（工程力学专业论文）双稳态随机共振系统后处理的研究.pdf

摘要 随机共振现象是非线性动力学系统一种反直观的现象，在随机力的激励 下，非线性动力学系统的系统输入是一个连续的模拟信号和随机力的混合值， 信号和这个随机力之间可能产生一种协同作用，从而使得系统输出的性能提 高，这一现象被称为随机共振。 在过去的二十多年里，随机共振现象受到广泛的关注，随机共振的最典型 的模型是双稳态动力学系统。随着研究的深入，随机共振被越来越广泛地应用 于解释许多不同领域的自然现象，随机共振现象也开始获得了广泛的应用，而 随机共振在信号处理中的应用则是其中倍受关注的一个。 目前为止，随机共振在信号处理中应用的研究还只是局限在很小的范围 内，主要原因是以前大量的研究工作都从调节噪声强度出发。随着参数调节随 机共振概念的提出，随机共振在信号处理中的得到了很大的发展空间，本文在 介绍上述参数调节随机共振的系统输出特性和波形畸变消除方法的基础上，主 要研究目前随机共振后处理在信号处理中应用时经常碰到的问题，其中包括后 处理中消除残余随机分量的方法、对多频模拟信号处理方法的应用、以及衡量 多频信号输出性能的指标。 最近，我们发现三次样条拟合法应用于随机共振后处理中更有利于处理多频 模拟信号。对于模拟信号输入的情况，大部分已有的结果都是集中在单频信号上 的，但是对于多频信号，没有很理想的方法。本文在分析已有拟合方法特点的基 础上，提出了三次样条拟合法、罚函数拟合法和b 样条拟合法，详细介绍了这些 方法的理论基础，并从统计上对拟合结果的偏差做了分析，证明应用这些方法有 利于消除随机方差。在此基础上，我们进一步给出了多频信号输入经过后处理操 作，系统输出性能的衡量指标光滑度和随机方差。 本文着重双稳态随机共振系统后处理的研究，重点在于对拟合方法及其应 用特点的介绍。 关键词：随机共振双稳态系统后处理多频模拟信号拟合方法 a b s t r a c t s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) i sac o u n t e r i n t u i t i v ep h e n o m e n o no fn o n l i n e a rd y n a m i c s y s t e m sw h e r e i nt h en o i s e ( s t o c h a s t i cf o r c e ) p l a y sac o n s t r u c t i v er o l e t h i sp h e n o m e n o nh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o ni nt h ep a s tt w od e c a d e s ，a n dt h e b i s t a b l es t o c h a s t i cr e s o n a n c es y s t e mi sr e g a r d e da st h em o s t t y p i c a lm o d e l o fs r a n d i th a sb e e no b s e r v e dt h a ts rc a no c c u ri naw i d ev a r i e t yo fs y s t e m s w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f s r ，i th a sf a rb e e nf o u n dt oa c c o u n tf o rm a n yn a t u r a lp h e n o m e n aa n d s h o w nal a r g en u m b e ro f a p p l i c a t i o n si nd i f f e r e n ta r e a so ft e c h n o l o g y , a m o n gw h i c h s i g n a lp r o c e s s i n g v i as t o c h a s t i cr e s o n a n c ei saw o r t h s u b j e c tt ob ec o n c e r n e d f o ra l o n gt i m e ，s rw a sd e s c r i b e da sap h e n o m e n o nw h e r e i nt h er e s p o n s eo fa n o n l i n e a rs y s t e mt oaw e a kp e r i o d i ci n p u ts i g n a li s o p t i m i z e db yt h ep r e s e n c eo fa p a r t i c u l a rl e v e lo fn o i s e h o w e v e r , t h i sd e s c r i p t i o nh a ss e r v e dt ol i m i tt h ea p p l i c a t i o n o fs rt os i g n a lp r o c e s s i n g p a r a m e t e r - t u n i n gs t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( p s r 、i sam o r e r e a l i s t i c w a y t oh a n d l et h e p h e n o m e n o no fs ri n ab r o a ds e n s e b a s e do nt h e i n t r o d u c eo f r e c o v e r yo f t h ew a v e f o r md i s t o r t i o nc a u s e d b y t h eb i s t a b l es y s t e m s o m e k e yp r o b l e m so fp o s tt r e a t m e n t so fs ri ns i g n a lp r o c e s s i n ga r es t u d i e di nt h i sp a p e r , w h i c hi n c l u d et h em e t h o dt oe r a s u r et h er e m a i n e ds t o c h a s t i c c o m p o n e n t t h e a p p l i c a t i o no fp r o c e s s i n gm e t h o do nm u l t i f r e q u e n c ya n a l o gs i g n a l ，a n dt h em e a s u r e o fs r o u t p u tw i t hm u l t i f r e q u e n c yi n p u t r e c e n t l y , an e wf i t t i n gm e t h o d - - c u b i cs p l i n ef i t t i n gm e t h o di sf o u n do p t i m u mi n t h ep o s tt r e a t m e n t so fs r b yn o w , m o s to ft h el i t e r a t u r e sc o n s i d e rt h a ta n a l o gi n p u t a r ef o c u s e do ns i m p l eh a r m o n i ci n p u t ，b e c a u s et h eo u t p u tw a v e f o r mf r o mab i s t a b l e s y s t e m i sg r e a t l yd i s t o r t e d b u tw h e n t r e a t i n gam u l t i f r e q u e n c ya n a l o gs i g n a l ，t h e r ei s n o tas i m p l em e t h o d b a s e do nt h ea n a l y s i so fe x i s t e n t i a lf i t t i n gm e t h o d s t h ec u b i c s p l i n ef i t t i n gm e t h o d ，p e n a l t yf u n c t i o nf i t t i n gm e t h o da n dbs p l i n ef i t t i n gm e t h o da r e p r o p o s e d w i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i so ft h e s em e t h o d s ，s t a t i s t i cc h a r a c t e ro ft h e e r r o ri sa l s o d i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，t h em e a s u r eo ft h e o u t p u t a f t e rs rp o s t t r e a t m e n t sw i t hm u l t i - f r e q u e n c y i n p u tt h a ti n c l u d e ss m o o t h n e s sa n ds t o c h a s t i ce r r o ri s a l s od i s c u s s e d t h i sa r t i c l eh a ss t u d i e dt h er e s e a r c ho np o s tt r e a t m e n t so fb i s t a b l es t o c h a s t i c r e s o n a n c es y s t e m ，w h i c h p u t se m p h a s i so nf i t t i n gm e t h o d a n di t sc h a r a c t e r i s t i c k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，b i s t a b l es y s t e m ，p o s tt r e a t m e n t s ，m u l t i f r e q u e n c y a n a l o gs i g n a l ，f i t t i n gm e t h o d s 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 第一章绪论 随机共振( s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，s r ) 概念是b e n z i 和n i c o l i s 等人在1 9 8 1 年解释地球冰川的周期性问题提出来的【1 - 2 】。他们发现：由地球偏心率的周期变 化所产生的小周期扰动在随机涨落的作用下，将导致气候的巨大变化。他们把这 种现象称为随机共振。随后，f a u v e 和h c s l o t 用s c h m i d t 触发器的电路实验证实 了这一现象【”。m c n a m a r a 等人在激光实验中观测到类似的共振行为n 正是这 些实验研究的结果进一步引起了人们研究随机共振的兴趣。 随着随机共振研究的深入开展，人们发现：在信号处理中，随着输入噪声的 增加，线性系统的信噪比会越来越差，然而，对于非线性双稳态系统来说，噪声 和信号会产生“协同“效应，使一部分噪声能量转化为信号能量，从而，噪声被 有效地控制，信号幅值被放大，系统的信噪比被提高了。这一现象无疑为人们对 信号和噪声的处理引发了新思路。因为传统上，工程师总认为噪声是有害的，是 造成系统无序的根源，并设计各种设备和算法来减小噪声的影响。但随机共振现 象使人们得以认识到噪声有利的一面【5 。7 1 。 图l - 1 随机共振系统用于检测信号 近来，随机共振系统被广泛地应用到通信等领域中，如在信号检测方面( 如 图1 - 1 所示) ，随机共振被应用于检测强噪声背景下系统输入的弱信号【1 2 】。随机 共振现象出现的主要因素包括：一个非线性系统，信号和噪声。 1 1 双稳态系统随机共振的简介 1 1 1 力学模型 解释随机共振现象可以从布朗运动的角度出发4 8 。”】，布朗运动可以描述 成以下方程 ，疵+ 矗= f ( x ) + 胃+ ( f ) ( 1 1 1 1 ) 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 其中，厂 ) 为粒子受到的外力，h + ( r ) 为随机干扰力。 如果布朗粒子受到的外力f ( x 、是一个有势力，并且势函数是双稳的，即 ，( x ) = - v ( x ) ，方程( 1 + 1 1 - 1 ) 可以进一步转化为 ，耐+ 反+ y 7 ) = h + ( r ) ( 1 1 1 - 2 ) 其e n v ( x ) = 一a * x 2 2 + 口+ x 4 4 ，口+ 0 ，肛+ 0 。布朗粒子的质量很小，因此惯 性力比起其他各项可以忽略，这时，方程( 1 1 1 2 ) 可以简化为 主= c ( 工) + h ( f ) ( 1 1 1 - 3 ) 这样的方程被称之为朗之万方程( l a n g c v i n ) ，这里c ( x 1 = 耐一f x x 3 ， a 0 ，u 0 ，h ( t ) = ( f ) + 占 ) r ( f ) 为布朗运动的激励力，可以作为随机共振 的系统输入，厅( f ) 为确定性的激励力，可以看作系统的输入信号，g ( x ) r ( t ) 为 随机干扰力，即系统的输入噪声，其中g ( x ) 为噪声作用的影响形式，r ( t ) 为高 斯白噪声。 具有双势阱性质的朗之万方程是典型的双稳态菲线性系统，考虑最简单的激 励力，2 ( f ) = a c o s ( ( o t ) ，随机干扰力为高斯白噪声时，l a n g e v i n 可以描述为 d x d t = o - , x 一肛x 3 + a c o s ( c o t ) + r ( t ) ( 1 1 1 - 4 ) 式中n ，肛为大于零的实数，是势阱的形状参数，a c o s ( o ) t ) 为外加周期调制信 号，a 为信号幅值，是调制频率，r ( f ) 代表高斯分布自噪声，且满足统计平 均( r ( f ) ) = o , n ( r ( t ) r ，( f ) ) = 2 d 6 ( t t ) ，其中d 为噪声强度，t 为延迟时间。 相应的势函数为 v ( x ) = 一甜2 2 + p x 4 4 一x ( a c o sc o t + r ( f ) ) ( 1 1 1 5 ) 上式描述了一个由两个势阱和一个势垒组成的双稳态系统。这时，经典的随机共 振可以描述为一个过阻尼粒子在双稳态势阱中的运动。 当输入信号幅值a 和噪声强度d 为零时，系统有两个相同的势阱，阱底位 于x = 刁i ，垒高为y = a 2 ( 4 肛) 。系统的最终输出状态( 用一小质点表示) 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 将停留在两个势阱中的任意一个，这取决于系统的初始状态。图1 1 1 1 是 n = = 1 时的双稳态势曲线，此刻，系统输出状态假设在左势阱。从图1 1 1 1 可以看出，在没有信号或噪声的情况下，系统在x = = 瓦= 1 ：z = o 处的 二个势阱点和一个势垒点分别对应势函数曲线中的两个极小值和一个极大值。 图1 1 1 1 当a = 0 ，r ( t ) = 0 时方程1 1 1 ，5 所示的双稳态势函数 ( a ) ( b ) 图1 1 1 2 双稳态系统在两势阱间进行切换示意图 当外界输入a 不等于零时，整个系统的平衡被打破，势函数v ( x 、随着信号 幅值a 大小的变化而不断改变两个势阱的深度，势阱在a 的驱动下发生倾斜。 当静态值a 达到4 n 3 ( 2 7 t 0 = 4 2 7 时，系统只剩下另外一个势阱，其状态 就会转入到这个势阱中，输出状态将产生大幅值的跳变，系统完成了一次势阱触 发，如图1 1 1 - 2 ( a ) ，1 1 1 - 2 ( b ) 所示。反之也样，数值a = 4 4 3 ( 2 7 i t ) 称为 系统的静态触发阀值条件。 在强噪声背景下，信号和噪声都可以引发势阱触发、但它们的触发特性是不 同的。信号和噪声共同引发势阱触发，其触发特性更为复杂。当系统处于动态触 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 发状态时，若d = 0 ，a a c ，此时，系统的输出状态将在x = a 或 x = - d 口n 处的势阱内局域地周期运动。然而，当系统引入噪声，在噪声的帮 助下，系统将在两个势阱底( 口肛和一口口) 之间 进行翻 转。由于双稳态之间的电压差远远大于输入信号的幅值，使输出信号幅值大于输 入信号幅值起到了有效的放大作用。同时因系统输出状态有规则的变化、有效地 抑制了系统输出状态中的噪声能量，从而使系统输出的信噪比得到了提高。这种 现象实质上是信号与噪声在双稳态非线性系统条件下的协同效应，被称之为随机 共振。 从产生随机共振的条件可知，假如双稳态系统输入的信号加噪声低于势垒 ( 触发阀值) ，通过调整系统的参数口，肛来改变势垒高度，使系统输入的信号和 噪声的能量足以支持粒子越过势垒，符合随机共振发生的条件，那么，系统也能 产生随机共振【1 6 】。 1 1 2 数学描述 朗之万方程描述的布朗粒子的运动是一个随机过程，是通过确定粒子轨道的 统计特性来描述这个运动的，这样的描述很直观。我们知道，随机变量的统计特 性，可以通过其各阶矩来描述，但很难直接求得这个非线性朗之万方程的各阶矩 【i l 】。因此，我们把注意力从布朗粒子轨道的统计特性转移到粒子概率密度分布函 数上来。接f 来，我们讨论并推导系统输出的概率密度分布函数满足的方程【“】。 对于系统量= c ( 曲+ h ( t ) ，其输出可以看作一个马尔可夫过程n 1 ，首先， 我们直接讨论马尔可夫过程的各阶矩的性质。对于马尔可夫过程，可以从t 时刻 的分布函数p ( x ，f ) 求出t + f 时刻的分布函数p ( x ，t + f ) p ( x ，t + f ) = ，p ( 上，t + f x ，t ) px tf ) 出 ( 1 1 2 - 1 ) p ( x ，t + r i x ，f ) 反映随机变量在f 时刻取值x 条件下，在f + f 时刻跃迁到x 上 的概率密度，又称为跃迁概率密度。为了导出p ( x ，f ) 满足的微分方程，考虑f 1 时，可以得到 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 p o ，f + f ) 一p ，f ) ：璐d p ：) dr 同时，可以考虑以下的恒等式 p ( x ，t + fl x rt ) = f o ( y x ) p ( y ，t + f l 工，f ) 匆 对上式中的o ( y 一曲展开如下 6 ( y z ) = 6 ( x 一x + y x ) = 薹学c 廿耄呼c 一扣”工，n 1 2 4 从而，式( 1 ，1 2 3 ) 可以转化为 其中 p c x ，r + f i z ，r ，2 ，+ 蠢未( 去) ”m 。c x ，f ， 6 c z x 。( 1 1 2 - 5 ) m 。x ，t ，f ) = 尺_ y z 7 ) 。p ( y ，t + f i j ，f ) 咖 是t 时刻下取x 的条件下，t + f 以x 7 为中心的各阶中心矩。把式( 1 1 2 5 ) 代 入式( 1 1 2 1 ) 中，从而得到 p c x ，r + f ，= ， ，+ 薹去( 一去) ” 彳。c 工，r ，f ， 6 c x x ，p c x ，t ，d x 。，。：。， = p c x ，r ，+ 薹三( 一去) ”m 。c z ，r ，f ，p ，r ， 根据式( 1 1 2 2 ) 和( 1 1 2 ，7 ) 可以得到下式 o p 。( x , t ) t = 茎”咐) a钶l 瓤j 一 其中 见；掣p ( 州) n ： ( 1 1 2 9 ) 得到了马尔可夫过程的矩满足的方程之后，继续讨论立= c ( x ) + 日( f ) 的系 统输出的各阶跃迁矩的形式。 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 根据戈= c ( x ) + h ( f ) ， t h ( t ) = ( f ) + g ) r ( f ) ，h ( t ) = o 可以推出 x ( t + v ) - x ( t ) = f “ c ( 啪7 ) + g ( x ( f ) ，f ) r ( f ) m ( 1 1 2 - 1 0 ) 对e 式中的c ( 石) 和g ( 力做关于x ) 一x 的展开，可以得到 c ( x ( t ) ，t ) = c ( x ，t ) + c ( x ，t ) ( x o ) 一x ) + a g ( x ( t7 ) ，t ) = g ( x ，t ) + g x ，t7 ) ( x o ) 一x ) + a 式( 1 1 2 1 0 ) 可以转化为 x ( t + f ) 一z ( f ) = r c ( x ，f ，) d r + f f ”c w ) ( 娴一工+ a “”g ( x , t ) f q ) d r + ，“g ，f ) ( f ) 一x ) r ( f ) 出+ 人 对式( 1 1 2 1 1 ) 中的x ( t ) 一x 再次厘用式( 1 1 2 1 0 ) 的关系，口 以进一步得至0 x ( t + f ) 一x ( f ) = t “c ( x ，f 弦7 何+ c 协旷c ( x ( t ) , t ) d f f d t 7 “”c ( x , t ) f t t 。占( 工r ”) r ( t ) d t d t + a ( 1 1 2 - 1 2 ) “g ( 彬删) d r 吖”g ( 彬) r ( f7 埔。c ( x o f , t ) d t d t “”g ( 列7 ) r ( f7 蚵g ( x ( 啪”) r ( f ”) d f 饥+ 八 m 。x ，t ，t ) = ( x ( t + d x ) = c ( z ，t ) + d g ( x ，t ) g ( x ，f ) ：+ d ( f ) ( 1 1 2 1 3 a ) m ：( 彬，d = ( 1 ( f + 气) 一z 了) = 2 d 9 2 ( 剐) + 。( t ：) m 。( x ，厶工) = ( 1 ( f + 功一x 丁) s 。( f ) ，以3 将式( 11 2 1 3 ) 代入式( 1 1 2 8 ) 中，最终摊导得到 6 ( 1 1 2 1 3 b ) ( 1 ，1 2 1 3 c ) 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 生笋= 一去f ) + 船( 咖协虹 + 彬) 吣，f ) 该式就是系统输出的概率密度分布函数需要满足的f p k 方程。 我们再来考虑系统输入为常数的情况，此时，双稳态模型i = c ( x ) + ( f ) 可 以表示为 戈= 龇一l “x 3 + h ( 0 + 亭( f ) ( 1 1 2 一i s ) 可以用f p k 方程来描述系统输出的概率密度分布函数p ( x ，f ) 了o p ( x , t ) 一去聃) 】+ 。学( 1 1 , 2 - 1 6 ) 这里c 0 ) = a x 一弘，+ h ，h 表示输入的信号，在这里是一个常数。 系统参数的重新定义 对于确定性的输入信号，调节系统参数可以使得噪声达到随机共振的共振 点，需要先对系统参数进行重定义，以便找到直接影响系统输出的系统参数。 先看一下系统参数口= 1 的情况。此时，我们定义 y ：z 五，厚：弘d ，元； 万 式( 1 2 1 5 ) 就可以转化成 i a p ( y , t ) ：一兰【_ ( y ) p ( y ，f ) 】+ o z p i ( f y , t ) d tay 。 d y 。 其中石( y ) = y 一万y 3 + ha 满足自然边界条件： l i m ! ：壁q 盟：0 ，九：0 , 1 ，2 。 嚣a y ” 可以看到，式( 1 1 2 1 7 ) 中已经不再出现噪声强度d ， d 的变化可以等 效成为系统其他参数的变化，可以解释为：系统参数的变化能够导致随机共振现 象的出现。式( 1 1 2 1 7 ) 描述了一个受单位强度的白噪声( d = 1 ) 污染的幅值 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机麸振系统后处理的研究 为h 的定常信号通过一个参数为a = 1 ， = 可的系统 量= 似一肛z 3 + 矗( f ) + 亭( f ) 后，系统输出的概率密度分布函数满足的方程。 当碍1 时，系统参数可以做如下变换： 口1 = 1 ，肛1 = l a a 3 , 啊p ) = h ( r a ) ，d 1 ；d 日 接下来，对系统参数同样进行上面的变换。这样，系统就只有两个独立的参数面 和 ，这将给我们研究系统参数变化对输出性态的影响提供了很大的便利。 系统输出的数字特征 方程( 1 1 2 1 4 ) 中，由于漂移项含有非线性项，我们很难求出方程的非定 态解。这也是先考虑常数输入。t 靓n n n ，方程( 1 1 2 1 n 的稳态解具有如下形式： p ( x ) = 1 i 罂d 0 ，f ) = c 。e x p g ( y ) ( 1 1 2 1 8 ) t 畸 其中g ( y ) = 专y 2 一 万y 4 + hy ，c 。是一个常数，可以由概率密度分布，) ( x ) 的 归一化条件确定，这是由于 cp ( x ) 出= c o , - a f 2 e x p g ( y ) d y = c o , - e l ( b ，五) = 1 ( 1 1 f 2 _ 1 9 ) 从而可以确定 c o = 4 5 厶( 五，磊) _ 1 。 为了方便下面的讨论，我们定义 ，f ( 西，五) = e y e x p g ( y ) d y ，i = 0 , 1 ，2 通常，信噪比的定义是指信号能量和噪声能量的比值，接下来我们讨论如何 确定系统输出中信号和噪声的能量。 对于输出信号，我们可以求出它的稳态输出的均值 ”1 ”c 。f 。删p f g ( y ) d x = c o d f ? 。y e x p g ( y ) d y 2 _ 2 1 、 = c 。d l ( i x ，矗) = 4 d ，l ( p ，_ 1 ) ，j ( 肛，_ ；1 ) 同时，可以求出稳态输出的平方的均值为 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 e x 2 = c o f 2 x 2 e x p g ( y ) d x = c o d , - f f f 2 y ze x p g ( y ) d y ( 1 1 2 - 2 2 ) = c 。d d ，2 ( 肛， ) = d a ( ， ) f o ( 肛， ) ， 进一步求出稳态输出的方差 叩】_ 研z ：卜( 印】) 2 ：dj 丛些一掣 ：d 五( 五，五) ( 1 1 彻) ，0 ( 肛，h ) ，0 2 ( 肛，h ) i 上式中的d p 】代表了稳态输出中噪声的能量，可以取稳态输出的均值的平方作 为信号的能量( 从物理角度来看，常用信号幅值的平方来衡量信号能量) ，这样， 可以定义稳态输出的信噪比为 s n r ：黧：鱼螋：丛丛l ：五：( 硇( 1 1 刎) d i x 五( 五，五) ，2 ( 西，h ) f o ( , u ，石) 一五2 ( 正，五) “ 。 确定系统输出的信号经过多长时间后，可以近似认为达到稳定态，这个时间 就称为特征时间。首先，我们做一个变换 p ( y ，f ) = 妒( y ，t ) e x p 古g ( y ) 】( 1 1 2 2 5 ) 这样，方程( 1 1 2 1 7 ) 就转化为 堂些：掣学一心( y ) + 古g ，z ( y ) ( ) ( 1 1 拙) a fa v 。、 。 假定妒( y ，f ) 具有如下的形式 妒( y ，t ) = u ( y ) e x p - x t ( 1 1 2 - 2 7 ) 代入到方程( 1 1 2 2 6 ) 中，从而得到 一z u ( y ) = “”( y ) 一圭 g ”( y ) + 圭g “( y ) l u ( y ) ( 1 1 2 - 2 8 ) 根据变分原理可以把这个特征值问题转化为一一个变分问题。在上式两边同乘 以“( y ) ，然后对) 从一。积分到+ o o ，式( 1 1 2 - 2 8 ) 就转化为 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 a 咄，。剑旦型生擎坚堕竺业 f “2 ( y ) 咖 l i m ( “，“) = 0( 1 1 2 - 3 0 ) h ( 力= e x p j g ( y ) l ( d o + d r y + + 以，) 这样的“( y ) 满足式( 1 1 ，2 - 3 0 ) 的边界条件。把上式代入( 1 1 2 - 3 0 ) ，可以得到 ( k 卜州m 】) p = 0( 1 1 2 3 2 ) 其中p = 【d od l dr ，【m 】= 【m 口】，【k 】= 【毛】r 这里i ，j = 0 , 1 ，2 ，n ， m q 2 l 。y “i e x p g ( y ) l d y ， k i = c 专g ”( y ) + 捂2 ( y ) l y h 。 + 砂。+ 号g ( y ) ) ，；】 一一1 + 寺g ( y ) y ，】 e x p g ( y ) l d y 2 = c 上2 五y “卜6 一五y “卜4 一五磊y ”卜3 + 坐笋y 托 + 磊y ”斗1 + 半y 叫+ 丁i + j 五y “卜1 + i j y ”卜2 e x p g ( y ) l d y 我们可以看到，m q = m f ，= k l ，也就是 m 】和瞵 都是对称的矩阵。 可以证明 m 是正定的， k 是半正定的，从而可以解得这个矩阵的特征值”1 。 可以得到式( 1 1 2 - 2 9 ) 确实有特征值a 。一0 ，此时“= e x p g ( y ) ， p ( y ，t ) = e x p g ( y ) 1 是稳态解。n 以i i n ，系统的其他特征值部是正数，我们把 这些特征值按从小到大排列，并分别赋予从1 开始的下标，就得到一个序列凡， i = 1 ，2 ，其中的凡是我们要求的响应速度，1 是系统的特征时间，即可以 近似认为，经过1 九时间后，系统的输出达到了稳态。 l o 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 1 2 随机共振系统输出的特性 从力学的角度来看，x ( t 1 可以解释为一个在受信号调制的双稳态势阱中运动 的过阻尼粒子的轨迹1 2 8 。1 “。对于双稳态非线性系统主= c ( x ) + i - i ( t ) ，当 h ( t ) = 0 时，系统的势函数y ( 土) 是对称的，系统有两个稳定点和x 一，以及一 个不稳定点以其中鼍= 4 a t , ，吒= 0 。这个双稳态非线性系统存在两个势 阱，中间由一个势垒隔开，由于系统势函数的对称性，系统输出落在两个势阱里 的概率是相等的，因此粒子落在这两个对称势阱的概率密度也对称分布。跃迁是 指粒子积累能量越过势垒，即产生随机共振。 当信号很小、噪声为零的时候，系统输入在半个周期里提供的能量不足以使 粒子越过势垒；同样，当噪声很小、输入信号为零时，粒子需要经历很长的时间 积累足够的能量才能发生跃迁，实际上，可以认为在微弱噪声的单独作用下不能 导致系统产生跃迁；但是，在噪声和信号的协同作用下，只要积累较少的能量噪 声就能够导致跃迁，从而减少了粒子跃迁的时间。当输入信号不变时，适当增加 噪声的强度，粒子积累能量的时间可以大大减少，这时噪声促进了跃迁的发生。 在信号和噪声单独作用都不能导致跃迁、共同作用才能产生跃迁的情况下， 可以得出：h 0 时，粒子由负到正跃迁的概率大于由正到负跃迁的概率【”1 。因此， 从统计的角度来看，系统输出产生的跃迁总是促使输出和信号同步，从而产生由 噪声引起的“共振”。 越过势垒后，粒子在特定的势阱内以确定性方程的解为轨道振荡运动，系统 输出就能足够快地跟上信号的变化。这时，h ( t 、随时间变化很慢，方程 主= c ( x ) + h ( f ) 中的j 比起其他项来是个小量，那么确定性方程的解，即粒子 在阱内振荡的轨道，通过求解方程 c ( x ) + h ( t ) = 0 ( 1 2 1 ) 可以近似得到。式( 2 1 - 1 ) 对t 求导后成为 c e 十 ( f ) = 0 ( 1 2 - 2 ) 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 戈的表达式可以写成 立：一盟( 1 2 - 3 ) c b ) 当输入信号为微弱信号( 三时，毒生：土 1 ，粒子完成跃迁后的运动被压缩r ，口越大，运动 2 i t 4 ( t ) l 2 a 压缩的越明显。 综合考虑跃迁及跃迁完成后的运动，跃迁产生处，输出信号波彤被“拉伸”， 在稳态点附近，波形被畸变为近似矩形形状，系统输出的波形近似于梯形波【2 3 】。 由于噪声的主要作用在于促进跃迁，噪声的多少只影响跃迁段时间的长短， 对总体波形没有影响。很明显，这样的输出波形产生了严重的畸变，不能真实反 映输入信号的变化，特别是当输入信号是多频模拟信号的时候。需要对这类畸变 进行非线性补偿，通常通过输入信号和系统输出之间的关系图来反演。 1 3 反演介绍 我们把对系统输出进行处理以恢复输入信号的过程称为随机共振的后处理， 后处理包括两个部分：对系统输出的反演和对反演结果的拟合。本小节首先介绍 对系统输出的反演方法。 由于噪声的随机作用和微弱信号( 1 h l 0 ，可以有以下假定： x ( f ) = i ( f ) + f f d y ( t ) ( 1 3 2 ) 其中，哥( f ) = ( x ( f ) ) ，( x ( f ) ) 表示系统输出的均值，为系统输出的确定性部分； y ( f ) = 0 ( 1 ) ，为一个近似的高斯随机过程，其均值为0 a 将式( 2 ，3 - 1 ) 代入主= c ( x ) + ( f ) 中，并略去关于d 的高阶小量 王( f ) = c ( x ) + h ( t ) ( 1 3 3 ) 当悻( 叫1 | i l ( f ) 1 时，可以得到系统输出的反演公式 h ( f ) = 一c ( 戈) 一晟o ) ( 1 3 4 ) 由上式可以得到：舅( f ) * - h ( t ) c ( 回，从而反演成立的条件应该满足下式 l 五( f ) l i c 职) ( r ) i ( 1 ，3 5 ) 显然，i 琳h ( t 1 = 0 附近不能成立，所以在系统输入为0 的附近，反演公式不 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 能直接使用。 下面给出两个确定性的系统输出利用反演公式( 1 3 4 ) 的结果。图1 3 3 ( a 1 和( b ) 的差别很大，图1 3 3 ( a ) 为信号不能产生跃迁的情形，反演后信号波形基本 不变；图1 + 3 3 ( b ) 是信号能产生跃迁的情形，反演后信号波形在过零处有严重失 真的情况。带噪声的弱信号产生跃迁后，系统输出的均值经过反演，也会产生图 2 3 1 中的现象，可见，这种现象是由于跃迁导致的。 图1 3 3 ( a ) 没有跃迁时反演的结果图1 3 3 ( b ) 有跃迁时反演的结果 当系统在 = 0 附近出现跃迁的时候，输出的均值孟是从t 到t ( 或者从t n x _ ) 连续变化的，它们所对应的h 如图1 3 4 ( a ) 所示；同时，曼是随时间变化 的，所以如果把图2 3 - 2 ( a ) 中的横坐标x 变换为时间t ，则刚好对应于图1 3 - 4 ( b ) 中的a b 段曲线，反演结果严重失真。 厂 “ z v + j 图1 3 4 ( a ) 函数h ( f ) = 一c ( 主) 图像图1 3 4 ( b ) 跃迁时间段反演失真原因 通过调节系统参数口，可以使得系统的响应速度a 很大1 2 2 。3 ，从而图 1 3 - 4 ( b ) 中a b 段很短，即使得反演结果严重失真的时间很短。而在这个时间段 内，可以认为信号近似线性变化，所以可以选取基本不受跃迁影响的c 点，用a 、 c 的线性插值来作为这段时间的输出的近似。这要求严重失真段的时间越短越 好，根据数值结果，在跃迁时间1 z t 1 2 ( 丁为信号的周期) 时，选择a c 段的时间为2 5 a ，此时c 点的偏差为e - 25 = 0 0 8 2 ，已经较小。 由于条件( l 3 5 ) 仅仅在向( f ) = 0 附近不成立，相对整个区间系统的观 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 测时间来看，这个小区间很短，因此，我们可以对j i i ( f ) = 0 附近的系统输出进行 特殊处理，比如采用插值的方法等，对其余区间对应的系统输出直接运用反演公 式( 1 3 4 ) ，就可以根据系统输出便捷地得到反演结果。 l - 4 本文工作 本文首先解释了非线性双稳态系统产生随机共振的机理，其次，从数学上描 述了系统输出的概率密度分布函数及其数字特征。 随机共振产生后，由于非线性系统的特性，系统输出发生了波形畸变，需要 对系统输出进行非线性补偿反演。经过反演后，由于反演结果仍然包含残余 随机成分，无法直接描述出输入信号的波形。为了消除反演结果中的残余随机成 分，并提高反演结果的光滑度，我们提出了多种拟合方法。我们把这个反演过程 和拟合过程称之为随机共振的后处理。 本文将分析已有拟合方法特点，在此基础上总结新的拟合方法需要满足的性 能，并进一步提出三次样条拟合法、罚函数拟合法和b 样条拟合法，并分析这 些方法在后处理应用中的性能。拟合结果的光滑度和拟合结果中的随机方差是衡 量拟合性能的重要标准，本文将给予详细介绍。 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 第二章拟合方法在后处理中的应用特点 噪声是一个随机成分，随机共振的系统输出也包含残余随机成分，即受噪声 的影响。由于随机共振系统的非线性特性，系统输出发生波形畸变，需要对其进 行反演；其次，经过反演公式后，系统输出的反演结果仍然包含大量随机成分， 无法满足实际应用提出的对信号波形的光滑度的要求，即信号波形不仅能满足在 各点上的函数值连续，而且满足在各点上一阶导数连续。 为了满足实际应用，我们需要消除系统输出的反演结果中残余随机成分以恢 复输入信号，即在双稳态随机共振的后处理中对系统输出的反演结果做进一步的 优化。 随机共振后处理常用的方法可以分为插值法和拟合法：运用插值法对反演结 果进行处理，插值结果不能有效减小残余随机分量产生的偏差【1 8 】，处理后的反 演结果仍然无法反映输入信号；常用的拟合法包括多项式拟合法和分段的 h e f m i t e 插值函数拟合法【23 1 。下面我们将详细讨论这两种拟合方法在随机共振后 处理中运用的特点。 2 1 多项式拟合法的应用特剧1 6 ，2 2 彩】 多项式拟合法是最常用的曲线拟合法，它可以满足对光滑度有任意要求的曲 线拟合。但是，针对观测时间较长的信号，拟合结果容易出现振荡现象( r u n g e ) ， 从而使拟合结果严重失真：其次，对观测时间较长的信号，为了避免出现振荡现 象，需要对输入信号进行分段恢复，但运用多项式拟合法的拟合结果在起始段和 结束段和真实值的偏差较大，拟合结果在分段处不能很好地连接，因此，不利于 我们对时间序列较长的信号进行分段；另外，多项式拟合法仅仅适用于拟合单频 输入信号，当多频输入信号的频率相差比较大时，对多频输入信号进行处理的结 果只能反映出低频信号的变化趋势，忽略了高频信号，这点不利于拟合结果的正 确性。 例1 ：取一个随机共振系统，系统参数a = 1 0 ，“= 1 2 ，0 0 0 ，输入信号 h ( t ) = o 2 s i n ( 0 8 z t ) ，输入白噪声的强度d = 1 ，观测时间为0 2 0 秒，采样 浙江大学2 0 0 4 硕士毕业论文双稳态随机共振系统后处理的研究 周期为0 0 0 1 秒。 图2 1 1 0 ) 输入信号 图2 1 - 1 ( c 1 系统输入( 信号加噪声) 图2 1 1 ( b 1 输入噪声 图2 1 1 ( d ) 系统输出 图2 1 1 ( 0 反演结果图2 1 1 ( 5 多项式拟合结果和信号的比较 系统输出发生波形畸变