（基础数学专业论文）构造一个算符的完备算符求群的特征标.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在群表示中，特征标用来标记不等价的不可约表示计算各种群的特征标，是 研究群不可约表示的基础特征函数法提供了计算各种有限群特征标的统一方法 本文的主要结果是在一类特殊的群即二面体群基础上，通过拓展，用构造的思 想找出了简化特征函数法的一个具体方法把研究群表示特征标的问题转化为研究 群代数中心及群代数中心生成元的问题利用矩阵及抽象代数和群论的一些基础 知识大大的减少了传统特征函数法中的计算量这样就能更简洁的计算了群g 的不 可约特征标此文还用具体的求解群特征标的过程，详细的展示了这一理论的完整 性和简洁性 关键词：不可约表示i 特征标i 类算符j 群代数中心j 特征函数法 a b s t r a c t c h a r a c t e ri su s e dt om a r kt h en o n - e q u i v a l e n ti r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n si n g r o u pr e p r e s e n t a t i o n s t h ec a l c u l a t i o no fc h a r a c t e r so fg r o u pr e p r e s e n t a t i o ni st h e b a s i so fs t u d y i n gt h ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no fg r o u p s e i g e n f u n c t i o nm e t h o di s a p p l i e dt oc a l c u l a t et h ec h a r a c t e r so fa l lk i n d so fg r o u p s b a s e do ne x t e n d i n gas p e c i a lg r o u pn a m e dt h ed i h e d r a lg r o u p s ，t h i st h e s i sf i n d s a s p e c i f i ct h e o r yo fs i m p l i f y i n gt h ee i g e n f u n c t i o nm e t h o d t h es t u d yo ft h eg r o u p r e p r e s e n t a t i o nc h a r a c t e ri ss w i t c h e dt ot h es t u d yo ft h ec e n t e ro fag r o u pa l g e b r aa n d g e n e r a t o r sf o rt h ec e n t e ro fag r o u pa l g e b r a c a l c u l a t i o no ft r a d i t i o n a le i g e n f u n c t i o n m e t h o di sd e c r e a s e db ym e a n so ft h eb a s i st h e o r yo fm a t r i x ，a b s t r a c ta l g e b r aa n d g r o u pt h e o r y i nt h i sw a y , t h ei r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro ft h eg r o u pgi sc a l c u l a t e d m o r es i m p l y t h ep r o c e s so ft h ec a l c u l a t i o no fg r o u pc h a r a c t e ri sa l s oi n t r o d u c e d ， w h i c hi st h ed e t a i lr e v e l a t i o no fi n t e g r a l i t ya n ds i m p l i c i t yo ft h i st h e o r y k e yw o r d s ：i r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n ；c h a r a c t e r ；c l a s so p e r a t o r ；c e n t e ro yag r o u p a l g e b r a ；e i g e n f u n c t i o nm e t h o d 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 獬名：邹苟 日期：加7 年歹月砂自 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 嚣彩氮 日期：沙p7 年岁月乙6 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重途塞埕童卮进厦! 旦圭生；旦= 生；旦三生发盔! ，- p d 弓a小月 拓够 厅r-， 各 如 翻。 师期 和玑 、 y ，d 易乞r 月 锄盯 ：y 名 h ，摊。 师期 孚日 ，护 7 芳劝 f勿习年 ，：_、 名 刀 獬 者期 作日 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 第一章引言 有限群表示理论是数学的重要分支，同时它还是物理学和量子化学等学科中 一种很重要的数学工具群论这个数学分支是早在量子力学出现前就由数学家独 立创造的，而不像微积分那样由数学家和物理学家共同创造所以，虽然有关群论 的著作多得不胜枚举，但是所有的著作都属于同一种类型，总包含着一大堆的数学 家所用的术语，一大堆的定义、引理、定理等 因此对于大多数物理学者来说，群论的这些数学专业术语妨碍了他们对群论 知识的理解，影响了他们在实际研究工作中对群论知识的运用其次传统群论对各 种群的表示也没有一个统一的处理方法，解决具体群的表示问题还需要特殊的技 巧这些都不利于群论在物理和化学工作中的传播和应用能不能使群论让物理和 化学工作者掌握起来容易些呢? 量子力学中处理的是力学量和量子态，他们的数学表示是线性算符和态向量， 有限群表示论讨论的则是群元素算符的表示和荷载该表示的基向量两者十分 相似所以陈金全教授把量子力学中的完备算符集( c o m p l e t es e to fc o m m u t a t i v e o p e r a t o r s ，记为c s c o ) 概念引进有限群表示论，给出了一种完全按量子力学方式处 理问题的有限群表示论，见文献f 4 1 这一理论的特点是：概念和术语与量子力学关 系密切，因此便于物理学家理解和应用按照这一理论，我们就把有限群表示论的 基本问题一如求特征标、求不可约基、求不可约矩阵表示、等等一统统都归结 为求相应空间的c s c o 的特征值和特征函数的问题因此这套方法可称为特征函数 法 用特征函数法来计算有限群的特征标是一种较常见的方法，它的思路和论证 方法直接依赖于算子和向量，依赖于线性代数，它的关键是要构造完备算符特征 函数法提出以后，有些文献对若干具体群给出了一些改进方法，简化了完备算法的 寻求和计算，如文献【2 】，【8 ，【1 5 】，【1 9 等等本文主要结果是对一类有限群提出了 种改进的求完备算符的方法 本文第二章介绍特征函数法的预备知识，第三章较详细地介绍特征函数法 第四章则是我们对特征函数法的部分改进由两个元按一些关系生成的群是 量子物理学和量子化学中常出现的有限群类我们在用特征函数法计算一个特殊 的二面体群a 竹的特征标的过程中产生灵感，通过构造了一个简单的完备算符作为 切入点很容易的求出了其特征标，进而想到对于所有二面体群是否有同样的找到 简单的完备算符的简便方法，最后把结果从二面体群g = 扩展到像这样的两个元生成的群g - - - 我们对 这一类有限群给出了寻求计算完备算符的简化方法，并且指出这种方法求出的完 备算符是这类群的最简单的完备算符，计算量最小我们还用具体的例子对比了传 统的特征函数法和改进后的特征函数法的区别，展示了改进方法的简洁性 第五章对整篇文章做了总结，阐述了一些主要结果也表达了这篇文章的局限 性，展望了对这些问题的延续和进一步可研究的方向 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章预备知识 设有限群g 有夕个元素，群元素汜为玩( o 为自然数) 以群g 的9 个元为基底构造 复数域上的一个线性空间岛，称为群空间那么在群空间三9 中可以做群元素r n 的 加法以及复数与r n 的乘法在群空间中可定义任意两个基向量的标量积为 - - ( r a ，r b ) = g a 6 = 矗6 沪r 羞 群空间l 9 中任一向量p 可表为9 个基向量的线性组合 u a 为复数，u ：为其共轭由( 1 ) ，( 2 ) 式得到两个向量的标量积为 9 三( p ( 扪，尸。) = 乱妒+ 让g ( 3 ) 口= 1 因为群g 的元素有乘法运算，而群空问l g 的元素是群g 的元素的线性组合，按 照线性扩张，群空间l 9 的任意两个元素就有了乘法运算而且容易验证复数域上的 线性空间l 。在这个乘法运算之下构成复数域上的一个代数 定义2 1 称上述复代数l 。为群g 在复数域上的群代数 定义2 2 设群g 有个共轭类( 简称类) 设第i 个共轭类包含吼个群元r ，硝，磁， 则称和 9 i g = r i = 1 ，2 ，2 ， f = 1 为第i 个共轭类的类算符 这样就得到了群代数岛的个类算符g ，i = 1 ，2 ， 通过计算，容易得到类算符有如下三个性质： 1 类算符和群g 的所有元素相乘可交换，即 g r n = r o g 3 r a u 9 d | | p 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 证明：用群元r 口对类算符作共轭运算，结果只是把内算符中的元素重新排列 一下，即有 即 r a c i r - i 1 = r n r r 2 1 y t，、 f = 1 ：登矽 l = l = g 类算符两两相乘可交换，即 c = c j c t 证明i 由性质1 立即得到 3 两个类算符的积( 按群的乘法规则定义) 必可表为个类算符的线性组合， 证明：根据 n c , c j = 噶g k = l 壹见硝砑- ：gr a ( r 。硝) h i - ) 成- a = l 0 。- - - - - l 9 = r d r 筋1 a = l 可知上式中，i 类的所有元素都是处于等价地位，因此 由式及上式得到 或写成 g 2 詈三删对 一口 r o r n r 9 d 吼 = 一口 rqr 9 烈 g 夕一吼 = 一昼 冗 4 磷 r 9 d 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 另一方面由性质1 容易证明： 9 g 0 = ：1 死( g q ) 商1 ( 6 ) j a = l 根据( 5 ) 式，若( 6 ) 式右方包含k 类的某一个元素，如硝，则它必包含整个k 类，于 是( 4 ) 式得证 由( 4 ) 式左右两边元素数目相等，得到 由于类算符的上述三个性质，使得类算符在决定群g 的不可约表示时起着极其 重要的作用 定义2 3 设群g 有n + - - 类，它的个类算符 g ) 张成一个维线性空间，称为 类空间l 。 在l 。中任一向量可表为基底的线性组合即 在l 。中两个向量之和定义为 q 扩+ q p ) = ( 彰p + 玉) g l 。 ( 7 ) l = l 因为 g 是g 维群空间岛的一些特殊向量，故类空间三。是群空间l g 的一个子空间 l 。中的标量积由群空间标量积( 3 ) 式决定，有 = g i j = 吼岛 白= r 芸 仇为第i 个类算符包含群元的个数，由上式知 g ) 为正交但不归一的基底，于 是l c 中两个向量的标量积为 = g l 玉功蠢m i 5 鲰 噶 l | 缈 吼 a 吼 汹 | | q 硕士学住论文 m a s t e r st l e s i s 我们进一步可按照( 4 ) 式定义类空间中任意两个向量的乘积 q ( p q ( m = g ：p q 蠢p c j = ( g ；p 噶) 瓯l c ( 8 ) i jt j k 定义2 4 由f ，矽，俐式可见， q ( p ) 在线性组合和乘法下封闭，因此类算符 g ) 构 成一个代数，称为类代数它是群代数的一个子代数 在群代数中，群元既是算符又是基底，夕个群元构成群g 的正则表示，正则表示 可以说是最复杂的( 维数最大的) 一种可约表示，在等价的意义上，它包含了群g 所 有的不可约表示，因此十分重要 定义2 5 类似正则表示，类代数中，类算符既是算符又是基底，个g 构成类 代数的一个表示，称为类代数的自然表示 或写成 c “, c j = g q = 噶瓯 k g ( 兰) = 西c g ，( 兰) 西( g ) 即为系数嘴构成的一个阶矩阵 定义2 6 类算符c l ，g ，并不构成一个群，但同样可以定义他们的不可 约表示，即定义类算符作用下的最小不变子空间为它的不可约空间 对于类算符的自然表示，我们有几个比较明显的结论。 1 类代数的自然表示是一个维可约表示 2 n 个类算符可交换，故个自然表示的矩阵可同时对角化，则类算符的自然 表示必可分解为个一维表示的直和 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章特征函数法 有了上一章的预备知识，这一章我们重点介绍特征函数法的内容 首先在个类算符中任意选一个算符g ( g = e 除外) ，在类代数中，求g 的 特征值a i 即la ，一d ( g ) l = 0 的解 若有个不同的九，则g 构成维类空间的e s c 0 ( 即完备算符) 对应于它的 每一个特征值媸，由特征方程式 c i q i = n q i 可以求出唯一的解q ：( 除相差一个倍数外) 对于上面的一维特征向量q ：p 我们有下面的一个重要结论 3 0 完备算符g 对应的一维特征向量q ：p 是所有其他类算符的特征向量 证明：设a ；为g 的一维特征向量q ：”对应的特征值，则有 g 硝p ) = 硝q ：p 0 为任一其他类算符，两边同乘以q ，有 0 ( g q ) = g ( q q ) = n ( g q ) 表明q 创卅仍是q 的特征向量，特征值为m ，又因一个a ；只对应一个q ，故 q q = c o n s t q ：叫= 硝q 故这样求得的个特征向量q 构成类代数的个一维不可约基采用这套基 时，个类算符全取对角矩阵形式 若某一个特征值硝为埤重根，则类算符g 并不构成类空间的c s c o ，对于硝 解不能唯一确定，根据特征方程，可解得埤个线性独立解q 譬，q g ，q 。，它们构 成g 的一个心维特征空_ f h j l p ，这时我们可以再找一个类算符q 将q f ，q g ，q 铬。线 性组合，使之成为0 的特征向量，换言之，将空间乩按g 的特征空问进行分解，依此 类推，直到找到类空间的一个完备算符集 c = ( 6 i l ，6 i 2 ，g 1 ) 7 q 芦 = q 硕士学位论文 m s t e r st h e s i s ( 曼) q p ) = ( 至) q p ， 定义3 1 称上述的c = ( g l ，g 2 ，q f ) 为群的第一类c s c 0 ，1 5 ) 9 c s c o 一 ，简称为群的c s c o 下面讨论对任意有限群g 上述c 的存在性问题，即证明类算符集( 研，q ，西) 必 构成c s c o i ，换句话说就是要证明它有个不同的特征值 由于个类算符g 是线性独立的，我们可以把( 1 0 ) 式看作一个列向量，把个 列向量排成一个矩阵m ： 、b 1 f 1 m ：i 砰 l i i 尹 a ；1 a 字 ： a 引 由于个类算符g 是线性独立的，所以矩阵m 中个列向量为线性独立，故m 的 秩为因此它的个行向量( 婶，鹭，a ) ，i = l ，2 ，也必为线性独立这 样就证明了算符集( c 。，q ，j 瓯) 一定有个不同的特征值由此可知，对任一有 限群总可以找到一个完备算符集，从而把类空间分解成个一维特征空间的直和 实际上我们总希n c s c o 中包含的算符个数z 尽可能少见文献 4 】， 1 7 】 从上面也可知，对于( g l ，g 2 ，g z ) 构成群g 的c s c o i 我们总可以找 到f 个算符的一个线性组合c = k l g l + 盘2 g 2 + + 瓯，使得一个算符构成 群g 的c s c o ，即构造了个新的算符使之成为维类空间的c s c 0 有了上面类空间完备算符的知识，下面我们进一步介绍特征函数法理论 8 嚣、 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 记号如上，c 为完备算符，共同特征向量为q ( 川，再利用( 9 ) 式： c ( q ( p ) q ( p ) ) = ( c q ( ) q ( p ) = 入( p ) ( q ( p ) q ) ) = q ( p ) ( c q ( p ) ) = 入( p ) ( q ( p ) q ( p ) ) 故 q ( p ) q ( 肛) = t f 。, l , t h , q ( p ) 这里吼是一个只和有关的常数令 p ( ) = 酊1 q ( ) m ( 1 1 ) ，( 1 2 ) 式可得 p ( p ) p ( p ) = 以“p ( p ) 王，2p ， 王，p ， 定义3 2 称上式出现的尸( p ) 为投影算符易知投影算符为等幂元 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 关于投影算符我们有以下很重要的三个结论： 3 2 1 完备算符c 的特征向量p ( 吐肥群空间己。分解成c 的个互相正交的特征 空间l 的直和，尸( ) 为到l 的投影算符见文献 4 】 3 2 2 特征值a ( ) 不同的表示空间一定不等价见文献 4 】，f 1 6 】 3 2 3 由于完备算符c 的特征值a ( p ) 唯一决定了投影算符尸( 川，尸( p ) 又决定了 不等价的表示空间l ，因此可用a ( p ) 来唯一标志群g 的不等价的不可约表示( ) 见 狄拉克给出的定理，文献 4 】 我们得到第i 类类算符入和第i 个特征标) ( 的关系 “拶= 吼拶 9 l n ，、【 = p 以 里这在 这里b 为不可约表示( ) 的维数，9 i 为第i 类元素的个数再利用投影算符p ( ”) 的一些 结论，见文献 7 】，【2 1 】 砂) i 等) ( 吵g g 。= 1 弦r = l 啦1 22 再g 得到： ) ( ：) = x - g q 5 p ) ( 1 5 ) 于是求特征标) ( ( p ) 归结成在类空间l g 上求其完备算符的共同特征向量q ( 川 例子3 5 求解a ”正方形对称群的特征标 解：c 4 u 群元素为e = ( 1 ) ，四= ( 1 2 3 4 ) ，四= ( 1 3 ) ( 2 4 ) ，皤= ( 1 4 3 2 ) ，m z = ( 1 4 ) ( 2 3 ) ，m 3 ，= ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，雕= ( 1 3 ) ，p p = ( 2 4 ) 共八个元素，五个类，五个不可约表示， 佗；+ n ；+ 佗；+ n i + n ：= 8 唯一正整数解为1 ，1 ，1 ，1 ，2 知q 群有4 个一维的，1 个二 维的不可约表示五个类为g = ( 1 ) ，c 2 = 锘+ c 言，g = 皤，c 4 = m z + 仇掣，c 5 = p 恤+ p v 选取q 为完备算符，计算： q c l = c 2 伤c 2 = 2 c 1 + 2 c 3 q c 3 = c 2 q c 4 = 2 c 5 c 2 c r = 2 c 4 知q 的自然表示为 r 呈 d ( q ) ：i o i o f 口 2 0 00 1 010 0 l l 20 0 0 i l 0 0 0 2 l 1 0 0 2 0 i 计算d ( c 2 ) 的特征方程 a ，一d ( c 乞) l = 入( 入+ 2 ) 2 ( a 一2 ) 2 = 0 得到岛的特征值和特征向量 入2 = 0 是一重特征值，特征向量 q o - - 丽1 ( 2 c 1 2 岛) 而 a 2 = 2 是二重特征值，特征向量 q z = 去( g + q + g ) ，q 2 = 丽1 ( q + g ) 还有 a 2 = 一2 是二重特征值，特征向量 q s = 丽1 ( c - 一q + 岛) ，q 4 = 丽1 ( a 一既) q 的特征值有重根，所以q 不构成其完备算符再把q 的特征空f f i j ( q 1 ，q 2 ) 和( q s ，q 4 ) 按a 的 特征空间分解为 q q l = 2 q 2 ，q q 2 = 2 q 1 故 解得特征值为 同样解得 粥，= ) a 4 = 2 ，a 4 = - 2 g q 3 = 2 q 4 q q 4 = 2 q 3 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 故 粥，= ( 解得特征值为 a 4 = 2 ， a 4 = 一2 知q ，c 4 构成群c 4 口o 内c s c o ，又由下表 入2 222 20 a 4 22220 2 a 2 + a 4 262 60 即，引 a = 6 a = 2 入= - 2 a = - 6 a = 6 ， 根据( 1 5 ) 式已有结论 q = 丽1 ( g + q + g + q + g ) q = 丽i ( g 1 + 伤+ 岛一c 4 一g ) q = 丽1 ( g 一岛+ g + c 4 6 5 ) q = 丽1 ( q 岛+ 岛一c 4 + 倪) q = - 去( 2 c , - 2 伤) x 5 p ) = 、尉p ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 得到q 付的特征标表 c 1q gag x i 1111l x 2 11 111 x 3 l 一1 l11 x 4 11111 x 5 20 2 0 0 第四章重要结果部分 设g 为有限群，y 为复数域c 上的一个礼维向量空间，群g 在向量空间y 上的 一个作用，即gn v 的一般线性群g l ( v ) 的一个同态，称为g 在复数域c 上的一 个表示，由这个表示诱导的定义在g 上的函数x ，x ( o 定义为t g 对应线性变换 的迹，称为该表示的特征标当y 只有平凡的g 不变子空间时这个表示就称为 不可约表示，对应的特征标x 称为不可约特征标同时，这个表示可扩张成c 代 数c g 到c 代数e n d c ( y ) 的一个代数同态，称为群代数c g 的一个表示类似也有 特征标，不可约表示和不可约特征标概念，记群代数中一a , z ( c o ) 的所有不可约表示 为l ，知同时这些表示也记为z ( c c ) 的不可约特征标 本文的第三章已经介绍了特征函数法，这一章主要是找出线性空f j z ( c g ) 的 一个线性变换，使其特征子空间均是1 维的，然后来计算群的特征标本文的主要结 果是在二面体群基础上，通过拓展后在群g - - 上对传 统特征函数法的改进，简化该方法，以求更简洁的计算群g 的不可约特征标以下7 r 总表示圆周率，g 表示群g 的第i 个类算符 定理4 1 设0 1 ，a 2 ，口n 是n 个代数数，b l ，b 2 ，k 也是礼个代数数琊么 a 1 + t a 2 + + t n - 1 a n = b 1 + t b 2 + + t n - t b np 是超越数，当且仅当 有 a l2b t ，a 225 2 ，a n = b n 证明：当o = b i ，i = 1 ，2 ，n 时，结论显然成立反过来，若 a 1 + t a 2 + + t n - 1 a n = b l + t b 2 + + t n - x b n ( a n k ) 矿一1 + ( a n 一1 一b n 1 ) 护一2 + + ( a l b 1 ) = 0 假设存在i ，使a i b i ，那么t 就是多项式q ( 0 1 ，a 2 ，a n ，b l ，b 2 ，k ) ( z ) = o 的一个根，下记k = q ( a 1 ，a 2 ，a n ，b 1 ，b 2 ，k ) 由于a i ，b i 均是代数数，因此【k ： q 】 ，而t 是k ( z ) = o 的一个根，即是k 的代数数，故 【k ( t ) ：k 】 o o ，这样瞄( ) ：q 】= k ( t ) ：k i k ：q o o 因此 k ( t ) ：q 】= k ( t ) ：q ( ) 【q ( 古) ：q 】 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 得到 这与t 是超越数矛盾，故命题成立 q ( t ) ：q 】 o o 引理4 2 设g 是一个有限群，z ( c g ) 为群代数c g 的中心，为其不可约特征 标，那么邑( g ) 是一代数整数 证明见文献 1 9 】 定理4 3 设g 是一个有限群，设a ，q ，为群代数c g 的类算符如 果g 1 ，g 2 ，g 。是z ( c c ) 的一组生成元，那么存在g l ，g 2 ，g 。的一个线性 组合，使其特征值两两不相等 证明：考虑g l + i r c t 2 + + 7 1 - s - 1 g 。= c ，那么c 所对应的特征值为邑( c ) = 龟( g 1 ) + 7 r 毛( g 2 ) + + 7 r 5 q ( g 。) ，t = 1 ，2 ，由于g l ，c i 2 ，g 。是z ( c g ) 的 一组生成元，那么当矗& 时，( ) 与邑( ) ( j = 1 ，2 ，s ) 一定不能全相等，同 时由引理4 2 知：已( ) 为代数整数，故( g ) 与岛( c ) 一定不相等，e o c 有个互不相 等的特征值 定理4 4 对群g = ，记g 为a 所在的类算符， 既为6 所在的类算符，设( 一1 ，n ) = d 记q 号为6 詈所在的类算符，那么z ( c g ) 可 由g ，g ，q 署生成 证明：下面均记瓯t 为a 驴所在的类算符，通过计算，可求出g 的所有类算符 c 1 = 1 c a = a + a b d + a b 2 d + + 0 6 ( 一1 ) d 倪一l = a b d 一1 + a b d 一1 + d + + a b d 一1 + ( 罟一1 ) d 铅= 6 i + 铲，( i nfi ) 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c b * = 6 ，( 暑li ) 由于t 三1 ( m o dd ) ，因此 g g = 2 g 6 g 倪6 = 2 c b 2 c b c , 一2 = 2 c n 6 d l 即倪均可由g ，砚生成 t i i e c b t 可由g 与q 罟生成 ( c b ) 2 = c b 2 + 2 c b 由于2 三1 ( r o o d 礼) ，故詈陋+ 1 这样g 可由c b 社y g 故此时g 。可由g 与q 等生成 当礼为奇数，且几 2 k + 1 时， 假设g t 可由g 与q 学生成 当n 为偶数，_ k n 2 后) ，则没有给出最小雕j c s c o 例如，群g = 可计算出g 的特征标表为 1口0 2a 1b6 2a ba 2 bo 一1 6a 2 b 2 ) ( 1 1111l11 1 11 x 2 111 1111 111 x 3 1111111111 x 4 111 111ll11 ) ( 5 1z 一1一z l1z 一1一z一1 x 6 1z一1一0112101 ) ( 7 lz一1z1l一2 1 z一1 x 8 1 一z一1 z 一1 1z1一z 一1 x 9 202002000 4 x 1 0 2 0 20 0 20004 通过计算可验证出g 中的任一组生成元的线性组合均有重根 本文结合群代数的思想，通过群代数中心和生成元这两个中间桥梁找到了二 面体群拓展后简单直接的求完备算符的解决方法，并接着用一个反例对其做了拓 展和说明上面的篇幅除了在理论上有严密的证明，列举的例子也直观演示了简化 特征标理论的可行性，但摆在我们面前，有两个明显的问题：一是对于更一般的有 限群，在具体的计算过程中怎样快速有效的求出我们最终需要的c s c o ，即完备算 符呢? 二是如果有办法求出，是不是都可以像例子3 5 那样把个数简化到两个? 1 9 参考文献 1 】a w 约什物理学中的群论基础 m 】l 匕京：科学出版社，1 9 8 2 ：3 3 1 1 1 【2 陈金全，王凡，高美娟，( i ) 求特征值和不可约基的本征函数法，南京大学学报， 1 9 7 7 年第二期，p 1 4 8 【3 陈金全，王凡，高美娟，( i ) 有线群表示论的新途径，物理学报，2 6 ( 1 9 7 7 ) ，p 3 0 7 4 】陈金全群表示论的新途径 m 】上海：上海科学技术出版社，1 9 8 4 ：3 8 1 0 2 【5 】程云鹏等编著矩阵论西北工业大学出版社，1 9 8 9 6 】唐敖庆等，中国科学，1 5 ( 1 9 6 6 ) ，6 1 0 ；吉林大学学报，1 9 7 5 年第三四期 7 】王爱芬特征标的计算方法 j 】，沈阳教育学报，2 0 0 7 ( 2 ) ：8 9 9 1 8 】朱诚久，有线群的完备算符，吉林大学学报，1 9 7 9 n o 3 ，p 4 3 。【9 】9a k y e a m p o n g ，d a a n dm a r a s h i d ，o nt h ef i n i t et r a n s f o r m a t i o no fs u ( 3 ) ，j m a t h p h y s 1 3 ( 1 9 7 2 ) ，1 2 1 8 1 0 】b a y m a n ，b f ，s o m el e c t u r e so ng r o u p sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n st os p e c - t r o s c o p y , n o r d i t a ，1 9 6 0 1 1 】b a y m a n ，b f a n dl a n d e ，a ，t a b l e so fi d e n t i c a l p a r t i c l ef r a c t i o n a lp a r e n t a g e c o e f f i c i e n t s ，n u c l p h y s 7 7 ( 1 9 6 6 ) ，1 【1 2 】b i e d e n h a r nl c ，g i o v a n n i n i ，a a n dl o u c k j d ，c a n o n i c a ld e f i n i t i o no fw i g n e r c o e f f c i e n t si nu ( n ) ，j m a t h p h y s 1 1 ( 1 9 7 0 ) ，2 3 6 8 1 3 】b o e r n e r ，h ，r e p r e s e n t a t i o no fg r o u p ，a m s t r d a m ：n o r t hh o l l a n d ，1 9 6 3 【1 4 】b u r n s i d e ，w ，t h e o r yo ff i n i t eo r d e r ，n e wy o r k ：d o v e r ，1 9 5 5 【1 5 】c h e n ，j i n ，q u a i l ，w a n g ，f a n ga n dg a o ，m e i j u a n ，an e wa p p r o a c ht or e p r e s e n t i o nt h e o r yo ff i n i eg r o u p s ( i ) ，t h ee i g e n f u n c t i o nm e t h o df o rc h a r a c t e r sa n d i r r e d u c i b l eb a s e s ，n a n j i n gd a x u ex u e b a o ( j n a n j i n gu n i v ) n o 2 ( 1 9 7 7 ) ，1 4 8 2 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 6 】c h e n ，j i n q u a na n dg a o ，m e i j u a n ，r e d u c t i o