（基础数学专业论文）杨洪苍不等式的推广.pdf

中文摘要 摘要：l a p l a c e 算子是一种线性算子，它是微分几何中最重要的算子。这是由于很 多重要的非线性算子在线性化后，往往是某个r i e m a n n 度量的l a p l a c e 算子。 设d 为n 维e u c l i d 空间r “的一个有界区域，且 0 a 五乃五， 是，阶l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题 l ( - ) ”= 2 u ， 在d 中， k 争一筹一o ，z e t g d _ 2 的特征值。其中，是正整数，甩表示边界a d 的外法向量。该文得到了该问题用其前 k 个特征值来估计第( k + 1 ) 个特征值五+ 。的不等式 窑( 训卜一( ，+ 厕4 l 叫见, l 坩n v l - l u i 2 虬 此不等式不依赖于区域d 。 u i 是相应与特征值足的特征函数。当，= 1 时我们 得到了杨洪苍不等式，即当，= 1 时，杨洪苍1 9 9 1 年在文献 4 中关于该问题所得的 不等式。所以上述不等式是杨洪苍不等式的一个推广。 关键词：特征值；l a p l a c e 算子；d i r i c h l e t 问题；黎曼流形；r i c c i 曲率 分类号：0 1 8 6 6 j 匕立交道太堂亟堂僮j 佥塞垦墨至b ! a b s t r a c t a b s t r a c t ：l a p l a c i a no p e r a t o ri sal i n e a ro p e r a t o r 1 t i st h em o s ti m p o r t a n to p e r - a t o ri nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y b e c a u s em a n yi m p o r t a n tn o n l i n e a ro p e r a t o r sr e d u c et - oal a p l a c i a no p e r a t o ro fs o m er i e r n a n n i a nm e t r i ca f t e rt h e yw e r el i n e a r r i z a t i o n l e tdb eac o n n e c t e db o u n d e dd o m a i ni na nn d i m e n t i o n a le u c l i d e a ns p a c e r ”a s s u m et h a t 0 五乃五， a r ee i g e n v a l u e so fl a p l a c i a no p e r a t o rw i t ha n yo r d e r ，f o rt h ed i r i c h l e tp r o b l e - m ： f ( - ) 7 “= 2 u ， 1 “= 一= 矿0 - l u o ，【肛瓦一一。矿。0 ， i nd o n 扣 w h e r e ，n + ，刀i st h eu n i to u t w a r dn o r m a lt o o d t h e nw eo b t a i na l lu p p e - rb o u n do ft h e ( k + 1 ) - t he i g e n v a l u e + li nt e r m so ft h ef i r s tke i g e n v a l u e s t - h i si n e q u a l i t yi si n d e p e n d e n to fd o m a i nd ，t h a ti s ，w ep r o v et h ef o l l o w i n g ： 七 ( 五+ 。 扛l训卜( - + 志地v l - l u i 2 姐 i st h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n f u n c t i o nw i t he i g e n v a l u e 丑w h e n ，i s1 , w er e - c o v e ry a n gh o n g c a n g si n e q u a l i t y k e y w o r d s ：e i g e n v a l u e ；l a p l a c i a no p e r a t o r ；d i r i c h l e tp r o b l e m ；r i e m a n n i a nm a n i f o - l d ；r i c c ic u v a t u r e c l a s s n 0 ：0 18 6 6 关键词索引 d i r i c h l c t 边界条件；5 ，8 ，9 ，1 3 d i r i c h l e t 边界条件；l ，2 3 等周不等式，6 e u c l i d 空间；l ，1 5 h i l b e r t 空间；4 极小极人原理；5 ，1 6 结点集：1 2 紧致空间；3 l a p l a c e 算子；3 黎曼流形定义；3 n e u m a n 边界条件；5 ，8 p a y n e - p o l y a - w e i n b e r g e r 经典结果：9 p o i n c a r e 不等式；6 p o l y a 猜测；7 谱；4 r i c c i 曲率；7 s c h w a r z 不等式；1 0 ，2 0 试测函数；1 0 ，1 5 s o b o l c v 不等式；6 s o b o l e v 空间；4 特征函数；4 ，1 3 ，1 5 特征值；l ，4 ，1 5 ，2 3 椭圆算子：4 外法向量：2 3 w e y l 公式；7 杨洪苍不等式；8 ，2 3 正交基：4 ，6 自伴算子：4 ，2 0 索引 a s h b a u g h ；2 曹林芬；2 c h e e g e r ；7 陈祖墀；2 成庆明；2 e l i e b ；7 h i l e ；1 2 h o o k ；2 i v r i i ：7 著者索引 p a y n e p o l y a w i n b e r g e r ；l p o l y a ；7 p r o t e r ；2 钱椿林；2 丘成桐；3 吴发恩：2 杨洪苍：l ，2 ，8 钟家庆；8 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 走南暧 导师躲殳暂恩 签字日期：如唁年石月乡日 签字日期： o 抨6 月歹日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：躲鳆 签字日期：御。p 年石月3 日 致谢 本论文的工作是在我的导师吴发恩副教授的悉心指导下完成的，吴发恩副教 授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两 年来吴发恩老师对我的关心和指导。 吴发恩副教授悉心指导我完成了本论文的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向吴发恩老师表示衷心的谢意。 吴发恩副教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示 衷心的感谢。 在撰写论文期间，我的同学们对我论文的研究工作给予了热情帮助，在此向 她们表达我的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 序 在数学的各个分支中，几何学自古以来一直被数学家所重视。几何学的主要 部分是微分几何学。近代微分几何学研究流形上的解析结构和这种结构所蕴含的 几何现象。 丘成桐说：“几何学的要旨就是对于某一类的几何对象给出一个好的描述。 ( 见 1 8 ，3 1 6 ) 通常，这意味着我们必须对于空间上的分析结构及由这些结构定 义的几何对象给出一个好的描述。在许多情形下，我们必须知道如何来形变这些 结构并且研究隶属于这种结构的几何对象的动力学。这些几何对象的描述通常是 由微分方程决定的。 l a p l a c e 算子是一种线性算子，它是微分几何中最重要的算子。这是由于很多 重要的非线性算子在线性化后，往往是某个r i e m a r m 度量的l a p l a c e 算子。 流形的几何与拓扑性质通过该算子的特征值即谱反映出来。对于平面上的区 域，它的面积和周长可由它的谱确定。这相当于由谱可“听 出其形状和结构。 谱问题的研究一直吸引着几何学家和数学物理学家的兴趣。著名华人微分几 何学家丘成桐在谱问题上也作出了重要贡献，例如他与李伟光合作，得到了若m 为n 维紧致无边的黎曼流形，r i c c i 曲率非负，则有 丑一1f 三l 2l d 其中d 表示m 的直径。中国科学院杨洪苍研究员与已故著名数学家钟家庆研 究员合作，一举把丘成桐等人的结果推进到最佳，得到了 丑料 本文主要是将1 9 9 1 年杨洪苍所得的关于特征值的不等式即杨洪苍不等式推广 到任意阶的情形。 1 引言 在文献【4 】中，杨j 共苍考虑f 回的d i r i c h l e ti 列题 卜缸“拿d 守， ( 1 1 ) l “= 0 ，在扣上 其中d 为n 维e u c l i d 空间r ”的一个有界连通区域，a 为r ”上的l a p l a c e 算子。 设五是上述d i r i c h l e t 问题的第f 个特征值，杨洪苍在文献 4 】中得到了问题( 1 1 ) 的最 佳不等式 喜( 以+ ，一名) 五+ ，一( - + 昙) 丑 。 c ，2 ， 我们将在本文推广上述不等式到任意阶l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题上：即我 们有 定理1 设五是d i r i c h l e t 问题 l ( 一) 7 u = l u ， 在d 中， t 掰：等：挈：o ，在眦 u 3 的第i 个特征值，则有 喜( 钆叫卜一( + 志h ”f 虬 4 ， 其中，是任意固定的正整数，”是边界a d 的外法向量 ( 1 2 ) 式是杨洪苍于1 9 9 1 年所得，他很好的改进了p a y n e p o l y a w i n b e r g e r 习 的经典结果，且在1 阶的意义下达到最佳，称为杨洪苍不等式。它蕴含下面的不 等式 ( 五+ l 一五) 詈a i = l ，ii = l 当，= 2 时，p a y n e p o l y a w i n b e r g e r 。5 1 得到了 邯学妻喜乃 ( 1 5 ) h i l e 和y e h l 6 1 推广了( 1 5 ) 式，得到 喜矗焉( 喜乃) 1 鲁疋+ 。一名一8 ( 咒+ 2 ) i 鲁1 。 不难证明( 1 6 ) 式蕴含( 1 5 ) 式。 当，= 2 时，成庆明和杨洪苍得到 渺k 训 f l 学协ir f = i j f = h i l e 与p r o t e r 7 1 证明了当，= 1 时， 步? 车，尼：1 ，2 ， 智4 + 。一a 4 。 官优千不等式 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 以+ i _ 五去荟乃 这是p a y i l e p o l y a w i n b e r g e r 5 1 于1 9 5 6 年所得。a s h b a u 曲在文献 8 】中证明了( 1 2 ) 式比( 1 8 ) 式好。 对于问题( 1 3 ) 的任意，h o o k i 9 ，陈祖墀和钱椿霖脚独立的得到了 缸训 芈掣礁爿 9 ， 同样对于问题( 1 3 ) 的任意，吴发恩与曹林芬m 得到 舡。卅芈掣礁( 卅j i 矿i - i 卧k 训；小州舯) 他们直接证明了( 1 7 ) 式优于( 1 。9 ) 式，同时证明了( 1 1 0 ) 式优于( 1 9 ) 式。 吴发恩与曹林芬在文献【3 】中把文献【1 的结论推广到任意阶l a p l a c e 的情形。 在本文，我们将用文献 4 中的方法把( 1 2 ) 式推广到1 为任意正整数时的情形 2 2 预备知识 丘成桐说：“几何学的要旨就是对于某一类的几何对象给出一个好的描述。 ( 见 1 8 ，3 1 6 ) 通常，这意味着我们必须对于空间上的分析结构及由这些结构定 义的几何对象给出一个好的描述。在许多情形下，我们必须知道如何来形变这些 结构并且研究隶属于这种结构的几何对象的动力学。这些几何对象的描述通常是 由微分方程决定的。 2 1 黎曼流形定义 l a p l a c e 算子是一种线性算子，它是微分几何中最重要的算子。这是由于很多 重要的非线性算子在线性化后，往往是某个r i e m a n n 度量的l a p l a c e 算子。现在先 介绍一下r i e m a n n 流形 定义1 设肘是一个拓扑空间。如果m 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖， 则称拓扑空间m 是一个紧致空间。( 见文献 2 0 ) 定义2 设m 为m 维c 流形。如果在m 上存在一个( o ，2 ) 阶对称正定的c 张量 场g ，使得对于任意点p m ，切空间乙( m ) 可看作具有度量邬的欧氏向量空间， 则( m ，g ) 称为m 维c 。黎曼流形。g 称为黎曼流形m 的黎曼度量或基本张量。( 见 文献 1 9 ) 2 2l a p l a c e 算子定义 设m 是刀维紧致黎曼流形具有边界跏( 可能0 m = ) ，其度量在局部坐标 ( 五，屯，) 下的表示为d s 2 = e g v d x i x j ，其l a p l a c e 算子 = 老毒p 石毒) 其d 0 ( g 扩) = ( 岛) ，g = d e t ( g u ) 。 可知，对于欧氏空间彤的欧氏度量 ：y - 9 2 。 嘲 2 3 特征值的基本性质 黎曼流形上最基本的椭圆算子是l a p l a c e 算子，l a p l a c e 算子的谱又称特征值， 在几何中是一个重要的几何量。为了研究l a p l a c e 算子的谱问题，我们首先引述若 干熟知的事实。 2 3 1 两种边界条件 设缈c 。( m ) ，令 ；= l 伊2 + l i v 呼0 1 2 对i i i l 。而言的完备化h i l b e r t 空间是熟知的s o b o l e v 空间，i e 作- t ? ( u ) ，如果 伊巧( m ) ，其完备化的h i l b e r t 空间记为h ? ( m ) 。s o b o l e v 空间的基本理论指出， 当m 是完备黎曼流形时，研( m ) = h 1 2 ( m ) 。 另一熟知的事实是： 缈h ? ( m ) 艰有一阶r 广义导数。 当跏= 时，是作用在h 1 2 ( m ) 上的二阶椭圆型自伴算子。根据自伴算子 的谱理论，它具有离散的特征值： o = 厶 五五 ， 及相应的特征函数 仍 ， 仍= 一名仍， 仍o ，仍c 0 。( m ) 并且 仍) 组成h i l b e r t 空间h ? ( m ) 的一组正交基。 当0 m 时，为了保证是自伴的，我们必须加上一定的边界条件，通常是 两类条件： 4 ( a ) d i r i c h l e t 边界条件：此时 d o m a = h ? ( m ) 其相应的特征值为 o 五乃五( 注意 的重数为1 ) ， 及特征函数 仍) 仍= 一乃仍， 够i 谢= 0 ，仍c 。( m ) 仍 组成日? ( m ) 的一组正交基。 ( b ) n e u m a n n 边界条件：此时 d o m a = h ? ( m ) 相应的特征值为： 0 = 凡 丑s 五五 及特征函数 仍 仍= 一以僻， 乱- 0 ，仍c 印) 仍 组成h ? ( m ) 的一组正交基。其中ns 3 泺a m 的外法线方向。 2 3 2 极小极大原理 在的特征值理论中，以下的极小极大原理有基本的作用。 极小极大原理： 为了简便起见，我们记空间h 为 ( 1 ) a 膨= ， 日= 厂? ( m ) ll 厂= 0 ( 2 ) a m ，d 条件 0 h = 月? ( m ) ( 3 ) 跏，n 条件 日= 厂研( m ) ll = o ) 则我们可以找到一组可数正交基 z ， 馘= 一丑z ，z c ”( m ) ， o 0 ，d 表 示m 的直径，则 事 2 4 2 特征值的第二个研究方向 谱研究的第二个方面是对一般的流形用极小极大原理估计开头几个特征值， 特别是 ，c h e n g 1 给出了只依赖于流形的直径及r i c c i 曲率的任一个下界的a 的 上界。后来，l i 及y a u 1 2 1 得到了丑的与同样的量有关的下界。z h o n g 和y a n g 邮1 得 到了下界的最优估计。特征值估计的一个侧面是给出相邻两特征值之空隙的尽可 能精确的估计。 估计特征值的空隙是个有趣且重要的问题。例如：可知a ( 5 2 ) 的重数不超过3 ， ( 见文献 1 4 】) 。因此要估计五一 。对于彤中的凸域q ，在d i r i c h l e t 边值条件下 有a 友。在文献 1 5 中，1 s i n g e r , w a n g ，y a u 及y a u 对于凸域的五一 给出了下界 估计。其证明的基本想法是： 设石及正是开始的两个特征值函数，因为q 凸，所以函数”= f , a 是有定义 的且直到边界上都是光滑的。令 s = l v u l 2 + 允( 一“) 2 ， 此处五= 五一丑及= s u p u ，由极大值原理，不难看出 g s u p g = s u p 2 ( , u - u ) 2 这蕴含 i v u + 2 ( s u p 材一“) 2 名 ( s u p “一i n f ”2 ( s u p “一 ) 2 因此 将此不等式沿着连结u 达到极大值与极小值的线段积分，就得到 8 五一 = 五鲁 其中d 是q 的直径。 在1 9 5 6 年，p a y n e p o l y a w e i n b e r g e r l 5 1 给出了以+ l 一五的上界称为经典结果。其 内容是： 设d 是尺”中的有界区域，五是d 的第七个特征值( d i r i c h l e t 条件) ，则下述 估计成立 七 4 乃 五+ l - 五 证明：根据极小极大原理，如果咋是相应于丑的满足d i r i c h l e t 边界条件的特 征函数，则 令 不失一般性，我们可以假定u 。是正交规格化的，即 上叩，= 岛 现在我们来选取适当的试测函数伊。任意固定f ( 1 f k ) ，取一待定函数g ， 弋1 够2 f 一乙“， 显然仍k = o 。条件n 咋= o 给出 o ： g u 以一圭勺p 以 = i 斟p c 一口i ， 所以a e = a w ， 9 吐l 一 缈一严 型驴小一 ff-o 刖，群m ，瑟 ，_-lj、_ii【 = 五 开= l 跳仍一l = 扣，仍 j 1 v 仍1 2 = 一n 仍 因为 a i y u j l d i 仍= a g u f + 2 v g v 坼一a u g j = 岘+ 2 v u f 一丑巩+ , 兄j a i j u ， 所以 i v 仍1 2 = 一g 够吩一2 v g v 仍+ 以g 慨 其中 一2 仍v 吩= 一2 g v 吩+ 2 p ，v 嘶 军( 一五1 风2w ) + 否删叩，) 唿 告p 瓢2 一勺p ，叶 1一 j ， 所以 j 1 v 仍1 2 = ( 一心“， ) + j 1 p 冶g + ，j p ；! 姆2 一p ，叶g + 五虹仍 f ， h g + 三p ? 卜纠v g l 2 + 丑弦 弦i 1 2 + 以肪 所以 五r 弦= f u ；l v g l 2 弦 i 玟g = g 。( x ) = q 薯，口；= 1 ，则g 满足 i = l l o 9 2 一 j g + 气i 影碱 ” p v ， 口 等式 得到 衄= o ，i l = 1 于是 五+ 一- 钊谤=缱刚i 一竺 窈矿一云防 其中= ( x ) u ，一“，所以 彳= 后= 一2 l 纥( 唿v “，) _ - - 2 z 睁考 对口= ( 口l 一，) s 川进行平均。取规格化的积分。d a = l ，则由s c h w a r z 不 瓢( j l 等) i ( 主= 一军工，。 l 彳) - 睁考 扯科阻 利用熟知的事实 f1 rl 一，2p 如口，哆51 咒 【o ，_ ，e ，。l 可知 钆1 2 _ 茜。 i yf 三 争i nn 钆、1 2 一茜 f ，亟、1 2 i = i ! n 月v “ 五p ； = j 二一 以 1 1 ， 卜 等孚军从军死 因为v 口s ”1 ，( 五+ 。一五) 元七，所以 ( 疋+ l 一以) ll 统后 且有 笙 盟生 4 一刀 ( 五+ 。一以) 4 丑 即五+ 广五 以厅 证毕。 可见其基本证明方法是由极小极大值原理出发来证明的。 显然对于特征值的认识本质地依赖于对特征函数的认识。特征函数的基本部 分是其零点集合，它叫做结点集。 2 4 3 特征值与特征函数的关系 下： 陈祖墀和钱椿林在文献 2 中找到了特征值和特征函数之间的关系，结果如 设d 是r ”中的有界区域，五是d 的第k 个特征值( d i r i c h l e t 条件) ，坼是相 应明特，仕幽双，则 ( 扩“f 1 2 出) 移，2 ， 证明：首先我们证明不等式 ( 胪( 胪，l ，加扛 当七= l 时 刚2 d x = 一坼出 ( “出) ( ( 坼) 2 出) 1 2 ：( 妒“f 出) 假设当k 一1 时不等式成立。即 ( l i v - , i 2 出) z 则当为k 时 ( j l l v k u , i 2 出) l 降，1 2 出 = e v 卜1 坼t v 7 k + l 咋甜 ( 胪一- 必( i i v k + l u1 2 出) ( l v t 坼1 2 出厂一( l i v t + - 吩1 2 出) 因此 ( 胪“f 出) ( 胪+ t 咋兀1 卢啦， 又由于 n 1 2 d x = 以 所以 ( j lv k u ， 2 出) z ( 妒，赡1 9 ( 护彳：矽 即 ( h 1 2 出) 移，2 ， 证毕。 1 3 3 定理1 的证明 为了证明定理1 ，首先先来找出一些基本条件。 设d 为n 维e u c l i d 空间r ”的个有界区域，毛，口= 1 ，以是r ”上的坐标函数， 咋，i = l , - - , k 是对应于特征值以的幺正特征函数，则有 o 冯乃以，( 3 1 ) 其中咋满足 ( 一) 7 吩= 名坼， 在d 中， 蚝= 鲁一祭- 0 在扣上， ( 3 2 ) f , , , u j = 4 j 。 、i ，j 。 3 1 试测函数及其性质 其中 定义试测函数 = l 吃叩， i = 1 ，k ；口= 1 ，n 根据特征函数的基本性质，我们有 = x , ，u i - 喜a 。， = 如一喜( 脚蚋) 户 = 坼吩一妻( l w ，。坼吩) = 吩l 嘶叶 1 4 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ” 口一矿 口 。闩 一 坼矗 = 由特征值的极小极大原理 五+ i k ( 一) 7 j!；!一 肛 d 由归纳法可证 ( 一) 7 ( k ) = 矗( 一) 7 吩一2 ，( - ) 卜坼口 其帆= 薏。利用( 3 7 ) 式得 k 吩( - ) 卜1 ，口 d = n ，口( 一) 卜1 ( 矗) d = n ，口 矗( 一) 卜1 坼一2 ( ，_ 1 ) ( 一) 卜2 咋，。) = 一p ， 矗( 一) 卜1 坼口+ ( 一) 卜1 坼一2 ( ，一1 ) ( 一) 卜2 。船 ( - ) 卜1 吩 口- ( 一) 卜1 d 2 k 坼( 一) 卜1 口 d 吩+ 2 ( 1 - 1 ) j u ，( - ) 卜2 坼艘 d = 一p 卜) 卜1 吩+ 2 ( ) p ) 卜2 ，甜 dd 由( 3 5 ) 式 k ( 一) 7 = p 小“卜一 d l甜，) = 乒h _ ( - ) 7 (吼 ：k 矗( 一) 1u t - 2 l ( 一) h 口一 d l = 肛卜巾“一一 口孑( 一) ，“， j 1 a , p x ，u ， j 1 5 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 川 闩 芦 川 = 肛 五h 一 七 吩) 2 z 乒( 耐1 一驴寺揪 则由( 3 6 ) 式可得 五+ 。坛 d 又因为 - 2 1 k ( 一) 卜1 。 d - 2 1 忆( 一) 卜1 吩。口 d 。( 一) 卜1 吩 d = 一舭) 卜1 吨 d 一 = 一 ( 一) 卜1 口 所以由( 3 3 ) 式和( 3 8 ) 式可知 2 忆( - ) 卜1 吩，口 d ：2 一 dl。u j ( - ，h 。 = 一 于，( - a i i t - lu i _ 2 ( ，一，) ，( 一1 - 2u i a r a ) + 2 = - f u ，( 一) 卜1 d 其中 “，+ 2 ( 1 - 1 ) f u ，( 一) 卜2 们+ 2 譬= i n ，( 一) 卜1 “似 d = n ，口( 一) 卜1 坼 d = 一乒， ( 一) 卜1 坼 ，。 = 一p 小) 卜1 ，口 d = 一鬈 又由( 3 9 ) 式，有 d 1 6 七 笛 = l 吃。 ( 3 9 ) 闰 磕 rjd 、- ， 丑 一 +五 ， 闩 纠 3 2v 的引入 g i u i ( 一) 1 - 1u i _ 2 ( ，一1 ) 卜，( 一) - 2u i , c t a 一2 ，圭够( 3 1 0 ) l ddj j = j 令( 见文献 2 】) r k 陋， v ： ，h 、 iv i 丁l ， 【 l 同时令 4 = 五+ 。一五， k 为偶数， k 为奇数 哆= - 2 1 k ( - ) 卜1 矿 d 3 2 1v 引入后所得结论 我们有下面的结论成立，即 名= p ，( - a ) i u i d = j 1 v 7 “f 1 2 d 证明：当，= 1 时 i du i ( - - a ) u i 口 j l 嘴， v 吩1 2 假设当，= k 时成立，即 f o u ，( 一) 吩= i v 坼1 2 则当，= k + 1 时 i d u i ( 一) “1 1 7 口口 l ( 一) 坼( 一) 坼 “伽( 一) “。( 一) 口 y l o l v 咋，。1 2 所以该结论成立。即 名= i u ，( 一) 7 坼 d = j 1 v 吖 d 结论证毕。 3 2 2 4 ，哆引入后所得的初级结论 因为 由 = ， n ( 一) 卜1 “, - 2 ( t - 1 ) f u ) 卜2 - 2 1 t o d j = ， j 1 v 卜1 嘶1 2 2 ( ，一1 ) f u ，( 一) 卜2 ，口。 一2 ， t od、 j f ld 有 1 8 七 以孑够 j = l 量 口孑够 ，= l ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 2 吩 “ v 口 = 主p 扛( 一 ，= id ：kp ，屹( 一) 7 甜 产jd ：圭k , a j u i u j - - 2 = ld = 2 a 孑- 2 l 譬 j = lj = j 所以 ( 4 一乃) 口j 。= - 2 j = i 即 ( 4 4 ) 口孑= 一2 ，写 ，= l，= l 3 3 证明定理1 由s c h w a r t z 不等式 4 砰 = 4 f = 4 f 卜肛( 耐1 口 乏，外酬吩， 射2 4 f 肛j 1 ( 一) h dd l 4 1 2 哆 = 4 1 2 畔 所以 ( - ) 讨 l d f ( 耐1 讨 l d ) 2 ，口 一2 丑k 够j 2 + 圭( 够) 2 产i卢l j 4 ( 一1 - 1 i a 2 一 l d( 够) 0 1 9 譬甜坛“。 ( 3 1 3 ) 一 t f 伽产 纠 订州2 由l a p l a c e 算子的自伴性 = 八_ ) ，一，。( _ y 一 d = i n 抽( 一) 2 卜2 ，口 d = 一帅以) 2 卜2 叫口 d = 一p ，( - ) 2 卜2 d 因为 4 = 五+ 。一4 所以 ( 4 4 ) = o f ， 则有 4 f ( 4 f 一4 ) 2 = 艺( 巧) 2 = 彳( 4 - a j ) 在( 3 1 4 ) 式两边同乘以4 ，并对f ，口求和得 叫2 卅24 ( 够) 2 i ，j a b ( - ) 2 h _ p 卜) 2 卜1 吩一 p f ( _ ) 2 卜1 吩一 d 4 ( 4 4 ) 2 ( 口孑) 2 f 口 4 2 ( 4 4 ) ( ) 2 l ，口 群( 4 4 ) ( ) 2 ，口 又由l a p l a c e 算子的自伴性，有 n ( 一) 2 卜1 坼 d ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 一 y 一 ，、 d p 4 一q4 2 1 j 口坼 一 y 一 ，j 虻d “ 一 y 一 ， d = 且一) 7 吩( - ) ，吩 d = j 五吩( 一) 卜。咋 d 则 4 2 哆 4 1 2 4 五j v 卜1 又因为 彳q = 群叫v h 吩1 2 2 ( 1 一 = 彳十旷1 坼1 2 + 2 ( 1 1 ld 1 2 一4 2 ( 4 4 ) ( a ) 2 ，口 ) 弘( 一1 - 2u i , o ：a 卜d _ 1 ) “f - 荟4 2 (d j j ，口 所以由( 3 18 ) 式和( 3 1 9 ) 式得 4 2 m + 2 1 2 ) j 1 v h u , 1 2 一 4 1 2 4 名v 卜1 一l 综上则有 a 2 il ( n + 2 1 - 2 ) 即 圭i = 1 ( 一名) k 1 定理证毕。 4 2 够 ， j ，口 4 4 ) ( ) 2 彳( 4 4 ) ( 口孑) 2 d，。口 ”，2 4 2 ( 4 一彳从口孑) 2 f 。口 一( ，+ 4 1 2 y j - 栉+ 2 1 2) 丑旷1 拍 2 1 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 2 m 卜 v 几川d 磊 = 2 蚱 - l v 且d 44 2 坼 l v n川d 4 结论 由以上的证明，我们有f 面的结论： 设丑是d i r i c h l e t 问题 i ( _ ) 。“= 2 u ， 在d 中， 1 肛磊一一= 矿a - i u _ o ，：在a d _ j 2 的第i 个特征值，则有 喜( 饥训卜一( i 4 , 1 毋v - u , 1 2 虬 其中，是任意固定的正整数，刀是边界a d 的外法向量该不等式当，：1 时为杨 洪苍不等式，所以该式是杨洪苍不等式的推广。 该结论存在的一个缺陷是它还含有特征函数的积分，即j 1 v i - l u i l 2 ，使得我们不 能得到一个更加确切的结果。所以该问题有待进一步研究。d 参考文献 【l 】c h e n gqm ，y a n ghc i n e q u a l i t i e sf o re i g e n v a l u e so fac l a m p e dp l a t ep r o b l e m t r a n s a m e l - m a t hs o c , 2 0 0 5 ，3 5 8 ( 6 ) ：2 6 2 5 - 2 6 3 5 【2 】c h e nzc ，q i a ncl e s t i m a t e sf o rd i s c r e t es p e c t r u mo fl a p l a c i a no p e r a t o rw i t ha n yo r d e r jc h i n au n i vs c it e c h ，19 9 0 , 2 0 ：2 5 9 2 6 6 【3 】吴发恩，曹林芬任意阶l a p l a c e 算子的特征值估计中国科学a 辑数学，2 0 0 7 ，3 7 ( 3 ) ：1 - 9 【4 】y a n ghc a ne s t i m a t eo ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e nc o n s e c u t i v ee i g e n v a l u e s p r e p r i n ti cl 9 1 1 6 0o fi c t p , t r i e s t e ，1 9 9 1 【5 】p a y n ele ，p o l y ag , w e i n b e r g e rheo nt h er a t i oo fc o n s e c u t i v ee i g e n v a l u e s jm a t ha n d p h ) r s ，1 9 5 6 ，3 5 ：2 8 9 2 9 8 【6 】h i l egn ，y c hrz i n e q u a l i t i e sf o rc i g c n v a l u e so ft h eb i h a r m o n i co p e r a t o r p a c i f i cjm a - t h ，1 9 8 4 ，l1 2 ：11 5 - 1 3 3 【7 】h i l egn ，p r o t t e rmh i n e q u a l i t i e sf o re i g e n v a l u e so ft h el a p l a c i a n i n d i a n au n i vm a t h j ，19 8 0 , 2 9 ：5 2 3 5 2 8 【8 】a s h b a u g hms u n i v e r s a le i g e n v a l u eb o u n d so fp a y n e - p o l y a - w e i n b e r g e r 1 n ：h i l e - p r o t t e r , y - a n ghc ，e d s p r o ci n d i a na c a ds om a t hs c i , v o l112 ，2 0 0 2 ：3 - 3 0 【9 】h o o ksm d o m a i ni n d e p e n d e n tu p p e rb o u n d sf o re i g e n v a l u e so fe l l i p t i co p e r a t o r t r a n s a l n e rm a t hs o c ，19 9 0 ，318 ：6 15 6 4 2 【1 0 】a s h b a u g hm s , b e n g u r i ar d as h a r pb o u n df o r t h er a t i o no ft h e f i r s tt w oe i g e n v a l u e s o fd i r i c h l e tl a p l a c i a n sa n de x t e n s i o n s , a n no fm a t h 1 3 5 ( 1 9 9 2 ) ：6 0 1 - 6 2 8 【l l 】c h e n gs y ，e i g e n v a l u e sc o m p a r i s o nt h e o r e m sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，m a t h z e i t ，1 4 3 ( 1 9 7 5 ) ：2 8 9 - 2 9 3 【l2 】 “p a n dy a us t ，e i g e n v a l u e so fac o m p a c t