（基础数学专业论文）三维离散green函数的估计及应用.pdf

摘要 本文利用权函数工具，经过一系列复杂的证明分析后，得出了三 2 维离散g r e e n 函数的2 ，1 半范最优估计，精度为0 ( ii nhl i ) 。然后， 给出了离散g r e e n 函数估计在长方体有限元超收敛分析中的应用。 本文的结构如下： 第一章介绍本文中需要用到的基本定理以及模型问题。 第二章介绍三维投影型插值算子理论。 第三章首先介绍了与三维离散g r e e n 函数相关的概念及其性 质，然后导出了三维离散g r e e n 函数的w 2 ，1 半范估计。 第四章首先介绍了张量积长方体有限元的弱估计，然后给出了 离散g r e e n 函数的2 ，1 半范估计在有限元超收敛分析中的应用。 关键词：离散g r e e n 函数，弱估计，超逼近。 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w eu s ew e i g h tf u n c t i o nm e t h o dt op r o v et h em a i n r e s u l to ft h i sw o r k w i t hc o m p l i c a t e da r g u m e n t s ，t h ew2 , 1 - s e m i n o r m e s t i m a t i o nf o rt h r e e d i m e n s i o n a ld i s c r e t eg r e e n sf u n c t i o nw i t ho r d e r 2 o ( 1i nhl i ) a r et h e nd e r i v e d f i n a l l y , w eg i v e a l l a p p l i c a t i o n o ft h i s e s t i m a t i o nt ot h eh i 曲a c c u r a c ya n a l y s i sf o rb l o c kf i n i t ee l e m e n t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m et h e o r e m sa n dam o d e lp r o b l e m n e e d e di no t h e rc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，t h r e e d i m e n s i o n a li n t e r p o l a t i o no p e r a t o ro fp r o j e c t i o n t y p ei ss t u d i e d i nc h a p t e r3 ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dt h e i rp r o p e r t i e s r e l a t e dt ot h r e e d i m e n s i o n a ld i s c r e t ef u n c t i o n f i n a l l y , w ed e r i v et h e 2 w 2 , 1 - s e m i n o r mo p t i m a le s t i m a t i o nw i t ho r d e ro ( ii nhi i ) f o rd i s c r e t e g r e e n sf u n c t i o n i nc h a p t e r4 ，t h ew e a ke s t i m a t i o nf o rt e n s o r - p r o d u c tb l o c kf i n i t e e l e m e n t si sf i r s t g i v e n t h e n ，w eg i v e t h e a p p l i c a t i o n o ft h e w2 ，1 s e m i n o r me s t i m a t i o n k e y w o r d s ：d i s c r e t eg r e e n sf u n c t i o n ，w e a ke s t i m a t i o n s ，s u p e r c l o s e n e s s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确的方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：夕复缎 二零零九年九月 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密彤 一 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 後被日期：少晦瑚日 导师签名：刎纺似日期：巧年，月日 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 1 绪论 本章主要介绍本文中涉及到的一些基本记号、基本概念、基本定 理及基本问题。 1 1 引言 有限元超收敛性对于有限元实际计算的精度提高，后验误差估计 和自适应计算等都有着非常重要的作用在科学计算及实际工程问题 中，大型计算问题的出现及高精度的要求使得超收敛研究显得尤为重 要。 有限元超收敛的研究工作基本上分为天然超收敛性和经过外推 技术、导数恢复技术、有限元插值等各种后处理技术所获得的超收敛 性两大类就超收敛的研究方法而言，国内学者主要采取由朱起定、 陈传淼等创建的插值基本估计与离散g r e e n 函数技术相结合的方法， 而国外学者则主要采用区域内估计和对称点网格技术。 众所周知，离散g r e e n 函数的估计在有限元超收敛( 特别是最大 模超收敛) 研究中起着至关重要的作用，对于一维和二维椭圆边值问 题，离散g r e e n 函数的估计已为人所知( 见 2 4 ) ，超收敛研究也取 得了非常丰硕的成果。然而，对于三维问题，由于g r e e n 函数的估计 相当困难，再加上三维区域的复杂性，超收敛研究进展很少。到目前 为止，由于离散g r e e n 函数的估计不够完善，三维问题的超收敛结果 不多( 见 2 ， 3 ， 5 卜 9 ， 1 1 ， 1 3 ， 1 5 ， 1 7 ， 1 8 ) 。近 】 高校教师在职硕士学位论文 年来我们在三维离散g r e e n 函数的估计方面取得了一些进展，获得了 离散导数g r e e n 函数的w 1 ，1 半范最优估计( 见 1 4 ) ，并获得了离散 g r e e n 函数w 2 1 半范的一个估计，其精度为0 ( h - i ) ( 见 1 1 ) ，但这 个估计不是最优的。本文对离散g r e e n 函数2 ，1 半范估计做了进一步 研究，并获得了具有0 ( 1i nhi i ) 精度的最优估计。 1 2 基本记号 设q r d ( d 维欧式空间) 为一有界开域，我们规定： r ( n ) ：q 上的完全k 次多项式空间； q k ( q ) ( d = 2 ) ：q 上的双k 次多项式空间； 氏) ( d = 3 ) ：q 上的三k 次多项式空间； 昭) ( d = 3 ) ：q 上的某种n 自由度k 次多项式空间； c ) ：q 上的全体连续函数的集合； c m ) ：q 上直到m 次导数连续的函数的集合； c ) ：q 上无限次可微的函数的集合； 管( 力) = ( u c ( 力) ? s u p p u 在q 中紧) ，其中 s u p p u = ( z 伫：u ( x ) o ) 驴) ( 1 p ) ：q 上全体p 次绝对可积的l e b e s g u e 可测函数的 集合，它按范数 i l u i l 。，p m = ( ri u ( x ) l p d z ) 昙 j n 构成一个b a n a c h 空间。 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 1 3s o b ol6 v 空间 w m ，p ( q ) 表示通常的s o b o l e v 空间，且 w m p ( q ) = ( 杪：d 口1 7el p ( q ) ，l 口is7 7 t ) ， 其中m o 为整数，仅= ( 仅1 ，a 2 ，a d ) 为重指标，i 仅l = 仅1 + 仅2 + + ，d 口妒为杪的分布导数，1 p o o 这个空间依范数 | i m 属n = ( i 三驴印刍，l p c o , 胛，q = i 翟臻m 掰d 淝吵1 7 ( x ) i ，p = - 构成一个b a n a c h 空间。此外，对于这个空间，还有下面的半范： l 矽l m ，p ，n = ( 1 6 f l = m 上l 。口杪l p d x ) 刍，l p o o , 一n = l 焉娶m 掰d 测d 口秒( 列一一。 c 孑( q ) 按范数l l ii m , p , f l 的闭包记为时廖( n ) ，显然 ，仉口伊( q ) c w 哪( q ) 另外，我们还简记 h m ( n ) = w m , z ( 0 ) ，1 1 i l m ，n = l i 1 l m ，2 ，n 。 h 扩( 力) = w o 2 ( n ) ，1 i m ，n = l 。i m ，2 刀， 易得h 热( m 的盼( n ) 依范数l l l l m n 构成h i l b e r t 空间。 1 4 基本定理 定理1 4 1 ( s o b o l e v 积分恒等式) 设ncr a 为有界开域，且存 在闭球scn ，使得q 关于s 中每一点都是星形的，讥ec r a ( n ) ，那 么铭( x ) 可以表示成如下形式 高校教师在职硕士学位论文 比卜蔷“小仅+ 厶击i 薹姒圳炒u 其中2 口( u ) 是c m ) 上的线性泛函： 口 ) = 正炙( y ) u ( y ) a y ， 而炙( y ) ，l 口l m 一1 是y 的连续有界函数，q 口( x ，) ，) ，l 口l = m 是x 幂l l y 的有界的无限次可微函数。此外 r = i x - y l = 匹f 巧一乃睁，五y e 力 j = l 定理1 4 2 ( s o b o l e v 嵌入定理) 对所有整数m o 和所有的 2 5 i 【1 ，叫，有 渺m ，p ) q p ) ，歹1 = 三一詈，如m p d ： w m ，p ( f 2 ) ql q ( n ) ，v q 【1 ，c o ) ，如m p = d ； m ，p ) q c 驴) ，v 1 q 0 ，使得 i a ( u ，秒) i m l l u l ll l v l l ，v u ，秒矿； ( 2 ) 双线性型口( ，) 是v 椭圆的，即存在常数口 0 ，使得 口妒1 1 2 口( 谚1 7 ) ，v 杪y ； 4 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 ( 3 ) 线性型厂是连续的。 则抽象变分问题：找一个元u v ，使得 a ( u ，杪) = 厂( 1 7 ) ，v 杪v ， 有且仅有一个解。 定理1 4 4 ( b r a m b l e h i l b e r t 引理) 设q 为具有l i p s c h i t z 连 续边界的r a 中的开子集，f 为空l ；t w 七+ 1 ，p ) ，1 p 冬o o 上的连续线 性泛函，且 厂) = 0 ，v p & ) ， 则存在一个常数c = c ( k ，p ，力) ，使得 i f ( u ) l c l l f l l + l u l k + 1 ，p ，n ，u w k + l , p ) ， 其中f j j j 为对偶空间( w k 扎p ) ) + 上的范数。 定理i 4 5 ( l p 先验估计) 设n r a 为角域，则存在与最大内角 有关的常数1 q o o o ，使得对任何1 p q o ，有 i l u l l 2 ，p 刀c ( p ) i i l u l i o ，p 皿，v u w 2 ，p ( n ) n 诈亍p ( n ) ， 其中为一般的二阶椭圆算子。 定理1 4 6 ( 逆估计) 设d 维有界域q 的剖分7 是正规的，则在 单元e t ，l 上有逆估计 i 杪i s ，吼e c ：一s + 罟一吕l 杪l 。，阢p ，v 杪s ，t ( f 2 ) ， 若剖分丁九是拟一致的，则 c 酗0 ，号 _ c h t - s + m i n 。 执m o p ，昙 其中 高校教师在职硕士学位论文 s t ，1 p ，q 0 0 ，h p = d i a m ( e ) ，h = m a xh p ， e 常数c 与p ，q ，p ，h ，矽无关。 1 5 椭圆边值问题 本文讨论如下的模型问题： 厂一u = 厂， 在q 内， 一 ( 1 - 1 ) i 议= 0 ，在边界a q 上， 其中ncr a 为长方体。 对应的变分问题是：找u 硪) ，使得 口( u ，杪) 三上v u 矿v d x d y d z = u ，杪) ，v 杪硪) 。( 1 2 ) 设酷) 为有限元空间，则( 卜2 ) f i 向离散问题为：找u h 酷) ，使 得 口( u ，1 7 ) = u ，1 7 ) ，v 杪s g ( a ) ( 1 - 3 ) 显然有下面的g a l e r k i n 正交关系： 口( u - - u h , 1 ) ) = o ，v 杪es g ( a ) ( 1 - 4 ) 6 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 三维投影型插值算子 考虑三维长方体单元 p = ( z p 一，l p ，- i - h p ) 魄一尼e ，+ k e ) x ( z e d g ，z p + d e ) 三，1x1 2x ，3 ( 2 一1 ) 上的空间l 2 ) ，显然( f f ) 弓 ) & ( z ) ) 嚣，j ：c ；o 是l 2 ( p ) 上的规范完备的正 交多项式系，其中， l i ) ) 嚣o ，( 弓( y ) ) 异。和( 不( z ) ) 丞。分别为l 2 ( ，1 ) ， l z ( 1 2 ) s o l 2 ( ，3 ) 上的规范完备的l e g e n d r e 正交多项式系。记 r x o ) = 面o ( y ) = w o ( z ) = 1 ，叶+ 1 ) = j b ( x ) d x ， ，x e h e r ，r z 巧+ 1 ( y ) = f弓( y ) d y ，西+ 1 ( z ) = f 弓( z ) d z , j 0 一y e - k e 。z e - c l e 于是，对于满足以a y 也u 上，2 ( p ) 的函数骗有f o u r i e r 展开式 其中 ( 2 2 ) 口，j c = j ：以a y a z uz f ( x ) 弓( y ) k ( z ) d x d y d z , i , 歹，良。2 3 利用p a r s e v a l 等式，可得 九 z ，一一k、一、y， _ 0 、_ 、 x ，l 卜qk u 口 脚 舢 瑚 = 优 屯 穆 九 高校教师在职硕士学位论文 u ( x ，y ，z ) 一u ( x p h e , y ，z ) 一u ( x ，y e 一艮e ，z ) 一u ( x ，y ，z e d p ) + u ( x ，y e k e , z p d p ) 4 - u ( x e h e , y ，z e d p ) - i - u ( x p h e , y e j ：c p ，z ) 一u ( x e 一九p ，y e k e ，z e d e ) 由 1 9 的1 4 知 于是我们有 其中 口f 业f + 1 ( z ) 磅+ 1 ( ) ，) 瓯+ 1 ( z ) u ( x ，y e k e ，z e d p ) = u ( z e h ，乙一a e ) = y i j = o u ( x p h e , y e k e , z ) = u ( x e h e ，”z ) = u ( x ，y e k e , z ) = 反o o ) ， f l o j o 西p ) ， p f 北e ( z ) 吗( y ) 历_ i c ( z ) ，( 五y ，z ) e ，( 2 4 ) 8 间 = 汹 、- 、 z 七 面 koo屈 脚 、- 、 叶 、_ 、 x ， 徊 d p 间 汹 i i 、一、p d e z y x ，l u x0k 1 3 、p 叶肚 风 脚 间 、， z ，lk 1 3 、 x ，l n k0 口 脚 脚 舢 咖 一一力 ”0 u 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 f l o o o = u ( x e h e , y e k e ，z e d e ) ，( 2 - 5 ) 尻。= 上巩u ( 五- - k e , z e - - d e ) f - 1 ( x ) d 五 ( 2 6 ) f l o j o = 厶如u e - h e , y , z e - d e ) l j 曲溉 ( 2 7 ) o o k = 厶训x e - - h e , y e - k e , z 虹1 ( z ， ( 2 - 8 ) p i i o = f 民办u ( 五y ，z e d e ) l i 一1 ) 易一1 ( y ) d x d y ,( 2 - 9 ) ，1 1 1 2 # o j k = f a y a z u ( & 一h e , y ，z ) 己一l ) k l ( z ) d y d z ，( 2 l o ) ，2 ，3 卢f o j ：c = ja x a z u ( 置y e k e , z ) l i l ( x ) i k l ( z ) d x d z ，( 2 11 ) - ，l x x l 3 卢b 七= 口f 一1 ，一1 ，七一1 = f , o x a y o z u ( x ，y , z ) l i 一1 ) 弓一1 ) k 一1 ( z ) c l x d y d z , i ，j | f ，k 1 ( 2 1 2 ) 由l e g e n d r e 多项式的正交性和( 2 - 6 ) 一( 2 - 1 2 ) 易得 l i ( x ) = o ( h e i ) ，l i ( y ) = d ( 呼) ，r k ( z ) = o ( e 2 孙，j ，k 0 ( 2 1 3 ) 9 高校教师在职硕士学位论文 与 t ( z ) = 。( ；丢) ，巧( y ) = 。( 艮；三) ，历k ( z ) = 。( d ；三) ； f l i o o - 0 ( ，t 吾) ，风，。= 。( 恐兰一三) ，风o k - o ( d ：一三) ； f l i j o - - 0 ( 三七三一丢) ，卢b ，七= 。( 艮! 一三d 耋一三) ，尻。k = 。h 三d 耋一三) ； 尻，_ i c = d ( j t 三七三j 一三d 耋一吾) ，f ，七1 ( 2 - 1 4 )尻，_ i c = d ( j t _ i 七e i d 耋一i ) ，f ，七1 用碍表示某一力自由度历次多项式空间，即 q 棋z ) = y 口批z i y j z l i ：c ，q 瑞， ( 2 1 5 ) 4 其中，当m 2 时，指标集臻满足 ( ( f ，歹，k ) 1 0 i , j ，k m ，f + 歹4 - k ( m4 - 1 ) ) s 璐 ( ( f ，歹，k ) 1 0 f ，k 冬m ) ， ( 2 1 6 ) 当m = l 时，指标集焉= ( ( f ，j f ，k ) 1 0 f ，歹，k 1 ) 。 我们定义三维n 自由度m 次投影型插值算子兀嚣l ：h 3 ( p ) _ 碥( e ) n ；。u ( x ，y ，z ) = = 展，l 。5 。f ( x ) 6 i l ，( ：y ) l 万 。( z ) ，( j c ，y ，z ) ( 2 - 17 ) 当n = ( 仇4 - 1 ) 3 时，璐= ( ( f ，七) 1 0 f ，k m ) ，此时称算子 n 舞+ 1 ) 3 为三m 次投影型插值算子( 或三维张量积m 次投影型插值算 子) ，毋+ 1 ) 3 为三m 次多项式空间( 或三维张量积m 次多项式空间) ， 并简记 l i m = 兀嚣+ 1 y ，= 毋3 1 0 显然 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 l h u ( x e h e , y e k e , z p d e ) = u ( x e h e , y e k e , z e d e ) ，( 2 1 8 ) h 嚣n u ( x e h e ，y e k p ，z e d e ) = u ( x e h e , y e k e , z e d e ) ，m 2 1 1 ( 2 1 9 ) 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 3 三维离散g r e e n 函数的w 2 ，1 半范估计 3 1三维离散g r e e n 函数的相关概念及性质 3 1 1 三维离散6 函数和l 2 投影的定义 由于是胪) 的一个有限维子空间，而对v z 西线性泛函 厂( 杪) = 妒( z ) ，v 妒 关于p 范数是连续的，因此，存在唯一的函数醴，使得 ( 杪，醴) = 杪( z ) ，v 秒( 3 1 ) 函数醴叫做以z 为奇点的离散6 函数。 由于cl 2 ) 为一个有限维空间，因而对v u 驴) 存在唯一 元p u ，使得 ( u r u ，杪) = 0 ，v 杪 ( 3 - 2 ) 我们称r u 为u 的l 2 投影，叫2 投影算子。 3 1 2 三维离散g r e e n 函数和准g r e e n 函数 因为为有限维空间，且cc ( 西) ，故对z q ，表达式 f c v ) = v c z ) ，v 1 7 ，确定了空间( ，1 1 1 1 1 ) 上的一个连续线性型，由 l a x m il g r a m 定理，存在唯一的醴，使得 口( 协谚) = 1 7 ( z ) ，v v ， ( 3 3 ) 这时，称g 皇为算子对应的离散g r e e n 函数，或称为口( ，) 和决定 的离散g r e e n 函数。 对于离散艿函数醴cw 1 , o o ) ，可以定义矿上的线性泛函 1 3 ( 3 4 ) 高校教师在职硕士学位论文 厂( 杪) = ( 醴，杪) = p h v ( z ) ，v 杪v 显然厂是矿上的连续线性型，因此存在唯一的函数咙w 2 , q ) n 矿，1 q q o ，使得 口( 眙杪) = ( 砂，秒) = p h v ( z ) ，v v v ， ( 3 5 ) 此时，称嘭为z 处的准g r e e n 函数。显然有 i l a 主1 1 2 ，q 蚓龇，q 矿+ 虿3 ，1 2 ，则存在与五 无关的常数c 0 ，仗得 1 4 而 怜一础i i m c h 2 一m 一乏3 ，m = o ，1 ( 3 1 0 ) 证明由先验估计( 取p = 2 q o ) ，有 i i g 兰1 1 2 c i i l g 主 。= c l l 6 z l l 。c h 一兰， 0 必一c z l l m c h 2 一m i i g 兰1 1 2 ， 由上两式即得( 3 1 0 ) 3 2 三维离散g r e e n 函数的2 ，1 半范估计 为了证明离散g r e e n 函数的估计，我们需要引入下面的权函数： 兰) = ( i x 一贾1 2 + 臼2 ) 一i 3 锻西， 其中，霄西是一个固定值，p = y h 。显然，咖有如下性质： 和 m f v m 驴口i c 口+ 了，口尺，m = 1 , 2 ，3 ， ( 3 1 1 ) 上咖口批m 一1 ) _ 3 ( 口- 1 ) v 口1 ， ( 3 - 1 2 ) 上拟m ) f f n 钆目尼 1 ， ( 3 - 1 3 ) 其中v m 驴口表示函数口的m 次导数的张量积。 对于任意口r ，我们引入如下记号和权范数： 高校教师在职硕士学位论文 和 i v n v l 2 = 阶1 2 ，( 3 - 1 4 ) i p l = n i v n v l ”q = ( r 口i v n 杪1 2 d x ) 丢，( 3 - 1 5 ) - ，n m 秒| i 象，咖口n = i v n l 7 i ；g ，n ，( 3 - 1 6 ) n = o 其中p = ( 卢1 ，p 2 ，卢3 ) r 3 ，i p l = 尻+ 卢2 + 风，且反0 ，i = 1 , 2 ，3 特 别地，当1 2 = 0 ，有 记 且假设 i i t i i 币口，n = ( | 咖口l 杪1 2 d x ) i 1 ( 3 - 1 7 ) jn 三一， ：w 2 ，q ( r 2 ) n 蚶q ) 一t q ( 2 ) ( 1 q 3 ) 是一个同胚映射。因此，：对- t - v w 2 ，q ) n 嵋q ) ，我们有如下先 验估计： i l v l l 2 ，q ，n c ( q ) l l c v l l o ，q 刀 ( 3 - 1 8 ) 其中c ( q ) 表示一个依赖于q 的常数。接下来，我们给出一些引理，以 证明我们的主要结论。 引理3 2 1 对于离散6 函数醴，我们有如下估计： 1 6 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 憎+ h l l w 乡l l 咖一。c ( 3 - 1 9 ) 引理3 2 2 对于w l q ( n ) 的l 2 投影靠w ，我们有如下稳定性估计： 玮w o ，q ，n c l l w l l o ，口皿 ( 3 - 2 0 ) 其9 1 q + c o 。 引理3 2 3 对于准g r e e n 函数嘭和离散6 函数醴，我们有： f l v 2 g 主l i ；一t c l l a z hl l ：- i + c g 主l | 三号( 3 - 2 1 ) 引理3 2 4w h s g ) 是w 础) 的有限元逼近，对于 w h 酷) 我们有： l l w 一；，咖一，c h 2 i v 2 w i ；一- + c l l w w h l l 2 。j ( 3 2 2 ) 。 西3 其中c 与贾， 和w 无关。 引理3 2 s 设厂硪) ，w h 2 ) n 皤) ，s o 和w = 厂 则有： i v 2 w 晦c 0 3 s 以i 町侈 ( 3 2 3 ) 注以上各引理均可利用 2 4 1 中的方法证明。 引理3 2 6 对于准g r e e n 函数嘭，我们有如下估计： 证明显然 2 i 磁1 2 j 1sc l l nj t i j ( 3 - 2 4 ) 1 7 高校教师在职硕士学位论文 川，1 上删，i i v 2 驯矿2 由( 3 1 3 ) ，( 3 1 9 ) ，和( 3 2 1 ) ， 另外 蚓；，1 c i l no i + c 帅屿嚎 ( 3 2 5 ) 蚓i ；吾= 厶咖吾l g 兰1 2 d x ( 删) 1 1 l g z lj 2 ， c 协响圳，3 ( 3 2 6 ) 进而有 l i a , 主l 1 0 3 3 = ( g 主，i g 三1 2s g ng 三) = 口( 磁，w ) = ( 醴，w ) = p 九w ( z ) 3 i r w l o ，o o c h qi p h w l o ，q 3 冬鼬q l w l o ，q ， 又1 q + o o ，w w 2 专( n ) nh 吕( n ) 满足 a ( v ，w ) = ( v ，i g 主1 2s f l ng 兰) v 1 1 7 爿吾( f 2 ) 。 由s o b o l e v 嵌入定理和先验估计，有 1 w l o ，q c l l w l l ，三c l l 一+ 2 一3 z 因而 3 i l a ；l 1 0 3 ，3 c h 一- i i i | 5 ，3 取q = i i n i ，得 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 i i c 主l h ，3 c - ( 3 2 7 ) 由( 3 2 5 ) ，( 3 - 2 6 ) 和( 3 2 7 ) 可得 22 i g 主1 2 。1 c l l np 乒c l l nh r 则( 3 2 4 ) 结论得证。 引理3 2 7 对于准g r e e n 函数磁和离散g r e e n 函数g 乡，我们有如 下估计： 旧一钏1 二c h l l n h l 互 ( 3 2 8 ) 证明为方便起见，我们记g = 磁，和g _ f i = g 宝。显然 i g - g h i f ，1 f 咖d x i g g h 叱 ( 3 - 2 9 ) ，2 由( 3 - 2 2 ) ，有 1 9 一夕ll ；，爹一t c 九2i v 2 9 l ；一，+ c l l g g i i 咖2 i 1 ( 3 - 3 0 ) 现在我们讨论i i 夕一g h l l 西2 一吾和l g 一目，t 臣咖一- 的关系。 易知 1 1 # - 训i 三一；= ( 一三国一，夕一肌) = 口( 咖一们 西3 = a ( v 一丌m 仍目一目_ 1 ) l 目一目_ 1 1 1 ，毋一1 。i 杪一兀m 杪1 1 ，咖 e 1 9 一目，l 臣一t + c ( o i v 一兀m 秒臣爹 i 目一目，ll i ，q b 一- + c ( o h 2i v 2 杪i ；，( 3 3 1 ) 其中杪= 一；( g 一曰，1 ) ，由( 3 2 3 ) ， 1 9 高校教师在职硕士学位论文 l v 2 杪懦c 8 3 卜1v g - - g h ，) 2 c p 3 s 一1 上si v 一吾1 ( g - - g h ) + 妒一吾v ( g - g h ) 1 2 d x c 9 3 s 一1 上s ( i v 一三1 2 ( 夕一危) 2 + ( 一三) 2l v ( g - - g h ) 1 2 ) d x c a 3 s 一1 ( i 夕一目h i ：，咖。一三+ i i g - 3目l l ；s ) 1 西。 t 。 取s = 一三，得 i v 2 杪i ； c y - 2 一21 9 一目h 1 2 1 , 咖- t + i i g 一目h ；专) 因而 怕一目_ l i l z 一兰 西3 s g - g h l ；，一t + c ( ) y 一2 ( 1 9 9 h l ；妒一t + i l g - g h i l 三一吾) ( 3 - 3 2 ) 取y ( 1 ，+ ) ，n o c ( ) y 一2 m i n ( ，得 i i g g r i l l 2 。一三4 e i g 一目，l l i ，咖一1 ( 3 - 3 3 ) 西3 一t 取适当的( o ，+ ) ，结合( 3 3 0 ) 和( 3 - 3 3 ) ，可得 由引理3 2 6 ，知 i g 目h i i ，咖一t c h 2i v 2 目i ；一t ( 3 3 4 ) l v 2 目i ；一。c i l n ，l i 三 结合( 3 1 3 ) ，( 3 - 2 9 ) ，( 3 - 3 4 ) ，和( 3 3 5 ) ， 即( 3 - 2 8 ) 得证。 2 i g g h l l 1 c h ll n ，t r ( 3 3 5 ) 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 定理3 2 1 对于离散g r e e n 函数，我们有如下估计： 证明显然 蚓：，1 2 c l l nh r i 磁一醴已嵫一h i i i 喏+ i r 仇磁一g 巩21 c l a 主1 2 ，1 + c h 一1 i 兀m g 兰一g 皇1 1 1 ( 3 3 6 ) c l c 三1 2 ，1 + c h i l l m c ；一刚1 ，1 + c h 一1 旧一醴1 1 1 c l c 兰1 2 ，l + c h 一1 l g 三一a g l l 1 由三角不等式， l a g l ：，1 冬i g 三一g 乡l ：1 + i g 主1 2 ，lc l a 三1 2 ，1 + c h 一1 i 咙一a g l l j l - 结合( 3 2 4 ) ，( 3 2 8 ) 和( 3 3 7 ) 即可证得结论( 3 - 3 6 ) 。 2 1 ( 3 - 3 7 ) 三维离散o r e e n 函数的估计及应用 4 三维离散6 r e e n 函数w 2 ，1 半范估计的应用 对于所讨论的模型问题( 1 - 1 ) ，设ncr 3 为一有界的长方体，其 面与坐标平面平行。为方便起见，我们假定函数厂足够光滑，r 是q 的网格尺寸为h ( 0 ，1 ) 的长方体剖分，且7 是正规的，则有 乃= u e e r h 百。设s o ) ch o ) 是张量积为m 次( 7 7 l 1 ) 的长方体 有限元空间，并设兀mu s o ) 是问题解u 的张量积为m 次的投影型 插值算子。 对于双线性型 a ( u 一 i m u ，1 7 ) = 厶v 冗- v u d z d y d z ，v 秒s g ( a ) - ( 4 - 1 ) 由于插值余项 尺= u n m 弘 ( 4 - 2 ) 由l o b a t t o 函数的正交性知 口( u 一兀m 砒力= fv r y u d x d y d z = fv r - y v d x d y d z , v v 醋) ，qi ，n 其中 r = ( 4 3 ) 九0 1 3 叶 咄 肚 尻 脚 间 一 + 脚m 汹 + 一 m 间 m 勘 = 高校教师在职硕士学位论文 为简便起见，我们记 ( 4 - 4 ) , , l i j k = 尻肚f ( x ) 码( y ) 历k ( z ) ( 4 5 ) 对于双线性型( 4 - 1 ) ，有如下弱估计。 弓i 理4 1 【1 1 】设杪s o ( 力) ，u w i n + z , p ( q ) n 月吾( n ) ，贝i j i a ( u 一兀m u ，v ) l c h m + l i l u l l m + 2 ，p ，a l v l l , p , , n ，m 1 ；( 4 6 ) l a ( u 1 1 m u ，v ) l c h m + 2i l u l l m + 2 穰q i 杪i ：，p ，q ，m 2 ； ( 4 7 ) 当丁 为一致剖分且u w i n + 4 , p ( n ) n 雕( n ) 时，还有 l a ( u 一兀仇 ，v ) l c h m + 2 ( 1 u 1 7 n + 4 ，p ，n + i u i m + 3 ，p ，q ) i 杪1 1 ，p ，n ，m 2 ， ( 4 - 8 ) l a ( u 一兀m u ，v ) l c h m + 3 ( 1 u 1 7 n + 4 概q + l u l m + 3 ，p ，q ) 1 1 7 i ：，p ，n ，m 3 ， ( 4 9 ) 其中乏，q = e 呲t ，吉+ 手1 特别，当丁 为一致剖分r u w m + 3 , w ( q ) n h 吕m ) 时， l a ( u 一1 - i m u ，v ) l c 九m + 2i l u l l m + 3 ，q i v l l ，1 ，n ，7 7 t 2 ， ( 4 1 0 ) l a ( u 1 1 m u ，v ) l c h m + 3i l u l l m + 3 ，a l v i n _ ，1 ，n ，m 3 ( 4 11 ) 证明：对任一单元e t ，我们估计 厶= _ v r v 杪d x d y d z 由7 的表达式( 4 4 ) 和l e g e n d r e 多项式的正交性易知，对于 2 4 z | 3 y 2 3 xi 一：、 p 2， j 0脚 眦舢 眦一 + 2 1 j 0脚 2， j + 一 m 汹 + 2 1 +一 1 j d m 间 m 咖 三维离散g r e e n 函数的估计及应用 仇- i - 1 ，1 ，庀m + 2 ，自 v l m o y v d x d y d z = j ：v l o j o 。y u d x d y d z = j ：v a 。缸v 秒d x d y d z = 。 ( 4 一1 2 ) 当歹，恐1 时，歹- t - j i c 7 7 t + 2 ，而 6 0 j k = l办屯u ( 一h e , y ，z ) 0 一t ( y ) t k l ( z ) d y d z j l z ，3 = 去j ：穆a z u ( x e - h e , y , z ) 易曲) k ( z ) 删y d z = 麦上( 如良u ( x e - - h e , y , z ) 一够州圳，z ) ) h ( y ) k ( z ) d x 咖出 + 瓦1j ：穆屯h ( 训j z ) 弓北) k ( 训卿d z - ( - 驴l + c 1 + 1 壶上( 埘+ 1 帕舭) d - $ 1 易一1 ) d 。，k 一1 ( z ) d x d y d z + ( - 1 ) s z + c 2 麦j ：霹2 + 1 吃a z t z + l _ 咄戌加吨弓曲) 2 k ( 州x 咖d z 其中 0 s t ，s 2 j 一1 , 0 t 1 ，t 2 七一1 ，s t + h = m 一1 ，s 2 + c 2 = 7 7 1 i # o j k i c h m - 2 f e i v m + 2 u l d x d y d z c h m - z + 多i i u i l m + 2 ，p ( 4 1 3 ) 高校教师在职硕士学位论文 另外 l v 2 0 j k y v d x d y d z i 珊州队吗蛳以，) 吼蛐出i - c l y 进i i v v l d x d y d z 兰 c h n l p o j k l l v l l ，一e 所以 lv 2 0 j k y v d x d y d z l c m + 1 i l u i i m + 2 ，p ，pi 杪1 1 ，p ，e ( 4 1 4 ) 类似可得，当i ，k 1 ，i + 足m + 2 时 iv a i o k y v d x d y d z l c h m + l 肌m c 4 彤， 当i ，j 1 ，i + m + 2 时 iv l , i j o y v d x 妙d z l 渺+ 1 | i u 胁m ( 4 - 1 6 ) 对于a 肚，f ，歹，七1 ，此时f + ，+ 艮m + 3 ，结合卢t j j c 的表达式( 2 1 2 ) ， 易证 ly 2 u k y v d x d y d z i i 厶l5c h