（基础数学专业论文）广义有界变差函数类的lp连续模估计.pdf

墨查墨塞墨墨墨叁竺墨苎篓竺兰 1 摘要 本文主要研究a p 一有界变差函数类a 妒b y 及其重要特殊情形的却连续模，( ，；t ) p ( 1 p o o ) 的估计问题 a 妒一有界变差函数是熟知的有界变差函数的一种推广，这种推广结合了a 一有界变 差和妒一有界变差概念由于a 一有界变差函数和l p 一有界变差函数是有界变差函数两 种重要的推广。因而a l p 一有界变差函数类a g b v 的特殊情形包括了许多重要函数类如 一有界变差函数类a a b v ，a 一有界变差函数类a b v ，妒一有界变差函数类妒b 矿，w i e n e r 函数类b v a ，调和有界变差函数类h b v 等 在函数逼近论的研究中，函数类的逼近性质的刻礓，各种函数类与函数类z 掣( 或 l i p e c h i t z 函数类 瑶) 之间的嵌入关系和三角级数收敛性和可和性的研究均不同程度的依 赖于函数的如积分连续模的估计因此，估计一些重要的函数类的如连续模有着重要 的意义 对妒( 司为凸函数的情形，我们给出了函数类a o b v 及其重要特殊情形的功连续模 i ( ，；t b ( 1sp o 。) 的一些估计，这些估计绝大部分在阶的意义下都是精确的 作为我们结果的应用，我们刻画了函数类a o b v 和妒b y 嵌入函数类月善( 1 p o o ) 的一些充分必要条件；我们也给出a 妒一有界变差函数和妒一有界变差函数的f o u r i e r 系 数阶的估计我们结果的特殊情形不仅包含了a 一有界变差函数类a b v l p 连续模估计 对应的结果，也给出了妒一有界变差函数类妒口y 对应的估计这些结果有望在三角级数 理论和其他的一些研究领域中得到应用 关键词；k 连续模，广义有界变差， 差，w i e n e r 函数类，w a t e r m a n 函数类， a 妒一有界变差，a 一有界变差，l ，一有界变 l i p s c h i t z 函数类，嵌入，f o u r i e r 系数 墨童墨茎墨堕苎壅竺生兰鉴垦竺! 2 a b s t r a c t t h em a i na i mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st oi l w t i g 咖e s t i m a t e so fl pm o d u l u so fc o n t i n u i t y , o f f ；t ) p ( 1sp o o ) o f t h ec l o ff u n c t i o n so fa 妒一b o u n d e dv a x i a t i o na n di t ss p e c i a lc a s e 8 a sng e n e r a l i z a t i o no ft h ew e l t - k n o w nf u n c t i o no fb o u n d e dv a r i a t i o n ，t h ed e f i n i t i o no ff u n c - t i o n so fa 妒- b o u n d e dv a r i a t i o n m b i l l e 8t h en o t i o n so ff h n c t i o no fa - b o u n d e dv a r i a t i o na n d q o - b o u n d e dv a r i a t i o n a n dm a n yi m p o r t a n tc l a s s e 8o ff u n c t i o n sa ms p e c i a lc a o ft h ec 1 8 s 8 o ff u n c t i o n so fa _ p - b o u n d e dv a r i a t i o n a m o n gt h e ma g ec l a e $ o ff u n c t i o n so fa - b o u n d e d v a r i a t i o n ，c - b o u n d e dv a r i a t i o n ，肛b o u n d e dv a r i a t i o na n dh a r m o n i cb o u n d e dv a r i a t i o ne t c c h a r a c t e r i z a t i o no fa p p r c i m a t i v ep r o p e r t i e so f8 0 m cc l a o ff u n c t i o n s e m b e d d m gr e - l a t i o n sb e t w e e no e r t a i nc i n s 目o ff u n c t i o n sa n dt h ec l a s sh ：mt h el i p s c h i t zc l a s sh ：a n d ， s u m m a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft r i g o n o m e t r i cs e r i e sd e p e n do ne s t h n a t e so fkm o d u l u so f c o n t i n u l t yo ft h ec o r r e s p o n d i n gc l a s s e so ff u n c t i o n si nm a n yr e s e a r c ht o p i c si na p p r o x i n m t i o n t h e o r y i ti so fs i g n i f i c a n ti m p o r t a n c et oe s t i m a t el pm o d u l u so fc o n t i n u i t yo fs o m ei m p o r t a n t e l a 鹤档o ff u n c t i o n s f o rt h ec a s eo ft h a t 妒i sc o n v e x , w eo b t a i n $ o m ee s t i m a t e so f “m o d u l u so fc o n t i n u i t yo f c l a s so ff u n c t i o n so fa - b o u n d e dv a r i a t i o na n d - o - b o u n d e dv a r i a t i o na n di t ss o m es p e c i a lc 8 o u r t i m 姻a m8 h a x pi nt h es e n s eo fo r d 皤i nm u s tc b 8 峨 a sa p p l i c a t i o n so f o u re s t i m a t e s w ec h a r a c t e r i z e8 0 m e 觚伍c i e n ta n dn o c e 8 8 a f f yc o n d i t i o u s o f e m b e d d i n gr e l a t i o n s o f a l p b v c h ( 1 p ) a n d 妒b y c 月善( 1 s p ) e s t i m a t e s o f o r d e r so ff o u r i e rc o e f f i c i e n t so ff u n c t i o n so fa - b o u n d e dv a r i a t i o na n d 妒- b o u n d e dv a r i a t i o na a l s oo b t a i n e d o u rr e s u l t si n c l u d et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ft h ec l a s sa 妒b ya sn8 p e c i a lc a s e a n da l s og i v et h ec o r e s p o n d i n ge 8 t i m e n t 8o ft h a to ft h ec 1 目1 5 8 口b v o u rr e s u l t s 蛳e x p e c t e dt o h a v ea p p l i c a t i o n si nt r i g o n o m e t r i cs e r i e sa n do t h e rr e s e a r c hf i e l d s k e yw o r d s ：b m o d u l u so fc o n t i n u i t y , g e n e r a l i z e db o u n d e dv a r i a t i o n ，a 妒一b o u n d e dv a r i a - t i o n ，a - b o u n d e dv a r i a t i o n ，妒一b o u n d e dv a r i a t i o n ，w a t e r m a nc i a ，w i e n e rc l a g $ ，l i p s c h i t zc l a s s ， e m b e d d i n g ，f o u r i e rc o e f f i c i e n t s 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明s 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 学位论文作者签名，曩受，可珲 嗍哆白妇 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 关里j 罕 日期乃舟g 月j 墨查墨茎墨苎塾壅丝生堡竺茎竺竺 1 第一节引言及主要结果 自j o r d a n 引入著名的有界变差函数类以来，在研究三角级数各种收敛和可和性质的过 程中有界变差的概念得到了各种各样的推广和应用1 9 3 2 年n w i e n e r 在【6 】引入了p 一 有界变差函数类b ( 也称w i e n e r 函数类) 更一般的妒一有界变差函数类妒b y 是l c y o u n g 在1 9 3 7 年在【7 】中引入的之后j m u s i e l a k 和w o r f i e z 在1 1 8 l 中系统的研究了 函数类舻b y 的逼近性质 1 9 7 2 年d w a t e r m a n 引入了a 一有界变差函数类a b v ( 也称 w a t e r m a n 类) ，并讨论了其特殊情形调和有界变差函数类h b v 的f o u r i e r 级数点点收敛 同题( 见f 3 】) 其后，有界变差的概念得到了更多的推广。出现了更多广义有界变差函数 类，如h k i t a 和k y o n e d a 的广义有界变差函数类b v ( rtp ) ( 见【7 】) 和t a k h o b a d a e 的广义w i e n e r 类( 见i 矧) 等 在本文中我们主要考虑的广义有界变差函数类是a 妒一有界变差函数类如口y ，它是 l l e i n d l e t 在推广m v m e d v e d e v a 【1 0 1 中个关于嵌入 一ca g b v 的定理时引入的( 见 f 9 】) 幻一有界变差的概念是在结合了a 一有界变差和妒一变差概念的基础上作出的推 广 a 一有界变差函数和i p 一变差函数均是a 妒一有界变差函数的特殊情形事实上， a ￥, b v 函数类最早出现在m s c h r a n m 和d w a t e r m a n 在1 9 8 2 年的论文f 2 2 】中，但他们 对_ p ( z ) 做了一些限制在这里我们采用ll e i n d l e r 的定义 定义1 设妒( z ) 是【0 ，o o ) 非减函数且9 ( 0 ) = 0 a = t k 是列非减的正数列且满足 。至击= + 如果对k 6 】上任一不重叠的区间列a = ( ，k ) c i n ，6 】，k = l 2 - ，mn z + ，定义在砸，6 】的实值函数，( z ) 满足 产一10(if(bk)-f(adi) ；= 机 剐称，( z ) 是【n ，川上的a 驴一有界变差函数，记作f a g b v 又记r 是【t6 1 上互不重叠 的区间列的全体，称 晰吣= 嚣 蚤n 幽安趔) 为f ( x ) 在【n ，6 j 上的a 妒一全变差 当妒( z ) = 扩1 ) 时，称，( z ) 是【n ，b 】上的a 口一有界变差函数，记作，b v ， 此时我们记。( ，；i ，6 】) = v a p ( ，；【口，6 j ) ；特别地，当妒( z ) = z 时，称，( ) 是k6 j 上的a 一 有界变差函数，记作f a b v ，记( ，；忙，6 】) = v a 9 ( ，；扣，b d ；此时，着a = n ) ，则称，p ) 是扛，6 j 上的调和有界变差函数，记作f h b v 当a = l 时，称f ( x ) 是h6 j 上的妒一有界变差函数，记作f l p b y ，我们记 ( ，； n ，6 1 ) = 蛛p ( ，；f n ，6 j ) 特别地，当妒( z ) = ( p 2 1 ) 时，称，( z ) 是 d ，6 】上的卢一有 界变差函数，记作f b 场，记场( ，舾6 】) = ( ，；k 珂) 函数类b 场又称为w i e n e r 函数 类，而且h 就是熟知的有界变差函数类b v 根据定义容易知道，a | p 一有界变差函数是有界的，即& o b v i a ，6 1 口卜，6 1 i 只有简单 的不连续点，因而其不连续点是可数的这里b 扣，6 】表示【n ，6 】上有界函数的全体 为叙述方便，我们还需要如下 墨互墨茎兰苎墨叁竺生墨竺壅竺盐 2 定义2 对于f p 【d ，6 i ( 1 p so o ) ，t 0 ，我们定义其k 连续模u ( ，；) p 如下- is u p j ：i f ( z + h ) 一i ( x ) i p d x ；，l s p 0 为简便，我们记丑 z i ；，”j = ， 岛陋，6 l ，u ( ，t b = o ( u ( t ) ) ，1sp 0 使得 ( 纽) s n a ( z ) ，z ( 0 ，) 成立。则称a ( 功满足a 2 一条件若函数x ( x ) 生成序列a = h ，且满足 口一条件，我们称序列a 满足2 一条件从定义可以看出，2 一条件是非常弱的 定义1 中的各种广义有界变差函数的三角级数在收敛性和可和性等方面都表现出一 些较好的性质( 见1 2 1 一f 7 】，l l8 l 一 2 4 1 等) 它们对应的函数类有些具有很好的逼近性质( 觅1 1 7 1 ) ， 有些也被应用其他的一些领域，比如文i 中证明了非线性h a m m e r s t e i n 积分方程和非 线性v o l t e r r e a - h a m m e r s t e i n 积分方程的a 一有界变差解的存在性和唯性关于各种广 义有界变差函数类之间以及它们和函数类 苫或l i p s c h i t z 函数类础之间的各种嵌入关 系的研究也有许多的研究结果这方面详细的工作可见【8 1 - f 1 6 1 等 在函数逼近论的研究中，函数类的逼近性质的刻画，各种函数类与函数类掣或l i p - s c h i t z 函数类群之间的嵌入关系以及三角级数收敛性和可和性的研究均不同程度的依赖 于相关函数类的连续模的估计因而研究一些重要的函数类的b 连续模估计有着重 要的意义 对a 妒一有界变差函数类值得一提的是m s h i b a1 4 ，m s e h r m n m 和d w a t e r m a n 2 2 1 以及壬斯雷f 1 j 1 证明了如下的定理 定理aa 若，a a b u l p 2 r ，i sr so o ，并且 ( x x k ) _ 1 胁( “悱( 2 一所，( ，； n ) ) 1 4 胁，1 1 2 f l ：lk f f i l 这里5 + ：1 = 1 ，则，的f o u r i e r 级数绝对收敛 b 若凸函数妒满足p ( z ) 肛一o ，z 一0 和2 一条件，a 妒b e l p 2 r ， 1 r ，并且 n 扣- 1 ( ( 1 x ) 。眩五m 。( 加n ) ) 】1 胁n 1 7 2 ( 3 0 ， n = lk f f i l 墨查墨壅墨鱼塾耋箜生兰竺堡竺兰 3 这里；1 + = i = 1 ，则，的f o u r i e r 级数绝对收敛 本文主要研究了a 妒一有界变差函数类a 妒b y 及其重要特殊情形的印连续模，( ，；t ) p ( 1 曼 p o o ) 的估计问题我们给出了函数类a i o b v 及其重要特殊情形的印连续模, o f f ；t ) p ( 1 p 1 的情形汪和平和李中凯在文1 2 】中给出a b v 中函数岛连续模c ，( ，；t ) p 的如 下估计； 定理c 设a b v 是a 一有界变差函数类函数a ( s ) 生成序列a 记( z ) = 舒盎 对f a b v ，当1 p o o 时有 州) p 以( 川0 ，2 嘶上。南) ； 而对某些1 p o o ，若妒( ：) 1 - p a ( z ) 在l o ，o o ) 有界，则有 ，( ，；t v 蔓c v ( ，；i o ，2 州) ； 对重要的特殊情形 n 。卜有界变差函数类 矿 b y ( 0 a 1 ) ，汪和李的结果是， 定理d 设 n 4 b y + = ， 矿) b 矿：k 。n ( ，；i o u ”1 ) s 1 ) ( o n s l ) ，则 ( i ) 当0 so t 1 时， s l l p 乩印) p x t m i n ( ，- a ) ，l s p o o ； ，e n o ) b 矿 ( i i ) 当n = 1 时， supw(fle；t)px南，lpnbv n i 苎查墨茎墨鱼壅叁竺生墨竺茎竺! 4 在上述结果的基础上，对妒( z ) 为凸函数的情形，我们给出了a o b v 和l p b y 函数类 却连续模j ( f ；0 p ( 1 曼p o o ) 一些估计；我们还给出了这些估计的一些应用这些工作 具体包括如下几个方面一 1 函数类a g b v 的l 连续模u ( ，；t ) i 的估计，我们的结果不仅包含了王斯雷关于 函数类a b v 的l 1 连续模估计。同时还给出了函数类沁y 的l l 连续模估计，我们的结 果在阶的意义下是精确的 定理1 设a o b v 是a 妒一有界变差函数类，p 是凸函数函数入( s ) 生成序列a 那 么对，a g b v 州) 1 - 4 r c 妒- l ( 坠掣当业) j o 取o j 并且着序列a 满足2 一条件，则该估计在阶的意义下是精确的 特别地，对函数类a b v 和妒口y ，有如下 推论1 “设a b v 是a 一有界变差函数类函数a ( 8 ) 生成序列九对f a b v 。( 似) 。型埤监业， 蔚南 并且若序列a 满足2 一条件，则该估计在阶的意义下是精确的 b 设妒b y 是妒一有界变差函数类，妒是凸函数那么对f 徊y ，( ，；t ) l 4 丌妒一1 ( p ( ，；【o ，2 叫) ) 并且该估计在阶的意义下是精确的 注推论1 的第一部分即为王斯雷的定理b ，是定理l 的特殊情形 对特殊的序列a ，我们还有 推论2 设f a g b v ，妒是凸函数，则 “当a = n o ) ( 0s a 1 ) 时， w ( f ；t ) ls4 口妒一1 ( t l - a l 么p ( ，；f 0 ，2 丌1 ) ) ； b 当a = n 时， 岍) l 4 邓1 ( 华) ； c 当a = ( n + 1 ) j n ( n + 1 ) 时， 岍) 1 0 ) 时， ，( ，t ) l c 妒一1 0 1 1 ( ；) 坛p ( ，；【o ，2 丌j ) ) ； e 当a = ( n + 1 ) i n l ( n + 1 ) ( 一0 0 7 1 ) 时， 蛳) l 旷1 ( 坠掣铲) ； 墨童墨茎墨苎塾叁塑生兰堡堡竺苎 5 当a = ( + 1 ) o l n t ( n + 1 ) ( 0 q l ，1 r o ) ) 时， u ( ，t ) 1 蔓c 妒。( 1 一“l n l ( ) h p ( ，；【0 ，驯) ) ； 并且e 述估计在阶的意义下都是精确的 2 函数类a b b v 归1 ) 的岛连续模，( ，；t ) p ( 1s p o o ) 估计对1 p 卢的情 形，我们的结果在阶的意义下是精确的；对卢 p o o 的情形，我们的结果尚无法确定 其阶是否精确但对于函数类b v 若干重要特殊情形。我们结果在阶的意义下是精确 的 定理2 设a o b v 是一有界变差函数类函数a ( 8 ) 生成序列a = k 记妒( ：) = 后志那么对f a # b v a 当1 s p s 时 坩协c ( 等铲) 5 ， 并且若序列a 满足2 一条件，则该估计在阶的意义下是精确的 b 对一般的1 p o o ， 删) p c ( 哪；俐) ；( t j ( 南) 5 c 对某些1 p o o ，若妒( z ) 铲 ( ：) 在1 1 ，o o ) 上有界，则 ， w ( ，；) p c ( v a d ( ，；1 0 ，2 】) i ； 注汪和李的定理c 是定理2 中( b ) 和( c ) 的卢= 1 的情形 3 函数类 ( n + 1 ) 。i n l n + 1 ) 口b v ( 0 n s l ，7 r ) 的b 连续模u ( ，) p ( 1 p o o ) 估计，除p = t 等( 0 a 0 ) 情形外，我们结果在阶的意义下都是精确的 定理3a 设 n o a b v ( 0 s a l ，卢1 ) 是 矿 口有界变差函数类1 p o o 则对f n o b b y ( i ) 当0s 口 1 时 u ( ，；t ) p c ( v a 。( ，；【0 ，2 丌j ) ) j t 嘲 字地 ( i i ) 当a = 1 时 。( ，；) p sc ( ，；f o ，2 卅) ) 一1 【i i i l = ) 5 ； b 设b ( 卢1 ) 是卢一有界变差函数类即w i e n e r 函数类 1 p o ) 时 螂k 捌然嬲舭；乏：篡 b 当a = “n + 1 ) l n ( n + 1 ) ) 时 w ( f ；t ) v c ( i k ( ，；【0 ，2 叫) ) 专( 1 n i n ；) 一古，l p o o ； a 当a = ( n + 1 ) i n f ( n + 1 ) ) ( 一0 0 7 1 ) 时 ( ，；0 p c ( i ( ，；【0 ，2 叫) ) 5 ( 1 n ；) 一字，l p ； d 当a = t 踹) ( o n o ) 时。 蚶；t b ：揍置磊癌- m 扩瓦：i 誓乎； b 当a = ( n + 1 ) n i n l ( n + 1 ) f 0 口 0 ) 时 郇湖，s ：携譬端；乏护：；誓产； 并且上述估计在阶的意义下都是精确的 注在( e ) 中p = 击的情形用我们的方法只能得到 ，( ，- t ) ，c ( 垓p ( ，；【0 ，2 卅) ) j t i ，【m 了i j i ，+ 吾， 但该估计在阶的意义下不精确这是唯一的例外但存在，竹a a b v , 。( 厶；【0 2 2 1 ) x 1 ，n 一+ 使得此时 ，( 厶；三) p c ( 三) ；，n 2 4 这也说明在p p + 时函数类a 口曰y 的k 连续估计是复杂的。定理2 并不能涵盖 函数类b v 21 ) 的b 连续模u ( ，；t ) p ( 1 - - p o o ) 估计的所有情形 4 作为应用，我们刻画了函数类a g b v 和妒b y 嵌入函数类月和f 譬的一些充分 必要条件，还给出了a 妒一有界变差函数和妒一有界变差函数的| b m ”系数阶的估计 推论3 关于函数类a , p b v 和妒b y 与函数类月 和 管的关系，下列结论成立t a 设a 妒口y 是a 妒一有界变差函数类，妒是凸函数函数a ( s ) 生成序列a 序列a 满足2 一条件则 a g b v c 王掣当且仅当u ( t ) = o ( 妒1 ( 1 走) ) ，t o b 。设讲是妒一有界变差函数类，妒是凸函数则 妒且矿c 日r 当且仅当( ，( t ) = o ( p - 1 ( t ) ) ，t - + 0 c 设b y 是一有界变差函数类函数 ( s ) 生成序列a 墨互墨奎墨苎墨壅竺生查堡茎竺竺 7 ( i ) 当1 p 卢时，若序列a 满足2 一条件，则 a o b v c 彤当且仅当u ( ) = o ( ( 口禹) 一j ) ，t 一0 ( i i ) 当卢 p o o 时。若妒( = ) 甲a ( 2 ) 在【1 ，o o ) 上有界，0 6 ；1 ， 鼬凡b b v c h ； d 设f n o ) a b v ( 0 a 1 ，卢1 ) 是 ，l “ 口一有界变差函数类，则 ( i ) n o a b v c 琊( 0 s n 1 ，1 sp o o ) 当且仅当6 曼m 伽 字，： ( i i ) t i 口b y c 月苫( 1 p o o ) 当且仅当u ( t ) = o ( ( 1 n ) 一声) ，t o e 设口( p 21 ) 是口一有界变差函数类即w i e n e r 函数类，则 b 场c 群( 1 p ) 当且仅当5 m 伽 ；， 注文【9 】【1 4 】中的结果主要给出了函数类且苫( 1sp c o ) 或l i p s c h i t z 函数类 月罟( 1 p 0 0 ，0 n 1 ) 嵌入各种广义有界变差函数类的一些充分必要条件，而推 论3 主要刻画了各种广义有界变差函数类嵌入函数类日菩( 15p o o ) 或l i p s c h i t z 函数 类丹善( 1 s p o o ，0 q s l ) 一些充分必要条件和文【9 1 【1 4 】中的结果相比，推论3 是 完全不同的 设f ( x ) 是i o ，2 】上以2 r 为周期的函数，其f o u r i e r 系数定义如下， a n ( f ) = ；z “f ( t ) c o s n t 瓯b n ( f ) = _ 仙11 2 ”邝) 枷孤 对于a l p 一有界变差函数和妒一有界变差函数的f o u r i e r 系数，我们得到了如下的阶 估计 推论4n 设a g b v 是a 妒一有界变差函数类，妒是凸函数函数a ( s ) 生成序列 a 则对f a g b v 搠) = o ( 妒。1 ( 志) 。 b 设9 b v 是妒一有界变差函数类，妒是凸函数则对f 9 b v 黝) 刊妒_ 1 ( 扣 注a 一有界变差函数的f o u r i e r 系数阶的估计是王斯雷首先在文【1 】1 得到的，是推论 4 ( a ) 中妒( z ) = z 情形本文的结构如下t 第二节我们主要证明函数类a g b v 和9 b v 的i 连续模u ( ，；t ) 1 的估计，同时给出 a g ，b vc 日r 和9 b vc 日f 的个充分必要条件以及a 妒一有界变差函数和妒一有界变 差函数的f o u r i e r 系数的阶估计在证明定理1 的过程中我们给出了三个引理。其中引 理1 和引理2 在第三节证明中还会用到，引理3 用于证明阶的精确性，将反复使用 第三节我们主要证明函数类b v 的岛连续模c ，( ，；t ) ，( 1 曼p 口情形，我们发现要得到一般的结果是非常困难的在这一节我们刻画 了嵌入关系a e b vc 月：的一个充分必要条件 第四节我们对函数类 扣+ 1 ) 0 l n l ( n + 1 ) ) 日b v ( 0 ns1 ，7 r ) 的k 连续模 ，( ，；) ，( 1 p o ) ，f ( n + 1 ) l n ( n + 1 ) o b v ( - 0 0 7 1 ) ， 踹) 一日矿( o 。 o ) ， ( + 1 ) n i n l ( n + 1 ) 口b y ( o 口 o ) ，除函数类 ( n + 1 ) d l n l ( n + x ) o b v ( o n o ) 的b 连续模估计p = 芒；情形外。这些函数类的l p 连续模估计的阶都 是精确的在这一节中我们还刻画了嵌入关系 n 。 口口yc 群( o o t 1 ，1 p ) ， n t j b v c 雕p 1 ，1 p ) 和b 场c 霹l ，l p s ) 的充分必要条件 墨查墨茎茎鱼壅墨竺生兰竺茎竺笪 9 第二节函数类却b y 和妒b y 的工l 积分连续模估计 本节我们给出广义有界变差函数类a 妒b y 和妒b y 的l 连续模，( ，；t ) 1 估计我们 只考虑妒( z ) 是凸函数的情形，我们的结果在阶的意义下是精确的我们的结果建立在下 文引理2 的基础上，王斯雷文【2 】中关于a 一有界变差函数类a b v 的相关结果是我们结 果的特殊情形同时我们的结果还刻画了a 妒b vc 掣和妒口yc 研的个充分必要条 件我们也给出了a 妒一有界变差函数和妒一有界变差函数的f o u r i e r 系数阶的估计 一 有界变差函数的f o u r i e r 系数阶的估计是王斯雷在文【1 j 1 中给出的，也是我们结果的特殊 情形这节我们的主要结果如下 定理1 设a5 l o b v 是a 妒一有界变差函数类，妒是凸函数，函数a ( s ) 生成序列a 那么 对f a q o b v 州) l 4 u , , o 。1 ( 堕警告业) ， ( 1 ) j o x i i 并且若序列a 满足2 一条件，剐该估计在阶的意义下是精确的 推论1 “设a b v 是a 一有界变差函数类函数a ( s ) 生成序列a 对，a b v 。( ，t ) 。型埤粤业， 姑最 并且若序列a 满足2 一条件，则该估计在阶的意义下是精确的 b 设9 b v 是妒一有界变差函数类，妒是凸函数那么对f 妒b 矿 u ( ，；t ) l 4 妒一1 ( t ( ，；l o , 2 f 】) ) ( 2 ) 并且该估计在阶的意义下是精确的 注推论l ( a ) 的第一部分和王斯雷在【1 1 中结果是一致的 证明在定理1 中取l p ( z ) = z 即得推论l ( a ) ；取a = l 即得推论l ( b ) 口 推论2 设f a l ，o b v ，妒是凸函数，则 a 当a = 俨) ( 0 a 1 ) 时， u ( ，；) 1s4 妒一1 ( 1 一。v a p ( ，；i o ，2 丌】) ) ； b 当a = n 时， 删) l 4 z - o 。( 坠掣产) ； c 当a = ( ，l + 1 ) l n ( n + 1 ) ) 时， 州) l 0 ) 时， ，( ，；t ) ls 印一1 0 l n 7 ( ) h p ( ，；【0 ，2 丌1 ) ) ； 墨查至壅兰墨苎壅塑生查竺垦竺盐 1 0 e 当a = ( n + i ) i n l ( n + i ) i ( 一0 0 7 i ) 时， 螂) l 旷1 ( 觜) 当a = ( ( n + l 严l n ( ，l + 1 ) ) ( o 0 有 f ( h t ) 一f ( h 2 ) i = i i l l ( + h i ) 一，( ) 0 p i j ，( + 2 ) 一，( ) i l p f l i f ( + h i ) 一，( + 2 ) i b s u ( ，；l h i 一圯1 ) p 据此由u ( ，；) p 在= 0 处的右连续性可知f ( ) 的连续性 口 引理2 设a = k ，b k 】：1s 女n ，n z + ) 是l 口，6 】上任一互不重叠的区间序列 ，a 徊k a = k 下列结论成立： a k 妒( ，( 6 女) 一，( d k ) i ) s 丐啊p 如( ，；口，6 】) ； b 若妒是凸函数，则壹i f ( b k ) 一，( ) is w 一1 ( 警 粤磐) ； c 特别地，若f 妒口矿，妒是凸函数，则登i ，( h ) 一，( n i ) l n 妒一1 ( 竖蝌螋) 墨! 至壅兰堕墨墨塑生墨苎垦竺盐 1 2 证明在求和变换 ( a ) ( 目k ) = a 毋+ k + a 毋+ i _ ， ( 3 ) 中，令a = 击和取= 妒( i ，( k ) 一，( 毗) i ) ，得 ( 蚤砉) ( 荟洲小地m ) = 舀n - i i n 箸- k 焉i 妒( | ，( ) 一胞删) + 点。石1 妒( 叭。) 一，( 啦帕n ) 1 ) ) 出a p 一全变差的定义，上式可得 ( 三毫) ( 荟妒( g f ( b k ) _ ，( 砌i ) ) sn v - o ( f ；m 此即为( a ) 下证( b ) 根据凹函数定义易证，若妒是i o ，o o ) 上单调增加的凸函数。则妒一1 是 l o ，) 上单调增加的凹函数由此知妒一1 ( 口z ) 婶4 ( z ) ，0 0 ，则 a ( ；) a ( s ) = ( ”；) s ( 4 ；) s 铲a ( ；) 并由此有 z ”志f 丽d s 鲥f 志 ( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) 墨查墨塞墨苎墨叁竺生墨璧壅竺竺 1 4 由( 6 ) 和( 8 ) 可得 o 4 ( 9 ) 同时由妒一1 的凹性和单增性，根据( 9 ) 我们也有 眠；扣旷1 ( 志) v 1 ( 锷) 剜 佃， 由( 9 ) 和( 1 0 ) 即知估计( 1 ) 在阶的意义下是精确的 口 墨童至茎兰苎苎壅箜生墨竺堡竺兰 1 5 第三节函数类a o b v 的k ( 1 s p c o ) 连续模估计 本节我们主要研究广义有界变差函数类幻b v ( 卢1 ) 的l v ( 1sp o o ) 连续模 ，( ，；) ，估计我们给出函数类a 口b y 的l p ( 1 p 1 ) 估计的一般结果，是汪和平和李中凯 在f 2 】中给出的，即前述的定理c ，它是我们结果口= 1 的情形在isp p 情形，若 序列a 满足z 一条件。我们的结果在阶的意义下是精确的这是与定理c 不同的对 卢 p 的情形，我们的结果尚无法确定其阶的精确性但对于函数类a b b v 若干重 要特殊情形，如函数类 n “) 庐y ( 0 s n 冬1 ) 和w i e n e r 函数类b 场1 ) 等，我们结果 的阶都是精确的关于这些重要特殊情形的k 连续模u ( ，；) ，( 1sp o o ) 估计，我们将 在下节作详细的讨论另外。对序列a 作一定的假设，我们还给出了函数类b v 嵌入 函数类月警个充要条件这节我们的主要结果是； 定理2 设b v 1 ) 是一有界变差函数类函数a ( 8 ) 生成序列a = k 记 训2 ) = i i 高那么对，a b b v a 当1 p 卢时 州) p ( c ( 警) 5 ， j ox 两 并且若序列a 满足2 一条件，则该估计在阶的意义下是精确的 b 对一般的l s p o o ， 删扭( 呲嘲) 5 ( t 0 5 赤) 。 c 对某些1 p o o ，若矿( z ) 等a ( ：) 在1 1 ，o o ) 上有界，则 u ( ，；t ) p c ( 口( 川0 ，2 ”i ) 痧 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 定理2 给出了函数类b v 嵌入函数类月苫和l i p s c h i t z 函数类哪的一些条件 即有如下的 推论5 设a 庐y 是a 口一有界变差函数类函数a ( s ) 生成序列a a 当1 p s p 时，若序列