（应用数学专业论文）banach格上强非正则算子的存在性.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 本文首先刻画了n 维欧氏空间r ”按通常的偏序做成的阿基米 德r i e s z 空间上正交射的特征，以此可对胄”上序有界算子作关于 正交射的直和分解同时构造一个反例说明，对于r “按字典顺序 做成的非阿基米德r i e s z 空间的情形，这个刻画及相应结果并不成 立 接着讨论了b a n a c h 格间序有界算子的序有界范数，详细论证 了正则算子的( 一致) 算子范数、正则范数和序有界范数三者之 间的关系，并得到了序有界算子空间在序有界范数之下是 d e d e k i n d 完备b a n a c h 格的一个条件 最后，本文的主要目的是研究经典b a n a c h 格上强非正则算子 的存在性这里把这一问题转化为考察有界线性算子空间与它的 正则算子子空间在( 一致) 算子拓扑之下的关系，从而部分的回 答了正则算子集合在有界线性算子空间中有多大的问题，解决了 经典b a n a e h 格上强非正则算子的存在性 关键词：b a n a c h 格；正交射；正则算子；强非正则算子 西南交通大学硪士研究难学位论文第j l 页 a b s t r a c t i nt i f f s p a p e r , t h eo r t h o m o r p h i s m so n 协ea r c h i m e d e a nr i e s z s p a c e 月4 w i t ht h eu s u a lc o o r d i n a t e w i s eo r d e r i n ga r ec h a r a c t e r i z e d a l s o 。t h ed i r e c ts u m d e c o m p o s i t i o no f a no r d e rb o u n d e d o p e r a t o rw i 也 r e s p e c t t ot h e o r t h o m o r p h i s m s i so b t a i n e d i n a d d i t i o n , a c o u n t e r e x a m p l ei s c o n s t r u c t e dt os h o wt h a tt h ec h a r a c t e r i z a t i o na n d t h er e l a t e dr e s u l t sd on o th o l df o rt h en o n a r e h i m e d e a nr i e s zs p a c e 置“w l 也t h e l e x i c o g r a p h i c a lo r d e r i n g t h e nt h eo r d e rb o u n dn o r r h i m p o s e do nt h e o r d e rb a u n d e d o p e r a t o r sb e t w e e nt w ob a n a e hl a t t i c e si sf u l l ys t u d i e d t h er e s u l t s i n c l u d et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h eo r d e rb o u n dn o r l 1a n dt h eo t h e r t w ot y p e so fn o r m so far e g u l a ro p e r a t o r ，r e s p e c t i v e l y ，a n dac o n d i t i o n u n d e rw h i c ht h es p a c eo fo r d e rb o 黼蠡矗o p e r a t o r si sad e d e k i n d c o m p l e t e b a n a c hl a t t i c e t h em a i np u r p o s eo ft h et h e s i si st o s t u d yt h e e x i s t e n c eo f s t r o n g l yn o n - r e g u l a ro p e r a t o r s b e t w e e nc l a s s i c a lb a n a c hl a t t i c e s a l t e r n a t i v e l y , w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h es p a c eo f b o u n d e do p e r a t o r sa n di t sr e g u l a ro p e r a t o rs u b s p a c e 谢m r e s p e c t t ot h e o p e r a t o rn o i n lt o p o l o g y , t h e r e b ya n s w e r i n gp a r t i a l l yt h eq u e s t i o no f h o w b i gt h er e g u l a ro p e r a t o rs u b s p a e i sa n d d i s c u s s i n gt h ee x i s t e n c e o fs t r o n g l y n o n - r e g u l a ro p e r a t o r s b e t w e e ns o m ec l a s s i c a lb a n a c h l a t t i c e s 。 k e y w o r d s ：b a n a c h l a t t i c e ；o r t h o m o r p h i s m ；r e g u l a ro p e r a t o r ； s t r o n g l yn o n - r e g u l a ro p e r a t o r 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1 r i e s z 空间理论发展简述 r i e s z 空间又称向量格或者线性格，最早追溯至对b a n a c h 空 间的系统研究1 9 2 8 年，f r i e s z 在布拉格国际数学家大会上作了 关于线性泛函的分解的报告，标志着r i e s z 空间和正算子研究 的开端，而系统研究则始于二十世纪3 0 年代中期主要归功于 f r i e s z 、l k a n t o r o v i c 和h f r e u d e n t h a l 等人的工作随后，一些重 要学派，如苏联学派( l k a n t o r o v i c ，a gp i n s k e r b w v u l i k h ) 、 日本学派( h n a k a n o ，t o g a s a w a r a ，k y o s i d a ) 及美国学派 ( g b i r k h o i f , h f b o h n e n b l u s t ，s k a k u t a n i ，m m s t o n e ) 在这一领 域作出了重要贡献六十年代末，这一领域建立起了牢固的基础， 并于七十年代达到成熟 l k a n t o r o v i c 和他的学派最早意识到把r i e s z 空间与赋范空间 理论联系起来加以研究的重要性他们考察了赋范r i e s z 空间及其 上跟序有关的线性算子然而在随后的一段时期里，r i e s z 空间理 论似乎与泛函分析的主流越走越远，直到七十年代中期 h h s c h a e f e r 的工作才改变了这种状况近二十年来，随着一批从 事b a n a c h 空间理论研究的人纷纷进入这个领域，r i e s z 空间和正算 子理论才焕发出勃勃生机，并在诸如数学物理、经济学等领域有 着深刻的用 1 2 本文的写作背景和具体工作 从r i e s z 空间e 到r i e s z 空间f 的线性算子中，考虑较多的 是正则算子和序有界算子正则算子都是序有界算子，但序有界算 子不一定是正则算子如果f 是d e d e k i n d 完备的1 1 或者e 是可分 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 的b a n a c h 格丽，是仃d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格嘲，两个概念一 致，也有许多例子表明两个概念是不一致的，见文献【2 】或 3 】 r i e s z 空间上序有界保带残性算子被称为正交射，它是r t e s z 空间上一类熏要的算子正的正交射是格同态当空间具有主投影 性时，空间上的正交射恰恰就是能与该空间上序投影交换的序有 界算子b d ep a g t e r 等人发现正交射与f 一代数亦有密切联系。“。 众所周知，当e 是b a n a c h 格而f 是赋范r i e s z 空间时，序有 界算子( 包括正则算子) 一定是( 范数) 有界的。但有界线性算 子未必是序有界的即使f 是d e d e k i n d 完备的如果让r ( e f ) 、 r ( 最固和l ( e ，毋矜别表示从e 至q f 的正则算子空间、序有界算 子空间和有界线性算子空间，我们有如下的包含关系： r ( e ，f ) 矽( 冒，f ) gl ( e ，f ) x i o n gh o n g y u n 在 4 】中详细的论证了当占和f 是经典的 b a n a e h 格( c o ，。，乞，f 。( 1 p 的包含关系 当把正则算子空间f ( e f ) 看作有赛线性算孑空间l ( e ，f ) 的 线性子空间时，从算予范数诱导的拓扑角度看，f ( e ，f ) 是l ( e ，f ) 的拓扑子空间在 1 9 v p w , a r e n d t 与j v o i 蛋提出了强非正则算子 的概念，即不包含在集合c ( e ，f ) 的闭包中的有界线性算子并证 明存在三。一空间到三。- 空间( 1 p ( ) 的强非正则算子本文将研究 强非正则算子的存在性转化为考察f ( e ，f ) 与l ( e ，f ) 在算子范数 拓扑下的关系： ( 1 ) r ( e ，f ) = ( e ，f ) ，即每个有界线性算子都是正则的： ( 2 ) r ( e ，d 是z e ，f ) 静稠密真子空间； ( 3 ) c ( e ，f ) 是上( e ，f ) 的闭的真子空间； ( 4 ) r ( 疋f ) 是l ( e ，f ) 的非稠非闭的子空闻 显然只有在后两种情形下才存在强非正则算子 本文主要作了如下工作； 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 给出一维欧氏空间r ”按通常的偏序做成的阿基米德r i e s z 空间上正交射的特征，以此可对月“上序有界算子作关于正交射的 直和分解 2 讨论了b a n a c h 格上序有界算子的序有界范数，详细论证了 正则算子的( 一致) 算子范数、正则范数和序有界范数三者之间 的关系，并得到了序有界算子空间在序有界范数之下完备的一个 条件 3 当五和f 是经典的b a n a c h 格时，在 4 】的基础上考察l ( e ，f ) 与r ( e ，f ) 的拓扑关系，从而指出在有些经典的b a n a c h 格间强非 正则算子是存在的 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章b a n a c h 格理论的基本概念和结果 本章简单介绍有关b a n a c h 格中的基本概念和一些主要结论， 它们是本文研究工作的基础对已有的结论省略了证明，具体证明 和细节可参阅相应的文献【6 8 】对未经解释的术语和符号也可在 这些文献中查找 2 1r i e s z 空间的基本结构 定义2 1 1 嘲设j 是一个非空集合，x 上的二元关系r 叫做 一个偏序，如果满足：对工中任意元素x ，y ，z ( 1 ) 自反性：x p - x ； ( 2 ) 传递性：如果z 珂，y r z ，则x r z = ( 3 ) 反对称性：如果x r y ，y r x ，则x = y 这时我们把瓦r ) 或肖称为一个偏序集，为方便起见，我们把x r y 写成x y 或y x 定义2 1 2 【6 l 设y 是爿的非空子集x o x 如果对任意的 y y 有y x o ，那么称x 。是y 的一个上界如果对于】，的任意上 界x ，都有x o 一，那么称x 。是y 的上确界或最小上界，记作 x o = s u p y 或= s u p ( y ：y y ) 由偏序的反对称性易知，偏序集的如果有上确界，上确界必 然唯一类似的，可定义一个集合的下确界如果y 。是y 的下确 界，记作y 。= i n f y 定义2 1 3 t 6 1 设x 是一个偏序集 ( 1 ) 如果x 的任意有上界的非空子集都有上确界，就是 d e d e k i n d 完备的； 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 ( 2 ) 对于的任意有限或可数非空子集，如果有上界，那么就 有上确界，我们说x 是o d e d e k i n d 完备的或可数完备的： ( 3 ) 如果每一个包含两个点的子集都有上确界和下确界，则z 是一个格 x 是一个格时，习惯上用x v y 与x y 分别表示s u p ( x ，力与 i n f ( x ，j ，) 定义2 1 4 t 6 1 设占是一个实向量空间，赋予偏序使得向量空 间结构与序结构相容，即下列条件被满足： ( 1 ) 如果z y ，那么对任意z e ，有x + z y + z ； ( 2 ) 直口果工0 ，贝i j a x 0 ( 0 口r ) ， 则称e 是有序向量空间此外，如果五关于这个偏序还是一个格， e 就叫做一个r i e s z 空间或向量格 例2 1 5 【6 】设c ( z ) 是紧致的正空间x 上连续实函数全体， 按通常的加法和数乘作成的一个向量空间在其中定义偏序如下： ，g 当且仅当f ( x ) g ( x ) ( v x x ) c ( x ) 按这样的偏序作成一个r i e s z 空间容易验证： ( f vg ) ( x ) = m a x ( f ( x ) ，g ( 曲) ，( f g ) ( x ) = m i n ( ，( ，g ( x ) ) 定义2 1 6 6 1 设e 是一个r i e s z 空间，x e ，如果工+ ：x v 0 ， x 一= ( 一x ) v0 ，i x i = z v ( 一x ) ，那么我们有下列一些关系式： x = x + - - x 一，l 叫= x + + x 一 定义2 1 7 嘲n ：e 是- - t - r i e s z 空间，赋予e 一个范数| | 1 1 如 果对任意x ，y e e ，h i y l ，贝, m l n l l l y l l ，这个范数叫做r i e s z 范数 ( 或格范数) 一个赋予r i e s z 范数的r i e s z 空问叫做赋范r i e s z 空 间如果一个赋范r i e s z 空间是完备的，就称它是一个b a n a c h 格 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 设e 是一个r i e s z 空间，a e 我们用e + = 扛e ：工0 ， a 4 = 扛e ：1 4 l y i = o ，砂a ) 若x ，y e ，i x l l y l = o ，则表为 工上y 定义2 1 8 【6 】设，是r i e s z 空间e 的一个线性子空间，如果只 要h s i y i y i ，就有x ，那么，就叫做e 的一个理想进一 步地，理想，是一个带，如果对于川向任意子集d ，只要工。= s u p d ， 就有e 1 易验证r i e s z 空间e 中若干个理想( 带) 的交集仍是e 的 个理想( 带) e 的子集4 生成的理想( 带) 就是五的包含a 的所有 理想( 带) 之交，记做，。( 吼) 设0 b e ，e 叫做r i e s z 空间e 的一个( 强) 单位元，如果 e 生成的理想就是e ，即l = e 定义2 1 9 【1 】设e 是一个b a n a c h 格， ( 1 ) e 是一个a l 空间，如果对任意x , y e + ，有 忙+ 卅= l l x l l + l h i ( 2 ) e 是一个a m - 空间，如果它的范数是一个m 范数，即 五y e + ，苇r l l x v y l i = m 酬l x l l ，i l y l i ( 3 ) 如果只要o 个，s u p l l x 。i i 0 ：i x i 0 ，v 占 0( 0 占 a q ， 如o ，故d ；- 这证明了s t i ，t i 是丁和0 最小上界，即死2 t v 0 = t + 类似地 1 2 = ( - t ) v 0 = t ， t l - t + v t = t + + t ( 3 ) 利用等式tv s = t + ( s - t ) v 0 = t 邯丁) + ，ta s = ( - r ) v ( s ) 证毕 定理3 1 5设线性算子r ：r “叶r ”的矩阵为( 蝴，t o r t h ( r ”) 的必要充分条件是f _ ，时，a g = 0 证明首先注意到，由引理3 1 1 及引理3 1 3 我们有 o r t h ( r “) = 1 删，其中，是单位算子，即埘= x 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 必要性丁是正交射，码= d fe i 当f 钉时j 自上由引理 充分性若r 的矩阵0 茹满足口广0 ( f 力，设 = n m ( 1 口1 l i ，l a 2 2 l ，l a 。i ) 2一：lai五一；on f ；。一! k i 显然，卫，- | 刁是r “上一个正算子，i 卸 厶即t 属于j 在l b ( r ”) 定理3 1 6 丁如上所设t e l 4 当且仅当鼬= 0 ( 1 f s 哟 f 1 1 0 0 f 2 2 -t- 0o 0 0 _ f m 其中t 。= m i n ( 1 a 。i ，1 ) ，1 f 拧 定理的证明由等价关系：丁e ，8 1 7 1 , , = - o r 。= 0 曹d 。卸得出 证毕 每个矩阵0 。) 可表成如下和的形式： 口2 口2 2 口： o o o ，。l + 、，l，lillj o o oo o o ，。l | l 、， 、h h 一帏 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 我们可以得到上面定理的一个推论 推论3 1 7 每个t e l ( r ”) 可表为t = t + r ，其中r ，删，r e j r 8 特别的，三( 目可o 0 1 删 设b n 表示d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格c o ，l 。( 1 p o o ) 中的第 t 1 个分量是1 ，其余分量是零的元，s ：，岛分别是c 。， f 。( 1 p 0 ，a 2 2 o ；要么a l l = 0 ，a 2 2 = 0 ，a 2 i 0 矩阵中口1 2 = 0 是因为正算子必是序有界算子从这里可以看出，如 果s 的矩阵是 1 1 3 ， 那么，s 是一个正算子，尽管a 2 i = - i 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第l7 页 最后，月”上正交射的亥0 画对于屉：并不成立为此我们只需说 明前面的s 是正交射，而s 的矩阵并不是对角形式首先注意到由 定理8 知，屉2 上的带只有三个，即b l = ( 0 ，o ) ) ，晚= ( o ，y ) ：y 月 ， 岛= 盖2 显然，s ( b i ) b 1 ，s ( b 2 ) c _ b ：，s ( b 3 ) c _ b 3 ，即s 是保带算子 不过，一般情况下我们只考虑阿基米德r i e s z 空间上的正交射 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 第4 章b a n a c h 格上强非正则算子的存在性 本章讨论了b a n a c h 格上序有界算予的序有界范数，详细论证 了正则算子的( 一致) 算子范数、正则范数和序有界范数三者之 间的关系，并得到了序有界算子空间在序有界范数下成为b a n a c h 格的一个条件 最后，主要研究了部分经典b a n a c h 格上强非正则算子的存在 性( 强非正则算子的定义见定义2 2 1 2 ) 本文把这一问题转化为考 察正则算子集合与有界线性算子集合在( 一致) 算子范数拓扑之 下的关系，不仅部分的解决了经典b a n a c h 格上强非正则算子的存 在性，而且回答了正则算子集合在有界线性算子空间中有多大的 问题，从而把局部性的问题从整体上加以考虑，所得的结果更强、 意义更广 4 1 正则范数与序有界范数 设t ：e _ ，是b a n a c h 格e 到b a n a c h 格f 的有界线性算予， t 的( 一致) 算子范数定义如下： = s u p ( 1 l t x l | = xe e 删l l 当丁是正算予时，我们有下面的定理 定理4 1 1 设e 、f 是赋范r i e s z 空间，丁是e 到f 的正算 子，则 i i r i = s u p l l t x l l ：x e + ，t l x l i l 证明显然s u p 钏a 1 | ：x e + ，i i x l i 1 ) - l l r h ( 1 ) 另一方面，对任意x e e ，l i x l i l ，利用丁的正性，有l 豫1 r l x t ， 因而我们可得： i = l 叫 i - l l r l x l ) 1 s p l l r x l l ，x e + ，i i x l l - l 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 进一步地，有 i 刖= s u p 硼致4 ：x e ，1 1 4 - l 】s s u p 删a 蚣e e + ，忙s 1 ( 2 ) 由( 1 ) 与( 2 ) ，我们有忙| | - s u p l t x l ：x e + ，f i x 0 1 ) 证毕 当e 、f 是b a n a c h 格时，r ( e ，f ) 在通常的算子范数下不一 定是完各的( 见文 1 1 】) ，但存在一个所谓的正则范数l h | ，： i i r l f = i n f l s 1 ：s r ( e ，f ) ，s o ，s 丁 使得r ( 占，f ) h - t a ) 0 3b a n a c h 空间，且对任意丁l x e , f ) 有i i t i i - f i i ， 如果f 是d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格，则按通常的偏序 ( s t s x t x ，v x e + ) ，( e ( e ，f ) ，洲，) 是一个d e d e k i n d 完 备的b a n a c h 格( 见文 1 】中命题1 3 6 ) ，并且对任意t er ( e f ) ， 刮眦= i l r l l l 我们用r ( e f ) ；l ( e ，f ) 表示y ( e ，f ) = 工( e ，f ) ，且对每个 t f ( e ，f ) 有l l r l l ，= i i r l j 定理4 1 2 t 1 2 1f 是一个d e d e k i n d 完备的有单位元的a m 空 间那么对任意b a n a c h 格e ，有f ( e ，f ) ；l ( e ，f ) 更多的8 刑，= l 成立的例子，参看文献 4 】 除, z l l 忙l l - t l , 这一明显的关系外，这两个范数间没有多少好的 联系，关于这方面的最新结果见文【1 1 在文献【5 】中，a w w i c k s t e a d 引入了序有界范数的概念 定义4 1 3 【5 】如果e 是b a n a c h 格，f 是一个赋范的r i e s z 空 间对于序有界算子t ：e 斗f ，定义： j p 虬= i n f me r ，v x e + ，如f + s t t - x ，工】 - y ，】且l y o s m i i x l i ，我们称恻l 。为序有界算予丁的序有界范数 定义4 1 3 有如下的等价形式： 砘= i n f m r ，v o - x b c d l ( e ) ，母e f “i i - x ，x l c _ - y ，y 】剧i 一1 - 盯1 定理4 1 4 设e 是一个b a n a c h 格，f 是一个赋范的r i e s z 西南交通大学硕士研究生学位论文第2o 页 空间那么，对于任意丁口( 最f ) 有j 吲j - fr l 。 证明i i i i 。定义中的 对任意x b a l l ( e ) ，j 叫也属 于b a l l ( e ) ，于是，存在儿f + 得t ( t q x l ，| 爿】) - y x ，儿】，且 0 儿i i - m i i m i i = m i m i 肼注意到a 卜儿，y ，】，l t x s 儿，所以 我们有| l 叫i = l l 刮i - l l x , l - m 换言之，对任意工b a l l ( e ) ，有 4 琢0 m 即例i m 由于肼选取的任意性，有i - f i i 。证毕 定理4 1 5 如果e 、f 如定理4 1 4 所设，那么对任意 te f ( e ，f ) 有。- l l r l l ， 证明 设s 三，( e ，f ) 且s r 对任意0 s x b a l l ( e ) ，有 t - x ，工】c 【一s x ，s x 】事实上，任意y 一x ，x 】有 l 刮= 眇+ 一t y i - 1 砂+ j + 眇一i s y + + s y 一 = s ( ，+ + y 一) 2 s o y l ) s x 由于- i l s x l i - l l s l l ，根据序有界范数的定义，我们有。- i i s l l 因为s 的任意性，所以l l r l l 。s i n “：s f ( e ，f ) ，s n = f i i ，证毕 与正则范数平行的有下面的定理，其中( 1 ) 、( 2 ) 是文献 5 】中的结 论，这里我们给出( 2 ) 的另一种证明 定理4 1 6 设e 是一个b a n a c h 格，是一个赋范的r i e s z 空 间 ( 1 ) | i 。是r ( e ，f ) 上的范数； ( 2 ) 若f 是一个b a n a c h 格，则p ( e ，f ) 在州。完备的； ( 3 ) 如果，是d e d e k i n d 完备的b a n a c h 格，则口( e ，f 1 在范数 西南交通大学硕士研究生学位论文第21 页 6 下是d e d e k i n d 完备的b a n a e h 格 证明( 2 ) 现证当f 是b a n a c h 格时，p ( e ，f ) 在| i - | | 。定义下完 备 设( 瓦) = cr ( e ，f ) 是任意。- c a u c h y 列不失一般性，我们 假定l l l + 一n i l 。 2 一，v n n 根据i | 。的定义，对任意 0 工b a l l ( e ) ，3 y f + 使得( l + 1 一l ) ( 卜五x 】) 【一y 。，y 。】，且 8 y 。0 2 由定理4 1 4 ，有0 l 。一l0 2 一，v n e n 利用f 的 b a n a c h 完备性，存在某个t e l ( e ，f ) 使得l 斗t ( n 斗c o ) 对任意 ye 一x , x 】，我们有 l ( 丁一瓦) y l = 舰i ( l l ) y i i ( r o + l - 巧) y l 由于i j ，。l 2 一，有i i y 。i 怿抄。l i s 2 1 。”，及 l i r a = n1 i ( r - r ) - x ，x 】卜儿，y 。】这表明r - r p ( e ，f ) ，从而 丁= ( 丁一l ) + 瓦l e ( e ，f ) ，并且l p n i l 。 2 。一，即l 马r ( 3 ) 如果f 是d e d e k i n d 完备的，我们只需证明| 卜| i 。l b ( e ，f ) 上的格范数，即对任意t , s p ( e ，f ) ，如果i t l l s l ，则有 西南交通大学硕士研究生学位论文第22 页 0 7 1 1 。- o 是 i s l l 。定义中任意满足条件的一个正 数，即对任意0 s 工b a l l ( e ) ，存在y f + 使得s - x ，司【一，y 】， 且 由定理2 2 5 中的r i e s z - k a n t o r o v i c h 公式，我们有 s i x = s u p s - x ，j ) e - y ，_ y 】 那么，对任意z 【一x ，x 】，由于l 叫- i s i ，所咀有l 乃i - i r l q z l ) - i s l x 这表明，对任意0 s x b a l l ( e ) ，玎一z ，z 】t - l s l x ，i s l x 【一y ，y 】， l 州吖因而俐。m 对膨取下确界，有- f l l 。- l l s l l 。 定理4 1 7 设e 是任意b a n a c h 格，f 是有单位元的a m 空 间，单位元为8 那么，对任意r 工( e ，f ) 有俐i - - i i r l l 。特别的， 如果f 还是d e d e k i n d 完备的，则对任意t 工( e ，f ) 有 = 1 i r l l 。= 1 i r l l ， 证明由定理2 2 8 。我们有l ( e ，f ) = p ( e ，f ) 设t e l ( e ，f ) ， 0 x b a l l ( e ) ，对任意2 卜x ，x 】，由于f 是有单位元的a m - 空间， 则叫l i 乃i i e - ( i l r l i i l z i i esl i rl l e 设_ y = l i r i i e ，那e - , 玎吖，x 】【弘纠= - i r l e ，f i l e ， 且i i y l i = i i r l i ，即i i r 扎 o ，使得a ：i l r l l 。 - i l r l l ，- ( & l l r l l 。， 对任意t r ( e ，f ) 成立 证明由定理4 1 5 ，定理4 1 6 及开映射定理推出结论 嚣南交通大学颁士研究生学位论文第23 甄 4 2 经典b a n a c h 格上强非正则算子的存在性 正如前面我们所指出的，对于b a n a c h 格e 。f 来说，我们可以 竞鹾究强黪歪剩冀子戆存农性转毡为考察 墨f ) 与三互f ) 在冀予 范数拓扑下的关系，得到一些更强的结果 x i o n gh o n g y u n 在嘲牵绘基了表1 串熬缝暴t 零文考虑当西，f 悬经典b a n a c h 格g 。( 1 s p o o ) ，c 0 ，c ，c 0 ，1 】时，f ( 玩f ) 与l ( e ，f ) 的 掭羚关系，胃戳确定是否存在强津歪蚕| l 黪子，看穗_ 芷燹| l 雾予子空溺 在有界线性算子空间中有多大， 表lf ( 占，f ) 岛l ( e ，f ) 的关系 l 与 q 刈关系v 篁*0 n c c 0 ，1 】 ( 1 蔓q ) 孽l 。( 1 p o ) 壬 c士 霉 世 c 0 ，1 】 壬 我嬲悫扶有鼹维篷域窆阅戆情形开始 定理4 2 1 附任意b a n a c h 格f ，肖l ( f ，r ”) = r ( 心r ”) ， l ( r 4 ，f ) = 工，( 冗4 ，f ) 如菜f 是a m 空间，刹l ( r “，f ) ；( r 4 ，f ) 证明由于# = ( 1 ，1 ，1 ) r “是震”豹强序单位，瓣可褥到 西南交通大学硕士研究生学位论文第24 页 l ( f ，r “) = r ( f ，r ”) 对于第二个等式，注意到贝”到f 的任意线 性算子都是有界的设s 工( 胄“，f ) ，对任意x = ( ，z ：，矗) r ”， 月 有= t ，其中q ，p ：，e n 为r “的标准正交基令 ，4 l t x = t 陋j ， v x = ( z l ，z 2 ，x n ) r “ 显然，t 是线性的，所以t l ( r “，f ) ，且t s ，即s g ( r ”，f ) 当f 是一个p 心出空间，我们有 m s l 喜i x ，毙。= | i 。，。，s u 。p 。卜喜占。x 。s tj| 扎。胁池 = s u p e l