（基础数学专业论文）关于hodge积分与hurwitz数的注记.pdf

关于h o d g e 积分与h u r w i t z 数的注记 基础数学专业 研究生邓嘉指导教师贾方 这篇文章首先介绍了h u r w i t z 效的定义及一些性质，然后利用v i r t u a l 局部 化方法推出了h o d g e 积分与h u r w i t z 数之间一个联系最后用这个联系证明了 个h o d g e 积分的恒等式 绪论介绍了文中涉及的几个定理及其关系第二章回顾了在映射度为1 的 到p 1 的映射的模空间的特殊情况下，g r o m o v - w i t t e n 理论中的局部化公式通 过选取不同的线性化，导出了关于h o d g e 积分之间关系第三章介绍了h u r w i t z 数的定义通过b r a n c h 除子的概念，使用局部化技术导出了e l s v 公式并用 这个公式证明了绪论中提到的主要定理 关键词；h o d g e 积分，h u r w i t z 效，v i r t u a l 局部化，b r a n c h 除子 an o t eo nh o d g ei n t e g r a la n dh u r w i t zn u m b e r m a j o rlp u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tid e n gj i a s u p e r v i s o r lj i af a n g ar e l a t i o nb e t w e e nh u r w i t zn u m b e ra n dh o d g ei n t e g r a l si sg o tv i av i r t u a l l o c a l i z a t i o nm e t h o d ah o d g ei n t e g r a li d e n t i t yi sp r o o f e df r o mt h er e l a t i o n t h e d e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t yo fh u r w i t zn u m b e rw e r ei n t r o d u c e d i nt h ei n t r o d u c t i o nc h a p t e r im e n t i o n e ds e v e r a lt h e o r e ma n dt h e i rt e l a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e rir e v i e wt h ev i r t u a ll o c a l i z a t i o nf o r m u l ai ng r o m o v - w i t t e n t h e o r yi nt h es p e c i a lc a s eo f d e g r e e1m a p st op 1 t h e nw e d e r i v e dh o d g er e l a t i o n s v i al o e a l i z a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，if i r s ti n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fh u r w i t z n u m b e r ，t h e nb yu s i n gt h el o c a l i z a t i o nt e c n i q u ew i t hb r a n c hd i v i s o r ，ip r o v e dt h e e l s vf o r m u l a f i n a l l yip r o v e dt h em a i nt h e o r e mm e n t i o n e di nt h ei n t r o d u c t i o n k e y w o r d s ：h o d g ei n t e g r a l ，h u r w i t zn u m b e r ，v i r t u a ll o c a l i z a t i o n ，b r a n c h d i v i s o r 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在n j q 大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明 导师嘲 导师! 二 作者墅蕴 二零零七年五月十日 致谢 感谢我的导师贾方教授在三年对我的悉心指导，支持并 鼓励我自由的根据自己的爱好学习 本文得到陈柏辉老师悉心的指导，在此致以诚挚的谢意 衷心感谢李安民老师，赵国松老师、郑来老师、陈柏辉老师 在三年中教授我一系列的基础知识 感谢我的师兄罗伟对我的热情帮助本文的选题来自于 我参加的辛几何等讨论班，积极愉快的氛围让我不断成长。 感谢所有关心，支持和帮助我的老师和同学和朋友 感谢我的家人对我的理解和支持，使我能j 顷利的完成学 业 第一章绪论 令v = ( z ，y ，。，t ) c 4j x y 一矗= o ) ，v 有唯一一个奇点在原点通过 b l o w - u p 我们可以得到一个s m a l lr e s o l u t i o nw 。它的例外曲线是a = p 1 a 在 中的法丛是0 ( - 1 ) 0o ( 一1 ) w 是一个c a l a b i y a ut h r e e f o l d 因为a 是 例外曲线，其模空间7 呒，o ( 彬4 a ) = 7 呒，0 ( a ，d 卅) ，于是我们可以局部的定义 c r o m o v - w i t t e n 不变量。通过局部化技术( 1 0 c a l i z a t i o n ) f a b e r - p a n d h a r i p a n d e 1 1 得到以下结果 定理1 1 ( f a b e r - p a n d h a r i p a n d e ) 令c ( g ，d ) 是模空间j 乙，o ( d 【州) 的g r o m o v w i t t e n 不变量。则 e d ) - 踹 其中b 幻是第2 9 个伯努利数 这个关于c ( g ，d ) 的精确的表达式是通过 1 】文中一个主要的定理证明的 冠埋1 z ( t , a o e r - y a n a n a m p a n a e ) 足义，卅刀 f ( t ，) = 1 + t 幻l 妒2 9 - 2 + a g 口 1 = 0 j m l 则有等式 盹) _ ( 。t l 州2 + l 踟) 2 萎垆2 丽t 2 证明定理1 2 的要点是要得到这个等式f ( t ，一2 ) = 熊 妒e k e d a h l ， l a n d o ，s h a p i r o 和v a i n s h t e i n 在【2 】文中给出了另外一个很有启发性的证叽 他们通过考察h u r w i t z 数域和h o d g e 积分的关系来阐明这个等式这项工作 给出了纯粹的组合的量和曲线模空间的拓扑不变量之间的关系 四川大学硕士学位论文第2 页 定理1 3f 毖s y 公式，e k e d a h l ，l a n d o ，ms h a p i r o 和v a i n s h t e i n ， 磁刊垂c 等，厶，若斋昔器 前提是j 乙，存在这里8 用以表示把d 这个整数分成乱个大干零的部分， ：1 啦= d ，r = 2 9 一2 + d + 竹 不久f a n t e c h i 和p a n d h a r i p a n d e 在【3 】文中引进了个被他们称为b r a n c h 除子的概念用以理解上面给出的联系之后g r a b e r 和v a k i l 结合这些工作。给 出了定理1 3 在g r o m o v - w i t t e n 理论中的解释f 6 】 在我这篇文章中主要是想追踪这个过程首先回顾了定理1 2 证明的主要部 分，使用f 1 】一文中的方法给出了个略微不同原文的证明关键的等式f ( t ，一2 ) = 堕! t 世2 堕使用 6 】一文中的方法证明，写在定理1 3 的证明中由此给出一个完整 定理1 2 的证明 第二章局部化关系( 1 0 c a l i z a t i o nr e l a t i o n ) 2 1c + 群作用 考虑m 祁( 胆，1 ) ，这是个映射度为1 的稳定映射的模空间这里稳定( s t a - b l e ) 的意思是如果黎曼面映到一个点的话那么这个黎曼面要求是稳定的，就是 说有有限的自同构( 亏格为0 时有3 个特殊点，m a r k 点或n o d a l 点，亏格为 1 时有一个特殊点，亏格大于1 时自然是稳定的不用定义) ，当黎曼面不是映射 到个点时，映射自然是稳定的不用定义，参考【8 】f 4 】【l o 令c 作用在c 2 上，( e p ) = ( o ，y ) 这个作用诱导相应的在弘上的作用，记p 1 = 【0 ，1 】， p 2 = 1 1 ，o 是这个作用的不动点c + 作用可以等变的提升到p 1 的线丛l 上， 并由其在纤维上的权【f 1 ，f 2 】唯一的决定对于丛o r , 。c 作用可用任一整数a 表示陋，0 j 类似的在丛西- ( - 1 ) 上可由归，p + 1 表示 引理2 1 对于丛c ) p - ( 一1 ) ，由提升得到的c 作用的纤维上的权是咿，口+ 1 1 证明设，盈】是p 1 的齐次坐标，c 作用为 e 勾，z l l = 【1 ，f z l 翔】= 瞎z o z l ，1 】 取岛，( 一1 ) 的两个坐标卡t = z l o ) ，a 1 = 动o ) 令t = 以句， = z o z t ，则( u ，a ) 是o r , ( - 1 ) 在a o 上的坐标卡，( t ，) 是c ) p l ( 一1 ) 在人1 上的坐标t e c k ( - 1 ) 纤维的转移函数是= a u 设c + 作用在o e , ( - 1 ) 上由 下面的式子给出t f ( 口，a ) = ：( f 让，f 卢a ) ( 钉，a ) = ( f 一1 口，f 9 a 7 ) 要使作用与坐标卡相容，需要 a 7 = 氍a ) 任t ) = f 4 a f “= f 4 + 1 a u = e 4 + 1 于是我们得到y = 卢+ 1 ，由此推得纤维上的权为眵，卢+ 1 j 四川大学硕士学位论文第4 页 2 2 局部化公式 令，r ：c ，一) 呒，o ( v i ，1 ) 表示m o d u l is t a c k 上的万有曲线，p ：u _ p 1 表示m o d u l is t a r k 上的万有映射前面提到的口作用自然的诱导出在u 和 7 呒，o ( p 1 ，1 ) 上与_ ，r 和p 相容的群作用丽g ，o ( p 1 ，1 ) 的v i r t u a l 维数是2 9 m o d u l is t a c k 的v i r t u a l 维致可由下式子决定 d i m 丽a ，。( x ，卢) 】”= c 1 ( j r ) + d i m ( x ) ( 1 9 ) + 3 9 一3 + 礼 j 口 所以在我们的情形有d i m 丽a o ( p 1 ，1 ) 】俯= 1 + 1 + l ( 1 9 ) + 印一3 + o = 2 9 在 7 吼，o ( p 1 ，1 ) 上有两个自然的维数为g 的丛；r 17 r 。( 矿a i ，) 和r 1 丌( 旷o - - ( 1 ) ) 用z ，表示着两个丛上相应的最高陈类，。，v a 2 9 ( 丽j ，o ( p 1 ，1 ) ) 我们将考虑 下面的三个积分， 厶斛圳，厶州e 埘。州，厶斛划。u v 仁， 我们将用v i r t u a ll o c a l i z a t i o n 公式来计算这三个积分，在计算中我们在c 】p - 和 岛z ( 一1 ) 上选取不同的线性化这是证明定理1 2 的关键技术，【5 】一文中指出 通过这种选取不同的线性化的，可以得到很多关于h o d g e 积分的恒等式，本文 的初衷就是用这种方法证明式f ( t ，一2 ) = 幽t 1 2 但是最后未能成功，但是找到 了另外的理解这个等式的方法让我们接着看定理1 2 的证明我将回顾 5 】的 证明。以一种略为不同的形式 7 吼，o ( p 1 ，1 ) 在伊作用下的不动轨迹记为x ，是以下不可约分支的无交并 x = u 玛，。 g ；：潜 其中蜀，。是这样的轨迹，曲线的一个亏格为g l 的子曲线收缩到不动点 p l ，剩下的亏格的9 2 收缩到p 2 ，如图 i 匹l j f l 大学硕士学位论文第5 页 这个不动点的轨迹自然对应到7 ，- ) ，- ( 其中定义7 吼0 为一个点) 7 。，t ，7 吼，- 上的余切线丛类和a 类，通过拉回映射诱导x 9 。，m 上的上同 调类令仉，妒z 表示7 吼。1 ，7 吼，- 上相应的余切线丛类对z ，定义 口 a ( ) = 一t ( 砚，) i - - - - - - o 我们注意到m u m f o r d 的公式tc ( e ) c z + ) = 1 ，推出 a ( 一1 ) a ( - 1 ) 一( - 1 9 ， a 0 ) a 0 ) = 如，0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 要想在) 吼o ( p 1 ，1 ) 运用l o c a l i z a t i o n 技术，需要考虑相应的群作用的不动 点参考 7 】【5 】，我们用一些图来表示这些不动点t 丽，o ( p 1 ，1 ) 中映到p 1 的不 动点的轨迹的分支( 丘xl o c i ) ，v i r t u a ll o c a l i z a t i o n 将上面的积分限制在这些缸 l o c i 上由此使这些积分的计算得到简化令：x j 乙，o ( p 1 ，1 ) 表示包含映 射，则v i r t u a ll o c a l i z a t i o n 公式是， “f - 常捌万= 口吼，0 ( p 1 ，1 ) p ( 2 4 ) “，。毛岛锄( 吲) ”矶。 一 现在来仔细考察v i r t u a l 法丛的j v o r 。讲r m 对积分的各个贡献项因为映射度 为1 ，所以与x 啦对应的图是非常简单的一个线段，其中p 1 ，耽上分别由9 1 ，9 2 的黎曼面收缩到其上c + 作用在p 1 ，m 上的权是a 1 = 1 和a 2 = 0 如t f ! t 。影 、o 四川大学硬士学位论文第6 页 鬻舡嵋 d e g r e e 丘x p t p tw e i g h t 勘匏 j ：1 一 p lp 2 o l 令“= 一，a ( ) = 一t ( ) 吼，1 ) 。我们可以看到以下三个贡献 项 对每个映射度为面的不可约分支，我们有贡献。 对每个收缩到a 的亏格为甄的曲线，有贡献 ( - 1 ) g 丸( 一南) 岛 ( 这个贡献项在砚。- 上，是收缩的曲线的贡献) 在映射度为也的平凡分支与收缩曲线相交在a 点的情况有贡献 t l 鲁一砒 因为这个图很简单，且这里的参数l = - 1 ，t 2 = 1 ，函= 1 很简单令，y 喀( 7 呒，o ( p 1 ，1 ) ) 于是公式2 4 推出7 的精确的积分公式t 也n 州p 。蠹，“叫叩篱糍仁s ， 巫珊 四川大学硕士学位论文第7 页 2 3 一些h o d g e 积分间的关系 前面已经挺到，。自然的等价于砑_ ，- 7 兄，- ，于是我们令 蜘棚= 厶。警， ( 口，卢) = ( 一a ，一p ) 叱( 口，p + 1 ) ， 占( a ，p ) = 奶( 一口，一p ) 奶( 口+ l ，卢+ 1 ) ， ( 口，口) = ，( 一口，一p ) ( 口，卢) 将2 5 代入2 1 推出 厶t 0 ( p 1 。胪，u = ( - 1 ) 纵郇) 对应的线性化的选取，在讳上是【口，口】，o i t ( - 1 ) 上是咿，p + 1 】其中 孙，p ) = 。 0 1 ，妇 类似地 a 1 ( 1 ) a 1 ( 一o ) a l ( 一p ) a 1 ( 一1 ) a 1 ( 口) a 1 ( 卢+ 1 ) 1 一妒l1 一仍 l 扩u 扩= ( 一1 ) 9 占( 口，卢) j p , c o p l ，l m v l r 。 对应的线性化的选取，在岛，( - 1 ) 上是h ，口+ 1 】，c ，p i ( - t ) 上是归，卢+ 1 】 类似地 一 z u 。= ( 一1 ) 9 ；( a ，卢) j 口，0 ( p t , 1 ) 卜“ 。 对应的线性化的选取，在岛一上是陋，口j ，所，上是咿，纠由于上面的式子中 右边的积分显然不依赖于线性化的选取，于是我们可以得到等式 ( 口，p ) = ( 8 ，) ， 占( 口，) = 以( 口7 ，卢) ，( 口，卢) = ( 口，口7 ) 对任意的整数a ，卢，所以有时可简记为，z k 对z 定义级数f ( t ，k ) q 【| t 】 即，硝= + 萎9 - p 厶，。拦瓮= t + 蚤娄p 厶，沪。2 “b 四川大学硕士学位论文第8 页 这里简单的介绍如何看待这些积分班和是上同调类，将分式形式展开 再1 = 1 + 砂+ 妒2 + 将积分号内的分母展开乘上分子再全部展开，取次数为幻一2 的上同调项( 注 意到d j m k = 3 9 一3 + 1 = 3 9 一2 ) 命题2 1 对z ，v c t ，k ) = y c t ，0 ) + 1 证明设 妒( p ) = l + p 也( 卢) ， j ( q ，p ) = 1 + t 幻易( a ，p ) = 妒( 一o ，一p ) 妒( 口，p + 1 ) ， j ( n ，卢) = 1 + 芝二t 幻如( n ，p ) = 1 i c ( 一a ，一p ) 妒( a + 1 ，f l + 1 ) k ( a ，p ) = 1 + 乏二t 幻j ；( a ，p ) = 妒( 一n ，一卢) 砂( 口，p ) 首先我们注意到妒( 口，p ) = 妒( 卢，口) 然后由于，( a ，卢) ，j ( 口，卢) ，r r ( 口，p ) 与n ，p 选 取无关，通过这些选取我们可以得到一些等式由m u m f o r d 的关系式2 3 螂驴厶。警= ， 所以函数k ( a ，p ) 是平凡的 k = g ( 0 ，0 ) = 耳( 8 ，卢) = 妒( o ，o ) 妒( o ，0 ) = 妒( o ，) 妒( 一口，一卢) = 1 于是我们得到1 ；f i ( p ) 妒( 一o ，一卢) = 1 再尝试，： i = i ( o ，0 ) = 妒( o ，o ) 妒( o ，1 ) = 妒( o ，1 ) ， ，= ，( o ，一1 ) = 妒( o ，1 ) 妒( 1 ，0 ) = 妒( o ，i ) 2 j 2 = 妒( 一a ，一卢) 妒( a ，卢+ 1 ) 妒( 一口+ 1 ，一p ) 妒( a 一1 ，卢+ 1 ) j = 妒( q ，口+ 1 ) 母( 一o + 1 ，一卢) 四川大学硬士学位论文第9 页 于是我们得到1 2 = j 和妒( 一q ，一卢) 妒( 口一1 ，p + 1 ) = 1 于是到目前我们得到 了t 妒( 口，p ) = 1 ；f ，口) ， ( 2 6 ) 妒( a ，卢) 1 ；f l ( 一口，一卢) = 1 ， ( 2 7 ) 妒( 一d ，一卢) 妒( 口一1 ，口+ 1 ) = 1 ( 2 , 8 ) 由后两个等式2 7 ，2 8 ，我们有妒( q ，) = 妒陋一1 ，卢+ 1 ) ，因为a 是个整数， 可对a 进行归纳，我们有 妒( 口，p ) = 妒( 口一2 ，口+ 2 ) 一妒( 1 ，口+ p 一1 ) 于是咖只由一个参数a + 卢决定 运用m u m f o r d 的关系式2 2 可得 舭) _ 1 + g t 印厶，。掣 “l 小驴( - 1 ) 9 厶，咎叫蛾 口l ”“l 两式相除得到 i = f ( ，0 ) = 妒( 一女，o ) 1 ：f ( 七，1 ) = 妒( o ，1 ) t ，= j ( 0 ，k ) = 妒( o ，一) 妒( 1 ，k + 1 ) = 妒( o ，1 ) 2 嬲：妒(0j1)k 妒( 1 ，) ”7 于是由上面等式得 错f ( i tk = 生譬式鼍k = 砂( 0 ，) = f ( 乱，。)，)妒( 1 ，) ”、。 因此对任意z ，f ( i t ，k + 1 ) = f ( i t ，k ) f ( i t ，0 ) 成立因此命题的证明可简 单的由归纳得到( 已注意到当k = 0 时成立) 证毕 要想完全确定f ( t ，k ) ，只须计算其中一个，比如f ( t ，- 2 ) = l l f ( t ，0 ) 这 将在下一章完成 第三章h u r w i t z 数和h o d g e 积分 3 1h u r w i t z 数的定义 我们首先从p 1 的覆盖定义h u r w l t z 数h g 这里g 0 ，a 是个非空分解 ( p a r t i t i o n ) ，用以表示把d 这个整数分解成n 个大于零的部分，銎1m = d 定 义h u r w i t z 覆盖是从亏格为g 的黎曼面到p 1 的覆盖，在o o 有分歧口，还有一 个态射 r ：g p 1 满足下面的性质- 1 c 是一个非奇异不可约的亏格为9 的曲线 2 除予 。( o o ) cc 的逆项等价于分解a ， 3 映射口是a 1 = p l o o 上的简单分歧 注意这里的条件( 2 ) 说明d e g t r = d 引理3 1 在a 1 上的简单分歧点的个数是 r ( g ，a ) = 2 9 一2 + d + n 证明r i e m a n n h u r w i t z 公式是说 x 卸( c ) = d x t o p ( p 1 ) 一( n 一1 ) 其中x 鲫是拓扑的e u l e r 示性类，于是。 2 - 2 9 = 2 d - 机一1 ) ， 这里r 。卜d 表示在某个分歧点如何分歧在o 。点是r a 卜d 。在其他简单分支 点m 分歧由2 + 1 + + 1 = d 给出更进一步说明简单分支点t 在任何一 个这样的点上，d 一2 个页层没有分支，剩下两个粘在一起于是对m 点。有 1 0 四川大学硕士学位论文第n 页 以1 ) = 2 1 + o + + o = 1 ，因此每一个不是o o 的分歧点对和的贡献是 1 由此从r i e m a a n h u r w i t z 公式可推出丌在a 1 上的简单分歧点的个数是 r ( g ，a ) = ( r i - 1 ) - - 一1 ) = ( 2 9 - 2 + 2 d ) - ( d - n ) = 2 9 一2 + d + n ( 3 1 ) 证毕 令珥表a 1 中的r = r ( 玑口) 个点的点集，不失一般性我们可以用c = a 1 中的r 巩次单位根的集合我们要求丌的简单分歧点都落在珥上 称两个覆盖7 r ：c p 1 ，一：c 7 一p 1 是同构的，如果存在曲线的同构映射 西：c 一满足一。多= 7 r 每个覆盖7 r 有个自然的自同构群a u t o r ) 与之 相对应 定义3 1h u r u r i t z 敷h ：是记录不同的加权h u r w i t z 覆盖7 r 的个数，这些亏格 为g 的曲线的覆盖在o o 上具有n 的分歧，在坼中的点上有简单分歧每一个 不同的覆盖具有权数1 a u t ( t r ) i 3 2e l s v 公式 h u r w i t z 数可以完全组合的定义 9 】，正如我们之前提到的，e l s v 公式把 h u r w i t z 数表示成页刁 上的t a u t o l o g i c a l 相交数 h a g = r ! 垂c 等，厶。若者芒 接下来我将沿着【6 】文中的主要思路和过程来解释这个联系，读者也可参考【10 】 e l s v 公式记录一些分枝覆盖( b r a n c h e dc o v e r s 肭个数，覆盖的特殊分枝，在 o o 上与口卜d 相应，在其它分枝点上简单分枝因此我们将考虑页乙，。( p 1 ，d ) 我 们将引入其它的不动分枝点，用f a n t e c h i 和p a n d h a r i p a n d e 的瀑亮的构造【3 ， 任给从n o d a l 曲线到p 1 的映射，我们可以在目标上定义一个分枝除子( b r a n c h d i v i s o r ) 当源曲线是光滑时，这个定义是自然的和已知的t 在p 点上定义一个 四川大学硬士学位论文第1 2 页 分解卢卜d ，分枝除子包含重数慨一1 ) 的p 点不难指出如何将此定义推广 到源曲线在p 点不光滑的情况 于是我们有集合之间的映射7 吼( p 1 ，回一s y m 脚幻- 2 p 1 在稳定的相对映 射( s t a b l er e l a t i v em a p s ) 情况下我们有个映射页瓦a ( p 1 ，d ) _ s y m 2 d + 2 口_ 2 畔 因为每一个这样的稳定相对映射在o o 上至少有( a 一1 ) 的分枝，我们可以去 掉这个不动的分枝除子于是得到一个集合间的映射t b r ：朋 ( p 1 ，d ) _ s y m p 1( 3 2 ) 其中r = 2 d + 2 9 一2 一缸一1 ) = 2 9 一2 + d + n ( 对比3 1 ) ，s y m p 1 2p r 由 f a n t e c h i 和p a n d h a r i p a n d e 证明b r 不只是一个集合之间的映射，实际是s t a c k 间的自然映射，他们称之为分枝态射( b r a n c hm o r p h i s m ) 这个态射也有相容 的t o m s 作用有了上面的准备可以得到以下事实 当分枝除子不包含点p c o 时，相应的映射a 一弘在p 点不分枝( 即是一 个覆迭空间或d t a l e 空间) 当分枝除子包含重数为1 的点p c o 时，相应的映射在p 点简单分枝，( 即 p 点的逆像由光滑点组成，且分枝对应的分解是2 - i - 1 + + 1 ) 当分枝除子不包含o o 时即在o o x 上没有额外的由稳定相对映射的定义所要 求的分枝时c o x 的逆像只包含n 个光滑的点琅 因此如果p 1 - t - + 肼是s y m r p l 上的普通点，则b r - 1 p 1 + + p r ) c 页瓦，。( p 1 ，d ) 是个有限集数量等于h u r w i t z 数础即使j 乃，。( p 1 ，d ) 的维数在各处极不相 等依然成立于是得到 睨= d e gb r 一1 ( 讲) n 【7 吼。( p 1 ，d ) 】“7 ( 3 3 ) 应用l o c a l i z a t i o n 技术可以计算上式( 3 3 ) 的右边部分要使用l o c a l i z a t i o n 技 术，需要把它表示成等变的形式，我们需要一个b r _ 1 在s y m p 1 型p 中的点的 四川大学硕士学位论文第1 3 页 等变提升通过选取重数为r 的点。为所要的s y m p 1 中的点于是所有的分枝 必须在0 点分枝( 包括必须映到( 3 0 的点) 此点在矿的法丛是r ! v 因此当我 们应用l o c a l i z a t i o n 技术可以得到极大的简化，只须考虑这样在没有额外分 枝的不动轨迹由于源曲线不光滑所以事实上只有个不动轨迹的连通分支需要 考虑，其图形是个伞状的，如图， 这个情况的模空间是重数为1 n 啦的) 吼。于是h u r w i t z 数是模空间的相交 数对v i r t u a l 法丛的贡献部分有以下三种情况t 度为a t 的边的贡献是 a o t ! 收缩到0 点的亏格为g 的曲线的贡献是 ( - 1 ) g r a 一( - 1 ) = 1 一a l + + 度为a 的边与收缩曲线交于0 点的情况的贡献是 1 击一讥 以上部分关于7 _ 口。的积分乘上重数1 兀啦，系数r ! 将得到e l s v 公式，由此 完成了定理1 3 的证明 四川大学硕士学位论文第1 4 页 3 3 定理1 2 的证明 前面提到要完成定理1 2 的证明，只需要证明f ( t ，- 2 ) = 1 t i n 7 t 宣_ 2 ，其中 f ( t ，一2 ) 由下式定义的h o d g e 积分一 阶。问+ 驴1 1 厶，。筹 1n 1 注意到 于是 厶，。等= 鼬尹2 + t 少1 抽h 州少2 ) = 厶，2 嘞炉+ ( 砷) 妒u - 水炉 甜响厶，。器 阶z h + 驴厶：篱 = + 善附幻厶，。两a ( - 1 ) g 1 。，- ，l 一 一 驴南厶，型铲 由这个等式提示我们在h u r w i t z 数的e l s v 公式中寻找一个相似形式的h o d g e 积分考虑分解( 2 ) 卜2 ，其中n = 1 ，d = 2 ，我们得到 【朋、f 2 2 ， 1 一a l + - 4 - ( 一1 户a 9 ( 2 2g - 2 + 2 + 1 ) 1 备厶。= 铲 _ ( 2 9 + 1 m ( - 1 ) ，厶。1 生掣等坐 j 劓 - 一y 由此推出 阶z h + 驴黑1 口 、。 四川大学硕士学位论文第1 5 页 由h u r w i t z 数的定义容易得到哪) = 1 2 又因为 最后得出 本文回顾了g r o m o v - w i t t e n 理论中一个h o d g e 积分公式的证明在这些证 明中，主要运用模空间上的局部化技术并在证明一个h o d g e 积分恒等式的过 程中，引用了一个与h u r w i t z 数的关系这种关系不是偶然的，很早以前人们就 用p 1 上的分支覆盖研究代数曲线现在用g r o m o v - w i t t e n 理论来理解曲线以 及研究它们如何映入其他空闯( 如砂) 在这个过程中发现了强大的工具，证明 了富有意义的结论 一撕 邶一啦 瀹 却 碚一 咨 群譬一 q ， m 1 t 卜 晰 驺 参考文献 【1 】1 f a b e rc ，p a n d h a r l p a n d er h o d g ei n t e g r a l sa n dg r o m o v - w i t t e nt h e o r y 【j i n - v e n tm a t h ，2 0 0 0 ，1 3 9 ( 1 ) ：1 7 3 【2 】e k e d a b lt ，l a n d os ，s h a p i r om ，v a i n s h t e i na o n h u r w i t zn u m b e r sa n dh o d g e i n t e g r a l s j 1 cr a , c a ds dp a r i ss d rim a t h ，1 9 9 9 ，3 2 8 ：1 1 7 5 【3 】f a n t e c h ib ，p a n d h a r i p a n d er s t a b l em a p sa n db r a n c hd i v i s o r s 【j 】c o m p c s i t i o m a t h ，2 0 0 2 ，1 3 0 ( 3 ) ：3 4 5 【4 】姒i t o nw ，p a n c l h a x i p a n d er n o t e so ns t a b l em a p sa n dq u a n t u mc o h o m o l o g y j 】i np r o c e e d i n g so fs y m p o s i ai np u r em a t h e m a t i c s ：a l g e b r a i cg e m e t r ys a n t a c r u z ( j k o l l d r ，r 1 a z a r s f e l d ，d m o r r i s o n ，e d s ) ，1 9 9 5v o l u m e 6 2 ，p a r t 2