（基础数学专业论文）外代数上复杂度为2的koszul模的扩张的表示矩阵与同构.pdf

摘要 外代数是一类有着很强应用背景的代数，在微分几何，张量分析，代 数几何，拓扑学等领域有着广泛的应用，另外在交换代数以及射影空间 上凝聚层范畴等的研究上有着重要应用。 虽然外代数有如此广泛的应用，但其表示方面一直没有研究。e i s e n - b u d 在【1 0 】中研究了外代数上的周期模。郭晋云等人用不同的方法研究 了这类模一一复杂度为1 的k o s z u l 模，并且推广了t a m e 代数的管范畴 理论( 【1 5 】， 2 1 0 。同时郭晋云等人对外代数上k o s z u l 模进行了系列的研究 ( f 1 6 】，f 2 l 】，【3 5 】， 3 6 0 。在【3 5 】中引入了复杂度为2 的极小k o s z u l 模，这样的模 是复杂度为2 的循环模的合冲模的平移，而其表示矩阵具有 卜：) 形状。 模的扩张在模的研究中是很重要和有趣的工作，与导子的计算、同 调群都有密切联系。而t a m e 遗传代数研究中对管范畴整体研究就源自 k r o n e c k e r 代数单模具有p t 簇的扩张。 设y 是一个向量空间，八是y 的外代数。本文研究两个复杂度为2 的 极小k o s z u l 模m = q m - 1 a ( a ，b ) 与l = q n w ( a ，c ) 的扩张的表示矩阵和 同构矩阵的问题，其中a ，6 ；a ，c 分别是线性无关的向量对。这时，m ，l 的 表示矩阵分别为 a ( 1 ) ( m + 1 ) x m 和b o ) 口6 如果0 一m _ _ l 一0 正合且是k o s z u l 模，称为m 借助己 的一个扩张k o s z u l 模，则的表示矩阵可以具有( 二：。；二。) ) 的形式。 。 一 我们研究扩张模的表示矩阵，并在此基础上，我们分析了m 借助l 的两个扩张模1 ，2 的同构问题，得到1 ，2 同构必须满足的条件。 从而，我们得到了以下主要定理和推论。 定理：当a ，b ，c 线性无关时，对于如上所述扩张模m ，可对投射预解式 前两项做基变换，使其表示矩阵c ( ) 具有如下形式。即 c ( 1 ) 碍，1 cf ：，2 c 珐，仇c 砩+ 1 ，1 n + f ：+ 1 ，l c砖+ l ，2 n + 珐+ 1 ，2 c 磷+ 1 。m n + 琵 l嘎 若9 t n 为的合冲模，其表示矩阵具有 改变投射预解式的基，可得c ( 2 ) 绪1 n - 4 - l i , l c 磅1 a + 1 1 , 1 c k 2 + l ，l a4 - l ，1 件l ，1 c k 卅22 ，1 口一砩+ 1 ，1 c 其中2 如，i = 1 ，2 ，n + 2 ；j = 1 ，2 ，m + 1 ；亡= 形式，且继续 0 0 1 ，2 为域 元。 我们还给出了两个扩张模同构的条件。 定理：设k 是代数闭域，y 是k 上的q 维向量空间，八是y 的 外代数，m ，l 如上定义，1 ，2 是模m 借助l 的k o s z u l 扩张模且有第 三章中所说的投射模。如果存在q ，e ：，七玛，蠕，s 马，s 为，i 7 = 1 ，2 m ；i = 1 ，2 n 4 - 1 ；j = 1 ，2 m ，使得 i i 口6 口6 6 俨 零ej、蝴 o 0 0 o 0 0 n c c 磅+ 1 ，1 a + f 1 ，1 c 吼c 如c 如c 砩+ 1 2 0 + 1 ，2 ck卅1枷驯z1+l,m 码，m c l z ：，m c l 卅1 ，m n +c m c f 3 ：m c i 2 置m cl 1 ，m 口+ f 鼻1 ，仇c 关键词：外代数，k o s z u l 模，复杂度，扩张，表示矩阵，同构 i i i 心 n 吃 a bs t r a c t e x t e r i o ra l g e b r a ，w i t hu s e d - a p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，c a nb eu s e di nd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , t e n s o ra n a l y s i s ，a l g e b r ag e o m e t r y , t o p o l o g y , w h a t sm o r e ，i t su s e di ns t u d y - i n gc o m m u t a t i v ea l g e b r a sa n dt h ec a t e g o r i e so fc o h e r e n ts h e a v eo v e rp r o j e c t i v e s p a c e ，a n ds oo n e x t e r i o ra l g e b r ac a nb eu s e di ns om a n ya r e a s ，b u tt h e r e8 e e n l sn os y s t e m - a t i cs t u d yo nt h e i rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y e i s e n b u d ( 1 0 ) h a sd o n es o m er e s e a r c h a b o u tp e r i o d i cm o d u l e w i t ho t h e rs c h o l a r s ，p r o f e s s o rg u od e s c r i b e dk o s z u lm o d - u l e s o fc o m p l e x i t yo n eb ym e a l l so fa n o t h e rm e t h o d w l l i c he n r i c h e dt h et h e o r y o ft u b ec a t e g o r yo ft a m ea l g e b r a ( 1 5 ， 2 1 】) a tt h es a m et i m e ，as e r i e so fr e s e a r c h o nk o s z u lm o d u l eo v e re x t e r i o ra l g e b r ah a v eb e e nd o n eb yg u oa n do t h e rs c h o l - a r s ( 1 6 ，【2 1 】， 3 5 】7 【3 6 】) w h a t sm o r e ，i n 【3 5 ，h eb r o u g h ti nm i n i m a lk o s z u lm o d u l eo f c o m p l e x i t yt w o ，w h i c hi st h et r a n s l a t i o no ft h es y z y g ym o d u l eo fc y c l i ck o s z u lr o o d - u l eo fc o m p l e x i t yt w o ，a n di t sp r e s e n t a t i o nm a t r i xh a st h ef o l l o w i n gf o r m t h ee x t e n s i o no ft w om o d u l e si sa ni m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gp a r to ft h es t u d y o fm o d u l e s ，a n di ta l s oh a sa ni n t i m a t er e l a t i o nw i t ht h ec o m p u t a t i o no fd e r i v a t i o n a n dh o m o l o g i c a lg r o u p b u tt h et o t a lr e s e a r c ho nt u b ec a t e g o r yi nt a m eh e r e d i t a r y a l g e b r ac o m e sf r o mt h es i m p l em o d u l eo fk r o n e c k e ra l g e b r aw h i c hh a sp 1v a r i e t y e x t e n s i o n vi sal i n e a rs p a c e ，a = yi sae x t e r i o ra l g e b r ao v e rv i nt h i sp a p e r ，w em a k e e f f o r t st or e s e a r c ho nt h er e p r e s e n t a t i o nm a t r i xo ft h ee x t e n s i o no ft w om i n i m a l k o s z u lm o d u l e sm = f v , - 1 a ( a ，b ) a n dl = q 1 a ( a ，c ) o f c o m p l e x i t yt w oa n d t h ei s o m o r p h i cm a t r i xo v e re x t e r i o ra l g e b r a ，a n da 6 ；a ，ca r et h er e s p e c t i v e l yl i n e a r i n d e p e n d e n c ev e c t o rp a i r s ，w i t ht h ep r e s e n t a t i o nm a t r i c e so fm ，la r e i v 、口6 a 6 ，。一 a(1)=(：；)。m+。，m a n d b(1)-(兰：三)。n+，xn r e s p e c t ，v e 垃 i sc a i l e d 尹e x 、t e n s i o n 、k o s z u lm o d u l eo fm b y 厶，t h e nw i t ht h ep r e s e n t a t i o nm a t r i c e o r 叫铆a ( 10 ) 。“。一。 w e a p p l yp r e s e n t a t i o nm a t r i xt or e s e a r c ho ne x t e n s i o nm o d u l u s ，a n do nt h e s e b a s e s w ea n a l y z et h ep r o b l e m so fi s o m o r p h i s mb e t w e e n la n dn 2 ，w h i c h 盯et h e k o s z u lm o d u l e se x t e n d e df r o mm b ym e a n so fl ，a n dw el ( n o wt h a ts o i n ec o n d i t i o i l s s h o u l db es a t i s f i e dw h e nt h e r ei sa l li s o m o r p h i s m b e t w e e n 1a n dn 2 t h e r e f o r e ，w eh a v ep r o v e dt h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tt h e o r e i n sa n dc o r o l l 帆 t h e o r e m ：l e tn ，b ，cb el i n e a ri n d e p e n d e n c e f o rt h ee ) ( t e 璐i o nm o d u l em h a s b e e nd e f i n e d b f o r e w ec h a n g et h eb a s e so ft h ef i r s tt w oi t e 脚o f t h ep r o j e c t i v er e s 伊 l u t i o n ，s u ，c ht h a tc ( 1 ) w i t ht h ep r e s e n t a t i o nm a t r i c e si s z 扣 日，2 c z ，m c、 c 。，：j 冀：c? 二c 恐，m c i l f 乏1 c 2 扣 职i h 肌盖e 6 s l y + 珂1 , 1 盯a + 删n l + l 岫, 1 cf k 踹1 溉面撼盐烈话 a 1 1 dw ec o n t i n u et oc h a n g et h eb a s e so ft h ep r o j e c t i v e r e s o l u t i o n ，s u c ht h a t v ，-、口6 口6 口6 俨 ，懂嚣；0 0 1 c 0 0-2,1 k 100 鞫 l 磋。口十碹 l c i c ( 2 ) ；l l 1 1 1 口+ f h i 磅 。一计l l c c m c f 2 c 如c c = i 姥1 c 砩+ l l a + 1 ，l c c k 1 + l , 2 a + 2 h 1 。2 c z m c l j m c 珐m c 磷+ l , m a + l 计x1 m c 上)=【：碍i。，。篓：，+。，。c砖。，2薹：i。，：c；砩4。，。，薹：。，们。c上)=2【。鼻。，。蔓：，+。，。c；鼻。，2量矗。，：c；!；i鼻。，。，曼鼻。，们。c，j k e yw o r d s ：e x t e r i o ra l g e b r a ，c o m p l e x i t y , e x t e n s i o n ，r e p r e s e n t a t i o nm a t r i x i s , - m o r p h i s m v i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：茜启糍j 形p 年歹月多，日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在 年解密后适用本授权书 2 不保密区 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：最启掺 刷磁各河专弓 外代数上复杂度为2 的k o s z u z 模的扩张的表示矩阵与同构 1 引言 外代数，也称交错代数或g r a s s m a n n 代数，是g r a s s m a n n 在1 9 世纪4 0 年代发现的，定义在一个向量空间v 上的代数设v 是域k 上的向量空 间，t ( v ) = k o v o ( vov ) o 是v 的张量代数，向量空间v 上的外代数 定义为a = a ( v ) = t ( v ) i ，其中j 为由 zox l x y ) 所生成的理想，若取 口l ，v 2 ，为v 的一个基，则a = a v = oa ；是个分次代数，其中凡为 以 吻。1 1 j 1 如 u ，3 a i d ，b i d k ，s t 白= 砚j + b i d f i 于是 v i & l l i i t u v i v j = - v j v d l i i t 是y 八vc 八的一个线性无关集合。进而得到 0 = v i ( i = 仇已+ a i d v i v j + b i d f i v j 这也就是说，札= o ，比l ( v l ，v 2 ，v t ) 证毕。 郭晋云等人通过对k o s z u l 模的表示矩阵进行初等行变换和列变换得 到一些特殊形式，证明了外代数上的k o s z u l 模皆有由循环k o s z u l 模构成 的滤链( 【1 9 】) ，将t a m e 型遗传代数范畴理论推广到复杂度为1 的k o s z u l 模( 【2 1 1 ) ，同时还证明了复杂度为2 的k o s z u l 模具有由复杂度为2 的极小 k o s z u l 模构成的滤链( 【1 6 】) 。 引理2 2 ：设y 为k 上的m 维线性空间，a 为y 上的外代数，m 为复杂 度为2 的不可分解循环k o s z u l 模，则m 有极小投射分解 一p t ( m ) _ 恳( m ) 乌p i ( m ) 乌p o ( m ) 垒m _ 0 满足只( m ) 皇( t + 1 ) 人嘲，t 0 。 1 0 外代数上复杂度为2 的k o s z u f 模的扩张的表示矩阵与同构 证明：由文献【1 7 】的定理3 7 可知，m 笺h ( v ，) ，这里d i m v 7 = 2 。将y 7 中线性无关的向量组z 1 ，z 2 扩充成y 的基 1 = z 1 ，忱= z 2 ，2 - 1 。 令y 是以均，v 4 ，为基的一个子空间，因此作为商代数m 筌a 矿， 且有 所以 f 出m m = z 疵m 肘= t 1 c 景一l c 景一l 哚 1 1 c 参一2 姥一2 昧； 0 + l c 。1 l 一2 c 景一2 q 爱 o = 细1 + v 2 由于人的箭图只有一个顶点，所以其唯一不可分解投射模为a ，故由 文献【1 8 】的定理1 4 我们得到 b ( m ) 筌( t + 1 ) a 由于a 为0 次生成的，而只( m ) 笺( t + 1 ) a 为t 次生成的，所以对t 0 ， 我们得到 r ( m ) 笺( t + 1 ) a t 1 由引理2 2 ，我们知道复杂度为2 的不可分解循环k o s z u l 模对应的极 小投射分解为_ + 1 ) 人嘲厶_ 3 h 2 乌人【1 】乌人 o 】鱼m _ 0 。假 设我们分别取定( t + 1 ) h i t 与t a t 一1 】的基e # e 耸1 与e ( t 一1 1 e l t - 1 ，因为 五( e 5 t ) ) 趴陋一1 】，所以可以设五( e 5 t ) ) = 暑t 。孝叫。从而有 鼢 称a 。：( 口轨州) 。为五对应的矩阵，其中a 1 称为m 的表示矩阵，由 于五是零次映射，且磁2 1 1 z t + 1 是 + 1 ) a 嘲中的t 次齐次元素， 而 e r l i l i t ) 为t a t 1 1 中的t - 1 次齐次元素。所以n 珍a 1 = k1 若把 + 1 ) a 吲的基改变成为e 譬“e 鼯，则存在元素属于k 的可逆 矩阵p ，使得 由( 1 ) 有 ( 篓) = 尸( 篓) c p ( 篓) ，= a t ( 萋i ) c ( 篓) ，= p l 二t ( ! 量三三) 1 2 ol2 o t ，i一 、liiliif， 埘似砧哆h起碟龆 m印d“ 啦越观 u即0“啦嘏璐，。 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张的表示矩阵与同构 ：n 1 1 i 佗+ 1 ) ，竹= t 一1 ，t ，t + 1 ，且 ，五+ 1 对应 。翳”口譬d 屹a 2 t ，+ 1 i t 甜( e + 1 ) a ( t - l - i ，2o l 铭 刻 故五五+ 。对应的矩阵为a t + - a 。 脚= e 等行和列变换后不能写成形 刻引 可分解的，则表明若a 经过初 的对角块的形式。根据定义我 们很容易看出一个模是可分解的当且仅当其在某组基下的表示矩阵是可 分解的。在文献【1 6 】中，外代数a y 上一个复杂度为2 的k o s z u l 模m 称 为极小的，如果其表示矩阵具有 。n b 的形状，其中口，b 为空间y 中线性无关的元素，此时我们称这样的模 为一个极小循环长度为t 的a ，6 ) 型复杂度为2 的极小k o s z u l 模。则有： 定理2 3 ：设m 是一个循环长度为t 的( o ，b ) 型复杂度为2 的极小 1 3 一 一 ；一 l 0 2 0 t ，jj。一 一、lj， ”砧0“谍趣龆 ：即o“ 啦粥龆 ) 1 ) l k 0l0乏0 一一 龆 为b 吖 h l r j 叫a “ h ；“s ! 例龇扩；嚣 ”鼢 妣 触胖 、，、，、， 州22 删哪啦印m 0 0 0 ，1 1 ， u吼m o o o ，-l-liiil、 = 不 ) 是 d k 糇 。如 称 山0 、li-、 t t tj 吼眈如 硕士学位论文 k o s z u l 模，则m 竺g 一 h v ( a ，6 ) ，即m 是循环k o s z u l 模人叫( n ，b ) 的t 一1 次合冲模。 根据【1 6 】，复杂度为2 的极小k o s z u l 模的扩张对研究复杂度为2 的 k o s z u l 模十分的重要。对于给定y 中线性无关的元素a ，b ，c ，本文我们探 讨具有不同循环长度的( a ，b ) 和( a ，c ) 型复杂度为2 的极小k o s z u l 模的扩 张的表示矩阵与同构的矩阵的问题。 1 4 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张的表示矩阵与同构 模的扩张的表示矩阵 设m ，三皆为复杂度为2 的极小k o s z u l 模，则存在非负整数m ，n 及 线性无关向量组a ，b ，c ，使m = q m ( a v ( o ，6 ) ) ，l = 妒( 人v ( 口，c ) ) 。由【1 7 】可 设它们的表示矩阵分别为 a ( 1 ) = ( m + 1 ) m 和b ( 1 ) ： ( u + 1 ) x n 下面我们来考虑m 借助的k o s z u l 扩张模。 若有正合列0 _ m _ 一l _ 0 ，且是k o s z u l 模，则称是模m 借助三的k o s z u l 扩张模，本节我们讨论k o s z u l 扩张模的表示矩阵。 若眠l 分别有极小投射分解 _ p t ( m ) f t 一( m ) 一p 2 ( m ) ，? p 1 ( m ) ，y p ( m ) 磐m 一0 和一p ( l ) 磐) _ p 2 ( l ) ，鸳p 1 ( l ) ，粤尸0 ( l ) 磐l 一0 。 则由马蹄引理，我们有： o00 l ll 1 2 _ ( m ) p 1 ( m ) ，i _ ( m p 0 ( m ) 掣m _ 0 上 j ， 上 ，写p 1 ( m ) o p l ( 二) ，写p o ( m ) op 0 ( l ) 凹n _ 0 上l上 _ 2 ( l ) p i ( l ) ， p o ( l ) ，擘l 一0 l土 l 0 00 而_ p ( m ) op ( l ) 凹_ p 2 ( m ) op 2 ( l ) 凹p t ( m ) op 1 ( l ) ，马p o ( m ) p 0 ( l ) ，写n _ 0 是的一个极小投射分解。这时，有 15 硕士学位论文 九肛( 广广坍 现= 川0 ， 从而，模的表示矩阵为。= ( 竺：；b 0 ( 1 ) ) 。由投射分解的性质我们有 f l ( n ) f 2 ( n ) ：0 ，即d 2 d 。：0 也就是说，。 ( 三：三品，) ( 三：；，) = 。 利用这一等式我们可以确定g ( - ) 与c ( 2 ) 的关系。由分块矩阵乘法规则得 到，a ( 2 ) a ( 1 ) ：0 ，b ( 2 ) b ( 1 ) ：0 ，c ( 2 ) a ( 1 ) + b ( 2 ) c ( 1 ) ：0 。由3 6 1 引理3 3 可知， a ( 2 ) ： b ( 2 ) = o b ( m + 2 ) ( m + 1 ) + 2 ) ( n + 1 ) 我们有下列重要引理。 引理3 1 ：如上所述的复杂度为2 的k 0 8 z 越模m 厶他们的扩张模n 有如上的投射分解，1 ( ) 、，2 ( ) 对应的矩阵分别为：。t = ( 三：蠹) ) ，眈= 1 6 外代数上复杂度为2 的k o s z u l 模的扩张的表示矩阵与同构 ( 答胪0 ) ) ，若伊) - ( 毋 2 1 2 ；t l ，2 ，肘- 1 ，2 m ，则 g ( ，c ( 2 ) 中的元素都属于l ( a ，b ，c ) 。 证明：用( c ( 2 ) 以( 1 + b ( 2 ) c ( 1 ) ) ( i ，歹) 表示( c ( 2 ) a ( 1 ) 十b ( 2 ) c ( 1 ) 的第i 行，第 歹列的元素。 对c o ) ，c ( 2 ) 的行指标i 进行归纳证明。 ( 1 ) 当i = 1 时，由d 2 d 1 = 0 有( c ( 2 ) a ( 1 ) + b ( 2 ) c ( 1 ) ( 1 ，歹) = o ，j = l ，2 ，m 得：c 口+ c 路+ l 6