（基础数学专业论文）算子代数的hochschild上同调理论中的几个问题.pdf

鳆阜师范大学硕士学位论文 算子代数的h o c h s c h i l d 上同调理论中的几个问题 摘要 全文分为三章 第一章主要证明了w n e l l i i l a n n 代数上的局部3 i 上循环是3 - 上循环， 这部分解决了k d 谢s o n 的高维局部上循环问题 第二章我们研究了一个作用在h n b e r 乞空间咒上的闭弱可约极大三角代 数s ，证明了s 的系数在召( 咒) 中的任意阶完全有界h o c h s c h i l d 上同调群 f 毪( s ，日( “) ) 21 ) 是平凡的 第三章我们引入了局部g 一导子的概念，并给出了一个主要结果如果一 个群g 遍沥作用在有限的因子上，那么a 上不存在非平凡的g - 导子和局 部g 一导子 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词 v o nn e u m a n n 代数 对偶双模局部3 - 上循环闭弱可约极大三角 代数完全有界线性映射( 完全有界) h 0 c h s 出l d 上同调群局部g - 导子群作用遍沥作用 曲阜师范大学硕士学位论文 s o m ep r o b l e m s c o h o m o l o g y f o r o nt h eh o c h s c h i l d o p e r a t o ra l g e b r a s a bs t r a c t t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft 王l r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ep r o v et h a te v 盯yl o c a l3 _ c o c y c l eo fav o nn e u m 叭na j g e b r a 冗i n t od n a l 佗_ b i m o d u l e5i sa3 - c o c y l e t h i sp 疵l ya n s 啪r st h eq u e s t i o no n t h el o c a lh j g h e rc o c y c l 髂西v e nb yk a d i s o n i nc h a p t e r2 ，w es t u d yab n do fo p e r a t o ra l g e b r a t e do nt h em l b e r t s p a c e “w h j c hi sc a l l e dt h ec i o s e d 帕a k i yr e d u c i b l em a 妇m a lt r i a n g u l 盯a l g e b r a ， d 蚰o t e db ys a n dw ep r d v et h a tt h ed in t hc o m p i e t e l yb o u n d e dc o h o m o l o g y g m u p 月品( s ，居( h ) ) o fs 谢t hc o 髓d 即t sj nb ( 钾) 盯et r j v j 翻 i nc h 印t e r3 ，w ei n t r o d u c et h en o t i 0 o fl o c a j 口d e r i v a t i o na j l d8 h o w t h a ti fg r o u pga c t se r g o d i c a u yo na 矗i l i t ef a c t o ra ，t h e n4h a sn o n t r i v i a j 6 l d e r j v a t i o na n dn o n 七一们a 1i o c a l 口d e r f v a 虹o n u 1 曲阜师范大学硕士学位论文 v o nn e u n l a n l la l g e b r a ，b a j l a c hd u a lb i m o d u l e ，l o c a l3 一c o c y l e ，c l o s e dw e a k l y r e d u c i b 王em a x j m a lt r i a n g u l a ra l g e b m ，c o m p l e 七e 弓b o u i l d e dl i n e a rm a p ，( c o m p l e 七e l yb o u n d e d ) h o c h s c h i l dc 。h o m o l o g yg r o u p ，1 0 c a lg d e r i v a t i o n ，g r o u pa c t i o n ，e r g o d i ca c t i o n 符号说明 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定： 1 _ “表示h i l b e r t 空间； 2 冗表示v o nn e u m a n n 代数； 3 。( c ) 表示竹阶矩阵代数； 4 g 表示拓扑群； 5 c 表示复数域； 6 日( h ) 表示咒上的有界线性算子 第一章v o nn e u m a n n 代数的局部3 一上循环 1 1 引言 设妒是一个从结合代数4 到4 双模s 内的线性映射我们称妒是一 个导子，如果对4 中的任意两个元a 和b ，有妒( a 8 ) = a ( 功+ 妒( a ) b ；称 妒是一个局部导子，如果对a 中的每个元 a ，都存在4 到s 内的导子似( 依 赖于a ) ，使得妒( 以) = 妒 ( 4 ) 。局部导予”的概念最早是由k a d i s o n 【l j 引入 并研究的在f 1 】中，k a d i s o n 证明了；每个v o nn e u m a 衄代数到其对偶双 模内的局部导子都是导子；l ”s o s 0 u m _ 【l r 在f 3 l 中证明了：b 8 n a c h 空间 z 上的所有有界线性算子构成的b a c l l 代数b ( x ) 上的每个局部导子也是 导于用上同调理论的语言f 3 j f 4 1 ，k a d h m 和l u s o n & s o u r o u r 事实上分 别证明了v o nn e u m a n n 代数到其对偶双模以及b ( x ) 到自身上的每个局部l - 上循环者5 是1 一上循环由此，k a d i 9 0 n 在【l 】中建议研究v o nn e u m a n n 代数 上的局部高维上循环问题2 0 0 2 年，张建华证明了v o n e u m a i l u 代数到其 对偶u n i “双模内的局部2 - 上循环是二上循环此以后，对该问题的研 究和结果都很步本文将建立、，b nn e u m 臼皿代数的局部3 一上循环，证明v o n n e m a n n 代数到其对偶1 1 n i t “双模的局部3 一上循环是3 - 上循环本文主要 结果的证明充分借助于v o n e u m a n n 代数中的投影，其证明方法和主要结果 并不是f 2 1 的推广 设亿为作用在硒l b e r t 空间州上的v o n n e u m a n n 代数，s 为u n i t 出的 对偶咒一双模用c ? ( 冗，s ) ，n 三1 ，表示由兄- 代到s 内的所有有 界n _ 线性映射组成的复线性空间，令暖( 尼，s ) = s 我们有复形 锑( 死，5 ) 三q 僻，5 ) 三暖 ，s ) 三僻( 冗，s ) 三三嘭+ t ，s ) 掣 其中边缘算子俨o ) 定义为：对于妒c ? ( 冗，5 ) ，a ，一l ， n 十l 冗， 其中边缘算子护o ) 定义为：对于妒c 翟( 冗，5 ) ，a ，一l ，a n + t 冗， s s a o ( s ) ( a ) = a s s 4 ， 第一章v ( ) l l i l l n a l l l l 代数的局部3 一上循环 沙2 妒( a l ，j 4 2 ，a 。+ 1 ) =a 1 妒( a 2 ，a 。+ 1 ) + 1 ( 一1 ) 妒( a l ，一， j 一1 ，坞4 j + 1 ，一，a n 十1 ) + ( 一1 ) ”+ 1 妒( a 1 ，一，a 。) a 。+ l ， 凡21 令刃( 佗，s ) 表示边缘算子伊的核，毋( 佗，s ) 表示边缘算子扩- 1 的像空 间由于俨+ 1o 伊一om 兰o ) ，后管( 冗，s ) 雩( 冗，s ) c 苫( 冗，s ) 我们 称留( 冗，s ) 中的元为n - 上循环，且翟( 冗，s ) 中的元为n - 上边缘特别地， 当= 1 时，l 一上循环就是冗到s 内的有界线性导子为简化起见，所有边 缘算子扩都用a 表示我们给出局部n 一上循环的定义 定义设妒谨僻，s ) ，n 1 若对任意a l ，a 2 ，a 冗，都存在一 个n 一上循环m 。， 。 。( 依赖于4 1 ，a 2 ，厶) 使得 妒( 4 l ，a 2 ，- a 。) = 妒 。 ：，“( a 1 ，a 2 ，- a 。) 成立，则称p 是冗上的带有系数在s 内的局部n - 上循环 本文主要研究v o nn e 咖黜代数上的局部3 一上循环，有下列主要结果 定理设冗为作用在可分h i l b e r t 空间咒上的v o n u m a n n 代数，s 为u n i t a l 的对偶亿双模，则冗上的带有系数在5 内的每个局部3 一上循环 是一个3 - 上循环 1 2 v o nn e u m a n n 代数的局部3 一上循环 本节总假设冗是一个作用在可分h i l b e r t 空间咒上的v o nn e u m a n n d 代 数，5 是u 1 1 i t a l 的对偶7 0 双模，设妒是冗上的带有系数在s 内的局部3 上循环令，( 冗) 表示“上的恒等算子一设f b ( “) 是个幂等元( 即 e 2 = e ) ，我们用e 上表示有界线性算子j e 本文主要结果的证明由如下引理2 1 一引理2 1 2 组成 引理2 1 对每个j 4 佗，妒( ，a ，) = o ；特别地，妒( ，) = o 2 曲阜师范大学硕士学位论文 证明设a 佗，则存在妒，且，j 霹( 佗，5 ) 使得妒( ，4 ， ，) = 妒，a ，( ，a ，) 由计算可得， 妒，i ( j ，a ，f ) = 却i ，a ，j ( f ，j ，a ，j ) = o 注 令砂( a ，b ) = 妒( a ，j ，b ) ( a ，b 冗) ，令口1 = 妒一础则妒 僻( 冗，s ) ，o 砂霹，5 ) ，从而c r l 是一个局部3 - 上循环由引理2 1 ，我们有 盯l ( ，a ，) = o ，以( ，a ) = o( a 冗) 进一步地，令，b ) = 盯。，j r ，b ) ( a ，口冗) ，令吨= 盯1 十西则 盯2 霹( 宠，s ) 也是个局部3 一上循环由计算和引理2 1 ，对每个a 冗，有 ( a ，) 一观( ，l ，) = 观( j r ，j ，a ) = o 注意到，o r 2 是3 上循环当且仅当以是3 - 上循环当且仅当妒是3 一上循 环因此，我们可以假设局部3 一上循环妒满足性质；对每个a 冗， p ( j 4 ，) = 妒( j ，a ，) = 垆( ，a ) = o ， 否则，我们可考虑c r 2 由1 4 】t h e 明啦4 1 ，设召是冗的个顺从( 呲衄如l e ) b a n a 出子代数， 则每个n - 上循环仃露( 冗。印必同调等价于n 一上循环r 2 ( 冗，s ) ，且r 具有性质； _ r 1 ，a 2 ，a ) = o ，只要a 1 ，a 2 ，a 。中有一个属于子代数廖 在假设“妒( 4 ，) = 妒( ，a ，) = 妒( ，j 4 ) = o ”下，局部3 一上循环妒具有 类似的性质我们有如下引理 引理2 2 局部3 上循环妒和缸上循环a 妒具有性质： 妒1 ，4 2 ，a 3 ) = o ，只要4 1 ，a 2 ，a 3 中至少有一个在子代数c ，中； 3 第一章 v o nn e u m a m t 代数的局部3 一上循环 却( a ，a 2 ，4 3 ，j 4 4 ) = 0 ，只要a ，a 2 ，a 3 ，山中至少有一个在子代数c r 中 证明因为妒是范数连续的以及死中投影的线性组合构成的集合在r 中 是范数稠的，所以我们仅证明：设e ，只g 为冗中的投影，且其中至少有个 为恒等算子，则颤eeg ) = 0 下设e ，f 为冗中的投影，e ，f 0 ， 我们先证妒( ，e f ) = 0 由于妒是局部循环，对任意a ，b 冗，存在”， ，b 霉( 死s ) 使得 妒( ，a ，b ) = p f ，a ，b ( ，a ，b ) 展开方程却，。一，b ( ，a ，b ) = o 的左边，整理 后可得， 妒( ，a ，口) = 咿，a 。b ( ，a ) b 一妒，丑，b ( ，4 曰) 因此，对任意4 ，口，e r 只要以b = b e = 0 ，就有 妒( ，以，b ) g = o 注意到，由我们对l p 的假设，可得 妒( j ，砂，e f l ) = 一妒( ，e ，e f 上) ，妒( ，萨，e f ) = 一垆( ，岳，e f ) 因此，我f f l 有 妒( ，e ，e 一) f = 一i p ( j ，一，e f 上) f = o ， 妒( j ，蜀刀j f 上) f = 0 妒( ，口，e f ) f 上；一妒( ，e 上，e f ) f 上= o ， 妒( j ，e ，日上f ) f 上= o 将前两个方程和后两个方程的左边分另f 相加，可得 妒( ，层，f 上) f = o ， 妒( ，e ，f ) p 上一o 4 曲阜师范大学硕士学位论文 叉注意到妒( ，e ，f ) = 一妒( ，e ，f 上) ，进而妒( ，e ，f ) f = 一妒( ，e ，f 土) f = o 因此， 妒( j r ，目，f ) = 妒( ，e ，f ) f + 妒( ，e ，f ) f 上= 0 由对称性。我们可以用同样的方法证明：妒( e ，只，) = o 下证妒( e ，f ) = o 设妒曰，f ，f z ：( 冗，s ) 使得妒( e ，f ) = 妒e i ，f ( e ，f ) 由o c p e ，f ，f ( e ，目， ，即= o ，展开并整理后可得， 至1 上“e ，f ，f ) = 妒e ，f ( e ，e ，j ) f 两边右乘f 上，可得 e 上妒( e ，f ，f ) 一= 0 ，( 1 ) 重复上述过程，由e 和p 。的对称性，我们可得方程 e 妒e 上，j ，f ) f 上= 0 由假设妒( j ，j ，f ) = o ，因此 螂( e ，f ，f ) f 上= 一却( e 上，f ，f ) f 上= o ( 2 ) 结合上述方程( 1 ) 和( 2 ) ，有 p ( e ，f ) f 上= 0 ( 3 ) 重复上述证明方程( 3 ) 的过程，由f 和一的对称性，我们可得 妒( e ，j ，f 上) f = o ( 4 ) 由假设妒( e ，j _ ，j r ) = o ，我们有 妒( e ，f ) f = 一妒( 昱，f 上) p = 0 ( 5 ) 5 第一章v t n e u i l l a r l n 代数的局部3 一上循环 结合方程( 3 ) 和( 5 ) ，我们有妒( 目，f ) 一o 依定义展开却( a l ，4 2 ， 3 ，月4 ) ，由上述妒的性质，容易证明：若4 1 ，4 2 ，a 3 ， a 4 中至少有一个在子代数c ，中，则a 妒( a l ，a 2 ，a 3 ，a ) = 0 引理2 3 设4 ，日，g d ，f 冗，若下列两个条件之一成立， ( 1 ) a 廖= b e = g d = d e = 0 ， ( 2 ) a 口= d e = o ，b g = b ，g d = d 贝a 妒( b ，c ，d ) e = o 证明设妒( b ，e ，d ) = 垆b ，g ，d ( b ，e ，d ) ，其中妒口，a d 露( 冗，s ) 由于 却b ，b d ( a ，b ，g ，d ) = o ， 因此， a 妒日，g ，d ( a ，b ，e ，d ) e = o 由边缘算子的定义，展开上述方程的左边，由假设( 1 ) 或( 2 ) ，可得 a 妒( b ，g ，d ) e = 0 引理2 4 设p 1 ，马，r ，a 冗，其中p l ，岛，p 3 为投影若p 1 p 2 = 0 ，p 2 p 3 = o ，则 a 妒( b ，岛，岛，a ) 一o ，( 1 ) 却( a ，b ，岛，b ) = 0 ( 2 ) 证明方程( 1 ) 和( 2 ) 的证明是对称的，我们仅证方程( 1 ) 由于妒是3 - 线性( 范数) 连续的以及冗中投影的线性组合在佗中是范数稠的，我们仅证 当4 为一个投影e 时，方程( 1 ) 成立 由题设条件，可得 a 妒( 尸1 ，尸2 ，b ，e ) 一p 1 妒( b ，b ，f ) 一妒( r ，b ，尼e ) + p ( 尸1 ，恳，b ) e 6 曲阜师范大学硕士学位论文 一-_h，_-_一 因此，我们只需证明 p 1 妒( 岛，p 3 ，e ) 一妒( p l ，p 2 ，乃e ) 一妒( b ，p 2 ，p 3 ) e 设户霹( 冗，s ) 使得p ( r + 忍，p 2 ，b e ) = 妒( r + 恳，恳，r e ) 此时， 却( p 1 ，r + b ，马，b e ) = o 展开上述方程的左边，然后在方程的两边右乘e 上，可得 r 妒( r + 岛，b ，b e ) e 上= o 展开方程的左边，移项后得 马妒( p 1 ，p 2 ，p 3 e ) e 上= 一最妒( 岛，岛，p 3 e ) e 上( 3 ) 由引理2 ：3 的条件( 2 ) ，局妒( b ，p 2 + r ，p 3 e ) e 上= o ，故 b 妒( r ，b ，尼e ) e 上= 一r 妒( b ，尸2 ，p 3 e ) e 上( 4 ) 对比方程( 3 ) 和( 4 ) 的右边，可得 p l 妒( 尸l ，r ，b e ) e 上= p l 妒( 尸2 ，玛，b e ) e 上( 5 ) 由引理2 3 ，斗妒( p l ，马，b e ) e 上= o ，故 妒( p 1 ，b ，b e ) 层上= ( p l + 辟) 妒( p l ，玛，p 3 e ) e 上= p 1 妒( 尸l ，b ，b e ) e 上 ( 6 ) 在方程( 3 ) 、( 4 ) 、( 5 ) 和( 6 ) 的证明过程中，我们并没有用到e 和其它 投影p 1 ，p 2 ，p 3 的关系，因此，利用e 和e 上之间的对称性，我们有 r 咿( p l ，p 2 ，尸3 e 上) e = p 1 妒( 岛，b ，b e 上) e ；( 7 ) 妒( p 1 ，易，b e 上) e = 尸l 妒( b ，p 2 ，b e 上) e ( 8 ) 7 第一章 v o nn e u m a n n 代数的局部3 一上循环 由引理2 3 tr i p ( p 2 ，b ，黠e 上) e = o 因此， p 1 垆( p 2 ，p 3 ，e ) e = 一p 1 妒( b ，r ，e 上) e = 一b 妒( 尼，马，岛e 上) e 一只妒( b ，b ，尉e 上) e = 一r 妒( 岛，恳，岛e 上) 口 = 一r 妒( r ，恳，岛萨) e( 9 ) 其中上述最后步用到方程( 7 ) 此时，我们有 置妒( b ，b ，e ) = b 驴( 岛，b ，研矿+ 片l p ( 岛，b ，目) e = h 妒( r ，岛，碍g ) e 上+ p 1 妒( 岛，b ，尼e ) e 上+ p 1 p ( 马，b ，e ) e = r 妒( 恳，忍，b e ) 萨+ p l 妒( 最，b ，e ) e( 由引理2 3 ) 一p 1 p ( p l ，p 2 ，p 3 e ) e 上一p 1 妒( p 1 ，b ，p 3 e r 上) e( 由方程( 5 ) 和( 9 ) ) 一妒( p l ，岛，b e ) 砂一妒( p l ，马，恳e 上) e( 由方程( 6 ) 和( 8 ) ) = 妒( 只，忍，p 3 四一妒( r ，p 2 ，r ) e 因此，我们有0 妒( p 1 ，p 2 ，p 3 ，e ) = o 引理2 5 设p l ，马，b ，a 冗，其中p l ，忍，r 为投影若只岛= 岛最 岛恳= 0 ，则 却( p 1 ，岛，r ，a ) = o ，( 1 ) a 妒( a ，b ，岛，p 1 ) = o ( 2 ) 证明我们仅证方程( 1 ) ，类似地可得( 2 ) 由于投影p l 和r 可换，辟b 8 曲阜师范大学硕士学位论文 和r 岛都是投影由引理2 4 ，我们有 由引理2 2 却( p l ，辟最，马，a ) = o ，( 3 ) 却( 辟，b r ，岛，a ) = o ( 4 ) a 妒( 最，r 尸2 ，b ，a ) = a 妒( 辟，hp 2 ，马，4 ) = o ( 5 ) 方程( 3 ) 和( 5 ) 两边相加，得 却( 只，p 2 ，p 3 ，a ) = o 引理2 6 设p l ，p 2 ，尸3 ，a 冗，其中r ，p 2 ，r 为投影若p 1 p 2 = p 2p l p 2 b = b p 2 ，则 却( 只，尸2 ，p 3 ，4 ) = o ，( 1 ) a 妒( a ，p 3 ，p 2 ，p 1 ) = o ( 2 ) 证明我们仅证方程( 1 ) ，类似地可得( 2 ) 由于投影b 和b 可换 蹬b 和忍岛都是投影由引理2 5 ，我们有 由引理2 2 ， a 妒( r ，马，磴r ，a ) = o ，( 3 ) a 妒( r ，劈，恳岛，a ) = o ( 4 ) 却( p l ，r ，b b ，j 4 ) = 一却( r ，考，b 岛，a ) = o ( 5 ) 方程( 3 ) 和( 5 ) 两边相加，得 a 妒( p l ，b ，b ，a ) = o 9 第一章 v o nn e u m a l l l l 代数的局部3 一上循环 则 推论2 7 设p q ，a ，b 冗，其中只q 为投影，且p q = q j d ，a p = p a 6 忉( 4 ，p q ，b ) 却( b ，q ，只a ) 一o ， ( 1 ) = o ( 2 ) 证明因为v o n u m 8 i l i l 代数冗n p ) 中投影的线性组合在该代数中是 范数稠的以及a p 是4 i 线性范数连续的，因此，此推论可直接由引理2 6 得 到，这里 p 7 表示由投影集 _ p 的交换子代数 。 引理2 8 设p 0 ，a ，b 冗，其中p 和0 为投影，_ p q = o ，则 0 ( p a | i ) 上，p ，q ，q j b q ) = o 证明令e 1 = p + p a p 上，e 2 = q 上+ q i b q ，则鼋= e l ，磋= 晚，且 e 1 p = p ，q e 2 = = o 我们先证却( 且，p q ，岛) = 0 由引理2 3 ， 垆( 易，只q ) 岛= = ： 耐妒( p q ，易) = = = 一妒( 矸，p ，q ) 岛 一目妒( e ，p ，q ) 岛一e 妒( e ，p 1q ) 易 一辟妒( 辟，尸，q ) 岛 e 妒0 e l 。p ，q 1 e 2 群妒( 只p 】q ) 岛+ 辟妒( p a p 上，只q ) 易 砰妒( 只尸 q ) 局( 1 ) 舛妒( p ，q ，岛) 岛 砰妒( p q ，q 上) 岛十讲妒( 只q ，q 上b q ) 岛 碍妒( p q ，q 上) 岛 一时妒( 只q ，q ) e j ( 2 ) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 因此，由上述方程( i ) 和( 2 ) ，有 劫( 马，只q ，马) = 马妒( 只q 易) 一妒( p q ，易) + 妒( 易，p q ) 岛 = 一e 垆( 尸：q ，易) + 妒( 局，只q ) 易 一e 5 口( p i q ，q ) 易+ 辟妒( 尸只q ) 马 = 一对妒( p ，p + q ，q ) 岛 = 0 其中最后一步应用引理2 3 ( 2 ) 由推论2 7 ，我们容易得到a 妒( 只4 尸上，只q ，q 上b q ) = o 。 弓闲l2 9 设p ，q ，4 ，b 冗，其中尸和q 为投影，p q ；0 ，则 a 妒( p 4 p 上，只q ，q b q 上) = o( 1 ) a 妒( 一a p p ，0 ，q 上日q ) = o( 2 ) 证明我们仅证明方程( 1 ) ，用类似的方法及对称性，可证明方程( 2 ) 设局= p + 鲋p 土，岛= q + 0 b q 上，则研= e l ，鹾= e 2 ， e l p = p q 易= 岛，p 马= 0 由推论2 7 ，要得到方程( 1 ) ，只要证明 却( 且，只q ，岛) = o 却( 日，只q ，易) = 局妒( 只q ，岛) 一妒( p ，印，岛) 一妒( 目，只玛) + 妒( 局，只q ) 易= 一甜妒( 只q ，易) 一妒( f ，p ，岛) + 妒( 毋，尸叨岛 = 【一e 产妒( p q ，易) 易一昂 妒( p q ，易) e 】 + 一毋p ( 局，p ，岛) 易一辟垆( 晶，只马) 易 一e l 妒( e l ，p ，岛) 磅一e 垆( e ，p ，岛) 醋l + ( e 1 妒( 最，只q ) e 2 + 砰l p ( 目，只q ) 岛i 一【一时妒( 只q 岛) 岛一尉妒( 置，只岛) 易+ 舛妒( 日，只q ) 易】 + 卜目妒( 且，只易) 易+ 易妒( b ，只q ) b 】一日垆( 日，只岛) 磅 一f 舛妒( p ) q ，岛) 碍+ 霹妒( 蜀，只易) 磅 1 1 第一章 v 0 i in e u m a 衄代数的局部3 一上循环 = u 这里最后一步，主要用到引理2 3 ，其中 一e 妒( p ，q ，易) e 2 一e 叩( e ，只e 2 ) e 2 十e 妒( 墨，只q ) 局 = 一讲垆( 尸 q ，岛) 岛十辟妒( 毋，尸jq 一岛) 岛 = 一e 咿( p lq ，岛一q ) 易+ 耐妒( p ，只q 一马) 易 = 舛妒( p p + 0 ，q 一马) 易 = o ： e l 妒( e ，只q ) 局一目妒( 易，p ，易) 岛= 日垆( 蜀，p ，q 一马) 岛 = 一e l 妒( e ，只q 一岛) 岛一o ； e 妒( p ，q ，岛) 县 + e i l 妒( e 。，p 如) 醋 = e 亡9 呼。q e 南e 专+ e 亡节0 p 1p 。e 亩e ； = 舛妒( p p + 口，岛) 尉= o ； e 。妒( 蜀，p e 2 ) 磅= 一局驴( 尉，p ，岛) 磅= o 引理2 1 0 设尸，0 ，a ，b 佗，其中尸和q 为投影，p q = o ，则 a 妒( p 上a 尸，p ，q ，q b q 上) = o 证明设e 1 = p 上+ p 上a 只岛 日p = e 1 一p 上，q 马= e 2 ，e l q = q 0 由引理2 2 及引理2 3 ， q + 0 b 矿，则研= 蜀，磅= 岛，且 由推论2 7 ，只需证明a 妒( e 1 ，p ，q ，e 2 ) = 却( 日，p ，q ，岛) = b 垆( 只q ，易) 一妒( 墨只q ，如) 】一陋( e l ，只马) 一妒( 局，尸，q ) 岛】 = e t 妒( p ，q ，易) 一妒( p ) q ，易) 一妒( e t ，0 ，易) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 一p ( e l ，p 1 岛) 妒( e 1 ，p q ) 岛】 = f e i l 妒( j p 上，q ，易) 一妒( 日，q ，易) 】 一眇( 毋，p 局) 酵+ 妒( 蜀，p ，b ) 易一垆( e - ，只q ) 岛j = 【e 妒( p 上一毋，q ，马) 一e t 垆( e l ，q ，岛) 】 一p ( 最，p ，易) 碍+ 妒( 置，只易一口) 易j 。 = 陋 妒( p 上一日，q ，恳) 易+ 砰妒( 尸上e l ，0 ，岛) 磅 一隅妒( 局，q ，马) 易+ 蜀妒( e l ，q ，e 2 ) 磅】一陬妒( 玩，p 玩) 磅 + 舛妒( 垦，p e 2 ) 磅】一暇妒( 日，只岛q ) 易+ 酵妒( 日，只岛一q ) 岛】 = 岛妒( 矸，p + q ，岛一q ) 岛+ 局妒( 点 ，尸+ 0 ，踢) 五譬 + 辟妒( 尸上一日，p + q ，恳一q ) 如+ 辟妒( p 上一日，p + q ，岛) 醋= o 其中在最后一步由引理2 3 可得，e l 妒( e ，p + q ，踢一q ) 易= o ， 日妒( 讲，p + q ，踢) e 士= o ，e 妒( p 上一易，p + q ，e 2 一q ) 岛= o ， 辟妒( p 上一皿，p + q ，易) 骂士= 一耐妒( p 上ap ，p + 0 ，如) 尉= o 引理2 1 l设4 ，b ，只q 冗，其中只q 为投影，且尸q = q p 则 却( a ，p 1 0 ，b ) 一0 证明我们先假设p q = o 由推论2 7 ，我们有 a 妒( 尸a p + p 上a p 上，p q ，b ) = 0 a 妒( 尸a p 上+ p 上a 只p jq ，q b q + q 上b q 上) = o 由引理2 8 ，2 9 ，2 1 0 ，我们又可得到： a p ( p a p 上+ p 上j 4p ) p ；q ，q b q 上+ q 上b q ) = 0 因此，当p q = o 时，a 妒( a ，只q ，b ) = o 特别地，a 妒( a ，p p 上，b ) = o 若- p q ，则q p 和p 是一对正交的投影，由上述证明，我们有 a 妒( a ，只0 一p ) b ) = o 又由于a 妒是c l m o d u 出映射，o 妒( a ，p 】p _ b ) = 1 3 第一一章 v o 】jn e u m a n n 代数的局部3 一上循环 一却( a ，只p 上，日) = o 因此，却( a ，尸) q ，b ) = 却( 名，只p 昱) + 毋妒( 4 ，p i q p b ) = 0 若尸q = q j p 、则p q p 与q 是一对正交投影，q 尸茎q 因此，由上两 段证明可得，则a 妒( a ，只q ，日) = 却( a ，p qp ，q ，b ) + a 妒( 4 ，qp i q ，b ) = o ， 引理2 1 2设p 1 ，岛，p q 为冗中p q 的投影，则 却( p l ，q p q 上，q ，p 2 ) = 0 ，( 1 ) a 妒( b ，q 上p q ，q ，马) = o ( 2 ) 证明对于方程( 1 ) ，令e = q + q p q 上，贝e 2 = e ，e q = q ；为r 力便起 见，我们仍用e 上表示j e ，此时e 上q = o 我们先证a 妒( p l ，e ，q ，p 2 ) = o 却( r ，e ，q ，砭) = r 妒( e ，q ，忍) 一妒( r 曰，q ，最) l + 妒( p l ，口，恳) + 【一妒( r ，e ，q p 2 ) + 妒( r ，e ，q ) p 2 】= 卜舛妒( p 1 e ，q ，b ) + p 1 妒( 舛e ，q ，岛) 】+ ( p 1 妒( r ，q ，b ) + 舛妒( p 1 ，q ，岛) + 【- 妒( 尸1 ，e ，q p 2 ) 黠+ 妒( r ，e ，q 瓒) p 2 】 = 【一斗妒( p 1 e ，q ，岛) + 晔c p ( p 1 ，q ，p 2 ) 】+ p 1 妒( 斗e ，q ，p 2 ) 一p l 妒( 斗，q ，忍) + f - 妒( 尸l ，f ，q 马) 黠+ 妒( p l ，e ，0 黠) 列 = 辟妒( p l 伊，q ，p 2 ) 一日妒( 只上e 土，0 ，岛) 一妒( 日，e ，q p 2 ) 黠 + 妒( 局，e ，q 磴) b = 芹妒( r e 上，q ，恳) 危+ 碎妒( r e 上，q ，琏) 磴 + 【一片妒( 辟e 上，q ，马) 马一p 1 妒( 辟e 上，q ，岛) 黠 + 【- b 妒( p 1 ，e ，日r ) 劈一片妒( p l ，e ，q p 2 ) 劈】 + 【p l 妒( p l ，e ，q 磅) 岛+ 只上妒( 片，e ，q 聪) b 】 = 五十五十如+ 厶，其中 j l = 辟妒( r e 上，q ，危) 岛+ 芹妒( 尸1 ，e ，q 磴) b ， 如= 砰妒( p 1 e l ，q ，马) 学一片妒( p l ，e q 恳) 磴 厶= 一只妒( 时e l ，q ，岛) 马+ b 妒( p l ，e ，q 劈) p 2 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 厶= r 妒( 辟f 上，q ，岛) 只上一b 妒( 8 ，e ，q p 2 ) 磅 分别计算，。，2 ，厶，厶，在下列计算中，我们多次用到引理2 3 及引理2 2 舛妒( p l e 上，q ，马) p 2 + 砰妒( p l e 上，e ，q 黠) 马+ 碎妒( r e ，e ，q 蹬) 恳 群妒( p l e 上，q ，岛) r 十睁妒( p l 曰上，e ，q 砖) b 斗妒( p 1 e 上，q ，b ) 恳+ 舛i p ( p l e 上，q ，q 黠) 岛 一碍妒( p l e 上，q ，聪) p 2 + 辟妒( p l e 上，q ，q 聪) r 一辟妒( r e 上，日，q 上黠) 岛= o 用类似的方法，我们可以得到； 如= 辟妒( p 1 矿，q ，q 上p 2 ) 劈= o ， 厶= 只妒( 只上e 上，q ，q 上时) r = o ， 厶= 只上妒( 辟f 上，q ，q 上蹬) p 2 = o 因此，却( p 1 ，e ，q ，p 2 ) = o 由引理2 1 1 ，a 妒( p 1 ，q ，q ，p 2 ) = o ，从而 却( p l ，q p 0 上，q 马) = 却( p l ，e ，q ，p 2 ) 一却( p 1 ，q ，q ，p 2 ) 一。 对于方程( 2 ) ，注意到方程( 1 ) 中的q 和q 上的对称性，有 a 妒( a ，口上p q ，0 上，b ) = o 又由于a p 是c 一m o d u l 壮， 因此，a 妒( a ，q 上p 0 ，q ，b ) = 一a 妒( a ，q 上p q ，q 上，b ) = o 定理证明我们只需证明对冗中的任意投影r ，局，p ，q ，有 a “p 1 ，尸，臼，尼) = 0 由于却( p 1 ，只q ，岛) = 却( r ，q p q + 矿尸q 上，q ，b ) + 却( p l ，q p q 上，q ，r ) + 却( p l ，q 上p 0 ，q ，岛) 由引理2 1 i ，2 1 2 ，知却( b ，只口，岛) = o 第二章弱可约极大三角代数的完全有界上同调群 2 1引言 设“是一个复h i l b e r t 空间，8 ( h ) 为咒上的所有有界线性算子构成的 g 一代数令5 8 ( 爿) 为线性子代数。沿用k a d i s o n 和s i n g e r 在f l l 】中的定 义，如果d = s n s 为8 ( “) 的极大交换的车一子代数，则称s 为三角代数 称极大交换的4 一子代数口为s 的对角设s 为艿( 冗) 中的非空三角代数， 若s 不能真包含在任一三角代数中，则s 称为极大三角代数由z 0 r n 引理知 任意一个三角代数都包含在一个具有相同对角的极大三角代数中 1 3 l 【1 4 中 指出并不是每一个极大三角代数都是范数闭的如果s 为范数闭的，称s 为 闭极大三角代数 令s 为h 上的个极大三角代数，令l 8 t 5 表示s 的不变子空间格， 即咒的所有在s 中的每个元下都不变的闭子空间由【1 1 】中的引理2 3 3 知 l a t 5 在包含关系下是全序集，因此它构成了个套，称为三角代数s 的核包套，令丁( 厂) 表示相应于套的套代数，即丁( ) = t 8 ( 咒) j t ( 们) m ，m ，称丁0 厂) 为s 的核包套代数令p 表示“到闭子空 间j v 上的正交投影，令c 为由 b ，i ) 生成的v o nn e u m a 代数， 称c 为s 的锥设为极大三角代数5 的核包套，定义 _ = v m lm ) ，o + = 八 m f 互m ) ，咒 若疵m “e7 l f 一。，贝称s 为弱可绚极大三角代数 设4 为b a n a c h 代数，m 为对偶b a n a c h4 一双模用四，m ) ( 咒1 ) 表示由a 到m 内的所有有界n 一线性映射组成的复线性空间，令 四，川) = 川我们有复形 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 锑似，m ) 三雠( a ，m ) 三锑( 且，m ) 三g 耋( a ，m ) 置 三四十1 f 4 ，朋) 骂， 其中边缘算子扩三o ) 定义为：对于妒僻，m ) ，a ，a l ，如+ l 且， s 州 a 0 ( s ) ( a ) = a s 一鼬， 扩妒( a 1 a 2 ，- - - ，a n + 1 )= a 1 妒( a 2 ，a ”+ 1 ) + ：l ( 一1 ) 妒( a l ， “山如+ 1 ，a 。+ 1 ) + ( 一1 ) “+ 1 妒( a 1 ，k ) 如+ 1 ，扎1 令窑，朋) 表示边缘算子护的核，上翟似，州) 表示边缘算子伊_ 1 的像 空间，由于扩“o 矿= o o ) ，印( 一4 ，川) 留( 一4 ，m ) 谨( 4 ，m ) 我们称刃( a ，m ) 中的元为n 上循环，殴( 冗，s ) 中的元为m 上边缘称 霹( 一4 ，m ) = 刃( am ) 鄙( 一4 ，m ) 为4 的系数在m 中的n 阶有界h o d l s c h i l d 上同调群 完全有界h o c l 渤i 】d 上同调群上愿，m ) 有相类似的定义设慨( 一4 ) 表 示元素在a 中的k 阶矩阵设妒为4 一4 到m 内的有界- 线性映 射定义：( ) x ：( ) 一a 磊( 州) 的n 线性映射， 七 吼( ) ，( 吗) ，( 略) ) = f垆( 砖，嚷血，嚷埘) 】 如果s u p 1 | i 慨l 1 l 妒l 表示 妒的完全有界范数用c 嚣，州) 1 ) 表示x 4 到m 内的所有完 全有界的- 线性映射组成的复线性空间令四( 4 ，m ) = m ，我们有复形： 曝( a ，m ) 三铅( a ，m ) 三曝( a ，m ) 三曝( a ，m ) 三 掣嘴( a 州) 卫四，似，州) 掣 同叼，朋) 中定义的边缘算子a ，令忍( 4 ，朋) 表示伊的核，令b ，m ) 表示伊- 1 的象空间由于扩+ 1o 伊= o o ) ，知道哟，( a ，m ) 2 琶( 4 ，m ) ( 谂( “，朋) 。我们称瑶，州) 中的元为完全有界n - 上循环，糍( 4 ，朋) 中 1 7 第二掌弱可约极大三角代数的完全有界上同凋群 的元为完全有界n - 上边缘称h 翌( 4 ，m ) = z ( 4 ，川) 日( 4 ：m ) 为4 的系 数在朋中的n 阶完全有界h o c b s c h i 】d 上同调群 完全有界上同调群理论尽管在一定程度上推进了有界上同调群的发展1 1 6 】， 但是上伫，州) 和般( 一4 ，朋) 之间的关系并不明显换句话说，在它们之间可 以建立个映射，但是并不髓保证映射是单或满事实上，当为v o nn e u m a n n 代数时，我们已经知道f 矗，日( h ) ) = 上愿，a ) = o ，但是霹( 4 ，8 ( h ) ) = o 或 月：( 4 ，a ) = o 仍然是个公开问题关于非自伴代数的有界上同调群已经有下 面的结果：f 1 8 1 e c l a n c e 证明了丁0 矿) 为作甩在可分h i l b e r t 空间“上的套 代数，朋为包含丁0 v ) 的超弱闭丁( ) 一双模，那么埋1 ( 丁( ) ，m ) ；o ；但是关 于非自伴代数的完全有界上同调群理论的