（基础数学专业论文）某些半环的结构.pdf

山东师范大学硕士学位论文 某些半环的结构 龚 路 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究半环的结构和同余，探讨了半环坚强分配格的性质及同余，给出 了双半环的拟坚强分配格的定义，并得到了双半环的拟坚强分配格的结构分解，找 到了一些半环的半格同余及分配格同余，并给出了一些特殊半环的一些性质 半环的强分配格是半环上一个非常好的结构，对强分配格已经有了很好的刻 划，本文将这种良好的结构同余推广半环的坚强分配格上本文共分四章： 第一章给出引言与预备知识 第二章主要通过一般半环上的同余刻画了半环的坚强分配格上的同余，主要结 论如下： 定理2 2 1 设s = ，p q 是上的半环同余，且( p q i s d ) 满足 条件： va ，b 瓯，( a ，b ) p a 兮vp q ，p d ，( o 妒q ，p ，渺q ，卢) 卯 ( a ) 定义s 上得关系p 如下： ( a ，b ) p ，n i ，b 昂今刍7 q p ，( o 妒q ，7 ，b e n ，7 ) p 7 则p 是s 上得半环同余 定理2 2 3 设s = 为坚强分配格对应的分配格同余，p 为s 上的同余，vq d ，令p q 二p l s o ，若下列条件成立，即： ， i ( n ，b ) p ，口，b 兮v ，y q ，( o 札，7 ，扫蜘，1 ) p 1j ，y p ，( o s 如，1 ，6 咖，7 ) p = 争( n ，b ) p 则s p = 雪为& p a = 鼠的坚强分配格的充要条件是p 盯 第三章主要讨论双半环的拟坚强分配格的结构，并讨论了双半环簇 文，q d ) 的拟坚强分配格s 上的同余及结构分解主要结论如下： 定义3 1 1 设( d ，+ ，) 是一分配格， 兔，q d 是一簇两两不相交的双半环 山东师范大学硕士学位论文 类，假设vq ，p d ( q ) 存在双半环单同态妒n ，p ：文_ 岛且满足下列条件： ( c 1 ) vq d ，妒a ，o = 1 氟； ( c 2 ) v 口p 7 ，蛄，p 咖，7 = 妒q ，y ； ( c 3 ) q ，y ，矽q ，7 + 昂咖，7 + 卢+ p ，7 在s = u a e d 文上定义三个二元运算分别为：对va 文，b 岛， a b = o 矽q ，a p 6 砂p ，c 咿， a 丰b = o 妒a ，a 卢木b 矽z ，o 徊， a + b = c ，c 免+ 口， 且满足 c 矽口+ 卢，a 卢= 口妒a ，q p + b 妒z ，a 口 我们称s 是半环族 鼠l q d ) 的双半环拟坚强分配格记为s = 定理3 1 3s - - - 是双半环簇 良l q s 的拟坚强分配格，定义 s 上的二元关系 p ：a ，b 昂，a o b 咎。妒q ，a p = b 矽z ，卵 则9 是s 上的同余 定理3 1 6s = 是双半环簇 文i q s ) 的拟坚强分配格，口是 定理3 1 3 中定义的s 上同余关系，则s 为d 和s e 的拟次直积 第四章主要讨论半环的分配格同余和半格同余，并讨论了一些半环的性质，主 要结论如下： 引理4 1 1 设s 为半环，ve e + ( s ) ，定义关系叩： a u b 铮a e = a e + b e + a e b e = b e + a e + b e 则7 7 为s 上的半环同余，且( s 叼，+ ) 为半格 引理4 1 2 设s 为分配半环，在酬7 7 上定义关系p ：ve e 。( s ) a q 7pb y 兮( a + e ) 叼= ( a + e ) 叩( 6 + e ) 叩( n + e ) v ，( b + e ) v = ( b + e ) 叩( o 十e ) v ( b + e ) 卵 则p 为酬叩上的同余，且( ( s 7 7 ) p ，) 为半格 定理4 1 3 设s 为分配半环，va ，b s 定义关系口： a o b 0 7 7p6 7 7 ， 2 山东师范大学硕士学位论文 则0 为s 上的分配格同余 定理4 2 2 若s 为加法交换逆半群的半环，定义关系： a p b a o = b o 则p 为s 上的+ 一半格同余 定理4 3 3 若半环s 为加法左正规带半环，在s 上定义关系d + ： a d + b 铮a = a + b + a ，b = b + a + b a ，b s 则d + 为s 的+ 一半格同余 关键词：半环的坚强分配格，半环同余，半环的分配格同余 分类号：0 1 5 2 7 3 山东师范大学硕士学位论文 t h es t r u c t u r e so fs e m i r i n g s g o n gl u t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec h a r a c t e r i z et h ec o n g r u e n c eo nas t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c e o fs e m i r i n g sb yt h ec o n g r u e n c eo nt h o s es e m i r i n g s ，a n dg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fc o n s t r u c - t u r eo fp s e u d o - s t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fb i s e m i r i n g s ；b e s i d e s ，w em a i n l yg i v es o m e d i s t r i b u t i v ec o n g r u e n c e sa n dr i n gc o n g r u e n c e s ，w ed i s c u s s t h er e g u l a rs e m i r i n g sw h o s e a d d i t i v er e d u c ta r es p e c i a ls e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e s i nt h es e c o n dc h a p t e r w ec h a r a c t e r i z et h ec o n g r u e n c eo nas t r o n g l yd i s t r i b u t i v e l a t t i c eo fs e m i r i n g sb yt h ec o n g r u e n c eo nt h o s es e m i r i n g s ，t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni n f o l l o w ： t h e o r e m2 2 1l e ts = ，p ai st h et h es e m i r i n g sc o n g r u e n c eo n ，a n d p ai 口d ) s a t i s f yc o n d i t i o n ： va ，b 铅，( a ，b ) p 口兮v q ，p d ，( n 砂q ，p ，b ，卢) 卯( a ) ar e l a t i o npo nsi sd e f i n e db y ： ( a ，b ) p ，a & ，b 弓7 q p ，( o m 彬刚) p 7 t h e npi sac o n g r u e n c eo ns t h e o r e m2 2 3l e ts = ，仃i st h ec o r r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i v el a t t i c e c o n g r u e n c eo ns ，pi sac o n g r u e n c eo ns ，v 口d ，l e tp 口2p i ，a n dt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ，i e t h e ns p = si st h es t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo f & p a = i fa n do n l yi fp 仃 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg i v ead e f i n i t i o no fp s e u d o - s t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo f b i s e m i r i n g s ；b e s i d e s ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fc o n s t r u c t u r ew h i c hi ss u b d i r e c to fa 4 哪 肛 又 一嚣昂一 咖 c ，) 瓯 却“履 q 7 r t l 山东师范大学硕士学位论文 d i s t r i b u t i v el a t t i c ea n ds e t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w d e f i n e3 1 1 l e t ( d ，+ ，) b ea d i s t r i b u t i v el a t t i c e ， & ，q d ) b eaf a m i l yo f p a i r w i s ed i s j o i n tb e s e m i r i n g si n d e x e db yd ，f o re a c hp a i rq 卢i nd ，t h e r ee x i s t sa m o n o m o r p h i s mo fb i s e m i r i n g s 巾旺1 6 ：s _ s b s u c ht h a t ： ( c 1 ) vq d ，忆，口= 1 良； ( c 2 ) vq p 7 ，卢咖，7 = 妒q ，1 ； ( c 3 ) a f l ，y ，妒q ，7 + 昂咖，1 & + 卢妒q + 卢 o ns = u 口d & t h eo p e r a t i o n sa r ed e f i n e da sf o l l o w s ：va & ，b a n dcs a t i s f i e s a b = n ，口e b c e ，q 卢， a 木b = a 虹，q 卢木扫p ，q p ， a + b = c ，c & + 口， ( 吡+ p ，口口= o 如，a p + 6 矽p ，。哆 t h es y s t e mi sc a l l e dp s e u d o - s t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fb i s e m i r i n gv a r i e t i e s w ew r i t e s = t h e o r e m3 1 3l e ts = ，d e f i n e0o ns ： p ：a ，b 昂，a o b 营。矽q ，叩= 础卢，a 卢 t h e npi sac o n g r u e n c eo ns t h e o r e m 3 1 6l e ts = ，臼i sd e f i n e di nt h e o r e m3 1 3 ，t h e nsi s p s e u d o - s u b d i r e c tp r o d u c to fada n ds e i nc h a p t e r4 ，w em a i n l yg i v es o m ed i s t r i b u t i v ec o n g r u e n c e sa n dr i n g c o n g r u e n c e s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ： l e m m a4 1 1l e tsi sas e m i r i n g ，ve e + ( s ) ，d e f i n e 叩o ns ： o 卵6 a e = a e + b e + a e ，b e = b e + a e + b e t h e n 刀i sas e m i r i n gc o n g r u e n c eo ns ，a n d( 纠7 7 ，+ ) i sas e m i l a t t i c e l e m m a4 1 2l e tsi sad i s t r i b u t i v es e m i r i n g ，ve e 。( s ) ，d e f i n epo ns w a r lpb 7 7 营( a + e ) 叩= ( a + e ) r l ( b 十e ) 叩( n + e ) 叼，( b + e ) 7 7 = ( b + e ) 7 7 ( n + e ) 叩( 6 + e ) 叩 5 山东师范大学硕士学位论文 t h e npi sa c o n g r u e n c eo ns h ，a n d ( 0 s f 呐p ，、) i sas e m i l a t t i c e t h e o r e m4 1 3l e tsi sad i s t r i b u t i v es e m i r i n g ，v 口，b sd e f i n e o ns ： a o b 兮a z p6 7 7 ， t h e n 口i sad i s t r i b u t i v ec o n g r u e n c eo ns t h e o r e m4 2 2l e tsi sac o m m u t es e m i r i n g sw h o s ea d d i t i v er e d u c ti si n v e r s e s e m i g r o u p ，d e f i n epo ns ： a p b 营a o = b o t h e npi sa + 一s e m i l a t t i c ec o n g r u e n c eo ns t h e o r e m4 3 3l e tsi sas e m i r i n gw h i c hr e d u c ti sl e f tn o r m a lb a n d d e f i n ed + o ns ： a d + b 兮a = a - - 6 + a ，b = b + a + b a ，b s t h e nd + i sa + 一s e m i l a t t i c ec o n g r u e n c e k e y w o r d s ：s t r o n g l yd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ，s e m i r i n gc o n g r u e n c e s ，d i s - t r i b u t i v ec o n g r u e n c eo ns e m i r i n g 6 c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 堡渗 导师签字2 节l 冈。j 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：夔疡争 导师签字： 彳。国 i 签字日期：2 0 0 9 年年月2 - 日签字日期：2 0 0 9 年月2 日 叭j 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言与预备知识 1 1引言 半环是含有加法和乘法两个代数运算且满足结合律、分配律的代数系半环存在于 我们周围的世界中，我们首先接触的自然数集就是一个半环! 另外半环广泛的出现 在环论、非交换环理论、几何学、拓扑学、图论以及计算机科学、形式语言理论以 及量子物理学中 历史上，半环最早由d e d e k i n d 在1 9 8 4 年提出；后来m a c a u a l a y , k r u l l 等人在 研究环的理想时也使用过半环的概念1 8 9 9 年h i l b e r t 在讨论自然数公理和非负有 理数时，也涉及到半环近年来半环理论有了很大发展在半环理论中，主要研究 半环的结构和同余研究半环主要有两种方法：环的方法和半群的方法1 9 9 2 年 g o l a n 出版了半环理论在数学与理论计算机科学中的应用一书，对半环做了系 统的论述 “ 本文主要给出了半环的坚强分配格上的一些同余关系，讨论了半环上的一些分 配格同余，最后给出了一些加法特殊半群的半环 1 2预备知识 下面介绍一些基本概念： 定义1 1 设( s ，+ ) 是半群，如果va s ，存在唯一的a 7 s ，使a + a 7 + a = a ，a 7 + a + a 7 = a 7 ，则称s 为逆半群 定义1 2 在非空集合s 上定义两种运算+ ，( s ，十) ，( s ) 均是半群，且va ，b ，c s ，满足( a + b ) c = a c + b c ，a ( b + c ) = a b + a c , ，则称s 为半环e ( + ) 为s 的加法幂等 元集，e ( ) 为s 的乘法幂等元集 定义1 3p 为半环上的等价关系，va ，b ，c s ，若( a ，b ) p ，有( c + o ，c + b ) p ，( a + c ，b + c ) j d ，( a c ，b c ) p ，( c a ，c 6 ) p ，则称p 为s 上的同余若p 为s 上的同 余，且s p 为环，则称p 为s 上的环同余 如果是x 上的关系，且满足自反性，反对称性和传递性，则称( x ，) 是一 个偏序集zvy 表示z ，y 的最小上界，z 八y 表示z ，y 的最大下界，如果偏序集 7 山东师范大学硕士学位论文 ( x ，) 中任意两个元素在x 中有最小上界和最大下界，则称( x ，) 是格 定义1 4 1 4 1 ( x ，s ) 为分配格兮代数系统( x ，v ，a ) 满足 1 0 交换律( avb = b va ，aab = baa ) 2 0 结合律( v v c = av ( bvc ) ，( aab ) ac = aa ( bac ) ) 3 0 幂等律( ava = a ，aao = d ) 4 0 吸收律( av ( aab ) = a ，aa ( avb ) = a ) 5 0 分配律( ( o + b ) c = a c + b c ，a ( b + c ) = a b + o c ) 定义1 5 称一个非空集合s 为双半环，如果在s 上定义三种代数运算： “+ ”，“”，“堆”，且满足： ( 1 ) ( s ，+ ) ，( s ，) ，( s ，水) 均为半群； ( 2 ) va ，b ，c s ，有 ( i ) o ( 6 + c ) = n 6 + a c ，( a + b ) c = a c + b c ； ( i i ) a ( b 幸c ) = a b 事。c ， 术6 ) c = a c 宰b c ； ( i i i ) a ，i ( b 十c ) = ( a 木b ) + ( a 术c ) ，( a + b ) 木c = ( a 术c ) + ( b 木c ) ； ( i v ) a + ( b 半c ) = ( a 十b ) ，i ：( a + c ) ，( a 半b ) 十c = ( a + c ) 木( b + c ) ； 定义1 6s 上等价关系p ，若p 在( s ，+ ) ，( s 术) ，( s ，) 上均为同余，则称p 为双 半环的同余 定义1 7 设r 和s 是双半环，咖是由双半环r 到s 的映射，若映射妒还满 足以下条件： ( 1 ) 对v r , s r ，有p + s ) = p ) + ( s ) ； ( 2 ) 对v r ，s r ，有( 7 ，c8 ) = ( r ) 水( s ) ； ( 3 ) 对v r , 占r ，有( r s ) = ( r ) ( s ) ， 则称是由r 到s 的双半环同态 定义1 8 在半环( s + ，) 中，p 为半环同余，若( s p ，) 为半格，则称p 为一 半格同余，若( s p ，+ ) 为半格，则称p 为+ 一半格同余 8 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献【1 4 - 2 8 山东师范大学硕士学位论文 第二章半环上的坚强分配格 2 1半环的坚强分配格的定义 本章主要是给出了半环的坚强分配格的定义，并讨论了半环簇 & l q d 的坚强 分配格上的同余 定义2 1 1 【2 3 】设d 为分配格， 鼠i q d ) 是一族两两不相交的半环，vq ，p d ，q 卢有映射妒q ，卢：& _ 昂，是单同态，且满足条件： ( c 1 ) 矽口，a = 1 ； ( c 2 ) 妒a ，p 咖，7 = 妒q ，1 ，乜卢7 ； ( c 3 ) 札，7 + 昂咖，1 冬+ 卢砂a + 厣mq p 7 在s = u a d s a 上定义加法和乘法分别为：对va ，b ， a b = n 妒a ，口卢嘶p ，q p ， a + b = c ，c & + 口， 且满足 e 矽q + p ，a 卢= 口妒q ，q p + 坳p ，q p 我们称s 是半环族 & f 口d i 的坚强分配格记为s = 引理2 1 2 【2 3 】根据定义2 1 1 中的乘法和加法，s = u q d 为半环 2 2半环上的坚强分配格同余 定理2 2 1 设s = ，p 口是& 上的半环同余，且 p q l a d ) 满足 条件： va ，b ，( a ，b ) p a 号vp q ，p d ，( o 妒a ，卢，劬a ，p ) p z ( a ) 定义s 上得关系p 如下： ( a ，b ) p ，a & ，b 劫 净| ，y q ，( o 妒q ，1 ，6 妒p ，7 ) p 7 9 山东师范大学硕士学位论文 则p 是s 上得半环同余 证明；p 的自反性和对称性显然成立 下证传递性va & ，b 昂，c s 若( a ，b ) j d ，( b ，c ) p ，则ju ，1 1 d ，u 口妒，p 7 ，使 ( o 吡，扫咖，u ) 阢，( 6 咖，c ，p ) p v ， 由于 触j 口d ) 满足条件( a ) ，所以我们有 ( ( 口妒q ，u ) 虬，u p ，( 扫矽p ，u ) 吐b ，u p ) p w v ， ( ( 6 妒卢，) 妒p ，。v ，( c ，p ) 妒u ) 9 u 即 ( o 虹，u ，扫驴芦舢桫) 阢p ( 6 哆卢，。一p ，c 掣，u p ) 9 0 | ， 所以( o 忆，u ，咄，u ) 阢，而二a 卢所q 7 所以a p c ，即传递性成立进而，l | d 为等价关系 下证p 保持乘法相容 vo & ，b 昂，c 岛，ju d ，。q p 使得 c a s 州，c d s 阶，且奄； 用妒叫一u ，妒所，w 作用上式有： 用札，w 作用于( 1 ) 有： 1 0 ( n ，u ，6 矽p ，u ) 口u ， c a = c 叽，口，y n h ，n ，y ， c b = e 书 f 。8 f i 田巾 。b 1 ( ) 妒叫，1 “，= c f 7 ”u a 妒q ，w ( c b ) 掣协，w = c 叽，w 坳，w ， ( q 妒q ，w ，6 妇，w ) p w 。 山东师范大学硕士学位论文 因此( 毗，w n 如，w ，咄，w 坳，w ) 阳即( ( ) 舢( 西) 慨，刈) 阳所以( c a ，c 6 ) p 同理可证( a c ，b c ) p 下证p 保持加法相容 ( c + d ) 如+ m o 吖= c 蜴，o 吖+ o 妒a ，叫- ( c + 6 ) p + 1 ，a 7 = c 妒，y ，q ，y + 啪p ，a ，y 用妒唧，w ，掣协，叫作用上述两式有： ( c + o ) k + 7 ，弘，= c ，+ 口妒 w ( c + 6 ) 咖+ 7 ，7 u = c ，7 + 础p ，7 u 即 ( 嘞，w + 8 札，w ，c 奶，w + b 矽z ，w ) p t w ( ( c + a ) 妒q + 7 ，弛，( c + b ) 妒卢+ 7 ，7 u ) p t w 所以( c + a ，c + b ) p ，同理有( a + c ，b + c ) p ，所以p 是s 上的同余 下面定理给出了p 在一定条件下，酬p 是& 触， d ) 的坚强分配格 定义2 2 2s = 为半环& 的坚强分配格，若对s 上的同余盯， 满足； ( a ，b ) o r 兮j 口d ，a ，b s q 则称盯为坚强分配格s 对应的分配格同余，显然8 o 竺d ， 定理2 2 3 设s - - ，盯为坚强分配格对应的分配格同余，p 为s 上的同余，vq d ，令p c , = p l s , ，若下列条件成立，即： l ( n ，6 ) p ，n 。，b s p 兮v ，y a 卢，( n 妒a ，1 ，6 妒口，一r ) d ij7 口p ，( n 矽q m6 妒聊) p 兮( 。，b ) j d 则s p = 雪为斑= 炙的坚强分配格的充要条件是p 口 证明：充分性 va s ，设a ，由p o r ，a p a o = & ，故 a p = n ( p i & ) = a p a 若ja ，卢d ，使鑫n 岛仍，则有 a s q ，b s p ，a p o = b p p 山东师范大学硕士学位论文 即a p = b p ，由于p 盯，则a o r = b o ，则b & ，矛盾所以 文n 岛= d 因此雪= u 炙 对q ，p d ，o t 卢，定义映射 妒n ，p ：_ 昂，a p ah ( d 妃，z ) p z ，va ( 1 ) 先证死，p 是良定义的 若。风= 争触，a ，b ，由条件，有( a c a ，p ，b e ，口) 卯，即( o 矽口，p ) 卵= ( 础q ，z ) p z ， 亦即( a p a ) ( ) a ，p = ( b p 口) 玩，卢 所以移q ，卢是良定义的 再证讥，p 是单同态 vo 风，b p q 文， 【( n 9 a ) ( b p q ) 】t f ，q ，p = 【( a 6 ) p a 】3 k ，芦= ( ( 0 6 ) h ，卢) j 口p = ( ( o 虹，卢) ( 6 r 乙，p ) ) p 卢= ( n 矽a ，口) p 芦( 6 妒a ，p ) p p = 口佤，卢瓴，声 若( a p a ) 巧口，卢= ( b p q ) 巧q ，卢，则有( o 札，卢) 卵= ( 砌a ，卢) 卯，由条件知： 札，芦，扫，p ) 邪兮( a ，b ) p c , ，所以。触= 的。，即死，卢是单的 ( 2 ) 死= 1 鼠，v q d ，显然 ( 3 ) vo t ，声，y d ，口侈7 ，va p a & ， ( a p a ) 掣，卢咖，7 = ( ( a 掣如，卢) p 卢) 咖，y = ( ( 口j 如，p ) 协，y ) 叶 = ( a 咖，7 ) p ，y = ( a p q ) 妒q ，y 所以玩，p 如，y = 死，7 ( a ) va p a 良，b p z 劫，则a & ，b 昂 设a + b = c ，c s q + p ，因而v y q p ，有。妒q 7 十坳，7 = 却叶卢，7 ( o p q ) 札，7 + ( 印p ) 咖，7 = ( a ，y ) 所+ ( 坤卢，7 ) 所 = ( ( o 妒q ，7 ) + ( w p ，7 ) ) 所 ，f、 2 ( e 妒o + 卢，y ，所 】2 = ( c p q + p ) 矽q + 口，7 所以& 死，7 + 劝如，7 & + 卢死+ p ( s ) va p 乜文，嘞$ ，由a p q = a p ，6 舶= b p ，有 a p q b p l 3 = ( a b ) p = ( a b ) p c k f 3 = ( o 虹，q p6 矽卢，q 口) p 叩 = ( o 虹，q p ) p 。妒( b 矽z ，q 口) p a 卢 = ( a p q ) 如，q p ( 6 p p ) 妒p ，q p 若o + b = c 贝8 ，7 + b 砂z ，7 = q 岵+ p ，1 定义a p 口+ 嘞= c p 叶口，则 a p c t 妒a ，a 卢十6 p p 妒卢，c 啦= ( a c a ，q 卢) j d 。咿+ ( 6 侈，a 卢) j d q 卢 = ( o 虹，q 卢十b 妒z ，q p ) p 。咿 = ( ( 矽q + p ，q p ) p 。咿 = ( c p a + 卢) + 卢，a p 所以雪= ( 必要性) 设雪= 为坚强分配格 则u 最= 雪，va p = 雪，设o ，则a p 良，对vc a p ，c p ：n p ，若c & ，则 卿= a p a ，于是& n 昂毋矛盾，故c ，所以a p = a l t 即p c 仃 1 3 山东师范大学硕士学位论文 第三章双半环的拟坚强分配格 本章主要给出了双半环的拟坚强分配格的定义，并讨论了半环簇 良，q d ) 的拟 坚强分配格s 上的同余及结构分解 3 1双半环的拟坚强分配格 定义3 1 1 设( d ，+ ，) 是一分配格， 良，a f d ) 是一簇两两不相交的双半环类， 假设va ，卢d p ) 存在双半环单同态忆，p ：良一易且满足下列条件： ( c 1 ) vq d ，矽q = 1 鼠； ( c 2 ) vq p 7 ，妒q ，p 咖，y = 妒a ，7 ； ( c 3 ) vq ，y ，良妒州+ 岛咖，7 鼠+ p 忆+ 卢 在s = u a d 文上定义三个二元运算分别为：对vo 良，b 岛， a b = o 妒q z b 矽z ，q 厣， a 木b = o 虹，q 卢术b 砂卢，q p ， a 十b = c ，c + 口， 且满足 ( ? 砂q + 卢，a p = o 虹，a 卢+ b 矽口，a p ( 2 ) 我们称s 是半环族 良i q d ) 的双半环拟坚强分配格记为s = 定理3 1 2 根据定义3 1 1 中的二元运算，s = u a e d 良为双半环 首先证明上面的运算是可定义的 对vq ，p d ，由于( d ，+ ，) 为分配格，则有 q ( 口p ) = q p ，q ( q + p ) = q a + 乜= q + p = 口， p ( q + p ) = 卢q + p = ，q 卢( 口+ p ) = q ( p a + 卢) = 口卢 即q 口卢，q + 卢q ，q + 卢p ，口+ p q 卢 所以存在单同态忆，口p ：良_ 雪叩，妒反口卢：昂_ 良p 和妒口+ p ，a p ：良+ p 一良卢，则对 vo 兑，b 岛由( c 3 ) 知| c 鼠+ p 满足( 2 ) 式，又因为+ 反q p 是单同态所 1 4 山东师范大学硕士学位论文 以c 是唯一确定的，且显然有： a b = o 妒q ，q p 印卢，筇e 良卢sa 丰b 炙p s 唯一 确定 下证结合律va 良，b 昂，c 曷，口，p ，7 ( d ，+ ，) ( 1 ) a ( b c ) = n ( 础p ，卢，y e “，所) = n 妒口，q p 7 ( 劬p ，卢，y c 矽，y ，p ，y ) 妒犀，y ，q 卢7 = o 妒口，q 所6 咖，q 所c 机，q 所 = ( o 妒q ，q p 6 吲冶，q z ) 妒- z ，q 卢7 c 矽7 ，a 卢7 = ( n 札，叩晰卢，a p ) c = ( a b ) c ( 2 ) 同理可证a ，一c ( b ，一cc ) = ( a 车b ) 木c ， ( 3 ) ( a + 6 ) 妒o + 卢，a 卢= o 虹，a 卢+ b c z ，a 卢， 两边用掣邯，q 所作用得 ( a + b ) 妒a + 卢，q p 7 = o 妒q ，q p ，y + 础p ，q 卢7 ， ( ( 口+ b ) + c ) 么+ p + m ( q + 卢) ，y = ( a + 6 ) 砂a + 反( n + 卢) 7 + c 蚂，( q + 卢) 一r 两边用矽( 叶卢) ，y ，口卢7 作用得 ( ( o + b ) + c ) + 卢+ 7 ，a p ，y = ( a + 6 ) 妒q + 反a p ，y + e ，q 卢7 则 。 ( ( n + b ) + c ) 妒q + 卢+ ，y ，q 卢1 = o 妒a ，a 卢，y + 却卢，q p 7 + c 咖，a 卢，y 类似可证得 ( a + ( b + c ) ) 如+ p + 7 ，q 卢7 = o 妒n ，a 卢1 + b c z ，q 卢7 + 却7 ，a 卢7 因为+ 卢十 所是单的，所以有 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 下面证明分配律 o ( 6 牛c ) = a ( b c z ，所木嘞，p 7 ) 山东师范大学硕士学位论文 ，、， = a 妒口，口p 7l 唧p ，p 7 木印7 ，p 7 ) 妒j 升，q j 所 ：= o 妒a ，q p l ( 扣砂p ，q p l 木( 群0 ，a 所) = ( n 妒q ，q 卢7 扫砂卢，口所) 木( o 虹，a p ，y c 妒7 ，n 卢7 ) ( n b ) 木( a , c ) = ( n ，。卢b 妒p ，q p ) 木( 口犁h ，c 吖c 矽7 ，q 7 ) = ( n 蛞，a 卢6 叫侈，q p ) 妒c 咿，叩卢，y 半( o 勉，a 7 c 妒7 ，口，y ) f k 7 ，a 聊 = ( o 如，a 卯7 彬p ，q 筇，y ) 卑( 呦口，叩卢7 印7 ，口卯7 ) 由于( d ，) 是一个半格，所以a p 所= q 所，于是o ( 6 木c ) = ( a b ) 木( d c ) 同理可证 木b ) c = ( n c ) 牛( 6 c ) 由加法定义 ( b 十c ) 矽卢+ 7 ，a 卢7 = 6 矽卢，a 卢7 + c 妒7 ，a 鲫， ( o ( 6 + c ) ) 妒q + 7 ) ，q 卢，y = 口坛，q 卢7 ( 6 + c ) 咖+ 7 ，q 卢7 = o 妒8 ，口p 1 ( b 驴芦，d p ，y + c 够1 ，a p l ) = n 妒a ，a p y 6 吲冶，q p ，y + n 如，q 卢7 ( 铂，a 卢一y ， 由( a b ) 妒q p ，a 研= n 矽q ，a p 7 莎p ，a 鲫，( n c ) b 吖，吐p 7 = o l 虹，a ”c 簟，q p 7 得 ( n 6 + a c ) s f b p + 口7 ，a 卢7 = ( a b ) 如p ，口p 7 + ( a c ) f h 7 ，q 所 = o 坫，q p ，y 扫砂p ，口所+ n 妒a ，q 所c 形，a 口叶 由于( d ，十，) 是一个分配格，所以q 十，y ) = 口p + 乜7 所以忆( 卢+ 7 ) ，a 所= 掣鄙+ 唧，口p 7 且是单的，即n ( 6 + c ) = a b + o c 同理可证( n + b ) c = a c + 6 c ，e l , 丰( 6 + c ) = ( 口乖b ) + ( o 牛c ) ，( n + b ) 术c = ( o 木c ) + ( 6 木c ) 陋+ ( b 木c ) 】妒a + 厣1 ，a p 7 = 【n + ( 砌卢，p 1 木c ，卢7 ) 】+ 卢，y ，o 猡，y = o 如，a 卢7 + ( 6 叫扫，研木c 妒7 ，研) 妒卢7 ，a 卢7 = o 吡，c 咿7 + ( 6 妒卢，q 卢7 丰( ? 砂7 ，q 卢，y ) = ( n 妒a ，o 猡7 + 6 咖，a 卢7 ) 木( n 么，a 所+ c 如，q 卢7 ) 【( n + b ) 木( 凸+ c ) 】妒( 口+ 卢) ( 卢+ ，y ) ，q 卢一r = ( o + 6 ) h + 卢，q p ，y 木( o + c ) 妒a + a 卢一r = ( o 妒q ，n 所+ 6 妒p ，a 卢7 ) 木( o 如，q p 7 + c 妒7 ，a 卢7 ) 同样由( d ，+ ，) 是一个分配格，所以( a + 卢) + 7 ) = q + 所，所以九十卢7 ，a 卢7 = 妒( 叶卢) ( 叶7 ) ，q 口7 且是单的，因此o + ( 6 木c ) = ( n + 6 ) 木( o + c ) ，同理可得( o 柏) + c = 16 山东师范大学硕士学位论文 ( a + c ) 车( b + c ) ，所以s = u 口d 为双半环 定理3 1 3s = 是双半环簇【文i q s ) 的拟坚强分配格，定义 s 上的二元关系 口：o ，b 昂，a o b n 忆，卵= 劬p ，q 卢 则p 是s 上的同余 证明：显然p 是自反的和对称的，下证p 具有传递性 设a o b ，b o c ，n 良，6 、昂，c 岛，q ，p ，7 d ，则有 。妒q ，a 卢= 嘶卢，筇，6 咖，所= c “，卢，y 前一式用怯p ，q p ，y 两边作用，后面一式用咖1 ，q 卢1 两边作用，联立得 n 妒q ，n 卢，y = 彬p ，a 卢 y = 却* q p ，y 所以( o 俐) 矽凹，q 所= ( c 鹕，叩) 掣研，口卢7 又因为妒钾，a 所是单的，因此有。妒q ，唧= c ，a 1 则a o c ，即口是传递的 设a o b ，vc s ，不妨设c e 岛，则有。札，a p = 脚p ，a p ，用妒a 芦，a 卢7 两边作用得 。妒a ，o 所= 劬q ，q 所， ( a + c ) 妒a + ，y ，州= n 札，唧+ c “朋，用7 ，a 卢7 两边作用得 ( a + c ) 妒q + 仉q 卢7 = o 妒q ，a p ，y + c ，a p 7 类似得 ( b + c ) p + 7 ，a 所= 扫砂p ，a 研+ i 矾，n 卢7 所以有 ( a + c ) 妒a + 7 ，q 卢，y = ( b - t - c ) 咖+ 7 ，n 卢7 由于( d ，+ ，) 为分配格，( a + 7 ) ( p + 7 ) = q p + 7 ，得 ( ( o + c ) 如+ 7 ，c 啦+ ，y ) 妒o p + 7 ，o 卢，y = ( ( 6 + c ) 矽卢+ 7 ，。啦+ 7 ) f ，q 卢+ ，y ，a 卢7 因为妒a 卢+ m a 所是单的，所以( o + c ) + 7 ，q 卢十7 = ( 6 + c ) 咖+