（基础数学专业论文）中心构型及其一些相关问题.pdf

摘要 中心构型是天体力学中的重要概念，在牛顿体问题中，最为简单的一类 运动是在旋转和数量积之下为常量，并且每一个体运行开普勒轨道。只有部分 特殊的构型允许这样的运动。w i n t n e r 称其为中心构型。有关中心构型的研究对 于n 体问题的研究起着重要的作用。关于中心构型的性质，应用以及分类等文 章很多。本文对这一方面的研究历史和现状进行了简单的回顾与总结。第一章 节简单介绍了n 体问题的历史，中心构型的定义及其重要性。为了更直观的理 解，第二章节列举了一些经典的实例，并且简要介绍了中心构型在对木星环的 研究中的应用。第三章节给出了中心构型相关的部分性质。尽管在给定质量矢 量下中心构型的个数问题仍在研究之中，我们仍可以在一些特殊的条件下得出 部分结论。在特殊情形下，平面四体中心构型的形状特征也具有一定对称性。 已有的结论表明了对称性和质点的质量是紧密相关的。此外，本节还简单的概 括了有关稳定性的一些结果。本文的最后一部分，对现在仍在解决中的部分问 题进行了简要的介绍。中心构型的个数问题再一次被提及，另外，一个逆向的 问题及其进展也有介绍。 关键词中心构型，n 体问题，有限性，对称性，稳定性，未决问题 i v a b s t r a c t c e n t r a lc o n f i g u r a t i o ni sa l li m p o r t a n tc o n c e p ti nc e l e s t i a lm e c h a n i c s i nt h e n e w t o n i a nn b o d yp r o b l e m ，t h es i m p l e s tp o s s i b l em o t i o n sa r es u c ht h a tt h ec o i l - f i g u r a t i o ni sc o n s t a n tu pt or o t a t i o na n ds c a l i n g ，a n dt h a te a c hb o d yd e s c r i b e sa k e p l e r i a no r b i t o m ys o m es p e c i a lc o n f i g u r a t i o n so fp a r t i c l e sa r ea l l o w e di ns u c h m o t i o n s w i n t n e rc a l l e dt h e mc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s ac o m p l e t eu n d e r s t a n d i n g o ft h en a t u r eo fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o ni so ff u n d a m e n t a li m p o r t a n c et ot h en b o d y p r o b l e mo fc e l e s t i a lm e c h a n i c s m a n yp a p e r sa r ed e a l i n gw i t h t h ep r o p e r t i e s ，a p - p h c a t i o n sa n dc l a s s i f i c a t i o n so fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s i nt h i st h e s i s ，、阳b r i e f l y r e v i e wt h eh i s t o r ya n dc u r r e n tr e s e a r c h e si nt h e s ea r e a s c h a p t e r1i n t r o d u c e s t h eh i s t o r yo fn b o d yp r o b l e m si nb r i e f ，g i v e sb a s i cd e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n s ， a n dp o i n t so u tt h ei m p o r t a n c eo fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s s e v e r a lc l a s s i c a le x a m - p l e sa x eg i v e ni nc h a p t e r2t om a k et h eu n d e r s t a n d i n go fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s m o r ee x p l i c i t l y a ns i m p l ea p p l i c a t i o no fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n st ot h es t u d yo f t h er i n g so fs a t u r ni sa l s oi n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，r e s u l t sa b o u tt h ep r o p e r t i e s o fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s 甜em a i n l yd i s c u s s e d t h ef i n i t e n e s so fc l a s s e so fc e n t r a l c o n f i g u r a t i o n so fg i v e nm a s sv e c t o ri ss t i l lu n d e rr e s e a r c h ，y e ts e v e r a lr e s u l t sc a n b ec o n c l u d e di ns p e c i a lc a s e s s y m m e t r yo fp l a n a rf o u r - b o d yc e n t r a lc o n f i g u r a - t i o 璐i sd i s c u s s e du n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s i tt u r n so u tt h a ts y m m e t r y i sc l o s e l y r e l a t e dt ot h em a s so ft h ep a r t i c l e s f u r t h e r m o r e ，s o m er e s u l t sa b o u tt h es t a b i l i t y a x el i s t e d f i n a l l yi nt h el a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，w ei n t r o d u c es o m eo ft h eo p e n q u e s t i o n si nt h i sa r e a t h ef i n i t e n e s so fc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s i so n c ea g a i nt a l k e d a n dt h ei n v e r s ep r o b l e mi sb r i e f l yi n t r o d u c e d k e y w o r d s c e n t r a lc o n f i g u r a t i o n ，n = b o d yp r o b l e m ，f i n i t e n e s s ，s y m m e t r y , s t a b i l i t y , o p e nq u e s t i o n v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：叶恒 2 0 0 9 年5 月1 2 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ”q h 一t ”n w 。“_ ”mn ”一j f _ h q 、一 j 、_ m jn 内部5 年( 最长5 年，可少 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可 机密2 0 年( 最长2 0 年，可 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：叶恒 2 0 0 9 年5 月1 2 日l- ，j - n 1i n t r o d u c t i o u sa n db a s l cd e n n l t l o n s 一 1n- 1 1ab r i e fh i s t o r yo fn - b o d yp r o b l e m s t h en b o d yp r o b l e mi sas y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a td e s c r i b e s t h em o t i o no fn p o i n tm a s s e so rp a r t i c l e sm o v i n gu n d e rn e w t o n sl a w so fm o t i o n ， w h e r et h eo n l yf o r c e sa c t i n ga r et h em u t u a lg r a v i t a t i o n a la t t r a c t i o n s t h ep r o b l e m i ss o l v e df o rn = 2b e c a u s ei tc a nb er e d u c e dt ot h ek e p l e rp r o b l e mw h i c hi sa s y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a td e s c r i b e st h em o t i o no fap a r t i c l e m o v i n gu n d e rt h eg r a v i t a t i o n a la t t r a c t i o no fas e c o n dp a r t i c l ef i x e da tt h eo r i g i n t h es o l u t i o n so ft h ek e p l e rp r o b l e ma r ec o n i cs e c t i o n s c i r c l e s ，e l l i p s e s ，p a r a b o l a s ， a n dh y p e r b o l a s n e w t o n sf o r m u l a t i o no fh i sl a w so fm o t i o na n dh i sl a wo fg r a v i t yw a so n eo f t h eg r e a t e s ts c i e n t i f i ca c c o m p l i s h m e n t so fa l lt i m e s w i t ht h e s es i m p l ep r i n c i p l e s h ew a sa b l et oc o m p l e t e l ys o l v et h et w o - b o d yp r o b l e md e r i v i n gk e p l e r sl a w s d e s c r i b i n gt h em o t i o no ft h ep l a n e tm a r s t ot h ef i r s ta p p r o x i m a t i o nt h eo r b i to f m a r si sas o l u t i o no ft h et w o - b o d yp r o b l e mw h e r eo n l yt h eg r a v i t a t i o n a lf o r c e so f t h es a l la n dm a r sa r et a k e ni n t oa c c o u n ta n dt h i sp r o b l e mc a nb er e d u c e dt ot h e k e p l e rp r o b l e m u s i n gap e r t u r b a t i o na n a l y s i sh ew a sa b l ee s t i m a t es o m eo ft h e h i g h e ro r d e re f f e c t sa n d s oe x p l a i ns o m eo ft h ea n o m a l i e si nm a r so r b i t n e w t o nn e x tt u r n e dt ot h ep r o b l e mo fd e s c r i b i n gt h eo r b i to ft h em o o n t h i s i sah a r d e rp r o b l e ms i n c et h ef i r s ta p p r o x i m a t i o ns h o u l db eat h r e e - b o d yp r o b l e m t h ee a r t h ，m o o n ，a n ds u n t o d a yt h eo r b i to ft h em o o ni so b t a i n e de i t h e rb y n u m e r i c a li n t e g r a t i o no rb ya s y m p t o t i cs e r i e se x p a n s i o n i t i sn o ww i d e l yb e l i e v e dt h a tt h en b o d yp r o b l e mf o rn 3c a n n o tb e s o l v e di nt h es a m es e n s ea st h et w o - b o d yp r o b l e m s i n c en e w t o n st i m et h e r eh a v e b e e nt h o u s a n d so fp a p e r sw r i t t e no nt h en b o d yp r o b l e m t h e s ep a p e r sc o n t a i n s p e c i a ls o l u t i o n s ，a s y m p t o t i ce s t i m a t e s ，i n f o r m a t i o na b o u tc o l l i s i o n ，t h ee x i s t e n c e a n dn o n - e x i s t e n c eo fi n t e g r a l s ，s e r i e ss o l u t i o n s ，n o n - c o l l i s i o ns i n g u l a r i t i e s ，e t c h o w e v e r ，m a n yn a t u r a lq u e s t i o n si nn b o d yp r o b l e ma r ed i f f i c u l tt os o l v ew i t h c u r r e n tt h e o r y , e s p e c i a l l ya st h ev a l u eo fni si n c r e a s e d 1 2b a s i cd e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n s t h ef i r s tc o m p l e t em a t h e m a t i c a lf o r m u l a t i o no ft h ec o n f i g u r a t i o no ft h es o l a x s y s t e ma p p e a r e di nn e w t o n sp r i n c i p i a s i n c eg r a v i t yw a sr e s p o n s i b l ef o rt h e m o t i o no fp l a n e t sa n ds t a r s ，n e w t o nh a dt oe x p r e s sg r a v i t a t i o n a li n t e r a c t i o n si n t e r m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o n s i d e rn p o i n tp a r t i c l e sw i t hp o s i t i v em a s s e sm f a n dp o s i t i o n s 劬r d 0 = 1 ，) ，w h e r ed i st h ed i m e n s i o no ft h e s p a c ew h e r e t h ep a r t i c l e sl i v e t h em o t i o no ft h ep a r t i c l e s ，w h i c hi s g o v e r n e db yn e w t o n ，s g r a v i t a t i o n a ll a w ，c a nb es t a t e da s m j 鸥= 幻句 w h e r e q = ( q l ，q n ) a n du ( q ) i st h en e w t o n i a np o t e n t i a l ， )-黾n厩mkmjl 詹 f 0b ea n yt w og i v e nr e a ln u m b e r s l e tq = ( q l ，q 2 ，( t 3 ，q 4 ) ( r 2 ) 4b eac o n v e xn o n c o l l i n e a rc e n t r a lc o n f i g u r a t i o nw i t h q 1a n dq 2a 8w e l l q 3a n dq 4b e i n go p p o s i t ev e r t i c e sr e s p e c t i v e l yo fgf o rm a s s e s ( p ，p ，o l ，q ) s u p p o s e r 1 2 r 3 4 t h e nt h ec o n f i g u r a t i o nqm u s tp o s s e s sas y m m e t r y , a n dt h e nf o m sak i t e i nl a t t e rr e m a r k s ，b yu s i n gt h ep r o p o s i t i o n sb e l o w ，i ti sp r o v e dt h a tt h ek i t e qi nt h et h e o r e ma b o v ei sa c t u a l l yar h o m b u s r e m a r k3 4 。( l o n g , s u n ，1 8 1 ) l e t8 o l 0b ea n yt w og i v e nr e a ln u m b e r s t h e r ee 疵s t so n ea n do n l yo n er h o m b u sc e n t r a lc o n f i g u r a t i o nq = ( q l ，q 2 ，q 3 ，q a ) ( r 2 ) 4w i t hm a s s e s ( p ，p ，q ，口) ，i nw h i c hq la n dq 2a 8w e l la 8q 3a n d q aa r eo p p o s i t e v e r t i c e sr e s p e c t i v e l y r e m a r k3 5 ( l o n g , s u n 。嘲) f o ra n yo ta n d8 0 ，t h e r ee 觑s t so n l yo n ec o n v e x k i t ec e n t r a lc o n f i g u r a t i o nq = ( q l ，q 2 ，q 3 ，q a ) ( r 2 ) 4 加rm a s s e s ( 1 ，1 ，q ，) s u c h t h a tq 1a n dq 2