（基础数学专业论文）脉冲系统最优控制的参数计算方法.pdf

附：学位论文原创性声明弄口关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：孚生日期：盟 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名 导师签名：毒簦l 日期：垫皿2 逝 摘要 2 0 世纪5 0 年代末6 0 年代初，p o n t r y a g i n 首次给出了最优控制问题的解的必要条件。此 外b e l l m a n 用动态规划的方法导出h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n 方程。但在实际求解最优控制问 题的时候，由于受到受控系统微分( 偏微分) 方程的约束的影响，很难直接求到问题的解 析解，因此人们关注更多的是最优控制问题的数值解。 本文主要讨论了脉冲系统最优控制的参数计算方法。在总结最优控制问题参数选择方 法的基础上，根据脉冲系统的特点，研究了一个脉冲系统最优控制问题的数值计算方法。 首先，针对【o ，r 】上脉冲系统的最优参数选择问题，通过变分法得到了目标泛函的梯度 v g o 的计算公式，从而将最优参数选择问题转换为标准的数学规划问题求解。其次，对丁f 脉冲系统最优控制问题，令矿( f ) 2 善盯“钿( x ) 则展优控制问题转换为一系列的最优参 数选择问题的近似问题，根据前面所述的最优参数选择方法，得到了脉冲系统展优控制问 题的一种数值计算方法，并说明了算法步骤。最后，通过证明两个收敛性定理，说明了我 们所构造的数值方法的收敛性。 关键词：脉冲系统、最优控制的数值计算最优参数选择方法梯度公式 数学规划方法 中图分类号：0 2 3 2 ；0 2 4 2 2 文献标识码：a 3 b e t w e e nt h ee n do f1 9 5 0 s a n dt h eb e g i n n i n go f1 9 6 0 s ，p o n t r y a g i nf i r s td e v e l o p e dt h e n e o 镕q a l y c o n d i t i o n so f s o l v i n go p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m s ，b e s i d e sb d l m a nd e r i v e d h m i t o n - j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o nw i t hd y n a m i cp r o g r a m m i n g b u ti np r a c t i c a l ，i ti sv e r yd i f f i c u l t t og e tt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nw h e nw et r yt os o l v et h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s 。d u et ot h a tt h e r e s o l v i n gi sg r e a t l ya f f e c t e db yt h ec o n t r o ls y s t e m so fd i f f e r e n t i a l ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a l ) e q u a t i o n t h e r e f o r e w e p a y m o r ea t t o n t i o n t o t h e n u m e r i c a ls o l u t i o n o f o p t i m a lc o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rs o l u t i o no fo p t i m a lc o n t r o lw i t hi m p u l s i v es y s t e mt h r o u g ho p t i m a l p a r a m e t e rs e l e c t i o np r o b l e m s a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e ro fi m p u l s i v es y s t e m ，w ef i n daw a yt o r e s o l v eo p t i m a lc o n t r o lw i t hi m p u l s i v es y s t e ma f t e rs u mu pt h eu n i f i e da p p r o a c ht oo p t i m a l c o n t r o lw i t hp a r a m e t e rs e l e c t i o np r o b l e m s a tf a s t , w eo b t a i nt h ec a l c u l a t i o nf o r m u l ao fo b j e c tf u n c t i o n a lg r a d sf o ro p t i m a lp a r a m e t e r s e l e c t i o np r o b l e m sw i t hi m p u l s i v es y s t e mb yv a r i a t i o ni n o ，丁】，t h e nr e s o l v et h ep r o b l e m sw i t h m a t h e m a t i c a ip r o g r a m m i n g ，s e c o n d , 诅k e “9 ( f ) = 盯( 功，dt r a n s f o r m 雠 k = l p r o b l e m si n t oas e r i e so fa p p r o x i m a t i o no ft h eo p t i m a lp a r a m e t e r s ，a c c o r d i n gt ot h ea l g o r i t h m w h i c hw eg e tf r o mt h eo p t i m a lp a r a m e t e rs e l e c t i o np r o b l e m s ，t h e nw ed e v e l o pac a l c u l a t i o n a p p r o a c ht oo p t i m a lc o n t r o lw i t hi m p u l s i v es y s t e m sa n di t sd e t a i lp r o c e s s f i n a l l y ，w es h o wt h a t t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o dw h i c hw ec o n s t r u c t e di ss u i t a b l eb yp r o v i n gt w oc o n v e r g e n c e t h e o r e l n 8 ， k e y w o r d s ：i m p u l s i v es y s t e m ；n u m e r i c a lc a l c u l a t i o no f o p t i m a lc o n t r o l ；f o r m u l ao f g r a d s ； o p t i m a lp a r a m e t e rs e l e c t i o n ；m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g 4 第一章引言 在事物发展变化过程中，经常会受到外界的干扰，使得在短时间内发生较大的改变。 例如，海啸、战争等突发事件，使得人口数量在较短时间内发生较大变化，描述这类问题 的数学模型就是脉冲系统。脉冲系统的突出特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的 影响，能够更深刻，更精确地反映事物的变化规律。这类系统在航天技术、信息科学、控 制系统、通讯、生命科学、医学和经济领域均有重要的应用价值。因此，脉冲系统的研究 也引起人们广泛的关注，脉冲系统最优控制问题成为了人们探讨的热点问题。 2 0 世纪5 0 年代末6 0 年代初，p o n t r y a g i n 首次给出了最优控制问题的解的必要条件。此 外b e l l m a n 川动态规划的方法导出h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n 方科。但住实际求解最优控制问 题的时候，由丁受到受控系统微分( 偏微分) 方程的约求的影响，很难直接求到问题的解 析解，因此人们关注更多的是最优控制问题的数值解，对丁- 脉冲系统也是如此。随着计算 机的发展，计算软件功能的不断完善，人们开始越来越多地考虑脉冲系统最优控制问题的 数值计算及其在工程上的应用，脉冲系统最优控制问题的数值计算成为了晟优控制领域当 中一个比较受人关注的问题。 目前最优化方法的数值求解理论相对较为成熟，如何在最优控制问题计算和最优化之 间找到一个连接点，将最优控制问题的数值计算转化为一个数学规划问题成了最优控制计 算的一个突破口，参数计算方法止是为了适应这种要求而应运产生的。2 0 世纪8 0 年代初， k l t e o 等开始了最优控制问题计算的参数化方法研究，他们先后研究了线性系统，离散系 统。时滞系统的最优控制的控制参数方法。但是脉冲系统最优控制问题的数值计算目前还 没有一条很好的途径，本文尝试将参数选择问题的思想，用来处理脉冲系统的最优控制问 题( p ) 。本文的最优控制问题是： 1 、受控系统为： j 膏= f ( t ，工，“)t 【o ，r 】d x ( o ) = x o ( 1 - 1 ) ia x ( t ，) = q ( ) ) 其中 d = 毡，厶，c 【o ，r 】；，= ( z ，z ) q 是工( ) 处的跳跃函数，且定义为： o ，( h ) ) = x ( 矿) 一x ( t 7 ) = 膏( + ) 一工( ) ； 5 x o ) 为在每一个小区间【- l 】i = 1 , 2 ，m + l 上连续函数( 注：t o = 0 t 。l = r ) ；其中 x i ( 而，) 7 。 厂：【o r 】r n x u - - r ”，“( ，；p ； # ， 掣。 2 、控制集会： u ； “： o 丁】寸叫u = ( u i ( t ) ，u ，( t ) ) ， u ( t ) 是 o ，r 】上的分段连续函数i = 1 ，r ：口j q ( f ) 屈) 3 、目标泛函： g 。( “) = 妒( x ，t ) + r ( f ，x ( f ) ，”( f ) ) 出 ( 1 2 ) 最优控制问题( 芦) ：就是对丁给定的脉冲系统( 1 ) ，寻找一个“u ，使得 g o ( u ) = i n f g o ( u ) “e u 为了更好地研究脉冲系统最优控制问题，本文先总结了脉冲系统的晟优控制问题( p ) 的参 数计算方法。其受控系统为： j 二( f ) = 厂( ( 吐砸) )( 1 3 ) 【j ( o ) = p 其中 x ； x i ，r r ”，“；【“，蚱r r ，；【z ，工r e r ” 是相应的状态向量、控制向量和相应的向量函数。 目标泛函为： 蜀( p = 以x ( t ) ，t ) + r l ( t ，x ( t ) ，u ) d t ( 1 4 ) 为了求解该问题，首先研究了非脉冲系统下的最优参数选择问题( 日) 。 受控系统为： 其中 鼢臀猫) 6 ( 1 5 ) 目标泛函为： 工；h re g n , 孝z 瞄，皇r 彤，x o o ( e ，# ) ； 岛( 善) = “x ( t i c ) + r l ( t ，x ( t 【善) ，pd t 最优参数选择问题( p 1 ) ：就是对丁给定的系统( 1 5 ) ，寻找一个系统参数f z ，使得 目标泛函达到最小值。 采川迭代方法求解( p 1 ) ，不妨给定一个初值掌z ，则由t a y l e r 展开式有目标泛函 9 0 ( 孝+ d ) = g o ( 4 ) + 丢d 7 h d + 审f 岛( 刑， 求解该目标泛函的最小值等价于求解问题( q ) i i l i n 吾d r 俐+ v 幽( 刑， d 2。 其中h 为g o 的h e s s i a n 矩阵， v 舻警 而问题( q ) 就是一个数学规划问题。为了避免微分约束问题的求解，引入目标泛函g o 的等 价目标泛函为： 磊( 手) = 烈x ( r l 善) ) + f l ( t ，五f ) + a 7 ( 八f ，墨) 一童o l 善) ) ) 豇。 由变分原理知道，当6 磊= 0 时，爵( 善) 达到最小值，求得9 0 的梯度： 鬻= 掣圳吣，7 警+ r 些掣出 7 其中五( - i 善) 为协态方程的解。一且目标泛函的梯度计算出来，上面的最优参数选择问题就 成了一个数学规划问题，可用目前已有的数学规划方法来求解。对于最优控制问豚( p ) 。 我们可以采h j 分段函数来逼近控制“( f ) 。即构造一个扩( 力2 善“锄( 功，可川参数 盯9 巨来逼近h ( f ) 从而最优控制问题( p ) 可由如下的最优参数选择问题( 艺) 来逼 近： 氘碱盯) = 佛，蛾羔k = l 矿锄( f ) ) ( 16 ) 工( o ) = j o 目标泛函为 g o ( o 9 ) = f a ( x ( t i 盯) ，。- ) ) + r 三( f ，x ( f i 盯9 ) ，盯9 ) 西 这样，可利用前面的最优参数选择问题的方法将其用数学规划的方法来求解。 其次对于脉冲系统最优控制问题( j 6 ) ，依据最优参数计算的思想，首先处理脉冲系统 下的最优参数选择问题( 毋) ： 受控系统为： r 1z ( f l ) = f ( t ，x c t l f ) ，f ) x ( o ) = x o ( 善) ( 1 7 ) ia z c g ) 2m r ( ) ) 相应的目标泛函为 g 。( 善) = 妒( r i f ) ，f ) + f 三( f ，】以i 善) ，f ) 西 脉冲系统最优参数选择问题( 最) ；就是找到一个善z ，使得 g o ( f ) = 妒( “r l f ) ，孝) 十r ( f ，“f 学) ，o a t 达到最小值。 显然，计算此问题关键点仍然在于箕目标泛函的梯度计算。本文首先求出并证明了问 题( 号) 的梯度为 髻纠，警分例彩掣 8 + r 堂攀地 与非脉冲情形类似，此问题可以转换为数学规划问题求解。然后，令 “( f ) = 盯“( 功 k = l 从而将问题( 户) 转化为了下面的一个逼近问题( 丘，) ) ： x ( t i d ) = f ( t ，x ( t i , o r 9 ) ，盯9 ) x ( 0 1 = x o 缸( ) = 中，( j ( ) ) 目标泛函为： g o ( t r 9 ) = 矿( 工( r l , r 9 ) ) + fz ( f ，x ( t ic r 9 ) ，i 旷9 ) a t 用数学规划的方法来求解。 最后，对于上述脉冲系统最优控制的计算方法的合理性，我们证明了几个收敛性定理。 本文安排如下： 第二章为预备知识，该节给出了与本文相关知识以及要利用到的基本概念和定理。第 二章是最优参数选择问题及最优控制盼计算，主要给出了参数选择闷题的方法和理论依据， 以及研究如何将一个最优控制问题转化为最优参数选择问题，并利用数学规划的方法来实 现其计算。第四章考虑脉冲系统状态下的最优参数选择问题和最优控制的计算，先研究了 脉冲系最优参数选择问题，以及如何将一个脉冲系统最优控制问题用一个脉冲系统最优参 数选择问题来逼近。第五章讨论了相关的收敛性，通过证明几个收敛性定理，说明了我们 所构造的数值方法的收敛性，最后指明了本课题的未来工作方向。 9 第二章预备知识 本章主要给出了本论文所需要的一些基本概念和定理，为后面论文的一些定理的证明 和结果的验证提供理论支持。 2 1 最优控制问题 最优控制是现代控制论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现照 优化的基本条什利综合方法。最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力 学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在 由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这类问题广泛存在 于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到 另一轨道过程中燃料消耗最少；选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过 程的产量最多；制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数平劳动 力指数等为最优等，都是一些典型的晟优控制问题。最优控制理论是5 0 年代中期在空间技 术的推动f 开始形成和发展起来的。苏联学者j l c 庞德弧金1 9 5 8 年提出的极人值原理和美 国学者r 贝尔曼1 9 5 6 年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。 线性系统在- 二次型性能指标下的最优控制问题则是r e 膏尔曼在6 0 年代初提出和解决的。 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的 允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优 劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统 的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上 看，确定最优控制问题可以表述为；在运动方程和允许控制范围的约束下。对以控制函数 和运动状态为变量的性能指标函数( 称为泛函) 求取极值( 极大值或极小值) 。解决最优控 制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。 1 0 2 2 最优条件 2 2 1 整体极小。局部极小 f ( x ) 在彤上的极小化问题，设；r 一，如果对一切x r 一，有f ( ；) f ( x ，则称；为 整体极小；如果在；的附近存在一个占一邻域m ( ；) ，使得蜥m ( ；) 有f ( ；) f ( x ) ， 则称；为局部极小，显然整体极小也是局部极小。 2 2 2 带约束的最优化必要条件( k u h n - t u c k e r 定理) 设x 是r ”中一非空开集，并设 厂：r ”斗r ： ：r ”斗r ，i = l ，m 和 考虑问题( p ) 使得 啊：r ”寸r ，i = l ， r a i n ，( 工) g a x ) 0i = l ，m ， 局( 功0i = l ，x x 设j 是一个满足条件( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 2 2 ) ，并设，= i ：岛( 力= 0 ， 假定f 和蜀，i i 在z 可微，蜀，i 叠i 在算连续，h i ( i = l ，1 ) 在工连续，可微，进 一步假定 v ( 工) i i ， 和 ( 石) ，i = l ，l 是线性无关的，如果x 是问题的p 的局部解，则存在数“，i i 和嵋，i = 1 ，1 使得 1 1 v f ( x ) + 圭v h , ( ；) + 一v 岛( ；) ：o i f f i if e “0 ，i i 除了上述假设外，如果岛，i 叠，在；也是可微的，则k u h n - t u c k e r 条件可以写成下面的等 价形式： v f ( x ) + 壹坼v 鸟( ；) + 肛v 蜀( ；) ：o i = l拒， 肛g i ( 工) = 0 ，一0 ，i = 1 ，m 2 2 3 带约束的优化充分条件( k u h n - t u c k e r 定理) 和 设x 是彤中一非空开集，并设 f ：r ”号r ：g j ：r ”寸r ，i = 1 ，m 考虑问题( p ) 使得 鬼：r ”专r 。i = 1 ，1 r a i nf ( x ) 晶( 功0i = l ，m ， 岛( 功= 0i = l ，l ；x x 设；是一个可行解，并设i = i ：岳( _ ) = o ，假设k u h n - t u c k e r 条件在；成立，即存在 _ f o ，i ，和访，i = 1 ，1 使得 v f ( ；) + 厄( ；) + 圭_ v 岛( x ) _ 0 设j = i ：嵋 o ) 和k = i ：石， o ，进一步f 在；是伪凸的，岛，i ，在；是拟凸的，岛， i - ，在；是拟凸的，而岛，i 髟在；是拟凹的。则；是问题p 的整体最优解。 1 2 2 3 变分知识 定义2 3 1 极值曲线的变分 设y + ( j ) 是极值曲线。y ( j ) 是比较曲线，称缈( = y ( 曲一y ( 曲为y + ( x ) 的变分。 注意：8 y ( x ) 为x 的函数，反映的是整个函数的改变。 定义2 3 2 泛函变分 考虑泛函 ，【j ，( p 】2e f ( w ，) d x t 泛函j 的变分甜定义为 g j = e 瞳渺+ 6 8 y 。k ( 2 3 2 1 ) 下面推导的由来： 给y 伍) 以变分8 y ( z ) ，考察相庸的泛函增量 其中 ，= j ( y + 砂) 一- ，( z ) = c ，( y + 8 y ，j ，+ g y ) 一，( x ，y ，y ) k = e c 砂+ 。渺刁+ 互11 。f “毋) 2 + 2 名伽y + 乞y ( 缈y + 卜 = 6 j + 6 2 j + ， ( 2 3 2 2 ) = e o 砂+ 影毋 矗 ( 2 3 2 3 艿2 ，= _ ；2 f ，( 缈) 2 + 2 勺泐+ 勖卿) 2 p ( z s z 4 ) 1 3 甜，万2 j ，分别叫做泛函的一次变分、二次变分、。 引理1 1 1 ( 程鹏等，2 0 0 4 ) 2 3 3 如果泛函，( y ) 在y ( 功达到极值，则泛函在y ( 功的变分最，= 0 。 定理( 程鹏等，2 0 0 4 ) 2 3 4 泛函，2f ( ，( 五y ，j ，。) d x 在y = y + ( 石) 达到极值的必要条件是j ，= y ( 功为e u l e r - l a g r a n g e 方程 的解且满足 芒了d ( i d f ) ：o 却出、却 - 渺晓= 0 2 4 数学规划知识 这部分主要介绍在的计算方法。最优化参数选择问题重要用到的几种常用的数学规划 2 4 1 二次规划的有效集法( 妒) 满足 m i nf ( x ) 专 + c r z 岛( 力= a t x - b , = 0 , i 占；蜀( 功0 , i ， 1 4 由t i ：1 标泛函是二次的，h e s s i a n 矩阵q 是常数，且约束是线性的，因此其约束梯度 v ( 工) = a 7 都是常数，如果q 是上e 定的，这个阃题就是凸的，冈此k u l m - t u c k e r 必要条件 都满足，冈而必存在一个向量a 使得 + c = 0 q ，g f ( ，) = o ，i g ( ，) 2 o i j “u ， 彳毋( 工+ ) = o ，i ，彳 - 0 ，i ， 由丁问题( q p ) 中存在不等式约束，冈而无法t l 直接消元法来解，但是可以采川一系列带 等式约束的二次规划( q p e ) 问题米解决之。 定义2 4 1 1 第k 次叠代有效集a l a = ，占u ，；旬( 一”) = 衫石忙一岛= o 其中x ( 是第k 次叠代的解。 定义2 4 2 2 有效约束矩阵 如果 人称为第k 次叠代的有效约束矩阵。 a ”= v ，蜀( 一”) r = 【q 】，ie a m 考虑到系统约束我们有 和 计算步骤 f ( x + d ) = ( ) + d ( q x + c ) + 必d 7 q a 蜀( 毒幻+ d ) = 一( 工时+ d ) 一6 = a t a + ( 工仲) 1 5 l o 选择一个可行初始解p ，确定相麻的有效集a m ，k = 0 2 0 用( q p e ) 的方法计算出搜索方向d 呼n 圭矗7 彩彬( 钆 满足口= 0 ，如果d = 0 ，解上面问题，进行( 3 ) ，否则进行4 0 3 0 因为d = 0 解问题 满足 m ，i n l 2 a 7 姒+ d 7 ( 眇+ c ) ， 工= 岛，l a 忙 计算相应的l a g r a n g e 乘子向量 利用 允“， a x ) = q 一+ c ， 其中人( 是有效约束矩阵。选择j 使得 弘护， l e a ( k ) n l 如果乃”0 ，则 1 6 并进入2 0 ； ，= 墨a + = a 啦 力 4 0 如果矗，= d o 是( 2 ) 问题中的解， 则计算口 其中 如果口忙 1 ， 则 o r ( k ) ：1 1 1 i n ( 1 ，夏) 艘觚m a ( i n 。巧b i - a t i 矿x ( k ) ；妒1 ) = 鼽舰( 。 a = a u e ， 其中p j a 使之达到满足上面条件的最小值，否则口) = 1 ，则a ( “j = a ( ) 5 0 令k = k + l ，转入2 0 。 2 4 2 拟牛顿法 满足 对于问题 h i nf ( x ) 1 7 g i ( x ) = q 工一岛= o , i 占 岛( 曲= u i x 一岛0 , i i 其中x e r ”；f 是通常的彤中的非线性泛函，a l 是n 维向量。岛是实数。该问题的可行 点就是满足( 2 4 2 2 ) 和( 2 4 2 3 ) 的点，巨是有所有可行点组成的集合，用求解线性 规划的方法可以解得满足( 2 4 2 2 ) 和( 2 4 2 3 ) 的解工o 巨。冈此我们可以假设( 2 4 2 1 ) 的初始值为x o ，ax “由石朋二次线性规划问题来解决，于是用t a y l e r 系列展开：将目 标泛函在x 点展开得到一个二二次型吼( d ) ， 其中 和 删+ d ) ( 妒毗) p ( ) + h p ( ) = v ，厂( ) 7 ( ) - v ， v ，厂( 叫7 由于约束是线性的，很容易得到容许点+ d ， 和 岛( 矿+ d ) = 口7 ( 工+ d ) 一西= 4 j d + 岛( ) = o ，i 暑 ( + d ) = 矿( 工+ d ) 一岛= 衫d + & ( ) o ，i ， 注；如果x 耻是可行解，则岛( 矿) = o ，i a 2 占，对于每一个k 用有效集的方法解决( q p ) 问题。在这里目标泛函的何( 矿) 用一个正定对称矩阵口来逼近 1 8 其中 k 肌筹一筹 s ”= + + 算n ，= p ( “”一p “。 2 4 3 逐步二次规划法( s o p ) 满足 其中 考虑约束1 f 线性规划问题 m i nf ( x ) 蜀( 工) = o , i = l ，m ； g j ( 善) 2 0 , i = m + l ，j 竹+ r 届五一，i = 1 ，行 为了表达简便，我们定义( 2 4 3 4 ) 为一些函数& ，i = 拂+ r + l ，r e + r + 2 n ，更为简单 的表达方法为： g m + ，“善肛一而o , i = l ，露 g m + + 2 一o ，i = 1 ，弹 则相应的非线性约束最优化问题： m + 2 n + r l ( x ，2 ) = f ( x ) - 馅( j ) ， i i 1 9 这里a = 【丑，丸。】r ，假设并是一个估计值，是相应的一个最优 l a g r a n g e 乘子估计值，从而约束被线性化为： g i ( x 七+ d ) 岛( 善”) 十v ，岛( 工) d ， ( 2 4 3 8 ) 同样得到一个二次逼近的目标泛函形式： f ( x ”+ d ) f ( x ”) + v ，f ( x ”) d 十 d 7 b n d ， 这里b 是一个正定对称矩阵，逼近拉格朗日函数l ( x ，五) 住( 一“，a ) 处的h e s s i a n 矩阵。 注：非线性规划问题的第二阶最优条件包含拉格朗日函数的二二阶导数，因此为了提供一个 有效的解决问题的方法，我们需将吉d 7v ，【v ，厂( 工) 】r d 用圭d 7 b d 代替，故首先 考虑子问题： 满足 m i i l d 7 b d + v ，f ( x ) d ， d j v r & ( j ) d + 岛( j 耻) = o ，扛l ，棚；( ) 【v x g f ( 工辟) d + 岛( j 件) o ，f = 历+ 1 ，m + r + 2 n 这是一个二次规划问题，因此可以用有效集的方法来解决，假设d 。是满足( 2 4 3 9 ) 、 ( ) 这个数学规划问题的解，五l 是相应的最优乘子向量，然后得到一个新的估计工“”、 五( + 1 ) 和口“1 j 菇m i ) = 工( ”+ ) d ，胪1 l = + 吒( _ 量1 一) ， k + 筹一篙 其中 s = = 工+ 1 + j ，= = v ，( x + 1 ，a + ) f - i v ，三( 并，五 7 所以设计一个步艮参数口i ，以产生一个乘子罚函数： “石”+ a d t k ) , a ) + 口( 万“一) 2 5 几个重要的不等式 2 5 1m i n k o v i s k i 不等式 对f 、g el p ( j ，r “) ，, z j * f ( j 1 o ) + g ( f ) 1 9 d t ) j - ( f l s ( 0 1 9 a t ) j + ( | g ( f ) 1 9 ) 。 llf 2 5 2g r o w n w a l l - b d l m a n 不等式 假设 厂( 力口( f ) + f 彭( f y ( f ) d f e f t e t ( t ) 是连续有界的，r a ( t ) o ；k l p r k ( t ) 0 t i p f ( t ) 0 ，则对o t o o ，有 厂o ) 口( f ) + f ( e x p ( j e k ( f ) d f ) k ( s ) 口( s ) ) 幽。 2 6 重要的收敛结果 2 6 1 ( l e b e g u ed o m i n a t e d 收敛定理) 假设 厂 c 厶( ，r ) 并假设存在一个函数g 厶( ，) ，使得 2 1 ( i ) i f n ( t ) l l - ( l - g ( 1 + l x l ) ；v ( 6 知u ) 【o r 】r 4 矿。 2 7 ( 3 2 1 3 ) f 和l 以及z ，丘，厶，厶对f 【o ，r 生r ”x 彤上连续 ( 3 2 1 a 4 ) 伫r “x r 斗r ，矽如和u 连续可导。 3 目标泛函 9 0 ( ”) = 州工( t i ”) ) + r l ( f ，工( f 如) ，) d r ( 3 2 4 ) 问题( 罡) 就是寻找一个h 【，满足( 3 2 1 ) 使得目标泛函g o 达到最小值- 3 2 2 最优控制问题的逼近问题 对于最优控制问题，我们构造一个逼近问题序列，使得每仑逼近问题就是最优控制 问题的一个子集问题 考虑一个单调上升序列 s 9 = i ，其中s 9 是【o ，丁】的有限个子集合对每一个p f 令s 9 的+ 1 个点为皤，f f ，j 嚣且满足鬈= o ，t p = t , f f q l t _ l 譬，膏5 1 ，2 ，雄p 。 因丘匕对于s ，存在一个【o ，r 】的分割r ，u p = i f ，k = 1 ，) ，其中i f = f o - ，嵋) 使其满足下面两个性质 ( 3 2 c 1 ) s 9 “是s 9 更加精细的分割 ( 3 2 c 2 ) 罂s 9 在【o ，】是稠的，i l l l ，l i r a 。m ，a x i ； = o 其中l 巧l _ r f i f _ 。 设( ，9 是由所有按分割r 的u 中常量元素组成的集合。i 女v u u ，都可以表示如下 “，( 力= 艺盯“锄( 力 f o - 其中盯舭，锄( ) 是标识函数，且 其中( 盯) 7 = 吖”，形1 ( 3 2 5 ) 厂 盯 ， ”以 j i b n ， = ， z 盯 则条件( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 就变为了 ( e ) 7 仃9 6 f ，i = 1 ，q ；k = l ，0 ( 3 2 6 ) 和 令 口? s o ps8 l ( 3 2 7 ) 皇9 = 一9 ：( e 。) 7 仃9 蔓岛，i = 1 ，q , k = l ，n v ；c 6 吖。属 则v u p u 9 ，存在唯一的控制参数d 9 三9 满足( 3 2 5 ) ，反之对每一个控制参数 o - p 日9 存在唯一的z f 9e u 9 。令q 9 是满足约束( 3 2 7 ) 的向量集合，且有q 9 亡巨9 m 9c u 4 是相应的向量集合，从而问题( 昱) 就成了j 卜面的形式的问题足( p ) 目标泛函也成了 胁枞矿) - ，( 榔) 嵩矿。纠功 ( 3 2 8 ) 【工( o ) = p g o ( o ：，) = 烈“r i 善) ，f ) ) + r 2 ( f ，x ( t l ) ，盯9 ) d r ( 3 2 9 ) 这样原来的最优控制问题就可以用一系列问题罡( p ) 来逼近。 3 2 3 逼近问题曼( p ) 的计算 由于我们构造了l f 9 ( f ) = 妻k = l 口巾( 功，于是我们可以用参数盯硝e 巨9 来逼近“( f ) ， 从而将一个最优控制问题转为参数选择问题来处理。 1 0 给定一个仃9 e 9 ，由( 3 2 8 ) 求出系统方程的解工“盯9 ) 7 2 0 求出对应于 盯9 ) 的9 0 ( 盯9 ) 的值 3 0 对给定的o - p 宣9 ，解相应的伴随状态方程 求出相应的a ( | 盯9 )慧一 其中 互9 ，x ( tla 9 ) ，d p ，= ( ，x ( tla ) ，仃，) + a 7 7 ( f ，x ( ta ，) ，玎) ； 4 0 由梯度公式 a g o ( c ) ：f r 曼丝生：兰g ! ! ：! ! g ：苎! 攻 a 口p南00p 算出其梯度： 5 0 由前面最优参数选择问题，我们将b ( p ) 变成一个参数选择问题，按一个二次规划问题 来计算，求出相应的盯p - * z 。( fi 盯9 + ) 。 3 2 4 收敛结果 引理l f 2 4 j ( kl t o o ，1 9 0 0 x c 每- - + u 【，平叻，设 则“9 u ，即在【o ，r j 上，当n _ 时， 嫩r ”，) 一( r ) 印= o 引理2 ( k l 伽，1 9 9 1 ) 假设p 9 ) 二i 是疋中的一个有界函数序列，则相应的系统( 3 2 8 ) 的解序列 石( 町“7 ) “在匕中有界。 引理3 2 4 1 ( kl t e o ， 9 9 t ) 如果 “9 二。是圪中的一个有界函数序列，并且在【o ，r 】上收敛 于函数甜，则 溉愀q u p ) 一工( 1 1 g p ) k = o ， 并且，v f 【o r 】有 溉帆q u p ) 一x ( t 甜) i l = 0 力 ， 硝 渺 硝 “ 巧，k 参h 私。上 “ 时 自 盯 啦 一 带 = 嵋 中其 引理4 阻( i l l t e o ，1 9 9 0 假设 砧9 二巴。是圪中的一个有界函数序列，并且在【o ，r 】上收 敛于函数扯，则 溉g o ( “9 ) 2 9 0 ( u ) 定理1 【“l ( k l t e o ，1 9 9 1 ) 如果“，是逼近问题昱( p ) 的最优控制，最优控制问题( 最) 有一个最优控制“，则 。l i mg o ( “ ) 2 岛( “) 定理2 1 驯( k l t e o ，1 9 9 1 ) 如果甜是问题( 最) 的晟优控制，“ 是问题芝( p ) 的最优控 制，若在【o ，丁】上，当p o o 时， - - 岛- - 一u 。 则云也是问题( b ) 的最优控制。 由上面的收敛性结果我们很容易知道利月j i 参数方法求解的最优控制闯题的解与最优控 制问题的真实解时一致的。 3 l 第四章脉冲系统下最优控制的参数选择计算方法 脉冲系统最优制的计算，在常规的情况下，是一个比较复杂的问题，很多情况f 很 难得到问题的解析解，我们常常求其数值解，本章类似于1 脉冲系统最优控制，先研究脉 冲系统最优控制的最优参数选择问题，然后构造一个脉冲系统最优控制的最优参数选择问 题来逼近脉冲系统最优控制问题，从而将脉冲系统最优控制问题的计算转化为一个数学规 划问题求解。 4 1 脉冲系统的最优控制问题( 芦) 1 、受控系统为 其中 i j = f ( t ，j ，“) 工( o ) = x o 【缸( ) 。中心( ) ) d = ，l ，厶) c 【o ，r 】；厂= ( z ，) ，t e o ，r ”d a x ( t , ) = z ( r ) 一膏( f ) ， 中；是j ( ) 处的跳跃螬数，且定义为： 中，( 工( ) ) = 工( 彳) 一工( f ) = j ( + ) - x ( t , 一) ( 4 1 1 ) x ( o 奠s o ，r 】上的分段连续的向量值函数，在每一个小区间【+ 】i = l ，2 ，n + i i - l 奎续 ( 注：t o = o t n + i - - t ) ；其中j ( 五，毛) 7 。 川o ，r l r 4 u - - - r ”，u c u ；一；h ，霹 掣 2 、控制集合： u - - - 伽： o ，r 卜 r l u = ( u 。( t ) ，u ，( t ) ) ， u i ( t ) 是【o ，t 止的分段连续函数i = 1 ，r ；a s 辑s 群) ( 4 1 ，2 ) 3 、目标泛函： g o ( ) = 烈x ，t ) + r l ( f ，j ( f ) ，( f ) ) 出 ( 4 1 3 ) 最优控制问题( 再) ：对于给定的脉冲系统( 4 1 1 ) ，寻我一个u ，使得 4 2 假设条件 g o ( u ) 一i n f g o ( “) ( 4 2 i a i ) 厂【o ，1 掣x r 斗掣： 对每一个彤的每一个紧子集v 存在一个止数k ，使得 l 厂( t ，x ，u ) 1 积1 + ) t t tx 。u ) e o ，t d x r nx v ( 4 2 1 a 2 ) 厶【o ，r 】r ”r 5 r 对每一个彤的每一个紧子集v 存在一个正数k ，使得 i l ( t ，而u ) l k a + h ) v ( f ，翦u ) 【o ，t d x r ”矿 ( 4 2 1 a 3 ) 弘r 4 x r 。寸r ；矿对姘u 连续可导。 ( 4 2 1 a 4 ) f 和l 以及z ，z ，厶，丘对f 【t i - l ，t i 】在x r 5 上连续。 ( 4 2 i a 5 ) o ，是比) 处的跳跃函数，且定义为： 由，( j ( ) ) = 石( 矿) 一再( f ) = 工( + ) 一工( 一) ： 石( f ) 为【o ，r 】上的分段连续的向量值函数，在每一个小区间【o i ，】i = l ，2 ，n + l 上连续 ( 注：t o = o ，t