（基础数学专业论文）互反代数整数的最大模的最小值的相关研究.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 互反代数整数的最大模的最小值的相关研究 基础数学专业硕士研究生李美霞 指导老师吴强教授 摘要 多项式的m a h l e r 测度指的是它的所有模大于l 的根与其首项系数的乘积的绝 对值而代数整数的最大模问题是与m a h l e r 测度相关的计算数论中的又一大课题 代数整数q 的最大模同指的是它的所有共轭根的模的最大值，又被形象地称为代 数整数的房子即对d 次代数整数口，口1 = a ，口2 ，口d 是它的所有共轭根， 则同= m a x l ( 学垆 与一个代数整数a 的m a h l e r 测度有关的是q 的最大模令q 是一个次数为d 的代数整数，q l = 啦，口d 是它的所有共轭根，且它的极小多项式是 p = 6 0 x d + 6 l x d 一1 + + b l x + k 其中6 0 = 1 ，我们把口的共轭根的模的最大值称为q 的房子，通常记作 同2 盟阱 s c h i n e z e l 和z a s s e n h a u s 在1 9 6 5 年关于代数整数的房子提出了他们的猜想【5 】： 存在一个常数c l 0 ，使得对非单位根的d 次代数整数口有 同1 + c l d 。 这是一个还未被完全解决的问题为了解决这一问题，不少学者从研究代数整数的 最小房子入手，取得了一定的进展 对次数为d 的代数整数d ，如果它的根的模大于l 的个数口1 ，那么我们有下 面的不等式成立： 、m ( q ) m ( 口) 吾同m ( a ) 在1 9 6 5 年，s c h i n z e l 和z 8 u s s e n h a u s 【5 】证明了下面的不等式： 如果q 0 是非单位根的代数整数，且它的共轭根中有2 s 个虚根，那么 同 1 + 4 一。 然而，他们猜测一个更好的界应该可以找到： 同1 + c d 其中c 为大于零的常数事实上，由于同m ( q ) 1 d 其中d 为a 的次数，于是我 们有 同1 + 掣 2 西南大学硕士学位论文 第1 章绪论 因此，如果m ( o ) c o 1 则同1 + 丝笋也就是说，如果找到了大于1 的m a h l e r 测度的下界，s c h i n e z e l 和z a s s e n h a u s 的猜想就得到了肯定 对于最小房子问题的研究，在1 9 8 5 年b 0 y d 计算出了次数ds1 2 的代数整数的 最小房子( 如下表) ，并且发现对于固定次数的代数整数，其房子最小的都不是互反 的下表中m ( d ) 为d 次的代数整数的最小房子，其极小多项式为功( z ) ，u 为在单 位圆外的共轭根的个数，岛= 1 3 2 4 7 为z 3 一z 一1 的实根 b 0 y d 从他的计算结果中得出以下猜想： ( 1 ) 最小房子的代数整数总是非互反的 ( 2 ) 如果次数d = 3 七那么最小房子的代数整数的极小多项式是z 3 七+ z 驰一1 ( 或z 驰一z 驰一1 ) ( 3 ) 当次数d _ 。o 时，具有最小房子的代数整数口在单位圆外的共轭根的个 数 一；d 2 0 0 7 年，g e o r g e sr h i n 与吴强【9 】通过改进计算方法，把代数整数的最小房子计 算到了2 8 次，并且发现其结果满足b 0 y d 的前两条猜想 b 0 y d 应用牛顿公式还把互反代数整数的最小房子计算到了1 6 次，结果见下 表：其中m r ( d ) 为d 次互反代数整数的最小房子，凡( z ) 为其极小多项式， 为单 位圆外共轭根的个数 他在计算中用到的主要方法是找出从1 到3 d 的s 毛的界然后应用牛顿公式， 3 归纳得出系数巩的范围对固定的次数d ，他给定界b ，使得存在d 次的代数整数 口满足同b 如果同b ，显然有i s 七i5 扭知他应用这些界和牛顿公式： s 七+ s 七一1 6 1 + + s l 巩一l + 七巩= 0 归纳给出系数巩的范围，1 七3 d 然后由这些系数构成的所有d 次且同b 的互反多项式组成一个集合死，再从中找出具有最小最大模的互反多项式 在我们的工作中，我们沿用b 0 y d 的思想，结合辅助函数、半无限线性规划，通 过改进r h i n 与吴f 9 1 的计算方法，把互反代数整数的最小房子计算到了2 6 次在第二 章里，我们将会介绍本项研究中所涉及到的一些概念及相应的性质我们将在第三 章中介绍一种计算数论中常用的算法一一l l l 算法1 6 1 ，它能够帮助我们给出在构 造辅助函数中用到的多项式q f 关于互反代数整数的最小房子的研究，我们将在 第四章中详细介绍，主要有辅助函数的构造，构造辅助函数用到的多项式以及具有 较小房子的互反多项式等方面的研究 4 西南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 第2 章基础知识 2 1多项式和代数整数 定义2 1 如果数域k 上次数1 的多项式p ( z ) 不能表示成数域p 上的两 个次数比尸( z ) 低的多项式的乘积，则称尸 ) 为数域p 上的不可约多项式 定理2 2 每个次数l 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次 因式的乘积，因此复系数多项式具有标准分解式 ，( z ) = 口n ( z q 1 ) h ( z q 2 ) 。2 ( z q 。) “ 其中口l ，a 2 ，q 。是不同的复数，2 l ，f 2 ，l 是正整数 本文主要是针对整系数多项式进行讨论的，故下面着重介绍与整系数多项式 相关的概念及性质定理 定理2 3 ( e i s e n s t e i n 判别法) 设，( z ) = 口n z n + 口n l 矿一1 + + q l z + n o 是一 个整系数多项式，如果存在一个素数p ，使得 j p 十口仃 2 p i 口n 一1 ，n n 一2 ，n o 3 p 2 】【吣 那么，( z ) 在有理数域上是不可约的 我们把多项式扩一1 = 0 的根称为n 次单位根如果q 是一个佗次单位根， 且q 不是一个更低次的单位根，则我们称q 为n 次本原单位根 设口l ，勉，( n ) 是全体几次本原单位根，将妒m ) 次多项式 圣n ( z ) = ( z q 1 ) ( z q 2 ) ( z q 妒( n ) ) 称为n 次分圆多项式，其中妒( n ) 是n 的欧拉函数 定理2 4 分圆多项式圣n ( z ) 是不可约的整系数多项式 定义2 5 对礼次的整系数多项式p ，如果满足 z n p ( 1 z ) = 尸( z ) 那么我们称之为互反多项式显然不可约的互反多项式都是偶数次的 5 西南大学硕士学位论文 2 1 多项式和代数整数 另外，对d 次的整系数多项式p = 口d 一+ n d 一1 z d 一1 + + n l z + n o ，我们还定 义了它的另外两个重要的测度，即它的高度和长度，它们分别为 d 日( p ) 2 麟，三( p ) = 川 七= 0 定义2 6 如果口是一个有理系数多项式 z n + 口l z 砖一1 + + 口n l z + n n ( 1 ) 的根，则称q 为一个代数数若多项式( 1 ) 的系数都是整数，则称口为一个代数整 数我们把a 所满足的次数最低的多项式称为q 的极小多项式，极小多项式的次 数称为q 的次数 引理2 7 设a 是代数数，( z ) 为q 在q 上的极小多项式，则q 为代数整数 的充分必要条件是，( z ) z 性质2 8 他数整数的性质) 以j 若q 和p 为代数整数，则q + p ，口一p 与q p 也为代数整数 偿，若一个代数整数为有理数，则它是普通整数 p ) 若口为一个代数整数，则其共轭根也是代数整数 定义2 9 如果代数整数q 的极小多项式是互反的，则称代数整数a 是互反 的 定义2 1 0 令尸( z ) = 口。一+ a l z d 一1 + + 口d = 知兀耋l ( z 一啦) 是非零复系 数多项式，则多项式尸的m a h l e r 测度为： m ( 尸) = nm l 口1 2 l 设代数数q 的极小多项式为只，则q 的m a h l e r 测度m ( q ) 指得是p 口 的m a h l e r 测度，其中q 的次数为d ，q = q l ，q 2 ，蚴为q 的所有共轭根 与一个代数整数q 的m a h l e r 测度有关的是q 的最大模 定义2 1 1 令口是一个次数为d 的代数整数，口l = 口，q 2 ，锄是它的所 有共轭根，且它的极小多项式是 p = 6 0 z d + 6 l z d 一1 + + 6 d 一1 z + 6 d 其中6 0 = 1 ，我们把口的共轭根的模的最大值称为口的房子，通常记作 同。要m 6 西南大学硕士学位论文 2 2 半无限线性规划法 定义2 1 2 如果d 次的代数整数a 为大于1 的实数，且对它的所有共轭根 口l = q ，勉，蚴，有l 口“ 1 ( 2s d ) ，则称q 为一个p i s o t 数 定理2 1 3 ( k r o n e c k e r 定理) 如果多项式p ( z ) z ( z ) 为一个首一不可约的多 项式并且它的所有根都在集合 【o h 1 ) 中，则多项式p ( z ) 的所有根都为单位 根且尸( z ) 是一个分圆多项式 由k r o n e c h e r 定理，我们可以知道m ( p ) = 1 当且仅当多项式尸是分圆多项式； 同= 1 当且仅当q 是一个单位根 2 2半无限线性规划法 在本文的研究工作中半无限线性规划方法起到了重要的作用，它是1 9 8 4 年 由s 虮h 【7 】引入到计算数论中来的半无限线性规划方法可以解决下面这种类型的 问题： 警n 姆9 ( z ，c ) c 互x 其中夕( 茁，c ) 是g = ( c 1 ，钰) 的一个线性函数，x 是复数域c 上的一个紧子集， 所谓的最大值指的是当q o ，( i = 1 ，七) 时得到的最大值 解决这类问题的传统方法是选择非常多的控制点 巧) l g s ，然后解线性规划 问题 1 皆】哿甄9 ( 巧，c ) cl ：m 6 i ，m z 。= 1 我们称向量组6 l ，6 2 ，k 为格l 的一组基 数论中的许多问题是通过在一定的格中寻找一些最短的( 短的) 向量来解决 的“短”是通过内积给出的范数而言的通常，我们用的范数是欧氏范数或f 2 范 数，即对一个实向量口= 【口l ，勉，q n 】，其范数是 易( q ) = j j qj j = j a l l 2 + j 嘞j 2 + + j a 疗j 2 9 西南大学硕士学位论文 3 1l l l 算法的介绍 在格中寻找长度最短的非零向量是比较困难的，对不同的n ，这是一个n p 难题，即 通常情况下，解决这类问题的多项式时间算法是不存在的不过l l l 算法能够找到 最短向量的一个近似值l l l 算法确切做的事情是通过格的一组已知基，返回一组 新基这组新基是在严格意义上推导出来的，它包含有相对短的向量这样一组基 就称为l l l 约减基，其定义如下： 定义3 2 ( l l l 约减基) 令6 l ，6 2 ， 篙胁j 够，其中胁，= ( 吼b ) 1 1 6 ；f 1 2 减的，如果它们满足一下两个条件： ，k 是格l 的一组基，6 = 6 t 一 我们称向量组6 1 ，6 2 ，6 n 为l l l 约 ( i ) i 地jjs ；，1 歹 t n ( i i ) i i 醵+ 肚，i 一1 6 乙1 1 1 22i0 6 0 1 0 2 ，1 t n 或i l 啦1 1 2 ( i 一以一1 ) 1 1 6 0 1 l i 定理3 3 令6 l ，6 2 ，k 是格l 的一组l l l 约减基，则 以j1 1 6 10 2 加一1 ) 2 i i z l | ，v z l ，z o j 例j i bj j 2 “一1 ) 2 l j 酵i i ，1 歹t n j 例对任意线性无关向量组z 1 ，兢己有 i | 2 ( n 一1 ) 2 m a x ( 0 2 1 0 ，i | 童t i i ) ，1 歹t 由定理3 3 中的结论( 1 ) 可知，格l 的一组约减基中的6 l 的长度不超过其中最 短向量长度的2 m - 1 ) 2 倍在实际计算中我们看到向量6 1 接近格l 中最短的非零 向量事实上，它往往是最短的向量，即使不是，在大多数情况下我们都可以用它近 似代替最短向量来使用而且，我们观察到维数越低，所得的结果越好 下面我们用最简洁的方式描述l l l 算法假设向量6 l ，靠一1 已经是l l l 约 减的( 即是它们所产生的格的l l l 约减基) ，其中七2 向量k 需要s i z e 约减，即使 得i 肌，j i 1 2 对所有j 七成立，这可以通过下面的方法将6 七换成k 一， 七哟幻 ( 口，z ) 达到假定l 鲰。，i 1 2 ( 由2 = 凫开始) 对： 歹 z ，m j 没有改变( 因为对所有z 歹，埘与6 f 正交) ，而雠，f 被触，f g 替换( 6 f 筇= 坊叼) ， 并且l 鲰，f g i 1 2 ，则改变后的触j 对f 一1 2 ，对所有l 歹七2 ，交换鲰j 和肌一1 j 再设置p 卜胀。七一1 ，b 卜风+ p 2 夙一l ，鲰，七一l 卜p 玩一1 j e i ，6 卜皖一1 ， 醒一l 卜壤+ 脚，蜈卜一触。七一l 壤+ ( 玩b ) 6 ，玩卜鼠一l 鼠b ，凤一l 卜召最后对所 有l = 七+ 1 ，尼+ 2 ，庇嗍，设置t 卜地七，地，七卜胁，七一l 一脚，胁，七一1 卜t + 舰，七一l 以，七， 结束子算法 算法的第二步是依照定义2 2 来计算鲰小玩和风，七是一个变量，满足向量 6 】，6 知一l 是约减的，在第二步中，算法试图修改k ，使得6 1 ，k 是约减 的，其中子算法r e d ( 七，2 ) 是适当的修改向量6 七，使得i 肌，“ ，并对1 isl 一1 ， 更新纵小子算法s w a p ( 七) ，是针对若i = 七不满足定义2 2 中的条件( i i ) 则交 换向量k 和k 一1 ，并更新巩对应的参数此时充也减少l ，因为我们只能保 证坊，k 一2 是约减的更深入的分析表明，l l l 算法的算术运算数至多为 1 1 西南大学硕士学位论文 3 2l l l 算法的应用 d ( 礼6i n 3b ) ，若i 现f 2 b 对所有t = 1 ，2 ，m 成立 3 2l l l 算法的应用 l l l 算法提出以后，很快得到了广泛的应用，成为计算数论领域中的重要工具 之一下面我们将叙述如何应用l l l 算法解决整线性相关问题：假设2 1 ，勿， 是n 个实数，如果它们线性相关如何找出它们的关系 令n + 1 维向量组6 1 = 【o ，o ，o ，何z 1 】t ，6 2f 【o ，1 ，o ，何勿】丁， ，k = 【o ，o ，1 ，何钿1 t 是格l 的基，则格l 中的元a 是 【o ，眈，口n ， 丙( 口l z l + 眈勿+ + n n ) 】 的形式，其中口z ，i = 1 ，2 ，佗，其范数为 z 2 ( q ) = 遽+ 霹+ + o 乏+ ( z 1 口1 + 勿眈+ + z n ) 2 当是一个非常大的整数时，若口是一个短向量，则它的最后一个分量应为0 或者很小否则它的范数会很大，即不是短向量注意到a 的最后一个分量是 盈，勿，的整线性组合，这样我们便得到它们之间的一个关系根据上面的想 法，我们对6 l ，6 2 ，h 应用l l l 算法，算法结束返回一组由短向量组成的基若 魂，勿，磊线性相关，我们会得出它们的一个线性相关组合否则，我们得到具 有较小绝对值的忍组合一件好的事情是我们可以完全避免l l l 算法的第二步操 作实际上，我们有以下的命题： 引理3 4 如果我们对6 l ，6 2 ，6 n ，进行g m 仇一& 危m i d 征交化，有二地l = 旎z l 对2 l 死弘巧= o 若2 歹 1 我们定义s 七= 耋l 钟 1 9 8 5 年b 0 y d 通过以下方法计算出d 1 6 的互反代数整数的最小房子对固定 的次数d 他给定界日，使得存在d 次非单位根的互反代数整数0 1 满足同口如 果同b ，显然有j s 七j d b 七首先他应用这些界和牛顿公式： s 七+ s 七一1 6 l + + s 1 “一l + 七6 七= 0 1 4 v 口一z d：l = d 6 + zk+ + 一d z h + d z = p 西南大学硕士学位论文4 。1 互反代数整数的最小最大模的计算 dq 的极小多项式 同 b ( d ) 1 8 风( z 3 ) 1 0 9 7 4 2 1 8 2 8 71 0 9 7 5 2 0 冗l o ( z 2 ) 1 0 6 0 9 9 7 0 8 8 41 0 6 1 0 2 2 恐( z 1 1 ) 1 0 9 1 4 3 4 6 8 8 91 0 9 1 5 2 4 冗1 2 ( z 2 ) 1 0 5 2 6 4 1 8 4 4 91 0 5 2 7 2 6 凰6 ( z ) 1 0 5 9 6 8 7 6 0 8 01 0 6 0 0 归纳给出系数k 的范围，1 七d ，从而得到一组d 次的互反多项式五。然后对 d + 1 七3 d ，取巩= o ，他继续牛顿公式计算出s 七的界对每个后，( 七d + 1 ) ， 从前面得到的互反多项式的集合五中，把s 知不在应用牛顿公式得到的界中的多 项式删除掉，就得到一个新的多项式的集合氕最后他得到了氏，并从中找出最 小房子 我们将沿用b o y d 的思想，结合辅助函数、半无限线性规划方法，对1 8 d 2 6 的互反代数整数的最小房子进行计算具体方法如下： 首先，对每个固定的次数d ，我们需要给出界b ( d ) ，而给定的b ( d ) 必须保证 存在d 次的互反代数整数口使得同b ( d ) 当d = 1 8 时，由于1 8 = 3 6 且 我们已知6 次的互反代数整数的最小房子的极小多项式为风( 卫) ，而风( 舅3 ) = z 1 8 + 2 2 1 5 + 2 2 1 2 + z 9 + 2 2 6 + 2 2 3 + 1 的房子为1 0 9 7 4 2 1 8 2 8 7 ，于是我们取 召( 1 8 ) = 1 0 9 7 5 同理，2 0 ，2 2 ，2 4 次的界分别是根据冗1 0 ( z 2 ) ，忍p 1 1 ) ，冗1 2 ( 0 2 ) 的房 子给出的，具体情况见表1 而在给定2 6 次的界时，我们是通过计算高度为l 的互 反代数整数的最小房子而给定的j e 7 ( 2 6 ) ，表1 中给出的就是2 6 次的高度为l 的最 小房子及其极小多项式 其次，为了得到更好的s k 的界，我们借助下列形式的辅助函数 ， 北) = 一r e ( z ) 一勺l o g i q ( z ) i j = l 其中名是复数，e ，为正实数，锄在一个预先给定的集合s 中，为整系数多项式 白总是选择可以给出最好的辅助函数的数，我们把，( z ) 的最小值记为m ，其中 b 由于函数，在多项式锄的根周围的小圆盘的外部的区域内是调和的，最 小值在h = 召上取到关于辅助函数的构造将在本章的第三节中详细阐述。 1 5 西南大学硕士学位论文 4 1 互反代数整数的最小最大模的计竺 我们假设多项式p 不整除所有多项式锄( 士护) ，l 后3 d 那么有 d ，( 啦) m d i = 1 进而有 一s - 机+ 勺l o 毒in q j ( & t ) 1 j = 1 t = 1 由于兀垒。劬( q ) 等于p 和q 的结式且p 不整除锄，于是n 垒。劬( q t ) 是非 零整数因此 s 1 一d 硫 由对称性可得该不等式对一s l 来说也是成立的，这样我们就得到了s 1 的界如果 用士a ? 代替叱，b 七代替b ，我们就得到士s 七的界 通过上面的计算，对固定的次数d ，我们得到了一组s 七的界，其中1 七s3 d 我们发现当七比较小时，s 七的界要好于b 0 ) r d 的方法给出的s 七的界然而当七不断 增加时，由于b 七变大，构造好的辅助函数的劬的寻找越来越困难，我们的得到s 七 的界也就不再那么好了，因而针对互反多项式的特点我们采用了如下的改进方法： 因为d 次的代数整数q 是互反的，于是我们不妨设l 啦i 1 且口 “= 壶其 中1 lsg 我们定义一个与多项式尸有如下式关系的多项式q ： z 差q ( 。+ 1 z ) = p ( z ) 于是我们司知 q ( z ) = z g + 6 l z g 一1 + + 6 害一1 z + 6 萼 是一个2 次的首一整系数多项式，它的根- 为m = 戗+ 1 啦其中l i 2 我们定 义依，七= 砖+ l q ；，于是我们有s l = 墨l 佻= 耋l 啦更一般地，对七 l 我们 有m ，七= a + 1 q ，s 七= 叁1m ，k = 冬。口 由于l q “b ，于是l m i = i q i + 击l 口+ 吉我们不妨设辅助函数，( z ) 在 h b + 吉上的最小值为m ，那么 垂 壹m ) 罢m ， i = l 。 从而有 ， 譬 一s 1 芸m + 勺l 。gn q j ( 饥) 1 1 6 西南大学硕士学位论文4 1 互反代数整数的最小最大模的计算 由于n 垒。q j ( 啦) 等于q 和q 的结式，且q 不整除锄，于是兀耋l 劬( 啦) 是非零 整数因此 s l 一拥7 ， 由对称性可得该不等式对一s l 来说也是成立的，这样我们就得到了s l 的界如果 用士世代替m ，b 七+ 击代替b + 击，我们就得到士s 的界 对固定的次数d ，我们又得到了一组s 七的界为了区分得到的两组s 七的界， 我们不妨把它们分别记作s 七，i = 叁l 砖，s 七，2 = 圣1 佻七表2 - 表6 列出了我们计 算得到的s 七的界以及用b o y d 的方法给出的s 鼍的界扭七从这些表中我们可以看 到，当七较小时，s 七1 要比s 七，2 好，当七变大时，情况恰好相反于是我们选择两组 中较小的组成一组新的s 七的界方便起见，我们只列出了1 七1 6 的s 七的界， 但足以看出应用辅助函数所得的s 七的界要比b o 舛的方法给出的结果好很多 然后，应用这些s 七界与牛顿公式归纳给出互反多项式p ( z ) 的系数因为代数 整数q 和一a 的房子是相等的，即p ( z ) 和尸( 一z ) 的根的最大模是相等的，所以在 计算中我们只考虑系数6 l 0 的互反多项式多项式 因为多项式p 是互反的，故系数6 d 一= 玩，1 i g ，于是我们只需计算p 的 前g + 1 项的系数，即6 0 ，6 l ，6 生，由牛顿公式： 矗 s 七+ 6 1 s 七一1 + + 以一1 s 1 + 七k = o( 1 七吾) ， 得 巩= 一丢( s 七+ 6 。s 七一- + + 玩一。5 。) 如果6 1 ，k l 和s 1 ，鼠一l 是已知的，又因为我们已经计算了s 七的界，那 么我们就可以计算出6 七的界依次类推我们就能得到我们所要求的所有系数 玩，( 1 忌g ) 的界，从而得到一组d 次互反多项式冗( d ) ，其中的所有多项式的最 小最大模都小于或等于b ( d ) 最后应用p a r i 这一计算软件计算出冗( d ) 中的不可约多项式的根，比较得出大 于1 的不可约互反代数整数的最小最大模 我们计算出了2 d e g ) 2 6 的互反代数整数q 的最小房子，并且计算出了 具有最小房子的互反代数整数q 的m a h l e r 测度表7 列出了我们计算的2 d 2 6 的最小房子m r ( d ) ，其极小多项式的从高次到低次的前一半系数，而且它还列出了 q 的m a h l e r 测度m ( r f ( z ) ) ，其中d e g ( a ) = d ，( 2 d 2 6 ) ，u 表示其极小多项式在 单位圆外的根的个数在已经得到的最小房子的多项式中，高度为1 的多项式占多 数，并且其余的多项式高度也只有2 或者3 。 1 7 西南大学硕士学位论文4 1互反代数整数的最小最大模的计算 表2 ：d = 1 8 时的5 七，l ，s 七，2 ，s 七 k1234567891 01 11 21 31 41 51 6 i s k ，l i 681 21 51 92 32 73 13 74 24 85 46 06 67 27 9 1 5 蛐i 1 41 41 51 61 61 81 92 12 22 42 62 93 1 3 53 84 1 i s 七i 681 21 51 61 81 92 12 22 42 62 93 13 53 84 1 d b k =1 92 12 3 2 62 83 13 4 3 74 l4 55 05 4 6 06 67 27 9 表3 ：d = 2 0 时的s k l ，s 七，2 ，s 七 k1234567891 0 1 11 21 31 41 51 6 i s i 4 79 1 21 41 61 92 12 42 7 2 93 33 74 14 4 4 8 i s 七，2 i 1 61 61 61 61 71 71 81 81 92 02 12 22 32 42 52 7 i s 七i 4791 21 41 61 81 81 92 02 12 22 32 42 52 7 d b 2 =2 12 22 32 5 2 62 83 03 2 3 43 63 84 04 34 5 4 85 1 表4 ：d = 2 2 时的5 七，l ，s 七，2 ，5 七 k1 2 3 4 567 891 01 11 21 31 41 51 6 i s 七，l i 61 01 41 82 22 53 0 3 44 04 65 46 16 87 48 18 9 l s 蛐l 1 81 81 81 92 02 12 2 2 42 62 83 0 3 33 63 94 24 6 i s 七i 61 01 41 82 02 12 22 42 62 8 3 03 33 63 94 24 6 d b 知=2 42 62 83 13 43 7 4 04 44 85 2 5 76 26 87 48 18 9 表5 ：d = 2 4 时的s 七，l ，s ，2 ，s 七 k123 456 7 891 01 11 21 31 41 51 6 k ，1 i 571 01 21 51 82 02 3 2 62 83 23 74 4 4 95 15 4 i s 七，2 l 1 91 9 1 9 2 02 02 12 12 2 2 22 32 42 52 62 7 2 82 9 i s 七l 571 01 21 51 82 0 2 22 22 32 42 5 2 62 72 82 9 d b 七=2 52 62 72 93 1 3 2 3 43 63 84 04 24 4 4 64 95 15 4 西南大学硕士学位论文4 1 互反代数整数的最小最大模的计算 表6 ：d = 2 6 时的眠1 ，s 南，2 ，s 七 k1234567891 01 11 21 31 41 51 6 k ，z f 691 21 51 82 12 52 83 13 4 3 84 24 65 05 45 9 i s 蛐i 2 12 12 12 22 22 32 32 42 52 62 72 93 03 13 33 5 i s 七i 69 1 2 1 5 1 82 12 32 42 52 6 2 72 93 03 13 33 5 d b 七：2 72 93 03 23 43 63 94 14 34 64 95 25 55 86 26 6 表7 ： 西南大学硕士学位论文4 2 较小最大模的多项式的研究 一般地，不可约多项式的最小房子是随着其次数的增加而减小的但是 也存在特殊情况，如2 2 次的互反多项式的最小房子比2 0 次的大，还有2 6 次的比2 4 次的大从表7 中可清楚地看到，风( z 2 ) 和r 。2 ( z 2 ) 的根的最大模恰 好分别是1 6 、2 4 的最小房子而且扇( z 3 ) = z 2 4 + z 1 5 + z 1 2 + z 9 + l 的根 的最大模为1 0 5 3 5 1 2 9 5 9 与2 4 次的最小房子m r ( 2 4 ) = 1 0 5 2 6 4 1 8 4 4 9 很接近； r 1 0 ( ) = z 2 0 + z 1 6 + z 1 4 + z l o + z 6 + z 4 + 1 的根的最大模为1 0 6 0 9 9 7 0 8 8 4 很接近 2 0 次的最小房子m 兄( 2 0 ) = 1 0 6 0 4 4 2 0 4 5 6 ；冗1 4 ( z 2 ) = 护8 + 茁2 0 + z 1 8 + z 1 4 + z l o + z 8 + l 根的最大模为1 0 4 5 8 9 7 5 5 ，也是非常小 4 2较小最大模的多项式的研究 对次数为1 8 ，2 0 ，2 2 ，2 4 ，2 6 的互反代数整数，通过p a s c a l 、p a r i 程序语言的计 算，对每个次数d 我们得到一组同b 的代数整数的极小多项式在得到的较小 房子的多项式中，我们取出一组房子小于某个值的多项式，表9 一表1 3 列出了我们所 取的较小房子同的极小多项式磁，及其高度、长度，其中列出了极小多项式的前 一半系数我们发现其高度都不超过3 ，且在次数d = 2 4 时其高度都为1 ，但是它 们的长度不小，因此我们计算房子大于1 且高度为1 的互反多项式的最小房子从 而在对2 6 次的最小房子计算时，我们用2 6 次高度为1 的最小房子作为我们的界 b 表8 列出了d 4 0 的高度为1 的非分圆的互反多项式的最小房子，其中仇日( d ) 表示d 次高度为1 的互反多项式的最小房子，凰0 ) 为它的极小多项式，u 为其在 单位圆外的根的个数，表中我们给出了凰( z ) 的从高次到低次的前一半系数因为 当d = 2 ，4 时，所有高度为1 的互反多项式的房子都是l ，所以在表8 中没有它们 对比表7 与表8 ，我们发现对固定次数d 2 6 的互反代数整数，高度为1 的最 小房子m 日( d ) 与m r ( d ) 很接近，甚至当d = 8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，2 2 ，2 4 时，m 胃( d ) = m r ( d ) 西南大学硕士学位论文4 2 较小最大模的多项式的研究 表8 ：高度为1 的互反多项式的最小房子 西南大学硕士学位论文 4 2 较小最大模的多项式的研究 表9 ：1 8 次房子小于1 0 9 0 哇鲍亘反复亟蓝 表1 0 ：2 0 次的房子小于1 0 7 0 8 的互反多项式 2 2 表1 1 ：2 2 次房子小于1 0 6 8 6 的多项式 表1 2 ：2 4 次房子小于1 0 5 7 6 的互反多项式 西南大学硕士学位论文 4 ，3 辅助函数的构造 表1 3 ：2 6 次房子小于1 0 6 5 的互反多项式 4 3辅助函数的构造 5 七的界依赖于辅助函数的构造，也就是说对构成辅助函数的多项式q 和勺 的选择是很重要的 1 b 的整超限直径与辅助函数的关系 对正整数 ，令z ，l 是所有 次的整系数多项式尸的集合，如果多项式r 满足 恻i p 踹 。，| l p l i o o ， 其中i i p | i = s u p bi 尸( z ) l ，则我们称r 为b 上的整c h e b y s h e v 多项式从 而且的整超限直径为 亡z ( 日) = 。l i mi i r i | 芝 n + 对辅助函数 3 ，( z ) = 一亿( z ) 一勺l o gi q j ( z ) i j = l 其中z 是复数，勺为正实数，q 为整系数多项式如果我们将实数勺用有理数代 替，则有 m ) = 一觑( z ) 一丢1 。9 1 日( z ) j 2 4 西南大学硕士学位论文 4 3 辅助函数的构造 其中为九次的整系数多项式，t 为正实数我们要使函数，在z b 上的最小值 m 尽可能的大，也就是说，我们要找一个整系数多项式日，使得 s u p1 日( z ) p e m ( ：e m m b 如果我们令t 为定量，= l ，显然我们需要得到 坛删b ) = 1 i m l n f 狲一日z 瞄罂阶) m ( z ) 的上界，其中妒( z ) = e m ( 引为了找到t z ，妒( i z l b ) 的一个上界，就要找到一个辅 助多项式日z ，然后用日的一系列的幂 这时我们可以看到，如果t 为定量，t = 1 ，就生成了整超限直径应用吴强的算 法 1 4 】，我们对次数 3 0 的多项式日，并且把它的不可约多项式记作q ，我们从 多项式2 1 开始，得到最好的e l 并且令= e 1 当我们计算了歹个多项式时，我 们应用改进的半无限线性规划方法来选择e f 这样我们就得到了一个新的t ，由归 纳法我们就继续找到j + 1 个多项式 2 构成辅助函数的多项式q f 表1 4 给出了在辅助函数中用到的辅助多项式q ，其中d = d e g ( 劬) ，q 的系数 是从高次到低次给出的，冗，表示辅助多项q ，的根的最大模从表1 4 中可以观察 到，q 5 = z 2 + 1 ，q 6 = z 2 一z + 1 ，q l o = 护一3 z + l ，q 1 6 = z 4 一z 3 + 护一z + 1 ， q 2 4 = z 6 一z 5 + 一一z 3 + z 2 一z + l 是互反的，并且q l ，q 5 ，q 6 ，q 1 8 ，q 2 4 为分圆 多项式，而q l o 恰好是具有最小最大模的2 次互反多项式 我们分别用这两种不同形式对s 七进行了计算，在得到的两组结果中我们取两 者中最好的，重新得到一组更好的s 七的界表1 5 列出了在计算s 七。l ，s 七，2 时分别用 到的锄 对固定的次数d ，我们就s 七垒1q 的s k ( 1 七d 2 ) 进行了计算，并列 表给出了我们计算的结果以及计算中用到的辅助多项式q ，一般情况下，在计算 s 寿时，辅助函数的根都落在俐b 七的圆盘里，但是也有特殊情况出现，我们把有 根落在日七之外的多项式称为例外多项式但多数例外多项式的根的最大模 与= b 七很近结果见表1 6 一表2 0 ： 2 5 表1 4 ：辅助函数中的仍 d 仍从高次到低次的系数 局 1 - 1 1 2 1 - 3 1 4 101 1 1 1 1 22 1 34 1 33 1 - 31 1 - 45 1 57 1 101 1 34 3 1 47 5 1 11 11 1 23 32 1 35 53 1 48 95 1 51 1 1 37 1 。61 6 2 21 3 1 - 72 1 3 11 9 1 61 7 2 92 9 1 3 1 1 1 1l - l1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0