个左理想，对于任意l s l s ( 其中z l s s ) ，i s ( z s = ( s 1 ( s 1 s ( l 】= ，f h l s 的任意性有l s l ，r j l 是s 的右理 想，这样s 是左d u o 的，同理可证s 是右d u o 的，综上s 是d u o 的 引理2 2 2 设s 是一个序半群，则对任意a ，b s ，有 u b e s ( s a b = u b s ( b a s = ( s a 翻 证明： 一方面，由于s a b s a s ，所以( s n 6 】( 8 a s ，n u b s ( s q 6 】( s a 司 另一方面，由于( s n 6 为s 的左理想，而由引理1 左理想的并仍为左理 想所以( s n s j = ( u b s s a b ( u b s ( 舶纠】= u b e s ( s a b 综上，对任意a ，b s ，有u b s ( s n 6 】= ( s a s ，同理有u 6 s ( b a s = ( s n 翻，即 ( v a ，b s ) u b e b ( s n 6 】= u 6 s ( b a s = ( s a 司 定理2 2 1 设s 是一个序半群，则下列命题等价： 1 ) s 是内正n d u o 的； 2 ) ( c a ，b s ) i ( a b ) = ，( n ) n ，( 6 ) ，l ( a b ) = l ( 口) n ，( 6 ) ，r ( a b ) = ，( 口) n r ( 6 ) ； 3 ) s 是d u o 的且s 的每个理想都足半素的； 4 ) 对任意z s i s 是内正则的且( s 叫= ( z 翻； 5 ) 对任意x s ：( z ) = 可slz ( s y 】= 翻= ( 5 分翻 ； 8 西北大学硕十学位论文 6 ) a f = 2 7 = c = 冗= 咒； 7 ) 对s 的每个理想厂，= u ( z 加iz ，) ，每个左( 右) 理 想l ( r ) ，l = u ( z 撕iz l ) ，r = u ( z 撕iz 冗) ，且( z k 是单且左单且 右单的： 8 ) s 是完全内正则单且左单且右单的半群半格； 9 ) s 是单且左单且右单的半群半格 证明：1 ) 弓2 ) 对任意a ，b s ，一方面，对任意z z ( a b ) ，由于s 是内正则的，有z i ( a b ) = ( s a b s ( s a s = ，( 口) ，同理有z ，( 6 ) 所以z ，( n ) n ，( 6 ) ，由z 的任意性 有i ( a b ) i ( a ) n ，( 6 ) 另一方面，对任意z z ( a ) n ，( 6 ) ，有z ，( n ) 且比_ ，( 6 ) ，而s 是内正 则的，即z ( s a s t = ( s b s l ，又s 是内正则如d 的：由引理2 2 1 ，z ( 鼠2 翻 ( s ( s a s ( s b s s l ( s s a s s b s s ( s a s b s ( s ：( s b s l 】= ( s a ( b s 】c 一 ( s a b s = i ( a b ) ，由z 的任意性有，z ( a ) nz ( b ) ，( n 6 ) ； 综上，i ( a b ) = i ( a ) n ，( 6 ) ，同理可得( s o 纠= ( s a 】n ( s b ，( n 6 翻= ( a s n ( b s ，而由于s 是内正则砒d 的，不难得到s 足左( 右) 正则的，所以有l ( a ) = ( s a ，n ( a ) = ( a s ，故有i ( a b ) = z ( a ) n ，( 6 ) ，l ( a b ) = l ( a ) n ，( 6 ) ，n ( a b ) = i ( a ) n 冗( 6 ) ； 2 ) 茸3 ) 对任意z s ，由i ( a b ) = z ( a ) n ，( 6 ) 有z ( x ) = z ( x 2 ) = ，( z 4 ) ，所以z ， ) = ，( z 4 ) = ( z 4us x 4ux 4 sus _ 4 翻( ( s x 2 翻】= ( s x 2 司，由z 的任意性得s 是内正 则的 下证s 是d u o 的，对任意a 只 一方面，由于s 是内正则的，有( s a 】( s s a 2 别( s 口翻； 另一方面：对任意a ，b s ，m ( s a b = ( s a n ( s b ，有( s n 6 】 ( s a ，贝, u u b s ( s a b ( s a ，由引理2 2 2 有( s a s 冬( s a 所以( 舶翻= ( s a ，同理可得( s o s l = ( a s ，综上有( s n s l = ( s a = ( n 司，由引 9 第二二章关内正贝u | d u o 序半群 理2 2 1 有，s 足d u o 的 设，是s 的一个理想且对任意z s ，z 2 i , 贝u z ( s x 2 司c ( s i s 】( ，】= ，因此j 是半素的 3 ) 茸4 ) 对任意z s ，z 4 ( s x 2 剐，而s 的每个理想都是半素的，故z ( s x 2 司，由z 的任意性，s 是内正则的，而s 是d t z o 的，由引理2 2 1 有，( 】= ( x s l 4 ) 弓5 ) 对任意z s ，设t = ( siz ( 勖】) ，且设n ，b t j 而s 是内正 则的，则z ( s 4 ，z ( s a ，则z ( s x 2 s l 冬( s ( s 4 ( s b s ( s a s b s ( s a ( s b 别= ( s n ( 姆】s l ( 9 如翻( s ( a b s 】= ( s ( s 曲】( s a b 所以n 6 t ； 若n 6 t ，则n t ，b t ，事实上，a b t ，贝u z ( s a b ( ( s n 】6 】= ( ( o 习6 】 ( a s b ( 口翻= ( s a ，又z ( s a b ( s b ，所以凸6 t ； 若a t ，b s ，a b f l j j x ( s a ( s b 所以6 t 综上，t 是s 的包含z 的滤子 设f 是s 的包含z 的另一个滤子，对任意a t ，则存在s s ，使得z 8 a ，则s 凸f ，故a f ，由n 的任意性，丁f ，以上证明丁= ( z ) 5 ) 号6 ) 对z s ，由z 2 ) 有z ( s x 2 s l ，由。的任意性得s 足内正则的； z ，事实上，对任意a ，b 人厂，有b ( n ) ，即( 舶司，这样i ( a ) ( s 6 司= ，( 6 ) ，同理可得_ ，( 6 ) ，( n ) ，所以，( d ) = ，( b ) ，即( n ，b ) 五m ( a ，6 ) 的任 意性得z z ，事实上，对任意a ，b z ，有b l ( a ) = ( s a s ，则o ( 6 ) ，即( n ) ( 6 ) ，同理可得x ( b ) ( o ) ，这样n ( a ) = ( 6 ) ，即( 凸，b ) ，由( n ，6 ) 的任意性 得z 综上，h f = z c ，事实上，对任意( ，b ) a f ，有a ( 6 ) ，则6 ( s a 】( 凸us a = 工( o ) ，故l ( b ) cl ( 口) ，同理可得l ( a ) sl ( 6 ) ，故l ( a ) = l ( 6 ) ，即( n ，b ) c ，m ( a ，6 ) 的 1 n 两北大学硕士学位论文 任意性得c c ，事实上，对任意a ，b ) c ；有a l ( b ) = ( bus b ( ( s b 2 司u ( s s b 2 s 】( s b s j ，即6 ( n ) ，即( n ，b ) a f ，由( n ，6 ) 的任意性得c 综上= c 同理可得= 冗：而化：= n 冗所以、厂= 2 - = c = 冗= 咒 6 ) 暑7 ) 设，是s 的一个理想，显然有，u 【( z hiz 耽 设y ( z ) 。v ，( z j ) ，则( z ，y ) 厂= z ，从而y ，( z ) i ，综上 有，= u ( z ) iz ，) ( z k 是单的，设i 是( z k 的一个理想，对任意a ( z 加，设b i f l j j ( s b 3 剐是s 的 理想，由于( s 6 3 s 】= u ( c kic ( s 6 3 司) ，而6 5 ( s b 3 s ，所以( 6 5 加= ( 6 ) = ( n k ( s b 3 s ，因此存在 q k 2 s ，使得n k l b 3 k 2 ； 而南l b b k 2 k ，事实上，k l b ( k l b ) = ( k 1 ) f ( b ) x = ( 七l 加( n 撕= ( k 1 ) _ f ( a k l b 3 如) = ( a k b 3 乜) = ( n ) = ( z ) 同理可证b k 2 k ； 这样a ( 晃1 厶3 七2 】= ( ( h b ) b ( b k 2 ) 】( ( z ) ，( z ) 】( 明= j _ ， 由口的任意性有( z ) j ； 而显然， 撕；所以j r = k ( z k 是左单的：设l 是( z k 的一个左理想，对任意a ( z 加，设b l ，则( s 6 2 】是s 的左理想，由于( s 6 2 】= u ( c 撕ic ( s 6 2 】) 而6 3 ( s 6 2 】，所 以( b 3 ) = ( 6 加= ( 口k ( s 6 2 】，因此存在七s ，使得a 克6 2 ； 而后6 ( z ) ，事实上，k b ( 七1 ) ) = ( 七) ( 6 ) = ( 七) ( o ) = ( 七) ( o 尼6 2 ) = ( a k b 2 ) = ( 口) = ( z ) 这样a ( k b 2 】= ( ( 七6 ) 6 】( ( z ) 厂三 ( l 】= l ， 由口的任意性有( 。k 互三； 而显然三冬( z 加，所以l = ( z 加 同理可证( z k 是右单的 】1 第二章关内证s w j d u o 序半群 7 ) 哥8 ) 因为是s 上的最小的完全半格同余，只需证明s 是内正则半群半格，即只需 证明比s ，( 。加是内正则的显然，( z 撕关于s 上的序关系在它上的限制是s 的 一个序子半群 下证( 。k 是内正则的， 对任意y ( z 撕，由于s 是内正则的，则存在8 1 8 2 s ：使得y s l y 2 8 2 ，则y 2 s l y 2 s 2 y ) 及y 2 y s l y 2 8 2 ，则剪s y 2 s 2 y s 2 s y s l y 2 s ；y 8 2 ， 而s ；妒1 ，s ；y s 2 ) ，事实上，s 2 y s l ( s i 驴1 加= ( 8 1 剪撕= ( 8 1 ) ( 夕k = ( s 1 ) ( y s i s 1 ) = ( 可s 2 1 可s 1 ) = ( ) = ( z ) ，同理可证s ；可s 2 ( z ) 所以可( s ；y s l y 2 s ；y s 2 】( ( z ) 可2 ( z ) 】所以s 是内正则的 综上s 足完全内正则单且左单且右单的半群半格 8 ) j 9 ) 显然； 9 ) 哥1 ) 设s = u a y & ，这里y 是半格：& 是s 的单子半群的无交并对任意a y 对 任意z s ，存在口y ，使得z & 由此可得，对任意z & = ( & z 2 & 】( s z 2 剐，由s 的任意性，s 是内正则 的 设三是s 的任一左理想，对任意y s ，设z l ：则存在q y ，使 得y x & ，e p ( y z ) r = 最，这里( y z ) y 表示半格同余盯，纠仃= y 的包含可z 的同 余类，故y x ln & ，ln & 为& 的左理想，而是左单的，得ln & = & ，因 此x y ( x y ) y = ( y x ) y = & = ln 鼠l ，由的任意性：得l s l ，即l 是s 的 右理想，即s 是左d u o 的，同理可证，s 是右d u o 的 综上，s 足内正贝j j d u o 的 注：对给定的一个半群s j 可以赋予s 一个平凡关系 ：= ( 。，y ) iz = 秒 ， 则( s ，) 是一个序半群：再应用上面的结果到( s ，) ，不难看出序半群中 的结果在( s ) 中也成立根据上面的定理，一个半群s ( 没有序) 是内正则如d 的当 】2 两北大学硕士学位论文 且仅当它是单且左单且右单的半群半格 定理2 2 2 设s 是一个序半群，则下面命题等价： 1 )s 是单且左单且右单的序半群链； 2 )s 是d u o 的且s 的每个理想足素的； 3 )s 是内正贝u d u o 的且s 的所有理想形成一个链 证明：1 ) 穹2 ) 设仃是s 上的单且左单且右单的序子半群的半格同余且( 纠口，! ) 是 链，由定理2 2 1 ，s 是d u o 的设，是s 的理想且n ，b ，则，n ( a 6 ) 盯是( n 6 ) 口的一个理 想，由于( 口6 ) 仃是单的，所以，n ( a b ) 口= ( a b ) 盯 另一方面，若( d ) 盯5 ( 6 ) 仃，则( n ) 盯= ( a b ) 盯，因此，n ( a b ) 盯= ( q ) 口且口 ，；若( 6 ) 口5 ( n ) 口，则( 6 ) 口= ( h a ) 口= ( 曲) 仃，因此，n ( n 6 ) 口= ( 6 ) 盯且6 ，； 所以，是素的 2 ) 等3 ) 因为0 4 ( s a 2 翻，则口( s a 2 翻，即s 是内正则的，而s 又是砒d 的，由引 理2 1 1 ，s 的所有理想关于集合的包含关系形成一个链 3 ) j 1 ) 由定理2 2 1 ，s 是单且左单且右单的序半群半格，因此，( 曲) = i ( a ) j ：i ( a b ) = ，( 6 ) ，而= z ，由n ( a b ) = ( 口) 或( n 6 ) = ( 6 ) 得到( 纠，一- 4 1 是一条链 1 3 第i 章关东正n d u o 序半群 第三章关于左正贝1 d u o 序半群 本章利用一系列等价命题将左正贝, l j d u o 序半群进行了刻画，对左j 下n d u o 序 半群进行了半格分解，证明左正则d u o 序半群是完全左正则左单且右单序半群半 格 3 1 预备知识 定义3 1 1 【6 】序半群( s ，) 为左正则的，如果对于任意口s ，有口( s a 2 】 显然，若s 是左i e 贝, u 的，有l ( a ) = ( s 】 序半群( s ，) 为右正则的，如果对于任意o s ，有a ( a 2 翻 显然，若s 是右正则的，有r ( a ) = ( 凸剐 序半群( s ，) 为正则的，如果对于任意n s ，有a ( a s a 显然，若s 是正则的，有b ( a ) = ( a s a ，l ( a ) = ( s a ，冗( 口) = ( a s 定义3 1 2 序半群s 称为一个左单且右单的序半群半格，如果存在一 个s 上的半格同余盯，使得对于任意z s ，s 的子半群( z ) 盯是左单且右单的即 存在一个s 上的半格同余仃及s 的左单且右单的子半群族 最iq y ( = 酬仃) 】i 满足： 1 ) v 口，芦y ，a p ，咒n & = d ； 2 ) s = 最i 口y ) ； 3 ) 比，卢v 最岛芦 定义3 1 3s 称为是左单且右单的序半群的链，如果存在s 的一个半格同 余口，使得对任意z 只( z ) d 是s 的一个左单且右单的序子半群且半格纠盯关于 序关系”5 ，( z ) 盯5 ( 暑) 口铮( z ) 盯= ( z 可) 盯是一条链 3 2 左t 贝1 j d u o 序半群的等价刻画 引理3 2 1 设s 是一个左正则序半群，则s 是d u o 的当且仅当 1 4 两北大学硕士学位论文 ( 比s ) ( s = s l = ( s x = ( z 翻 证明： ( 必要性) 一方面，f h 于s 是d u o 的，则s 是左勘的，则有( 鼠翻 ( ( s 。】s 】( ( s 叫 = ( s 叫； 另一方面，由于s 足左正则的，有( s z ( s 2 】( s x s ； 所以( s 。翻= ( s 叫，同理有( s t 翻= ( x s ，综上有( 5 t 卅= ( s x 】= ( z 翻 ( 充分性) 设l 是s 的一个左理想：对于任意l s l s ( 其中2 l s s ) ，i s ( t s = ( s l 】( s l 】( l 】= l ，由z s 的任意性有l s l ，即l 是s 的右理 想，这样s 是左d u o 的，同理可证s 是右d u o 的，综上s 是d u o 的 定理3 2 1 设s 足一个序半群，则下列命题等价： 1 ) s 是左正则孔d 的； 2 ) 对任意a ，b s ，l ( a b ) = l ( a ) n ，( 6 ) ，r ( a b ) = i ( a ) nr ( 6 ) ； 3 ) s 是d u o 的且s 的每个左理想都是半素的； 4 ) 对任意z s ，s 是左正则的且( s 叫= ( z 翻； 5 ) 对任薏：z s ，n ( x ) = y slz ( s y 】= ( 可翻) ； 6 ) a f = c = 冗= 7 - l ； 7 )对s 的每个左( 右) 理想己( r ) ，l = u 【 撕iz l ) ，r = u ( z 加i 茁研：且 撕是左单且右单的； 8 ) s 是完全左正则左单且右单的半群半格； 9 ) s 是单且左单且右单的半群半格 证明：1 ) 弓2 ) 对任意a ，b s ，由于s 是左正贝j l d u o 的，此时s 必为左正则左d u o 的，而由文 献0 知，s 是左正则左如，) 的当且仅当l ( a b ) = l ( a ) n ，( 6 ) ， 另一方面，由于s 是左正则的贝u s 必为内正则的；s 足d u o 的；则s 必为 右d u o 的： 这样有s 为右正则的，事实上，对任意a s ，由于s 是内正则右d u o 的，则口 ( s 8 2 翻= ( s ( 凸2 翻】冬( a 2 翻，由n 的任意性，s 是右正则的 由于s 是右正则孔d 的，此时s 必为右正则右批的：而由文献d 知，s 是右正则 15 第鼍章关左正n d u o 序半群 右d u o 的当且仅当r ( a b ) = r ( a ) nr ( 6 ) ， 综上有，对任意a ，b sl ( a b ) = l ( a ) n ，( 6 ) ，r ( a b ) = ，( 口) n 冗( b ) 2 ) 号3 ) s 足d u o 的，事实上，对任意a s ， 设三是s 的一个左理想，对任意i s l s ( 其中z l ，8 s ) ，l s l ( i s ) = l ( 1 ) nl ( s ) = l ( 1 ) l ，这样l 为s 的右理想，即s 是左d u o 的，同理可证，s 是 右d u o 的，即s 是d u o 的 设三是s 的一个左理想且z 2 l ，对任意z s ，f 扫l ( a b ) = l ( a ) n ，( 6 ) ，有l ( x 2 ) = l ( z ) ，贝1 j z l ( x ) = l ( z 2 ) 己，因此l 是半素的 3 ) 考4 ) 对任意z s ，x 4 ( s x 2 ，i f i i ( s x 2 】作为s 的一个左理想足半素的，故x ( s z 2 ，由z 的任意性：s 是左正则的，而s 是d u d 的，由引理3 2 1 有，( s x 】= ( 。翻 4 ) j 5 ) 对任意z s ，设t = 可slz ( s 引 ， d t s ( z ( s x 2 】，即z 2 丁) 设a ，b t ，而s 是左正则的，则z ( s a ，z ( s n 】，则z ( s x 2 】一c ( s ( s 口】( s 6 】( s a 5 涮( s ( n s 】6 】= ( s ( 沲】6 jg ( ( s a n = ( s a b ，所以n 6 t ； 若a b t ，n a t ，b t ，事实上，a b t ，则z ( s a b 】( ( s a n = ( ( o 司6 】= ( n s 6 ( o 翻= ( s a 】，又z ( s 口6 】冬( s b ，所以a b 丁； 若a t ，b s ，a b ，贝u z ( s a 】( s 6 】，所以6 t 综上，丁是s 的包含z 的滤子 设f 是s 的包含z 的另一个滤子，对任意a t 存在s s ，使得z s 凸，则s n p ，故a f ，由。的任意性，丁f ，以上证明丁= ( z ) 5 ) 专6 ) 对z s ，由z 2 ( z ) 有z ( s x 2 】，由n 的任意性得s 足左正则的； c ，事实上，对任意a ，b ) a f ，有a ( 6 ) ，则6 ( s a 】= 三( 凸) ，故l ( 6 ) l ( n ) ，同理可得l ( o ) l ( 6 ) 故l ( n ) = l ( 6 ) ，即( n ，b ) c ，由( n ，6 ) 的任意性得 】6 两北大学硕士学位论文 c c 冬，事实上对任意( n ，b ) c ，有o l ( b ) = ( s b ，即6 ( 口) ，即( n ，b ) ，由( n 6 ) 的任意性得c a f 综上= c 同理可得人厂= 冗，而7 - 1 ：= n 冗所以厂= c = 冗= 7 - 1 6 ) j 7 ) 设是s 的一个左理想，显然有l 冬u ( z ) lz l 】- ； 设 撕， 己) ，则( z ，y ) = c ，从而y 三( z ) 三，综上有三= u ( z ) iz l 】 ( z 加是左单的：设l 是( 。k 的一个左理想，对任意8 k ，设6 己，则( s 6 2 足s 的左理想，由于( 甜】= u ( c kic ( s b 2 】) ，而沪( 舶2 】，所 以( 6 3 k = ( 6 撕= ( n 加( s 铲】，因此存在k s ，使得a k b 2 ； 而硒( z ) ，事实上，k b ( 七6 ) = ( k ) z ( b ) z = ( 七撕( 口撕= ( k ) h ( a k b 2 ) = ( a k b 2 ) = ( n ) = ) ， 这样o ( k b 2 】= ( ( 七6 ) 6 】( ( z ) 纠( l 】= l ， 由凸的任意性